এর সাথে কাজ করা যাক দ্বিঘাত সমীকরণ. এগুলো খুবই জনপ্রিয় সমীকরণ! তার সবচেয়ে সাধারণ আকারে, দ্বিঘাত সমীকরণটি এইরকম দেখায়:

উদাহরণ স্বরূপ:

এখানে ক =1; খ = 3; গ = -4

এখানে ক =2; খ = -0,5; গ = 2,2

এখানে ক =-3; খ = 6; গ = -18

হ্যাঁ, আপনি ধারণা পেতে পারেন...

দ্বিঘাত সমীকরণ কিভাবে সমাধান করবেন?আপনার যদি এই ফর্মে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ থাকে তবে সবকিছুই সহজ। জাদু শব্দটি মনে রাখবেন বৈষম্যমূলক . উচ্চ বিদ্যালয়ের বিরল শিক্ষার্থী এই শব্দটি শোনেননি! "বৈষম্যকারীর মাধ্যমে সিদ্ধান্ত নিন" বাক্যাংশটি আশ্বস্ত এবং আশ্বস্ত করে। কারণ বৈষম্যকারীর কাছ থেকে কৌশলের জন্য অপেক্ষা করার দরকার নেই! এটি ব্যবহার করা সহজ এবং ঝামেলামুক্ত। সুতরাং, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করার সূত্রটি এইরকম দেখাচ্ছে:

মূল চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তি একই বৈষম্যমূলক. আপনি দেখতে পারেন, x খুঁজে পেতে, আমরা ব্যবহার করি শুধুমাত্র a, b এবং c. সেগুলো. দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে সহগ। শুধু সাবধানে মান প্রতিস্থাপন a, b এবং cএই সূত্রে এবং বিবেচনা করুন। বিকল্প আপনার চিহ্ন দিয়ে! উদাহরণস্বরূপ, প্রথম সমীকরণের জন্য ক =1; খ = 3; গ=-4। এখানে আমরা লিখি:

উদাহরণ প্রায় সমাধান করা হয়েছে:

এখানেই শেষ.

এই সূত্র ব্যবহার করার সময় কি ক্ষেত্রে সম্ভব? মামলা আছে মাত্র তিনটি।

1. বৈষম্যকারী ইতিবাচক। এর মানে হল যে আপনি এটি থেকে মূল বের করতে পারেন। মূলটি ভাল বা খারাপভাবে বের করা হয়েছে কিনা তা অন্য প্রশ্ন। নীতিগতভাবে কি নিষ্কাশন করা হয় তা গুরুত্বপূর্ণ। তাহলে আপনার দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল আছে। দুই বিভিন্ন সমাধান.

2. বৈষম্যকারী শূন্য। তাহলে আপনার কাছে একটি সমাধান আছে। কঠোরভাবে বলতে গেলে, এটি একটি একক মূল নয়, কিন্তু দুটি অভিন্ন. কিন্তু এটি বৈষম্যের ক্ষেত্রে একটি ভূমিকা পালন করে, যেখানে আমরা বিষয়টিকে আরও বিশদে অধ্যয়ন করব।

3. বৈষম্যকারী নেতিবাচক। একটি নেতিবাচক সংখ্যা থেকে বর্গমূলনিষ্কাশন করা হয় না। আচ্ছা ঠিক আছে. এর মানে কোন সমাধান নেই।

সবকিছু খুব সহজ. এবং আপনি কি মনে করেন, আপনি ভুল যেতে পারেন না? আচ্ছা, হ্যাঁ, কিভাবে...
সবচেয়ে সাধারণ ভুল হল মানগুলির লক্ষণগুলির সাথে বিভ্রান্তি a, b এবং c. অথবা বরং, তাদের লক্ষণগুলির সাথে নয় (কোথায় বিভ্রান্ত হওয়ার আছে?), তবে শিকড় গণনার সূত্রে নেতিবাচক মানগুলির প্রতিস্থাপনের সাথে। এখানে, নির্দিষ্ট সংখ্যা সহ সূত্রের একটি বিস্তারিত রেকর্ড সংরক্ষণ করা হয়। গণনায় সমস্যা থাকলে, সুতরাং ইহা কর!

ধরুন আমাদের নিম্নলিখিত উদাহরণটি সমাধান করতে হবে:

এখানে a = -6; b = -5; c=-1

ধরা যাক আপনি জানেন যে আপনি প্রথমবার খুব কমই উত্তর পান।

আচ্ছা, অলস হবেন না। একটি অতিরিক্ত লাইন লিখতে 30 সেকেন্ড সময় লাগবে।এবং ত্রুটির সংখ্যা দ্রুত নেমে যাবে. তাই আমরা সমস্ত বন্ধনী এবং চিহ্ন সহ বিস্তারিত লিখি:

এটি এত সাবধানে আঁকা অবিশ্বাস্যভাবে কঠিন বলে মনে হচ্ছে। কিন্তু এটা শুধু মনে হয়. চেষ্টা করে দেখুন। ভাল, বা চয়ন. কোনটি ভাল, দ্রুত বা সঠিক? তাছাড়া আমি তোমাকে খুশি করব। কিছুক্ষণ পরে, এত যত্ন সহকারে সবকিছু আঁকার প্রয়োজন হবে না। এটা ঠিক আউট চালু হবে. বিশেষ করে যদি আপনি ব্যবহারিক কৌশল প্রয়োগ করেন, যা নীচে বর্ণিত হয়েছে। একগুচ্ছ বিয়োগ সহ এই মন্দ উদাহরণটি সহজে এবং ত্রুটি ছাড়াই সমাধান করা হবে!

তাই, দ্বিঘাত সমীকরণ কিভাবে সমাধান করা যায়বৈষম্যকারীর মাধ্যমে আমরা স্মরণ করি। বা শিখেছি, যেটাও ভালো। আপনি সঠিকভাবে সনাক্ত করতে পারেন a, b এবং c. আপনি কি জানেন কিভাবে মনোযোগ সহকারেএগুলিকে মূল সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন এবং মনোযোগ সহকারেফলাফল গণনা। তুমি কি সেটা বুঝেছিলে কীওয়ার্ডএখানে - মনোযোগ সহকারে?

যাইহোক, দ্বিঘাত সমীকরণগুলি প্রায়শই কিছুটা আলাদা দেখায়। উদাহরণস্বরূপ, এই মত:

এই অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ . তারাও বৈষম্যকারীর মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে। এখানে কি সমান তা আপনাকে সঠিকভাবে বের করতে হবে a, b এবং c.

বুঝতে পারলেন? প্রথম উদাহরণে a = 1; b = -4;ক গ? এটা একেবারেই নেই! আচ্ছা, হ্যাঁ, এটা ঠিক। গণিতে, এর অর্থ এটি c = 0 ! এখানেই শেষ. পরিবর্তে সূত্রে শূন্য প্রতিস্থাপন করুন গ,এবং সবকিছু আমাদের জন্য কাজ করবে। একইভাবে দ্বিতীয় উদাহরণ দিয়ে। শুধুমাত্র শূন্য আমাদের এখানে নেই সঙ্গে, ক খ !

কিন্তু অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ অনেক সহজে সমাধান করা যায়। কোনো বৈষম্য ছাড়াই। প্রথম অসম্পূর্ণ সমীকরণ বিবেচনা করুন। বাম পাশে কি করা যায়? আপনি বন্ধনী থেকে এক্স নিতে পারেন! এটা বের করা যাক.

এবং এই থেকে কি? আর ফ্যাক্ট যে শূন্য হলেই গুণনীয়ক সমান, আর কোনো গুণনীয়ক থাকলেই শূন্যের সমান! বিশ্বাস হচ্ছে না? আচ্ছা, তাহলে দুইটি নন-জিরো সংখ্যা নিয়ে আসি যেগুলোকে গুণ করলে শূন্য দেবে!
কাজ করে না? কিছু...
অতএব, আমরা আত্মবিশ্বাসের সাথে লিখতে পারি: x = 0, বা x = 4

সবকিছু। এগুলো হবে আমাদের সমীকরণের মূল। দুটোই মানানসই। মূল সমীকরণে তাদের যেকোনো একটি প্রতিস্থাপন করার সময়, আমরা সঠিক পরিচয় পাই 0 = 0। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বৈষম্যকারীর চেয়ে সমাধানটি অনেক সহজ।

দ্বিতীয় সমীকরণটিও সহজেই সমাধান করা যায়। আমরা ডান দিকে 9 সরানো. আমরা পেতে:

এটা 9 থেকে রুট নিষ্কাশন অবশেষ, এবং এটা. পাওয়া:

এছাড়াও দুটি শিকড় . x = +3 এবং x = -3.

এইভাবে সমস্ত অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা হয়। হয় বন্ধনী থেকে X কে বের করে, অথবা কেবল সংখ্যাটিকে ডানদিকে স্থানান্তর করে, তারপরে রুট বের করে।
এই পদ্ধতিগুলিকে বিভ্রান্ত করা অত্যন্ত কঠিন। কেবলমাত্র কারণ প্রথম ক্ষেত্রে আপনাকে X থেকে রুটটি বের করতে হবে, যা একরকম বোধগম্য নয় এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বন্ধনী থেকে বের করার কিছু নেই ...

এখন ব্যবহারিক কৌশলগুলি নোট করুন যা নাটকীয়ভাবে ত্রুটির সংখ্যা হ্রাস করে। যেগুলি অসাবধানতার কারণে হয় ... যার জন্য এটি তখন বেদনাদায়ক এবং অপমানজনক ...

প্রথম অভ্যর্থনা. একটি চতুর্মুখী সমীকরণকে একটি আদর্শ আকারে আনতে সমাধান করার আগে অলস হবেন না। এটার মানে কি?
ধরুন, কোন রূপান্তরের পরে, আপনি নিম্নলিখিত সমীকরণ পাবেন:

শিকড়ের সূত্র লিখতে তাড়াহুড়া করবেন না! আপনি প্রায় অবশ্যই মতভেদ মিশ্রিত হবে a, b এবং c.সঠিকভাবে উদাহরণ তৈরি করুন। প্রথমে, x বর্গক্ষেত্র, তারপর একটি বর্গক্ষেত্র ছাড়া, তারপর একটি বিনামূল্যে সদস্য. এটার মত:

এবং আবার, তাড়াহুড়ো করবেন না! x বর্গক্ষেত্রের আগের বিয়োগ আপনাকে অনেক বিরক্ত করতে পারে। এটা ভুলে যাওয়া সহজ... বিয়োগ পরিত্রাণ পান. কিভাবে? হ্যাঁ, আগের টপিকে যেমন শেখানো হয়েছে! আমাদের পুরো সমীকরণটিকে -1 দ্বারা গুণ করতে হবে। আমরা পেতে:

এবং এখন আপনি নিরাপদে শিকড়গুলির জন্য সূত্রটি লিখতে পারেন, বৈষম্যকারী গণনা করতে পারেন এবং উদাহরণটি সম্পূর্ণ করতে পারেন। নিজেই সিদ্ধান্ত নিন। আপনার শিকড় 2 এবং -1 দিয়ে শেষ হওয়া উচিত।

দ্বিতীয় অভ্যর্থনা।আপনার শিকড় পরীক্ষা করুন! ভিয়েতার উপপাদ্য অনুসারে। চিন্তা করবেন না, আমি সবকিছু ব্যাখ্যা করব! চেক করা হচ্ছে শেষ জিনিসসমীকরণটি. সেগুলো. যার দ্বারা আমরা শিকড়ের সূত্র লিখেছি। যদি (এই উদাহরণের মতো) সহগ a = 1সহজে শিকড় পরীক্ষা করুন. এটি তাদের সংখ্যাবৃদ্ধি করার জন্য যথেষ্ট। আপনার একটি বিনামূল্যের মেয়াদ পাওয়া উচিত, যেমন আমাদের ক্ষেত্রে -2. মনোযোগ দিন, 2 নয়, কিন্তু -2! বিনামূল্যে সদস্য আপনার সাইন দিয়ে . যদি এটি কাজ না করে তবে এর অর্থ তারা ইতিমধ্যে কোথাও গন্ডগোল করেছে। একটি ত্রুটি জন্য দেখুন. যদি এটি কাজ করে তবে আপনাকে শিকড়গুলি ভাঁজ করতে হবে। শেষ এবং চূড়ান্ত চেক। অনুপাত হওয়া উচিত খসঙ্গে বিপরীত চিহ্ন. আমাদের ক্ষেত্রে -1+2 = +1। একটি সহগ খ, যা x এর আগে, -1 এর সমান। সুতরাং, সবকিছু সঠিক!
এটা দুঃখের বিষয় যে এটি শুধুমাত্র উদাহরণগুলির জন্য এত সহজ যেখানে x বর্গক্ষেত্রটি একটি সহগ সহ খাঁটি a = 1।কিন্তু অন্তত এই ধরনের সমীকরণ চেক! ভুল কম হবে।

অভ্যর্থনা তৃতীয়. যদি আপনার সমীকরণে ভগ্নাংশের সহগ থাকে তবে ভগ্নাংশগুলি থেকে মুক্তি পান! পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত সাধারণ হর দ্বারা সমীকরণটি গুণ করুন। ভগ্নাংশের সাথে কাজ করার সময়, ত্রুটি, কিছু কারণে, আরোহণ ...

যাইহোক, আমি সহজ করার জন্য একগুচ্ছ বিয়োগ সহ একটি খারাপ উদাহরণের প্রতিশ্রুতি দিয়েছিলাম। অনুগ্রহ! এটা এখানে.

বিয়োগগুলিতে বিভ্রান্ত না হওয়ার জন্য, আমরা সমীকরণটিকে -1 দ্বারা গুণ করি। আমরা পেতে:

এখানেই শেষ! সিদ্ধান্ত মজা!

তাই এর বিষয় সংক্ষেপ করা যাক.

ব্যবহারিক টিপস:

1. সমাধান করার আগে, আমরা দ্বিঘাত সমীকরণটিকে আদর্শ আকারে নিয়ে আসি, এটি তৈরি করি অধিকার.

2. যদি বর্গক্ষেত্রে x-এর সামনে একটি ঋণাত্মক সহগ থাকে, তাহলে আমরা সম্পূর্ণ সমীকরণটিকে -1 দ্বারা গুণ করে তা দূর করি।

3. যদি সহগগুলি ভগ্নাংশ হয়, তাহলে আমরা সংশ্লিষ্ট ফ্যাক্টর দ্বারা সমগ্র সমীকরণকে গুণ করে ভগ্নাংশগুলিকে নির্মূল করি।

4. যদি x বর্গক্ষেত্র খাঁটি হয়, তাহলে এর সহগ একের সমান, সমাধানটি ভিয়েটার উপপাদ্য দ্বারা সহজেই পরীক্ষা করা যেতে পারে। এটা কর!

ভগ্নাংশ সমীকরণ। ODZ

আমরা সমীকরণ আয়ত্ত করতে অবিরত. আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে রৈখিক এবং দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে কাজ করতে হয়। শেষ দৃশ্য রয়ে গেছে ভগ্নাংশ সমীকরণ. অথবা তাদের অনেক বেশি কঠিন বলা হয় - ভগ্নাংশ মূলদ সমীকরণ. একই ধরনের.

ভগ্নাংশ সমীকরণ।

নাম থেকে বোঝা যায়, এই সমীকরণে অগত্যা ভগ্নাংশ থাকে। কিন্তু শুধু ভগ্নাংশ নয়, কিন্তু ভগ্নাংশ আছে যে হর মধ্যে অজানা. অন্তত একটিতে। উদাহরণ স্বরূপ:

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দেওয়া যাক, যদি শুধুমাত্র হর মধ্যে সংখ্যা, এগুলি রৈখিক সমীকরণ।

কিভাবে সিদ্ধান্ত নিতে হবে ভগ্নাংশ সমীকরণ? প্রথমত, ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে! এর পরে, সমীকরণটি, প্রায়শই, একটি রৈখিক বা চতুর্মুখীতে পরিণত হয়। এবং তারপরে আমরা জানি কী করতে হবে... কিছু ক্ষেত্রে, এটি একটি পরিচয়ে পরিণত হতে পারে, যেমন 5=5 বা একটি ভুল অভিব্যক্তি, যেমন 7=2। কিন্তু এটা খুব কমই ঘটে। নীচে আমি এটি উল্লেখ করব।

কিন্তু কিভাবে ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে!? খুব সহজ. সমস্ত একই অভিন্ন রূপান্তর প্রয়োগ করা।

আমাদের পুরো সমীকরণটিকে একই রাশি দ্বারা গুণ করতে হবে। যাতে সব ডিনোমিনেটর কমে যায়! সবকিছু অবিলম্বে সহজ হয়ে যাবে। আমি একটি উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করছি। ধরা যাক আমাদের সমীকরণটি সমাধান করতে হবে:

প্রাথমিক বিদ্যালয়ে তাদের কীভাবে পড়ানো হয়েছিল? আমরা সবকিছুকে এক দিকে স্থানান্তর করি, এটিকে কমন ডিনোমিনেটরে কমিয়ে দিই, ইত্যাদি। ভুলে যাও কিভাবে দুঃস্বপ্ন! আপনি যখন ভগ্নাংশের অভিব্যক্তি যোগ বা বিয়োগ করেন তখন আপনাকে এটি করতে হবে। অথবা অসমতা নিয়ে কাজ করুন। এবং সমীকরণে, আমরা অবিলম্বে উভয় অংশকে একটি অভিব্যক্তি দ্বারা গুণ করি যা আমাদের সমস্ত হরকে হ্রাস করার সুযোগ দেবে (অর্থাৎ, সংক্ষেপে, একটি সাধারণ হর দ্বারা)। এবং এই অভিব্যক্তি কি?

বাম দিকে, হর কমাতে, আপনাকে দ্বারা গুণ করতে হবে x+2. এবং ডানদিকে, 2 দ্বারা গুণ করা প্রয়োজন। সুতরাং, সমীকরণটি অবশ্যই দ্বারা গুণ করতে হবে 2(x+2). আমরা গুণ করি:

এটি ভগ্নাংশের স্বাভাবিক গুণ, তবে আমি বিস্তারিত লিখব:

দয়া করে মনে রাখবেন যে আমি এখনও বন্ধনী খুলছি না। (x + 2)! সুতরাং, সম্পূর্ণরূপে, আমি এটি লিখি:

বাম দিকে, এটি সম্পূর্ণরূপে হ্রাস করা হয় (x+2), এবং ডান 2. প্রয়োজন হিসাবে! কমানোর পর আমরা পাই রৈখিকসমীকরণটি:

যে কেউ এই সমীকরণ সমাধান করতে পারেন! x = 2.

আসুন আরেকটি উদাহরণ সমাধান করি, একটু বেশি জটিল:

যদি আমরা মনে করি যে 3 = 3/1, এবং 2x = 2x/ 1 লেখা যেতে পারে:

এবং আবার আমরা যা সত্যিই পছন্দ করি না তা থেকে পরিত্রাণ পাই - ভগ্নাংশ থেকে।

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে x দিয়ে হর কমাতে হলে ভগ্নাংশটিকে দিয়ে গুণ করতে হবে (x - 2). এবং ইউনিট আমাদের জন্য একটি বাধা নয়. আচ্ছা, এর গুন করা যাক। সব বাম পাশেএবং সবডান পাশ:

আবার বন্ধনী (x - 2)আমি প্রকাশ করি না। আমি সামগ্রিকভাবে বন্ধনী দিয়ে কাজ করি, যেন এক নম্বর! এটি সর্বদা করতে হবে, অন্যথায় কিছুই হ্রাস পাবে না।

গভীর সন্তুষ্টি একটি অনুভূতি সঙ্গে, আমরা কাটা (x - 2)এবং আমরা কোন ভগ্নাংশ ছাড়াই সমীকরণ পাই, একটি শাসক!

এবং এখন আমরা বন্ধনী খুলি:

আমরা অনুরূপগুলি দিই, সবকিছু বাম দিকে স্থানান্তর করি এবং পান:

শাস্ত্রীয় দ্বিঘাত সমীকরণ। কিন্তু সামনের মাইনাস ভালো নয়। আপনি সর্বদা -1 দ্বারা গুণ বা ভাগ করে এটি থেকে পরিত্রাণ পেতে পারেন। কিন্তু আপনি যদি উদাহরণটি ঘনিষ্ঠভাবে লক্ষ্য করেন, আপনি লক্ষ্য করবেন যে এই সমীকরণটিকে -2 দ্বারা ভাগ করাই উত্তম! এক ধাক্কায়, বিয়োগ অদৃশ্য হয়ে যাবে, এবং সহগগুলি আরও সুন্দর হয়ে উঠবে! আমরা -2 দিয়ে ভাগ করি। বাম দিকে - টার্ম দ্বারা টার্ম, এবং ডানদিকে - শুধু শূন্যকে -2, শূন্য দিয়ে ভাগ করুন এবং পান:

আমরা বৈষম্যের মাধ্যমে সমাধান করি এবং ভিয়েটা উপপাদ্য অনুযায়ী পরীক্ষা করি। আমরা পেতে x=1 এবং x=3. দুটি শিকড়।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, প্রথম ক্ষেত্রে, রূপান্তরের পরে সমীকরণটি রৈখিক হয়ে উঠেছে এবং এখানে এটি দ্বিঘাত। এটি ঘটে যে ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পাওয়ার পরে, সমস্ত x কমে যায়। 5=5 এর মত কিছু বাকি আছে। এটা মানে x যেকোনো কিছু হতে পারে. যাই হোক না কেন, তা এখনও কমে যাবে। এবং বিশুদ্ধ সত্য পান, 5=5। কিন্তু, ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পাওয়ার পরে, এটি সম্পূর্ণরূপে অসত্য হতে পারে, যেমন 2=7। এবং এই যে মানে কোন সমাধান! যে কোনো x দিয়ে, এটা মিথ্যা হতে দেখা যাচ্ছে।

বুঝতে পারলেন প্রধান উপায়সমাধান ভগ্নাংশ সমীকরণ? এটা সহজ এবং যৌক্তিক. আমরা আসল অভিব্যক্তি পরিবর্তন করি যাতে আমরা যা পছন্দ করি না তা অদৃশ্য হয়ে যায়। বা হস্তক্ষেপ করুন। AT এই ক্ষেত্রেএই ভগ্নাংশ হয়. আমরা সবার সাথে একই কাজ করব জটিল উদাহরণলগারিদম, সাইন এবং অন্যান্য ভয়াবহতা সহ। আমরা সর্বদাআমরা এই সব পরিত্রাণ পেতে হবে.

যাইহোক, আমাদের প্রয়োজনের দিকে মূল অভিব্যক্তি পরিবর্তন করতে হবে নিয়ম অনুযায়ী, হ্যাঁ... যার বিকাশ হচ্ছে গণিতে পরীক্ষার প্রস্তুতি। এখানে আমরা শিখছি।

এখন আমরা শিখব কিভাবে একটি বাইপাস করতে হয় পরীক্ষার প্রধান অ্যাম্বুশ! তবে আগে দেখা যাক আপনি এর মধ্যে পড়েন কি না?

একটি সহজ উদাহরণ নেওয়া যাক:

বিষয়টি ইতিমধ্যে পরিচিত, আমরা উভয় অংশ দ্বারা গুণ করি (x - 2), আমরা পেতে:

মনে রাখবেন, বন্ধনী সহ (x - 2)আমরা এক সঙ্গে কাজ, অবিচ্ছেদ্য অভিব্যক্তি!

এখানে আমি আর ডিনোমিনেটরের মধ্যে একটি লিখিনি, অমার্জিত ... এবং আমি হরগুলিতে বন্ধনী আঁকিনি, ছাড়া x - 2কিছুই নেই, আপনি আঁকতে পারবেন না। আমরা ছোট করি:

আমরা বন্ধনী খুলি, সবকিছু বাম দিকে সরান, আমরা অনুরূপ দিই:

আমরা সমাধান, পরীক্ষা, আমরা দুটি শিকড় পেতে. x = 2এবং x = 3. ফাইন।

ধরুন টাস্কটি রুট বা তাদের যোগফল লিখতে বলছে, যদি একাধিক রুট থাকে। আমরা কি লিখব?

আপনি যদি সিদ্ধান্ত নেন উত্তর 5, আপনি অ্যাম্বুশ করা হয়েছিল. এবং টাস্ক আপনার জন্য গণনা করা হবে না. তারা বৃথা কাজ করেছে... সঠিক উত্তর হল 3.

কি ব্যাপার?! এবং আপনি চেক করার চেষ্টা করুন. অজানা মান প্রতিস্থাপন করুন মূলউদাহরণ এবং যদি এ x = 3সবকিছু একসাথে আশ্চর্যজনকভাবে বৃদ্ধি পায়, আমরা 9 ​​= 9 পাই, তারপর দিয়ে x = 2শূন্য দিয়ে ভাগ! যা একেবারেই করা যায় না। মানে x = 2এটি একটি সমাধান নয়, এবং উত্তরে বিবেচনা করা হয় না। এটি তথাকথিত বহিরাগত বা অতিরিক্ত মূল। আমরা শুধু এটা বাতিল. শুধুমাত্র একটি চূড়ান্ত মূল আছে. x = 3.

তা কেমন করে?! আমি বিক্ষুব্ধ বিস্ময়কর শব্দ শুনতে. আমাদের শেখানো হয়েছিল যে একটি সমীকরণকে একটি রাশি দ্বারা গুণ করা যায়! এই একই রূপান্তর!

হ্যাঁ, অভিন্ন। এ ছোট অবস্থা- যে অভিব্যক্তি দ্বারা আমরা গুণ করি (ভাগ করি) - শূন্য থেকে ভিন্ন. এবং x - 2এ x = 2শূন্য সমান! তাই এটা সব ন্যায্য.

এবং এখন আমি কি করতে পারি?! অভিব্যক্তি দ্বারা গুণ না? আপনি কি প্রতিবার চেক করেন? আবার অস্পষ্ট!

শান্তভাবে! আতঙ্ক নেই!

এই কঠিন পরিস্থিতিতে, তিনটি জাদু চিঠি আমাদের রক্ষা করবে। আমি জানি আপনি কি ভাবছিলেন. ঠিক! এই ODZ . বৈধ মানের এলাকা।

এই গণিত প্রোগ্রাম আপনি করতে পারেন দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করুন.

প্রোগ্রামটি শুধুমাত্র সমস্যার উত্তর দেয় না, তবে সমাধান প্রক্রিয়াটি দুটি উপায়ে প্রদর্শন করে:
- বৈষম্যকারী ব্যবহার করে
- ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করে (যদি সম্ভব হয়)।

অধিকন্তু, উত্তরটি সঠিক প্রদর্শিত হয়, আনুমানিক নয়।
উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণের জন্য \(81x^2-16x-1=0\), উত্তরটি এই আকারে প্রদর্শিত হয়:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ এর পরিবর্তে: \(x_1 = 0.247; \ কোয়াড x_2 = -0.05 \)

এই প্রোগ্রাম উচ্চ বিদ্যালয় ছাত্রদের জন্য দরকারী হতে পারে সাধারণ শিক্ষার স্কুলজন্য প্রস্তুতি নিয়ন্ত্রণ কাজএবং পরীক্ষা, পরীক্ষার আগে জ্ঞান পরীক্ষা করার সময়, অভিভাবকরা গণিত এবং বীজগণিতের অনেক সমস্যার সমাধান নিয়ন্ত্রণ করে। অথবা হয়তো আপনার জন্য একজন গৃহশিক্ষক নিয়োগ করা বা নতুন পাঠ্যপুস্তক কেনা খুব ব্যয়বহুল? নাকি আপনি যত তাড়াতাড়ি সম্ভব এটি সম্পন্ন করতে চান? বাড়ির কাজগণিত বা বীজগণিত? এই ক্ষেত্রে, আপনি একটি বিশদ সমাধান সহ আমাদের প্রোগ্রামগুলি ব্যবহার করতে পারেন।

এইভাবে, আপনি আপনার বহন করতে পারেন নিজস্ব প্রশিক্ষণএবং/অথবা তাদের ছোট ভাই বা বোনদের প্রশিক্ষণ, যখন কাজের ক্ষেত্রে শিক্ষার স্তর বাড়ানো হয়।

আপনি যদি একটি বর্গাকার বহুপদে প্রবেশ করার নিয়মগুলির সাথে পরিচিত না হন তবে আমরা সুপারিশ করি যে আপনি সেগুলির সাথে নিজেকে পরিচিত করুন৷

একটি বর্গক্ষেত্র বহুপদী প্রবেশের নিয়ম

যে কোনো ল্যাটিন অক্ষর পরিবর্তনশীল হিসেবে কাজ করতে পারে।
যেমন: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ইত্যাদি।

সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ হিসাবে প্রবেশ করা যেতে পারে।
তদুপরি, ভগ্নাংশ সংখ্যাগুলি কেবল দশমিক আকারে নয়, একটি সাধারণ ভগ্নাংশের আকারেও প্রবেশ করা যেতে পারে।

দশমিক ভগ্নাংশ প্রবেশের নিয়ম।
দশমিক ভগ্নাংশে, পূর্ণসংখ্যা থেকে ভগ্নাংশকে একটি বিন্দু বা কমা দ্বারা পৃথক করা যেতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, আপনি প্রবেশ করতে পারেন দশমিকতাই: 2.5x - 3.5x^2

সাধারণ ভগ্নাংশ প্রবেশের নিয়ম।
শুধুমাত্র একটি পূর্ণ সংখ্যা একটি ভগ্নাংশের লব, হর এবং পূর্ণসংখ্যা হিসাবে কাজ করতে পারে।

হর নেতিবাচক হতে পারে না।

একটি সাংখ্যিক ভগ্নাংশ প্রবেশ করার সময়, লব একটি বিভাজন চিহ্ন দ্বারা হর থেকে পৃথক করা হয়: /
সম্পূর্ণ অংশএকটি অ্যাম্পারস্যান্ড দ্বারা ভগ্নাংশ থেকে পৃথক করা হয়েছে: &
ইনপুট: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ফলাফল: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

একটি অভিব্যক্তি প্রবেশ করার সময় আপনি বন্ধনী ব্যবহার করতে পারেন. এই ক্ষেত্রে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময়, প্রবর্তিত রাশিটি প্রথমে সরলীকৃত হয়।
যেমন: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

সমাধান

এটি পাওয়া গেছে যে এই কাজটি সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় কিছু স্ক্রিপ্ট লোড করা হয়নি এবং প্রোগ্রামটি কাজ নাও করতে পারে।
আপনি AdBlock সক্ষম হতে পারে.
এই ক্ষেত্রে, এটি নিষ্ক্রিয় করুন এবং পৃষ্ঠাটি রিফ্রেশ করুন।

আপনার ব্রাউজারে জাভাস্ক্রিপ্ট নিষ্ক্রিয় করা আছে।
সমাধান উপস্থিত হওয়ার জন্য জাভাস্ক্রিপ্ট সক্রিয় করা আবশ্যক।
আপনার ব্রাউজারে জাভাস্ক্রিপ্ট কীভাবে সক্ষম করবেন তার নির্দেশাবলী এখানে রয়েছে৷

কারণ অনেক লোক আছে যারা সমস্যার সমাধান করতে চায়, আপনার অনুরোধ সারিবদ্ধ।
কয়েক সেকেন্ড পরে, সমাধান নীচে প্রদর্শিত হবে।
অনুগ্রহপূর্বক অপেক্ষা করুন সেকেন্ড

আপনি যদি সমাধানে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেছি, তারপর আপনি ফিডব্যাক ফর্মে এটি সম্পর্কে লিখতে পারেন।
ভুলে যেও না কোন কাজটি নির্দেশ করুনআপনি কি সিদ্ধান্ত নিন ক্ষেত্রগুলিতে প্রবেশ করুন.

আমাদের গেম, পাজল, এমুলেটর:

তত্ত্ব একটি বিট.

দ্বিঘাত সমীকরণ এবং এর মূল। অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ

প্রতিটি সমীকরণ
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ফর্ম আছে
\(ax^2+bx+c=0, \)
যেখানে x একটি চলক, a, b এবং c হল সংখ্যা।
প্রথম সমীকরণে a = -1, b = 6 এবং c = 1.4, দ্বিতীয়টিতে a = 8, b = -7 এবং c = 0, তৃতীয়টিতে a = 1, b = 0 এবং c = 4/9। এই ধরনের সমীকরণ বলা হয় দ্বিঘাত সমীকরণ.

সংজ্ঞা।
দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 +bx+c=0 ফর্মের একটি সমীকরণ বলা হয়, যেখানে x একটি চলক, a, b এবং c কিছু সংখ্যা এবং \(a \neq 0 \)।

a, b এবং c সংখ্যাগুলি দ্বিঘাত সমীকরণের সহগ। a সংখ্যাটিকে প্রথম সহগ বলা হয়, সংখ্যাটি b দ্বিতীয় সহগ এবং সংখ্যাটি cটিকে ইন্টারসেপ্ট বলা হয়।

ax 2 +bx+c=0 ফর্মের প্রতিটি সমীকরণে, যেখানে \(a \neq 0 \), চলকের x এর বৃহত্তম শক্তি একটি বর্গক্ষেত্র। তাই নাম: দ্বিঘাত সমীকরণ।

উল্লেখ্য যে একটি দ্বিঘাত সমীকরণকে দ্বিতীয় ডিগ্রির সমীকরণও বলা হয়, কারণ এর বাম দিকটি দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদী।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যেখানে x 2 এর সহগ 1 হয় তাকে বলা হয় হ্রাস দ্বিঘাত সমীকরণ. উদাহরণস্বরূপ, প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণগুলি হল সমীকরণ
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

যদি দ্বিঘাত সমীকরণে ax 2 +bx+c=0 সহগগুলির মধ্যে অন্তত একটি b বা c শূন্যের সমান হয়, তাহলে এই ধরনের সমীকরণকে বলা হয় অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ. সুতরাং, সমীকরণ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 হল অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ। তাদের মধ্যে প্রথমটিতে b=0, দ্বিতীয়টিতে c=0, তৃতীয়টিতে b=0 এবং c=0।

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ তিন প্রকার:
1) ax 2 +c=0, যেখানে \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, যেখানে \(b \neq 0 \);
3) ax2=0।

এই ধরনের প্রতিটির সমীকরণের সমাধান বিবেচনা করুন।

\(c \neq 0 \) এর জন্য ax 2 +c=0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে, এর মুক্ত শব্দটি ডানদিকে স্থানান্তরিত হয় এবং সমীকরণের উভয় অংশকে a দ্বারা বিভক্ত করা হয়:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

যেহেতু \(c \neq 0 \), তারপর \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

যদি \(-\frac(c)(a)>0 \), তাহলে সমীকরণটির দুটি মূল আছে।

যদি \(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) এর জন্য ax 2 +bx=0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে এর বাম দিকে ফ্যাক্টরাইজ করুন এবং সমীকরণটি পান
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right। \Rightarrow \left\( \begin (অ্যারে)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right। \)

সুতরাং, \(b \neq 0 \) এর জন্য ax 2 +bx=0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বদা দুটি মূল থাকে।

ax 2 \u003d 0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ x 2 \u003d 0 সমীকরণের সমতুল্য এবং তাই একটি একক মূল 0 রয়েছে।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র

আসুন এখন বিবেচনা করি কিভাবে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা হয় যেখানে অজানা এবং মুক্ত পদ উভয়ের সহগই অশূন্য।

আমরা সাধারণ আকারে দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি এবং ফলস্বরূপ আমরা মূলের সূত্র পাই। তাহলে এই সূত্রটি যেকোন দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 +bx+c=0 সমাধান করুন

এর উভয় অংশকে a দ্বারা ভাগ করলে, আমরা সমতুল্য হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণ পাই
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

আমরা দ্বিপদীর বর্গকে হাইলাইট করে এই সমীকরণটি রূপান্তর করি:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

মূল অভিব্যক্তি বলা হয় একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারী ax 2 +bx+c=0 (ল্যাটিনে "বৈষম্যকারী" - পার্থক্যকারী)। এটি ডি অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, অর্থাৎ
\(D = b^2-4ac\)

এখন, বৈষম্যকারীর স্বরলিপি ব্যবহার করে, আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের জন্য সূত্রটি পুনরায় লিখি:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), যেখানে \(D= b^2-4ac \)

এটা স্পষ্ট যে:
1) যদি D>0 হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল আছে।
2) যদি D=0 হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি মূল আছে \(x=-\frac(b)(2a)\)।
3) যদি D এইভাবে, বৈষম্যকারীর মানের উপর নির্ভর করে, দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল থাকতে পারে (D > 0 এর জন্য), একটি মূল (D = 0 এর জন্য) বা কোন মূল নেই (D এর জন্য এই সূত্রটি ব্যবহার করে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময় , নিম্নলিখিত উপায়ে এটি করার পরামর্শ দেওয়া হয়:
1) বৈষম্যকারী গণনা করুন এবং এটিকে শূন্যের সাথে তুলনা করুন;
2) যদি বৈষম্যকারী ধনাত্মক বা শূন্যের সমান হয়, তাহলে মূল সূত্রটি ব্যবহার করুন, যদি বৈষম্যকারী নেতিবাচক হয়, তাহলে লিখুন যে কোন শিকড় নেই।

ভিয়েতার উপপাদ্য

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 -7x+10=0 এর মূল 2 এবং 5 আছে। মূলের যোগফল হল 7, এবং গুণফল হল 10। আমরা দেখতে পাচ্ছি যে মূলের যোগফল দ্বিতীয় সহগ থেকে নেওয়া হয়েছে। বিপরীত চিহ্ন, এবং মূলের গুণফল মুক্ত পদের সমান। যেকোন হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণের মূল রয়েছে এই বৈশিষ্ট্যটি।

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফল দ্বিতীয় সহগের সমান, বিপরীত চিহ্ন দিয়ে নেওয়া হয় এবং মূলের গুণফল মুক্ত পদের সমান।

সেগুলো. ভিয়েতার উপপাদ্যটি বলে যে হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণের x 1 এবং x 2 x 2 +px+q=0 এর মূল বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(অ্যারে) \right। \)

পদার্থবিদ্যা এবং গণিতের বিভিন্ন সমস্যা সমাধান করার সময় প্রায়ই দ্বিঘাত সমীকরণ দেখা যায়। এই প্রবন্ধে, আমরা বিবেচনা করব কীভাবে এই সমতাগুলিকে সর্বজনীন উপায়ে "বৈষম্যকারীর মাধ্যমে" সমাধান করা যায়। অর্জিত জ্ঞান ব্যবহারের উদাহরণও নিবন্ধে দেওয়া হয়েছে।

আমরা কি সমীকরণ সম্পর্কে কথা বলছি?

নীচের চিত্রটি একটি সূত্র দেখায় যেখানে x একটি অজানা পরিবর্তনশীল, এবং ল্যাটিন অক্ষর a, b, c কিছু পরিচিত সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে।

এই চিহ্নগুলির প্রতিটিকে একটি সহগ বলা হয়। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, "a" সংখ্যাটি বর্গাকার পরিবর্তনশীল x এর সামনে রয়েছে। এটি উপস্থাপিত অভিব্যক্তির সর্বাধিক শক্তি, এই কারণে এটিকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়। আরেকটি নাম প্রায়ই ব্যবহৃত হয়: একটি দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণ। মান a নিজেই একটি বর্গাকার সহগ (ভেরিয়েবলকে বর্গ করে), b হল একটি রৈখিক সহগ (এটি প্রথম ঘাতে উত্থাপিত চলকের পাশে), এবং অবশেষে c সংখ্যাটি একটি মুক্ত শব্দ।

উল্লেখ্য যে উপরের চিত্রে দেখানো সমীকরণের ফর্মটি একটি সাধারণ ক্লাসিক্যাল দ্বিঘাত রাশি। এটি ছাড়াও, অন্যান্য দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণ রয়েছে যেখানে b, c সহগ শূন্য হতে পারে।

যখন কাজটি বিবেচনাধীন সমতা সমাধানের জন্য সেট করা হয়, তখন এর অর্থ হল x পরিবর্তনশীলের এমন মানগুলি অবশ্যই পাওয়া যাবে যা এটিকে সন্তুষ্ট করবে। এখানে মনে রাখা প্রথম জিনিস পরের জিনিস: যেহেতু x এর সর্বোচ্চ শক্তি 2, তাহলে প্রদত্ত প্রকারঅভিব্যক্তিতে 2টির বেশি সমাধান থাকতে পারে না। এর মানে হল যে, সমীকরণটি সমাধান করার সময়, 2 x মান যা এটিকে সন্তুষ্ট করে তা পাওয়া যায়, তাহলে আপনি নিশ্চিত হতে পারেন যে কোন 3য় সংখ্যা নেই, x এর পরিবর্তে, সমতাও সত্য হবে। গণিতে একটি সমীকরণের সমাধানকে এর মূল বলা হয়।

দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ সমাধানের জন্য পদ্ধতি

এই ধরনের সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য তাদের সম্পর্কে কিছু তত্ত্বের জ্ঞান প্রয়োজন। বীজগণিত স্কুল কোর্সে, 4 বিবেচনা করা হয় ভিন্ন পদ্ধতিসমাধান তাদের তালিকা করা যাক:

• ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যবহার করে;
• নিখুঁত বর্গক্ষেত্রের জন্য সূত্র ব্যবহার করে;
• সংশ্লিষ্ট দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ প্রয়োগ করা;
• বৈষম্যমূলক সমীকরণ ব্যবহার করে।

প্রথম পদ্ধতির সুবিধা হ'ল এর সরলতা, তবে এটি সমস্ত সমীকরণে প্রয়োগ করা যায় না। দ্বিতীয় পদ্ধতিটি সর্বজনীন, তবে কিছুটা কষ্টকর। তৃতীয় পদ্ধতিটি তার স্বচ্ছতার দ্বারা আলাদা করা হয়, তবে এটি সর্বদা সুবিধাজনক এবং প্রযোজ্য নয়। এবং পরিশেষে, বৈষম্যমূলক সমীকরণটি ব্যবহার করা একটি সর্বজনীন এবং মোটামুটি সহজ উপায় যা একেবারে যেকোনো দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণের মূল খুঁজে বের করার। অতএব, নিবন্ধে আমরা শুধুমাত্র এটি বিবেচনা করব।

সমীকরণের শিকড় প্রাপ্তির সূত্র

চলুন চালু করা যাক সাধারণ দৃষ্টিকোণদ্বিঘাত সমীকরণ. আসুন এটি লিখি: a*x²+ b*x + c =0। এটি "বৈষম্যকারীর মাধ্যমে" সমাধানের পদ্ধতি ব্যবহার করার আগে, সমতা সর্বদা লিখিত আকারে হ্রাস করা উচিত। অর্থাৎ, এটিতে অবশ্যই তিনটি পদ থাকতে হবে (বা b বা c 0 হলে কম)।

উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি অভিব্যক্তি থাকে: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², তাহলে প্রথমে আপনাকে এর সমস্ত সদস্যকে সমতার একপাশে স্থানান্তর করতে হবে এবং একই সাথে x ভেরিয়েবল সম্বলিত পদগুলি যোগ করতে হবে। ক্ষমতা

এই ক্ষেত্রে, এই অপারেশনটি নিম্নলিখিত অভিব্যক্তির দিকে নিয়ে যাবে: -6*x²-4*x+8=0, যা সমীকরণ 6*x²+4*x-8=0 এর সমতুল্য (এখানে আমরা বাঁদিকে গুণ করেছি এবং -1 দ্বারা সমীকরণের ডান দিক)।

উপরের উদাহরণে, a = 6, b=4, c=-8। মনে রাখবেন যে বিবেচিত সমতার সমস্ত পদ সর্বদা নিজেদের মধ্যে যোগ করা হয়, তাই, যদি "-" চিহ্নটি উপস্থিত হয়, এর অর্থ হল সংশ্লিষ্ট সহগটি ঋণাত্মক, যেমন এই ক্ষেত্রে সংখ্যা c।

এই বিন্দুটি বিশ্লেষণ করার পরে, আমরা এখন নিজেই সূত্রের দিকে ফিরে যাই, যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় পাওয়া সম্ভব করে তোলে। এটা নীচের ছবির মত দেখায়.

এই অভিব্যক্তি থেকে দেখা যায়, এটি আপনাকে দুটি শিকড় পেতে দেয় (আপনার "±" চিহ্নের দিকে মনোযোগ দেওয়া উচিত)। এটি করার জন্য, এটিতে b, c এবং a সহগ প্রতিস্থাপন করা যথেষ্ট।

বৈষম্যমূলক ধারণা

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, একটি সূত্র দেওয়া হয়েছিল যা আপনাকে যেকোনো দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণ দ্রুত সমাধান করতে দেয়। এতে, র্যাডিকাল অভিব্যক্তিটিকে বৈষম্যকারী বলা হয়, অর্থাৎ, D \u003d b²-4 * a * c।

কেন সূত্রের এই অংশটি এককভাবে আলাদা করা হয় এবং এর কি নিজের নামও আছে? আসল বিষয়টি হল যে বৈষম্যকারী সমীকরণের তিনটি সহগকে একটি একক অভিব্যক্তিতে সংযুক্ত করে। শেষ ঘটনাএর মানে হল যে এটি সম্পূর্ণরূপে শিকড় সম্পর্কে তথ্য বহন করে, যা নিম্নলিখিত তালিকা দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে:

1. D>0: সমতার 2টি ভিন্ন সমাধান রয়েছে, উভয়ই বাস্তব সংখ্যা।
2. D=0: সমীকরণটির একটি মাত্র মূল আছে এবং এটি একটি বাস্তব সংখ্যা।

বৈষম্যকারী নির্ধারণের কাজ

বৈষম্যকারীকে কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তার একটি সহজ উদাহরণ এখানে। নিম্নলিখিত সমতা দেওয়া যাক: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7।

এটিকে স্ট্যান্ডার্ড ফর্মে নিয়ে আসা যাক, আমরা পাই: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, যেখান থেকে আমরা সমতায় আসি। : -2*x² +2*x-11 = 0। এখানে a=-2, b=2, c=-11।

এখন আপনি বৈষম্যকারীর জন্য নামযুক্ত সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84। ফলাফল সংখ্যা টাস্ক উত্তর. যেহেতু উদাহরণে বৈষম্যকারী শূন্যের চেয়ে কম, তাহলে আমরা বলতে পারি যে এই দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো প্রকৃত মূল নেই। এর সমাধান হবে শুধুমাত্র জটিল ধরনের সংখ্যা।

বৈষম্যের মাধ্যমে বৈষম্যের উদাহরণ

চলুন একটু ভিন্ন ধরনের সমস্যার সমাধান করা যাক: সমতা -3*x²-6*x+c = 0 দেওয়া হয়েছে। c এর এমন মান খুঁজে বের করা প্রয়োজন যার জন্য D>0।

এই ক্ষেত্রে, 3টির মধ্যে মাত্র 2টি সহগ জানা যায়, তাই বৈষম্যকারীর সঠিক মান গণনা করা সম্ভব হবে না, তবে এটি ইতিবাচক বলে জানা যায়। অসমতা কম্পাইল করার সময় আমরা শেষ সত্যটি ব্যবহার করি: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0। প্রাপ্ত অসমতার সমাধান ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়: c>-3।

এর ফলে সংখ্যা পরীক্ষা করা যাক. এটি করার জন্য, আমরা 2টি ক্ষেত্রে D গণনা করি: c=-2 এবং c=-4। সংখ্যা -2 ফলাফলকে সন্তুষ্ট করে (-2>-3), সংশ্লিষ্ট বৈষম্যকারীর মান থাকবে: D = 12>0। পরিবর্তে, সংখ্যা -4 অসমতাকে সন্তুষ্ট করে না (-4সুতরাং, -3 এর চেয়ে বড় যে কোনো সংখ্যা c শর্তটি পূরণ করবে।

একটি সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ

এখানে একটি সমস্যা যা শুধুমাত্র বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করার ক্ষেত্রেই নয়, সমীকরণের সমাধানেও রয়েছে। সমতা -2*x²+7-9*x = 0 এর জন্য শিকড় খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

এই উদাহরণে, বৈষম্যকারী নিম্নলিখিত মানের সমান: D = 81-4*(-2)*7= 137। তারপর সমীকরণের মূলগুলি নিম্নরূপ নির্ধারণ করা হয়: x = (9±√137)/(- 4)। এই সঠিক মান roots, যদি আপনি আনুমানিক রুট গণনা করেন, তাহলে আপনি সংখ্যাগুলি পাবেন: x \u003d -5.176 এবং x \u003d 0.676।

জ্যামিতিক সমস্যা

আসুন এমন একটি সমস্যার সমাধান করি যার জন্য কেবল বৈষম্যকারীর গণনা করার ক্ষমতা নয়, বিমূর্ত চিন্তার দক্ষতা এবং দ্বিঘাত সমীকরণগুলি কীভাবে লিখতে হয় সে সম্পর্কে জ্ঞানেরও প্রয়োজন হবে।

ববের একটি 5 x 4 মিটার ডুভেট ছিল। ছেলেটি পুরো ঘেরের চারপাশে সুন্দর ফ্যাব্রিকের একটি অবিচ্ছিন্ন ফালা সেলাই করতে চেয়েছিল। এই স্ট্রিপটি কত পুরু হবে যদি এটি জানা যায় যে ববের 10 m² ফ্যাব্রিক রয়েছে।

স্ট্রিপটির পুরুত্ব x m হতে দিন, তারপর কম্বলের লম্বা পাশ বরাবর ফ্যাব্রিকের ক্ষেত্রফল হবে (5 + 2 * x) * x, এবং যেহেতু 2টি লম্বা দিক আছে, আমাদের আছে: 2 * x * (5 + 2 * x)। সংক্ষিপ্ত দিকে, সেলাই করা কাপড়ের ক্ষেত্রফল হবে 4*x, যেহেতু এই দিকগুলির মধ্যে 2টি আছে, আমরা 8*x মান পাই। উল্লেখ্য যে লম্বা সাইডে 2*x যোগ করা হয়েছে কারণ সেই সংখ্যার দৈর্ঘ্য বেড়েছে। কম্বলে সেলাই করা ফ্যাব্রিকের মোট ক্ষেত্রফল 10 m²। অতএব, আমরা সমতা পাই: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0।

এই উদাহরণের জন্য, বৈষম্য হল: D = 18²-4*4*(-10) = 484। এর মূল হল 22। সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পছন্দসই মূলগুলি খুঁজে পাই: x = (-18±22)/(2* 4) = (- 5; 0.5)। স্পষ্টতই, দুটি মূলের মধ্যে, শুধুমাত্র 0.5 নম্বরটি সমস্যার অবস্থার জন্য উপযুক্ত।

এইভাবে, বব তার কম্বলে যে ফ্যাব্রিকটি সেলাই করে তা 50 সেন্টিমিটার চওড়া হবে।

আরও একটি সহজ উপায়ে. এটি করার জন্য, বন্ধনী থেকে z বের করুন। আপনি পাবেন: z(az + b) = 0। ফ্যাক্টরগুলি লেখা যেতে পারে: z=0 এবং az + b = 0, যেহেতু উভয়ের ফলাফল শূন্য হতে পারে। স্বরলিপি az + b = 0 এ, আমরা একটি ভিন্ন চিহ্ন দিয়ে দ্বিতীয়টিকে ডানদিকে নিয়ে যাই। এখান থেকে আমরা z1 = 0 এবং z2 = -b/а পাব। এগুলো মূলের শিকড়।

যদি az² + c \u003d 0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ সমীকরণ থাকে, তবে সেগুলিকে কেবলমাত্র সমীকরণের ডানদিকে মুক্ত শব্দটি স্থানান্তর করে পাওয়া যায়। এছাড়াও এর চিহ্ন পরিবর্তন করুন। আপনি রেকর্ড az² \u003d -s পাবেন। এক্সপ্রেস z² = -c/a। মূলটি নিন এবং দুটি সমাধান লিখুন - বর্গমূলের একটি ধনাত্মক এবং একটি ঋণাত্মক মান।

বিঃদ্রঃ

যদি সমীকরণে ভগ্নাংশের সহগ থাকে, তাহলে ভগ্নাংশগুলি থেকে পরিত্রাণ পেতে উপযুক্ত গুণক দ্বারা সমগ্র সমীকরণটিকে গুণ করুন।

দ্বিঘাত সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করা যায় তা জানা স্কুলছাত্রী এবং ছাত্র উভয়ের জন্যই প্রয়োজনীয়, কখনও কখনও এটি দৈনন্দিন জীবনে একজন প্রাপ্তবয়স্ককে সাহায্য করতে পারে। বিভিন্ন নির্দিষ্ট সিদ্ধান্ত পদ্ধতি আছে।

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

a*x^2+b*x+c=0 ফর্মের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সহগ x হল কাঙ্ক্ষিত চলক, a, b, c - সংখ্যাসূচক সহগ। মনে রাখবেন যে "+" চিহ্নটি "-" চিহ্নে পরিবর্তিত হতে পারে।

এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করতে হবে বা বৈষম্যকারী খুঁজে বের করতে হবে। সবচেয়ে সাধারণ উপায় হল বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করা, যেহেতু a, b, c এর কিছু মানের জন্য ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করা সম্ভব নয়।

বৈষম্যকারী (D) খুঁজে পেতে, আপনাকে অবশ্যই D=b^2 - 4*a*c সূত্রটি লিখতে হবে। D-এর মান শূন্যের চেয়ে বেশি, কম বা সমান হতে পারে। যদি D শূন্যের চেয়ে বড় বা কম হয়, তাহলে দুটি মূল থাকবে, যদি D = 0 হয়, তবে শুধুমাত্র একটি মূল অবশিষ্ট থাকে, আরও সঠিকভাবে, আমরা বলতে পারি যে এই ক্ষেত্রে D এর দুটি সমতুল্য মূল রয়েছে। সূত্রের মধ্যে পরিচিত সহগ a, b, c প্রতিস্থাপন করুন এবং মান গণনা করুন।

আপনি বৈষম্যকারী খুঁজে পাওয়ার পরে, x খুঁজে পেতে, সূত্রগুলি ব্যবহার করুন: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a যেখানে sqrt হল এর বর্গমূল নেওয়ার ফাংশন প্রদত্ত নম্বর. এই রাশিগুলি গণনা করার পরে, আপনি আপনার সমীকরণের দুটি মূল খুঁজে পাবেন, যার পরে সমীকরণটি সমাধান হিসাবে বিবেচিত হবে।

যদি D শূন্যের চেয়ে কম হয়, তবে এটির মূল রয়েছে। স্কুলে এই শাখাকার্যত অধ্যয়ন করা হয় না। বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের সচেতন হওয়া উচিত যে মূলের নীচে একটি নেতিবাচক সংখ্যা উপস্থিত হয়। আমরা কাল্পনিক অংশটিকে আলাদা করে এটি থেকে পরিত্রাণ পাই, অর্থাৎ, মূলের নীচে -1 সর্বদা কাল্পনিক উপাদান "i" এর সমান, যা একই ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে মূল দ্বারা গুণ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি D=sqrt(-20), রূপান্তরের পরে, D=sqrt(20)*i পাওয়া যায়। এই রূপান্তরের পরে, সমীকরণের সমাধানটি শিকড়ের একই অনুসন্ধানে হ্রাস করা হয়, যেমন উপরে বর্ণিত হয়েছে।

ভিয়েটার উপপাদ্য x(1) এবং x(2) মান নির্বাচন করে। দুটি অভিন্ন সমীকরণ ব্যবহার করা হয়: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. এবং অনেক গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টসহগ b এর পূর্বের চিহ্ন, মনে রাখবেন যে এই চিহ্নটি সমীকরণের বিপরীত। প্রথম নজরে, মনে হচ্ছে x(1) এবং x(2) গণনা করা খুব সহজ, কিন্তু সমাধান করার সময়, আপনি এই সত্যটির সম্মুখীন হবেন যে সংখ্যাগুলিকে সঠিকভাবে নির্বাচন করতে হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের উপাদান

গণিতের নিয়ম অনুসারে, কিছু ফ্যাক্টর করা যেতে পারে: (a + x (1)) * (b-x (2)) = 0, যদি আপনি গাণিতিক সূত্র ব্যবহার করে রূপান্তর করতে সক্ষম হন একই ভাবেএই দ্বিঘাত সমীকরণ, তারপর নির্দ্বিধায় উত্তর লিখুন। x(1) এবং x(2) বন্ধনীতে সন্নিহিত সহগগুলির সমান হবে, কিন্তু বিপরীত চিহ্ন সহ।

এছাড়াও, অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পর্কে ভুলবেন না। আপনি কিছু শর্ত অনুপস্থিত হতে পারে, যদি তাই হয়, তাহলে এর সমস্ত সহগ কেবলমাত্র শূন্যের সমান। যদি x^2 বা x এর আগে কিছুই না থাকে, তাহলে a এবং b সহগ 1 এর সমান।

অনেক অ-সাধারণ সূত্রের কারণে এই বিষয়টি প্রথমে জটিল মনে হতে পারে। শুধু দ্বিঘাত সমীকরণেই দীর্ঘ এন্ট্রি থাকে না, বৈষম্যের মাধ্যমে শিকড়ও পাওয়া যায়। মোট তিনটি নতুন সূত্র আছে। মনে রাখা খুব সহজ নয়। এই ধরনের সমীকরণের ঘন ঘন সমাধানের পরেই এটি সম্ভব। তাহলে সব সূত্র নিজেরাই মনে থাকবে।

দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ দৃশ্য

এখানে তাদের সুস্পষ্ট স্বরলিপি প্রস্তাবিত হয়, যখন বৃহত্তম ডিগ্রীটি প্রথমে লেখা হয়, এবং তারপরে - অবরোহী ক্রমে। প্রায়শই এমন পরিস্থিতি থাকে যখন শর্তগুলি আলাদা হয়ে যায়। তাহলে ভেরিয়েবলের ডিগ্রীর অবরোহ ক্রমে সমীকরণটি পুনরায় লিখলে ভালো হয়।

আসুন স্বরলিপি প্রবর্তন করি। তারা নীচের টেবিলে উপস্থাপন করা হয়.

যদি আমরা এই স্বরলিপিগুলি গ্রহণ করি, তাহলে সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণ নিম্নলিখিত স্বরলিপিতে হ্রাস পাবে।

তাছাড়া, সহগ a ≠ 0. এই সূত্রটিকে এক নম্বর দ্বারা চিহ্নিত করা যাক।

সমীকরণটি দেওয়া হলে উত্তরে কয়টি শিকড় থাকবে তা স্পষ্ট নয়। কারণ তিনটি বিকল্পের একটি সর্বদা সম্ভব:

• সমাধান দুটি শিকড় থাকবে;
• উত্তর হবে এক নম্বর;
• সমীকরণের কোনো শিকড় নেই।

এবং যখন সিদ্ধান্তটি শেষ পর্যন্ত আনা হয় না, তবে একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি পড়ে যাবে তা বোঝা কঠিন।

দ্বিঘাত সমীকরণের রেকর্ডের প্রকার

টাস্কে বিভিন্ন এন্ট্রি থাকতে পারে। তারা সবসময় মত দেখায় না সাধারণ সূত্রদ্বিঘাত সমীকরণ. কখনও কখনও এটি কিছু পদের অভাব হবে. উপরে যা লেখা হয়েছে তা সম্পূর্ণ সমীকরণ। আপনি যদি এটিতে দ্বিতীয় বা তৃতীয় পদটি সরিয়ে দেন তবে আপনি আলাদা কিছু পাবেন। এই রেকর্ডগুলিকে দ্বিঘাত সমীকরণও বলা হয়, শুধুমাত্র অসম্পূর্ণ।

তদুপরি, শুধুমাত্র সেই পদগুলি যার জন্য সহগ "b" এবং "c" অদৃশ্য হতে পারে। সংখ্যা "a" কোনো অবস্থাতেই শূন্যের সমান হতে পারে না। কারণ এই ক্ষেত্রে সূত্রটি একটি রৈখিক সমীকরণে পরিণত হয়। সমীকরণগুলির অসম্পূর্ণ ফর্মের সূত্রগুলি নিম্নরূপ হবে:

সুতরাং, কেবল দুটি প্রকার রয়েছে, সম্পূর্ণগুলি ছাড়াও, অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণও রয়েছে। প্রথম সূত্রটি দুই নম্বর এবং দ্বিতীয় নম্বর তিন হতে দিন।

বৈষম্যকারী এবং তার মান উপর শিকড় সংখ্যা নির্ভরতা

সমীকরণের মূল গণনা করার জন্য এই সংখ্যাটি অবশ্যই জানা থাকতে হবে। এটি সর্বদা গণনা করা যেতে পারে, দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র যাই হোক না কেন। বৈষম্যকারী গণনা করার জন্য, আপনাকে নীচে লেখা সমতা ব্যবহার করতে হবে, যার চার নম্বর থাকবে।

এই সূত্রে সহগগুলির মানগুলি প্রতিস্থাপন করার পরে, আপনি সংখ্যাগুলি পেতে পারেন বিভিন্ন লক্ষণ. যদি উত্তর হ্যাঁ হয়, তাহলে সমীকরণের উত্তর হবে দুটি ভিন্ন মূল। এ ঋণাত্মক সংখ্যাদ্বিঘাত সমীকরণের মূল অনুপস্থিত হবে। শূন্যের সমান হলে উত্তর হবে এক।

কিভাবে একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা হয়?

প্রকৃতপক্ষে, ইতিমধ্যে এই বিষয়টি বিবেচনা শুরু হয়েছে। কারণ প্রথমে আপনাকে বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করতে হবে। দ্বিঘাত সমীকরণের মূল রয়েছে এবং তাদের সংখ্যা জানা আছে তা স্পষ্ট করার পরে, আপনাকে ভেরিয়েবলগুলির জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে। যদি দুটি শিকড় থাকে তবে আপনাকে এমন একটি সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।

যেহেতু এটিতে "±" চিহ্ন রয়েছে, তাই দুটি মান থাকবে। বর্গমূল চিহ্নের অধীন অভিব্যক্তিটি বৈষম্যকারী। অতএব, সূত্রটি একটি ভিন্ন উপায়ে পুনর্লিখন করা যেতে পারে।

ফর্মুলা ফাইভ। একই রেকর্ড থেকে দেখা যায় যে যদি বৈষম্যকারী শূন্য হয়, তবে উভয় মূল একই মান গ্রহণ করবে।

যদি সিদ্ধান্ত হয় দ্বিঘাত সমীকরণএখনও কাজ করা হয়নি, বৈষম্যমূলক এবং পরিবর্তনশীল সূত্রগুলি প্রয়োগ করার আগে সমস্ত সহগগুলির মানগুলি লিখে রাখা ভাল। পরে এই মুহূর্ত অসুবিধা সৃষ্টি করবে না। তবে শুরুতেই বিভ্রান্তি রয়েছে।

একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ কিভাবে সমাধান করা হয়?

এখানে সবকিছু অনেক সহজ। এমনকি অতিরিক্ত সূত্রের প্রয়োজন নেই। এবং আপনার সেগুলির প্রয়োজন হবে না যা ইতিমধ্যে বৈষম্যকারী এবং অজানাদের জন্য লেখা হয়েছে।

প্রথমে, দুই নম্বর অসম্পূর্ণ সমীকরণটি বিবেচনা করুন। এই সমতায়, বন্ধনী থেকে অজানা মান বের করে রৈখিক সমীকরণটি সমাধান করার কথা, যা বন্ধনীতে থাকবে। উত্তরের দুটি মূল থাকবে। প্রথমটি অগত্যা শূন্যের সমান, কারণ ভেরিয়েবলেরই একটি ফ্যাক্টর রয়েছে। দ্বিতীয়টি একটি রৈখিক সমীকরণ সমাধান করে প্রাপ্ত হয়।

তিন নম্বরে থাকা অসম্পূর্ণ সমীকরণটি সমীকরণের বাম দিক থেকে ডানে স্থানান্তরিত করে সমাধান করা হয়। তারপর আপনাকে অজানার সামনে সহগ দিয়ে ভাগ করতে হবে। এটি শুধুমাত্র বর্গমূল বের করার জন্যই রয়ে গেছে এবং বিপরীত চিহ্ন দিয়ে এটি দুবার লিখতে ভুলবেন না।

নিম্নলিখিত কিছু ক্রিয়া রয়েছে যা আপনাকে শিখতে সাহায্য করে যে সমস্ত ধরণের সমতাগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় যা দ্বিঘাত সমীকরণে পরিণত হয়। তারা শিক্ষার্থীকে অসাবধানতার কারণে ভুল এড়াতে সাহায্য করবে। "কোয়াড্রিক ইকুয়েশন (গ্রেড 8)" বিস্তৃত বিষয় অধ্যয়ন করার সময় এই ত্রুটিগুলি দুর্বল গ্রেডের কারণ। পরবর্তীকালে, এই ক্রিয়াগুলি ক্রমাগত সম্পাদন করার প্রয়োজন হবে না। কারণ একটি স্থিতিশীল অভ্যাস থাকবে।

• প্রথমে আপনাকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে সমীকরণটি লিখতে হবে। অর্থাৎ, প্রথমে ভেরিয়েবলের বৃহত্তম ডিগ্রী সহ টার্ম, এবং তারপর - ডিগ্রী ছাড়া এবং শেষ - শুধুমাত্র একটি সংখ্যা।

• যদি একটি বিয়োগ সহগ "a" এর আগে উপস্থিত হয়, তাহলে এটি দ্বিঘাত সমীকরণ অধ্যয়ন করার জন্য একজন শিক্ষানবিশের জন্য কাজকে জটিল করে তুলতে পারে। এটা থেকে পরিত্রাণ পেতে ভাল. এই উদ্দেশ্যে, সমস্ত সমতাকে "-1" দ্বারা গুণ করতে হবে। এর মানে হল যে সমস্ত পদ বিপরীত চিহ্নে পরিবর্তন করবে।

• একই ভাবে, ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে সুপারিশ করা হয়। সহজভাবে সমীকরণটিকে উপযুক্ত গুণক দ্বারা গুণ করুন যাতে হরগুলি বাতিল হয়ে যায়।

উদাহরণ

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)।

প্রথম সমীকরণ: x 2 - 7x \u003d 0। এটি অসম্পূর্ণ, তাই সূত্র নম্বর দুই-এর জন্য বর্ণিত হিসাবে এটি সমাধান করা হয়েছে।

বন্ধনী করার পরে, এটি দেখা যাচ্ছে: x (x - 7) \u003d 0।

প্রথম রুটটি মানটি নেয়: x 1 \u003d 0। দ্বিতীয়টি রৈখিক সমীকরণ থেকে পাওয়া যাবে: x - 7 \u003d 0। এটা দেখা সহজ যে x 2 \u003d 7।

দ্বিতীয় সমীকরণ: 5x2 + 30 = 0. আবার অসম্পূর্ণ। তৃতীয় সূত্রের জন্য বর্ণিত হিসাবে শুধুমাত্র এটি সমাধান করা হয়।

সমীকরণের ডানদিকে 30 স্থানান্তর করার পরে: 5x 2 = 30। এখন আপনাকে 5 দ্বারা ভাগ করতে হবে। এতে দেখা যাচ্ছে: x 2 = 6। উত্তরগুলি হবে সংখ্যা: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

তৃতীয় সমীকরণ: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. এখানে এবং নীচে, দ্বিঘাত সমীকরণগুলির সমাধান একটি আদর্শ আকারে পুনরায় লেখার মাধ্যমে শুরু হবে: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0। এখন দ্বিতীয়টি ব্যবহার করার পালা কার্যকারী উপদেশএবং সবকিছুকে বিয়োগ এক দ্বারা গুণ করুন। এটি দেখা যাচ্ছে x 2 + 2x - 15 \u003d 0। চতুর্থ সূত্র অনুসারে, আপনাকে বৈষম্যকারী গণনা করতে হবে: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64। এটি একটি সঠিক নাম্বার. উপরে যা বলা হয়েছে তা থেকে দেখা যাচ্ছে যে সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে। তাদের পঞ্চম সূত্র অনুযায়ী গণনা করা প্রয়োজন। এটি অনুসারে, দেখা যাচ্ছে যে x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2। তারপর x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5।

চতুর্থ সমীকরণ x 2 + 8 + 3x \u003d 0 এতে রূপান্তরিত হয়: x 2 + 3x + 8 \u003d 0। এর বৈষম্য এই মানের সমান: -23। যেহেতু এই সংখ্যাটি নেতিবাচক, এই কাজের উত্তর হবে নিম্নলিখিত এন্ট্রি: "কোনও শিকড় নেই।"

পঞ্চম সমীকরণ 12x + x 2 + 36 = 0 নিম্নরূপ পুনরায় লিখতে হবে: x 2 + 12x + 36 = 0। বৈষম্যকারীর জন্য সূত্র প্রয়োগ করার পরে, শূন্য সংখ্যাটি পাওয়া যায়। এর মানে হল এর একটি রুট থাকবে, যথা: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6।

ষষ্ঠ সমীকরণ (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) এর জন্য রূপান্তর প্রয়োজন, যা বন্ধনী খোলার আগে আপনাকে অনুরূপ পদ আনতে হবে। প্রথমটির জায়গায় এমন একটি অভিব্যক্তি থাকবে: x 2 + 2x + 1। সমতার পরে, এই এন্ট্রিটি উপস্থিত হবে: x 2 + 3x + 2। অনুরূপ পদ গণনা করার পরে, সমীকরণটি ফর্মটি গ্রহণ করবে: x 2 - x \u003d 0. এটি অসম্পূর্ণ হয়ে গেছে। এর অনুরূপ ইতিমধ্যে একটু উচ্চ বিবেচনা করা হয়েছে. এর মূল হবে 0 এবং 1 সংখ্যা।