সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণের সাইন কত? ত্রিকোণমিতিক ফাংশন খোঁজার নিয়ম: সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট

এই নিবন্ধে, আমরা দেখাব কিভাবে ত্রিকোণমিতিতে কোণ এবং সংখ্যার সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যানজেন্টের সংজ্ঞা. এখানে আমরা নোটেশন নিয়ে কথা বলব, রেকর্ডের উদাহরণ দেব, গ্রাফিক ইলাস্ট্রেশন দেব। উপসংহারে, আমরা ত্রিকোণমিতি এবং জ্যামিতিতে সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞাগুলির মধ্যে একটি সমান্তরাল আঁকছি।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞা

স্কুলের গণিত কোর্সে সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের ধারণা কীভাবে গঠিত হয় তা অনুসরণ করা যাক। জ্যামিতি পাঠে, সমকোণী ত্রিভুজের একটি তীব্র কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞা দেওয়া হয়। এবং পরে ত্রিকোণমিতি অধ্যয়ন করা হয়, যা ঘূর্ণন কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট এবং সংখ্যাকে বোঝায়। আমরা এই সমস্ত সংজ্ঞা দিই, উদাহরণ দিই এবং প্রয়োজনীয় মন্তব্য দিই।

একটি সমকোণী ত্রিভুজে তীব্র কোণ

জ্যামিতির কোর্স থেকে, সমকোণী ত্রিভুজের একটি তীব্র কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞা জানা যায়। এগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত হিসাবে দেওয়া হয়। আমরা তাদের ফর্মুলেশন উপস্থাপন.

সংজ্ঞা।

সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের সাইনকর্ণের বিপরীত পায়ের অনুপাত।

সংজ্ঞা।

সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের কোসাইনকর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত।

সংজ্ঞা।

সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের স্পর্শকপার্শ্ববর্তী পায়ের বিপরীত পায়ের অনুপাত।

সংজ্ঞা।

সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের কোট্যাঞ্জেন্টবিপরীত পায়ের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত।

sine, cosine, tangent এবং cotangent-এর স্বরলিপিও সেখানে চালু করা হয়েছে - যথাক্রমে sin, cos, tg এবং ctg।

উদাহরণস্বরূপ, যদি ABC একটি সমকোণ C সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়, তাহলে তীব্র কোণ A-এর সাইন বিপরীত লেগ BC-এর অনুপাত AB-এর অনুপাতের সমান, অর্থাৎ sin∠A=BC/AB।

এই সংজ্ঞাগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর পরিচিত দৈর্ঘ্যের পাশাপাশি থেকে একটি তীব্র কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মানগুলি গণনা করা সম্ভব করে তোলে পরিচিত মানসাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যাঞ্জেন্ট এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য বের করতে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা জানতাম যে একটি সমকোণী ত্রিভুজে লেগ AC হল 3 এবং কর্ণ AB হল 7, তাহলে আমরা সংজ্ঞা অনুসারে তীব্র কোণ A-এর কোসাইন গণনা করতে পারি: cos∠A=AC/AB=3/7।

ঘূর্ণন কোণ

ত্রিকোণমিতিতে, তারা কোণটিকে আরও ব্যাপকভাবে দেখতে শুরু করে - তারা ঘূর্ণন কোণের ধারণাটি প্রবর্তন করে। ঘূর্ণনের কোণ, একটি তীব্র কোণের বিপরীতে, 0 থেকে 90 ডিগ্রী পর্যন্ত ফ্রেম দ্বারা সীমাবদ্ধ নয়, ডিগ্রীতে ঘূর্ণনের কোণ (এবং রেডিয়ানে) −∞ থেকে +∞ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে।

এই আলোকে, সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞাগুলি আর একটি তীব্র কোণ নয়, বরং ইচ্ছাকৃত মাত্রার একটি কোণ - ঘূর্ণনের কোণ। এগুলি বিন্দু A 1 এর x এবং y স্থানাঙ্কের মাধ্যমে দেওয়া হয়, যার মধ্যে তথাকথিত প্রাথমিক বিন্দু A(1, 0) অতিক্রম করার পরে এটি O বিন্দুর চারপাশে একটি কোণ α দিয়ে ঘোরে - একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার শুরু এবং ইউনিট বৃত্তের কেন্দ্র।

সংজ্ঞা।

ঘূর্ণন কোণের সাইনα হল বিন্দু A 1 এর অর্ডিনেট, অর্থাৎ sinα=y।

সংজ্ঞা।

ঘূর্ণন কোণের কোসাইনα কে A 1 বিন্দুর অবসিসা বলা হয়, অর্থাৎ cosα=x।

সংজ্ঞা।

ঘূর্ণন কোণের স্পর্শকα হল বিন্দু A 1 এর অর্ডিনেটের সাথে এর অ্যাবসিসা, অর্থাৎ tgα=y/x অনুপাত।

সংজ্ঞা।

ঘূর্ণন কোণের কোট্যাঞ্জেন্টα হল বিন্দু A 1 এর অর্ডিনেটের অ্যাবসিসা অনুপাত, অর্থাৎ ctgα=x/y।

সাইন এবং কোসাইন যেকোন কোণের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় α, যেহেতু আমরা সর্বদা একটি বিন্দুর অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট নির্ধারণ করতে পারি, যা α কোণের মাধ্যমে প্রারম্ভিক বিন্দুটিকে ঘোরানোর মাধ্যমে পাওয়া যায়। এবং স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট কোন কোণের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় না। স্পর্শকটি এমন কোণগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় না α যেখানে প্রাথমিক বিন্দুটি শূন্য অ্যাবসিসা (0, 1) বা (0, −1) সহ একটি বিন্দুতে যায় এবং এটি 90°+180° k , k∈Z কোণে সংঘটিত হয় (π /2+π k rad)। প্রকৃতপক্ষে, ঘূর্ণনের এই ধরনের কোণে, tgα=y/x প্রকাশের কোনো মানে হয় না, কারণ এতে শূন্য দ্বারা বিভাজন রয়েছে। কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য, এটি এমন কোণগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় না α যেখানে শুরু বিন্দুটি শূন্য অর্ডিনেট (1, 0) বা (−1, 0) সহ একটি বিন্দুতে যায় এবং এটি 180° k কোণের ক্ষেত্রে হয়। k ∈Z (π k rad)।

সুতরাং, সাইন এবং কোসাইন যেকোন ঘূর্ণন কোণের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, স্পর্শকটি 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ব্যতীত সমস্ত কোণের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং 180 ব্যতীত সমস্ত কোণের জন্য কোট্যানজেন্ট। °·k , k∈Z (π·k rad)।

আমাদের কাছে ইতিমধ্যে পরিচিত স্বরলিপিগুলি sin, cos, tg এবং ctg সংজ্ঞাগুলিতে উপস্থিত হয়, এগুলি ঘূর্ণন কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট বোঝাতেও ব্যবহৃত হয় (কখনও কখনও আপনি স্বরলিপি ট্যান এবং কোটেশন ট্যানজেন্টের সাথে সম্পর্কিত এবং কোটেশন খুঁজে পেতে পারেন। কোট্যাঞ্জেন্ট)। সুতরাং 30 ডিগ্রির ঘূর্ণন কোণের সাইনটি sin30° হিসাবে লেখা যেতে পারে, রেকর্ড tg(−24°17′) এবং ctgα ঘূর্ণন কোণের স্পর্শক −24 ডিগ্রি 17 মিনিট এবং ঘূর্ণন কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট α এর সাথে মিলে যায়। . মনে রাখবেন যে একটি কোণের রেডিয়ান পরিমাপ লেখার সময়, স্বরলিপি "rad" প্রায়শই বাদ দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, তিনটি পাই রেডের একটি ঘূর্ণন কোণের কোসাইন সাধারণত cos3 π দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

এই অনুচ্ছেদের উপসংহারে, এটি লক্ষণীয় যে ঘূর্ণন কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট সম্পর্কে কথা বলার সময়, "ঘূর্ণনের কোণ" বা "ঘূর্ণন" শব্দটি প্রায়শই বাদ দেওয়া হয়। অর্থাৎ, "ঘূর্ণন আলফার কোণের সাইন" বাক্যাংশের পরিবর্তে সাধারণত "আলফার কোণের সাইন" বাক্যাংশটি ব্যবহার করা হয়, বা এমনকি ছোট - "আলফার সাইন"। কোসাইন, এবং স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য।

আরও বলা যাক যে সমকোণী ত্রিভুজের একটি তীব্র কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞাগুলি 0 থেকে 90 পর্যন্ত ঘূর্ণন কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য দেওয়া সংজ্ঞাগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। ডিগ্রী. আমরা এটি প্রমাণ করব।

সংখ্যা

সংজ্ঞা।

একটি সংখ্যার সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট t হল টি রেডিয়ানে ঘূর্ণন কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সমান একটি সংখ্যা।

উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 8 π এর কোসাইন হল, সংজ্ঞা অনুসারে, সংখ্যা কোসাইন 8 π rad কোণ। এবং 8 π rad এ কোণের কোসাইন একের সমান, তাই, 8 π সংখ্যার কোসাইন 1 এর সমান।

একটি সংখ্যার সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞার জন্য আরেকটি পদ্ধতি রয়েছে। এটির মধ্যে রয়েছে যে প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা t কে আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্সকে কেন্দ্র করে ইউনিট বৃত্তের একটি বিন্দু বরাদ্দ করা হয়েছে এবং সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট এই বিন্দুর স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে নির্ধারিত হয়। আসুন আরও বিশদে এই বিষয়ে চিন্তা করি।

বৃত্তের বাস্তব সংখ্যা এবং বিন্দুর মধ্যে সঙ্গতি কীভাবে প্রতিষ্ঠিত হয় তা দেখাই:

• 0 নম্বরটি প্রারম্ভিক বিন্দু A(1, 0) নির্ধারণ করা হয়েছে;
• একটি ধনাত্মক সংখ্যা t একক বৃত্তের একটি বিন্দুর সাথে যুক্ত, যেটি আমরা পাব যদি আমরা বৃত্তের চারপাশে প্রারম্ভিক বিন্দু থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরি এবং t দৈর্ঘ্যের পথ দিয়ে যাই;
• ঋণাত্মক সংখ্যা t একক বৃত্তের একটি বিন্দুর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, যেখানে আমরা পৌঁছাব যদি আমরা বৃত্তের চারপাশে ঘড়ির কাঁটার দিক থেকে প্রারম্ভিক বিন্দুতে ঘুরি এবং দৈর্ঘ্যের একটি পথ দিয়ে যাই |t| .

এখন t সংখ্যার সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞায় যাওয়া যাক। আসুন আমরা ধরে নিই যে সংখ্যাটি বৃত্ত A 1 (x, y) এর একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায় (উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যাটি &pi/2; A 1 (0, 1) বিন্দুর সাথে মিলে যায়)।

সংজ্ঞা।

একটি সংখ্যার সাইন t হল একক বৃত্ত বিন্দুর অর্ডিনেট যা t সংখ্যাটির সাথে সম্পর্কিত, অর্থাৎ sint=y।

সংজ্ঞা।

একটি সংখ্যার কোসাইন t কে t সংখ্যার সাথে সংশ্লিষ্ট ইউনিট বৃত্তের বিন্দুর অবসিসা বলা হয়, অর্থাৎ, cost=x।

সংজ্ঞা।

একটি সংখ্যার স্পর্শক t হল সংখ্যা t, অর্থাৎ tgt=y/x এর সাথে সংশ্লিষ্ট ইউনিট বৃত্তের বিন্দুর অবসিসার সাথে অর্ডিনেটের অনুপাত। আরেকটি সমতুল্য সূত্রে, t সংখ্যাটির স্পর্শক হল এই সংখ্যার সাইনের সাথে কোসাইনের অনুপাত, অর্থাৎ tgt=sint/cost।

সংজ্ঞা।

একটি সংখ্যার কোট্যাঞ্জেন্ট t হল সংখ্যা t, অর্থাৎ ctgt=x/y এর সাথে সংশ্লিষ্ট ইউনিট বৃত্তের বিন্দুর অর্ডিনেটের সাথে abscissa এর অনুপাত। আরেকটি সূত্র নিম্নরূপ: সংখ্যা t এর স্পর্শক হল সংখ্যা t এর কোসাইন এবং সংখ্যা t এর সাইনের অনুপাত : ctgt=cost/sint।

এখানে আমরা লক্ষ্য করি যে প্রদত্ত সংজ্ঞাগুলি এই উপধারার শুরুতে দেওয়া সংজ্ঞার সাথে একমত। প্রকৃতপক্ষে, t সংখ্যার সাথে সংশ্লিষ্ট ইউনিট বৃত্তের বিন্দুটি t রেডিয়ানের একটি কোণের মাধ্যমে প্রারম্ভিক বিন্দুটিকে ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত বিন্দুর সাথে মিলে যায়।

এটি এই বিন্দু স্পষ্ট করা মূল্যবান. ধরা যাক আমাদের একটি sin3 এন্ট্রি আছে। কিভাবে বুঝবেন 3 নম্বরের সাইন নাকি 3 রেডিয়ানের ঘূর্ণন কোণের সাইন প্রশ্নে আছে? এটি সাধারণত প্রসঙ্গ থেকে পরিষ্কার হয়, অন্যথায় এটি সম্ভবত কোন ব্যাপার না।

কৌণিক এবং সংখ্যাসূচক যুক্তির ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে প্রদত্ত সংজ্ঞা অনুসারে, প্রতিটি ঘূর্ণন কোণ α একটি সু-সংজ্ঞায়িত মান sin α, সেইসাথে মান cos α এর সাথে মিলে যায়। উপরন্তু, 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ব্যতীত সমস্ত ঘূর্ণন কোণ tgα মানের সাথে মিলে যায় এবং 180° k , k∈Z (π k rad ) ctgα এর মান। তাই sinα, cosα, tgα এবং ctgα হল α কোণের ফাংশন। অন্য কথায়, এগুলি কৌণিক যুক্তির ফাংশন।

একইভাবে, আমরা একটি সংখ্যাসূচক আর্গুমেন্টের সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশন সম্পর্কে কথা বলতে পারি। প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা t সিন্টের একটি সু-সংজ্ঞায়িত মান, সেইসাথে খরচের সাথে মিলে যায়। উপরন্তু, π/2+π·k , k∈Z ছাড়া অন্য সব সংখ্যা tgt মানের সাথে মিলে যায় এবং π·k , k∈Z সংখ্যাগুলি ctgt মানের সাথে মিলে যায়।

সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনগুলোকে বলা হয় মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন.

এটি সাধারণত প্রসঙ্গ থেকে স্পষ্ট যে আমরা একটি কৌণিক যুক্তি বা একটি সংখ্যাগত যুক্তির ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির সাথে কাজ করছি। অন্যথায়, আমরা স্বাধীন চলকটিকে কোণের পরিমাপ (কোণ যুক্তি) এবং একটি সংখ্যাসূচক যুক্তি হিসাবে বিবেচনা করতে পারি।

যাইহোক, স্কুল প্রধানত সাংখ্যিক ফাংশন অধ্যয়ন করে, অর্থাৎ যে ফাংশনগুলির আর্গুমেন্ট, সেইসাথে তাদের সংশ্লিষ্ট ফাংশন মানগুলি হল সংখ্যা। অতএব, যদি আমরা ফাংশন সম্পর্কে কথা বলি, তাহলে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে সংখ্যাসূচক আর্গুমেন্টের ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করার পরামর্শ দেওয়া হয়।

জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি থেকে সংজ্ঞার সংযোগ

যদি আমরা 0 থেকে 90 ডিগ্রি পর্যন্ত ঘূর্ণনের কোণ α বিবেচনা করি, তাহলে ঘূর্ণন কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞার ত্রিকোণমিতির প্রসঙ্গে ডেটা সাইন, কোসাইনের সংজ্ঞাগুলির সাথে সম্পূর্ণ সামঞ্জস্যপূর্ণ। , সমকোণী ত্রিভুজের একটি তীব্র কোণের স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট, যা জ্যামিতি কোর্সে দেওয়া হয়েছে। এর প্রমাণ করা যাক.

আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সিতে একটি একক বৃত্ত আঁকুন। সূচনা বিন্দু A(1, 0) নোট করুন। 0 থেকে 90 ডিগ্রী পর্যন্ত একটি কোণ α দ্বারা ঘোরানো যাক, আমরা A 1 (x, y) বিন্দু পাব। চলুন বিন্দু A 1 থেকে অক্স অক্ষে লম্ব A 1 H নামাই।

এটি সহজে দেখা যায় যে একটি সমকোণী ত্রিভুজের কোণ A 1 OH কোণের সমানবাঁক α , এই কোণার সংলগ্ন পায়ের OH এর দৈর্ঘ্য A 1 বিন্দুর অবস্কিসার সমান, অর্থাৎ |OH|=x, কোণার A 1 H এর বিপরীত পায়ের দৈর্ঘ্য অর্ডিনেটের সমান বিন্দু A 1, অর্থাৎ |A 1 H|=y , এবং কর্ণ OA 1 এর দৈর্ঘ্য একের সমান, যেহেতু এটি একক বৃত্তের ব্যাসার্ধ। তারপর, জ্যামিতি থেকে সংজ্ঞা অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজ A 1 OH-এর একটি তীব্র কোণের সাইন বিপরীত পায়ের অনুপাতের অনুপাতের সমান, অর্থাৎ, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y। এবং ত্রিকোণমিতি থেকে সংজ্ঞা অনুসারে, ঘূর্ণন কোণের সাইন α বিন্দু A 1 এর অর্ডিনেটের সমান, অর্থাৎ sinα=y। এটি দেখায় যে একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের সাইনের সংজ্ঞাটি α এর জন্য 0 থেকে 90 ডিগ্রি পর্যন্ত ঘূর্ণন কোণের সাইনের সংজ্ঞার সমতুল্য।

একইভাবে, এটি দেখানো যেতে পারে যে একটি তীব্র কোণ α এর কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞাগুলি ঘূর্ণন কোণের কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞাগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

গ্রন্থপঞ্জি।

1. জ্যামিতি. 7-9 গ্রেড: পড়াশুনা। সাধারণ শিক্ষার জন্য প্রতিষ্ঠান / [এল. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev এবং অন্যান্য]। - 20 তম সংস্করণ। এম।: শিক্ষা, 2010। - 384 পি।: অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-023915-8।
2. পোগোরেলভ এ.ভি.জ্যামিতি: Proc. 7-9 কোষের জন্য। সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠান / এ.ভি. পোগোরেলভ। - 2য় সংস্করণ - এম.: এনলাইটেনমেন্ট, 2001। - 224 পি.: অসুস্থ। - আইএসবিএন 5-09-010803-X।
3. বীজগণিত এবং প্রাথমিক ফাংশন : টিউটোরিয়াল 9ম শ্রেণীর ছাত্রদের জন্য উচ্চ বিদ্যালয/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ডক্টর অফ ফিজিক্যাল অ্যান্ড ম্যাথমেটিকাল সায়েন্সেস ও.এন. গোলোভিন দ্বারা সম্পাদিত। - ৪র্থ সংস্করণ। মস্কো: শিক্ষা, 1969।
4. বীজগণিত: Proc. 9 কোষের জন্য। গড় স্কুল / ইউ। N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; এড. এস.এ. টেলিয়াকোভস্কি.- এম.: এনলাইটেনমেন্ট, 1990.- 272 পি.: ইল.- আইএসবিএন 5-09-002727-7
5. বীজগণিতএবং বিশ্লেষণের শুরু: Proc. 10-11 কোষের জন্য। সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠান / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn এবং অন্যান্য; এড. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. মর্ডকোভিচ এ.জি.বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের সূচনা। গ্রেড 10. 2 p. Ch. 1 এ: এর জন্য একটি টিউটোরিয়াল শিক্ষা প্রতিষ্ঠান(প্রোফাইল স্তর) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ৪র্থ সংস্করণ, যোগ করুন। - এম.: মেমোসিন, 2007। - 424 পি।: অসুস্থ। আইএসবিএন 978-5-346-00792-0।
7. বীজগণিতএবং গাণিতিক বিশ্লেষণের শুরু। গ্রেড 10: পাঠ্যপুস্তক। সাধারণ শিক্ষার জন্য প্রতিষ্ঠান: মৌলিক এবং প্রোফাইল। স্তর / [ইউ। M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; এড এ বি ঝিজচেঙ্কো। - 3য় সংস্করণ। - আই.: এডুকেশন, 2010। - 368 পি.: ইল। - আইএসবিএন 978-5-09-022771-1।
8. বাশমাকভ এম.আই.বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের শুরু: Proc. 10-11 কোষের জন্য। গড় বিদ্যালয় - 3য় সংস্করণ। - এম.: এনলাইটেনমেন্ট, 1993। - 351 পি।: অসুস্থ। - আইএসবিএন 5-09-004617-4।
9. গুসেভ ভি.এ., মর্ডকোভিচ এ.জি.গণিত (কারিগরি স্কুলে আবেদনকারীদের জন্য একটি ম্যানুয়াল): Proc. ভাতা।- এম।; ঊর্ধ্বতন স্কুল, 1984.-351 পি।, অসুস্থ।

এই নিবন্ধে, আমরা একটি ব্যাপক কটাক্ষপাত করা হবে. মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় হল সমতা যা একটি কোণের সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মধ্যে একটি সম্পর্ক স্থাপন করে এবং আপনাকে পরিচিত অন্যটির মাধ্যমে এই ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির যেকোনো একটি খুঁজে পেতে দেয়।

আমরা অবিলম্বে প্রধান ত্রিকোণমিতিক পরিচয় তালিকাভুক্ত করি, যা আমরা এই নিবন্ধে বিশ্লেষণ করব। আমরা সেগুলিকে একটি সারণীতে লিখি এবং নীচে আমরা এই সূত্রগুলির উদ্ভব এবং প্রয়োজনীয় ব্যাখ্যা দিই।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

এক কোণের সাইন এবং কোসাইনের মধ্যে সম্পর্ক

কখনও কখনও তারা উপরের টেবিলে তালিকাভুক্ত প্রধান ত্রিকোণমিতিক পরিচয় সম্পর্কে কথা বলে না, তবে একটি একক সম্পর্কে মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়ধরনের . এই সত্যের ব্যাখ্যাটি বেশ সহজ: মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় থেকে সমতা পাওয়া যায় এর উভয় অংশকে যথাক্রমে এবং সমতা দ্বারা ভাগ করার পরে এবং সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করুন। আমরা নিম্নলিখিত অনুচ্ছেদে আরও বিস্তারিতভাবে এটি আলোচনা করব।

অর্থাৎ, এটি সেই সমতা যা বিশেষ আগ্রহের, যাকে প্রধান ত্রিকোণমিতিক পরিচয়ের নাম দেওয়া হয়েছিল।

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় প্রমাণ করার আগে, আমরা এর সূত্রটি দিই: একটি কোণের সাইন এবং কোসাইনের বর্গের সমষ্টি একইভাবে একের সমান। এবার প্রমাণ করা যাক।

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় খুব প্রায়ই ব্যবহৃত হয় ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির রূপান্তর. এটি একটি কোণের সাইন এবং কোসাইনের বর্গক্ষেত্রের যোগফলকে একটি দ্বারা প্রতিস্থাপিত করার অনুমতি দেয়। প্রায়শই মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করা হয় না বিপরীত ক্রম: একক কিছু কোণের সাইন এবং কোসাইন এর বর্গের যোগফল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

সাইন এবং কোসাইন মাধ্যমে স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট

রূপের একটি কোণের সাইন এবং কোসাইন দিয়ে স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট সংযোগকারী পরিচয় এবং সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞা থেকে অবিলম্বে অনুসরণ করুন। প্রকৃতপক্ষে, সংজ্ঞা অনুসারে, সাইন হল y-এর অর্ডিনেট, কোসাইন হল x-এর অ্যাবসিসা, ট্যানজেন্ট হল অ্যাবসিসা-এর অর্ডিনেটের অনুপাত, অর্থাৎ, , এবং কোট্যাঞ্জেন্ট হল অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেটের অনুপাত, অর্থাৎ, .

পরিচয়ের এই স্পষ্টতার কারণে এবং প্রায়শই স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞাগুলি অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেটের অনুপাতের মাধ্যমে নয়, সাইন এবং কোসাইন অনুপাতের মাধ্যমে দেওয়া হয়। সুতরাং একটি কোণের স্পর্শক হল এই কোণের কোসাইনের সাথে সাইনের অনুপাত এবং কোট্যাঞ্জেন্ট হল কোসাইনের সাথে সাইনের অনুপাত।

এই বিভাগটি উপসংহারে, এটি উল্লেখ করা উচিত যে পরিচয় এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি বোঝা যায় এমন সমস্ত কোণগুলির জন্য ধরে রাখুন। সুতরাং সূত্রটি ব্যতীত অন্য কোনটির জন্য বৈধ (অন্যথায় হরটি শূন্য হবে, এবং আমরা শূন্য দ্বারা বিভাজন সংজ্ঞায়িত করিনি), এবং সূত্রটি - সবার জন্য, থেকে আলাদা, যেখানে z যেকোন।

স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মধ্যে সম্পর্ক

এমনকি আরো স্পষ্ট ত্রিকোণমিতিক পরিচয়আগের দুটির চেয়ে একটি পরিচয় হল ফর্মের একটি কোণের স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টকে সংযুক্ত করে . এটা স্পষ্ট যে এটি ব্যতীত অন্য যেকোন কোণের জন্য সঞ্চালিত হয়, অন্যথায় স্পর্শক বা কোট্যাঞ্জেন্ট সংজ্ঞায়িত করা হয় না।

সূত্রের প্রমাণ খুব সহজ. সংজ্ঞা অনুসারে এবং কোথা থেকে . প্রমাণটি একটু ভিন্নভাবে করা যেত। যেহেতু এবং , তারপর .

সুতরাং, একটি কোণের স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট, যেখানে তারা অর্থবোধ করে।

প্রাথমিকভাবে, সমকোণী ত্রিভুজে পরিমাণ গণনা করার প্রয়োজনের কারণে সাইন এবং কোসাইন উদ্ভূত হয়েছিল। এটি লক্ষ্য করা গেছে যে যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজে কোণগুলির ডিগ্রি পরিমাপের মান পরিবর্তন না করা হয়, তবে এই দিকগুলির দৈর্ঘ্য যতই পরিবর্তিত হোক না কেন, অনুপাতটি সর্বদা একই থাকে।

সাইন এবং কোসাইন ধারণাগুলি এভাবেই চালু হয়েছিল। একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের সাইন হল কর্ণের বিপরীত পায়ের অনুপাত এবং কোসাইন হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত।

কোসাইন এবং সাইনের উপপাদ্য

কিন্তু কোসাইন এবং সাইন শুধুমাত্র সমকোণী ত্রিভুজেই ব্যবহার করা যায় না। একটি স্থূল বা তীক্ষ্ণ কোণের মান খুঁজে বের করার জন্য, যেকোনো ত্রিভুজের পাশে, কোসাইন এবং সাইন উপপাদ্য প্রয়োগ করাই যথেষ্ট।

কোসাইন উপপাদ্যটি বেশ সহজ: "একটি ত্রিভুজের একটি বাহুর বর্গটি অন্য দুটি বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান, তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন দ্বারা এই বাহুর গুণফলের দ্বিগুণ বিয়োগ।"

সাইন উপপাদ্যের দুটি ব্যাখ্যা আছে: ছোট এবং প্রসারিত। ছোট অনুসারে: "একটি ত্রিভুজে, কোণগুলি বিপরীত বাহুর সমানুপাতিক।" এই উপপাদ্যটি প্রায়শই একটি ত্রিভুজ সম্পর্কে পরিধিকৃত বৃত্তের সম্পত্তির কারণে প্রসারিত হয়: "একটি ত্রিভুজে, কোণগুলি বিপরীত বাহুর সমানুপাতিক এবং তাদের অনুপাত বৃত্তের ব্যাসের সমান।"

ডেরিভেটিভস

একটি ডেরিভেটিভ হল একটি গাণিতিক টুল যা দেখায় যে একটি ফাংশন তার যুক্তিতে পরিবর্তনের ক্ষেত্রে কত দ্রুত পরিবর্তিত হয়। ডেরিভেটিভগুলি জ্যামিতিতে এবং বেশ কয়েকটি প্রযুক্তিগত শাখায় ব্যবহৃত হয়।

সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, আপনাকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলির ট্যাবুলার মানগুলি জানতে হবে: সাইন এবং কোসাইন। সাইনের ডেরিভেটিভ হল কোসাইন, এবং কোসাইনের ডেরিভেটিভ হল সাইন, কিন্তু একটি বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে।

গণিতে আবেদন

বিশেষ করে প্রায়ই, সাইন এবং কোসাইনগুলি সমকোণী ত্রিভুজ এবং তাদের সাথে সম্পর্কিত সমস্যাগুলি সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়।

সাইন এবং কোসাইনের সুবিধাও প্রযুক্তিতে প্রতিফলিত হয়। কোসাইন এবং সাইন উপপাদ্যগুলি ব্যবহার করে কোণ এবং বাহুগুলিকে মূল্যায়ন করা সহজ ছিল, জটিল আকার এবং বস্তুগুলিকে "সরল" ত্রিভুজগুলিতে ভেঙ্গে। প্রকৌশলীরা এবং, প্রায়শই আকৃতির অনুপাত এবং ডিগ্রি পরিমাপের গণনার সাথে কাজ করে, অ-টেবিল কোণগুলির কোসাইন এবং সাইনগুলি গণনা করতে অনেক সময় এবং প্রচেষ্টা ব্যয় করে।

তারপরে ব্র্যাডিস টেবিলগুলি উদ্ধারে এসেছিল, যেখানে সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং বিভিন্ন কোণের হাজার হাজার মান রয়েছে। AT সোভিয়েত সময়কিছু শিক্ষক তাদের ওয়ার্ডকে জোর করে ব্র্যাডিস টেবিলের পৃষ্ঠা মুখস্থ করতে বাধ্য করেন।

রেডিয়ান - চাপের কৌণিক মান, ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্য বরাবর বা 57.295779513 ° ডিগ্রী।

ডিগ্রী (জ্যামিতিতে) - একটি বৃত্তের 1/360 তম বা একটি সমকোণের 1/90 তম।

π = 3.141592653589793238462… (pi এর আনুমানিক মান)।

কোণগুলির জন্য কোসাইন টেবিল: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°

কোণ x (ডিগ্রীতে)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
কোণ x (রেডিয়ানে)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

প্রথমে, ব্যাসার্ধ 1 সহ একটি বৃত্ত বিবেচনা করুন এবং কেন্দ্রে (0;0)। যেকোনো αЄR-এর জন্য একজন ব্যাসার্ধ 0A আঁকতে পারে যাতে 0A এবং 0x অক্ষের মধ্যে কোণের রেডিয়ান পরিমাপ α এর সমান হয়। ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিককে ইতিবাচক বলে মনে করা হয়। ব্যাসার্ধ A এর শেষে স্থানাঙ্ক (a, b) থাকতে দিন।

সাইনের সংজ্ঞা

সংজ্ঞা: সংখ্যা b, বর্ণিত উপায়ে নির্মিত একক ব্যাসার্ধের অর্ডিনেটের সমান, sinα দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং α কোণের সাইন বলা হয়।

উদাহরণ: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

কোসাইন এর সংজ্ঞা

সংজ্ঞা: সংখ্যা a, একক ব্যাসার্ধের প্রান্তের অবসিসার সমান, বর্ণিত উপায়ে নির্মিত, cosα দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং α কোণের কোসাইন বলা হয়।

উদাহরণ: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

এই উদাহরণগুলি একক ব্যাসার্ধ এবং একক বৃত্তের শেষের স্থানাঙ্কগুলির পরিপ্রেক্ষিতে একটি কোণের সাইন এবং কোসাইনের সংজ্ঞা ব্যবহার করে। আরও দৃশ্যমান উপস্থাপনের জন্য, একটি ইউনিট বৃত্ত আঁকতে হবে এবং এতে সংশ্লিষ্ট বিন্দুগুলিকে একপাশে রেখে দিতে হবে, এবং তারপর সাইন গণনা করার জন্য কোসাইন এবং অর্ডিনেটগুলি গণনা করতে তাদের অ্যাবসিসাস গণনা করতে হবে।

স্পর্শক এর সংজ্ঞা

সংজ্ঞা: x≠π/2+πk, kЄZ এর জন্য tgx=sinx/cosx ফাংশনটিকে x কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট বলা হয়। x=π/2+πn, nЄZ ব্যতীত tgx ফাংশনের ডোমেইন হল সমস্ত বাস্তব সংখ্যা।

উদাহরণ: tg0 tgπ = 0 0 = 0

এই উদাহরণটি আগেরটির মতোই। একটি কোণের স্পর্শক গণনা করার জন্য, আপনাকে একটি বিন্দুর অর্ডিনেটকে তার অবসিসা দ্বারা ভাগ করতে হবে।

কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞা

সংজ্ঞা: x≠πk, kЄZ এ ctgx=cosx/sinx ফাংশনটিকে x কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট বলা হয়। ফাংশনের ডোমেন ctgx = - বিন্দু x=πk, kЄZ ছাড়া সব বাস্তব সংখ্যা।

একটি সাধারণ সমকোণী ত্রিভুজের একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন

এটি পরিষ্কার করার জন্য, কোসাইন, সাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট কী। y এবং কোণ সহ একটি সাধারণ সমকোণী ত্রিভুজের একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন পক্ষ a, b, c. হাইপোটেনাস c, পা a এবং b যথাক্রমে। কর্ণ c এবং লেগ b y এর মধ্যে কোণ।

সংজ্ঞা: y কোণের সাইন হল বিপরীত পায়ের অনুপাতের অনুপাত: সাইনি \u003d a / c

সংজ্ঞা:কোণ y এর কোসাইন হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত: сosy= v/s

সংজ্ঞা: y কোণের স্পর্শক হল পার্শ্ববর্তী পায়ের বিপরীত পায়ের অনুপাত: tgy = a / b

সংজ্ঞা:কোণ y এর কোট্যাঞ্জেন্ট হল বিপরীত পায়ের সাথে সংলগ্ন পায়ের অনুপাত: ctgy = in/a

সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনও বলা হয়। প্রতিটি কোণের নিজস্ব সাইন এবং কোসাইন রয়েছে। এবং প্রায় প্রত্যেকেরই নিজস্ব স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট রয়েছে।

এটা বিশ্বাস করা হয় যে যদি আমাদের একটি কোণ দেওয়া হয়, তাহলে এর সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট আমাদের কাছে পরিচিত! এবং বিপরীতভাবে. সাইন, বা অন্য কোন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দেওয়া, যথাক্রমে, আমরা কোণ জানি। এমনকি বিশেষ টেবিল তৈরি করা হয়েছে, যেখানে প্রতিটি কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশন লেখা হয়।

ত্রিকোণমিতি হল গণিতের একটি শাখা যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং জ্যামিতিতে তাদের ব্যবহার অধ্যয়ন করে। ত্রিকোণমিতির বিকাশ সেই সময়ে শুরু হয়েছিল প্রাচীন গ্রীস. মধ্যযুগে, মধ্যপ্রাচ্য ও ভারতের বিজ্ঞানীরা এই বিজ্ঞানের বিকাশে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছিলেন।

এই নিবন্ধটি ত্রিকোণমিতির মৌলিক ধারণা এবং সংজ্ঞাগুলির জন্য উত্সর্গীকৃত। এটি প্রধান ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির সংজ্ঞা নিয়ে আলোচনা করে: সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট। জ্যামিতি প্রসঙ্গে তাদের অর্থ ব্যাখ্যা করা হয়েছে এবং চিত্রিত করা হয়েছে।

Yandex.RTB R-A-339285-1

প্রাথমিকভাবে, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞা, যার যুক্তি একটি কোণ, একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়েছিল।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞা

একটি কোণের সাইন (sin α) হল এই কোণের বিপরীত পায়ের অনুপাত।

কোণের কোসাইন (cos α) হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত।

কোণের স্পর্শক (t g α) হল পার্শ্ববর্তী পায়ের বিপরীত পায়ের অনুপাত।

কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট (c t g α) হল বিপরীত পায়ের সাথে সন্নিহিত পায়ের অনুপাত।

এই সংজ্ঞাগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের জন্য দেওয়া হয়েছে!

একটি দৃষ্টান্ত দেওয়া যাক.

সমকোণ C সহ ত্রিভুজ ABC-এ, A কোণের সাইন লেগ BC থেকে কর্ণ AB-এর অনুপাতের সমান।

সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞাগুলি একটি ত্রিভুজের বাহুর পরিচিত দৈর্ঘ্য থেকে এই ফাংশনগুলির মানগুলি গণনা করা সম্ভব করে।

মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ!

সাইন এবং কোসাইন মানের পরিসীমা: -1 থেকে 1 পর্যন্ত। অন্য কথায়, সাইন এবং কোসাইন -1 থেকে 1 পর্যন্ত মান নেয়। স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট মানের পরিসীমা হল সম্পূর্ণ সংখ্যারেখা, অর্থাৎ এইগুলি ফাংশন যেকোনো মান নিতে পারে।

উপরে প্রদত্ত সংজ্ঞাগুলি তীব্র কোণগুলিকে বোঝায়। ত্রিকোণমিতিতে, ঘূর্ণন কোণের ধারণাটি চালু করা হয়, যার মান, একটি তীব্র কোণের বিপরীতে, 0 থেকে 90 ডিগ্রি ফ্রেমের দ্বারা সীমাবদ্ধ নয়। ডিগ্রী বা রেডিয়ানে ঘূর্ণনের কোণটি থেকে যে কোনও বাস্তব সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা হয় - ∞ থেকে + ∞।

এই প্রসঙ্গে, কেউ নির্বিচারে মাত্রার একটি কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্সকে কেন্দ্র করে একটি ইউনিট বৃত্ত কল্পনা করুন।

স্থানাঙ্ক (1 , 0) সহ প্রারম্ভিক বিন্দু A একক বৃত্তের কেন্দ্রের চারপাশে কিছু কোণ α দ্বারা ঘোরে এবং A 1 বিন্দুতে যায়। A 1 (x, y) বিন্দুর স্থানাঙ্কের মাধ্যমে সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে।

ঘূর্ণন কোণের সাইন (পাপ)

ঘূর্ণন কোণের সাইন α হল বিন্দু A 1 (x, y) এর অর্ডিনেট। sinα = y

ঘূর্ণন কোণের কোসাইন (cos)

ঘূর্ণন কোণের কোসাইন α হল বিন্দু A 1 (x, y) এর অবসিসা। cos α = x

ঘূর্ণন কোণের স্পর্শক (tg)

ঘূর্ণন কোণের স্পর্শক α হল বিন্দু A 1 (x, y) এর অর্ডিনেটের সাথে এর আবসিসা অনুপাত। t g α = y x

ঘূর্ণন কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট (ctg)

ঘূর্ণন কোণের কোট্যানজেন্ট α হল বিন্দু A 1 (x, y) এর অর্ডিনেটের অবসিসা অনুপাত। c t g α = x y

সাইন এবং কোসাইন ঘূর্ণনের যেকোনো কোণের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি যৌক্তিক, কারণ ঘূর্ণনের পরে বিন্দুর অবসিসা এবং অর্ডিনেট যে কোনও কোণে নির্ধারণ করা যেতে পারে। স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের ক্ষেত্রে পরিস্থিতি ভিন্ন। যখন ঘূর্ণনের পর বিন্দুটি শূন্য অবসিসা (0 , 1) এবং (0 , - 1) সহ বিন্দুতে যায় তখন স্পর্শক সংজ্ঞায়িত হয় না। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ট্যানজেন্ট t g α = y x এর অভিব্যক্তিটি কেবল অর্থপূর্ণ নয়, কারণ এতে শূন্য দ্বারা বিভাজন রয়েছে। কোট্যাঞ্জেন্টের সাথেও একই অবস্থা। পার্থক্য হল বিন্দুর অর্ডিনেট অদৃশ্য হয়ে যাওয়ার ক্ষেত্রে কোট্যাঞ্জেন্ট সংজ্ঞায়িত করা হয় না।

মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ!

সাইন এবং কোসাইন যেকোনো কোণের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় α।

স্পর্শকটি α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z) ছাড়া সমস্ত কোণের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়

α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) ব্যতীত সমস্ত কোণের জন্য কোট্যানজেন্ট সংজ্ঞায়িত করা হয়

ব্যবহারিক উদাহরণগুলি সমাধান করার সময়, "ঘূর্ণন কোণের সাইন α" বলবেন না। "ঘূর্ণনের কোণ" শব্দগুলি কেবল বাদ দেওয়া হয়েছে, যা বোঝায় যে প্রসঙ্গ থেকে এটি ইতিমধ্যেই স্পষ্ট যে কী ঝুঁকিতে রয়েছে।

সংখ্যা

একটি সংখ্যার সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞা এবং ঘূর্ণনের কোণ সম্পর্কে কী বলা যায়?

একটি সংখ্যার সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যাঞ্জেন্ট

একটি সংখ্যার সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট tএকটি সংখ্যা বলা হয়, যা যথাক্রমে সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্টের সমান tরেডিয়ান

উদাহরণস্বরূপ, 10 π এর সাইন 10 π rad এর ঘূর্ণন কোণের সাইনের সমান।

একটি সংখ্যার সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞার জন্য আরেকটি পদ্ধতি রয়েছে। এর আরো বিস্তারিত বিবেচনা করা যাক।

যেকোনো বাস্তব সংখ্যা tএকক বৃত্তের একটি বিন্দু আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উৎপত্তিস্থলের কেন্দ্রের সাথে চিঠিপত্রে রাখা হয়। সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট এই বিন্দুর স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

বৃত্তের শুরুর বিন্দু হল স্থানাঙ্ক (1 , 0) সহ বিন্দু A।

সঠিক নাম্বার t

ঋণাত্মক সংখ্যা tবৃত্তের চারপাশে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে সরে গেলে এবং t পাথটি অতিক্রম করলে প্রারম্ভিক বিন্দুটি যে বিন্দুতে চলে যাবে তার সাথে মিলে যায়।

এখন যেহেতু বৃত্তের সংখ্যা এবং বিন্দুর মধ্যে সংযোগ স্থাপন করা হয়েছে, আমরা সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সংজ্ঞায় এগিয়ে যাই।

T সংখ্যার সাইন (পাপ)

একটি সংখ্যার সাইন t- সংখ্যার সাথে সংশ্লিষ্ট ইউনিট বৃত্তের বিন্দুর অর্ডিনেট t. sin t = y

টি এর কোসাইন (cos)

একটি সংখ্যার কোসাইন t- সংখ্যার সাথে সংশ্লিষ্ট একক বৃত্তের বিন্দুর অবসিসা t. cos t = x

t এর স্পর্শক (tg)

একটি সংখ্যার স্পর্শক t- সংখ্যার সাথে সংশ্লিষ্ট ইউনিট বৃত্তের বিন্দুর অবসিসার সাথে অর্ডিনেটের অনুপাত t. t g t = y x = sin t cos t

পরবর্তী সংজ্ঞাগুলি এই বিভাগের শুরুতে দেওয়া সংজ্ঞার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং বিরোধিতা করে না। একটি সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত একটি বৃত্তের উপর বিন্দু t, কোণের মধ্য দিয়ে বাঁক নেওয়ার পরে প্রারম্ভিক বিন্দুটি যে বিন্দুতে যায় তার সাথে মিলে যায় tরেডিয়ান

কৌণিক এবং সংখ্যাসূচক যুক্তির ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

α কোণের প্রতিটি মান এই কোণের সাইন এবং কোসাইনের একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে মিলে যায়। ঠিক যেমন α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) স্পর্শকের একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে মিলে যায়। কোট্যানজেন্ট, উপরে উল্লিখিত হিসাবে, α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z) ছাড়া সকল α-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

আমরা বলতে পারি যে sin α , cos α , t g α , c t g α হল কোণ আলফার ফাংশন বা কৌণিক আর্গুমেন্টের ফাংশন।

একইভাবে, একটি সংখ্যাসূচক যুক্তির ফাংশন হিসাবে সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের কথা বলতে পারে। প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা tএকটি সংখ্যার সাইন বা কোসাইন এর একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে মিলে যায় t. π 2 + π · k , k ∈ Z ছাড়া অন্য সব সংখ্যা স্পর্শকের মানের সাথে মিলে যায়। π · k , k ∈ Z ব্যতীত সমস্ত সংখ্যার জন্য কোট্যানজেন্ট একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

ত্রিকোণমিতির মৌলিক কাজ

সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট হল মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের কোন যুক্তি (কৌণিক যুক্তি বা সংখ্যাসূচক যুক্তি) নিয়ে আমরা কাজ করছি সেই প্রসঙ্গ থেকে এটি সাধারণত পরিষ্কার হয়।

আসুন সংজ্ঞা এবং কোণ আলফা, যা 0 থেকে 90 ডিগ্রী পর্যন্ত পরিসীমার মধ্যে রয়েছে তার একেবারে শুরুতে ডেটাতে ফিরে আসি। সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের ত্রিকোণমিতিক সংজ্ঞাগুলি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত ব্যবহার করে প্রদত্ত জ্যামিতিক সংজ্ঞাগুলির সাথে সম্পূর্ণ একমত। দেখাই যাক।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমকে কেন্দ্র করে একটি ইউনিট বৃত্ত নিন। আসুন শুরু বিন্দু A (1, 0) কে 90 ডিগ্রী পর্যন্ত একটি কোণ দ্বারা ঘোরান এবং ফলস্বরূপ বিন্দু A 1 (x, y) থেকে x-অক্ষের লম্ব আঁকুন। ফলস্বরূপ সমকোণী ত্রিভুজে, A 1 O H কোণটি ঘূর্ণন কোণের সমান α, পায়ের O H এর দৈর্ঘ্য A 1 (x, y) বিন্দুর অবস্কিসার সমান। কোণের বিপরীত পায়ের দৈর্ঘ্য A 1 (x, y) বিন্দুর অর্ডিনেটের সমান এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য একের সমান, যেহেতু এটি একক বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

জ্যামিতি থেকে সংজ্ঞা অনুসারে, কোণের সাইন α বিপরীত পায়ের অনুপাতের অনুপাতের সমান।

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

এর মানে হল যে আকৃতির অনুপাতের মাধ্যমে একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণের সাইনের সংজ্ঞা α ঘূর্ণন কোণের সাইনের সংজ্ঞার সমতুল্য, যেখানে আলফা 0 থেকে 90 ডিগ্রির মধ্যে থাকে।

একইভাবে, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য সংজ্ঞার সঙ্গতি দেখানো যেতে পারে।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন