Le sinus et le cosinus sont nés à l’origine de la nécessité de calculer des quantités dans des triangles rectangles. Il a été remarqué que si la mesure en degrés des angles dans un triangle rectangle n'est pas modifiée, alors le rapport hauteur/largeur, quelle que soit la variation de longueur de ces côtés, reste toujours le même.
C’est ainsi qu’ont été introduites les notions de sinus et de cosinus. Le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse, et le cosinus est le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse.
Théorèmes des cosinus et des sinus
Mais les cosinus et les sinus peuvent être utilisés pour bien plus que de simples triangles rectangles. Pour trouver la valeur d'un angle ou d'un côté obtus ou aigu d'un triangle, il suffit d'appliquer le théorème des cosinus et des sinus.
Le théorème du cosinus est assez simple : « Le carré d’un côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double du produit de ces côtés et le cosinus de l’angle qui les sépare. »
Il existe deux interprétations du théorème des sinus : petite et étendue. Selon la mineure : « Dans un triangle, les angles sont proportionnels aux côtés opposés. » Ce théorème est souvent élargi en raison de la propriété du cercle circonscrit d'un triangle : « Dans un triangle, les angles sont proportionnels aux côtés opposés, et leur rapport est égal au diamètre du cercle circonscrit. »
Dérivés
La dérivée est un outil mathématique qui montre la rapidité avec laquelle une fonction change par rapport à un changement dans son argument. Les dérivés sont utilisés en géométrie et dans un certain nombre de disciplines techniques.
Lors de la résolution de problèmes, vous devez connaître les valeurs tabulaires des dérivées des fonctions trigonométriques : sinus et cosinus. La dérivée d'un sinus est un cosinus, et un cosinus est un sinus, mais avec un signe moins.
Application en mathématiques
Les sinus et les cosinus sont particulièrement souvent utilisés lors de la résolution triangles rectangles et les tâches qui leur sont associées.
La commodité des sinus et des cosinus se reflète également dans la technologie. Les angles et les côtés étaient faciles à évaluer à l’aide des théorèmes du cosinus et du sinus, décomposant les formes et les objets complexes en triangles « simples ». Les ingénieurs qui s'occupent souvent des calculs de rapports d'aspect et de mesures de degrés ont consacré beaucoup de temps et d'efforts à calculer les cosinus et les sinus des angles non tabulaires.
Puis les tables de Bradis sont venues à la rescousse, contenant des milliers de valeurs de sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles différents. DANS époque soviétique certains enseignants ont forcé leurs élèves à mémoriser des pages de tableaux de Bradis.
Le radian est la valeur angulaire d'un arc dont la longueur est égale au rayon ou 57,295779513° degrés.
Degré (en géométrie) - 1/360ème partie d'un cercle ou 1/90ème partie d'un angle droit.
π = 3,141592653589793238462… (valeur approximative de Pi).
Table des cosinus pour les angles : 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Angle x (en degrés) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Angle x (en radians) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3xπ/4 | 5 x π/6 | π | 7xπ/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3xπ/2 | 5 x π/3 | 7xπ/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| parce que x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Comment trouver le sinus ?
L'étude de la géométrie aide à développer la réflexion. Cette matière est obligatoirement incluse dans la formation scolaire. Dans la vie de tous les jours, la connaissance de ce sujet peut être utile, par exemple lors de la planification d'un appartement.
De l'histoire
Le cours de géométrie comprend également la trigonométrie, qui étudie les fonctions trigonométriques. En trigonométrie, nous étudions les sinus, les cosinus, les tangentes et les cotangentes des angles.
Mais sur ce moment Commençons par la chose la plus simple : le sinus. Examinons de plus près le tout premier concept : le sinus d'un angle en géométrie. Qu'est-ce que le sinus et comment le trouver ?
Le concept d'« angle sinusoïdal » et de sinusoïdes
Le sinus d'un angle est le rapport des valeurs du côté opposé et de l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Il s’agit d’une fonction trigonométrique directe, qui s’écrit « sin (x) », où (x) est l’angle du triangle.
Sur le graphique, le sinus d'un angle est indiqué par une onde sinusoïdale ayant ses propres caractéristiques. Une onde sinusoïdale ressemble à une ligne ondulée continue située dans certaines limites du plan de coordonnées. La fonction est impaire, donc elle est symétrique par rapport à 0 sur le plan des coordonnées (elle sort de l'origine des coordonnées).
Le domaine de définition de cette fonction est compris entre -1 et +1 sur le repère cartésien. La période de la fonction angle sinusoïdal est de 2 Pi. Cela signifie que tous les 2 Pi, le motif se répète et l'onde sinusoïdale traverse un cycle complet.
Équation d'onde sinusoïdale
- péché x = a/c
- où a est la branche opposée à l'angle du triangle
- c - hypoténuse d'un triangle rectangle
Propriétés du sinus d'un angle
- péché(x) = - péché(x). Cette fonctionnalité démontre que la fonction est symétrique et si les valeurs x et (-x) sont tracées sur le système de coordonnées dans les deux sens, alors les ordonnées de ces points seront opposées. Ils seront à égale distance les uns des autres.
- Une autre particularité de cette fonction est que le graphique de la fonction augmente sur le segment [- P/2 + 2 Pn] ; [P/2 + 2Pn], où n est n'importe quel nombre entier. Une diminution du graphique du sinus de l'angle sera observée sur le segment : [P/2 + 2Pn] ; [3P/2 + 2Pn].
- sin(x) > 0 lorsque x est dans la plage (2Пn, П + 2Пn)
- (X)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)
Les valeurs des sinus de l'angle sont déterminées à l'aide de tableaux spéciaux. De tels tableaux ont été créés pour faciliter le processus de calcul de formules et d'équations complexes. Il est facile à utiliser et contient non seulement les valeurs de la fonction sin(x), mais également les valeurs d'autres fonctions.
De plus, un tableau des valeurs standards de ces fonctions est inclus dans l'étude de la mémoire obligatoire, à l'instar d'une table de multiplication. Cela est particulièrement vrai pour les cours à tendance physique et mathématique. Dans le tableau vous pouvez voir les valeurs des principaux angles utilisés en trigonométrie : 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 et 360 degrés.
Il existe également un tableau définissant les valeurs des fonctions trigonométriques des angles non standards. Prendre l'avantage différents tableaux, vous pouvez facilement calculer le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente de certains angles.
Les équations sont faites avec des fonctions trigonométriques. Résoudre ces équations est facile si vous connaissez les plus simples identités trigonométriques et des réductions de fonctions, par exemple, telles que sin (P/2 + x) = cos (x) et autres. Un tableau distinct a également été établi pour ces réductions.
Comment trouver le sinus d'un angle
Lorsque la tâche consiste à trouver le sinus d'un angle et que, selon la condition, nous n'avons que le cosinus, la tangente ou la cotangente de l'angle, nous pouvons facilement calculer ce dont nous avons besoin en utilisant les identités trigonométriques.
- péché 2 x + cos 2 x = 1
À partir de cette équation, nous pouvons trouver à la fois le sinus et le cosinus, selon la valeur inconnue. On obtient une équation trigonométrique à une inconnue :
- péché 2 x = 1 - cos 2 x
- péché x = ± √ 1 - cos 2 x
- lit bébé 2 x + 1 = 1 / péché 2 x
A partir de cette équation, vous pouvez trouver la valeur du sinus, connaissant la valeur de la cotangente de l'angle. Pour simplifier, remplacez sin 2 x = y et vous obtenez une équation simple. Par exemple, la valeur de la cotangente est 1, alors :
- 1 + 1 = 1/an
- 2 = 1/an
- 2у = 1
- y = 1/2
Nous effectuons maintenant le remplacement inverse du lecteur :
- péché 2 x = ½
- péché x = 1 / √2
Puisque nous avons pris la valeur cotangente pour l'angle standard (45 0), les valeurs obtenues peuvent être vérifiées dans le tableau.
Si vous avez une valeur tangente et que vous devez trouver le sinus, une autre identité trigonométrique vous aidera :
- tg x * ctg x = 1
Il s'ensuit que :
- lit bébé x = 1 / bronzage x
Afin de trouver le sinus d'un angle non standard, par exemple 240 0, vous devez utiliser des formules de réduction d'angle. On sait que π correspond à 180 0. Ainsi, nous exprimons notre égalité en utilisant des angles standards par expansion.
- 240 0 = 180 0 + 60 0
Nous devons trouver ce qui suit : sin (180 0 + 60 0). En trigonométrie, il existe des formules de réduction qui dans ce cas sera utile. Voici la formule :
- péché (π + x) = - péché (x)
Ainsi, le sinus d’un angle de 240 degrés est égal à :
- péché (180 0 + 60 0) = - péché (60 0) = - √3/2
Dans notre cas, x = 60 et P, respectivement, 180 degrés. Nous avons trouvé la valeur (-√3/2) dans le tableau des valeurs des fonctions d'angles standards.
De cette façon, des angles non standard peuvent être élargis, par exemple : 210 = 180 + 30.
Identités trigonométriques- ce sont des égalités qui établissent une relation entre sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un angle, ce qui permet de retrouver n'importe laquelle de ces fonctions, à condition qu'une autre soit connue.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Cette identité dit que la somme du carré du sinus d'un angle et du carré du cosinus d'un angle est égale à un, ce qui permet en pratique de calculer le sinus d'un angle lorsque son cosinus est connu et vice versa. .
Lors de la conversion d'expressions trigonométriques, cette identité est très souvent utilisée, ce qui permet de remplacer la somme des carrés du cosinus et du sinus d'un angle par un et également d'effectuer l'opération de remplacement dans l'ordre inverse.
Trouver la tangente et la cotangente en utilisant le sinus et le cosinus
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Ces identités sont formées à partir des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. Après tout, si vous le regardez, alors par définition l'ordonnée y est un sinus et l'abscisse x est un cosinus. Alors la tangente sera égale au rapport \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), et le rapport \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- sera une cotangente.
Ajoutons que ce n'est que pour les angles \alpha pour lesquels les fonctions trigonométriques qu'ils contiennent ont un sens que les identités seront valables, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Par exemple: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) est valable pour les angles \alpha différents de \frac(\pi)(2)+\piz, UN ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pour un angle \alpha autre que \pi z, z est un nombre entier.
Relation entre tangente et cotangente
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Cette identité n'est valable que pour les angles \alpha différents de \frac(\pi)(2) z. Sinon, ni la cotangente ni la tangente ne seront déterminées.
Sur la base des points ci-dessus, nous obtenons que tg \alpha = \frac(y)(x), UN ctg \alpha=\frac(x)(y). Il s'ensuit que tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Ainsi, la tangente et la cotangente du même angle auquel elles ont un sens sont des nombres mutuellement inverses.
Relations entre tangente et cosinus, cotangente et sinus
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- la somme du carré de la tangente de l'angle \alpha et 1 est égale à l'inverse du carré du cosinus de cet angle. Cette identité est valable pour tous les \alpha autres que \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- la somme de 1 et du carré de la cotangente de l'angle \alpha est égale à l'inverse du carré du sinus de l'angle donné. Cette identité est valable pour tout \alpha différent de \pi z.
Exemples de solutions à des problèmes utilisant des identités trigonométriques
Exemple 1
Trouver \sin \alpha et tg \alpha si \cos \alpha=-\frac12 Et \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Afficher la solution
Solution
Les fonctions \sin \alpha et \cos \alpha sont liées par la formule \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Substituer dans cette formule \cos \alpha = -\frac12, on a:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Cette équation a 2 solutions :
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Par condition \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Au deuxième trimestre, le sinus est positif, donc \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Afin de trouver tan \alpha, on utilise la formule tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Exemple 2
Trouver \cos \alpha et ctg \alpha si et \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Afficher la solution
Solution
Substitution dans la formule \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 numéro donné \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), on a \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Cette équation a deux solutions \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Par condition \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Au deuxième trimestre, le cosinus est négatif, donc \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Afin de trouver ctg \alpha , on utilise la formule ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Nous connaissons les valeurs correspondantes.
ctg \alpha = -\frac12 : \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Données de référence pour la tangente (tg x) et la cotangente (ctg x). Définition géométrique, propriétés, graphiques, formules. Tableau des tangentes et cotangentes, dérivées, intégrales, développements en séries. Expressions via des variables complexes. Connexion avec les fonctions hyperboliques.
Définition géométrique
|BD| - longueur de l'arc de cercle de centre au point A.
α est l'angle exprimé en radians.
Tangente ( bronzage α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche opposée |BC| à la longueur de la jambe adjacente |AB| .
Cotangente ( ctg α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de la jambe opposée |BC| .
Tangente
Où n- entier.
Dans la littérature occidentale, la tangente est notée comme suit :
.
;
;
.
Graphique de la fonction tangente, y = tan x
Cotangente
Où n- entier.
Dans la littérature occidentale, la cotangente est notée comme suit :
.
Les notations suivantes sont également acceptées :
;
;
.
Graphique de la fonction cotangente, y = ctg x
Propriétés de la tangente et de la cotangente
Périodicité
Fonctions y = tgx et y = ctg x sont périodiques de période π.
Parité
Les fonctions tangente et cotangente sont impaires.
Zones de définition et de valeurs, croissantes, décroissantes
Les fonctions tangente et cotangente sont continues dans leur domaine de définition (voir preuve de continuité). Les principales propriétés de la tangente et de la cotangente sont présentées dans le tableau ( n- entier).
| y = tgx | y = ctg x | |
| Portée et continuité | ||
| Plage de valeurs | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| En augmentant | - | |
| Descendant | - | |
| Extrêmes | - | - |
| Des zéros, y = 0 | ||
| Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x = 0 | y = 0 | - |
Formules
Expressions utilisant le sinus et le cosinus
;
;
;
;
;
Formules pour la tangente et la cotangente à partir de la somme et de la différence
Les formules restantes sont faciles à obtenir, par exemple
Produit de tangentes
Formule pour la somme et la différence des tangentes
Ce tableau présente les valeurs des tangentes et des cotangentes pour certaines valeurs de l'argument. 
Expressions utilisant des nombres complexes
Expressions via des fonctions hyperboliques
;
;
Dérivés
; .
.
Dérivée du nième ordre par rapport à la variable x de la fonction :
.
Dériver des formules pour la tangente > > > ; pour cotangente > > >
Intégrales
Extensions de série
Pour obtenir le développement de la tangente en puissances de x, il faut prendre plusieurs termes du développement en série entière pour les fonctions péché x Et parce que x et divisez ces polynômes les uns par les autres, . Cela produit les formules suivantes.
À .
à .
Où Bn- Les nombres de Bernoulli. Ils sont déterminés soit à partir de la relation de récurrence :
;
;
Où .
Ou selon la formule de Laplace : 
Fonctions inverses
Les fonctions inverses de tangente et de cotangente sont respectivement arctangente et arccotangente.
Arctangente, arctg
, Où n- entier.
Arccotangente, arcctg
, Où n- entier.
Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.
G. Korn, Manuel de mathématiques pour travailleurs scientifiques et ingénieurs, 2012.
Nous commencerons notre étude de la trigonométrie par le triangle rectangle. Définissons ce que sont le sinus et le cosinus, ainsi que la tangente et la cotangente d'un angle aigu. Ce sont les bases de la trigonométrie.
Rappelons que angle droit est un angle égal à 90 degrés. En d’autres termes, un demi-angle tourné.
Angle vif- moins de 90 degrés.
Angle obtus- supérieur à 90 degrés. Par rapport à un tel angle, « obtus » n'est pas une insulte, mais un terme mathématique :-)
Traçons un triangle rectangle. Un angle droit est généralement noté . Veuillez noter que le côté opposé au coin est indiqué par la même lettre, seulement en petite. Ainsi, le côté opposé à l'angle A est désigné .
L'angle est indiqué par le correspondant lettre grecque.
Hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté opposé à l'angle droit.
Jambes- les côtés opposés aux angles aigus.
La jambe située à l'opposé de l'angle s'appelle opposé(par rapport à l'angle). L'autre jambe, qui se trouve sur l'un des côtés de l'angle, s'appelle adjacent.
Sinus L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :
Cosinus angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
Tangente angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport du côté opposé au côté adjacent :
Autre définition (équivalente) : la tangente d'un angle aigu est le rapport du sinus de l'angle à son cosinus :
Cotangente angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport du côté adjacent au côté opposé (ou, ce qui revient au même, le rapport du cosinus au sinus) :
Notez les relations de base pour le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente ci-dessous. Ils nous seront utiles pour résoudre des problèmes.
Prouvons-en quelques-uns.
D'accord, nous avons donné des définitions et des formules écrites. Mais pourquoi avons-nous encore besoin de sinus, cosinus, tangente et cotangente ?
Nous savons que la somme des angles de tout triangle est égale à.
Nous connaissons la relation entre des soirées triangle rectangle. C'est le théorème de Pythagore : .
Il s'avère qu'en connaissant deux angles dans un triangle, vous pouvez trouver le troisième. Connaissant les deux côtés d’un triangle rectangle, vous pouvez trouver le troisième. Cela signifie que les angles ont leur propre rapport et que les côtés ont le leur. Mais que faire si dans un triangle rectangle vous connaissez un angle (sauf l'angle droit) et un côté, mais que vous devez trouver les autres côtés ?
C’est ce que les gens rencontraient autrefois lorsqu’ils dressaient des cartes de la région et du ciel étoilé. Après tout, il n’est pas toujours possible de mesurer directement tous les côtés d’un triangle.
Sinus, cosinus et tangente - on les appelle aussi fonctions d'angle trigonométrique- donner des relations entre des soirées Et coins Triangle. Connaissant l'angle, vous pouvez retrouver toutes ses fonctions trigonométriques à l'aide de tableaux spéciaux. Et connaissant les sinus, cosinus et tangentes des angles d’un triangle et d’un de ses côtés, vous pouvez trouver le reste.
Nous dresserons également un tableau des valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour les « bons » angles de à.
Veuillez noter les deux tirets rouges dans le tableau. Aux valeurs d'angle appropriées, la tangente et la cotangente n'existent pas.
Examinons plusieurs problèmes de trigonométrie de la banque de tâches FIPI.
1. Dans un triangle, l’angle est , . Trouver .
Le problème est résolu en quatre secondes.
Parce que le , .
2. Dans un triangle, l'angle est , , . Trouver .
Trouvons-le en utilisant le théorème de Pythagore.
Le problème est résolu.
Souvent, dans les problèmes, il y a des triangles avec des angles et ou avec des angles et. Retenez par cœur les ratios de base pour eux !
Pour un triangle avec des angles et la branche opposée à l'angle en est égale à la moitié de l'hypoténuse.
Un triangle avec des angles et est isocèle. Dans celui-ci, l'hypoténuse est plusieurs fois plus grande que la jambe.
Nous avons examiné des problèmes pour résoudre des triangles rectangles, c'est-à-dire trouver des côtés ou des angles inconnus. Mais ce n'est pas tout! DANS Options d'examen d'État unifié en mathématiques, il existe de nombreux problèmes dans lesquels apparaît le sinus, le cosinus, la tangente ou la cotangente de l'angle externe d'un triangle. Plus d’informations à ce sujet dans le prochain article.
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