Note. Cela fait partie d'une leçon avec des problèmes de géométrie (section parallélogramme). Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas ici, écrivez-le sur le forum. Pour indiquer l'action de récupération racine carrée lors de la résolution de problèmes, le symbole √ ou sqrt() est utilisé, avec l'expression radicale indiquée entre parenthèses.
Matériel théorique
Explications sur les formules pour trouver l'aire d'un parallélogramme :
- L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de la longueur d'un de ses côtés et de la hauteur de ce côté.
- L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de ses deux côtés adjacents et du sinus de l'angle qui les sépare
- L'aire d'un parallélogramme est égale à la moitié du produit de ses diagonales et du sinus de l'angle qui les sépare
Problèmes pour trouver l'aire d'un parallélogramme
Tâche.Dans un parallélogramme, la hauteur la plus courte et le côté le plus court sont respectivement de 9 cm et la racine de 82. La plus grande diagonale est de 15 cm. Trouvez l'aire du parallélogramme.
Solution.
Notons BK la plus petite hauteur du parallélogramme ABCD abaissé du point B à la plus grande base AD.
Trouvons la valeur de la jambe triangle rectangle ABK formé d'une hauteur plus petite, d'un côté plus petit et d'une partie d'une base plus grande. D'après le théorème de Pythagore :
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
Prolongons la base supérieure du parallélogramme BC et abaissons-lui la hauteur AN à partir de sa base inférieure. AN = BK comme les côtés du rectangle ANBK. Trouvons la branche NC du triangle rectangle résultant ANC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12
Trouvons maintenant la plus grande base BC du parallélogramme ABCD.
BC = NC - Nouveau-Brunswick
Prenons en compte que NB = AK comme côtés du rectangle, alors
BC = 12 - 1 = 11
L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de la base et de la hauteur de cette base.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Répondre: 99 cm2 .
Tâche
Dans le parallélogramme ABCD, la perpendiculaire BO tombe sur la diagonale AC. Trouvez l'aire du parallélogramme si AO=8, OC=6 et BO=4.
Solution.
Déposons une autre perpendiculaire DK sur la diagonale AC.
En conséquence, les triangles AOB et DKC, COB et AKD sont égaux deux à deux. L'un des côtés est le côté opposé du parallélogramme, l'un des angles est une droite, puisqu'il est perpendiculaire à la diagonale, et l'un des angles restants est une croix interne située pour les côtés parallèles du parallélogramme et la sécante. diagonale.
Ainsi, l'aire du parallélogramme est égale à l'aire des triangles indiqués. C'est
Parallèle = 2S AOB + 2S BOC
L'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié du produit des jambes. Où
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm2
Répondre: 56 cm2 .
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Lors de la résolution de problèmes sur ce sujet, sauf propriétés de base parallélogramme et les formules correspondantes, vous pouvez retenir et appliquer les éléments suivants :
- La bissectrice d'un angle intérieur d'un parallélogramme en coupe un triangle isocèle
- Les bissectrices des angles intérieurs adjacents à l'un des côtés d'un parallélogramme sont perpendiculaires entre elles
- Les bissectrices provenant des coins intérieurs opposés d'un parallélogramme sont parallèles entre elles ou se trouvent sur la même ligne droite
- La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses côtés
- L'aire d'un parallélogramme est égale à la moitié du produit des diagonales et du sinus de l'angle qui les sépare
Considérons des problèmes dans lesquels ces propriétés sont utilisées.
Tache 1.
La bissectrice de l'angle C du parallélogramme ABCD coupe le côté AD au point M et le prolongement du côté AB au-delà du point A au point E. Trouvez le périmètre du parallélogramme si AE = 4, DM = 3.
Solution.
1. Le triangle CMD est isocèle. (Propriété 1). Donc CD = MD = 3 cm.
2. Le triangle EAM est isocèle.
Donc AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Périmètre ABCD = 20 cm.
Répondre. 20 cm.
Tâche 2.
Les diagonales sont tracées dans un quadrilatère convexe ABCD. On sait que les aires des triangles ABD, ACD, BCD sont égales. Montrer que ce quadrilatère est un parallélogramme.
Solution.
1. Soit BE la hauteur du triangle ABD, CF la hauteur du triangle ACD. Puisque, selon les conditions du problème, les aires des triangles sont égales et qu'ils ont une base commune AD, alors les hauteurs de ces triangles sont égales. ÊTRE = CF.
2. BE, CF sont perpendiculaires à AD. Les points B et C sont situés du même côté par rapport à la droite AD. ÊTRE = CF. Par conséquent, la droite BC || ANNONCE. (*)
3. Soit AL l'altitude du triangle ACD, BK l'altitude du triangle BCD. Puisque, selon les conditions du problème, les aires des triangles sont égales et qu'ils ont une base commune CD, alors les hauteurs de ces triangles sont égales. AL = BK.
4. AL et BK sont perpendiculaires à CD. Les points B et A sont situés du même côté par rapport à la droite CD. AL = BK. Par conséquent, la droite AB || CD (**)
5. Des conditions (*), (**) il s'ensuit que ABCD est un parallélogramme.
Répondre. Éprouvé. ABCD est un parallélogramme.
Tâche 3.
Sur les côtés BC et CD du parallélogramme ABCD, les points M et H sont marqués respectivement de telle sorte que les segments BM et HD se coupent au point O ;<ВМD = 95 о,
Solution.
1. Dans le triangle DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Dans un triangle rectangle DHC Alors<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Mais CD = AB. Alors AB : HD = 2 : 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Réponse : AB : HD = 2 : 1,<А = <С = 30 о, <В = Tâche 4. L'une des diagonales d'un parallélogramme de longueur 4√6 fait un angle de 60° avec la base, et la deuxième diagonale fait un angle de 45° avec la même base. Trouvez la deuxième diagonale. Solution.
1. AO = 2√6. 2. Nous appliquons le théorème des sinus au triangle AOD. AO/péché D = OD/péché A. 2√6/péché 45 o = OD/péché 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Réponse : 12.
Tâche 5. Pour un parallélogramme de côtés 5√2 et 7√2, le plus petit angle entre les diagonales est égal au plus petit angle du parallélogramme. Trouvez la somme des longueurs des diagonales. Solution.
Soit d 1, d 2 les diagonales du parallélogramme, et l'angle entre les diagonales et le plus petit angle du parallélogramme est égal à φ. 1. Comptons deux différents S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. On obtient l'égalité 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ou 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. En utilisant la relation entre les côtés et les diagonales du parallélogramme, on écrit l'égalité (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Créons un système : (d 1 2 + d 2 2 = 296, Multiplions la deuxième équation du système par 2 et ajoutons-la à la première. On obtient (d 1 + d 2) 2 = 576. D'où Id 1 + d 2 I = 24. Puisque d 1, d 2 sont les longueurs des diagonales du parallélogramme, alors d 1 + d 2 = 24. Réponse : 24.
Tâche 6. Les côtés du parallélogramme sont 4 et 6. L'angle aigu entre les diagonales est de 45 degrés. Trouvez l'aire du parallélogramme. Solution.
1. À partir du triangle AOB, en utilisant le théorème du cosinus, on écrit la relation entre le côté du parallélogramme et les diagonales. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o ; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. ré 1 2 + ré 2 2 – ré 1 · ré 2 √2 = 64. 2. De même, nous écrivons la relation pour le triangle AOD. Prenons en compte cela<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Nous obtenons l'équation d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Nous avons un système En soustrayant la première de la deuxième équation, nous obtenons 2d 1 · d 2 √2 = 80 ou ré 1 ré 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Note: Dans ce problème et dans le précédent, il n’est pas nécessaire de résoudre complètement le système, sachant que dans ce problème, nous avons besoin du produit des diagonales pour calculer l’aire. Réponse : 10. Tâche 7. L'aire du parallélogramme est de 96 et ses côtés sont de 8 et 15. Trouvez le carré de la plus petite diagonale. Solution.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Faisons une substitution dans la formule. Nous obtenons 96 = 8 · 15 · sin ВAD. D'où sin ВAD = 4/5. 2. Trouvons cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. Selon les conditions du problème, on trouve la longueur de la plus petite diagonale. La diagonale ВD sera plus petite si l'angle ВАD est aigu. Alors cos VAD = 3/5. 3. A partir du triangle ABD, en utilisant le théorème du cosinus, on trouve le carré de la diagonale BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Réponse : 145.
Vous avez encore des questions ? Vous ne savez pas comment résoudre un problème de géométrie ? site Web, lors de la copie du matériel en totalité ou en partie, un lien vers la source est requis. Aire d'une figure géométrique- une caractéristique numérique d'une figure géométrique montrant la taille de cette figure (partie de la surface limitée par le contour fermé de cette figure). La taille de la zone est exprimée par le nombre d'unités carrées qu'elle contient. a b péché α Où S est l'aire du trapèze, Un parallélogramme est une figure quadrangulaire dont les côtés opposés sont parallèles et égaux deux à deux. Ses angles opposés sont également égaux, et le point d'intersection des diagonales du parallélogramme les divise en deux, étant le centre de symétrie de la figure. Les cas particuliers d'un parallélogramme sont des formes géométriques telles que le carré, le rectangle et le losange. L'aire d'un parallélogramme peut être trouvée de différentes manières, selon les données initiales utilisées pour formuler le problème. S = CC ∙ h où S est l'aire du parallélogramme ; Cette formule est très facile à comprendre et à retenir si vous regardez la figure suivante. Comme vous pouvez le voir sur cette image, si nous coupons un triangle imaginaire à gauche du parallélogramme et l’attachons à droite, le résultat sera un rectangle. Comme vous le savez, l'aire d'un rectangle se trouve en multipliant sa longueur par sa hauteur. Ce n'est que dans le cas d'un parallélogramme que la longueur sera la base, et la hauteur du rectangle sera la hauteur du parallélogramme abaissé d'un côté donné. S = AD∙AB∙sinα où AD, AB sont des bases adjacentes formant entre elles un point d'intersection et un angle a ; S = ½∙AC∙BD∙sinβ où AC, BD sont les diagonales du parallélogramme ;
(
(Puisque dans un triangle rectangle, la jambe opposée à l'angle de 30° est égale à la moitié de l'hypoténuse).
façons sa zone.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
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Formules d'aire triangulaire
Aire d'un triangleégal à la moitié du produit de la longueur d'un côté d'un triangle et de la longueur de l'altitude tracée de ce côté
Aire d'un triangle est égal au produit du demi-périmètre du triangle et du rayon du cercle inscrit.
- les longueurs des côtés du triangle,
- hauteur du triangle,
- l'angle entre les côtés et,
- rayon du cercle inscrit,
R - rayon du cercle circonscrit, Formules de surface carrée
Surface carréeégal au carré de la longueur de son côté.
Surface carréeégal à la moitié du carré de la longueur de sa diagonale. S= 1
2
2
- longueur du côté du carré,
- longueur de la diagonale du carré.Formule de zone rectangulaire
Aire d'un rectangleégal au produit des longueurs de ses deux côtés adjacents
où S est l'aire du rectangle,
- les longueurs des côtés du rectangle. Formules d'aire de parallélogramme
Aire d'un parallélogramme
Aire d'un parallélogramme est égal au produit des longueurs de ses côtés multiplié par le sinus de l'angle qui les sépare.
- les longueurs des côtés du parallélogramme,
- longueur de hauteur du parallélogramme,
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Aire d'un losangeégal au produit de la longueur de son côté et de la longueur de la hauteur abaissée de ce côté.
Aire d'un losange est égal au produit du carré de la longueur de son côté et du sinus de l'angle entre les côtés du losange.
Aire d'un losangeégal à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales.
- longueur du côté du losange,
- longueur de la hauteur du losange,
- l'angle entre les côtés du losange,
1, 2 - longueurs de diagonales.Formules de zone trapézoïdale
- les longueurs des bases du trapèze,
- les longueurs des côtés du trapèze,
La caractéristique clé d’un parallélogramme, très souvent utilisée pour déterminer son aire, est sa hauteur. La hauteur d'un parallélogramme est généralement appelée perpendiculaire tirée d'un point arbitraire du côté opposé à un segment droit formant ce côté.
une - base;
h est la hauteur tirée jusqu'à la base donnée.
α est l'angle entre les bases AD et AB.
β est l'angle entre les diagonales.
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