Dans cet article, nous parlerons de substitution trigonométrique universelle. Il s'agit d'exprimer le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente de n'importe quel angle par la tangente d'un demi-angle. De plus, un tel remplacement s'effectue de manière rationnelle, c'est-à-dire sans racines.
Tout d’abord, nous allons écrire des formules exprimant le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente en termes de tangente à un demi-angle. Nous montrerons ensuite la dérivation de ces formules. En conclusion, regardons quelques exemples d'utilisation de la substitution trigonométrique universelle.
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Sinus, cosinus, tangente et cotangente à la tangente d'un demi-angle
Tout d’abord, écrivons quatre formules exprimant le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle passant par la tangente d’un demi-angle.
Les formules indiquées sont valables pour tous les angles sous lesquels les tangentes et cotangentes qu'elles contiennent sont définies :
Dériver des formules
Analysons la dérivation des formules exprimant le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle par la tangente d'un demi-angle. Commençons par les formules du sinus et du cosinus.
Représentons le sinus et le cosinus en utilisant les formules du double angle comme 
Et 
respectivement. Maintenant les expressions 
Et 
on l'écrit sous forme de fractions avec un dénominateur 1 comme 
Et 
. Ensuite, sur la base de l'identité trigonométrique principale, nous remplaçons les unités du dénominateur par la somme des carrés du sinus et du cosinus, après quoi nous obtenons 
Et 
. Enfin, on divise le numérateur et le dénominateur des fractions résultantes par (sa valeur est différente de zéro à condition 
). En conséquence, toute la chaîne d'actions ressemble à ceci : 
Et 
Ceci termine la dérivation des formules exprimant le sinus et le cosinus par la tangente d'un demi-angle.
Il reste à dériver les formules de la tangente et de la cotangente. Maintenant, compte tenu des formules obtenues ci-dessus, les formules et 
, on obtient immédiatement des formules exprimant la tangente et la cotangente par la tangente du demi-angle : 
Nous avons donc dérivé toutes les formules de la substitution trigonométrique universelle.
Exemples d'utilisation de la substitution trigonométrique universelle
Tout d'abord, regardons un exemple d'utilisation de la substitution trigonométrique universelle lors de la transformation d'expressions.
Exemple.
Donner une expression 
à une expression contenant une seule fonction trigonométrique.
Solution.
Répondre:
.
Bibliographie.
- Algèbre: Cahier de texte pour la 9ème année. moy. école/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova ; Éd. S. A. Telyakovsky.- M. : Éducation, 1990.- 272 p. : ill.- isbn 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel. pour les classes 10-11. moy. école - 3e éd. - M. : Éducation, 1993. - 351 p. : ill. - ISBN5-09-004617-4.
- Algèbre et le début de l'analyse : Proc. pour les classes 10-11. enseignement général institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres ; Éd. A. N. Kolmogorov. - 14e éd. - M. : Education, 2004. - 384 pp. : ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.
Cosinus de la somme et de la différence de deux angles
Dans cette section, les deux formules suivantes seront démontrées :
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Le cosinus de la somme (différence) de deux angles est égal au produit des cosinus de ces angles moins (plus) le produit des sinus de ces angles.
Il nous sera plus pratique de commencer par la preuve de la formule (2). Pour simplifier la présentation, supposons d’abord que les angles α Et β satisfaire aux conditions suivantes :
1) chacun de ces angles est non négatif et inférieur 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Soit la partie positive de l'axe 0x le côté de départ commun des angles α Et β .
Nous désignons les extrémités de ces angles par 0A et 0B, respectivement. Évidemment l'angle α - β peut être considéré comme l'angle dont le faisceau 0B doit être tourné autour du point 0 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre pour que sa direction coïncide avec la direction du faisceau 0A.
Sur les rayons 0A et 0B on marque les points M et N, situés à une distance de 1 de l'origine des coordonnées 0, de sorte que 0M = 0N = 1.
Dans le système de coordonnées x0y, le point M a des coordonnées ( cos α, péché α), et le point N est les coordonnées ( cos β, péché β). Le carré de la distance qui les sépare est donc :
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
Dans nos calculs, nous avons utilisé l'identité
péché 2 φ + cos 2 φ = 1.
Considérons maintenant un autre système de coordonnées B0C, qui est obtenu en faisant pivoter les axes 0x et 0y autour du point 0 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre d'un angle. β .
Dans ce système de coordonnées, le point M a des coordonnées (cos ( α - β ), péché ( α - β )), et le point N est de coordonnées (1,0). Le carré de la distance qui les sépare est donc :
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ péché 2 (α - β) = 2 .
Mais la distance entre les points M et N ne dépend pas du système de coordonnées par rapport auquel nous considérons ces points. C'est pourquoi
j 1 2 = j 2 2
2 (1 - cos α cos β - péché α péché β) = 2 .
C'est là que suit la formule (2).
Rappelons maintenant ces deux restrictions que nous avons imposées pour simplifier la présentation sur les angles α Et β .
L'exigence que chacun des coins α Et β n’était pas négatif, pas vraiment significatif. Après tout, à n’importe lequel de ces angles, vous pouvez ajouter un angle multiple de 2, ce qui n’affectera pas la validité de la formule (2). De la même manière, à chacun de ces angles on peut soustraire un angle qui est un multiple de 2π. On peut donc supposer que 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
La condition s'avère également insignifiante α > β . En effet, si α < β , Que β >α ; donc, étant donné la parité de la fonction parce que X , on a:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
ce qui coïncide essentiellement avec la formule (2). Donc la formule
cos (α - β) = cos α cos β + péché α péché β
vrai sous tous les angles α Et β . En particulier, en y remplaçant β sur - β et étant donné que la fonction parce queX est pair, et la fonction péchéX bizarre, on obtient :
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - péché α péché β,
ce qui prouve la formule (1).
Ainsi, les formules (1) et (2) sont prouvées.
Exemples.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Des exercices
1 . Calculez sans utiliser de tables trigonométriques :
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43° ;
b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42° ;
c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74° ;
d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97° ;
e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
e) péché 3π / 5 péché 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Simplifiez les expressions :
un). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .
b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + péché (36° + α ) péché ( α - 24°).
V). péché(π/4 - α ) péché (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
d) cos2 α + tg α péché 2 α .
3 . Calculer :
un) cos(α - β), Si
cosα = - 2 / 5 , péché β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
b) parce que ( α + π / 6), si cos α = 0,6;
3π/2< α < 2π.
4 . Trouver cos(α + β) et parce que (α - β) , si l'on sait que le péché α = 7 / 25, car β = - 5 / 13 et les deux angles ( α Et β ) se terminent au même trimestre.
5 .Calculer:
UN). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .
V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]
Les notions de sinus (), cosinus (), tangente (), cotangente () sont inextricablement liées à la notion d'angle. Pour bien les comprendre, à première vue, notions complexes(qui provoquent un état d’horreur chez de nombreux écoliers), et pour nous assurer que « le diable n’est pas aussi effrayant qu’on le peint », commençons par le tout début et comprenons le concept d’angle.
Notion d'angle : radian, degré
Regardons la photo. Le vecteur a « tourné » par rapport au point d’un certain montant. Donc la mesure de cette rotation par rapport à la position initiale sera coin.
Que devez-vous savoir d’autre sur le concept d’angle ? Et bien sûr, les unités d'angle !
L'angle, tant en géométrie qu'en trigonométrie, peut être mesuré en degrés et en radians.
Un angle de (un degré) est appelé angle central dans un cercle, basé sur un arc de cercle égal à une partie du cercle. Ainsi, le cercle entier est constitué de « morceaux » d'arcs de cercle, ou l'angle décrit par le cercle est égal.
Autrement dit, la figure ci-dessus montre un angle égal à, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle de la taille de la circonférence.
Un angle en radians est l'angle au centre d'un cercle sous-tendu par un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. Eh bien, avez-vous compris ? Sinon, comprenons-le à partir du dessin.
Ainsi, la figure montre un angle égal à un radian, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle (la longueur est égale à la longueur ou le rayon est égal au longueur de l'arc). Ainsi, la longueur de l'arc est calculée par la formule :
Où est l’angle central en radians.
Eh bien, sachant cela, pouvez-vous répondre combien de radians sont contenus dans l’angle décrit par le cercle ? Oui, pour cela, vous devez vous rappeler la formule de la circonférence. Elle est là:
Eh bien, corrélons maintenant ces deux formules et constatons que l’angle décrit par le cercle est égal. Autrement dit, en corrélant la valeur en degrés et en radians, nous obtenons cela. Respectivement, . Comme vous pouvez le constater, contrairement à « degrés », le mot « radian » est omis, car l'unité de mesure ressort généralement clairement du contexte.
Combien y a-t-il de radians ? C'est exact!
J'ai compris? Alors allez-y et corrigez-le :
Vous rencontrez des difficultés ? Alors regarde réponses:
Triangle rectangle : sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un angle
Nous avons donc compris le concept d'angle. Mais qu’est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ? Voyons cela. Pour cela, cela nous aidera triangle rectangle.
Comment s’appellent les côtés d’un triangle rectangle ? C'est vrai, l'hypoténuse et les jambes : l'hypoténuse est le côté qui se trouve à l'opposé de l'angle droit (dans notre exemple c'est le côté) ; les jambes sont les deux côtés restants et (ceux adjacents à l'angle droit), et si l'on considère les jambes par rapport à l'angle, alors la jambe est la jambe adjacente et la jambe est l'opposée. Alors maintenant, répondons à la question : que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ?
Sinus d'angle- c'est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.
Dans notre triangle.
Cosinus de l'angle- c'est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l'hypoténuse.
Dans notre triangle.
Tangente de l'angle- c'est le rapport du côté opposé (éloigné) au côté adjacent (proche).
Dans notre triangle.
Cotangente d'angle- c'est le rapport entre la jambe adjacente (proche) et la jambe opposée (éloignée).
Dans notre triangle.
Ces définitions sont nécessaires souviens-toi! Pour qu'il soit plus facile de se rappeler quelle jambe diviser en quoi, vous devez clairement comprendre que dans tangente Et cotangente seules les jambes sont assises et l'hypoténuse n'apparaît que dans sinus Et cosinus. Et puis vous pouvez créer une chaîne d’associations. Par exemple, celui-ci :
Cosinus → toucher → toucher → adjacent ;
Cotangente → toucher → toucher → adjacent.
Tout d'abord, vous devez vous rappeler que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, comme les rapports des côtés d'un triangle, ne dépendent pas des longueurs de ces côtés (au même angle). Ne crois pas? Assurez-vous ensuite en regardant la photo :
Prenons par exemple le cosinus d’un angle. Par définition, à partir d'un triangle : , mais on peut calculer le cosinus d'un angle à partir d'un triangle : . Vous voyez, les longueurs des côtés sont différentes, mais la valeur du cosinus d'un angle est la même. Ainsi, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente dépendent uniquement de la grandeur de l'angle.
Si vous comprenez les définitions, alors allez-y et consolidez-les !
Pour le triangle représenté dans la figure ci-dessous, nous trouvons.
Eh bien, tu l'as eu ? Alors essayez-le vous-même : calculez la même chose pour l’angle.
Cercle unitaire (trigonométrique)
Comprenant les notions de degrés et de radians, nous avons considéré un cercle de rayon égal à. Un tel cercle s'appelle célibataire. Ce sera très utile lors de l’étude de la trigonométrie. Par conséquent, regardons-le un peu plus en détail.
Comme vous pouvez le voir, ce cercle est construit dans le système de coordonnées cartésiennes. Le rayon du cercle est égal à un, tandis que le centre du cercle se trouve à l'origine des coordonnées, la position initiale du vecteur rayon est fixée le long de la direction positive de l'axe (dans notre exemple, il s'agit du rayon).
Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée de l'axe et la coordonnée de l'axe. Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et de manière générale, qu’ont-ils à voir avec le sujet abordé ? Pour ce faire, nous devons nous souvenir du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérons un triangle. Il est rectangulaire car perpendiculaire à l’axe.
A quoi est égal le triangle ? C'est exact. De plus, nous savons qu’il s’agit du rayon du cercle unité, ce qui signifie . Remplaçons cette valeur dans notre formule du cosinus. Voici ce qui se passe :
A quoi est égal le triangle ? Oui bien sur, ! Remplacez la valeur du rayon dans cette formule et obtenez :
Alors, pouvez-vous dire quelles sont les coordonnées d’un point appartenant à un cercle ? Eh bien, pas question ? Et si vous vous rendiez compte de cela et que vous n’étiez que des chiffres ? A quelle coordonnée correspond-il ? Et bien sûr, les coordonnées ! Et à quelle coordonnée correspond-elle ? C'est vrai, les coordonnées ! Donc point final.
À quoi valent donc et sont égaux ? C'est vrai, utilisons les définitions correspondantes de tangente et de cotangente et obtenons cela, a.
Et si l'angle est plus grand ? Par exemple, comme sur cette photo :
Qu'est-ce qui a changé dans cet exemple ? Voyons cela. Pour ce faire, revenons à un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle : angle (comme adjacent à un angle). Quelles sont les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour un angle ? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :
Eh bien, comme vous pouvez le constater, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée ; la valeur du cosinus de l'angle - la coordonnée ; et les valeurs de tangente et de cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations s’appliquent à toute rotation du rayon vecteur.
Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur se situe dans la direction positive de l’axe. Jusqu’à présent, nous avons fait pivoter ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons pivoter dans le sens des aiguilles d’une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez aussi un angle d'une certaine valeur, mais seulement il sera négatif. Ainsi, en faisant tourner le rayon vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous obtenons angles positifs, et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre - négatif.
Ainsi, nous savons qu’une révolution entière du rayon vecteur autour d’un cercle est ou. Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur vers ou vers ? Bien sûr que tu peux! Dans le premier cas, le rayon vecteur fera donc un tour complet et s'arrêtera en position ou.
Dans le deuxième cas, c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera en position ou.
Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent par ou (où est un nombre entier) correspondent à la même position du rayon vecteur.
La figure ci-dessous montre un angle. La même image correspond au coin, etc. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits par la formule générale ou (où est un nombre entier)
Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unité, essayez de répondre quelles sont les valeurs :
Voici un cercle unitaire pour vous aider :
Vous rencontrez des difficultés ? Alors découvrons-le. Nous savons donc que :
A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures d'angle. Bon, commençons dans l'ordre : l'angle à correspond à un point avec des coordonnées, donc :
N'existe pas;
De plus, en adhérant à la même logique, nous découvrons que les coins correspondent respectivement à des points avec des coordonnées. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.
Réponses:
N'existe pas
N'existe pas
N'existe pas
N'existe pas
Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :
Il n’est pas nécessaire de mémoriser toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :
Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et, données dans le tableau ci-dessous, il faut se souvenir:
N'ayez pas peur, nous allons maintenant vous montrer un exemple assez simple pour retenir les valeurs correspondantes:
Pour utiliser cette méthode, il est essentiel de mémoriser les valeurs du sinus pour les trois mesures d'angle (), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle. Connaissant ces valeurs, il est assez simple de restituer l'intégralité du tableau - les valeurs du cosinus sont transférées conformément aux flèches, soit :
Sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs de. Le numérateur " " correspondra et le dénominateur " " correspondra. Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec les flèches, il suffira alors de mémoriser toutes les valeurs du tableau.
Coordonnées d'un point sur un cercle
Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaître les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation?
Bien sûr que tu peux! Sortons-le formule générale trouver les coordonnées d'un point.
Par exemple, voici un cercle devant nous :
On nous dit que le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut trouver les coordonnées d'un point obtenues en faisant pivoter le point de degrés.
Comme le montre la figure, la coordonnée du point correspond à la longueur du segment. La longueur du segment correspond à la coordonnée du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale. La longueur d'un segment peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :
Ensuite, nous avons cela pour la coordonnée du point.
En utilisant la même logique, nous trouvons la valeur de coordonnée y du point. Ainsi,
Alors, dans vue générale les coordonnées des points sont déterminées par les formules :
Coordonnées du centre du cercle,
Rayon du cercle,
L'angle de rotation du rayon vectoriel.
Comme vous pouvez le constater, pour le cercle unité que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, puisque les coordonnées du centre sont égales à zéro et le rayon est égal à un :
Eh bien, essayons ces formules en nous entraînant à trouver des points sur un cercle ?
1. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.
2. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.
3. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.
4. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut retrouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.
5. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut retrouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.
Vous avez du mal à trouver les coordonnées d'un point sur un cercle ?
Résolvez ces cinq exemples (ou apprenez à les résoudre) et vous apprendrez à les trouver !
1.
Vous pouvez le remarquer. Mais on sait ce qui correspond à une révolution complète du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage. Sachant cela, on trouve les coordonnées recherchées du point :
2. Le cercle unité est centré en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :
Vous pouvez le remarquer. On sait ce qui correspond à deux tours complets du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage. Sachant cela, on trouve les coordonnées recherchées du point :
Le sinus et le cosinus sont des valeurs de tableau. Nous rappelons leurs significations et obtenons :
Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.
3. Le cercle unité est centré en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :
Vous pouvez le remarquer. Représentons l'exemple en question dans la figure :
Le rayon fait des angles égaux à et avec l'axe. Sachant que les valeurs du tableau du cosinus et du sinus sont égales, et ayant déterminé que le cosinus prend ici une valeur négative et que le sinus prend une valeur positive, nous avons :
De tels exemples sont discutés plus en détail lors de l'étude des formules de réduction des fonctions trigonométriques dans le sujet.
Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.
4.
Angle de rotation du rayon du vecteur (par condition)
Pour déterminer les signes correspondants du sinus et du cosinus, nous construisons un cercle et un angle unitaires :
Comme vous pouvez le voir, la valeur est positive et la valeur est négative. Connaissant les valeurs tabulaires des fonctions trigonométriques correspondantes, on obtient que :
Remplaçons les valeurs obtenues dans notre formule et trouvons les coordonnées :
Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.
5. Pour résoudre ce problème, nous utilisons des formules sous forme générale, où
Coordonnées du centre du cercle (dans notre exemple,
Rayon du cercle (par condition)
Angle de rotation du rayon du vecteur (par condition).
Remplaçons toutes les valeurs dans la formule et obtenons :
et - les valeurs du tableau. Rappelons-les et substituons-les dans la formule :
Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.
RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE
Le sinus d'un angle est le rapport entre la jambe opposée (lointaine) et l'hypoténuse.
Le cosinus d'un angle est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l'hypoténuse.
La tangente d'un angle est le rapport entre le côté opposé (éloigné) et le côté adjacent (proche).
La cotangente d'un angle est le rapport entre le côté adjacent (proche) et le côté opposé (éloigné).
Les relations entre les fonctions trigonométriques de base - sinus, cosinus, tangente et cotangente - sont données formules trigonométriques. Et comme il existe de nombreuses connexions entre les fonctions trigonométriques, cela explique l'abondance des formules trigonométriques. Certaines formules relient des fonctions trigonométriques du même angle, d'autres - des fonctions d'un angle multiple, d'autres - permettent de réduire le degré, quatrième - expriment toutes les fonctions par la tangente d'un demi-angle, etc.
Dans cet article, nous listerons dans l'ordre tous les principaux formules trigonométriques, qui suffisent à résoudre la grande majorité des problèmes de trigonométrie. Pour faciliter la mémorisation et l'utilisation, nous les regrouperons par objectif et les saisirons dans des tableaux.
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Identités trigonométriques de base
Basique identités trigonométriques définir la relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle. Ils découlent de la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, ainsi que de la notion de cercle unité. Ils vous permettent d'exprimer une fonction trigonométrique par rapport à une autre.
Pour une description détaillée de ces formules trigonométriques, leur dérivation et des exemples d'application, voir l'article.
Formules de réduction
Formules de réduction découlent des propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, c'est-à-dire qu'elles reflètent la propriété de périodicité des fonctions trigonométriques, la propriété de symétrie, ainsi que la propriété de décalage d'un angle donné. Ces formules trigonométriques vous permettent de passer du travail avec des angles arbitraires au travail avec des angles allant de zéro à 90 degrés.
La justification de ces formules, une règle mnémotechnique pour leur mémorisation et des exemples de leur application peuvent être étudiées dans l'article.
Formules d'addition
Formules d'addition trigonométriques montrer comment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles sont exprimées en termes de fonctions trigonométriques de ces angles. Ces formules servent de base pour dériver les formules trigonométriques suivantes.
Formules pour double, triple, etc. angle
Formules pour double, triple, etc. L'angle (on les appelle aussi formules d'angles multiples) montre comment les fonctions trigonométriques du double, du triple, etc. les angles () sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques d'un seul angle. Leur calcul est basé sur des formules d'addition.
Des informations plus détaillées sont collectées dans l'article formules pour double, triple, etc. angle
Formules demi-angle
Formules demi-angle montrer comment les fonctions trigonométriques d'un demi-angle sont exprimées en termes de cosinus d'un angle entier. Ces formules trigonométriques découlent des formules à double angle.
Leur conclusion et des exemples d'application peuvent être trouvés dans l'article.
Formules de réduction de diplôme
Formules trigonométriques pour réduire les degrés sont conçus pour faciliter la transition des puissances naturelles des fonctions trigonométriques aux sinus et cosinus au premier degré, mais à angles multiples. Autrement dit, ils permettent de réduire les puissances des fonctions trigonométriques au premier.
Formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques
L'objectif principal formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques est d'aller au produit de fonctions, ce qui est très utile pour simplifier des expressions trigonométriques. Ces formules sont également largement utilisées dans la résolution d'équations trigonométriques, car elles permettent de factoriser la somme et la différence des sinus et des cosinus.
Formules pour le produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus
Le passage du produit de fonctions trigonométriques à une somme ou une différence s'effectue à l'aide des formules du produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus.
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Identités trigonométriques- ce sont des égalités qui établissent une relation entre sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un angle, ce qui permet de retrouver n'importe laquelle de ces fonctions, à condition qu'une autre soit connue.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Cette identité dit que la somme du carré du sinus d'un angle et du carré du cosinus d'un angle est égale à un, ce qui permet en pratique de calculer le sinus d'un angle lorsque son cosinus est connu et vice versa. .
Lors de la conversion d'expressions trigonométriques, cette identité est très souvent utilisée, ce qui permet de remplacer la somme des carrés du cosinus et du sinus d'un angle par un et également d'effectuer l'opération de remplacement dans l'ordre inverse.
Trouver la tangente et la cotangente en utilisant le sinus et le cosinus
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Ces identités sont formées à partir des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. Après tout, si vous le regardez, alors par définition l'ordonnée y est un sinus et l'abscisse x est un cosinus. Alors la tangente sera égale au rapport \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), et le rapport \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- sera une cotangente.
Ajoutons que ce n'est que pour les angles \alpha pour lesquels les fonctions trigonométriques qu'ils contiennent ont un sens que les identités seront valables, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Par exemple: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) est valable pour les angles \alpha différents de \frac(\pi)(2)+\piz, UN ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pour un angle \alpha autre que \pi z, z est un nombre entier.
Relation entre tangente et cotangente
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Cette identité n'est valable que pour les angles \alpha différents de \frac(\pi)(2) z. Sinon, ni la cotangente ni la tangente ne seront déterminées.
Sur la base des points ci-dessus, nous obtenons que tg \alpha = \frac(y)(x), UN ctg \alpha=\frac(x)(y). Il s'ensuit que tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Ainsi, la tangente et la cotangente du même angle auquel elles ont un sens sont des nombres mutuellement inverses.
Relations entre tangente et cosinus, cotangente et sinus
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- la somme du carré de la tangente de l'angle \alpha et 1 est égale à l'inverse du carré du cosinus de cet angle. Cette identité est valable pour tous les \alpha autres que \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- la somme de 1 et du carré de la cotangente de l'angle \alpha est égale à l'inverse du carré du sinus de l'angle donné. Cette identité est valable pour tout \alpha différent de \pi z.
Exemples de solutions à des problèmes utilisant des identités trigonométriques
Exemple 1
Trouver \sin \alpha et tg \alpha si \cos \alpha=-\frac12 Et \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
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Solution
Les fonctions \sin \alpha et \cos \alpha sont liées par la formule \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Substituer dans cette formule \cos \alpha = -\frac12, on a:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Cette équation a 2 solutions :
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Par condition \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Au deuxième trimestre, le sinus est positif, donc \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Afin de trouver tan \alpha, on utilise la formule tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Exemple 2
Trouver \cos \alpha et ctg \alpha si et \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
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Solution
Substitution dans la formule \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 numéro donné \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), on a \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Cette équation a deux solutions \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Par condition \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Au deuxième trimestre, le cosinus est négatif, donc \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Afin de trouver ctg \alpha , on utilise la formule ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Nous connaissons les valeurs correspondantes.
ctg \alpha = -\frac12 : \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
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