Parfois, dans la vie, il y a des situations où vous devez plonger dans votre mémoire à la recherche de connaissances scolaires oubliées depuis longtemps. Par exemple, vous devez déterminer la superficie d'un terrain de forme triangulaire, ou le tour de la prochaine réparation dans un appartement ou une maison privée est venu, et vous devez calculer la quantité de matériel qu'il faudra pour une surface de forme triangulaire. Il fut un temps où vous pouviez résoudre un tel problème en quelques minutes, et maintenant vous essayez désespérément de vous rappeler comment déterminer l'aire d'un triangle ?
Vous n'avez pas à vous en soucier ! Après tout, il est tout à fait normal que le cerveau humain décide de déplacer des connaissances longtemps inutilisées quelque part dans un coin reculé, d'où il n'est parfois pas si facile de les extraire. Pour que vous n'ayez pas à souffrir de la recherche de connaissances scolaires oubliées pour résoudre un tel problème, cet article contient diverses méthodes qui facilitent la recherche de la zone souhaitée d'un triangle.
Il est bien connu qu'un triangle est un type de polygone limité par le nombre minimum de côtés possible. En principe, tout polygone peut être divisé en plusieurs triangles en reliant ses sommets avec des segments qui ne coupent pas ses côtés. Par conséquent, connaissant le triangle, vous pouvez calculer l'aire de presque n'importe quelle figure.
Parmi tous les triangles possibles qui se produisent dans la vie, on peut distinguer les types particuliers suivants : et rectangulaire.
Le moyen le plus simple de calculer l'aire d'un triangle est lorsque l'un de ses coins est droit, c'est-à-dire dans le cas d'un triangle rectangle. Il est facile de voir qu'il s'agit d'un demi-rectangle. Par conséquent, son aire est égale à la moitié du produit des côtés, qui forment un angle droit entre eux.
Si nous connaissons la hauteur d'un triangle, abaissé d'un de ses sommets au côté opposé, et la longueur de ce côté, qui s'appelle la base, alors l'aire est calculée comme la moitié du produit de la hauteur et de la base. Cela s'écrit à l'aide de la formule suivante :
S = 1/2*b*h, où
S est la zone souhaitée du triangle;
b, h - respectivement, la hauteur et la base du triangle.
Il est si facile de calculer l'aire d'un triangle isocèle, puisque la hauteur coupera en deux le côté opposé et qu'elle peut être facilement mesurée. Si la surface est déterminée, il convient alors de prendre la longueur de l'un des côtés formant un angle droit comme hauteur.
Tout cela est certes bien, mais comment déterminer si l'un des coins d'un triangle est droit ou non ? Si la taille de notre figure est petite, vous pouvez utiliser un angle de construction, un triangle de dessin, une carte postale ou un autre objet de forme rectangulaire.
Mais que se passe-t-il si nous avons un terrain triangulaire? Dans ce cas, procédez comme suit : du haut de l'angle prétendument droit d'un des côtés, une distance multiple de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) est mesurée, et de l'autre côté, une distance multiple de 4 (40cm, 160cm, 4m). Vous devez maintenant mesurer la distance entre les extrémités de ces deux segments. Si la valeur est un multiple de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), alors on peut affirmer que l'angle est droit.
Si la valeur de la longueur de chacun des trois côtés de notre figure est connue, l'aire du triangle peut être déterminée à l'aide de la formule de Heron. Pour qu'il ait une forme plus simple, une nouvelle valeur est utilisée, qui s'appelle le demi-périmètre. C'est la somme de tous les côtés de notre triangle, divisé en deux. Une fois le demi-périmètre calculé, vous pouvez commencer à déterminer la surface à l'aide de la formule :
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), où
sqrt - racine carrée ;
p est la valeur du demi-périmètre (p =(a+b+c)/2) ;
a, b, c - bords (côtés) du triangle.
Mais que se passe-t-il si le triangle a une forme irrégulière ? Il y a deux façons possibles ici. La première consiste à essayer de diviser une telle figure en deux triangles rectangles dont la somme des aires est calculée séparément, puis additionnée. Ou, si l'angle entre les deux côtés et la taille de ces côtés sont connus, alors appliquez la formule :
S = 0,5 * ab * sinC, où
a,b - côtés du triangle ;
c est l'angle entre ces côtés.
Ce dernier cas est rare dans la pratique, mais néanmoins, tout est possible dans la vie, donc la formule ci-dessus ne sera pas superflue. Bon courage pour vos calculs !
Le triangle est une figure bien connue. Et ce, malgré la riche variété de ses formes. Rectangulaire, équilatéral, aigu, isocèle, obtus. Chacun d'eux est quelque peu différent. Mais pour tout, il est nécessaire de connaître l'aire du triangle.
Formules communes pour tous les triangles qui utilisent les longueurs des côtés ou des hauteurs
Les désignations adoptées en eux: côtés - a, b, c; hauteurs sur les côtés correspondants sur a, n in, n s.
1. L'aire d'un triangle est calculée comme le produit de ½, du côté et de la hauteur abaissée dessus. S = ½ * une * n une. De même, on devrait écrire des formules pour les deux autres côtés.
2. La formule de Heron, dans laquelle apparaît le demi-périmètre (il est d'usage de le désigner par une lettre minuscule p, contrairement au périmètre complet). Le demi-périmètre doit être calculé comme suit : additionnez tous les côtés et divisez-les par 2. La formule du demi-périmètre : p \u003d (a + b + c) / 2. Ensuite, l'égalité pour l'aire de \u200b\u200bla figure ressemble à ceci : S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).
3. Si vous ne souhaitez pas utiliser de demi-périmètre, une telle formule vous sera utile, dans laquelle seules les longueurs des côtés sont présentes: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Il est un peu plus long que le précédent, mais cela vous aidera si vous avez oublié comment trouver le demi-périmètre.
Formules générales dans lesquelles apparaissent les angles d'un triangle
La notation requise pour lire les formules : α, β, γ - angles. Ils se trouvent respectivement sur les côtés opposés a, b, c.
1. Selon lui, la moitié du produit de deux côtés et le sinus de l'angle entre eux est égal à l'aire du triangle. Soit : S = ½ a * b * sin γ. Les formules pour les deux autres cas doivent être écrites de la même manière.
2. L'aire d'un triangle peut être calculée à partir d'un côté et de trois angles connus. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Il existe également une formule avec un côté connu et deux angles adjacents. Il ressemble à ceci : S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
Les deux dernières formules ne sont pas les plus simples. C'est assez difficile de se souvenir d'eux.
Formules générales pour la situation où les rayons des cercles inscrits ou circonscrits sont connus
Désignations supplémentaires : r, R — rayons. Le premier est utilisé pour le rayon du cercle inscrit. Le second est pour celui décrit.
1. La première formule par laquelle l'aire d'un triangle est calculée est liée au demi-périmètre. S = r * r. D'une autre manière, cela peut s'écrire comme suit: S \u003d ½ r * (a + b + c).
2. Dans le second cas, vous devrez multiplier tous les côtés du triangle et les diviser par le quadruple rayon du cercle circonscrit. Littéralement, cela ressemble à ceci: S \u003d (a * b * c) / (4R).
3. La troisième situation vous permet de faire sans connaître les côtés, mais vous avez besoin des valeurs des trois angles. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.
Cas particulier : triangle rectangle
C'est la situation la plus simple, puisque seule la longueur des deux jambes est requise. Ils sont désignés par les lettres latines a et b. L'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié de l'aire du rectangle qui lui est ajouté.
Mathématiquement, cela ressemble à ceci : S = ½ a * b. Elle est la plus facile à retenir. Parce que cela ressemble à la formule de l'aire d'un rectangle, seule une fraction apparaît, désignant la moitié.
Cas particulier : triangle isocèle
Puisque ses deux côtés sont égaux, certaines formules pour son aire semblent quelque peu simplifiées. Par exemple, la formule de Heron, qui calcule l'aire d'un triangle isocèle, prend la forme suivante :
S = ½ po √((a + ½ po)*(a - ½ po)).
Si vous le convertissez, il deviendra plus court. Dans ce cas, la formule de Heron pour un triangle isocèle s'écrit comme suit :
S = ¼ po √(4 * a 2 - b 2).
La formule d'aire semble un peu plus simple que pour un triangle arbitraire si les côtés et l'angle entre eux sont connus. S \u003d ½ a 2 * sin β.
Cas particulier : triangle équilatéral
Habituellement, dans les problèmes à son sujet, le côté est connu ou peut être reconnu d'une manière ou d'une autre. Ensuite, la formule pour trouver l'aire d'un tel triangle est la suivante:
S = (a 2 √3) / 4.
Tâches pour trouver la zone si le triangle est représenté sur du papier quadrillé
La situation la plus simple est lorsqu'un triangle rectangle est dessiné de sorte que ses jambes coïncident avec les lignes du papier. Ensuite, il vous suffit de compter le nombre de cellules qui rentrent dans les jambes. Puis multipliez-les et divisez par deux.
Lorsque le triangle est aigu ou obtus, il doit être tracé dans un rectangle. Ensuite, dans la figure résultante, il y aura 3 triangles. L'un est celui donné dans la tâche. Et les deux autres sont auxiliaires et rectangulaires. Les surfaces des deux derniers doivent être déterminées par la méthode décrite ci-dessus. Calculez ensuite l'aire du rectangle et soustrayez-en celles calculées pour les auxiliaires. L'aire du triangle est déterminée.
Beaucoup plus difficile est la situation dans laquelle aucun des côtés du triangle ne coïncide avec les lignes du papier. Ensuite, il doit être inscrit dans un rectangle de sorte que les sommets de la figure d'origine se trouvent sur ses côtés. Dans ce cas, il y aura trois triangles rectangles auxiliaires.
Un exemple de problème sur la formule de Heron
État. Certains triangles ont des côtés. Ils sont égaux à 3, 5 et 6 cm.Vous devez connaître sa superficie.
Vous pouvez maintenant calculer l'aire d'un triangle en utilisant la formule ci-dessus. Sous la racine carrée se trouve le produit de quatre nombres : 7, 4, 2 et 1. Autrement dit, l'aire est √ (4 * 14) = 2 √ (14).
Si vous n'avez pas besoin de plus de précision, vous pouvez prendre la racine carrée de 14. C'est 3,74. L'aire sera alors égale à 7,48.
Réponse. S \u003d 2 √14 cm 2 ou 7,48 cm 2.
Un exemple de problème avec un triangle rectangle
État. Une jambe d'un triangle rectangle mesure 31 cm de plus que la seconde, il est nécessaire de connaître leurs longueurs si l'aire du triangle est de 180 cm 2.
Solution. Vous devez résoudre un système de deux équations. Le premier concerne la superficie. La seconde est avec le rapport des jambes, qui est donné dans le problème.
180 \u003d ½ un * b;
un \u003d b + 31.
Tout d'abord, la valeur de "a" doit être substituée dans la première équation. Il s'avère: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Il n'a qu'une seule inconnue, il est donc facile à résoudre. Après ouverture des parenthèses, une équation quadratique est obtenue: en 2 + 31 en - 360 \u003d 0. Elle donne deux valeurs pour "en": 9 et - 40. Le deuxième nombre ne convient pas comme réponse , puisque la longueur du côté du triangle ne peut pas être une valeur négative.
Il reste à calculer la deuxième jambe : ajouter 31 au nombre résultant, on obtient 40. Ce sont les quantités recherchées dans le problème.
Réponse. Les jambes du triangle mesurent 9 et 40 cm.
La tâche de trouver le côté à travers l'aire, le côté et l'angle d'un triangle
État. L'aire d'un triangle est de 60 cm2. Il est nécessaire de calculer l'un de ses côtés si le deuxième côté mesure 15 cm et que l'angle entre eux est de 30º.
Solution. Sur la base des désignations acceptées, le côté souhaité est "a", le "b" connu, l'angle donné est "γ". Ensuite, la formule de l'aire peut être réécrite comme suit :
60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Ici, le sinus de 30 degrés est de 0,5.
Après transformations, "a" s'avère être égal à 60 / (0,5 * 0,5 * 15). C'est 16.
Réponse. Le côté souhaité est de 16 cm.
Le problème d'un carré inscrit dans un triangle rectangle
État. Le sommet d'un carré de 24 cm de côté coïncide avec l'angle droit du triangle. Les deux autres reposent sur les jambes. Le troisième appartient à l'hypoténuse. La longueur d'une des jambes est de 42 cm Quelle est l'aire d'un triangle rectangle ?
Solution. Considérons deux triangles rectangles. Le premier est spécifié dans la tâche. Le second est basé sur la jambe connue du triangle d'origine. Ils sont similaires car ils ont un angle commun et sont formés par des lignes parallèles.
Alors les rapports de leurs jambes sont égaux. Les jambes du plus petit triangle mesurent 24 cm (côté du carré) et 18 cm (la jambe étant donnée 42 cm moins le côté du carré 24 cm). Les jambes correspondantes du grand triangle mesurent 42 cm et x cm, c'est ce "x" qui est nécessaire pour calculer l'aire du triangle.
18/42 \u003d 24 / x, c'est-à-dire x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).
Alors l'aire est égale au produit de 56 et 42, divisé par deux, soit 1176 cm 2.
Réponse. La surface souhaitée est de 1176 cm 2.
La notion de domaine
Le concept d'aire de toute figure géométrique, en particulier un triangle, sera associé à une figure telle qu'un carré. Pour une aire unitaire de toute figure géométrique, nous prendrons l'aire d'un carré dont le côté est égal à un. Pour être complet, nous rappelons deux propriétés fondamentales du concept d'aires de formes géométriques.
Propriété 1 : Si les figures géométriques sont égales, alors leurs aires sont également égales.
Propriété 2 : Tout chiffre peut être divisé en plusieurs chiffres. De plus, l'aire de la figure d'origine est égale à la somme des valeurs des aires de toutes les figures qui la composent.
Prenons un exemple.
Exemple 1
Il est évident que l'un des côtés du triangle est la diagonale du rectangle , qui a un côté de longueur $5$ (depuis $5$ cellules) et l'autre $6$ (depuis $6$ cellules). Par conséquent, l'aire de ce triangle sera égale à la moitié d'un tel rectangle. L'aire du rectangle est
Alors l'aire du triangle est
Réponse : 15 $.
Ensuite, considérons plusieurs méthodes pour trouver les aires des triangles, à savoir en utilisant la hauteur et la base, en utilisant la formule de Heron et l'aire d'un triangle équilatéral.
Comment trouver l'aire d'un triangle en utilisant la hauteur et la base
Théorème 1
L'aire d'un triangle peut être trouvée comme la moitié du produit de la longueur d'un côté par la hauteur dessinée de ce côté.
Mathématiquement ça ressemble à ça
$S=\frac(1)(2)αh$
où $a$ est la longueur du côté, $h$ est la hauteur qui y est tracée.
Preuve.
Considérons le triangle $ABC$ où $AC=α$. La hauteur $BH$ est tracée de ce côté et vaut $h$. Construisons-le jusqu'au carré $AXYC$ comme dans la figure 2.
L'aire du rectangle $AXBH$ est $h\cdot AH$, et celle du rectangle $HBYC$ est $h\cdot HC$. Puis
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Par conséquent, l'aire souhaitée du triangle, selon la propriété 2, est égale à
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ fraction(1)(2)αh$
Le théorème a été prouvé.
Exemple 2
Trouvez l'aire du triangle dans la figure ci-dessous, si la cellule a une aire égale à un
La base de ce triangle est $9$ (puisque $9$ est $9$ cellules). La hauteur est également de 9 $. Alors, par le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
Réponse : 40,5 $.
La formule du Héron
Théorème 2
Si on nous donne trois côtés d'un triangle $α$, $β$ et $γ$, alors son aire peut être trouvée comme suit
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
ici $ρ$ désigne le demi-périmètre de ce triangle.
Preuve.
Considérez la figure suivante :
Par le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ABH$ on obtient
A partir du triangle $CBH$, par le théorème de Pythagore, on a
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
De ces deux relations on obtient l'égalité
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Puisque $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, alors $α+β+γ=2ρ$, donc
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
D'après le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
La notion de domaine
Le concept d'aire de toute figure géométrique, en particulier un triangle, sera associé à une figure telle qu'un carré. Pour une aire unitaire de toute figure géométrique, nous prendrons l'aire d'un carré dont le côté est égal à un. Pour être complet, nous rappelons deux propriétés fondamentales du concept d'aires de formes géométriques.
Propriété 1 : Si les figures géométriques sont égales, alors leurs aires sont également égales.
Propriété 2 : Tout chiffre peut être divisé en plusieurs chiffres. De plus, l'aire de la figure d'origine est égale à la somme des valeurs des aires de toutes les figures qui la composent.
Prenons un exemple.
Exemple 1
Il est évident que l'un des côtés du triangle est la diagonale du rectangle , qui a un côté de longueur $5$ (depuis $5$ cellules) et l'autre $6$ (depuis $6$ cellules). Par conséquent, l'aire de ce triangle sera égale à la moitié d'un tel rectangle. L'aire du rectangle est
Alors l'aire du triangle est
Réponse : 15 $.
Ensuite, considérons plusieurs méthodes pour trouver les aires des triangles, à savoir en utilisant la hauteur et la base, en utilisant la formule de Heron et l'aire d'un triangle équilatéral.
Comment trouver l'aire d'un triangle en utilisant la hauteur et la base
Théorème 1
L'aire d'un triangle peut être trouvée comme la moitié du produit de la longueur d'un côté par la hauteur dessinée de ce côté.
Mathématiquement ça ressemble à ça
$S=\frac(1)(2)αh$
où $a$ est la longueur du côté, $h$ est la hauteur qui y est tracée.
Preuve.
Considérons le triangle $ABC$ où $AC=α$. La hauteur $BH$ est tracée de ce côté et vaut $h$. Construisons-le jusqu'au carré $AXYC$ comme dans la figure 2.
L'aire du rectangle $AXBH$ est $h\cdot AH$, et celle du rectangle $HBYC$ est $h\cdot HC$. Puis
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Par conséquent, l'aire souhaitée du triangle, selon la propriété 2, est égale à
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ fraction(1)(2)αh$
Le théorème a été prouvé.
Exemple 2
Trouvez l'aire du triangle dans la figure ci-dessous, si la cellule a une aire égale à un
La base de ce triangle est $9$ (puisque $9$ est $9$ cellules). La hauteur est également de 9 $. Alors, par le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
Réponse : 40,5 $.
La formule du Héron
Théorème 2
Si on nous donne trois côtés d'un triangle $α$, $β$ et $γ$, alors son aire peut être trouvée comme suit
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
ici $ρ$ désigne le demi-périmètre de ce triangle.
Preuve.
Considérez la figure suivante :
Par le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ABH$ on obtient
A partir du triangle $CBH$, par le théorème de Pythagore, on a
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
De ces deux relations on obtient l'égalité
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Puisque $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, alors $α+β+γ=2ρ$, donc
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
D'après le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Formule de superficie est nécessaire pour déterminer l'aire d'une figure, qui est une fonction à valeurs réelles définie sur une certaine classe de figures dans le plan euclidien et vérifiant 4 conditions :
- Positif - La zone ne peut pas être inférieure à zéro ;
- Normalisation - un carré avec un côté unité a une aire de 1;
- Congruence - les figures congruentes ont une surface égale ;
- Additivité - l'aire de l'union de 2 figures sans points internes communs est égale à la somme des aires de ces figures.
| Figure géométrique | Formule | Dessin |
|---|---|---|
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Le résultat de l'addition des distances entre les milieux des côtés opposés d'un quadrilatère convexe sera égal à son demi-périmètre. |
||
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Secteur circulaire. L'aire d'un secteur de cercle est égale au produit de son arc et de la moitié du rayon. |
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segment de cercle. Pour obtenir l'aire du segment ASB, il suffit de soustraire l'aire du triangle AOB de l'aire du secteur AOB. |
S = 1 / 2 R(s - CA) |
|
|
L'aire d'une ellipse est égale au produit des longueurs des demi-axes majeur et mineur de l'ellipse par pi. |
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Ellipse. Une autre option pour calculer l'aire d'une ellipse consiste à utiliser ses deux rayons. |
|
|
|
Triangle. Par la base et la hauteur. La formule de l'aire d'un cercle en fonction de son rayon et de son diamètre. |
||
|
Carré . À ses côtés. L'aire d'un carré est égale au carré de la longueur de son côté. |
|
|
|
Carré. Par sa diagonale. L'aire d'un carré est la moitié du carré de la longueur de sa diagonale. |
||
|
polygone régulier. Pour déterminer l'aire d'un polygone régulier, il faut le diviser en triangles égaux qui auraient un sommet commun au centre du cercle inscrit. |
S= r p = 1/2 r n une |
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