Le concept de la ligne médiane du trapèze
Pour commencer, rappelons-nous quelle forme s'appelle un trapèze.
Définition 1
Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et les deux autres non parallèles.
Dans ce cas, les côtés parallèles sont appelés les bases du trapèze, et non parallèles - les côtés du trapèze.
Définition 2
La ligne médiane d'un trapèze est un segment de ligne reliant les milieux des côtés du trapèze.
Théorème de la ligne médiane d'un trapèze
Maintenant, nous introduisons le théorème sur la ligne médiane d'un trapèze et le démontrons par la méthode vectorielle.
Théorème 1
La ligne médiane du trapèze est parallèle aux bases et égale à leur demi-somme.
Preuve.
Soit un trapèze $ ABCD $ de bases $ AD \ et \ BC $. Et soit $ MN $ la ligne médiane de ce trapèze (Fig. 1).
Figure 1. La ligne médiane du trapèze
Montrons que $ MN || AD \ et \ MN = \ frac (AD + BC) (2) $.
Considérons le vecteur $ \ overrightarrow (MN) $. Ensuite, nous utilisons la règle du polygone pour ajouter des vecteurs. D'une part, nous obtenons que
D'un autre côté
On additionne les deux dernières égalités, on obtient
Puisque $ M $ et $ N $ sont les milieux des côtés latéraux du trapèze, on aura
On a:
D'où
A partir de la même égalité (puisque $ \ overrightarrow (BC) $ et $ \ overrightarrow (AD) $ sont codirectionnels et donc colinéaires) on obtient $ MN || AD $.
Le théorème est démontré.
Exemples de tâches sur le concept de la ligne médiane d'un trapèze
Exemple 1
Les côtés du trapèze sont respectivement de 15 $ \ cm $ et 17 $ \ cm $. Le périmètre du trapèze est de 52 $ \ cm $. Trouvez la longueur de la ligne médiane du trapèze.
Solution.
Notons la ligne médiane du trapèze par $ n $.
La somme des côtés est
Par conséquent, puisque le périmètre est de 52 $ \ cm $, la somme des bases est
Ainsi, d'après le théorème 1, on obtient
Réponse: 10 $ \ cm $.
Exemple 2
Les extrémités du diamètre du cercle sont respectivement éloignées de sa tangente de 9 $ cm et de 5 $ cm. Trouvez le diamètre de ce cercle.
Solution.
Soit un cercle de centre $ O $ et de diamètre $ AB $. Tracez la tangente $ l $ et construisez les distances $ AD = 9 \ cm $ et $ BC = 5 \ cm $. Traçons le rayon $ OH $ (Fig. 2).
Figure 2.
Puisque $ AD $ et $ BC $ sont les distances à la tangente, alors $ AD \ bot l $ et $ BC \ bot l $ et puisque $ OH $ est le rayon, alors $ OH \ bot l $, donc $ OH | \ gauche | AD \ droite || BC $. De tout cela, nous obtenons que $ ABCD $ est un trapèze et $ OH $ est sa ligne médiane. D'après le théorème 1, on obtient
Un quadrilatère avec seulement deux côtés parallèles est appelé trapèze.
Les côtés parallèles du trapèze s'appellent terrains, et les côtés qui ne sont pas parallèles sont appelés côtés latéraux... Si les côtés sont égaux, alors un tel trapèze est isocèle. La distance entre les bases est appelée la hauteur du trapèze.
Ligne médiane du trapèze
La ligne médiane est le segment de ligne reliant les milieux des côtés du trapèze. La ligne médiane du trapèze est parallèle à ses bases.
Théorème:
Si une ligne droite traversant le milieu d'un côté est parallèle aux bases du trapèze, alors elle coupe le deuxième côté du trapèze.
Théorème:
La longueur de la ligne médiane est égale à la moyenne arithmétique des longueurs de ses bases
MN || AB || CCAM = MD ; NE = NC
MN ligne médiane, AB et CD - bases, AD et BC - côtés
MN = (AB + DC) / 2
Théorème:
La longueur de la ligne médiane du trapèze est égale à la moyenne arithmétique des longueurs de ses bases.
La tâche principale: Montrer que la ligne médiane d'un trapèze coupe en son milieu un segment dont les extrémités se trouvent au milieu de la base du trapèze.
Ligne médiane du triangle
Le segment reliant les milieux des deux côtés du triangle s'appelle la ligne médiane du triangle. Il est parallèle au troisième côté et fait la moitié de la longueur du troisième côté.
Théorème: Si une ligne coupant le milieu d'un côté d'un triangle est parallèle à l'autre côté de ce triangle, alors elle divise le troisième côté en deux.
AM = MC et BN = NC =>
Application des propriétés de la ligne médiane du triangle et du trapèze
Division d'un segment en un certain nombre de parties égales.
Tâche : Divisez le segment AB en 5 parties égales.
Solution:
Soit p un rayon aléatoire ayant pour origine le point A et ne se trouvant pas sur la ligne AB. On pose successivement 5 segments égaux sur p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Nous connectons A 5 à B et traçons de telles lignes passant par A 4, A 3, A 2 et A 1, qui sont parallèles à A 5 B. Elles coupent AB, respectivement, aux points B 4, B 3, B 2 et B 1 . Ces points divisent le segment de ligne AB en 5 parties égales. En effet, à partir du trapèze BB 3 A 3 A 5 on voit que BB 4 = B 4 B 3. De la même manière, à partir du trapèze B 4 B 2 A 2 A 4 on obtient B 4 B 3 = B 3 B 2
Tandis que d'un trapèze B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Alors de B 2 AA 2 il s'ensuit que B 2 B 1 = B 1 A. En conclusion, on obtient :
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Il est clair que pour diviser le segment AB en un autre nombre de parties égales, nous devons projeter le même nombre de segments égaux sur le rayon p. Et puis continuez de la manière décrite ci-dessus.
Dans cet article, nous avons fait pour vous une autre sélection de problèmes de trapèze. Les conditions sont en quelque sorte liées à sa ligne médiane. Les types de tâches sont tirés de la banque ouverte de tâches typiques. Si vous le souhaitez, vous pouvez rafraîchir vos connaissances théoriques. Le blog a déjà couvert les tâches dont les conditions sont également liées. En bref sur la ligne médiane :
La ligne médiane du trapèze relie les milieux des côtés latéraux. Elle est parallèle aux bases et égale à leur demi-somme.
Avant de résoudre les problèmes, regardons un exemple théorique.
Étant donné un trapèze ABCD. La diagonale AC coupant la ligne médiane forme un point K, la diagonale BD forme un point L. Montrer que le segment KL est égal à la moitié de la différence entre les bases.
Notons d'abord le fait que la ligne médiane d'un trapèze coupe en son milieu tout segment dont les extrémités reposent sur ses bases. Cette conclusion s'impose d'elle-même. Imaginez un segment reliant deux points de base, il divisera ce trapèze en deux autres. Il s'avère qu'un segment parallèle aux bases du trapèze et passant par le milieu du côté de l'autre côté passera par son milieu.
Il est également basé sur le théorème de Thales :
Si, sur l'une des deux droites, nous écartons successivement plusieurs segments égaux et dessinons par leurs extrémités des droites parallèles coupant la deuxième droite, alors ils couperont des segments égaux sur la deuxième droite.
C'est-à-dire que dans ce cas, K est le milieu de AC et L est le milieu de BD. Donc EK est la ligne médiane du triangle ABC, LF est la ligne médiane du triangle DCB. Par la propriété de la ligne médiane du triangle :
On peut maintenant exprimer le segment KL à travers les bases :
Éprouvé!
Cet exemple est donné pour une raison. Dans les problèmes pour une solution indépendante, il y a juste un tel problème. Seulement, il ne dit pas que le segment reliant les milieux des diagonales se trouve sur la ligne médiane. Considérez les tâches :
27819. Trouvez la ligne médiane d'un trapèze si ses bases sont 30 et 16.
On calcule par la formule :
27820. La ligne médiane du trapèze est 28 et la plus petite base est 18. Trouvez la plus grande base du trapèze.
Exprimons une base plus large :
De cette façon:
27836. La perpendiculaire, abaissée du sommet de l'angle obtus à la plus grande base du trapèze isocèle, le divise en parties de longueurs 10 et 4. Trouvez la ligne médiane de ce trapèze.
Afin de trouver la ligne médiane, vous devez connaître la base. La base AB est facile à trouver : 10 + 4 = 14. Trouvez DC.
Construisons la deuxième perpendiculaire DF :
AF, FE et EB seront respectivement 4, 6 et 4. Pourquoi ?
Dans un trapèze isocèle, les perpendiculaires abaissées à la plus grande base le divisent en trois segments. Deux d'entre eux, qui sont les jambes des triangles rectangles coupés, sont égaux l'un à l'autre. Le troisième segment est égal à la plus petite base, car lors de la construction des hauteurs indiquées, un rectangle est formé et dans le rectangle, les côtés opposés sont égaux. Dans cette tâche :
Donc DC = 6. On calcule :
27839. Les bases du trapèze sont 2: 3, et la ligne médiane est 5. Trouvez la plus petite base.
Introduisons le coefficient de proportionnalité x. Alors AB = 3x, DC = 2x. Nous pouvons écrire:
Par conséquent, la plus petite base est 2 2 = 4.
27840. Le périmètre d'un trapèze isocèle est de 80, sa ligne médiane est égale au côté latéral. Trouvez le côté du trapèze.
En fonction de la condition, on peut écrire :
Si vous désignez la ligne médiane passant par la valeur de x, vous obtenez :
La deuxième équation peut déjà s'écrire sous la forme :
27841. La ligne médiane du trapèze est 7, et l'une de ses bases est plus grande que l'autre de 4. Trouvez la plus grande base du trapèze.
Notons x la plus petite base (DC), puis la plus grande (AB) sera égale à x + 4. Nous pouvons écrire
Nous avons compris que la base inférieure est au début de cinq, donc la plus grande est de 9.
27842. La ligne médiane du trapèze est 12. L'une des diagonales le divise en deux segments, dont la différence est 2. Trouvez la plus grande base du trapèze.
Nous pouvons facilement trouver la plus grande base du trapèze si nous calculons le segment EO. C'est la ligne médiane du triangle ADB, et AB = 2 EO.
Qu'avons-nous? On dit que la ligne médiane est 12 et la différence entre les segments EO et OF est 2. On peut écrire deux équations et résoudre le système :
Il est clair que dans ce cas, il est possible de prendre une paire de nombres sans calculs, ce sont 5 et 7. Mais, néanmoins, nous allons résoudre le système :
D'où EO = 12–5 = 7. Ainsi, la plus grande base est égale à AB = 2 EO = 14.
27844. Dans un trapèze isocèle, les diagonales sont perpendiculaires. La hauteur du trapèze est 12. Trouvez sa ligne médiane.
Immédiatement, nous notons que la hauteur tirée par le point d'intersection des diagonales dans un trapèze isocèle se trouve sur l'axe de symétrie et divise le trapèze en deux trapèzes rectangulaires égaux, c'est-à-dire que les bases de cette hauteur sont divisées en deux.
Il semblerait que pour calculer la ligne médiane, il faille trouver les bases. Ici se pose une petite impasse... Comment, connaissant la hauteur, dans ce cas, calculer les bases ? Et pas comment ! Il existe de nombreux trapèzes de ce type avec une hauteur fixe et des diagonales se coupant à un angle de 90 degrés. Comment être?
Regardez la formule de la ligne médiane d'un trapèze. Après tout, il ne nous est pas nécessaire de connaître les motifs eux-mêmes, il suffit de connaître leur somme (ou demi-somme). Nous pouvons le faire.
Puisque les diagonales se coupent à angle droit, des triangles rectangles isocèles sont formés avec la hauteur EF :
De ce qui précède, il s'ensuit que FO = DF = FC et OE = AE = EB. Écrivons maintenant quelle est la hauteur exprimée en fonction des segments DF et AE :
La ligne médiane est donc 12.
* En général, il s'agit, comme vous le comprenez, d'une tâche de comptage verbal. Mais je suis sûr que l'explication détaillée fournie est nécessaire. Et donc... Si vous regardez la figure (à condition que l'angle entre les diagonales soit respecté lors de la construction), l'égalité FO = DF = FC, et OE = AE = EB, saute immédiatement aux yeux.
Dans le cadre des prototypes, il existe également des types de tâches avec des trapèzes. Il est construit sur une feuille dans une cage et vous devez trouver la ligne médiane, le côté de la cage est généralement 1, mais il peut y avoir une valeur différente.
27848. Trouvez la ligne médiane du trapèze A B C D si les côtés des cellules carrées sont 1.
C'est simple, on calcule les bases par cellules et on utilise la formule : (2 + 4) / 2 = 3
Si les bases sont construites à un angle par rapport à la grille de cellules, alors il y a deux façons. Par exemple!
Objectifs de la leçon:
1) familiariser les élèves avec le concept de la ligne médiane d'un trapèze, considérer ses propriétés et les prouver;
2) apprendre à construire la ligne médiane d'un trapèze ;
3) développer la capacité des élèves à utiliser la définition de la ligne médiane du trapèze et les propriétés de la ligne médiane du trapèze lors de la résolution de problèmes;
4) continuer à former la capacité des élèves à parler correctement, en utilisant les termes mathématiques nécessaires; prouver votre point de vue;
5) développer la pensée logique, la mémoire, l'attention.
Pendant les cours
1. La vérification des devoirs a lieu pendant la leçon. Les devoirs étaient oraux, rappelez-vous :
a) définition d'un trapèze ; types de trapèzes;
b) déterminer la ligne médiane du triangle ;
c) la propriété de la ligne médiane du triangle ;
d) un signe de la ligne médiane d'un triangle.
2. Apprendre du nouveau matériel.
a) Le trapèze ABCD est représenté au tableau.
b) L'enseignant propose de se souvenir de la définition d'un trapèze. Chaque pupitre d'école dispose d'un diagramme d'indices qui aide à se souvenir des concepts de base du sujet "Trapèze" (voir Annexe 1). L'annexe 1 est délivrée pour chaque pupitre d'école.
Les élèves dessinent le trapèze ABCD dans un cahier.
c) L'enseignant propose de se rappeler dans quel sujet le concept de ligne médiane a été rencontré (« La ligne médiane d'un triangle »). Les élèves rappellent la définition de la ligne médiane d'un triangle et sa propriété.
e) Écrivez la définition de la ligne médiane du trapèze, en la décrivant dans un cahier.
Ligne médiane un trapèze est appelé un segment reliant les milieux de ses côtés latéraux.
La propriété de la ligne médiane d'un trapèze à ce stade reste à prouver, donc la prochaine étape de la leçon consiste à travailler sur la preuve de la propriété de la ligne médiane d'un trapèze.
Théorème. La ligne médiane du trapèze est parallèle à ses bases et est égale à leur demi-somme.
Donné: ABCD - trapèze,
MN - ligne médiane ABCD
Prouver, Quel:
1. C.-B. || MN || UN D.
2. MN = (AD + BC).
Nous pouvons écrire quelques-unes des conséquences qui découlent des conditions du théorème :
AM = MB, CN = ND, BC || UN D.
Il est impossible de prouver ce qui est requis sur la base des seules propriétés répertoriées. Un système de questions et d'exercices doit conduire les étudiants à vouloir relier la ligne médiane d'un trapèze à la ligne médiane d'un triangle dont ils connaissent déjà les propriétés. S'il n'y a pas de suggestions, alors vous pouvez poser la question : comment construire un triangle dont le segment MN serait la ligne médiane ?
Écrivons une construction supplémentaire pour l'un des cas.
Tracez la ligne BN coupant le prolongement du côté AD au point K.
Des éléments supplémentaires apparaissent - des triangles : ABD, BNM, DNK, BCN. Si nous prouvons que BN = NK, cela signifiera que MN est la ligne médiane de ABD, et il sera alors possible d'utiliser la propriété de la ligne médiane d'un triangle et de prouver ce qui est nécessaire.
Preuve:
1. Considérez BNC et DNK, en eux :
a) CNB = DNK (propriété de l'angle vertical);
b) BCN = NDK (propriété des coins croisés) ;
c) CN = ND (par le corollaire aux conditions du théorème).
D'où BNC = DNK (le long du côté et de deux coins adjacents).
C.Q.D.
La preuve peut être faite à l'oral dans le cours, et à la maison elle peut être restituée et consignée dans un cahier (à la discrétion de l'enseignant).
Il faut dire sur les autres façons possibles de prouver ce théorème :
1. Tracez l'une des diagonales du trapèze et utilisez le signe et la propriété de la ligne médiane du triangle.
2. Exécuter CF || BA et considérons le parallélogramme ABCF et DCF.
3. Conduire EF || BA et considérer l'égalité de FND et ENC.
g) A ce stade, les devoirs sont donnés : page 84, manuel, éd. Atanasyan L.S. (preuve de la propriété de la ligne médiane d'un trapèze de façon vectorielle), écrivez dans un cahier.
h) On résout les problèmes d'utilisation de la définition et des propriétés de la ligne médiane d'un trapèze selon les dessins finis (voir Annexe 2). L'annexe 2 est remise à chaque élève, et la solution des problèmes est rédigée sur la même feuille sous une forme abrégée.
Zone trapèze. Les salutations! Dans cet article, nous examinerons la formule spécifiée. Pourquoi est-elle exactement la même et comment la comprendre. S'il y a compréhension, alors vous n'avez pas besoin de l'apprendre. Si vous voulez juste voir cette formule et ce qui est urgent, alors vous pouvez immédiatement faire défiler la page))
Maintenant en détail et dans l'ordre.
Un trapèze est un quadrilatère, deux côtés de ce quadrilatère sont parallèles, les deux autres ne le sont pas. Ceux qui ne sont pas parallèles sont les bases du trapèze. Les deux autres sont appelés côtés.
Si les côtés sont égaux, le trapèze est appelé isocèle. Si l'un des côtés latéraux est perpendiculaire aux bases, un tel trapèze est appelé rectangulaire.
Dans la forme classique, le trapèze est représenté comme suit - la plus grande base est en bas, respectivement, la plus petite est en haut. Mais personne n'interdit de la représenter et vice versa. Voici les croquis :
Le prochain concept important.
La ligne médiane du trapèze est le segment de ligne qui relie les milieux des côtés. La ligne médiane est parallèle aux bases du trapèze et est égale à leur demi-somme.
Approfondissons maintenant. Pourquoi en est-il ainsi ?
Considérons un trapèze avec des bases a et b et avec la ligne médiane je, et nous allons effectuer quelques constructions supplémentaires : tracez des lignes droites passant par les bases, et des perpendiculaires passant par les extrémités de la ligne médiane jusqu'à ce qu'elles coupent les bases :
* Les désignations alphabétiques des sommets et autres points ne sont pas délibérément introduites afin d'éviter les désignations inutiles.
Regardez, les triangles 1 et 2 sont égaux dans le deuxième signe d'égalité des triangles, les triangles 3 et 4 sont les mêmes. L'égalité des triangles implique l'égalité des éléments, à savoir les jambes (elles sont indiquées respectivement en bleu et en rouge).
Maintenant attention ! Si nous "coupons" mentalement les segments bleu et rouge de la base inférieure, nous aurons alors un segment (c'est le côté du rectangle) égal à la ligne médiane. De plus, si nous "collons" la ligne bleue et rouge coupée à la base supérieure du trapèze, nous obtiendrons également un segment (c'est aussi le côté du rectangle) égal à la ligne médiane du trapèze.
J'ai compris? Il s'avère que la somme des bases sera égale aux deux lignes médianes du trapèze :
Voir une autre explication
Faisons ce qui suit - construisons une ligne droite passant par la base inférieure du trapèze et une ligne droite qui passera par les points A et B :
On obtient les triangles 1 et 2, ils sont égaux sur le côté et les angles qui lui sont adjacents (le deuxième signe d'égalité des triangles). Cela signifie que le segment résultant (dans le croquis, il est indiqué en bleu) est égal à la base supérieure du trapèze.
Considérons maintenant le triangle :
* La ligne médiane de ce trapèze et la ligne médiane du triangle coïncident.
On sait qu'un triangle est égal à la moitié de sa base parallèle, c'est-à-dire :
D'accord, arrangé. Maintenant sur la zone du trapèze.
Formule de la zone trapézoïdale :
On dit : l'aire d'un trapèze est égale au produit de la demi-somme de ses bases et de la hauteur.
C'est-à-dire qu'il s'avère qu'il est égal au produit de la ligne médiane et de la hauteur :
Vous avez probablement remarqué maintenant que c'est évident. Géométriquement, cela peut s'exprimer de la manière suivante : si l'on coupe mentalement les triangles 2 et 4 du trapèze et que l'on les met, respectivement, sur les triangles 1 et 3 :
On obtient alors un rectangle d'aire égale à l'aire de notre trapèze. L'aire de ce rectangle sera égale au produit de la ligne médiane et de la hauteur, c'est-à-dire qu'on peut écrire :
Mais le point ici n'est pas dans l'enregistrement, bien sûr, mais dans la compréhension.
Télécharger (visualiser) le matériel de l'article au format * pdf
C'est tout. Succès à vous !
Cordialement, Alexandre.
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