Le carré de la somme de deux expressions
Il existe un certain nombre de cas où la multiplication d'un polynôme par un polynôme peut être grandement simplifiée. Tel est par exemple le cas (2 X+ 3y) 2 .
Expression (2 X+ 3y) 2 est la multiplication de deux polynômes dont chacun est égal à (2 X+ 3y)
(2X+ 3y) 2 = (2X+ 3y)(2X+ 3y)
Nous avons obtenu la multiplication d'un polynôme par un polynôme. Exécutons-le :
(2X+ 3y) 2 = (2X+ 3y)(2X+ 3y) = 4X 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4X 2 + 12xy+ 9y 2
Autrement dit, l'expression (2 X+ 3y) 2 est égal à 4X 2 + 12xy + 9y 2
(2X+ 3y) 2 = 4X 2 + 12xy+ 9y 2
Résolvons un exemple similaire, qui est plus simple :
(a+b) 2
Expression ( a+b) 2 est la multiplication de deux polynômes dont chacun est égal à ( a+b)
(a+b) 2 = (a+b)(a+b)
Faisons cette multiplication :
(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = un 2 + un B + un B + b 2 = un 2 + 2un B + b 2
C'est l'expression (a+b) 2 est égal à un 2 + 2un B + b 2
(a+b) 2 = un 2 + 2un B + b 2
Il s'avère que le cas ( a+b) 2 peut être prolongé pour tout un et b. Le premier exemple que nous avons résolu, à savoir (2 X+ 3y) 2 peut être résolu en utilisant l'identité (a+b) 2 = un 2 + 2un B + b 2 . Pour ce faire, vous devez substituer au lieu de variables un et b termes correspondants de l'expression (2 X+ 3y) 2 . Dans ce cas, la variable un match bite 2 X, et la variable b correspondre à la bite 3 y
un = 2X
b = 3y
Et puis nous pouvons utiliser l'identité (a+b) 2 = un 2 + 2un B + b 2 , mais au lieu de variables un et b vous devez remplacer les expressions 2 X et 3 y respectivement:
(2X+ 3y) 2 = (2X) 2 + 2 × 2 X× 3 y + (3y) 2 = 4X 2 + 12xy+ 9y 2
Comme la dernière fois, on a un polynôme 4X 2 + 12xy+ 9y 2 . La solution est généralement écrite plus courte, effectuant toutes les transformations élémentaires dans l'esprit :
(2X+ 3y) 2 = 4X 2 + 12xy+ 9y 2
Identité (a+b) 2 = un 2 + 2un B + b 2 s'appelle la formule du carré de la somme de deux expressions. Cette formule peut être lue comme suit :
Le carré de la somme de deux expressions est égal au carré de la première expression plus deux fois le produit de la première expression et de la seconde plus le carré de la deuxième expression.
Considérons l'expression (2 + 3) 2 . Il peut être calculé de deux manières : effectuer une addition entre parenthèses et mettre le résultat au carré, ou utiliser la formule du carré de la somme de deux expressions.
Première manière :
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
Deuxième manière :
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
Exemple 2. Convertir l'expression (5 un+ 3) 2 en un polynôme.
Utilisons la formule du carré de la somme de deux expressions :
(a+b) 2 = un 2 + 2un B + b 2
(5un + 3) 2 = (5un) 2 + 2 × 5 un × 3 + 3 2 = 25un 2 + 30un + 9
Moyens, (5un + 3) 2 = 25un 2 + 30un + 9.
Essayons de résoudre cet exemple sans utiliser la formule somme carrée. Nous devrions obtenir le même résultat :
(5un + 3) 2 = (5un + 3)(5un + 3) = 25un 2 + 15un + 15un + 9 = 25un 2 + 30un + 9
La formule du carré de la somme de deux expressions a une signification géométrique. Nous nous souvenons que pour calculer l'aire d'un carré, vous devez élever son côté à la puissance seconde.
Par exemple, l'aire d'un carré de côté un sera égal à un 2. Si vous augmentez le côté du carré de b, alors l'aire sera égale à ( a+b) 2
Considérez la figure suivante :
Imaginez que le côté du carré représenté sur cette figure soit augmenté de b. Un carré a tous ses côtés égaux. Si son côté est augmenté de b, alors les autres côtés augmenteront également de b
Le résultat est un nouveau carré, plus grand que le précédent. Pour bien le voir, complétons les côtés manquants :
Pour calculer l'aire de ce carré, vous pouvez calculer séparément les carrés et les rectangles qu'il contient, puis ajouter les résultats.
Tout d'abord, vous pouvez calculer un carré de côté un- son aire sera égale à un 2. Ensuite, vous pouvez calculer des rectangles avec des côtés un et b- ils seront égaux un B. Ensuite, vous pouvez calculer un carré de côté b
Le résultat est la somme des aires suivante :
un 2 + ab+ab + b 2
La somme des aires de rectangles identiques peut être remplacée en multipliant 2 un B, ce qui signifie littéralement "répéter deux fois l'aire du rectangle ab" . Algébriquement, cela s'obtient en réduisant les termes semblables un B et un B. Le résultat est une expression un 2 + 2un B+ b 2 , qui est le côté droit de la formule du carré de la somme de deux expressions :
(a+b) 2 = un 2 + 2un B+ b 2
Le carré de la différence de deux expressions
La formule du carré de la différence de deux expressions est la suivante :
(un B) 2 = un 2 − 2un B + b 2
Le carré de la différence de deux expressions est égal au carré de la première expression moins deux fois le produit de la première expression et de la seconde plus le carré de la deuxième expression.
La formule du carré de la différence de deux expressions est dérivée de la même manière que la formule du carré de la somme de deux expressions. Expression ( un B) 2 est le produit de deux polynômes dont chacun est égal à ( un B)
(un B) 2 = (un B)(un B)
Si vous effectuez cette multiplication, vous obtenez un polynôme un 2 − 2un B + b 2
(un B) 2 = (un B)(un B) = un 2 − un B− un B+ b 2 = un 2 − 2un B + b 2
Exemple 1. Convertir l'expression (7 X− 5) 2 en un polynôme.
Utilisons la formule du carré de la différence de deux expressions :
(un B) 2 = un 2 − 2un B + b 2
(7X− 5) 2 = (7X) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49X 2 − 70X + 25
Moyens, (7X− 5) 2 = 49X 2 + 70X + 25.
Essayons de résoudre cet exemple sans utiliser la formule du carré des différences. Nous devrions obtenir le même résultat :
(7X− 5) 2 = (7X− 5) (7X− 5) = 49X 2 − 35X − 35X + 25 = 49X 2 − 70X+ 25.
La formule du carré de la différence de deux expressions a aussi une signification géométrique. Si l'aire d'un carré de côté un est égal à un 2 , puis l'aire du carré dont le côté est réduit de b, sera égal à ( un B) 2
Considérez la figure suivante :
Imaginez que le côté du carré représenté sur cette figure soit réduit de b. Un carré a tous ses côtés égaux. Si un côté est réduit de b, alors les autres côtés diminueront également de b
Le résultat est un nouveau carré, plus petit que le précédent. Il est surligné en jaune sur la figure. Son côté est un− b depuis l'ancien côté un diminué de b. Pour calculer l'aire de ce carré, vous pouvez utiliser l'aire d'origine du carré un 2 soustrayez les aires des rectangles obtenus lors du processus de réduction des côtés de l'ancien carré. Montrons ces rectangles :
On peut alors écrire l'expression suivante : zone ancienne un 2 zone moins un B zone moins ( un B)b
un 2 − un B − (un B)b
Développez les crochets dans l'expression ( un B)b
un 2 − ab - ab + b 2
Voici des termes similaires :
un 2 − 2un B + b 2
Le résultat est une expression un 2 − 2un B + b 2 , qui est le côté droit de la formule du carré de la différence de deux expressions :
(un B) 2 = un 2 − 2un B + b 2
Les formules du carré de la somme et du carré de la différence sont généralement appelées formules de multiplication abrégées. Ces formules vous permettent de simplifier et d'accélérer considérablement le processus de multiplication des polynômes.
Nous avons dit précédemment que si l'on considère un membre d'un polynôme séparément, il doit être considéré avec le signe qui se trouve devant lui.
Mais lors de l'application des formules de multiplication abrégées, le signe du polynôme d'origine ne doit pas être considéré comme le signe de ce terme lui-même.
Par exemple, étant donné l'expression (5 X − 2y) 2 , et nous voulons utiliser la formule (un B) 2 = un 2 − 2un B + b 2 , alors au lieu de b besoin de remplacer 2 y, pas −2 y. C'est une caractéristique du travail avec des formules qu'il ne faut pas oublier.
(5X − 2y) 2
un = 5X
b = 2y
(5X − 2y) 2 = (5X) 2 − 2 × 5 X×2 y + (2y) 2 = 25X 2 − 20xy + 4y 2
Si on substitue −2 y, cela signifie que la différence entre les parenthèses de l'expression originale a été remplacée par la somme :
(5X − 2y) 2 = (5X + (−2y)) 2
et dans ce cas il faut appliquer non pas la formule du carré de la différence, mais la formule du carré de la somme :
(5X + (−2y) 2
un = 5X
b = −2y
(5X + (−2y)) 2 = (5X) 2 + 2 × 5 X× (−2 y) + (−2y) 2 = 25X 2 − 20xy + 4y 2
Une exception peut être les expressions de la forme (X− (−y)) 2 . Dans ce cas, en utilisant la formule (un B) 2 = un 2 − 2un B + b 2 à la place de b doit être remplacé (− y)
(X− (−y)) 2 = X 2 − 2 × X× (− y) + (−y) 2 = X 2 + 2xy + y 2
Mais les expressions au carré de la forme X − (−y) , il sera plus commode de remplacer la soustraction par l'addition x+y. Alors l'expression originale prendra la forme ( x +y) 2 et il sera possible d'utiliser la formule du carré de la somme, et non la différence :
(x +y) 2 = X 2 + 2xy + y 2
Cube somme et cube différence
Les formules du cube de la somme de deux expressions et du cube de la différence de deux expressions sont les suivantes :
(un + b) 3 = un 3 + 3un 2 b + 3un B 2 + b 3
(un B) 3 = un 3 − 3un 2 b + 3un B 2 − b 3
La formule du cube de la somme de deux expressions peut être lue comme ceci :
Le cube de la somme de deux expressions est égal au cube de la première expression plus trois fois le carré de la première expression fois la seconde plus trois fois le produit de la première expression fois le carré de la seconde plus le cube de la seconde expression.
Et la formule du cube de la différence de deux expressions peut être lue comme suit :
Le cube de la différence de deux expressions est égal au cube de la première expression moins trois fois le produit du carré de la première expression et de la seconde plus trois fois le produit de la première expression et du carré de la seconde moins le cube de la seconde expression.
Lors de la résolution de problèmes, il est souhaitable de connaître ces formules par cœur. Si vous ne vous en souvenez pas, ne vous inquiétez pas ! Vous pouvez les retirer vous-même. Nous savons déjà comment.
Dérivons nous-mêmes la formule du cube somme :
(a+b) 3
Expression ( a+b) 3 est un produit de trois polynômes dont chacun est égal à ( un+ b)
(a+b) 3 = (un+ b)(un+ b)(un+ b)
Mais l'expression ( a+b) 3 peut aussi s'écrire (un+ b)(un+ b) 2
(a+b) 3 = (un+ b)(un+ b) 2
Dans ce cas, le facteur ( un+ b) 2 est le carré de la somme des deux expressions. Ce carré de la somme est égal à l'expression un 2 + 2un B + b 2 .
Alors ( a+b) 3 peut s'écrire (un+ b)(un 2 + 2un B + b 2) .
(a+b) 3 = (un+ b)(un 2 + 2un B + b 2)
Et c'est la multiplication d'un polynôme par un polynôme. Exécutons-le :
(a+b) 3 = (un+ b)(un 2 + 2un B + b 2) = un 3 + 2un 2 b + un B 2 + un 2 b + 2un B 2 + b 3 = un 3 + 3un 2 b + 3un B 2 + b 3
De même, vous pouvez dériver la formule du cube de la différence de deux expressions :
(un B) 3 = (un- b)(un 2 − 2un B + b 2) = un 3 − 2un 2 b + un B 2 − un 2 b + 2un B 2 − b 3 = un 3 − 3un 2 b+ 3un B 2 − b 3
Exemple 1. Convertissez l'expression ( X+ 1) 3 en un polynôme.
(un + b) 3 = un 3 + 3un 2 b + 3un B 2 + b 3
(X+ 1) 3 = X 3+3× X 2×1 + 3× X× 1 2 + 1 3 = X 3 + 3X 2 + 3X + 1
Essayons de résoudre cet exemple sans utiliser la formule du cube de la somme de deux expressions
(X+ 1) 3 = (X+ 1)(X+ 1)(X+ 1) = (X+ 1)(X 2 + 2X + 1) = X 3 + 2X 2 + X + X 2 + 2X + 1 = X 3 + 3X 2 + 3X + 1
Exemple 2. Convertir l'expression (6un 2 + 3b 3) 3 en un polynôme.
Utilisons la formule du cube pour la somme de deux expressions :
(un + b) 3 = un 3 + 3un 2 b + 3un B 2 + b 3
(6un 2 + 3b 3) 3 = (6un 2) 3 + 3 × (6 un 2) 2×3 b 3+3×6 un 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216un 6+3×36 un 4×3 b 3+3×6 un 2×9 b 6 + 27b 9
Exemple 3. Convertir l'expression ( n 2 − 3) 3 en un polynôme.
(un B) = un 3 − 3un 2 b + 3un B 2 − b 3
(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
Exemple 4. Convertir l'expression (2X 2 − X 3) 3 en un polynôme.
Utilisons la formule du cube de la différence de deux expressions :
(un B) = un 3 − 3un 2 b + 3un B 2 − b 3
(2X 2 − X 3) 3 = (2X 2) 3 − 3 × (2 X 2) 2× X 3+3×2 X 2×( X 3) 2 − (X 3) 3 =
8X 6 - 3 × 4 X 4× X 3+3×2 X 2× X 6 − X 9 =
8X 6 − 12X 7 + 6X 8 − X 9
Multiplier la différence de deux expressions par leur somme
Il existe des problèmes dans lesquels il est nécessaire de multiplier la différence de deux expressions par leur somme. Par exemple:
(un B)(a+b)
Dans cette expression, la différence de deux expressions un et b multiplié par la somme des deux mêmes expressions. Faisons cette multiplication :
(un B)(a+b) = un 2 + un B − un B − b 2 = un 2 − b 2
C'est l'expression (un B)(a+b) équivaut à un 2 − b 2
(un B)(a+b) = un 2 − b 2
On voit qu'en multipliant la différence de deux expressions par leur somme, on obtient la différence des carrés de ces expressions.
Le produit de la différence de deux expressions par leur somme est égal à la différence des carrés de ces expressions.
Événement (un B)(a+b) peut être étendu à n'importe quel un et b. En termes simples, si lors de la résolution d'un problème, il est nécessaire de multiplier la différence de deux expressions par leur somme, cette multiplication peut être remplacée par la différence des carrés de ces expressions.
Exemple 1. Effectuer la multiplication (2X − 5)(2X + 5)
Dans cet exemple, la différence d'expression est 2 X et 5 multiplié par la somme de ces mêmes expressions. Alors selon la formule (un B)(a+b) = un 2 − b 2 Nous avons:
(2X − 5)(2X + 5) = (2X) 2 − 5 2
On calcule le côté droit, on obtient 4 X 2 − 25
(2X − 5)(2X + 5) = (2X) 2 − 5 2 = 4X 2 − 25
Essayons de résoudre cet exemple sans utiliser la formule (un B)(a+b) = un 2 − b 2 . Nous obtiendrons le même résultat 4 X 2 − 25
(2X − 5)(2X + 5) = 4X 2 − 10X + 10X − 25 = 4X 2 − 25
Exemple 2. Effectuer la multiplication (4X − 5y)(4X + 5y)
(un B)(a+b) = un 2 − b 2
(4X − 5y)(4X + 5y) = (4X) 2 − (5y) 2 = 16X 2 − 25y 2
Exemple 3. Effectuer la multiplication (2un+ 3b)(2un− 3b)
Utilisons la formule pour multiplier la différence de deux expressions par leur somme :
(un B)(a+b) = un 2 − b 2
(2un + 3b)(2un- 3b) = (2un) 2 − (3b) 2 = 4un 2 − 9b 2
Dans cet exemple, la somme des termes est 2 un et 3 b situé plus tôt que la différence de ces termes. Et dans la formule (un B)(a+b) = un 2 − b 2 la différence se situe plus tôt.
Peu importe la façon dont les facteurs sont disposés ( un B) dans ( a+b) dans la formule. Ils peuvent être écrits comme (un B)(a+b) , et (a+b)(un B) . Le résultat sera toujours un 2 − b 2 , puisque le produit ne change pas d'une permutation des facteurs.
Ainsi, dans cet exemple, les facteurs (2 un + 3b) et 2 un- 3b) peut s'écrire (2un + 3b)(2un- 3b) , et (2un- 3b)(2un + 3b) . Le résultat sera toujours 4. un 2 − 9b 2 .
Exemple 3. Effectuer la multiplication (7 + 3X)(3X − 7)
Utilisons la formule pour multiplier la différence de deux expressions par leur somme :
(un B)(a+b) = un 2 − b 2
(7 + 3X)(3X − 7) = (3X) 2 − 7 2 = 9X 2 − 49
Exemple 4. Effectuer la multiplication (X 2 − y 3)(X 2 + y 3)
(un B)(a+b) = un 2 − b 2
(X 2 − y 3)(X 2 + y 3) = (X 2) 2 − (y 3) 2 = X 4 − y 6
Exemple 5. Effectuer la multiplication (−5X− 3y)(5X− 3y)
Dans l'expression (−5 X− 3y) on enlève −1, alors l'expression originale prendra la forme suivante :
(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y)
Travailler (5X + 3y)(5X − 3y) remplacer par la différence des carrés :
(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2)
La différence des carrés était entre parenthèses. Si cela n'est pas fait, alors il s'avérera que −1 n'est multiplié que par (5 X) 2 . Et cela conduira à une erreur et modifiera la valeur de l'expression d'origine.
(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2) = −1(25X 2 − 9X 2)
Multipliez maintenant −1 par l'expression entre parenthèses et obtenez le résultat final :
(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2) =
−1(25X 2 − 9y 2) = −25X 2 + 9y 2
Multiplier la différence de deux expressions par le carré incomplet de leur somme
Il y a des problèmes dans lesquels il faut multiplier la différence de deux expressions par le carré incomplet de leur somme. Cette pièce ressemble à ceci :
(un B)(un 2 + un B + b 2)
Premier polynôme ( un B) est la différence de deux expressions, et le deuxième polynôme (un 2 + un B + b 2) est le carré incomplet de la somme de ces deux expressions.
Le carré incomplet de la somme est un polynôme de la forme un 2 + un B + b 2 . Il est similaire au carré habituel de la somme un 2 + 2un B + b 2
Par exemple, l'expression 4X 2 + 6xy + 9y 2 est un carré incomplet de la somme des expressions 2 X et 3 y .
En effet, le premier terme de l'expression 4X 2 + 6xy + 9y 2 , à savoir 4 X 2 est le carré de l'expression 2 X, puisque (2 X) 2 = 4X 2. Le troisième terme de l'expression 4X 2 + 6xy + 9y 2 , à savoir 9 y 2 est le carré de 3 y, car (3 y) 2 = 9y 2. mi bite 6 xy, est le produit des expressions 2 X et 3 y.
Multiplions donc la différence ( un B) par un carré incomplet de la somme un 2 + un B + b 2
(un B)(un 2 + un B + b 2) = un(un 2 + ab + b 2) − b(un 2 + un B + b 2) =
un 3 + un 2 b + un B 2 − un 2 b − un B 2 − b 3 = un 3 − b 3
C'est l'expression (un B)(un 2 + un B + b 2) équivaut à un 3 − b 3
(un B)(un 2 + un B + b 2) = un 3 − b 3
Cette identité s'appelle la formule pour multiplier la différence de deux expressions par le carré incomplet de leur somme. Cette formule peut être lue comme suit :
Le produit de la différence de deux expressions par le carré incomplet de leur somme est égal à la différence des cubes de ces expressions.
Exemple 1. Effectuer la multiplication (2X − 3y)(4X 2 + 6xy + 9y 2)
Premier polynôme (2 X − 3y) est la différence de deux expressions 2 X et 3 y. Deuxième polynôme 4X 2 + 6xy + 9y 2 est le carré incomplet de la somme de deux expressions 2 X et 3 y. Cela nous permet d'utiliser la formule sans faire de longs calculs (un B)(un 2 + un B + b 2) = un 3 − b 3 . Dans notre cas, la multiplication (2X − 3y)(4X 2 + 6xy + 9y 2) peut être remplacé par la différence de cubes 2 X et 3 y
(2X − 3y)(4X 2 + 6xy + 9y 2) = (2X) 3 − (3y) 3 = 8X 3 − 27y 3
(un B)(un 2 + un B+ b 2) = un 3 − b 3 . On obtient le même résultat, mais la solution devient plus longue :
(2X − 3y)(4X 2 + 6xy + 9y 2) = 2X(4X 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4X 2 + 6xy + 9y 2) =
8x3 + 12X 2 y + 18xy 2 − 12X 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8X 3 − 27y 3
Exemple 2. Effectuer la multiplication (3 − X)(9 + 3X + X 2)
Le premier polynôme (3 − X) est la différence des deux expressions, et le deuxième polynôme est le carré incomplet de la somme de ces deux expressions. Cela nous permet d'utiliser la formule (un B)(un 2 + un B + b 2) = un 3 − b 3
(3 − X)(9 + 3X + X 2) = 3 3 − X 3 = 27 − X 3
Multiplier la somme de deux expressions par le carré incomplet de leur différence
Il existe des problèmes dans lesquels il est nécessaire de multiplier la somme de deux expressions par le carré incomplet de leur différence. Cette pièce ressemble à ceci :
(a+b)(un 2 − un B + b 2)
Premier polynôme ( a+b (un 2 − un B + b 2) est un carré incomplet de la différence de ces deux expressions.
Le carré incomplet de la différence est un polynôme de la forme un 2 − un B + b 2 . Il est similaire à la différence au carré habituelle un 2 − 2un B + b 2 sauf que le produit de la première et de la seconde expression n'y est pas doublé.
Par exemple, l'expression 4X 2 − 6xy + 9y 2 est un carré incomplet de la différence des expressions 2 X et 3 y.
(2X) 2 − 2X× 3 y + (3y) 2 = 4X 2 − 6xy + 9y 2
Revenons à l'exemple initial. Multiplions la somme a+b par le carré incomplet de la différence un 2 − un B + b 2
(a+b)(un 2 − un B + b 2) = un(un 2 − ab + b 2) + b(un 2 − un B + b 2) =
un 3 − un 2 b + un B 2 + un 2 b − un B 2 + b 3 = un 3 + b 3
C'est l'expression (a+b)(un 2 − un B + b 2) équivaut à un 3 + b 3
(a+b)(un 2 − un B + b 2) = un 3 + b 3
Cette identité s'appelle la formule pour multiplier la somme de deux expressions par le carré incomplet de leur différence. Cette formule peut être lue comme suit :
Le produit de la somme de deux expressions par le carré incomplet de leur différence est égal à la somme des cubes de ces expressions.
Exemple 1. Effectuer la multiplication (2X + 3y)(4X 2 − 6xy + 9y 2)
Premier polynôme (2 X + 3y) est la somme de deux expressions 2 X et 3 y, et le deuxième polynôme 4X 2 − 6xy + 9y 2 est le carré incomplet de la différence de ces expressions. Cela nous permet d'utiliser la formule sans faire de longs calculs (a+b)(un 2 − un B + b 2) = un 3 + b 3 . Dans notre cas, la multiplication (2X + 3y)(4X 2 − 6xy + 9y 2) peut être remplacé par la somme des cubes 2 X et 3 y
(2X + 3y)(4X 2 − 6xy + 9y 2) = (2X) 3 + (3y) 3 = 8X 3 + 27y 3
Essayons de résoudre le même exemple sans utiliser la formule (a+b)(un 2 − un B+ b 2) = un 3 + b 3 . On obtient le même résultat, mais la solution devient plus longue :
(2X + 3y)(4X 2 − 6xy + 9y 2) = 2X(4X 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4X 2 − 6xy + 9y 2) =
8X 3 − 12X 2 y + 18xy 2 + 12X 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8X 3 + 27y 3
Exemple 2. Effectuer la multiplication (2X+ y)(4X 2 − 2xy + y 2)
Premier polynôme (2 X+ y) est la somme de deux expressions, et le deuxième polynôme (4X 2 − 2xy + y 2) est un carré incomplet de la différence de ces expressions. Cela nous permet d'utiliser la formule (a+b)(un 2 − un B+ b 2) = un 3 + b 3
(2X+ y)(4X 2 − 2xy + y 2) = (2X) 3 + y 3 = 8X 3 + y 3
Essayons de résoudre le même exemple sans utiliser la formule (a+b)(un 2 − un B+ b 2) = un 3 + b 3 . On obtient le même résultat, mais la solution devient plus longue :
(2X+ y)(4X 2 − 2xy + y 2) = 2X(4X 2 − 2xy + y 2) + y(4X 2 − 2xy + y 2) =
8X 3 − 4X 2 y + 2xy 2 + 4X 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8X 3 + y 3
Tâches pour une solution indépendante
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Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec les formules du carré de la somme et du carré de la différence et les dériver. Démontrons géométriquement la formule du carré de la somme. De plus, nous allons résoudre de nombreux exemples différents en utilisant ces formules.
Considérez la formule du carré de la somme :
Donc, nous avons dérivé la formule du carré de la somme :
Verbalement, cette formule s'exprime ainsi : le carré de la somme est égal au carré du premier nombre plus deux fois le produit du premier nombre par le second plus le carré du second nombre.
Cette formule est facile à représenter géométriquement.
Considérons un carré de côté :
Zone carrée.
D'autre part, le même carré peut être représenté différemment en divisant le côté en a et b (Fig. 1).
Riz. 1. Carré
Ensuite, l'aire du carré peut être représentée comme la somme des aires:
Puisque les carrés étaient identiques, leurs aires sont égales, ce qui signifie :
Ainsi, nous avons prouvé géométriquement la formule du carré de la somme.
Prenons des exemples :
Commentaire: l'exemple est résolu à l'aide de la formule somme carrée.
Nous dérivons la formule du carré de la différence :
Donc, nous avons dérivé la formule du carré de la différence :
Verbalement, cette formule s'exprime ainsi : le carré de la différence est égal au carré du premier nombre moins deux fois le produit du premier nombre par le second plus le carré du second nombre.
Prenons des exemples :
Les formules pour le carré de la somme et le carré de la différence peuvent fonctionner à la fois de gauche à droite et de droite à gauche. Lorsqu'elles sont utilisées de gauche à droite, ce seront des formules de multiplication abrégées, elles sont utilisées lors du calcul et de la transformation d'exemples. Et lorsqu'il est utilisé de droite à gauche - formules de factorisation.
Prenons des exemples dans lesquels vous devez factoriser un polynôme donné en facteurs à l'aide des formules du carré de la somme et du carré de la différence. Pour ce faire, vous devez examiner très attentivement le polynôme et déterminer exactement comment le développer correctement.
Commentaire: pour factoriser un polynôme, vous devez déterminer ce qui est représenté dans cette expression. Nous voyons donc le carré et le carré de l'unité. Maintenant, nous devons trouver le produit double - c'est . Donc, tous les éléments nécessaires sont là, il vous suffit de déterminer s'il s'agit du carré de la somme ou de la différence. Avant le produit doublé, il y a un signe plus, ce qui signifie que nous avons le carré de la somme.
Formules de multiplication abrégées.
Étudier les formules de la multiplication abrégée : le carré de la somme et le carré de la différence de deux expressions ; différence des carrés de deux expressions ; le cube de la somme et le cube de la différence de deux expressions ; sommes et différences de cubes de deux expressions.
Application de formules de multiplication abrégées lors de la résolution d'exemples.
Pour simplifier les expressions, factoriser les polynômes et réduire les polynômes à une forme standard, des formules de multiplication abrégées sont utilisées. Formules de multiplication abrégées à connaître par cœur.
Soit a, b R. Alors :
1. Le carré de la somme de deux expressions est le carré de la première expression plus deux fois le produit de la première expression et de la seconde plus le carré de la seconde expression.
(une + b) 2 = une 2 + 2ab + b 2
2. Le carré de la différence de deux expressions est le carré de la première expression moins deux fois le produit de la première expression et de la seconde plus le carré de la seconde expression.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Différence de carrés deux expressions est égal au produit de la différence de ces expressions par leur somme.
une 2 - b 2 \u003d (une - b) (une + b)
4. cube somme de deux expressions est égal au cube de la première expression plus trois fois le carré de la première expression multiplié par la seconde plus trois fois le produit de la première expression multiplié par le carré de la seconde plus le cube de la seconde expression.
(une + b) 3 = une 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. cube de différence de deux expressions est égal au cube de la première expression moins trois fois le produit du carré de la première expression et de la seconde plus trois fois le produit de la première expression et du carré de la seconde moins le cube de la seconde expression.
(a - b) 3 = une 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Somme de cubes deux expressions est égal au produit de la somme des première et deuxième expressions par le carré incomplet de la différence de ces expressions.
une 3 + b 3 \u003d (une + b) (une 2 - ab + b 2)
7. Différence de cubes de deux expressions est égal au produit de la différence des première et deuxième expressions par le carré incomplet de la somme de ces expressions.
une 3 - b 3 \u003d (une - b) (une 2 + ab + b 2)
Application de formules de multiplication abrégées lors de la résolution d'exemples.
Exemple 1
Calculer
a) En utilisant la formule du carré de la somme de deux expressions, on a
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) En utilisant la formule de la différence au carré de deux expressions, on obtient
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Exemple 2
Calculer
En utilisant la formule de la différence des carrés de deux expressions, on obtient
Exemple 3
Simplifier l'expression
(x - y) 2 + (x + y) 2
Nous utilisons les formules pour le carré de la somme et le carré de la différence de deux expressions
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d X 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Formules de multiplication abrégées dans un tableau :
(une + b) 2 = une 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
une 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(une + b) 3 = une 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = une 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
une 3 + b 3 \u003d (une + b) (une 2 - ab + b 2)
une 3 - b 3 \u003d (une - b) (une 2 + ab + b 2)
Il y aura également des tâches pour une solution indépendante, dont vous pourrez voir les réponses.
Les formules de multiplication abrégées vous permettent d'effectuer des transformations identiques d'expressions - polynômes. Avec leur aide, les polynômes peuvent être factorisés et, en utilisant les formules dans l'ordre inverse, les produits des binômes, des carrés et des cubes peuvent être représentés sous forme de polynômes. Considérons toutes les formules généralement acceptées pour la multiplication abrégée, leur dérivation, les tâches courantes pour les transformations identiques d'expressions utilisant ces formules, ainsi que les devoirs (les réponses sont ouvertes par des liens).
carré somme
La formule du carré de la somme est l'égalité
(le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier nombre plus deux fois le produit du premier nombre et du second plus le carré du second nombre).
À la place de un et b n'importe quel nombre peut être substitué dans cette formule.
La formule somme carrée est souvent utilisée pour simplifier les calculs. Par exemple,
En utilisant la formule somme carrée, le polynôme peut être factorisé, c'est-à-dire représenté comme un produit de deux facteurs identiques.
Exemple 1
.
Exemple 2Écrire sous forme d'expression polynomiale
La solution. Par la formule du carré de la somme, on obtient
Le carré de la différence
La formule du carré de la différence est l'égalité
(le carré de la différence entre deux nombres est égal au carré du premier nombre moins deux fois le produit du premier nombre et du second plus le carré du second nombre).
La formule de la différence au carré est souvent utilisée pour simplifier les calculs. Par exemple,
En utilisant la formule du carré des différences, le polynôme peut être factorisé, c'est-à-dire représenté comme un produit de deux facteurs identiques.
La formule découle de la règle de multiplication d'un polynôme par un polynôme :
Exemple 5Écrire sous forme d'expression polynomiale
La solution. Par la formule du carré de la différence, on obtient
.
Appliquez vous-même la formule de multiplication abrégée, puis voyez la solution
Sélection carrée complète
Souvent, un polynôme du second degré contient le carré de la somme ou de la différence, mais est contenu sous une forme cachée. Pour obtenir explicitement le carré complet, vous devez transformer le polynôme. Pour ce faire, en règle générale, l'un des termes du polynôme est représenté par un produit double, puis le même nombre est ajouté et soustrait du polynôme.
Exemple 7
La solution. Ce polynôme peut être transformé comme suit :
Nous avons présenté ici 5 X sous la forme d'un produit double de 5/2 par X, ajouté au polynôme et soustrait de celui-ci le même nombre, puis appliqué la formule somme carrée pour le binôme.
On a donc prouvé l'égalité
,
est égal à un carré complet plus le nombre .
Exemple 8 Considérons un polynôme du second degré
La solution. Faisons les transformations suivantes dessus :
Nous avons présenté ici 8 X sous la forme d'un produit double X par 4, ajouté au polynôme et soustrait de celui-ci le même nombre 4², appliqué la formule du carré de différence pour le binôme X − 4 .
On a donc prouvé l'égalité
,
montrant qu'un polynôme du second degré
est égal à un carré complet plus le nombre −16.
Appliquez vous-même la formule de multiplication abrégée, puis voyez la solution
cube somme
La formule du cube somme est l'égalité
(le cube de la somme de deux nombres est égal au cube du premier nombre plus trois fois le carré du premier nombre fois le second, plus trois fois le produit du premier nombre fois le carré du second, plus le cube du deuxième nombre).
La formule du cube somme est dérivée comme suit :
Exemple 10Écrire sous forme d'expression polynomiale
La solution. D'après la formule du cube somme, on obtient
Appliquez vous-même la formule de multiplication abrégée, puis voyez la solution
cube de différence
La formule du cube différence est l'égalité
(le cube de la différence de deux nombres est égal au cube du premier nombre moins trois fois le carré du premier nombre et du second, plus trois fois le produit du premier nombre par le carré du second moins le cube de le deuxième chiffre).
À l'aide de la formule du cube somme, le polynôme peut être décomposé en facteurs, à savoir qu'il peut être représenté comme un produit de trois facteurs identiques.
La formule du cube de différence est dérivée comme suit :
Exemple 12.Écrire sous forme d'expression polynomiale
La solution. En utilisant la formule du cube différence, on obtient
Appliquez vous-même la formule de multiplication abrégée, puis voyez la solution
Différence de carrés
La formule de la différence des carrés est l'égalité
(la différence des carrés de deux nombres est égale au produit de la somme de ces nombres et de leur différence).
En utilisant la formule du cube somme, tout polynôme de la forme peut être factorisé.
La preuve de la formule a été obtenue en utilisant la règle de multiplication des polynômes :
Exemple 14Écrire le produit sous la forme d'un polynôme
.
La solution. Par la formule de la différence des carrés, on obtient
Exemple 15 Factoriser
La solution. Cette expression sous une forme explicite ne correspond à aucune identité. Mais le nombre 16 peut être représenté comme une puissance de base 4 : 16=4². Alors l'expression originale prendra une forme différente :
,
et c'est la formule de la différence des carrés, et en appliquant cette formule, on obtient
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