Surtout dans l'éq. la pratique doit utiliser la moyenne arithmétique, qui peut être calculée comme une moyenne arithmétique simple et pondérée.
Moyenne arithmétique (CA)-n Le type de support le plus courant. Il est utilisé dans les cas où le volume d'une caractéristique variable pour l'ensemble de la population est la somme des valeurs des caractéristiques de ses unités individuelles. Les phénomènes sociaux sont caractérisés par l'additivité (sommation) des volumes de l'attribut variable, cela détermine la portée de l'AC et explique sa prévalence en tant qu'indicateur généralisant, Par exemple : le fonds général des salaires est la somme des salaires de tous les salariés.
Pour calculer le CA, vous devez diviser la somme de toutes les valeurs caractéristiques par leur nombre. L'AC s'applique sous 2 formes.
Considérons d'abord la moyenne arithmétique simple.
1-CA simple (forme initiale, définition) est égal à la somme simple des valeurs individuelles de l'attribut moyenné, divisée par le nombre total de ces valeurs (utilisées lorsqu'il existe des valeurs ind. non groupées de l'attribut):
Les calculs effectués peuvent être résumés dans la formule suivante :
(1)
où 
- la valeur moyenne de la caractéristique variable, c'est-à-dire la moyenne arithmétique simple ;
signifie sommation, c'est-à-dire addition de caractéristiques individuelles;
X- les valeurs individuelles d'une caractéristique variable, appelées variantes ;
m - nombre d'unités de population
Exemple 1, il est nécessaire de trouver la production moyenne d'un ouvrier (serrurier) si l'on sait combien de pièces chacun des 15 ouvriers a fabriqué, c'est-à-dire un certain nombre d'ind. valeurs d'attribut, pcs. : 21 ; vingt; vingt; 19 ; 21 ; 19 ; dix-huit; 22 ; 19 ; vingt; 21 ; vingt; dix-huit; 19 ; vingt.
CA simple est calculé par la formule (1), pcs. :
Exemple2... Calculons le CA sur la base des données conditionnelles pour 20 magasins inclus dans la société de négoce (tableau 1). Tableau 1
Répartition des magasins de la société commerciale "Vesna" par zone commerciale, m². M
|
N° de magasin |
N° de magasin | ||
Pour calculer la superficie moyenne du magasin ( 
) il faut additionner les surfaces de tous les magasins et diviser le résultat par le nombre de magasins :
Ainsi, la superficie moyenne des magasins de ce groupe d'entreprises commerciales est de 71 m².
Par conséquent, afin de déterminer le CA simple, vous devez diviser la somme de toutes les valeurs d'un attribut donné par le nombre d'unités qui ont cet attribut.
2
où F 1
,
F 2
,
… ,F m
–
poids (fréquence de répétition des mêmes signes); - la somme des produits de la grandeur des caractéristiques par leur fréquence ; - le nombre total d'unités de la population.
(2)
Où N.-É.- les options ;
F- fréquence (poids).
SA pondéré est le quotient de la division de la somme des produits des variantes et de leurs fréquences correspondantes par la somme de toutes les fréquences. Fréquences ( F) apparaissant dans la formule CA sont généralement appelés Balance, de sorte que le CA, calculé en tenant compte des poids, est dit pondéré.
Nous allons illustrer la technique de calcul du CA pondéré à l'aide de l'exemple 1 ci-dessus. Pour ce faire, nous regroupons les données initiales et les plaçons dans le tableau.
La moyenne des données regroupées est déterminée comme suit : d'abord, les options sont multipliées par les fréquences, puis les produits sont additionnés et la somme résultante est divisée par la somme des fréquences.
D'après la formule (2), le CA pondéré est égal à, pcs. : 
N.-É.
Répartition des magasins Vesna par surface de vente, m² m
Ainsi, le résultat est le même. Cependant, ce sera déjà la valeur de la moyenne arithmétique pondérée.
Dans l'exemple précédent, nous avons calculé la moyenne arithmétique en supposant que les fréquences absolues (compte de magasins) sont connues. Cependant, dans un certain nombre de cas, les fréquences absolues sont absentes, mais les fréquences relatives sont connues, ou, comme on les appelle généralement, fréquences qui montrent une part ou la proportion de fréquences dans l'ensemble de la population.
Lors du calcul de l'utilisation pondérée CA fréquences vous permet de simplifier les calculs lorsque la fréquence est exprimée en grands nombres à plusieurs chiffres. Le calcul se fait de la même manière, cependant, comme la moyenne est augmentée d'un facteur 100, le résultat doit être divisé par 100.
Ensuite, la formule de la moyenne pondérée arithmétique ressemblera à :
où ré- la fréquence, c'est à dire. la part de chaque fréquence dans la somme totale de toutes les fréquences.
(3)Dans notre exemple 2, nous déterminons d'abord la proportion de magasins par groupes dans le nombre total de magasins de la société "Vesna". Ainsi, pour le premier groupe, la densité correspond à 10% 
... On obtient les données suivantes Tableau 3
Quelle est la moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique de plusieurs quantités est le rapport de la somme de ces quantités à leur nombre.
La moyenne arithmétique d'une certaine série de nombres est la somme de tous ces nombres, divisée par le nombre de termes. Ainsi, la moyenne arithmétique est la moyenne d'une série de nombres.
Quelle est la moyenne arithmétique de plusieurs nombres ? Et ils sont égaux à la somme de ces nombres, qui est divisée par le nombre de termes de cette somme.
Comment trouver la moyenne arithmétique
Il n'y a rien de difficile à calculer ou à trouver la moyenne arithmétique de plusieurs nombres, il suffit d'additionner tous les nombres présentés, et de diviser la somme obtenue par le nombre de termes. Le résultat obtenu sera la moyenne arithmétique de ces nombres.
Regardons de plus près ce processus. Que devons-nous faire pour calculer la moyenne arithmétique et obtenir le résultat final de ce nombre.
Tout d'abord, pour le calculer, vous devez déterminer un ensemble de nombres ou leur nombre. Cet ensemble peut inclure des nombres grands et petits, et leur nombre peut être n'importe quoi.
Deuxièmement, tous ces nombres doivent être additionnés pour obtenir leur somme. Naturellement, si les nombres sont simples et que leur nombre est petit, alors les calculs peuvent être effectués en l'écrivant à la main. Et si l'ensemble des nombres est impressionnant, alors il vaut mieux utiliser une calculatrice ou un tableur.
Et, quatrièmement, la somme obtenue de l'addition doit être divisée par le nombre de nombres. En conséquence, nous obtiendrons le résultat, qui sera la moyenne arithmétique de cette série.
A quoi sert la moyenne arithmétique ?
La moyenne arithmétique peut être utile non seulement pour résoudre des exemples et des problèmes dans les cours de mathématiques, mais à d'autres fins nécessaires dans la vie quotidienne d'une personne. Ces objectifs peuvent être le calcul de la moyenne arithmétique pour calculer la dépense financière moyenne par mois, ou pour calculer le temps que vous passez sur la route, également afin de connaître la fréquentation, la productivité, la vitesse de déplacement, le rendement et bien plus encore.
Ainsi, par exemple, essayons de calculer combien de temps vous passez pour vous rendre à l'école. Chaque fois que vous allez à l'école ou que vous rentrez chez vous, vous passez un temps différent sur la route, car lorsque vous êtes pressé, vous allez plus vite, et donc la route prend moins de temps. Mais, en rentrant chez vous, vous pouvez y aller lentement, communiquer avec vos camarades de classe, admirer la nature, et donc cela prendra plus de temps sur la route.
Par conséquent, vous ne pourrez pas déterminer avec précision le temps passé sur la route, mais grâce à la moyenne arithmétique, vous pouvez connaître approximativement le temps que vous passez sur la route.
Disons que le premier jour après le week-end, vous avez passé quinze minutes sur le chemin de la maison à l'école, le deuxième jour votre trajet a duré vingt minutes, le mercredi vous avez parcouru la distance en vingt-cinq minutes, en même temps que vous fait votre chemin jeudi, et vendredi vous n'étiez pas pressé et êtes revenu pendant une demi-heure.
Trouvons la moyenne arithmétique, en ajoutant le temps, pour les cinq jours. Donc,
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
Divisons maintenant ce montant par le nombre de jours
Grâce à cette méthode, vous avez appris que le trajet de la maison à l'école prend environ vingt-trois minutes de votre temps.
Devoirs
1. Utilise des calculs simples pour trouver la moyenne arithmétique du nombre d'élèves dans ta classe par semaine.
2. Trouvez la moyenne arithmétique :
3. Résolvez le problème :
Lorsque le nombre d'éléments de l'ensemble des nombres d'un processus aléatoire stationnaire tend vers l'infini, la moyenne arithmétique tend vers l'espérance mathématique d'une variable aléatoire.
introduction
On note l'ensemble des nombres X = (X 1 , X 2 , …, X m), alors la moyenne de l'échantillon est généralement indiquée par une barre horizontale au-dessus de la variable (prononcé " X avec une ligne").
La lettre grecque μ est généralement utilisée pour désigner la moyenne arithmétique de l'ensemble des nombres. Pour une variable aléatoire dont la valeur moyenne est déterminée, est moyenne probabiliste ou l'espérance mathématique d'une variable aléatoire. Si l'ensemble X est une collection de nombres aléatoires avec une moyenne probabiliste , alors pour tout échantillon X je de cette collection μ = E ( X je) est l'espérance mathématique de cet échantillon.
En pratique, la différence entre et x ¯ (\ style d'affichage (\ barre (x))) est que μ est une variable typique car vous pouvez voir l'échantillon plutôt que la population entière. Par conséquent, si l'échantillon est présenté de manière aléatoire (en termes de théorie des probabilités), alors x ¯ (\ style d'affichage (\ barre (x)))(mais pas μ) peut être traitée comme une variable aléatoire avec une distribution de probabilité sur l'échantillon (distribution de probabilité de la moyenne).
Ces deux quantités sont calculées de la même manière :
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)Exemples de
- Pour trois nombres, additionnez-les et divisez par 3 :
- Pour quatre nombres, additionnez-les et divisez par 4 :
Variable aléatoire continue
S'il existe une intégrale d'une fonction f (x) (\ style d'affichage f (x)) une variable, puis la moyenne arithmétique de cette fonction sur le segment [une; b] (\ style d'affichage) défini en fonction d'une intégrale définie :
f (x) [a; b] = 1 b - a a b f (x) d x. (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (b-a)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx.)Cela implique que b> a. (\ displaystyle b> a.)
Quelques problèmes d'utilisation de la moyenne
Manque de robustesse
Bien que la moyenne arithmétique soit souvent utilisée comme moyenne ou tendance centrale, il ne s'agit pas d'une statistique robuste, ce qui signifie que la moyenne arithmétique est fortement influencée par les « grands écarts ». Il est à noter que pour les distributions avec un coefficient d'asymétrie important, la moyenne arithmétique peut ne pas correspondre au concept de « moyenne », et les valeurs moyennes des statistiques robustes (par exemple, la médiane) peuvent mieux décrire la tendance centrale.
Un exemple classique est le calcul du revenu moyen. La moyenne arithmétique peut être interprétée à tort comme la médiane, ce qui peut conduire à la conclusion qu'il y a plus de personnes ayant des revenus plus élevés qu'elles ne le sont réellement. Le revenu « moyen » est interprété de telle manière que le revenu de la plupart des gens est proche de ce nombre. Ce revenu « moyen » (au sens de la moyenne arithmétique) est plus élevé que le revenu de la plupart des gens, car un revenu élevé avec un écart important par rapport à la moyenne rend la moyenne arithmétique fortement biaisée (en revanche, le revenu médian « résiste » à de telles biais). Cependant, ce revenu « moyen » ne dit rien sur le nombre de personnes proches du revenu médian (et ne dit rien sur le nombre de personnes proches du revenu modal). Néanmoins, si vous prenez à la légère les concepts de "moyenne" et de "majorité de la population", vous pouvez conclure à tort que la plupart des gens ont des revenus plus élevés qu'ils ne le sont réellement. Par exemple, un rapport sur le revenu net "moyen" à Medina, Washington, calculé comme la moyenne arithmétique des revenus nets annuels de tous les résidents, donnerait un nombre étonnamment élevé à cause de Bill Gates. Considérez l'échantillon (1, 2, 2, 2, 3, 9). La moyenne arithmétique est de 3,17, mais cinq valeurs sur six sont inférieures à cette moyenne.
Intérêts composés
Si les chiffres multiplier, mais non plier, vous devez utiliser la moyenne géométrique et non la moyenne arithmétique. Le plus souvent, cet incident survient lors du calcul du retour sur investissement en finance.
Par exemple, si les stocks ont baissé de 10 % la première année et augmenté de 30 % la deuxième année, alors il est incorrect de calculer l'augmentation « moyenne » sur ces deux années comme la moyenne arithmétique (-10 % + 30 %) / 2 = 10 % ; la moyenne correcte dans ce cas est donnée par le taux de croissance annuel cumulé, auquel la croissance annuelle n'est que d'environ 8,16653826392% ≈ 8,2%.
La raison en est que les pourcentages ont à chaque fois un nouveau point de départ : 30 %, c'est 30 %. à partir d'un nombre inférieur au prix au début de la première année : si l'action était à 30$ au début et a chuté de 10 %, elle est à 27$ au début de la deuxième année. Si le titre est en hausse de 30 %, il vaut 35,1 $ à la fin de la deuxième année. La moyenne arithmétique de cette croissance est de 10 %, mais comme le stock n'est que de 5,1 $ en 2 ans, une hausse moyenne de 8,2 % donne le résultat final de 35,1 $ :
[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Si nous utilisons la moyenne arithmétique de 10 % de la même manière, nous n'obtiendrons pas la valeur réelle : [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].
Intérêt composé à la fin de l'année 2 : 90 % * 130 % = 117 %, soit une augmentation totale de 17 %, et un intérêt composé annuel moyen 117% ≈ 108,2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ environ 108,2 \%), soit une croissance annuelle moyenne de 8,2 %.
instructions
Article principal : Statistiques des destinations
Lors du calcul de la moyenne arithmétique d'une variable qui change cycliquement (par exemple, la phase ou l'angle), des précautions particulières doivent être prises. Par exemple, la moyenne des nombres 1 et 359 sera 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180. Ce nombre est incorrect pour deux raisons.
La valeur moyenne de la variable cyclique, calculée à l'aide de la formule ci-dessus, sera artificiellement décalée de la moyenne réelle vers le milieu de la plage numérique. Pour cette raison, la moyenne est calculée d'une manière différente, à savoir, le nombre avec le moins de variance (point central) est choisi comme moyenne. De plus, au lieu de soustraire, la distance modulaire (c'est-à-dire la distance circonférentielle) est utilisée. Par exemple, la distance modulaire entre 1° et 359° est de 2°, pas 358° (sur un cercle entre 359° et 360° == 0° - un degré, entre 0° et 1° - aussi 1°, au total - 2°).
Trois enfants sont allés dans la forêt pour des baies. La fille aînée a trouvé 18 baies, celle du milieu - 15 et le frère cadet - 3 baies (voir Fig. 1). Ils ont apporté les baies à ma mère, qui a décidé de diviser les baies également. Combien de baies chacun des enfants a-t-il eu ?
Riz. 1. Illustration du problème
Solution
(yag.) - les enfants ont tout collecté
2) Divisez le nombre total de baies par le nombre d'enfants :
(yag.) a eu tous les enfants
Réponse: chaque enfant recevra 12 baies.
Dans le problème 1, le nombre obtenu dans la réponse est la moyenne arithmétique.
Moyenne arithmétique plusieurs nombres est appelé le quotient de la somme de ces nombres par leur nombre.
Exemple 1
Nous avons deux nombres : 10 et 12. Trouvez leur moyenne arithmétique.
Solution
1) Déterminer la somme de ces nombres :.
2) Le nombre de ces nombres est 2, donc la moyenne arithmétique de ces nombres est :.
Réponse: La moyenne arithmétique de 10 et 12 est 11.
Exemple 2
Nous avons cinq nombres : 1, 2, 3, 4 et 5. Trouvez leur moyenne arithmétique.
Solution
1) La somme de ces nombres est :.
2) Par définition, la moyenne arithmétique est le quotient de la somme des nombres par leur nombre. Nous avons cinq nombres, donc la moyenne arithmétique est :
Réponse: la moyenne arithmétique des données dans la condition des nombres est 3.
Outre le fait qu'il soit constamment suggéré de se trouver en classe, trouver la moyenne arithmétique est très utile dans la vie de tous les jours. Par exemple, supposons que nous voulions partir en vacances en Grèce. Pour choisir les bons vêtements, on regarde la température actuelle dans ce pays. Cependant, nous ne connaissons pas le tableau général de la météo. Par conséquent, il est nécessaire de connaître la température de l'air en Grèce, par exemple, pendant une semaine, et de trouver la moyenne arithmétique de ces températures.
Exemple 3
Température en Grèce pour la semaine : Lundi - ; Mardi - ; Mercredi -; Jeudi - ; Vendredi - ; Samedi - ; Dimanche - . Calculez la température moyenne de la semaine.
Solution
1) Calculons la somme des températures :.
2) Divisez le montant reçu par le nombre de jours :.
Réponse: température hebdomadaire moyenne env.
La capacité à trouver la moyenne arithmétique peut également être nécessaire pour déterminer l'âge moyen des joueurs d'une équipe de football, c'est-à-dire afin d'établir si l'équipe est expérimentée ou non. Il faut additionner les âges de tous les joueurs et diviser par leur nombre.
Problème 2
Le marchand vendait des pommes. Au début, il les vendait au prix de 85 roubles pour 1 kg. Il a donc vendu 12 kg. Puis il a baissé le prix à 65 roubles et vendu les 4 kg de pommes restants. Quel était le prix moyen des pommes ?
Solution
1) Calculons combien d'argent le marchand a gagné au total. Il a vendu 12 kilogrammes au prix de 85 roubles pour 1 kg : 
(frotter.).
Il a vendu 4 kilogrammes au prix de 65 roubles pour 1 kg : (roubles).
Par conséquent, le montant total d'argent gagné est égal à: (roubles).
2) Le poids total des pommes vendues est de :.
3) Divisez la somme d'argent reçue par le poids total des pommes vendues et obtenez le prix moyen pour 1 kg de pommes : (roubles).
Réponse: le prix moyen de 1 kg de pommes vendues est de 80 roubles.
La moyenne arithmétique vous aide à évaluer les données dans leur ensemble, sans prendre chaque valeur séparément.
Cependant, il n'est pas toujours possible d'utiliser le concept de moyenne arithmétique.
Exemple 4
Le tireur a tiré deux coups sur la cible (voir Fig. 2): la première fois, il a touché un mètre plus haut que la cible et la seconde - un mètre plus bas. La moyenne arithmétique montrera qu'il a frappé en plein centre, bien qu'il ait raté les deux fois.
Riz. 2. Illustration par exemple
Dans cette leçon, nous nous sommes familiarisés avec le concept de moyenne arithmétique. Nous avons appris la définition de ce concept, appris à calculer la moyenne arithmétique de plusieurs nombres. Nous avons également appris l'application pratique de ce concept.
- N. Oui. Vilenkin. Mathématiques : manuel. pour 5cl. général uchr. - Éd. 17ème. - M. : Mnémosina, 2005. )
- Igor avait 45 roubles avec lui, Andrey - 28 et Denis - 17.
- Avec tout leur argent, ils ont acheté 3 places de cinéma. Combien a coûté un billet ?
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