nombre irrationnel- c'est nombre réel, qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qui ne peut pas être représenté comme une fraction, où sont des nombres entiers, . Un nombre irrationnel peut être représenté comme un nombre décimal infini non répétitif.
L'ensemble des nombres irrationnels est généralement désigné par une lettre latine majuscule en gras sans ombrage. Ainsi : , c'est-à-dire ensemble de nombres irrationnels est différence d'ensembles de nombres réels et rationnels.
Sur l'existence des nombres irrationnels, plus précisément les segments, incommensurables avec un segment de longueur unitaire, étaient déjà connus des mathématiciens antiques : ils connaissaient, par exemple, l'incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, qui équivaut à l'irrationalité du nombre.
Propriétés
- Tout nombre réel peut être écrit comme une fraction décimale infinie, tandis que les nombres irrationnels et seulement eux sont écrits comme des fractions décimales infinies non périodiques.
- Les nombres irrationnels définissent les coupes de Dedekind dans l'ensemble des nombres rationnels qui n'ont pas de plus grand nombre dans la classe inférieure et pas de plus petit nombre dans la classe supérieure.
- Tout nombre transcendantal réel est irrationnel.
- Tout nombre irrationnel est soit algébrique, soit transcendantal.
- L'ensemble des nombres irrationnels est partout dense sur la droite réelle : entre deux nombres quelconques il y a un nombre irrationnel.
- L'ordre sur l'ensemble des nombres irrationnels est isomorphe à l'ordre sur l'ensemble des nombres transcendants réels.
- L'ensemble des nombres irrationnels est indénombrable, est un ensemble de la deuxième catégorie.
Exemples
| Nombres irrationnels - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Les irrationnels sont :
Exemples de preuve d'irrationalité
Racine de 2
Supposons le contraire : il est rationnel, c'est-à-dire qu'il est représenté comme une fraction irréductible, où est un entier, et est un nombre naturel. Mettons au carré l'égalité supposée :
.D'où il suit que pair, donc, pair et . Laissez où le tout. Alors
Donc, pair, donc, pair et . Nous avons obtenu cela et sommes pairs, ce qui contredit l'irréductibilité de la fraction . Par conséquent, l'hypothèse initiale était erronée et est un nombre irrationnel.
Logarithme binaire du nombre 3
Supposons le contraire : il est rationnel, c'est-à-dire qu'il est représenté par une fraction, où et sont des entiers. Puisque , et peuvent être pris positifs. Alors
Mais c'est clair, c'est bizarre. On obtient une contradiction.
e
Histoire
Le concept de nombres irrationnels a été implicitement adopté par les mathématiciens indiens au 7ème siècle avant JC, lorsque Manawa (vers 750 avant JC - vers 690 avant JC) a découvert que les racines carrées de certains nombres naturels, tels que 2 et 61, ne peuvent pas être exprimées explicitement.
La première preuve de l'existence de nombres irrationnels est généralement attribuée à Hippase de Métaponte (vers 500 avant JC), un pythagoricien qui a trouvé cette preuve en étudiant les longueurs des côtés d'un pentagramme. Au temps des Pythagoriciens, on croyait qu'il existe une seule unité de longueur, suffisamment petite et indivisible, qui est un nombre entier de fois inclus dans n'importe quel segment. Cependant, Hippasus a fait valoir qu'il n'y a pas d'unité de longueur unique, car l'hypothèse de son existence conduit à une contradiction. Il a montré que si l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle contient un nombre entier de segments unitaires, alors ce nombre doit être à la fois pair et impair. La preuve ressemblait à ceci :
- Le rapport de la longueur de l'hypoténuse à la longueur de la jambe d'un triangle rectangle isocèle peut être exprimé par un:b, où un et b choisi le plus petit possible.
- D'après le théorème de Pythagore : un² = 2 b².
- Car un² pair, un doit être pair (puisque le carré d'un nombre impair serait impair).
- Parce que le un:b irréductible bça doit être bizarre.
- Car un même, dénoter un = 2y.
- Alors un² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², donc b est pair, alors b même.
- Cependant, il a été prouvé que bétrange. Contradiction.
Les mathématiciens grecs appelaient ce rapport des quantités incommensurables alogos(inexprimable), mais selon les légendes, Hippase n'a pas été respecté. Il y a une légende selon laquelle Hippase a fait la découverte lors d'un voyage en mer et a été jeté par-dessus bord par d'autres pythagoriciens "pour avoir créé un élément de l'univers, ce qui nie la doctrine selon laquelle toutes les entités de l'univers peuvent être réduites à des nombres entiers et leurs rapports. " La découverte d'Hippase a posé un sérieux problème aux mathématiques de Pythagore, détruisant l'hypothèse sous-jacente à toute la théorie selon laquelle les nombres et les objets géométriques sont un et inséparables.
Les nombres irrationnels sont connus depuis l'Antiquité. Quelques siècles avant notre ère, le mathématicien indien Manava a découvert que les racines carrées de certains nombres (par exemple, 2) ne peuvent pas être exprimées explicitement.
Cet article est une sorte de leçon d'introduction au sujet "Nombres irrationnels". Nous donnerons une définition et des exemples de nombres irrationnels avec une explication, et découvrirons également comment déterminer si un nombre donné est irrationnel.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Nombres irrationnels. Définition
Le nom même de "nombres irrationnels" semble nous suggérer une définition. Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel. En d'autres termes, un tel nombre ne peut pas être représenté comme une fraction m n , où m est un nombre entier et n est un nombre naturel.
Définition. Nombres irrationnels
Les nombres irrationnels sont les nombres qui, en notation décimale, sont des fractions décimales infinies non répétitives.
Un nombre irrationnel peut être représenté comme une fraction infinie non périodique. L'ensemble des nombres irrationnels est noté $I$ et est égal à : $I=R / Q$ .
Par exemple. Les nombres irrationnels sont :
Opérations sur les nombres irrationnels
Sur l'ensemble des nombres irrationnels, quatre opérations arithmétiques de base peuvent être introduites : addition, soustraction, multiplication et division ; mais pour aucune des opérations énumérées, l'ensemble des nombres irrationnels n'a la propriété de clôture. Par exemple, la somme de deux nombres irrationnels peut être un nombre rationnel.
Par exemple. Trouver la somme de deux nombres irrationnels $0,1010010001 \ldots$ et $0,0101101110 \ldots$ . Le premier de ces nombres est formé par une suite de uns, séparés respectivement par un zéro, deux zéros, trois zéros, etc., le second - par une suite de zéros, entre lesquels un un, deux uns, trois uns, etc. sont placés:
$$0.1010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Ainsi, la somme de deux nombres irrationnels donnés est le nombre $\frac(1)(9)$ , qui est rationnel.
Exemple
Exercer. Montrer que le nombre $\sqrt(3)$ est irrationnel.
Preuve. Nous utiliserons la méthode de preuve par contradiction. Supposons que $\sqrt(3)$ est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il peut être représenté comme une fraction $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , où $m$ et $n$ sont nombres naturels premiers entre eux.
On met au carré les deux côtés de l'égalité, on obtient
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
Le nombre 3$\cdot n^(2)$ est divisible par 3. Donc $m^(2)$ et donc $m$ est divisible par 3. En mettant $m=3 \cdot k$, l'égalité $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ peut s'écrire
$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Il résulte de la dernière égalité que $n^(2)$ et $n$ sont divisibles par 3, donc la fraction $\frac(m)(n)$ peut être réduite de 3. Mais par hypothèse, la fraction $\ frac(m)( n)$ est irréductible. La contradiction résultante prouve que le nombre $\sqrt(3)$ ne peut pas être représenté comme une fraction $\frac(m)(n)$ et, par conséquent, est irrationnel.
Q.E.D.
Tous les nombres rationnels peuvent être représentés par une fraction commune. Cela s'applique aux nombres entiers (par exemple, 12, -6, 0), aux fractions décimales finales (par exemple, 0,5 ; -3,8921) et aux fractions décimales périodiques infinies (par exemple, 0,11(23) ; -3 ,(87 )).
Cependant décimales non récurrentes infinies ne peuvent pas être représentés comme des fractions ordinaires. C'est ce qu'ils sont nombres irrationnels(c'est-à-dire irrationnel). Un exemple d'un tel nombre est π, qui est approximativement égal à 3,14. Cependant, ce qu'il équivaut exactement ne peut pas être déterminé, car après le nombre 4, il existe une série infinie d'autres nombres dans lesquels les périodes répétitives ne peuvent pas être distinguées. En même temps, bien que le nombre π ne puisse pas être exprimé exactement, il a une signification géométrique spécifique. Le nombre π est le rapport de la longueur d'un cercle à la longueur de son diamètre. Ainsi, les nombres irrationnels existent dans la nature, tout comme les nombres rationnels.
Un autre exemple de nombres irrationnels est la racine carrée des nombres positifs. L'extraction des racines de certains nombres donne des valeurs rationnelles, d'autres - irrationnelles. Par exemple, √4 = 2, c'est-à-dire que la racine de 4 est un nombre rationnel. Mais √2, √5, √7 et bien d'autres donnent des nombres irrationnels, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent être extraits qu'avec une approximation, arrondie à une certaine décimale. Dans ce cas, la fraction est obtenue non périodique. Autrement dit, il est impossible de dire exactement et définitivement quelle est la racine de ces nombres.
Donc √5 est un nombre compris entre 2 et 3, puisque √4 = 2, et √9 = 3. On peut aussi conclure que √5 est plus proche de 2 que de 3, puisque √4 est plus proche de √5 que √9 de √5. En effet, √5 ≈ 2,23 ou √5 ≈ 2,24.
Des nombres irrationnels sont également obtenus dans d'autres calculs (et pas seulement lors de l'extraction des racines), ils sont négatifs.
En ce qui concerne les nombres irrationnels, nous pouvons dire que peu importe le segment unitaire que nous prenons pour mesurer la longueur exprimée par un tel nombre, nous ne pouvons pas le mesurer avec certitude.
Dans les opérations arithmétiques, les nombres irrationnels peuvent participer avec les nombres rationnels. En même temps, il y a un certain nombre de régularités. Par exemple, si seuls des nombres rationnels sont impliqués dans une opération arithmétique, le résultat est toujours un nombre rationnel. Si seuls des irrationnels participent à l'opération, il est impossible de dire sans équivoque si un nombre rationnel ou irrationnel se révélera.
Par exemple, si vous multipliez deux nombres irrationnels √2 * √2, vous obtenez 2 - c'est un nombre rationnel. D'autre part, √2 * √3 = √6 est un nombre irrationnel.
Si une opération arithmétique implique un nombre rationnel et un nombre irrationnel, alors un résultat irrationnel sera obtenu. Par exemple, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 - 4.
Pourquoi √17 - 4 est-il un nombre irrationnel ? Imaginez que vous obtenez un nombre rationnel x. Alors √17 = x + 4. Mais x + 4 est un nombre rationnel, puisque nous avons supposé que x est rationnel. Le nombre 4 est aussi rationnel, donc x + 4 est rationnel. Cependant, un nombre rationnel ne peut pas être égal à l'irrationnel √17. Par conséquent, l'hypothèse selon laquelle √17 - 4 donne un résultat rationnel est incorrecte. Le résultat d'une opération arithmétique sera irrationnel.
Cependant, il existe une exception à cette règle. Si on multiplie un nombre irrationnel par 0, on obtient un nombre rationnel 0.
Définition d'un nombre irrationnel
Les nombres irrationnels sont des nombres qui, en notation décimale, sont des fractions décimales non périodiques infinies.
Ainsi, par exemple, les nombres obtenus en prenant la racine carrée de nombres naturels sont irrationnels et ne sont pas des carrés de nombres naturels. Mais tous les nombres irrationnels ne sont pas obtenus en extrayant des racines carrées, car le nombre "pi" obtenu en divisant est également irrationnel, et il est peu probable que vous l'obteniez en essayant d'extraire la racine carrée d'un nombre naturel.
Propriétés des nombres irrationnels
Contrairement aux nombres écrits en fractions décimales infinies, seuls les nombres irrationnels sont écrits en fractions décimales infinies non périodiques.
La somme de deux nombres irrationnels non négatifs peut éventuellement être un nombre rationnel.
Les nombres irrationnels définissent les sections de Dedekind dans l'ensemble des nombres rationnels, dans la classe inférieure dont il n'y a pas de plus grand nombre, et dans la classe supérieure il n'y en a pas de plus petit.
Tout nombre transcendantal réel est irrationnel.
Tous les nombres irrationnels sont soit algébriques, soit transcendantaux.
L'ensemble des nombres irrationnels sur la ligne est dense et entre deux de ses nombres, il y a forcément un nombre irrationnel.
L'ensemble des nombres irrationnels est infini, indénombrable et est un ensemble de la 2ème catégorie.
Lorsque vous effectuez une opération arithmétique sur des nombres rationnels, à l'exception de la division par 0, son résultat sera un nombre rationnel.
Lorsque vous ajoutez un nombre rationnel à un nombre irrationnel, le résultat est toujours un nombre irrationnel.
Lors de l'ajout de nombres irrationnels, nous pouvons obtenir un nombre rationnel en conséquence.
L'ensemble des nombres irrationnels n'est pas pair.
Les chiffres ne sont pas irrationnels
Parfois, il est assez difficile de répondre à la question de savoir si un nombre est irrationnel, en particulier dans les cas où le nombre se présente sous la forme d'une fraction décimale ou sous la forme d'une expression numérique, racine ou logarithme.
Par conséquent, il ne sera pas superflu de savoir quels nombres ne sont pas irrationnels. Si nous suivons la définition des nombres irrationnels, nous savons déjà que les nombres rationnels ne peuvent pas être irrationnels.
Les nombres irrationnels ne sont pas :
Premièrement, tous les nombres naturels ;
Deuxièmement, les entiers ;
Troisièmement, les fractions ordinaires ;
Quatrièmement, différents nombres mixtes ;
Cinquièmement, ce sont des fractions décimales périodiques infinies.
En plus de tout ce qui précède, toute combinaison de nombres rationnels effectuée par les signes d'opérations arithmétiques, telles que +, -, , :, ne peut pas être un nombre irrationnel, car dans ce cas, le résultat de deux nombres rationnels sera également être un nombre rationnel.
Voyons maintenant lesquels des nombres sont irrationnels :
Connaissez-vous l'existence d'un fan club où les fans de ce mystérieux phénomène mathématique recherchent de nouvelles informations sur Pi, essayant de percer son mystère. Toute personne connaissant par cœur un certain nombre de nombres Pi après la virgule peut devenir membre de ce club ;
Saviez-vous qu'en Allemagne, sous la protection de l'UNESCO, se trouve le palais Castadel Monte, grâce aux proportions desquelles vous pouvez calculer Pi. Un palais entier a été dédié à ce nombre par le roi Frédéric II.
Il s'avère qu'ils ont essayé d'utiliser le nombre Pi dans la construction de la Tour de Babel. Mais à notre grand regret, cela a conduit à l'échec du projet, car à cette époque le calcul exact de la valeur de Pi n'était pas suffisamment étudié.
La chanteuse Kate Bush dans son nouveau disque a enregistré une chanson intitulée "Pi", qui sonnait cent vingt-quatre numéros de la célèbre série de numéros 3, 141 ... ..
Chargement...