ट्रेपेज़ॉइड ऊंचाई और मध्य रेखा। ट्रेपेज़ियम, एक समलम्ब की मध्य रेखा, त्रिभुज

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की अवधारणा

आरंभ करने के लिए, आइए याद रखें कि किस आकृति को समलम्बाकार कहा जाता है।

परिभाषा 1

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो पक्ष समानांतर होते हैं और अन्य दो समानांतर नहीं होते हैं।

इस मामले में, समानांतर पक्षों को ट्रेपेज़ॉइड के आधार कहा जाता है, और समानांतर नहीं - ट्रेपेज़ॉइड के किनारे।

परिभाषा 2

एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा एक रेखा खंड है जो ट्रेपेज़ॉइड के किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है।

समलम्ब के लिए केंद्र रेखा प्रमेय

अब हम समलंब की मध्य रेखा पर प्रमेय का परिचय देते हैं और इसे सदिश विधि से सिद्ध करते हैं।

प्रमेय 1

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर होती है और उनके आधे योग के बराबर होती है।

सबूत।

आइए हमें $ AD \ और \ BC $ के आधार के साथ एक समलम्ब $ ABCD $ दिया जाए। और मान लें कि $ MN $ इस समलंब की मध्य रेखा है (चित्र 1)।

चित्र 1. ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा

आइए हम सिद्ध करें कि $MN || AD \ और \ MN = \ frac (AD + BC) (2) $।

वेक्टर $ \ overrightarrow (MN) $ पर विचार करें। अगला, हम सदिशों को जोड़ने के लिए बहुभुज नियम का उपयोग करते हैं। एक ओर, हमें वह मिलता है

दूसरी तरफ

हम अंतिम दो समानताएँ जोड़ते हैं, हमें मिलता है

चूँकि $ M $ और $ N $ समलम्ब चतुर्भुज के पार्श्व पक्षों के मध्य बिंदु हैं, हमारे पास होगा

हम पाते हैं:

अत

समान समानता से (चूंकि $ \ overrightarrow (BC) $ और $ \ overrightarrow (AD) $ सह-दिशात्मक हैं और इसलिए, संरेख हैं) हम $ MN || AD $ प्राप्त करते हैं।

प्रमेय सिद्ध होता है।

एक ट्रेपोजॉइड की मध्य रेखा की अवधारणा पर कार्यों के उदाहरण

उदाहरण 1

समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ क्रमशः $ 15 \ cm $ और $ 17 \ cm $ हैं। ट्रेपेज़ॉइड की परिधि $ 52 \ सेमी $ है। समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा को $ n $ से निरूपित करें।

भुजाओं का योग है

इसलिए, चूँकि परिमाप $52 \ cm $ है, आधारों का योग है

अतः, प्रमेय 1 से हम प्राप्त करते हैं

उत्तर:$ 10 \ सेमी $।

उदाहरण 2

वृत्त के व्यास के सिरों को उसकी स्पर्श रेखा से क्रमशः $9$cm और $5$cm हटा दिया जाता है।इस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए हमें केंद्र $ O $ और व्यास $ AB $ वाला एक वृत्त दिया जाए। स्पर्शरेखा रेखा $ l $ खींचिए और दूरियाँ $ AD = 9 \ cm $ और $ BC = 5 \ cm $ बनाइए। आइए त्रिज्या $ OH $ बनाएं (चित्र 2)।

चित्र 2।

चूँकि $ AD $ और $ BC $ स्पर्शरेखा की दूरियाँ हैं, तो $ AD \ bot l $ और $ BC \ bot l $ और चूँकि $ OH $ त्रिज्या है, तो $ OH \ bot l $, इसलिए, $ OH | \ बाएँ | AD \ दाएँ || BC $। इस सब से हम पाते हैं कि $ ABCD $ एक समलम्ब है, और $ OH $ इसकी मध्य रेखा है। प्रमेय 1 से, हम प्राप्त करते हैं

एक चतुर्भुज जिसकी केवल दो भुजाएँ समान्तर होती हैं, कहलाती है समलम्ब.

समलम्ब चतुर्भुज के समानांतर पक्षों को कहा जाता है मैदान, और वे भुजाएँ जो समानांतर नहीं हैं, कहलाती हैं पार्श्व पक्ष... यदि भुजाएँ समान हैं, तो ऐसा समलंब समद्विबाहु है। आधारों के बीच की दूरी को समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कहते हैं।

ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा

मध्य रेखा एक रेखा खंड है जो समलम्ब चतुर्भुज के किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है। ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा इसके आधारों के समानांतर होती है।

प्रमेय:

यदि एक भुजा के मध्य को पार करने वाली एक सीधी रेखा समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर है, तो यह समलम्ब चतुर्भुज की दूसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

प्रमेय:

मध्य रेखा की लंबाई उसके आधारों की लंबाई के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है

एमएन || एबी || डीसी
एएम = एमडी; बीएन = एनसी

MN मध्य रेखा, AB और CD - आधार, AD और BC - भुजा

एमएन = (एबी + डीसी) / 2

प्रमेय:

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई इसके आधारों की लंबाई के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है।

मुख्य कार्य: सिद्ध कीजिए कि समलंब की मध्य रेखा उस खंड को समद्विभाजित करती है जिसका सिरा समलंब के आधार के मध्य में स्थित होता है।

त्रिभुज की केंद्र रेखा

त्रिभुज की दोनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले खंड को त्रिभुज की मध्य रेखा कहते हैं। यह तीसरी भुजा के समानांतर है और तीसरी भुजा की लंबाई से आधी है।
प्रमेय: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा इस त्रिभुज की दूसरी भुजा के समांतर हो, तो वह तीसरी भुजा को आधे में विभाजित करती है।

एएम = एमसी और बीएन = एनसी =>

त्रिभुज और समलंब मध्य रेखा गुण लागू करना

एक खंड का एक निश्चित संख्या में समान भागों में विभाजन।
कार्य: खंड AB को 5 बराबर भागों में विभाजित करें।
समाधान:
मान लीजिए p एक यादृच्छिक किरण है जिसका उद्गम बिंदु A है और यह रेखा AB पर नहीं है। हम क्रमशः पी एए 1 = ए 1 ए 2 = ए 2 ए 3 = ए 3 ए 4 = ए 4 ए 5 पर 5 बराबर खंड बिछाते हैं।
हम ए 5 को बी से जोड़ते हैं और ए 4, ए 3, ए 2 और ए 1 के माध्यम से ऐसी रेखाएं खींचते हैं जो ए 5 बी के समानांतर हैं। वे एबी को क्रमशः बी 4, बी 3, बी 2 और बी 1 बिंदुओं पर काटते हैं। . ये बिंदु रेखाखंड AB को 5 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। वास्तव में, समलम्ब चतुर्भुज BB 3 A 3 A 5 से हम देखते हैं कि BB 4 = B 4 B 3। इसी तरह, समलम्ब चतुर्भुज बी 4 बी 2 ए 2 ए 4 से हमें बी 4 बी 3 = बी 3 बी 2 मिलता है

जबकि एक समलम्ब चतुर्भुज बी 3 बी 1 ए 1 ए 3, बी 3 बी 2 = बी 2 बी 1 से।
फिर बी 2 एए 2 से यह निम्नानुसार है कि बी 2 बी 1 = बी 1 ए। निष्कर्ष में, हम प्राप्त करते हैं:
एबी 1 = बी 1 बी 2 = बी 2 बी 3 = बी 3 बी 4 = बी 4 बी
यह स्पष्ट है कि खंड AB को अन्य समान भागों में विभाजित करने के लिए, हमें समान खंडों की समान संख्या को किरण p पर प्रक्षेपित करने की आवश्यकता है। और फिर ऊपर वर्णित तरीके से जारी रखें।

इस लेख में, हमने आपके लिए समलम्बाकार समस्याओं का एक और चयन किया है। परिस्थितियाँ किसी न किसी तरह इसकी मध्य रेखा से जुड़ी हुई हैं। कार्यों के प्रकार विशिष्ट कार्यों के खुले बैंक से लिए जाते हैं। आप चाहें तो अपने सैद्धांतिक ज्ञान को ताज़ा कर सकते हैं। ब्लॉग पहले से ही उन कार्यों को कवर कर चुका है जिनकी शर्तें भी संबंधित हैं। संक्षेप में मध्य रेखा के बारे में:

ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा पार्श्व पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। यह आधारों के समानांतर है और उनके आधे योग के बराबर है।

समस्याओं को हल करने से पहले, आइए एक सैद्धांतिक उदाहरण देखें।

एक समलम्ब ABCD दिया है। मध्य रेखा के साथ प्रतिच्छेद करने वाला विकर्ण AC एक बिंदु K बनाता है, विकर्ण BD एक बिंदु L बनाता है। सिद्ध करें कि खंड KL आधारों के बीच के अंतर के आधे के बराबर है।

आइए पहले इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक समलंब की मध्य रेखा किसी भी खंड को समद्विभाजित करती है जिसका सिरा इसके आधारों पर स्थित होता है। यह निष्कर्ष खुद ही बताता है। दो आधार बिंदुओं को जोड़ने वाले एक खंड की कल्पना करें, यह इस समलम्बाकार को दो अन्य में विभाजित करेगा। यह पता चला है कि ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के समानांतर और दूसरी तरफ के बीच से गुजरने वाला एक खंड इसके बीच से होकर गुजरेगा।

यह थेल्स के प्रमेय पर भी आधारित है:

यदि दो सीधी रेखाओं में से एक पर हम एक के बाद एक कई बराबर खंड रखते हैं और उनके सिरों से दूसरी सीधी रेखा को काटते हुए समानांतर सीधी रेखाएँ खींचते हैं, तो वे दूसरी सीधी रेखा पर समान खंडों को काट देंगे।

अर्थात्, इस स्थिति में, K, AC का मध्य है और L, BD का मध्य है। इसलिए EK त्रिभुज ABC की मध्य रेखा है, LF त्रिभुज DCB की मध्य रेखा है। त्रिभुज की मध्य रेखा के गुण से:

अब हम खंड KL को आधारों के माध्यम से व्यक्त कर सकते हैं:

सिद्ध किया हुआ!

यह उदाहरण एक कारण से दिया गया है। स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याओं में बस ऐसी ही समस्या है। केवल यह नहीं कहता है कि विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड मध्य रेखा पर स्थित है। कार्यों पर विचार करें:

27819. एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा ज्ञात कीजिए यदि उसके आधार 30 और 16 हैं।

हम सूत्र द्वारा गणना करते हैं:

27820. समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा 28 है और छोटा आधार 18 है। समलंब का बड़ा आधार ज्ञात कीजिए।

आइए हम एक बड़ा आधार व्यक्त करें:

इस प्रकार:

27836। अधिक कोण के शीर्ष से समद्विबाहु समलम्ब के बड़े आधार तक कम किया गया लंबवत, इसे 10 और 4 लंबाई वाले भागों में विभाजित करता है। इस समलम्ब की मध्य रेखा ज्ञात कीजिए।

केंद्र रेखा खोजने के लिए, आपको आधार जानना होगा। आधार AB को खोजना आसान है: 10 + 4 = 14. डीसी खोजें।

आइए दूसरे लंबवत DF का निर्माण करें:

AF, FE और EB क्रमशः 4, 6 और 4 होंगे, क्यों?

एक समद्विबाहु समलम्बाकार में, बड़े आधार पर कम किए गए लंबवत इसे तीन खंडों में विभाजित करते हैं। उनमें से दो, जो कटे हुए समकोण त्रिभुज के पैर हैं, एक दूसरे के बराबर हैं। तीसरा खंड छोटे आधार के बराबर है, क्योंकि संकेतित ऊंचाइयों का निर्माण करते समय, एक आयत बनता है, और आयत में विपरीत भुजाएँ समान होती हैं। इस कार्य में:

इस प्रकार डीसी = 6. हम गणना करते हैं:

27839. समलम्ब चतुर्भुज के आधार 2:3 हैं, और मध्य रेखा 5 है। छोटा आधार ज्ञात कीजिए।

आइए आनुपातिकता x के गुणांक का परिचय दें। तब AB = 3x, DC = 2x। हम लिख सकते हैं:

अतः छोटा आधार 2 2 = 4 है।

27840. एक समद्विबाहु समलंब का परिमाप 80 है, इसकी मध्य रेखा पार्श्व भुजा के बराबर है। समलम्ब चतुर्भुज की भुजा ज्ञात कीजिए।

शर्त के आधार पर, हम लिख सकते हैं:

यदि आप x के मान के माध्यम से मध्य रेखा को निर्दिष्ट करते हैं, तो आपको मिलता है:

दूसरा समीकरण पहले से ही इस रूप में लिखा जा सकता है:

27841. समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा 7 है और इसका एक आधार दूसरे से 4 बड़ा है। समलंब का बड़ा आधार ज्ञात कीजिए।

छोटे आधार (DC) को x के रूप में निरूपित करते हैं, तो बड़ा (AB) x + 4 के बराबर होगा। हम लिख सकते हैं

हमने पाया कि निचला आधार शुरुआती पांच है, इसलिए बड़ा 9 है।

27842. समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा 12 है। विकर्णों में से एक इसे दो खंडों में विभाजित करता है, जिसका अंतर 2 है। समलंब का बड़ा आधार ज्ञात कीजिए।

यदि हम खंड EO की गणना करते हैं, तो हम आसानी से समलंब चतुर्भुज का बड़ा आधार ज्ञात कर सकते हैं। यह त्रिभुज ADB में मध्य रेखा है, और AB = 2 EO है।

हमारे पास क्या है? ऐसा कहा जाता है कि मध्य रेखा 12 है और ईओ और ओएफ खंडों के बीच का अंतर 2 है। हम दो समीकरण लिख सकते हैं और सिस्टम को हल कर सकते हैं:

यह स्पष्ट है कि इस मामले में गणना के बिना संख्याओं की एक जोड़ी चुनना संभव है, ये 5 और 7 हैं। लेकिन, फिर भी, हम सिस्टम को हल करेंगे:

अत: ईओ = 12–5 = 7. अत: बड़ा आधार AB = 2 EO = 14 के बराबर होता है।

27844. एक समद्विबाहु समलम्ब में, विकर्ण लंबवत होते हैं। समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई 12 है। इसकी मध्य रेखा ज्ञात कीजिए।

तुरंत, हम ध्यान दें कि एक समद्विबाहु समलम्बाकार में विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से खींची गई ऊँचाई समरूपता की धुरी पर स्थित होती है और समलम्ब को दो समान आयताकार समलम्बाकार में विभाजित करती है, अर्थात इस ऊँचाई के आधार आधे में विभाजित होते हैं।

ऐसा प्रतीत होता है कि मध्य रेखा की गणना करने के लिए, हमें आधारों को खोजना होगा। यहाँ एक छोटा गतिरोध उत्पन्न होता है ... कैसे, ऊंचाई जानने के लिए, इस मामले में, आधारों की गणना कैसे करें? और कैसे नहीं! ऐसे कई समलम्ब चतुर्भुज हैं जिनकी एक निश्चित ऊँचाई और विकर्ण 90 डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। कैसे बनें?

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा के सूत्र को देखें। आखिर हमारे लिए खुद आधार जानना जरूरी नहीं है, उनका योग (या आधी राशि) जानना ही काफी है। हम यह कर सकते हैं।

चूँकि विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, समद्विबाहु समकोण त्रिभुज EF ऊँचाई के साथ बनते हैं:

ऊपर से, यह इस प्रकार है कि एफओ = डीएफ = एफसी, और ओई = एई = ईबी। अब आइए नीचे लिखें कि DF और AE खंडों के संदर्भ में व्यक्त की गई ऊंचाई क्या है:

तो मध्य रेखा 12 है।

* सामान्य तौर पर, यह एक कार्य है, जैसा कि आप समझते हैं, मौखिक गणना के लिए। लेकिन मुझे यकीन है कि प्रदान की गई विस्तृत व्याख्या आवश्यक है। और इसलिए ... यदि आप आकृति को देखते हैं (बशर्ते कि निर्माण के दौरान विकर्णों के बीच का कोण देखा गया हो), समानता एफओ = डीएफ = एफसी, और ओई = एई = ईबी, तुरंत आपकी आंख को पकड़ लेती है।

प्रोटोटाइप के हिस्से के रूप में, ट्रेपेज़ियम के साथ कई प्रकार के कार्य भी होते हैं। यह एक पिंजरे में एक शीट पर बनाया गया है और आपको मध्य रेखा खोजने की जरूरत है, पिंजरे का किनारा आमतौर पर 1 होता है, लेकिन एक अलग मूल्य हो सकता है।

27848. समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा ज्ञात कीजिए ऐ बी सी डीयदि वर्ग कोशिकाओं की भुजाएँ 1 हैं।

यह आसान है, हम कोशिकाओं द्वारा आधारों की गणना करते हैं और सूत्र का उपयोग करते हैं: (2 + 4) / 2 = 3

यदि बेस को सेल ग्रिड के कोण पर बनाया गया है, तो दो तरीके हैं। उदाहरण के लिए!

पाठ मकसद:

1) छात्रों को एक ट्रेपोजॉइड की मध्य रेखा की अवधारणा से परिचित कराना, इसके गुणों पर विचार करना और उन्हें साबित करना;

2) एक ट्रेपोजॉइड की मध्य रेखा बनाना सिखाएं;

3) समलम्बाकार की मध्य रेखा की परिभाषा और समस्याओं को हल करते समय समलंब की मध्य रेखा के गुणों का उपयोग करने के लिए छात्रों की क्षमता विकसित करना;

4) आवश्यक गणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए छात्रों की सही ढंग से बोलने की क्षमता बनाना जारी रखें; अपनी बात साबित करें;

5) तार्किक सोच, स्मृति, ध्यान विकसित करें।

कक्षाओं के दौरान

1. पाठ के दौरान गृहकार्य की जाँच होती है। होमवर्क मौखिक था, याद रखें:

क) एक समलम्ब की परिभाषा; ट्रेपेज़ियम के प्रकार;

बी) त्रिभुज की मध्य रेखा का निर्धारण;

ग) त्रिभुज की मध्य रेखा का गुण;

d) त्रिभुज की मध्य रेखा का चिन्ह।

2. नई सामग्री सीखना।

a) ट्रेपोजॉइड ABCD को बोर्ड पर दिखाया गया है।

बी) शिक्षक एक ट्रेपोजॉइड की परिभाषा को याद रखने का सुझाव देता है। प्रत्येक स्कूल डेस्क में एक संकेत आरेख होता है जो "ट्रेपेज़ियम" विषय में बुनियादी अवधारणाओं को याद रखने में मदद करता है (परिशिष्ट 1 देखें)। प्रत्येक स्कूल डेस्क के लिए परिशिष्ट 1 जारी किया जाता है।

विद्यार्थी एक नोटबुक में समलंब ABCD खींचते हैं।

ग) शिक्षक यह याद रखने का सुझाव देता है कि किस विषय में मध्य रेखा की अवधारणा का सामना करना पड़ा ("एक त्रिभुज की मध्य रेखा")। विद्यार्थी त्रिभुज की मध्य रेखा की परिभाषा और उसके गुण को याद करते हैं।

ई) ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की परिभाषा को एक नोटबुक में चित्रित करते हुए लिखें।

मध्य पंक्तिएक समलम्ब चतुर्भुज को उसके पार्श्व पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड कहा जाता है।

इस स्तर पर एक ट्रैपेज़ॉयड की मध्य रेखा की संपत्ति अप्रमाणित रहती है, इसलिए पाठ के अगले चरण में एक ट्रैपेज़ॉयड की मध्य रेखा की संपत्ति के सबूत पर काम करना शामिल है।

प्रमेय। समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उसके आधारों के समानांतर होती है और उनके आधे योग के बराबर होती है।

दिया गया:एबीसीडी - समलम्बाकार,

एमएन - मध्य रेखा एबीसीडी

साबित करना, क्या:

1. ईसा पूर्व || एमएन || ई.

2. एमएन = (एडी + बीसी)।

हम प्रमेय की शर्तों से आने वाले कुछ परिणामों को लिख सकते हैं:

एएम = एमबी, सीएन = एनडी, बीसी || ई.

केवल सूचीबद्ध गुणों के आधार पर यह साबित करना असंभव है कि क्या आवश्यक है। प्रश्नों और अभ्यासों की एक प्रणाली को छात्रों को एक त्रिभुज की मध्य रेखा के साथ एक ट्रेपोजॉइड की मध्य रेखा को जोड़ने की इच्छा की ओर ले जाना चाहिए, जिसके गुण वे पहले से ही जानते हैं। यदि कोई सुझाव नहीं हैं, तो आप प्रश्न पूछ सकते हैं: एक त्रिभुज का निर्माण कैसे करें जिसके लिए खंड MN मध्य रेखा होगी?

आइए किसी एक मामले के लिए एक अतिरिक्त निर्माण लिखें।

भुजा AD के विस्तार को बिंदु K पर प्रतिच्छेद करती हुई रेखा BN खींचिए।

अतिरिक्त तत्व दिखाई देते हैं - त्रिकोण: एबीडी, बीएनएम, डीएनके, बीसीएन। यदि हम सिद्ध करते हैं कि बीएन = एनके, तो इसका मतलब यह होगा कि एमएन एबीडी की मध्य रेखा है, और फिर त्रिभुज की मध्य रेखा की संपत्ति का उपयोग करना और साबित करना संभव होगा कि क्या आवश्यक है।

सबूत:

1. उनमें बीएनसी और डीएनके पर विचार करें:

ए) सीएनबी = डीएनके (ऊर्ध्वाधर कोण संपत्ति);

बी) बीसीएन = एनडीके (क्रॉस-लेट कॉर्नर की संपत्ति);

c) CN = ND (प्रमेय की शर्तों के उपपत्ति द्वारा)।

इसलिए बीएनसी = डीएनके (पक्ष और दो आसन्न कोनों के साथ)।

क्यू.ई.डी.

सबूत को पाठ में मौखिक रूप से किया जा सकता है, और घर पर इसे पुनर्स्थापित किया जा सकता है और एक नोटबुक (शिक्षक के विवेक पर) में लिखा जा सकता है।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के अन्य संभावित तरीकों के बारे में कहना आवश्यक है:

1. समलम्ब चतुर्भुज का कोई एक विकर्ण खींचिए और त्रिभुज की मध्य रेखा के चिह्न और गुण का प्रयोग कीजिए।

2. सीएफ करें || BA और समांतर चतुर्भुज ABCF और DCF पर विचार करें।

3. आचरण ईएफ || बीए और एफडीए और ईएनसी की समानता पर विचार करें।

छ) इस स्तर पर, गृहकार्य दिया जाता है: पृष्ठ 84, पाठ्यपुस्तक, संस्करण। अतानासियन एल.एस. (एक सदिश तरीके से एक समलंब की मध्य रेखा के गुण का प्रमाण), एक नोटबुक में लिखें।

ज) हम तैयार चित्रों के अनुसार एक समलम्ब रेखा की मध्य रेखा की परिभाषा और गुणों का उपयोग करने की समस्याओं को हल करते हैं (परिशिष्ट 2 देखें)। प्रत्येक छात्र को परिशिष्ट 2 जारी किया जाता है, और समस्याओं का समाधान उसी शीट पर संक्षिप्त रूप में तैयार किया जाता है।

ट्रेपेज़ियम क्षेत्र। अभिवादन! इस पोस्ट में, हम निर्दिष्ट सूत्र पर एक नज़र डालेंगे। वह बिल्कुल वैसी ही क्यों है और उसे कैसे समझा जाए। अगर समझ है तो उसे सीखने की जरूरत नहीं है। यदि आप केवल इस सूत्र को देखना चाहते हैं और क्या अत्यावश्यक है, तो आप तुरंत पृष्ठ को नीचे स्क्रॉल कर सकते हैं))

अब विस्तार से और क्रम में।

एक समलम्ब चतुर्भुज है, इस चतुर्भुज के दो पक्ष समानांतर हैं, अन्य दो नहीं हैं। जो समानांतर नहीं हैं वे समलम्बाकार के आधार हैं। अन्य दो पक्ष कहलाते हैं।

यदि भुजाएँ समान हों, तो समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है। यदि पार्श्व पक्षों में से एक आधारों के लंबवत है, तो ऐसे समलंब को आयताकार कहा जाता है।

शास्त्रीय रूप में, ट्रेपेज़ॉइड को निम्नानुसार दर्शाया गया है - बड़ा आधार क्रमशः नीचे है, सबसे छोटा आधार शीर्ष पर है। लेकिन कोई भी उसे और इसके विपरीत चित्रित करने से मना नहीं करता है। यहाँ रेखाचित्र हैं:

अगली महत्वपूर्ण अवधारणा।

ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा वह रेखा खंड है जो पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। मध्य रेखा समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर है और उनके आधे योग के बराबर है।

आइए अब गहराई में जाएं। ऐसा क्यों है?

आधारों के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज पर विचार करें ए और बीऔर मध्य रेखा के साथ मैं, और हम कुछ अतिरिक्त निर्माण करेंगे: आधारों के माध्यम से सीधी रेखाएँ, और मध्य रेखा के सिरों के माध्यम से लंबवत, जब तक वे आधारों के साथ प्रतिच्छेद न करें:

* अनावश्यक पदनामों से बचने के लिए अक्षरों और अन्य बिंदुओं के अक्षर पदनाम जानबूझकर पेश नहीं किए जाते हैं।

देखिए, त्रिभुजों की समता की दूसरी राशि में त्रिभुज 1 और 2 बराबर हैं, त्रिभुज 3 और 4 समान हैं। त्रिभुजों की समानता का तात्पर्य तत्वों की समानता से है, अर्थात् पैर (वे क्रमशः नीले और लाल रंग में दर्शाए गए हैं)।

अब ध्यान! यदि हम निचले आधार से नीले और लाल खंड को मानसिक रूप से "काट" देते हैं, तो हमारे पास मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का पक्ष है) होगा। इसके अलावा, अगर हम कट ऑफ ब्लू और रेड लाइन को ट्रैपेज़ॉइड के ऊपरी आधार पर "गोंद" करते हैं, तो हमें ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का पक्ष भी है) मिलेगा।

समझ गया? यह पता चला है कि आधारों का योग समलम्बाकार रेखा की दो मध्य रेखाओं के बराबर होगा:

एक और स्पष्टीकरण देखें

आइए निम्न कार्य करें - ट्रेपेज़ॉइड के निचले आधार से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का निर्माण करें और एक सीधी रेखा जो बिंदु A और B से होकर गुजरेगी:

हमें त्रिभुज 1 और 2 मिलते हैं, वे भुजा पर और उससे सटे कोणों के बराबर होते हैं (त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिन्ह)। इसका मतलब है कि परिणामी खंड (स्केच में इसे नीले रंग में दर्शाया गया है) ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार के बराबर है।

अब त्रिभुज पर विचार करें:

* इस समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा और त्रिभुज की मध्य रेखा संपाती होती है।

यह ज्ञात है कि एक त्रिभुज अपने समांतर आधार के आधे के बराबर होता है, अर्थात्:

ठीक है, इसे सुलझा लिया। अब समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र के बारे में।

ट्रेपेज़ियम क्षेत्र सूत्र:

वे कहते हैं: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों के आधे योग और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

यही है, यह पता चला है कि यह मध्य रेखा और ऊंचाई के उत्पाद के बराबर है:

आपने शायद अब तक देखा होगा कि यह स्पष्ट है। ज्यामितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: यदि हम मानसिक रूप से त्रिभुज 2 और 4 को त्रिभुज से काटते हैं और उन्हें क्रमशः त्रिभुज 1 और 3 पर रखते हैं:

तब हमें अपने समलंब के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल में एक आयत मिलता है। इस आयत का क्षेत्रफल मध्य रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होगा, अर्थात हम लिख सकते हैं:

लेकिन यहाँ बात रिकॉर्डिंग में नहीं है, ज़ाहिर है, बल्कि समझ में है।

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बस इतना ही। आपको सफलता!

निष्ठा से, सिकंदर।