अंकगणितीय तरीका। गणित का पाठ "समस्याओं को हल करने के बीजगणितीय और अंकगणितीय तरीके।" छात्रों को हल करने के लिए पढ़ाने की पद्धति

इन समस्याओं का विश्लेषण करना, गणित की दृष्टि से समस्याओं में क्या सामान्य है, क्या अंतर है, यह देखना, समस्याओं को हल करने का एक असाधारण तरीका खोजना, समस्याओं को हल करने के तरीकों का एक गुल्लक बनाना, एक समस्या को अलग-अलग तरीकों से हल करना सीखना समूह कार्य और व्यक्तिगत कार्य के लिए कार्य।

"सिम्युलेटर प्रशिक्षण मैनुअल के लिए कार्य"

सिम्युलेटर: "समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय तरीके"

"योग और अंतर से संख्याओं की तुलना।"

दो टोकरियों में 80 बोलेटस होते हैं। पहली टोकरी में दूसरे से कम 10 बोलेटस मशरूम हैं। प्रत्येक टोकरी में कितने बोलेटस मशरूम हैं?

सिलाई स्टूडियो को 480 मीटर डेनिम और ड्रेप प्राप्त हुआ। हमें ड्रेप की तुलना में 140 मीटर अधिक डेनिम प्राप्त हुआ। एटेलियर को कितने मीटर डेनिम मिला?

टीवी टावर मॉडल में दो ब्लॉक होते हैं। निचला ब्लॉक ऊपरी एक से 130 सेमी छोटा है। यदि टावर 4 मीटर 70 सेमी है तो ऊपर और नीचे के ब्लॉक की ऊंचाई क्या है?

दो बक्सों में 16 किलो कुकीज़ हैं। प्रत्येक डिब्बे में कुकीज़ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि उनमें से एक में 4 किग्रा अधिक कुकीज़ हैं।

एल एन टॉल्स्टॉय द्वारा "अरिथमेटिक" से समस्या।

a) दो आदमियों के पास 35 भेड़ें हैं। एक के पास दूसरे से 9 अधिक भेड़ें हैं। प्रत्येक के पास कितनी भेड़ें हैं?

b) दो आदमियों के पास 40 भेड़ें हैं, और एक के पास दूसरे से 6 भेड़ें कम हैं। प्रत्येक आदमी के पास कितनी भेड़ें हैं?

गैरेज में साइडकार के साथ 23 कारें और मोटरसाइकिलें थीं। कारों और मोटरसाइकिलों में 87 पहिए होते हैं। गैरेज में प्रत्येक साइडकार में स्पेयर व्हील के साथ कितनी मोटरसाइकिलें हैं?

यूलर की मंडलियां।

घर में 120 निवासी हैं, जिनमें से कुछ के पास कुत्ते और बिल्लियाँ हैं। आकृति एक वृत्त दिखाती है साथ कुत्तों के साथ किरायेदारों को दर्शाता है, मंडली प्रति – बिल्लियों के साथ किरायेदार। कुत्तों और बिल्लियों दोनों के कितने निवासी हैं? कितने निवासियों के पास केवल कुत्ते हैं? केवल बिल्लियाँ कितने निवासी हैं? कितने निवासियों के पास कुत्ते या बिल्लियाँ नहीं हैं?

52 स्कूली बच्चों में से 23 वॉलीबॉल में और 35 बास्केटबॉल में और 16 वॉलीबॉल और बास्केटबॉल दोनों में शामिल हैं। बाकी इनमें से किसी भी खेल में शामिल नहीं हैं। कितने स्कूली बच्चे इनमें से किसी भी खेल में शामिल नहीं हैं?

आकृति एक वृत्त दिखाती है ए सभी विश्वविद्यालय कर्मचारियों को दर्शाता है जो अंग्रेजी जानते हैं, एक मंडली एच - जो जर्मन और मंडली जानते हैं एफ - फ्रेंच। कितने विश्वविद्यालय कर्मचारी जानते हैं: क) 3 भाषाएं; बी) अंग्रेजी और जर्मन; ग) फ्रेंच? कितने विश्वविद्यालय कर्मचारी हैं? उनमें से कितने फ्रेंच नहीं बोलते हैं?

अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन में 120 लोगों ने भाग लिया। इनमें से 60 रूसी, 48 - अंग्रेजी, 32 - जर्मन, 21 - रूसी और जर्मन, 19 - अंग्रेजी और जर्मन, 15 - रूसी और अंग्रेजी बोलते हैं, और 10 लोग तीनों भाषाएं बोलते हैं। कितने सम्मेलन प्रतिभागी इनमें से कोई भी भाषा नहीं बोलते हैं?

गाना बजानेवालों में 82 छात्र गायन और नृत्य करते हैं, 32 छात्र नृत्य और लयबद्ध जिमनास्टिक करते हैं, और 78 छात्र गाना बजानेवालों में गाते हैं और लयबद्ध जिमनास्टिक करते हैं। कितने छात्र गाना बजानेवालों में गाते हैं, नृत्य और लयबद्ध जिमनास्टिक अलग-अलग करते हैं, यदि यह ज्ञात हो कि प्रत्येक छात्र केवल एक ही काम कर रहा है?

हमारे घर में रहने वाला प्रत्येक परिवार या तो एक समाचार पत्र, या एक पत्रिका, या दोनों की सदस्यता लेता है। 75 परिवार एक समाचार पत्र की सदस्यता लेते हैं, और 27 परिवार एक पत्रिका की सदस्यता लेते हैं, और केवल 13 परिवार एक पत्रिका और एक समाचार पत्र दोनों की सदस्यता लेते हैं। हमारे घर में कितने परिवार रहते हैं?

"डेटा समायोजन विधि"।

3 छोटे और 4 बड़े गुलदस्ते में 29 फूल हैं, और 5 छोटे और 4 बड़े गुलदस्ते में 35 फूल हैं। प्रत्येक गुलदस्ते में अलग-अलग कितने फूल हैं?

2 चॉकलेट बार का वजन - बड़े और छोटे - 120 ग्राम, और 3 बड़े और 2 छोटे - 320 ग्राम। प्रत्येक बार का वजन क्या है?

5 सेब और 3 नाशपाती का वजन 810 ग्राम और 3 सेब और 5 नाशपाती का वजन 870 ग्राम होता है। एक सेब का वजन कितना होता है? एक नाशपाती?

चार बत्तख और पांच गोस्लिंग का वजन 4 किलो 100 ग्राम, पांच बत्तख और चार गोस्लिंग का वजन 4 किलो होता है। एक बत्तख का वजन कितना होता है?

एक घोड़े और दो गायों के लिए, 34 किलो घास प्रतिदिन दी जाती है, और दो घोड़ों और एक गाय के लिए - 35 किलो घास। एक घोड़े को कितना घास दिया जाता है और एक गाय को कितना?

3 लाल क्यूब्स और 6 नीले क्यूब्स की कीमत 165tg रूबल है। इसके अलावा, पांच लाल दो नीले वाले की तुलना में 95 टेन्ज अधिक महंगे हैं। प्रत्येक घन का मूल्य कितना है?

ड्राइंग के लिए 2 एल्बम और टिकटों के लिए 3 एल्बमों की एक साथ लागत 160 रूबल और ड्राइंग के लिए 3 एल्बम की लागत 45 रूबल है। टिकटों के लिए दो एल्बम से अधिक महंगा।

"ग्राफ"।

शेरोज़ा ने अपनी माँ को उसके जन्मदिन के लिए फूलों का एक गुलदस्ता (गुलाब, ट्यूलिप या कार्नेशन्स) देने का फैसला किया और उन्हें या तो फूलदान में या जग में रख दिया। वह इसे कितने तरीकों से कर सकता है?

0, 1, 3, 5 अंकों से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि संख्या की संख्याओं को दोहराया नहीं जाता है?

बुधवार को, 5 वीं कक्षा में पाँच पाठ हैं: गणित, शारीरिक शिक्षा, इतिहास, रूसी और विज्ञान। आप बुधवार के लिए कितने अलग शेड्यूलिंग विकल्प बना सकते हैं?

"पदार्थों को मिलाने की समस्याओं को हल करने का एक पुराना तरीका।"

तेल कैसे मिलाएं?एक निश्चित व्यक्ति के पास बिक्री के लिए दो प्रकार के तेल थे: एक प्रति बाल्टी 10 रिव्निया की कीमत पर, दूसरा 6 रिव्निया प्रति बाल्टी। वह इन दोनों तेलों को मिलाकर 7 रिव्निया प्रति बाल्टी के भाव से मक्खन बनाना चाहता था। 7 रिव्निया के लायक तेल की एक बाल्टी प्राप्त करने के लिए आपको इन दो तेलों के कौन से हिस्से लेने होंगे?

210 टेन्ज प्रति किलोग्राम की कीमत पर 21 किलोग्राम मिश्रण बनाने के लिए 260 टेन्ज प्रति 1 किग्रा की कीमत पर और 190 टेन्ज प्रति 1 किग्रा की कीमत पर कितना कारमेल लिया जाना चाहिए?

किसी के पास चाय की तीन किस्में हैं - 5 रिव्निया प्रति पाउंड की दर से सीलोन चाय, 8 रिव्निया प्रति पाउंड की दर से भारतीय, और 12 रिव्निया प्रति पाउंड की दर से चीनी। 6 रिव्निया प्रति पाउंड की चाय प्राप्त करने के लिए इन तीन किस्मों को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए?

किसी के पास अलग-अलग ग्रेड की सिल्वर है: एक 12वीं क्लास का है, दूसरा 10वीं क्लास का है, तीसरा 6वीं क्लास का है। 9 कैरेट चांदी का 1 पौंड प्राप्त करने के लिए आपको कितनी चांदी लेने की आवश्यकता है?

व्यापारी ने 540 रूबल के लिए 138 गज काला और नीला कपड़ा खरीदा। सवाल यह है कि अगर नीले रंग की कीमत 5 रूबल है, तो उसने दोनों के लिए कितने आर्शिन खरीदे। एक अर्शिन के लिए, और काला - 3 रूबल?

विभिन्न कार्य।

हमने नए साल के तोहफे के लिए 87 किलो फल खरीदे, और संतरे से 17 किलो ज्यादा सेब थे। आपने कितने सेब और कितने संतरे खरीदे?

नए साल के पेड़ पर, कार्निवाल वेशभूषा में पेट्रुशेक वेशभूषा की तुलना में 3 गुना अधिक बर्फ के टुकड़े थे। पेट्रुष्का वेशभूषा में कितने बच्चे थे यदि उनमें से 12 कम थे?

माशा को कोल्या की तुलना में 2 गुना कम नए साल की बधाई मिली। यदि 27 होते तो सभी को कितनी बधाईयाँ मिलीं? (9 और 18)।

नए साल के इनाम के लिए 28 किलो मिठाइयां खरीदी गईं। मिठाई "निगल" में 2 भाग होते हैं, "संग्रहालय" - 3 भाग, "कैमोमाइल" - 2 भाग। आपने प्रत्येक प्रकार की कितनी कैंडी खरीदी? (8, 8, 12)।

गोदाम में 2004 किलो आटा है। क्या इसे 9 किलो वजन और 18 किलो वजन के बैग में पैक किया जा सकता है?

चाय के लिए 5 अलग-अलग कप और 3 अलग-अलग तश्तरी हैं "कितने तरीकों से आप एक कप और तश्तरी खरीद सकते हैं?

एक घोड़ा 2 दिन में भूसे का ढेर खाता है, गाय 3 दिन में, भेड़ 6 में।

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"पाठ का सार आरिफ सीएन"

"शब्द समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय तरीके"।

गणित के एक विद्यार्थी के लिए अक्सर एक ही समस्या को तीन या चार अलग-अलग समस्याओं को हल करने की तुलना में तीन अलग-अलग तरीकों से हल करना अधिक उपयोगी होता है। एक समस्या को अलग-अलग तरीकों से हल करते हुए, आप तुलना करके पता लगा सकते हैं कि कौन सी छोटी और अधिक कुशल है। इस तरह अनुभव विकसित होता है।

डब्ल्यूडब्ल्यू सॉयर

पाठ का उद्देश्य: पिछले पाठों में प्राप्त ज्ञान का उपयोग करें, विभिन्न तरीकों से परीक्षण समस्याओं को हल करने के लिए कल्पना, अंतर्ज्ञान, कल्पना, सरलता दिखाएं।

पाठ उद्देश्य: शैक्षिक: इन समस्याओं का विश्लेषण करना, गणितज्ञ के दृष्टिकोण से समस्याओं में क्या सामान्य है, क्या अंतर है, समस्याओं को हल करने का एक असाधारण तरीका खोजना, समस्याओं को हल करने के तरीकों का एक गुल्लक बनाना, एक समस्या को हल करना सीखें विभिन्न तरीके।

विकसित होना: आत्म-साक्षात्कार की आवश्यकता महसूस करें, अपने आप को एक निश्चित भूमिका निभाने वाली स्थिति में पाएं।

शैक्षिक:व्यक्तिगत गुण विकसित करें, एक संचार संस्कृति बनाएं।

शिक्षा के साधन: एकल विषय "समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय तरीकों" द्वारा समूहीकृत कार्यों का सिम्युलेटर, समूह में काम के लिए और व्यक्तिगत कार्य के लिए कार्य।

कक्षाओं के दौरान।

I. संगठनात्मक क्षण

हैलो दोस्तों। बैठ जाओ। आज हमारे पास "शब्द समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय तरीके" विषय पर एक पाठ है।

द्वितीय. ज्ञान अद्यतन।

गणित सबसे प्राचीन और महत्वपूर्ण विज्ञानों में से एक है। प्राचीन काल में - हजारों साल पहले लोगों ने गणितीय ज्ञान का बहुत उपयोग किया। वे व्यापारियों और बिल्डरों, योद्धाओं और भूमि सर्वेक्षणकर्ताओं, पुजारियों और यात्रियों के लिए आवश्यक थे।

और आजकल कोई भी व्यक्ति गणित के अच्छे ज्ञान के बिना जीवन में कुछ नहीं कर सकता। गणित की अच्छी समझ का आधार समस्याओं को गिनने, सोचने, तर्क करने और सफल समाधान खोजने की क्षमता है।

आज हम शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीकों पर विचार करेंगे, हम उन प्राचीन समस्याओं का विश्लेषण करेंगे जो विभिन्न देशों और समयों से हमारे पास आई हैं, समीकरण के लिए समस्याएं, योग और अंतर से तुलना के लिए, और अन्य।

पाठ का उद्देश्य आपको सुंदरता, धन और विविधता की अद्भुत दुनिया में आकर्षित करना है - दिलचस्प चुनौतियों की दुनिया। और, इसलिए, कुछ अंकगणितीय विधियों से परिचित होने के लिए जो बहुत ही सुरुचिपूर्ण और शिक्षाप्रद समाधान प्रदान करते हैं।

एक कार्य लगभग हमेशा एक खोज है, कुछ गुणों और संबंधों का प्रकटीकरण, और इसके समाधान के साधन गणित के तरीकों की अंतर्ज्ञान और अनुमान, विद्वता और महारत हैं।

गणित में बुनियादी के रूप में, समस्याओं को हल करने के अंकगणित और बीजगणितीय तरीकों को प्रतिष्ठित किया जाता है।

अंकगणितीय विधि से किसी समस्या को हल करने का अर्थ है संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ करके समस्या की आवश्यकता का उत्तर खोजना।

बीजगणितीय पद्धति से, समस्या के प्रश्न का उत्तर समीकरण बनाने और हल करने के परिणामस्वरूप मिलता है।

यह कोई रहस्य नहीं है कि एक व्यक्ति जो विभिन्न उपकरणों का मालिक है और उनका उपयोग करता है, प्रदर्शन किए गए कार्य की प्रकृति के आधार पर, केवल एक सार्वभौमिक उपकरण के मालिक की तुलना में बहुत बेहतर परिणाम प्राप्त करता है।

कई अंकगणितीय विधियाँ और गैर-मानक समस्या समाधान तकनीकें हैं। आज मैं आपको उनमें से कुछ से मिलवाना चाहता हूं।

1. शब्द समस्याओं को हल करने की विधि "योग और अंतर द्वारा संख्याओं की तुलना।"

टास्क : पतझड़ में दादी ने अपनी गर्मियों की झोपड़ी से 51 किलो गाजर और गोभी एकत्र की। गोभी गाजर से 15 किलो ज्यादा थी। आपकी दादी ने कितने किलोग्राम गाजर और कितने किलोग्राम गोभी एकत्र की?

इस वर्ग की समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम के बिंदुओं के अनुरूप प्रश्न।

1. पता करें कि समस्या में कौन से मूल्य प्रश्न में हैं

मेरी दादी द्वारा एकत्र की गई गाजर और गोभी की मात्रा के बारे में, एक साथ और अलग-अलग।

2. समस्या में किन-किन मात्राओं की मात्राएँ ज्ञात करनी हैं, यह बताइए।

आपकी दादी ने कितने किलोग्राम गाजर और कितने किलोग्राम गोभी एकत्र की?

3. समस्या में मात्राओं के बीच संबंध का नाम बताइए।

समस्या योग और मूल्यों के अंतर के बारे में बात करती है।

4. राशियों के मूल्यों के योग और अंतर को नाम दें।

राशि 51 किलो है, अंतर 15 किलो है।

5. मानों को बराबर करके, छोटे मान का दोहरा मान ज्ञात करें (मानों के योग से मानों के अंतर को घटाएं)।

51 - 15 = 36 (किलो) - गाजर की मात्रा दोगुनी करें।

6. दुगने मान को जानकर, छोटा मान (दोगुने मान को दो से भाग देने पर) ज्ञात कीजिए।

36: 2 = 18 (किलो) - गाजर।

7. छोटे मान के मान और मान के बीच अंतर का उपयोग करके बड़े मान का मान ज्ञात करें।

18 + 15 = 33 (किलो) - पत्ता गोभी। उत्तर: 18 किग्रा, 33 किग्रा। कार्य।पिंजरे में तीतर और खरगोश हैं। कुल 6 सिर और 20 पैर। पिंजरे में कितने खरगोश और कितने तीतर हैं ?
विधि 1. चयन विधि:
2 तीतर, 4 खरगोश।
जाँच करें: 2 + 4 = 6 (लक्ष्य); 4 4 + 2 2 = 20 (फीट)।
यह एक चयन विधि है ("ग्लेन" शब्द से)। इस समाधान पद्धति के फायदे और नुकसान (यदि संख्याएं बड़ी हैं तो चयन करना मुश्किल है) इस प्रकार, अधिक सुविधाजनक समाधान विधियों की तलाश करने के लिए एक प्रोत्साहन है।
चर्चा के परिणाम: छोटी संख्या के साथ संचालन के लिए चयन विधि सुविधाजनक है, मूल्यों में वृद्धि के साथ, यह तर्कहीन और श्रमसाध्य हो जाता है।
विधि 2. विकल्पों की पूरी गणना।

एक तालिका संकलित की गई है:

उत्तर: 4 खरगोश, 2 तीतर।
इस विधि का नाम "पूर्ण" है। चर्चा के परिणाम: संपूर्ण खोज विधि सुविधाजनक है, लेकिन बड़े मूल्यों पर यह काफी श्रमसाध्य है।
विधि 3. धारणा विधि।

आइए एक पुरानी चीनी समस्या को लें:

पिंजरे में अज्ञात संख्या में तीतर और खरगोश हैं। पूरे पिंजरे में 35 सिर और 94 पैर हैं। तीतरों की संख्या और खरगोशों की संख्या ज्ञात कीजिए।(२६०० ईसा पूर्व में संकलित चीनी गणितीय पुस्तक "किउ-चांग" से एक समस्या)।

यहाँ गणित के पुराने उस्तादों द्वारा पाया गया एक संवाद है। - आइए कल्पना करें कि हम गाजर को पिंजरे में रखते हैं जिसमें तीतर और खरगोश बैठे हैं। गाजर तक पहुंचने के लिए सभी खरगोश अपने पिछले पैरों पर खड़े होंगे। इस समय कितने फुट जमीन पर होंगे?

लेकिन समस्या कथन में 94 पैर दिए गए हैं, बाकी कहाँ हैं?

बाकी पैरों की गिनती नहीं है - ये खरगोशों के सामने के पैर हैं।

कितने हैं?

24 (94 – 70 = 24)

कितने खरगोश हैं?

12 (24: 2 = 12)

और तीतर?

23 (35- 12 = 23)

इस पद्धति का नाम "कमी अनुमान विधि" है। इस नाम को स्वयं समझाने की कोशिश करें (पिंजरे में बैठने वालों के 2 या 4 पैर होते हैं, लेकिन हमने माना कि सभी के पास इनमें से सबसे छोटी संख्या है - 2 पैर)।

उसी समस्या को हल करने का दूसरा तरीका। - आइए इस समस्या को हल करने का प्रयास करें - "अधिशेष अनुमान विधि द्वारा": आइए कल्पना करें कि तीतरों के दो और पैर हैं, तब सभी पैर होंगे 35 × 4 = 140।

लेकिन समस्या की स्थिति के अनुसार केवल 94 पैर, यानी। 140 - 94 = 46 अतिरिक्त पैर, वे किसके हैं?ये तीतर के पैर हैं, उनके पास पैरों की एक अतिरिक्त जोड़ी है। माध्यम, तीतरमर्जी 46: 2 = 23, फिर खरगोश 35 -23 = 12.
चर्चा सारांश: अनुमान विधि में है दो विकल्प- पर कमी और अधिकता; पिछले तरीकों की तुलना में, यह अधिक सुविधाजनक है, क्योंकि यह कम श्रमसाध्य है।
कार्य। ऊंटों का एक कारवां धीरे-धीरे रेगिस्तान में चल रहा है, उनमें से कुल 40 हैं। यदि आप इन ऊंटों के सभी कूबड़ को गिनें, तो आपको 57 कूबड़ मिलते हैं। इस कारवां में कितने एक कूबड़ वाले ऊंट हैं?1 रास्ता। समीकरण का उपयोग करके हल करें।

प्रति एक कूबड़ की संख्या ऊंटों की संख्या कुल कूबड़

2 एक्स 2 एक्स

1 40 - एन एस 40 - एन एस 57

2 एक्स + 40 - एन एस = 57

एक्स + 40 = 57

एन एस = 57 -40

एन एस = 17

विधि २।

- ऊंट के कितने कूबड़ हो सकते हैं?

(दो या एक हो सकते हैं)

प्रत्येक ऊंट को एक कूबड़ से एक फूल जोड़ने दें।

- आपको कितने फूलों की आवश्यकता है? (40 ऊंट - 40 रंग)

- कितने कूबड़ बिना फूलों के रह जाएंगे?

(वहां 57-40=17 ... यह दूसरा कूबड़बैक्ट्रियन ऊंट)।

कितने बैक्ट्रियन ऊंट? (१७)

कितने एक कूबड़ वाला ऊंट? (40-17 = 23)

समस्या का उत्तर क्या है? ( 17 और 23 ऊंट)।

कार्य।गैरेज में साइडकार वाली कारें और मोटरसाइकिलें थीं, सभी एक साथ 18. कारों और मोटरसाइकिलों में 65 पहिए होते हैं। गैरेज में कितने साइडकार और मोटरसाइकिल थे यदि कारों में 4 पहिए और मोटरसाइकिल में 3 पहिए थे?

1 रास्ता। समीकरण का उपयोग करना:

1 के लिए पहियों की संख्या कुल पहियों की संख्या

मैश। 4एक्स 4 एक्स

मोटा. 3 18 -एन एस 3(18 - एन एस ) 65

4 एक्स + 3(18 - एन एस ) = 65

4 एक्स + 5 4 -3 एन एस =65

एन एस = 65 - 54

एन एस = 11, 18 – 11 = 7.

आइए समस्या को सुधारें : लुटेरे जो गैरेज में आए, जहां साइडकार के साथ 18 कारें और मोटरसाइकिलें थीं, प्रत्येक कार और प्रत्येक मोटरसाइकिल से तीन पहियों को हटा दिया और ले गए। यदि 65 होते तो गैरेज में कितने पहिए बचे होते? क्या वे कार या मोटरसाइकिल से संबंधित हैं?

३ × १८ = ५४ - लुटेरों ने इतने पहिए उड़ा लिए,

65- 54 = 11 - कितने पहिए बचे हैं (गैरेज में कारें),

18 - 11 = 7 - मोटरसाइकिलें।

उत्तर: 7 मोटरसाइकिलें।

अपने आप:

गैरेज में साइडकार के साथ 23 कारें और मोटरसाइकिलें थीं। कारों और मोटरसाइकिलों में 87 पहिए होते हैं। गैरेज में प्रत्येक साइडकार में स्पेयर व्हील के साथ कितनी मोटरसाइकिलें हैं?

- कारों और मोटरसाइकिलों में एक साथ कितने पहिए होते हैं? (4 × 23 = 92)

- आपने प्रत्येक घुमक्कड़ में कितने अतिरिक्त पहिए लगाए? (९२-८७ = ५)

- गैरेज में कितनी कारें हैं? (२३ - ५ = १८)।

कार्य।हमारी कक्षा में, आप अंग्रेजी या फ्रेंच (वैकल्पिक) का अध्ययन कर सकते हैं। यह ज्ञात है कि 20 छात्र अंग्रेजी पढ़ते हैं और 17 छात्र फ्रेंच पढ़ते हैं।कक्षा में 32 छात्र हैं। कितने छात्र अंग्रेजी और फ्रेंच दोनों सीख रहे हैं?

आइए दो वृत्त बनाएं। एक में हम अंग्रेजी पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या दर्ज करेंगे, दूसरे में - फ्रेंच पढ़ने वाले स्कूली बच्चे। चूंकि समस्या की स्थिति से वहाँ छात्र पढ़ रहे हैंदोनों भाषाएँ: दोनों अंग्रेजी और फ्रेंच, तो वृत्तों का एक उभयनिष्ठ भाग होगा।इस समस्या की स्थिति को समझना इतना आसान नहीं है। यदि आप 20 और 17 को जोड़ते हैं, तो आपको 32 से अधिक मिलते हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि हमने यहां कुछ स्कूली बच्चों को दो बार गिना है - अर्थात् वे जो दोनों भाषाओं का अध्ययन करते हैं: अंग्रेजी और फ्रेंच। अतः, (20 + 17) - 32 = 5 छात्र दोनों भाषाएँ सीखते हैं: अंग्रेजी और फ्रेंच।

अंग्रेज़ी। फ़्रैन.

20 खाता। 17 खाता।

(20 + 17) - 32 = 5 (छात्र)।

जिस तरह की योजनाएँ हम समस्या को हल करने के लिए इस्तेमाल करते हैं, उन्हें गणित में कहा जाता है यूलर के वृत्त (या आरेख)। लियोनार्ड यूलर (१७३६) स्विट्जरलैंड में पैदा हुआ था। लेकिन कई सालों तक वह रूस में रहे और काम किया।

कार्य।हमारे घर में रहने वाला प्रत्येक परिवार या तो एक समाचार पत्र या एक पत्रिका, या दोनों की सदस्यता लेता है। 75 परिवार एक समाचार पत्र की सदस्यता लेते हैं, और 27 परिवार एक पत्रिका की सदस्यता लेते हैं, और केवल 13 परिवार एक पत्रिका और एक समाचार पत्र दोनों की सदस्यता लेते हैं। हमारे घर में कितने परिवार रहते हैं?

समाचार पत्र पत्रिकाएं

तस्वीर से पता चलता है कि घर में 89 परिवार रहते हैं।

कार्य।अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन में 120 लोगों ने भाग लिया। इनमें से 60 रूसी, 48 - अंग्रेजी, 32 - जर्मन, 21 - रूसी और जर्मन, 19 - अंग्रेजी और जर्मन, 15 - रूसी और अंग्रेजी बोलते हैं, और 10 लोग तीनों भाषाएं बोलते हैं। कितने सम्मेलन प्रतिभागी इनमें से कोई भी भाषा नहीं बोलते हैं?

रूसी १५ अंग्रेजी

21 10 19

जर्मन

हल: 120 - (60 + 48 + 32 -21 - 19 - 15 + 10) = 25 (लोग)।

कार्य। तीन बिल्ली के बच्चे और दो पिल्लों का वजन 2 किलो 600 ग्राम होता है, और दो बिल्ली के बच्चे और तीन पिल्लों का वजन 2 किलो 900 ग्राम होता है। एक पिल्ला का वजन कितना होता है?

3 बिल्ली के बच्चे और 2 पिल्ले - 2kg 600g

2 बिल्ली के बच्चे और 3 पिल्ले - 2 किलो 900 ग्राम।

यह इस शर्त से होता है कि 5 बिल्ली के बच्चे और 5 पिल्ले का वजन 5 किलो 500 ग्राम होता है। इसलिए, 1 बिल्ली का बच्चा और 1 पिल्ला का वजन 1 किलो 100 ग्राम होता है

2 बिल्लियाँ और 2 पिल्ले। वजन 2 किलो 200 ग्राम

आइए शर्तों की तुलना करें -

2 बिल्ली के बच्चे + 3 पिल्ले = 2kg 900 g

2 बिल्ली के बच्चे + 2 पिल्ले = 2 किलो 200 ग्राम, हम देखते हैं कि पिल्ला का वजन 700 ग्राम है।

कार्य।एक घोड़े और दो गायों के लिए, 34 किलो घास प्रतिदिन दी जाती है, और दो घोड़ों और एक गाय के लिए - 35 किलो घास। एक घोड़े को कितना घास दिया जाता है और एक गाय को कितना?

आइए समस्या का एक संक्षिप्त विवरण लिखें:

1 घोड़ा और 2 गाय -34 किग्रा.

2 घोड़े और 1 गाय -35 किग्रा।

3 घोड़ों और 3 गायों के लिए कितनी घास चाहिए?

(3 घोड़ों और 3 गायों के लिए - 34 + 35 = 69 किग्रा)

एक घोड़े और एक गाय के लिए कितनी घास चाहिए? (69: 3 - 23 किग्रा)

एक घोड़े को कितनी घास चाहिए? (35-23 = 12 किग्रा)

एक गाय को कितनी घास चाहिए? (23 -13 = 11 किग्रा)

उत्तर: 12 किग्रा और 11 किग्रा।

कार्य।मदीना ने स्कूल के बुफे में नाश्ता करने का फैसला किया। मेनू का अन्वेषण करें और उत्तर दें कि वह कितने तरीकों से पेय और पेस्ट्री चुन सकती है?

	हलवाई की दुकान
	चीज़केक

मान लीजिए कि मदीना पेय में से चाय चुनती है। वह चाय के लिए किस तरह का मिष्ठान चुन सकती है? (चाय - चीज़केक, चाय - कुकीज़, चाय - रोल)

कितने तरीके? (3)

और अगर कॉम्पोट? (भी ३)

आप कैसे जानते हैं कि मदीना अपना दोपहर का भोजन चुनने के लिए कितने तरीकों का उपयोग कर सकती है? (3 + 3 + 3 = 9)

हाँ आप सही हैं। लेकिन इस तरह की समस्या को हल करना हमारे लिए आसान बनाने के लिए, हम ग्राफ का उपयोग करेंगे। गणित में "ग्राफ" शब्द का अर्थ एक ऐसा चित्र है जहां कई बिंदु खींचे जाते हैं, जिनमें से कुछ रेखाओं से जुड़े होते हैं। आइए पेय और पेस्ट्री को डॉट्स के साथ चिह्नित करें और उन व्यंजनों के जोड़े कनेक्ट करें जिन्हें मदीना चुनती है।

चाय दूध कॉम्पोट

चीज़केक कुकीज़ बन

अब आइए लाइनों की संख्या गिनें। 9 हैं। व्यंजन चुनने के 9 तरीके हैं।

कार्य।शेरोज़ा ने अपनी माँ को उसके जन्मदिन के लिए फूलों का एक गुलदस्ता (गुलाब, ट्यूलिप या कार्नेशन्स) देने का फैसला किया और उन्हें या तो फूलदान में या जग में रख दिया। वह इसे कितने तरीकों से कर सकता है?

आप कितने तरीकों से सोचते हैं? (3)

क्यों? (रंग 3)

हां। लेकिन अलग-अलग व्यंजन भी हैं: या तो फूलदान या जग। आइए कार्य को ग्राफिक रूप से पूरा करने का प्रयास करें।

फूलदान जग

गुलाब ट्यूलिप कार्नेशन्स

पंक्तियों की गणना करें। कितने हैं? (६)

तो, शेरोज़ा के पास चुनने के कितने तरीके हैं? (६)

सबक सारांश।

आज हमने कई समस्याओं का समाधान किया है। लेकिन काम पूरा नहीं हुआ है, इसे जारी रखने की इच्छा है, और मुझे आशा है कि इससे आपको शब्द समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने में मदद मिलेगी।

समस्या समाधान को तैराकी या पियानो बजाने जैसी व्यावहारिक कला के रूप में जाना जाता है। अच्छे उदाहरणों का अनुकरण करके, निरंतर अभ्यास करके ही इसे सीखा जा सकता है।

ये केवल सबसे सरल कार्य हैं, जबकि जटिल कार्य भविष्य के अध्ययन के लिए विषय बने हुए हैं। लेकिन उनमें से अभी भी कई और हैं जिन्हें हम हल कर सकते हैं। और यदि पाठ के अंत में आप "शैक्षिक सामग्री के पन्नों के पीछे" समस्याओं को हल करने में सक्षम हैं, तो हम मान सकते हैं कि मैंने अपना कार्य पूरा कर लिया है।

गणित का ज्ञान जीवन की एक निश्चित समस्या को हल करने में मदद करता है। जीवन में, आपको कुछ मुद्दों को नियमित रूप से हल करना होगा, इसके लिए आपको बौद्धिक क्षमताओं को विकसित करने की आवश्यकता है, जिसके लिए आपकी आंतरिक क्षमता विकसित होती है, एक स्थिति की भविष्यवाणी करने, भविष्यवाणी करने और एक गैर-मानक निर्णय लेने की क्षमता विकसित होती है।

मैं पाठ को शब्दों के साथ समाप्त करना चाहता हूं: "कोई भी अच्छी तरह से हल की गई गणितीय समस्या मानसिक आनंद देती है।" (जी हेस्से)।

क्या आप इस बात से सहमत हैं?

होम वर्क.

घर पर ऐसा असाइनमेंट होगा: हल की गई समस्याओं के ग्रंथों का उपयोग करके, एक नमूने के रूप में, समस्या संख्या 8, 17, 26 को उसी तरह हल करें जैसे हमने अध्ययन किया है।

गणितीय अर्थ में समानता और समाधान के विभिन्न तरीकों की अदला-बदली के आधार पर, सभी अंकगणितीय विधियों को निम्नलिखित समूहों में जोड़ा जा सकता है:

• 1) एक को कम करने की एक विधि, एक सामान्य माप में कमी, एक के लिए एक रिवर्स कमी, संबंधों की एक विधि;
• 2) "अंत" से समस्याओं को हल करने का एक तरीका;
• 3) अज्ञात को समाप्त करने की एक विधि (एक अज्ञात को दूसरे के साथ बदलना, अज्ञात की तुलना करना, डेटा की तुलना करना, घटाव द्वारा दो स्थितियों की तुलना करना, दो स्थितियों को एक में जोड़ना); अनुमान लगाने का तरीका;
• 4) आनुपातिक विभाजन, समानता या भागों की खोज;
• ५) एक समस्या को दूसरी में बदलने की विधि (एक जटिल समस्या को सरल, प्रारंभिक में विघटित करना; अज्ञात को ऐसे मूल्यों तक कम करना जिसके लिए उनका अनुपात ज्ञात हो; अज्ञात मात्राओं में से एक के लिए एक मनमाना संख्या निर्धारित करने की एक विधि)।

इन विधियों के अतिरिक्त, अंकगणित माध्य की विधि, अधिशेष की विधि, ज्ञात और अज्ञात को पुनर्व्यवस्थित करने की विधि, "झूठे" नियमों की विधि पर विचार करना उचित है।

चूंकि अग्रिम रूप से यह निर्धारित करना असंभव है कि कौन सी विधियाँ तर्कसंगत हैं, यह देखने के लिए कि उनमें से कौन छात्र के लिए सबसे सरल और सबसे अधिक समझने योग्य समाधान की ओर ले जाएगा, फिर छात्रों को विभिन्न तरीकों से परिचित कराया जाना चाहिए और उन्हें चुनने का अवसर देना चाहिए। उनमें से एक विशिष्ट समस्या को हल करने में उपयोग करने के लिए।

अज्ञात को बाहर करने का एक तरीका

इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब कार्य में कई अज्ञात हों। इस समस्या को पाँच विधियों में से एक का उपयोग करके हल किया जा सकता है: 1) एक अज्ञात को दूसरे के साथ बदलना; 2) अज्ञात की तुलना; 3) घटाव द्वारा दो स्थितियों की तुलना; 4) डेटा तुलना; 5) कई स्थितियों को एक में मिलाना।

सूचीबद्ध तकनीकों में से एक को लागू करने के परिणामस्वरूप, कई अज्ञात के बजाय, एक ऐसा रहता है जिसे पाया जा सकता है। इसकी गणना करने के बाद, अन्य अज्ञात खोजने के लिए निर्भरता की स्थिति में डेटा का उपयोग करें।

आइए कुछ तकनीकों पर करीब से नज़र डालें।

1. एक अज्ञात को दूसरे के साथ बदलना

तकनीक का नाम इसके विचार को प्रकट करता है: निर्भरता (गुणक या अंतर) के आधार पर, जो समस्या की स्थिति के अनुसार दिए जाते हैं, उनमें से एक के माध्यम से सभी अज्ञात को व्यक्त करना आवश्यक है।

कार्य। सर्गेई और एंड्री के केवल 126 अंक हैं। सर्गेई के एंड्री से 14 अंक अधिक हैं। प्रत्येक लड़के के पास कितने टिकट थे?

स्थिति का संक्षिप्त रिकॉर्ड:

सर्गेई -? टिकट, 14 टिकट अधिक

एंड्री -? टिकटों

कुल - 126 अंक

समाधान १।

• (बड़े अज्ञात को छोटे से बदलना)
• 1) बता दें कि सर्गेई के पास एंड्री के जितने अंक हैं। तब अंकों की कुल संख्या 126 - 14 = 112 (अंक) होगी।
• 2) चूंकि लड़कों के पास अब समान संख्या में टिकटें हैं, हम पाएंगे कि शुरुआत में एंड्री के पास कितने टिकट थे: 112: 2 = 56 (टिकट)।
• 3) यह देखते हुए कि सर्गेई के पास एंड्री की तुलना में 14 अंक अधिक हैं, हमें मिलता है: 56 + 14 = 70 (अंक)।

समाधान २.

• (छोटे अज्ञात को बड़े वाले से बदलना)
• 1) मान लें कि एंड्री के पास सर्गेई के समान ही अंक हैं। तब कुल अंकों की संख्या 126 + 14 = 140 (अंक) होगी।
• 2) चूंकि लड़कों के पास अब समान टिकटों की संख्या है, हम पाएंगे कि शुरुआत में सर्गेई के पास कितने टिकट थे: 140: 2 = 70 (टिकट)।
• 3) यह देखते हुए कि एंड्री के सर्गेई की तुलना में 14 अंक कम थे, हमें मिलता है: 70 - 14 = 56 (अंक)।

उत्तर सर्गेई के 70 अंक थे और एंड्री के 56 अंक थे।

छोटे अज्ञात को बड़े से बदलने की विधि के छात्रों द्वारा सर्वोत्तम आत्मसात करने के लिए, इस पर विचार करने से पहले, छात्रों के साथ निम्नलिखित तथ्य का पता लगाना आवश्यक है: यदि संख्या A, C इकाइयों द्वारा संख्या B से अधिक है, तो संख्याओं ए और बी की तुलना करने के लिए यह आवश्यक है:

• ए) संख्या ए से संख्या सी घटाएं (फिर दोनों संख्याएं संख्या बी के बराबर हैं);
• बी) संख्या सी को संख्या बी में जोड़ें (तब दोनों संख्याएं संख्या ए के बराबर हैं)।

बड़े अज्ञात को छोटे से बदलने की छात्रों की क्षमता, और इसके विपरीत, एक समीकरण बनाते समय अज्ञात को चुनने और इसके माध्यम से अन्य मात्राओं को व्यक्त करने की क्षमता के विकास में योगदान देता है।

2. अज्ञात की तुलना

कार्य। चार अलमारियों पर 188 किताबें थीं। दूसरे शेल्फ पर पहले की तुलना में 16 कम किताबें थीं, तीसरे पर - दूसरे की तुलना में 8 अधिक, और चौथी पर - तीसरी शेल्फ की तुलना में 12 कम। प्रत्येक शेल्फ पर कितनी किताबें रखी हुई हैं?

समस्या का विश्लेषण

चार अज्ञात मात्राओं (प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या) के बीच निर्भरता की बेहतर समझ के लिए, हम निम्नलिखित योजना का उपयोग करते हैं:

मैं _________________________________

II______________________________

III______________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या को योजनाबद्ध रूप से दर्शाने वाले खंडों की तुलना करते हुए, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर आते हैं: पहले शेल्फ पर दूसरे की तुलना में 16 अधिक पुस्तकें हैं; तीसरा दूसरे से 8 अधिक है; चौथे पर - 12 - 8 = 4 (पुस्तकें) दूसरे से कम। इसलिए, प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या की तुलना करके समस्या का समाधान किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, पहले शेल्फ से 16 किताबें, तीसरे से 8 किताबें और चौथे शेल्फ पर 4 किताबें रखें। फिर सभी अलमारियों पर समान संख्या में पुस्तकें होंगी, अर्थात् - जैसा कि दूसरे पर शुरुआत में था।

• 1) समस्या के विश्लेषण में वर्णित संचालन के बाद सभी अलमारियों पर कितनी किताबें हैं?
• १८८ - १६ - ८ + ४ = १६८ (पुस्तकें)
• 2) दूसरी शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?
• १६८: ४ = ४२ (पुस्तकें)
• 3) पहली शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?
• ४२ + १६ = ५८ (पुस्तकें)
• 4) तीसरी शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?
• ४२ + ८ = ५० (पुस्तकें)
• 5) चौथी शेल्फ पर कितनी किताबें थीं?
• ५० - १२ = ३८ (पुस्तकें)

उत्तर चार अलमारियों में से प्रत्येक में 58, 42, 50 और 38 पुस्तकें थीं।

टिप्पणी। आप अन्य तरीकों से इस समस्या को हल करने के लिए छात्रों को आमंत्रित कर सकते हैं, यदि आप उन पुस्तकों की अज्ञात संख्या की तुलना करते हैं जो पहले, या दूसरे पर, या चौथे शेल्फ पर खड़ी थीं।

3. घटाव द्वारा दो स्थितियों की तुलना

समस्या की साजिश, जिसे इस तकनीक द्वारा हल किया जाता है, में अक्सर दो आनुपातिक मात्राएं शामिल होती हैं (माल की मात्रा और उनका मूल्य, श्रमिकों की संख्या और उनके द्वारा किया गया कार्य, आदि)। शर्त एक मात्रा के दो मान और दूसरी मात्रा के दो संख्यात्मक मानों का अंतर उनके समानुपाती देती है।

कार्य। उन्होंने 4 किलो संतरे और 5 किलो केले के लिए 620 रूबल का भुगतान किया, और अगली बार उन्होंने 4 किलो संतरे के लिए 500 रूबल और समान कीमतों पर खरीदे गए 3 किलो केले का भुगतान किया। 1 किलो संतरे और 1 किलो केले कितने होते हैं?

स्थिति का संक्षिप्त रिकॉर्ड:

• 4 किग्रा एपी। और 5 किलो प्रतिबंध। - 620 रूबल,
• 4 किग्रा एपी। और 3 किलो प्रतिबंध। - 500 रूबल।

• 1) आइए दो खरीद की लागत की तुलना करें। पहली बार और दूसरी बार दोनों ने समान कीमत पर समान मात्रा में संतरे खरीदे। पहली बार उन्होंने अधिक भुगतान किया क्योंकि उन्होंने अधिक केले खरीदे। आइए जानें कि पहली बार कितने किलोग्राम केले अधिक खरीदे गए: 5 - 3 = 2 (किलो)।
• 2) आइए जानें कि उन्होंने पहली बार दूसरी बार की तुलना में कितना अधिक भुगतान किया (अर्थात, हमें पता चलता है कि 2 किलो केले की कीमत कितनी है): 620 - 500 = 120 (रूबल)।
• 3) आइए 1 किलो केले की कीमत ज्ञात करें: 120: 2 = 60 (रगड़)।
• 4) पहली और दूसरी खरीद की लागत जानने के बाद, हम 1 किलो संतरे की कीमत का पता लगा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले हम खरीदे गए केले की कीमत, फिर संतरे की कीमत और फिर 1 किलो की कीमत का पता लगाएंगे। हमारे पास है: (620 - 60 * 5): 4 = 80 (रगड़)।

उत्तर: 1 किलो संतरे की कीमत 80 रूबल है, और 1 किलो केले की कीमत 60 रूबल है।

4. डेटा तुलना

इस तकनीक के उपयोग से डेटा की तुलना करना और घटाव विधि लागू करना संभव हो जाता है। आप डेटा मानों की तुलना कर सकते हैं:

• 1) गुणन का उपयोग करना (उनकी तुलना कम से कम सामान्य गुणक से करना);
• 2) विभाजन का उपयोग करना (उनकी तुलना सबसे बड़े सामान्य भाजक से करना)।

आइए इसे एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं।

कार्य। उन्होंने 4 किलो संतरे और 5 किलो केले के लिए 620 रूबल का भुगतान किया, और अगली बार उन्होंने 6 किलो संतरे के लिए 660 रूबल और उसी कीमत पर खरीदे गए 3 किलो केले का भुगतान किया। 1 किलो संतरे और 1 किलो केले कितने होते हैं?

स्थिति का संक्षिप्त रिकॉर्ड:

• 4 किग्रा एपी। और 5 किलो प्रतिबंध। - 620 रूबल,
• 6 किग्रा एपी। और 3 किलो प्रतिबंध। - 660 रूबल।

आइए संतरे और केले की संख्या को कम से कम सामान्य गुणक के साथ तुलना करते हुए बराबर करें: एलसीएम (4; 6) = 12।

समाधान १।

• 1) आइए पहले मामले में खरीदे गए फलों की संख्या और उनकी लागत को 3 गुना और दूसरे में - 2 गुना बढ़ाएं। हमें शर्त का इतना छोटा विवरण मिलता है:
• 12 किग्रा एपी। और 15 किग्रा प्रतिबंध। - 1860 रूबल,
• 12 किग्रा एपी। और 6 किग्रा प्रतिबंध। - 1320 रूबल।
• २) पता करें कि पहली बार कितने और केले खरीदे गए: १५ - ६ = ९ (किलो)।
• 3) 9 किलो केले की कीमत कितनी है? १८६० - १३२० = ५४० (रगड़)।
• ४) आइए एक किलो केले की कीमत ज्ञात करें: ५४०: ९ = ६० (रगड़)।
• ५) ३ किलो केले का मूल्य ज्ञात कीजिए: ६० * ३ = १८० (रगड़)।
• 6) 6 किग्रा संतरे का मूल्य ज्ञात कीजिए: 660 - 180 = 480 (रगड़)।
• 7) आइए 1 किलो संतरे का मूल्य ज्ञात करें: 480: 6 = 80 (रगड़)।

समाधान २.

आइए संतरे और केले की संख्या की बराबरी करें, उनकी तुलना सबसे बड़े सामान्य कारक से करें: GCD (4; 6) = 2।

• 1) पहली बार और दूसरी बार खरीदे गए संतरे की संख्या को बराबर करने के लिए, हम खरीदे गए सामान की मात्रा और पहले मामले में इसकी लागत को 2 गुना, दूसरे में - 3 गुना कम कर देंगे। हमें एक समस्या मिलती है जिसमें स्थिति का इतना छोटा विवरण होता है
• 2 किग्रा एपी। और 2.5 किग्रा प्रतिबंध। - 310 रूबल,
• 2 किग्रा एपी। और 1 किलो प्रतिबंध। - 220 रूबल।
• २) अभी और कितने केले खरीदे गए: २.५ - १ = १.५ (किलो)।
• 3) आइए जानें कि 1.5 किलो केले की कीमत कितनी है: 310 - 220 = 90 (रगड़)।
• ४) आइए एक किलो केले की कीमत ज्ञात करें: ९०: १.५ = ६० (रगड़)।
• 5) 1 किलो संतरे का मूल्य ज्ञात कीजिए: (660 - 60 * 3): 6 = 80 (रगड़)।

उत्तर: 1 किलो संतरे की कीमत 80 रूबल है, 1 किलो केले 60 रूबल है।

डेटा की तुलना करने की विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय, आप इतना विस्तृत विश्लेषण और रिकॉर्ड नहीं कर सकते हैं, लेकिन केवल उन परिवर्तनों का रिकॉर्ड बना सकते हैं जो तुलना के लिए किए गए थे और उन्हें एक तालिका के रूप में लिख लें।

5. कई स्थितियों को एक में मिलाना

कभी-कभी आप कई स्थितियों को एक में जोड़कर अनावश्यक अज्ञात से छुटकारा पा सकते हैं।

कार्य। पर्यटकों ने शिविर छोड़ दिया और पहले 4 घंटे तक चले, और फिर एक निश्चित स्थिर गति से 4 घंटे के लिए साइकिल की सवारी की और शिविर से 60 किमी दूर चले गए। दूसरी बार वे शिविर से निकले और पहले 7 घंटे के लिए समान गति से अपनी साइकिल पर सवार हुए, और फिर विपरीत दिशा में मुड़े और 4 घंटे तक चलते हुए, खुद को शिविर से 50 किमी की दूरी पर पाया। पर्यटकों ने कितनी तेजी से अपनी साइकिल की सवारी की?

समस्या में दो अज्ञात हैं: जिस गति से पर्यटक अपनी साइकिल चलाते हैं, और जिस गति से वे चलते हैं। उनमें से एक को बाहर करने के लिए, आप दो स्थितियों को एक में जोड़ सकते हैं। फिर पहली बार पैदल चलते हुए पर्यटक 4 घंटे में जो दूरी तय करेंगे, वह दूसरी बार पीछे जाने पर 4 घंटे में तय की गई दूरी के बराबर है। इसलिए हम इन दूरियों पर ध्यान नहीं देते। इसका मतलब है कि पर्यटकों द्वारा साइकिल पर 4 + 7 = 11 (घंटे) में तय की गई दूरी 50 + 60 = 110 (किमी) होगी।

फिर साइकिल पर पर्यटकों की आवाजाही की गति: 110: 11 = 10 (किमी / घंटा)।

उत्तर: साइकिल चलाने की गति 10 किमी/घंटा है।

6. प्रवेश की विधि

समस्याओं को हल करने में धारणा पद्धति का उपयोग करने से अधिकांश छात्रों को कठिनाई नहीं होती है। इसलिए, ताकि छात्र इस पद्धति के चरणों की योजना को यांत्रिक रूप से याद न करें और उनमें से प्रत्येक पर किए गए कार्यों के सार की गलतफहमी हो, आपको पहले छात्रों को परीक्षण की विधि ("गलत नियम" और "नियम का नियम" दिखाना चाहिए। प्राचीन बेबीलोनियाई")।

नमूनाकरण विधि का उपयोग करते समय, विशेष रूप से "गलत नियम", अज्ञात मात्राओं में से एक को एक निश्चित मूल्य ("अनुमति") दिया जाता है। फिर, सभी शर्तों का उपयोग करते हुए, दूसरी मात्रा का मूल्य पाया जाता है। परिणामी मान की स्थिति में निर्दिष्ट एक के विरुद्ध जाँच की जाती है। यदि प्राप्त मान शर्त में दिए गए मान से भिन्न है, तो निर्दिष्ट पहला मान सही नहीं है और इसे 1 से बढ़ाया या घटाया जाना चाहिए और फिर से किसी अन्य मान का मान खोजना होगा। यह तब तक किया जाना चाहिए जब तक हमें किसी अन्य मात्रा का मान प्राप्त न हो जाए, जैसे कि समस्या कथन में।

कार्य। कुल 21 रूबल के लिए कैशियर के पास 50 कोपेक के 50 सिक्के और प्रत्येक में 10 कोप्पेक हैं। पता लगाएं कि कैशियर के पास अलग से कितने 50k सिक्के थे। और 10k.

समाधान १। (नमूना विधि)

आइए "प्राचीन" बेबीलोनियों के शासन का उपयोग करें। मान लीजिए कि कैशियर के पास प्रत्येक मूल्यवर्ग के सिक्कों की संख्या समान है, यानी 25 टुकड़े। तब राशि 50 * 25 + 10 * 25 = 1250 + 250 = 1500 (के।), या 15 रूबल होगी। लेकिन 21 रूबल की शर्त के तहत, यानी उन्हें प्राप्त होने से अधिक, 21 UAH - 15 रूबल। = 6 रूबल। इसका मतलब यह है कि जब तक हमें कुल 21 रूबल नहीं मिलते, तब तक सिक्कों की संख्या में 50 कोप्पेक और सिक्कों की संख्या में 10 कोप्पेक की कमी करना आवश्यक है। हम सिक्कों की संख्या और कुल राशि में परिवर्तन को तालिका में लिखेंगे।

सिक्कों की संख्या	सिक्कों की संख्या	पैसे की राशि	पैसे की राशि	कुल राशि	शर्त से कम या ज्यादा
					6 रूबल से कम।
					5 रूबल से कम60k
					हालत के रूप में

जैसा कि आप तालिका से देख सकते हैं, खजांची के पास ५० कोप्पेक के ४० सिक्के और १० कोप्पेक के १० सिक्के थे।

जैसा कि समाधान 1 में निकला, अगर कैशियर के पास 50k सिक्कों के बराबर हिस्सा था। और 10k।, तब उसके पास 15 रूबल के पैसे थे। यह देखना आसान है कि प्रत्येक 10k सिक्के का परिवर्तन होता है। 50k के सिक्के पर। कुल राशि में 40k की वृद्धि करता है। इसलिए, यह पता लगाना आवश्यक है कि ऐसे कितने प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम पहले यह पता लगाते हैं कि कुल राशि को बढ़ाने के लिए कितना धन आवश्यक है:

21 रूबल - 15 रूबल। = रगड़ ६ = 600 के.

आइए जानें कि ऐसा कितनी बार परिवर्तन किया जाना चाहिए: 600 k.: 40 k. = 15.

फिर 50 k. 25 +15 = 40 (सिक्के) होंगे, और 10 k के सिक्के 25 - 15 = 10 रहेंगे।

चेक पुष्टि करता है कि इस मामले में कुल राशि 21 रूबल के बराबर है।

उत्तर: कैशियर के पास ५० कोप्पेक के ४० सिक्के और १० कोप्पेक के १० सिक्के थे।

छात्रों को स्वतंत्र रूप से 50 कोप्पेक के सिक्कों की संख्या के विभिन्न मूल्यों को चुनने की पेशकश करने के बाद, उन्हें इस विचार में लाना आवश्यक है कि तर्कसंगतता के दृष्टिकोण से सबसे अच्छा है, एक धारणा है कि कैशियर के पास केवल था एक ही मूल्यवर्ग के सिक्के (उदाहरण के लिए, ५० कोप्पेक के सभी ५० सिक्के या १०k के सभी ५० सिक्के)। इसके कारण, अज्ञात में से एक को बाहर रखा जाता है और दूसरे अज्ञात द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

7. अवशेषों की विधि

परीक्षण और धारणा के तरीकों से समस्याओं को हल करते समय इस पद्धति में सोच के साथ कुछ समानताएं हैं। हम अवशेषों की विधि का उपयोग करते हैं, एक दिशा में आंदोलन की समस्याओं को हल करते हैं, अर्थात्, उस समय का पता लगाना आवश्यक है जिसके दौरान पहली वस्तु, जो उच्च गति के साथ पीछे चल रही है, दूसरी वस्तु के साथ पकड़ लेगी, जिसके पास है आंदोलन की कम गति। 1 घंटे में, पहली वस्तु दूसरे के पास इतनी दूरी पर पहुँचती है जो उनकी गति के अंतर के बराबर होती है, यानी उस गति के "शेष" के बराबर होती है जो दूसरी की गति की तुलना में होती है। आंदोलन की शुरुआत में पहली वस्तु के बीच की दूरी और दूसरी के बीच की दूरी को पार करने में लगने वाले समय को खोजने के लिए, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि इस दूरी में कितनी बार "शेष" रखा गया है।

यदि हम कथानक से अमूर्त करते हैं और समस्या की केवल गणितीय संरचना पर विचार करते हैं, तो यह दो कारकों (दोनों वस्तुओं की गति की गति) या इन कारकों और दो उत्पादों के अंतर (वे यात्रा की दूरी) या उनके अंतर की बात करते हैं। अज्ञात कारक (समय) समान हैं और उन्हें पाया जाना चाहिए। गणितीय दृष्टिकोण से, अज्ञात कारक यह दर्शाता है कि ज्ञात कारकों का अंतर उत्पादों के अंतर में कितनी बार निहित है। इसलिए, अवशिष्ट विधि द्वारा हल की जाने वाली समस्याओं को दो अंतरों से संख्या खोजने की समस्या कहा जाता है।

कार्य। छात्रों ने एल्बम में छुट्टी से तस्वीरें चिपकाने का फैसला किया। यदि वे प्रत्येक पृष्ठ पर 4 फ़ोटो चिपकाते हैं, तो एल्बम में 20 फ़ोटो के लिए पर्याप्त स्थान नहीं होगा। यदि प्रत्येक पृष्ठ पर ६ फ़ोटो चिपकाए जाते हैं, तो ५ पृष्ठ निःशुल्क रहेंगे। छात्र एल्बम में कितनी तस्वीरें जोड़ने जा रहे हैं?

समस्या का विश्लेषण

पहले और दूसरे ग्लूइंग विकल्पों के लिए तस्वीरों की संख्या समान रहती है। समस्या की स्थिति से, यह अज्ञात है, लेकिन यह पाया जा सकता है कि एक पृष्ठ पर रखे गए फ़ोटो की संख्या और एल्बम में पृष्ठों की संख्या ज्ञात हो।

एक पृष्ठ पर चिपकाई गई तस्वीरों की संख्या ज्ञात है (पहला कारक)। एल्बम में पृष्ठों की संख्या अज्ञात है और अपरिवर्तित रहती है (दूसरा कारक)। चूंकि यह ज्ञात है कि एल्बम के 5 पृष्ठ दूसरी बार मुक्त रहते हैं, आप पा सकते हैं कि एल्बम में कितनी और तस्वीरें चिपकाई जा सकती हैं: 6 * 5 = 30 (फ़ोटो)।

इसका मतलब है कि एक पेज पर फोटो की संख्या 6 - 4 = 2 बढ़ाने से पेस्ट की गई तस्वीरों की संख्या 20 + 30 = 50 बढ़ जाती है।

चूंकि दूसरी बार प्रत्येक पृष्ठ पर उन्होंने दो फ़ोटो पर अधिक चिपकाया और कुल मिलाकर उन्होंने 50 और फ़ोटो चिपकाए, तो हम एल्बम में पृष्ठों की संख्या पाएंगे: 50: 2 = 25 (पी।)।

इसलिए, कुल 4 * 25 + 20 = 120 फोटो (फोटो) थे।

उत्तर: एलबम में 25 पेज थे और 120 फोटो चिपकाए गए थे।

अंकगणितीय विधि द्वारा समस्याओं को हल करने पर सामान्य टिप्पणी।

कार्यों के परिणामों के आधार पर अज्ञात खोजने के लिए कार्य।

आनुपातिक विभाजन के लिए समस्याएं।

प्रतिशत और भागों के लिए समस्याएं।

कार्यों को उल्टा करें।

1. अंकगणित विधि प्राथमिक विद्यालय में शब्द समस्याओं को हल करने की मुख्य विधि है। यह एक व्यापक स्कूल के मध्य लिंक में अपना आवेदन पाता है। यह विधि कार्य के प्रत्येक चरण के महत्व और महत्व की गहरी समझ और सराहना की अनुमति देती है।

कुछ मामलों में, अंकगणितीय विधि द्वारा किसी समस्या को हल करना अन्य विधियों की तुलना में बहुत आसान है।

अपनी सरलता और सुगमता के साथ रिश्वत लेते हुए, अंकगणितीय पद्धति एक ही समय में काफी जटिल है, और इस पद्धति से समस्याओं को हल करने के तरीकों में महारत हासिल करने के लिए गंभीर और श्रमसाध्य कार्य की आवश्यकता होती है। समस्याओं की एक विस्तृत विविधता समस्याओं के विश्लेषण के लिए एक सार्वभौमिक दृष्टिकोण के गठन की अनुमति नहीं देती है, उन्हें हल करने के तरीके की खोज: समस्याएं, यहां तक ​​\u200b\u200bकि एक समूह में संयुक्त, हल करने के पूरी तरह से अलग तरीके हैं।

2 . कार्यों के लिए उनके अंतर और अनुपात से अज्ञात खोजनाऐसी समस्याएं हैं जिनमें एक निश्चित मात्रा के दो मूल्यों के ज्ञात अंतर और भागफल को देखते हुए इन मूल्यों को खोजना आवश्यक है।

बीजीय मॉडल:

उत्तर सूत्रों द्वारा पाया जाता है: एन एस= एके / (के - 1), वाई = ए / (के - 1).

उदाहरण।एक तेज ट्रेन के द्वितीय श्रेणी के डिब्बों में डिब्बों की तुलना में 432 अधिक यात्री होते हैं। आरक्षित और कम्पार्टमेंट कैरिज में अलग-अलग कितने यात्री हैं, यदि कम्पार्टमेंट कैरिज में यात्रियों की संख्या आरक्षित सीट कारों की तुलना में 4 गुना कम है?

समाधान।समस्या का चित्रमय मॉडल अंजीर में दिखाया गया है। 4.

चावल। 4

हम कंपार्टमेंट कारों में यात्रियों की संख्या को 1 भाग के रूप में लेंगे। फिर आप यह पता लगा सकते हैं कि आरक्षित सीट वाली कारों में यात्रियों की संख्या के हिसाब से कितने हिस्से हैं, और फिर 432 यात्रियों के लिए कितने हिस्से हैं। उसके बाद, आप 1 भाग (जो कम्पार्टमेंट कारों में हैं) बनाने वाले यात्रियों की संख्या निर्धारित कर सकते हैं। यह जानते हुए कि आरक्षित सीट वाली कारों में 4 गुना अधिक यात्री हैं, हम उनका नंबर ज्ञात करेंगे।

१ ४ = ४ (घंटे) - आरक्षित सीट वाली कारों में यात्रियों के हिसाब से;

4 - 1 = 3 (घंटे) - आरक्षित सीट और कम्पार्टमेंट कारों में यात्रियों की संख्या के बीच के अंतर पर पड़ता है;

४३२: ३ = १४४ (पी.) - कम्पार्टमेंट कारों में;

१४४ ४ = ​​५७६ (पी.) - आरक्षित सीट वाली कारों में।

इस समस्या को दूसरे तरीके से हल करके सत्यापित किया जा सकता है, अर्थात्:

1 4 = 4 (एच।);

4 - 1 = 3 (एच।);

४३२: ३ = १४४ (पी.);

१४४ + ४३२ = ५७६ (पी.)।

उत्तर कंपार्टमेंट कारों में 144 यात्री हैं, आरक्षित सीटों में 576 यात्री हैं।

कार्यों के लिए दो अवशिष्टों या दो द्वारा अज्ञात का पता लगाना मतभेद, उन समस्याओं को शामिल करें जिनमें दो प्रत्यक्ष या व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं पर विचार किया जाता है, जैसे कि एक मात्रा के दो मान और दूसरी मात्रा के संगत मानों का अंतर ज्ञात हो, और इसके मानों को ज्ञात करना आवश्यक हो मात्रा स्वयं।

बीजीय मॉडल:

उत्तर सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं:

उदाहरण।दो ट्रेनें एक ही गति से गुजरीं - एक 837 किमी, दूसरी 248 किमी, और पहली रास्ते में दूसरी से 19 घंटे अधिक थी। प्रत्येक ट्रेन ने कितने घंटे की यात्रा की?

समाधान।समस्या का चित्रमय मॉडल चित्र 5 में दिखाया गया है।

चावल। 5

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, यह या उस ट्रेन ने कितने घंटे यात्रा की, आपको यात्रा की गई दूरी और गति जानने की आवश्यकता है। दूरी शर्त में दी गई है। गति का पता लगाने के लिए, आपको उस दूरी और समय को जानना होगा जिसके दौरान यह दूरी तय की जाती है। शर्त यह है कि पहली ट्रेन 19 घंटे अधिक चली, और इस दौरान तय की गई दूरी का पता लगाया जा सकता है। वह 19 घंटे अतिरिक्त चले - जाहिर है, इस दौरान उन्होंने एक अतिरिक्त दूरी भी तय की।

८३७ - २४८ = ५८९ (किमी) - पहली ट्रेन ने इतने किलोमीटर अधिक यात्रा की;

589: 19 = 31 (किमी / घंटा) - पहली ट्रेन की गति;

837: 31 = 27 (घंटे) - रास्ते में पहली ट्रेन थी;

४) २४८: ३१ = ८ (घंटे) - दूसरी ट्रेन रास्ते में थी।

आइए समस्या को हल करते समय प्राप्त आंकड़ों और प्राप्त संख्याओं के बीच एक पत्राचार स्थापित करके समस्या के समाधान की जांच करें।

यह पता लगाने के बाद कि प्रत्येक ट्रेन रास्ते में कितनी लंबी थी, हम पाते हैं कि पहली ट्रेन दूसरे की तुलना में कितने घंटे अधिक थी: 27 - 8 = 19 (घंटे)। यह संख्या दी गई स्थिति से मेल खाती है। नतीजतन, समस्या को सही ढंग से हल किया गया था।

इस समस्या को दूसरे तरीके से हल करके सत्यापित किया जा सकता है। सभी चार प्रश्न और पहले तीन चरण समान रहते हैं।

4) 27-19 = 8 (एच।)।

उत्तर: पहली ट्रेन 31 घंटे रास्ते में थी, दूसरी ट्रेन - 8 घंटे।

इन अज्ञातों के तीन योगों से तीन अज्ञात को खोजने की समस्या, जोड़े में ली गई:

बीजीय मॉडल:

उत्तर सूत्रों द्वारा पाया जाता है:

एक्स =(ए -बी + एस) / 2, वाई = (ए +बी – एस) / 2, जेड = (बी + साथ -ए)/ 2.

उदाहरण। 116 छात्र अंग्रेजी और जर्मन का अध्ययन करते हैं, 46 छात्र जर्मन और स्पेनिश का अध्ययन करते हैं, और 90 छात्र अंग्रेजी और स्पेनिश का अध्ययन करते हैं। कितने छात्र अलग-अलग अंग्रेजी, जर्मन और स्पेनिश का अध्ययन करते हैं यदि यह ज्ञात है कि प्रत्येक छात्र केवल एक भाषा सीखता है?

समाधान।समस्या का चित्रमय मॉडल चित्र 6 में दिखाया गया है।

प्रत्येक भाषा में कितने छात्र पढ़ते हैं?

समस्या का चित्रमय मॉडल दिखाता है: यदि हम इस शर्त (116 + 90 + 46) में दिए गए स्कूली बच्चों की संख्या को जोड़ते हैं, तो हमें अंग्रेजी, जर्मन और स्पेनिश पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या का दोगुना मिलता है। इसे दो से भाग देने पर हमें विद्यार्थियों की कुल संख्या ज्ञात होती है। अंग्रेजी पढ़ने वाले छात्रों की संख्या का पता लगाने के लिए, इस संख्या से जर्मन और स्पेनिश पढ़ने वाले छात्रों की संख्या को घटाना पर्याप्त है। इसी प्रकार, हम शेष आवश्यक संख्याएँ ज्ञात करते हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें:

११६ + ९० + ४६ = २५२ (संज्ञा) - भाषा पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या दोगुनी;

२५२: २ = १२६ (संज्ञा) - भाषाएँ सीखें;

१२६ - ४६ = ८० (स्कूल) - अंग्रेजी सीखें;

१२६ - ९० = ३६ (संख्या) - जर्मन सीखें;

१२६ - ११६ = १० (संज्ञा) - स्पेनिश सीखें।

इस समस्या को दूसरे तरीके से हल करके सत्यापित किया जा सकता है।

११६ - ४६ = ७० (संज्ञा) - इतने अधिक स्कूली बच्चे स्पेनिश की तुलना में अंग्रेजी का अध्ययन करते हैं;

90 + 70 = 160 (संख्या) - अंग्रेजी पढ़ने वाले स्कूली बच्चों की संख्या दोगुनी;

१६०: २ = ८० (संज्ञा) - अंग्रेजी सीखें;

९० - ८० = १० (संज्ञा) - स्पेनिश सीखें;

११६ - ८० = ३६ (निस) - जर्मन सीखें।

उत्तर: 80 छात्र अंग्रेजी पढ़ते हैं, 36 छात्र जर्मन पढ़ते हैं, 10 छात्र स्पेनिश पढ़ते हैं।

3. आनुपातिक विभाजन की समस्याओं में वे समस्याएं शामिल हैं जिनमें एक निश्चित मात्रा के दिए गए मान को दी गई संख्याओं के अनुपात में भागों में विभाजित किया जाना चाहिए। उनमें से कुछ में भागों को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया जाता है, जबकि अन्य में इन भागों को इस मात्रा के मूल्यों में से एक को एक भाग के रूप में लेकर और यह निर्धारित करने के लिए अलग किया जाना चाहिए कि ऐसे कितने हिस्से इसके अन्य मूल्यों में हैं।

आनुपातिक विभाजन के लिए पाँच प्रकार के कार्य होते हैं।

१) किसी संख्या को भागों में विभाजित करने की समस्या, सीधेपूर्णांकों या भिन्नात्मक संख्याओं की श्रृंखला के समानुपाती

इस प्रकार के कार्यों में ऐसे कार्य शामिल होते हैं जिनमें संख्या ए एन एस 1, एन एस 2 , एक्स 3, ..., एन एस एन संख्याओं के सीधे आनुपातिक ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए एन .

बीजीय मॉडल:

उत्तर सूत्रों द्वारा पाया जाता है:

उदाहरण।ट्रैवल एजेंसी के चार मनोरंजन केंद्र हैं, जिनमें समान क्षमता के भवन हैं। पहले मनोरंजन केंद्र के क्षेत्र में 6 इमारतें हैं, दूसरी - 4 इमारतें, तीसरी - 5 इमारतें, चौथी - 7 इमारतें। यदि सभी 4 ठिकानों में 2112 लोग रह सकते हैं, तो प्रत्येक बेस में कितने वेकेशनर्स रह सकते हैं?

समाधान। समस्या का सारांश चित्र 7 में दिखाया गया है।

चावल। 7

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, प्रत्येक आधार पर कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है, आपको यह जानना होगा कि एक भवन में कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है और प्रत्येक आधार के क्षेत्र में कितनी इमारतें स्थित हैं। प्रत्येक आधार पर भवनों की संख्या शर्त में दी गई है। यह पता लगाने के लिए कि एक भवन में कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है, आपको यह जानना होगा कि सभी 4 ठिकानों में कितने छुट्टियों को समायोजित किया जा सकता है (यह स्थिति में दिया गया है) और सभी 4 ठिकानों के क्षेत्र में कितने भवन स्थित हैं। उत्तरार्द्ध का निर्धारण इस शर्त से किया जा सकता है कि प्रत्येक आधार के क्षेत्र में कितनी इमारतें स्थित हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें:

६ + ४ + ५ + ७ = २२ (कमरा) - ४ ठिकानों के क्षेत्र में स्थित;

२११२: २२ = ९६ (एच।) - एक इमारत में समायोजित किया जा सकता है;

९६ ६ = ५७६ (एच।) - पहले आधार पर समायोजित किया जा सकता है;

९६ ४ = ३८४ (एच.) - दूसरे आधार पर रखा जा सकता है;

९६ ५ = ४८० (एच.) - तीसरे आधार पर रखा जा सकता है;

९६ ७ = ६७२ (एच.) - चौथे आधार पर रखा जा सकता है।

इंतिहान।हम गणना करते हैं कि कितने छुट्टियों को 4 ठिकानों में समायोजित किया जा सकता है: 576 + 384 + 480 + 672 = 2 112 (घंटे)। समस्या की स्थिति के साथ कोई विसंगति नहीं है। समस्या को सही ढंग से हल किया गया था।

उत्तर: पहले बेस में 576 वेकेशनर्स, दूसरे - 384 वेकेशनर्स, तीसरे - 480 वेकेशनर्स और चौथे - 672 वेकेशनर्स को समायोजित कर सकते हैं।

2) किसी संख्या को पूर्णांकों या भिन्नात्मक संख्याओं की श्रृंखला के व्युत्क्रमानुपाती भागों में विभाजित करने की समस्या

इनमें ऐसे कार्य शामिल हैं जिनमें संख्या ए(कुछ मात्रा का मान) भागों में विभाजित किया जाना चाहिए एक्स 1 मैं , एक्स 2 , एक्स 3 मैं , ..., एन एस"संख्याओं के व्युत्क्रमानुपाती ए 1बी ए 2 , ए 3 ,..., ए एन .

बीजीय मॉडल:

या

एक्स 1 : एक्स 2 :एनएस 3 : ...: एक्स = ए 2 ए 3 ...ए एन :ए 1 ए 3 ...ए एन एस :ए 1 ए 2 ए 4 ...ए एन :...:ए 1 ए 2 ...ए एन -1

उत्तर सूत्रों द्वारा पाया जाता है:

कहां एस = ए 2 ए 3 ... एक +ए मैं ए मैं ... ए एन + ए ] ए 2 ए 4 ...ए एन + ... + ए 1 ए 2 ...ए एन -1.

उदाहरण।चार महीनों के लिए, फर की बिक्री से फर खेत की आय 1,925,000 रूबल थी, और प्राप्त धन को 2, 3, 5, 4 की संख्या के विपरीत अनुपात में महीनों तक वितरित किया गया था। प्रत्येक महीने में खेत की आय अलग से क्या है?

समाधान।शर्त में नामित आय का निर्धारण करने के लिए, चार महीने की कुल आय दी जाती है, अर्थात चार आवश्यक संख्याओं का योग, साथ ही आवश्यक संख्याओं के बीच संबंध। मांगी गई आय संख्या 2, 3, 5, 4 के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

हम निरूपित करते हैं वांछित आय, क्रमशः x के माध्यम से, एन एस 2 , एन एस 3 , एन एस 4 . फिर समस्या को संक्षेप में लिखा जा सकता है जैसा कि चित्र 8 में दिखाया गया है।

चावल। आठ

प्रत्येक मांगी गई संख्या के लिए भागों की संख्या जानने के बाद, हम उनके योग में शामिल भागों की संख्या पाते हैं। चार महीने के लिए दी गई कुल आय के अनुसार, यानी मांगी गई संख्याओं के योग और इस राशि में निहित भागों की संख्या के अनुसार, हम एक हिस्से का मूल्य और फिर मांगी गई आय का पता लगाते हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें:

1. मांगी गई आय संख्या 2, 3, 5, 4 के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जिसका अर्थ है कि यह डेटा के विपरीत संख्याओं के सीधे आनुपातिक है, अर्थात एक संबंध है ... हम इन अनुपातों को भिन्नात्मक संख्याओं में पूर्णांकों के अनुपात से प्रतिस्थापित करते हैं:

2. यह जानकर एन एस 30 बराबर भाग होते हैं, एन एस 2 – 20, एन एस 3 – 12, एन एस 4 – 15, हम पाते हैं कि उनके योग में कितने भाग हैं:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (एच।)।

3. एक भाग के लिए कितने रूबल हैं?

१,९२५,०००: ७७ = २५,००० (पी.)।

4. पहले महीने में खेत की आय कितनी है?

२५,००० 30 = ७५०,००० (पी.)

5. दूसरे महीने में खेत की आय कितनी है?

२५,००० २० = ५००,००० (पी.)

6. तीसरे महीने में खेत की आय क्या है?

२५,००० - १२ = ३००,००० (पी.)।

7. चौथे महीने में खेत की आय कितनी है?

२५,००० - १५ = ३७५,००० (पी.)।

उत्तर: पहले महीने में खेत की आय 750,000 रूबल थी, दूसरे में - 500,000 रूबल, तीसरे में - 300,000 रूबल, चौथे में - 375,000 रूबल।

3) किसी संख्या को भागों में विभाजित करने की समस्या, जब वांछित संख्याओं के प्रत्येक जोड़े के लिए अलग-अलग संबंध दिए जाते हैं

इस प्रकार के कार्यों में वे कार्य शामिल होते हैं जिनमें संख्या ए(कुछ मात्रा का मान) भागों x 1 में विभाजित किया जाना चाहिए, एन एस 2 , एक्स ३, ..., एनएस",जब जोड़े में ली गई आवश्यक संख्याओं के लिए संबंधों की एक श्रृंखला दी जाती है। बीजीय मॉडल:

एक्स १: एन एस 2 = ए 1 : बी 1, एन एस 2 : एन एस 3 = ए 2 : बी 2, एक्स 3 : एन एस 4 = ए 3 : बी 3 , ..., एनएसई एन-1 : एन एस एन = ए एन -1 : बी एन-1 .

एन = 4. बीजीय मॉडल:

एन एस एन एस :एनएस 2 = ए 1 : बी 1, एन एस 2 :एनएस 3= ए 2 : बी 2, एन एस 3 : एन एस 4 = ए ३: बी 3 .

इसलिए, एन एस 1: एन एस 2 : एक्स ३: एन एस 4 = ए 1 ए 2 ए 3 : बी 1 ए 2 ए 3 : बी 1 बी 2 ए 3 : बी 1 बी 2 बी 3 .

कहां एस = ए 1 ए 2 ए 3 + बी 1 ए जी ए 3 + बी 1 बी 2 ए 3 + बी 1 बी 2 बी 3

उदाहरण।तीन शहरों में 168,000 निवासी हैं। पहले और दूसरे शहरों के निवासियों की संख्या अनुपात में है , और दूसरे और तीसरे शहर - के संबंध में। प्रत्येक शहर में कितने निवासी हैं?

समाधान।आइए हम क्रमशः, के माध्यम से निवासियों की आवश्यक संख्या को निरूपित करें एन एस 1 , एन एस 2 , एन एस 3 . फिर समस्या को संक्षेप में लिखा जा सकता है जैसा कि चित्र 9 में दिखाया गया है।

चावल। नौ

निवासियों की संख्या निर्धारित करने के लिए, तीन शहरों में निवासियों की संख्या दी जाती है, अर्थात तीन आवश्यक संख्याओं का योग, साथ ही आवश्यक संख्याओं के बीच व्यक्तिगत संबंध। इन संबंधों को कई संबंधों से बदलकर, हम तीन शहरों के निवासियों की संख्या को समान भागों में व्यक्त करते हैं। प्रत्येक मांगी गई संख्या के लिए भागों की संख्या जानने के बाद, हम उनके योग में शामिल भागों की संख्या पाते हैं। तीन शहरों में निवासियों की दी गई कुल संख्या के अनुसार, यानी मांगी गई संख्याओं के योग और इस राशि में निहित भागों की संख्या से, हम एक हिस्से का मूल्य और फिर निवासियों की आवश्यक संख्या का पता लगाते हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें।

1. भिन्नात्मक संख्याओं के अनुपात को पूर्णांकों के अनुपात से बदलें:

दूसरे शहर के निवासियों की संख्या संख्या 15 (संख्या 3 और 5 का सबसे छोटा सामान्य गुणक) से जुड़ी है।

हम परिणामी संबंध को तदनुसार बदलते हैं:

एन एस 1: एन एस 2 = 4: 3 = (4-5) :( 3-5) = 20: 15, x 2: x 3 = 5: 7 = (5-3) :( 7-3) = 15: 21।

हम व्यक्तिगत संबंधों से कई संबंध बनाते हैं:

एन एस 1: एन एस 2 : एन एस 3 = 20: 15: 21.

२. २० + १५ + २१ = ५६ (घंटे) - संख्या १६८,००० इतने सारे बराबर भागों से मेल खाती है;

3. १६८,०००: ५६ = ३,००० (एफ.) - एक भाग पर पड़ता है;

4. ३,००० २० = ६०,००० (एफ.) - पहले शहर में;

5. 3,000 15 = 45,000 (एफ।) - दूसरे शहर में;

३,००० २१ = ६३,००० (एफ.) - तीसरे शहर में।

उत्तर: ६०,००० निवासी; 45,000 निवासी; 63,000 निवासी।

४) किसी संख्या को दो, तीन और इसी तरह संख्याओं की पंक्तियों के अनुपात में भागों में विभाजित करने का कार्य

इस प्रकार के कार्यों में ऐसे कार्य शामिल होते हैं जिनमें संख्या ए(कुछ मात्रा का मान) भागों में विभाजित किया जाना चाहिए एन एस 1, एन एस 2 , एन एस 3 ,..., एन एस एन दो, तीन, ... के अनुपात में, एनसंख्याओं की पंक्तियाँ।

समस्या को सामान्य रूप में हल करने के लिए सूत्रों की बोझिलता को देखते हुए, एक विशेष मामले पर विचार करें जब एन = 3 और एन = 2।रहने दो एन एस 1 एन एस 2 , एन एस 3 संख्याओं के सीधे आनुपातिक ए 1 , ए 2 , ए 3 और संख्याओं के व्युत्क्रमानुपाती बी 1 , बी 2 , बी 3 .

बीजीय मॉडल:

(इस अनुच्छेद का बिंदु १ देखें),

उदाहरण।दो श्रमिकों को 1,800 रूबल मिले। एक ने 3 दिनों के लिए 8 घंटे काम किया, दूसरे ने 6 दिनों के लिए 6 घंटे के लिए काम किया। 1 घंटे के काम के लिए समान हिस्से प्राप्त करने पर प्रत्येक ने कितना कमाया?

समाधान... समस्या का सारांश चित्र 10 में दिखाया गया है।

चावल।10

यह पता लगाने के लिए कि प्रत्येक कार्यकर्ता को कितना प्राप्त हुआ, किसी को पता होना चाहिए कि 1 घंटे के काम के लिए कितने रूबल का भुगतान किया गया और प्रत्येक कार्यकर्ता ने कितने घंटे काम किया। यह पता लगाने के लिए कि 1 घंटे के काम के लिए कितने रूबल का भुगतान किया गया था, आपको यह जानना होगा कि सभी काम के लिए कितना भुगतान किया गया (शर्त में दिया गया) और कितने घंटे दोनों श्रमिकों ने एक साथ काम किया। काम के कुल घंटों का पता लगाने के लिए, आपको यह जानना होगा कि प्रत्येक ने कितने घंटे काम किया, और इसके लिए आपको यह जानना होगा कि प्रत्येक ने कितने दिन काम किया और कितने घंटे एक दिन में काम किया। यह डेटा स्थिति में उपलब्ध है।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें:

8 3 = 24 (घंटे) - पहले कार्यकर्ता ने काम किया;

६ ६ = ३६ (घंटे) - दूसरे कार्यकर्ता ने काम किया;

२४ + ३६ = ६० (घंटे) - दोनों श्रमिकों ने एक साथ काम किया;

१८००: ६० = ३० (पी.) - श्रमिकों को १ घंटे के काम के लिए मिला;

३० २४ = ७२० (पी.) - पहला कर्मचारी अर्जित किया;

३० ३६ = १०८० (p.) - दूसरे कार्यकर्ता ने कमाया है। उत्तर: 720 रूबल; 1080 पी।

5) कई नंबर खोजने के लिए कार्यउनके अनुपात और योग या अंतर के अनुसार (उनमें से कुछ का योग या अंतर)

उदाहरण।स्कूल प्रशासन ने खेल के मैदान, ग्रीनहाउस और स्पोर्ट्स हॉल के उपकरण के लिए 49,000 रूबल खर्च किए। एक खेल के मैदान के लिए उपकरण की कीमत ग्रीनहाउस की तुलना में आधी है, और ग्रीनहाउस एक जिम और खेल के मैदान की तुलना में तीन गुना सस्ते हैं। इनमें से प्रत्येक सुविधा को लैस करने पर कितना पैसा खर्च किया गया था?

समाधान... समस्या का सारांश चित्र 11 में दिखाया गया है।

चावल। ग्यारह

प्रत्येक सुविधा के उपकरण पर खर्च की गई राशि का पता लगाने के लिए, आपको यह जानना होगा कि प्रत्येक सुविधा के उपकरण पर खर्च किए गए सभी धन के कितने हिस्से और प्रत्येक भाग पर कितने रूबल खर्च किए गए थे। प्रत्येक वस्तु के उपकरण पर खर्च किए गए धन के कुछ हिस्सों की संख्या समस्या की स्थिति से निर्धारित होती है। प्रत्येक वस्तु के उपकरण के लिए अलग-अलग भागों की संख्या निर्धारित करने और फिर उनका योग ज्ञात करने के बाद, हम एक भाग (रूबल में) के मूल्य की गणना करते हैं।

आइए स्पष्टीकरण के साथ कार्यों पर निर्णय लिखें।

हम खेल के मैदान के उपकरण पर खर्च की गई राशि के 1 भाग के लिए स्वीकार करते हैं। शर्त के अनुसार, ग्रीनहाउस उपकरण पर 2 गुना अधिक खर्च किया गया, यानी 1 2 = 2 (एच।); खेल के मैदान और खेल हॉल के उपकरण एक साथ ग्रीनहाउस की तुलना में 3 गुना अधिक खर्च करते हैं, अर्थात 2 3 = 6 (घंटे), इसलिए, 6 - 1 = 5 (घंटे) स्पोर्ट्स हॉल के उपकरण पर खर्च किए गए।

खेल के मैदान के उपकरण के लिए 1 भाग खर्च किया गया था, ग्रीनहाउस - 2 भाग, स्पोर्ट्स हॉल - 5 भाग। संपूर्ण प्रवाह दर 1 + 2 + + 5 = 8 (एच) थी।

8 भाग 49,000 रूबल हैं, एक भाग इस राशि से 8 गुना कम है: 49,000: 8 = 6,125 (रूबल)। नतीजतन, खेल के मैदान के उपकरण पर 6 125 रूबल खर्च किए गए।

ग्रीनहाउस उपकरणों पर खर्च किए गए खर्च का दोगुना: ६ १२५ २ = १२ २५० (पी.)।

स्पोर्ट्स हॉल के उपकरण पर 5 भाग खर्च किए गए: 6 125 5 = 30 625 (पी।)।

उत्तर: 6 125 रूबल; 12 250 रूबल; 30 625 पी।

6) अज्ञात में से किसी एक को खत्म करने के कार्य

इस समूह की समस्याओं में ऐसी समस्याएं शामिल हैं जिनमें दो दोहराए जाने वाले कारकों के साथ दो उत्पादों का योग दिया जाता है, और इन कारकों के मूल्यों को खोजने की आवश्यकता होती है। बीजीय मॉडल

उत्तर सूत्रों द्वारा पाया जाता है:

इन कार्यों को डेटा समायोजन के माध्यम से हल किया जाता है, डेटा और वांछित लोगों को समायोजित करने का तरीका, डेटा को बदलने का तरीका, साथ ही तथाकथित "अनुमान" विधि।

उदाहरण।एक सिलाई कारखाने में 24 कोट और 45 सूट के लिए 204 मीटर कपड़े और 24 कोट और 30 सूट के लिए 162 मीटर कपड़े का उपयोग किया जाता है। एक सूट के लिए कितना कपड़ा और एक कोट के लिए कितना कपड़ा उपयोग किया जाता है?

समाधान... आइए डेटा इक्वलाइज़ेशन विधि का उपयोग करके समस्या को हल करें। कार्य का संक्षिप्त विवरण।

कम उपासक मारिया, ब्रायंटसेवा लुडमिला

काम शब्द समस्याओं को हल करने के तरीके दिखाता है।

डाउनलोड:

पूर्वावलोकन:

वोल्गोग्राड में नगर शिक्षण संस्थान माध्यमिक विद्यालय नंबर 64

शैक्षिक और अनुसंधान कार्यों की नगर प्रतियोगिता

उन्हें "मैं और पृथ्वी"। में और। वर्नाडस्की

(जिला चरण)

अंकगणितीय समाधान

गणित में पाठ की समस्याएं

खंड "गणित"

द्वारा पूरा किया गया: ब्रायंटसेवा ल्यूडमिला,

कक्षा 9ए के छात्र एमओयू एसओएसएच नंबर 64,

कम प्रशंसा मैरी,

कक्षा 9ए एमओयू माध्यमिक विद्यालय 64 का एक छात्र।

सिर: नोस्कोवा इरीना अनातोल्येवना,

गणित शिक्षक समझौता ज्ञापन SOSH 64

वोल्गोग्राड 2014

परिचय ………………………………………………………… 3

अध्याय 1. समस्याओं को हल करने के गैर-मानक तरीके

1. "प्राकृतिक संख्या" विषय पर कार्य ………………… .. 5

1. ... कार्य "भागों और प्रतिशत में" …………………………… ................... 8
2. आंदोलन कार्य ……………………………………… 11
3. संयुक्त कार्य के लिए कार्य …………………………… 14

निष्कर्ष ………………………………………………………। 16

साहित्य ………………………………………………………। 16

परिचय।

यह ज्ञात है कि ऐतिहासिक रूप से लंबे समय तक, गणितीय ज्ञान को उनके समाधान के साथ व्यावहारिक सामग्री की समस्याओं की सूची के रूप में पीढ़ी से पीढ़ी तक पारित किया गया था। प्रारंभ में, गणित शिक्षण पैटर्न द्वारा किया जाता था। शिक्षक की नकल करते हुए विद्यार्थियों ने एक निश्चित "नियम" के अनुसार समस्याओं का समाधान किया। इस प्रकार, प्राचीन काल में, कोई व्यक्ति जो व्यवहार में आने वाली कुछ प्रकार की समस्याओं को हल करने में सक्षम था (व्यापारिक गणना, आदि में) प्रशिक्षित माना जाता था।

इसका एक कारण यह था कि ऐतिहासिक रूप से, लंबे समय तक, बच्चों को अंकगणित सिखाने का लक्ष्य व्यावहारिक गणनाओं से जुड़े कम्प्यूटेशनल कौशल के एक निश्चित सेट में महारत हासिल करना था। उसी समय, अंकगणित की रेखा - संख्या की रेखा - अभी तक विकसित नहीं हुई थी, और गणना करना सीखना कार्यों के माध्यम से किया गया था। "अंकगणित" में एल.एफ. मैग्निट्स्की, उदाहरण के लिए, अंशों को नामित संख्या के रूप में माना जाता था (न कि सिर्फ, ए रूबल, पूड, आदि), और अंशों के साथ क्रियाओं का अध्ययन समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में किया गया था। यह परंपरा काफी लंबे समय से संरक्षित है। बहुत बाद में, असंभव संख्यात्मक डेटा के साथ समस्याओं का सामना करना पड़ा, उदाहरण के लिए: "किलो चीनी रूबल प्रति किलोग्राम ... ",जो अभ्यास की जरूरतों से नहीं, बल्कि शिक्षण कंप्यूटिंग की जरूरतों से जीवन में लाए गए थे।

रूस में शब्द समस्याओं के उपयोग पर बढ़ते ध्यान का दूसरा कारण यह है कि रूस में उन्होंने न केवल शब्द समस्याओं की मदद से गणितीय ज्ञान और तर्क के तरीकों को प्रसारित करने के पुराने तरीके को अपनाया और विकसित किया है। हमने कार्यों की मदद से पाठ के विश्लेषण से संबंधित महत्वपूर्ण सामान्य शैक्षिक कौशल बनाना सीखा, समस्या की स्थितियों और मुख्य प्रश्न को उजागर करना, एक समाधान योजना तैयार करना, उन स्थितियों की खोज करना जिनसे आप मुख्य का उत्तर प्राप्त कर सकते हैं प्रश्न, परिणाम की जाँच। स्कूली बच्चों को अंकगणितीय संक्रियाओं, समीकरणों, असमानताओं और ग्राफिक छवियों की भाषा में पाठ का अनुवाद करना सिखाने में भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।

एक और बिंदु जिसे टाला नहीं जा सकता जब हम समस्या समाधान के बारे में बात करते हैं। शिक्षा और विकास कई मायनों में मानव जाति के विकास से मिलता-जुलता है, इसलिए प्राचीन समस्याओं का उपयोग, उन्हें हल करने के लिए विभिन्न अंकगणितीय तरीकों से आप एक ऐतिहासिक संदर्भ में जा सकते हैं, जिससे रचनात्मक क्षमता विकसित होती है। इसके अलावा, विभिन्न प्रकार के समाधान बच्चों की कल्पना को जगाते हैं, आपको हर बार एक नए तरीके से समाधान की खोज को व्यवस्थित करने की अनुमति देते हैं, जो सीखने के लिए एक अनुकूल भावनात्मक पृष्ठभूमि बनाता है।

इस प्रकार, इस कार्य की प्रासंगिकता को कई प्रावधानों में संक्षेपित किया जा सकता है:

शब्द समस्याएँ गणित पढ़ाने का एक महत्वपूर्ण साधन हैं। उनकी मदद से, छात्र मात्राओं के साथ काम करने का अनुभव प्राप्त करते हैं, उनके बीच संबंधों को समझते हैं, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए गणित को लागू करने का अनुभव प्राप्त करते हैं;

समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय विधियों के उपयोग से सरलता और सरलता विकसित होती है, प्रश्न पूछने की क्षमता, उनका उत्तर देने की क्षमता, अर्थात एक प्राकृतिक भाषा विकसित होती है;

शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके आपको समस्या स्थितियों का विश्लेषण करने की क्षमता विकसित करने, ज्ञात और अज्ञात मात्राओं के बीच संबंधों को ध्यान में रखते हुए एक समाधान योजना बनाने, प्रत्येक क्रिया के परिणाम की व्याख्या करने, रचना और समाधान द्वारा समाधान की शुद्धता की जांच करने की अनुमति देते हैं। उलटा समस्या;

शब्द समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके अमूर्त सिखाते हैं, आपको एक तार्किक संस्कृति को शिक्षित करने की अनुमति देते हैं, सीखने के लिए एक अनुकूल भावनात्मक पृष्ठभूमि के निर्माण में योगदान कर सकते हैं, किसी समस्या को हल करने और गणित का अध्ययन करने के संबंध में सौंदर्य भावना का विकास, प्रक्रिया में रुचि पैदा करना समाधान खोजने के लिए, और फिर विषय में ही;

ऐतिहासिक समस्याओं और उन्हें हल करने के विभिन्न प्राचीन (अंकगणित) तरीकों का उपयोग न केवल मानसिक गतिविधि के अनुभव को समृद्ध करता है, बल्कि आपको समस्याओं के समाधान की खोज से जुड़े मानव इतिहास की एक महत्वपूर्ण सांस्कृतिक और ऐतिहासिक परत में महारत हासिल करने की अनुमति देता है। यह समस्याओं के समाधान खोजने और गणित सीखने के लिए एक महत्वपूर्ण आंतरिक प्रोत्साहन है।

उपरोक्त से, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकालते हैं:

शोध का विषयकक्षा 5-6 के गणित में शब्द समस्याओं का एक खंड है;

शोध की वस्तुसमस्याओं को हल करने का एक अंकगणितीय तरीका है।

अध्ययन का उद्देश्यगणित के स्कूली पाठ्यक्रम में पर्याप्त संख्या में शब्द समस्याओं पर विचार करना और उनके समाधान के लिए अंकगणितीय समाधान का अनुप्रयोग है;

अनुसंधान लक्ष्य के कार्यान्वयन के लिए कार्य"प्राकृतिक संख्या", "तर्कसंगत संख्या", "अनुपात और प्रतिशत", "आंदोलन की समस्याएं" पाठ्यक्रम के मुख्य वर्गों में शब्द समस्याओं का विश्लेषण और समाधान;

अनुसंधान विधिएक व्यावहारिक खोज इंजन है।

अध्याय 1. समस्याओं को हल करने के गैर-मानक तरीके।

1. "प्राकृतिक संख्या" विषय पर कार्य।

संख्याओं के साथ काम करने के इस स्तर पर, समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय तरीकों का बीजगणितीय तरीकों पर लाभ होता है, क्योंकि पहले से ही कार्यों पर निर्णय में प्रत्येक व्यक्तिगत कदम के परिणाम की पूरी तरह से दृश्य और विशिष्ट व्याख्या होती है जो जीवन के अनुभव के ढांचे से परे नहीं जाती है। . इसलिए, ज्ञात मात्राओं के साथ काल्पनिक क्रियाओं पर आधारित तर्क के विभिन्न तरीकों को एक समीकरण के उपयोग के आधार पर समाधान विधि की तुलना में तेजी से और बेहतर तरीके से सीखा जाता है जो विभिन्न अंकगणितीय स्थितियों के साथ समस्याओं के लिए समान है।

1. एक संख्या की कल्पना की है, इसे 45 से बढ़ाया है और 66 प्राप्त किया है। कल्पित संख्या ज्ञात कीजिए।

आप जोड़ और घटाव संक्रियाओं के बीच संबंध की कल्पना करने में मदद करने के लिए समस्या को हल करने के लिए एक योजनाबद्ध आरेखण का उपयोग कर सकते हैं। अज्ञात मूल्य के साथ बड़ी संख्या में कार्यों के साथ ड्राइंग की मदद विशेष रूप से प्रभावी होगी।21 नंबर के बारे में सोचें।

2. गर्मियों में, मेरे पास पूरे दिन एक खिड़की खुली रहती थी। पहले घंटे में 1 मच्छर उड़े, दूसरे में - 2 मच्छर, तीसरे में - 3, आदि। एक दिन में कितने मच्छर उड़ते हैं?

यह सभी पदों को युग्मों में विभाजित करने की विधि का उपयोग करता है (पहला अंतिम के साथ; दूसरा अंतिम के साथ, आदि), शब्दों के प्रत्येक जोड़े का योग ज्ञात करें और जोड़े की संख्या से गुणा करें।

1 + 2 + 3 +… + 23 + 24 = (1 + 24) + (2 + 23) +…। + (१२ + १३) = २५ १२ = ३००।

300 मच्छर उड़ गए।

3. मेहमानों ने पूछा: प्रत्येक बहन की उम्र कितनी थी? वेरा ने जवाब दिया कि वह और नाद्या 28 साल से साथ हैं; नाद्या और ल्यूबा 23 साल से साथ हैं और तीनों की उम्र 38 साल है। प्रत्येक बहन की उम्र कितनी है?

१.३८ - २८ = १० (वर्ष) - ल्यूबा;

२.२३ - १० = १३ (वर्ष) - नादिया;

3.28 - 13 = 15 (वर्ष) - वेरा।

ल्यूबा 10 साल की हैं, नाद्या 13 साल की हैं, वेरा 15 साल की हैं।

4. हमारी कक्षा में 30 विद्यार्थी हैं। 23 लोग संग्रहालय के भ्रमण पर गए, 21 लोग सिनेमा गए, और 5 लोग न तो भ्रमण पर गए और न ही सिनेमा देखने गए। कितने लोग भ्रमण और सिनेमा देखने गए?

समस्या के समाधान पर विचार करें, आंकड़ा तर्क के चरणों को दर्शाता है।

1. ३० - ५ = २५ (लोग) - सिनेमा देखने गए, या

भ्रमण;

1. २५ - २३ = २ (लोग) - केवल सिनेमा देखने गए;
2. २१ - २ = १९ (लोग) - सिनेमा देखने गए और

भ्रमण।

19 लोग सिनेमा और भ्रमण पर गए।

5. किसी के पास दो प्रकार के 24 बिल हैं - 4000 रूबल की राशि के लिए 100 और 500 रूबल। उसके पास कितने 500 रूबल हैं?

चूंकि प्राप्त राशि एक "गोल" संख्या है, तो 100 रूबल के नोटों की संख्या 1000 का गुणक है। इस प्रकार, 500 रूबल के नोटों की संख्या भी 1000 का गुणक है। इसलिए, हमारे पास - 100 रूबल - 20 टिप्पणियाँ; 500 रूबल प्रत्येक - 4 बिल।

किसी के पास 500 रूबल के 4 बिल हैं।

6. समर रेजिडेंट ट्रेन छूटने के 12 मिनट बाद अपनी झोपड़ी से स्टेशन आया। यदि वह प्रत्येक किलोमीटर के लिए 3 मिनट कम खर्च करता, तो वह ट्रेन के प्रस्थान के लिए ठीक समय पर आ जाता। क्या ग्रीष्मकालीन निवासी स्टेशन से दूर रहता है?

प्रति किलोमीटर 3 मिनट कम खर्च करके, ग्रीष्मकालीन निवासी 12: 3 = 4 किमी की दूरी पर 12 मिनट बचा सकता था।

समर रेजिडेंट स्टेशन से 4 किमी दूर रहता है।

7. स्प्रिंग 24 मिनट में एक बैरल पानी देता है। वसंत प्रति दिन कितने बैरल पानी देता है?

चूंकि अंशों को बायपास करना जरूरी है, इसलिए यह पता लगाना जरूरी नहीं है कि बैरल का कौन सा हिस्सा 1 मिनट में भर जाता है। हमें पता चलता है कि 5 बैरल भरने में कितने मिनट लगते हैं: 24 · 5 = 120 मिनट या 2 घंटे में। फिर २४:२ = १२ गुना अधिक बैरल एक दिन में २ घंटे में भर जाएगा, यानी ५ · १२ = ६० बैरल।

वसंत प्रति दिन 60 बैरल का उत्पादन करता है।

8. किसी साइट परपुरानी पटरियाँ 8 मीटर लंबी बदलें नई 12 मीटर लंबी। 240 पुरानी के बजाय कितनी नई रेल की आवश्यकता होगी?

24 मीटर लंबे खंड पर 3 पुरानी पटरियां की जगह 2 नई पटरियां बिछाई जाएंगी. पटरियों को 240: 3 = 80 ऐसे खंडों से बदल दिया जाएगा, और उन पर 80 2 = 160 नई रेल लगाई जाएगी।

160 नई रेल की जरूरत है।

9. बेकरी में 654 किलो ब्लैक एंड व्हाइट ब्रेड थी। 215 किलो काली और 287 किलो सफेद ब्रेड बेचने के बाद, दोनों प्रकार की रोटी समान रूप से बची थी। बेकरी में अलग-अलग कितने किलोग्राम ब्लैक एंड व्हाइट ब्रेड था?

१) २१५ + २८७ = ५०२ (किलोग्राम) - बिकी हुई ब्रेड;

२) ६५४ - ५०२ = १५२ (किलो) - बेचने के लिए बची हुई रोटी;

३) १५२: २ = ७६ (किलो) सफेद (और काली) रोटी बेचने के लिए बची है;

४) २१५ + ७६ = २९१ (किलोग्राम) - मूल रूप से काली रोटी थी;

५) २८७ + ७६ = ३६३ (किलो) - मूल रूप से सफेद ब्रेड थी।

291 किलो काली रोटी मूल रूप से और 363 किलो सफेद रोटी मूल रूप से थी।

1. कार्य "भागों और प्रतिशत में"।

इस खंड के कार्यों के साथ काम करने के परिणामस्वरूप, 1 भाग के लिए उपयुक्त मूल्य लेना आवश्यक है, यह निर्धारित करें कि ऐसे कितने हिस्से दूसरे मूल्य पर आते हैं, उनके योग (अंतर) के लिए, फिर प्रश्न का उत्तर प्राप्त करें संकट।

10. पहली टीम 20 घंटे में कार्य पूरा कर सकती है, और दूसरी 30 घंटे में। सबसे पहले, टीमों ने एक साथ काम करते हुए कार्यों को पूरा किया, और शेष कार्य एक प्रथम ब्रिगेड द्वारा पूरा किया गया। कार्य कितने घंटे में पूरा हुआ?

उत्पादकता लक्ष्यों को आंदोलन लक्ष्यों की तुलना में कम समझा जाता है। इसलिए, यहां प्रत्येक चरण का विस्तृत विश्लेषण आवश्यक है।

१) यदि पहली टीम अकेले कार्य करती है, तो वह कार्य को २० घंटे में पूरा करेगी - इसका अर्थ है कि वह हर घंटे कार्य करती हैपूरा कार्य।

2) इसी प्रकार तर्क करते हुए हमें दूसरी ब्रिगेड के लिए श्रम उत्पादकता प्राप्त होती है -पूरा कार्य।

3) सबसे पहले, एक साथ काम करते हुए, टीमों ने पूरा कियासंपूर्ण असाइनमेंट। उन्होंने कितना समय बिताया?... यानी एक घंटे के संयुक्त कार्य में दोनों टीमें टास्क के बारहवें हिस्से को पूरा करती हैं।

4) तब वे 9 घंटे में कार्यों को पूरा करेंगे, क्योंकि(अंश की मुख्य संपत्ति द्वारा)।

5) इसे निष्पादित करना बाकी हैकार्य, लेकिन पहले से ही केवल पहली ब्रिगेड के लिए, जो 1 घंटे में करता हैसंपूर्ण कार्य। इसलिए पहले ब्रिगेड को काम करने की जरूरत हैपांच बजे इसे अंत तक देखने के लिए, क्योंकि.

6) अंत में, हमारे पास 5 + 9 = 14 घंटे हैं।

14 घंटे में काम पूरा हो जाएगा।

ग्यारह । संस्करणों पहले, दूसरे और तीसरे कुओं से वार्षिक उत्पादन 7: 5: 13 है। पहले कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन को 5% और दूसरे से - 6% तक कम करने की योजना है। तीसरे कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन कितने प्रतिशत तक बढ़ाया जाना चाहिए ताकि वर्ष के लिए उत्पादित तेल की कुल मात्रा में परिवर्तन न हो??

भाग और प्रतिशत समस्याएं और भी अधिक समय लेने वाली और समझ से बाहर होने वाला कार्य क्षेत्र है। इसलिए, हमारे लिए सबसे ठोस बात उन्हें संख्यात्मक उदाहरणों से समझना था।उदाहरण 1। बता दें कि सालाना तेल उत्पादन 1000 बैरल है। फिर, यह जानते हुए कि यह उत्पादन 25 भागों (7 + 5 + 13 = 25, यानी एक भाग 40 बैरल है) में विभाजित है: पहला रिग पंप 280 बैरल, दूसरा - 200 बैरल, तीसरा - 520 बैरल प्रति वर्ष . उत्पादन में 5% की कमी के साथ, पहला रिग 14 बैरल (280 · 0.05 = 14) खो देता है, अर्थात इसका उत्पादन 266 बैरल होगा। उत्पादन में 6% की कमी के साथ, दूसरा रिग 12 बैरल (200 · 0.06 = 12) खो देता है, यानी इसका उत्पादन 188 बैरल होगा।

सिर्फ एक साल में, वे एक साथ 454 बैरल तेल पंप करेंगे, फिर 520 बैरल के बजाय तीसरे रिग को 546 बैरल का उत्पादन करने की आवश्यकता होगी।

उदाहरण २। बता दें कि सालाना तेल उत्पादन 1,500 बैरल है। फिर, यह जानते हुए कि यह उत्पादन 25 भागों (7 + 5 + 13 = 25, यानी एक भाग 60 बैरल) में विभाजित है, हमारे पास है: पहला रिग पंप 420 बैरल, दूसरा 300 बैरल, तीसरा 780 बैरल प्रति वर्ष। उत्पादन में 5% की कमी के साथ, पहला रिग 21 बैरल (420 · 0.05 = 21) खो देता है, अर्थात इसका उत्पादन 399 बैरल होगा। उत्पादन में 6% की गिरावट के साथ, दूसरा रिग 18 बैरल खो देता है(३०० · ०.०६ = १८), यानी इसका उत्पादन २८२ बैरल होगा।

सिर्फ एक साल में, वे एक साथ 681 बैरल तेल पंप करेंगे, फिर 780 बैरल के बजाय तीसरे रिग को 819 बैरल का उत्पादन करने की आवश्यकता होगी।

यह पिछले उत्पादन से 5% अधिक है, जैसा कि.

तीसरे कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन में 5% की वृद्धि करना आवश्यक है ताकि वर्ष के दौरान उत्पादित तेल की कुल मात्रा में परिवर्तन न हो।

आप इसी तरह के कार्य के दूसरे संस्करण पर भी विचार कर सकते हैं। यहां हम कुछ वेरिएबल का परिचय देते हैं, जो वॉल्यूम इकाइयों का सिर्फ एक "प्रतीक" है।

12. पहले, दूसरे और तीसरे कुओं से वार्षिक तेल उत्पादन की मात्रा 6:7:10 है। पहले कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन को 10% और दूसरे से 10% तक कम करने की योजना है। तीसरे कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन कितने प्रतिशत तक बढ़ाया जाना चाहिए ताकि उत्पादित तेल की कुल मात्रा में परिवर्तन न हो?

मान लीजिए कि पहले, दूसरे और तीसरे कुओं से वार्षिक तेल उत्पादन की मात्रा क्रमशः 6x, 7x, 10x कुछ मात्रा इकाइयों की है।

१) ०.१ · ६x = ०.६x (इकाइयाँ) - पहले कुएँ में उत्पादन में कमी;

2) 0.1 · 7x = 0.7x (इकाइयां) - दूसरे कुएं में उत्पादन में कमी;

3) 0.6x + 0.7x = 1.3x (इकाइयां) - तीसरे कुएं में तेल उत्पादन में वृद्धि होनी चाहिए;

तीसरे कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन को बढ़ाने के लिए यह कितना प्रतिशत आवश्यक है।

तीसरे कुएं से वार्षिक तेल उत्पादन में 13% की वृद्धि करने की आवश्यकता है।

13. हमने 60 नोटबुक खरीदीं - शासक की तुलना में पिंजरे में 2 गुना अधिक थी। एक रूलर में नोटबुक में कितने भाग होते हैं; एक पिंजरे में एक नोटबुक पर; सभी नोटबुक के लिए? आपने कितनी शासित नोटबुकें खरीदी हैं? प्रति पिंजरे कितने?

किसी समस्या को हल करते समय, एक योजनाबद्ध ड्राइंग पर भरोसा करना बेहतर होता है, जिसे आसानी से एक नोटबुक में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है और समाधान के दौरान आवश्यक नोट्स के साथ पूरक किया जा सकता है। शासित नोटबुक्स को 1 भाग बनाने दें, फिर चुकता नोटबुक्स 2 भाग बनाती हैं।

१) १ + २ = ३ (भाग) - सभी नोटबुक पर पड़ता है;

२) ६०: ३ = २० (नोटबुक) - १ भाग पर पड़ता है;

३) २० २ = ४० (नोटबुक) - एक पिंजरे में नोटबुक;

४) ६० - ४० = २० (नोटबुक) - एक शासक में।

हमने 20 शासित नोटबुक और 40 स्क्वायर नोटबुक खरीदे।

14. 1892 में, किसी ने सोचा कि वह उतने ही मिनट पीटर्सबर्ग में बिताएगा, जितना वह ग्रामीण इलाकों में बिताता है। सेंट पीटर्सबर्ग में कोई कितना समय बिताएगा?

चूंकि 1 घंटा 60 मिनट के बराबर है और मिनटों की संख्या घंटों की संख्या के बराबर है, तो गांव में कोई सेंट पीटर्सबर्ग की तुलना में 60 गुना अधिक समय व्यतीत करेगा (चलने का समय यहां ध्यान में नहीं रखा गया है)। यदि सेंट पीटर्सबर्ग में बिताए दिनों की संख्या 1 भाग है, तो ग्रामीण इलाकों में बिताए दिनों की संख्या 60 भाग है। चूंकि हम एक लीप वर्ष के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए प्रति 1 भाग में 366 होते हैं: (60 + 1) = 6 (दिन)।

कोई 6 दिन सेंट पीटर्सबर्ग में बिताएगा।

15. सेब में 78% पानी होता है। वे थोड़ा सूख गए हैं और अब उनमें 45% पानी है। सेब को सुखाने के दौरान उनके वजन का कितना प्रतिशत हिस्सा कम हो गया है?

मान लीजिए सेब का द्रव्यमान x किग्रा है, तो इसमें 0.78x किग्रा जल और x - 0.78x = 0.22x (किग्रा) शुष्क पदार्थ है। सुखाने के बाद, शुष्क पदार्थ सूखे सेब के द्रव्यमान का 100 - 45 = 55 (%) है, इसलिए सूखे सेब का द्रव्यमान 0.22x: 0.55 = 0.46x (किलो) है।

तो, सुखाने के दौरान, सेब खो गए x - 0.46x = 0.54x, यानी 54%।

सेब सुखाने के दौरान अपना 54% वजन कम कर लेते हैं।

16. जड़ी बूटी में 82% पानी होता है। इसे थोड़ा सुखाया गया था और अब इसमें 55% पानी है। सुखाने के दौरान घास ने अपने द्रव्यमान का कितना हिस्सा खो दिया है?

प्रारंभिक परिस्थितियों में, घास का जीवित भार 100% - 82% = 18% था।

सुखाने के बाद, यह मान बढ़कर ४५% हो गया, लेकिन घास का कुल द्रव्यमान ४०% (४५:१८ 10% = ४०%) कम हो गया।

सुखाने के दौरान घास अपने द्रव्यमान का 40% खो देती है।

1. आंदोलन कार्य।

इन कार्यों को पारंपरिक रूप से कठिन माना जाता है। इसलिए, इस प्रकार की समस्या को हल करने के लिए अंकगणितीय पद्धति का अधिक विस्तार से विश्लेषण करने की आवश्यकता है।

17. बिंदु A से बिंदु B तक दो साइकिल चालक एक ही समय पर निकलते हैं। उनमें से एक की गति दूसरे से 2 किमी/घंटा कम है। साइकिल चालक जो पहली बार B पर पहुंचा, वह तुरंत वापस मुड़ा और 1 घंटे 30 मिनट के बाद दूसरे साइकिल चालक से मिला। A को छोड़ने के बाद, बिंदु B से कितनी दूरी पर बैठक हुई?

इस समस्या को विषय छवियों और संघों के उदाहरण से भी हल किया जाता है।

कई उदाहरणों पर विचार करने के बाद, और किसी को भी संख्या पर संदेह नहीं है - 1.5 किमी की दूरी, प्रस्तुत समस्या के आंकड़ों से इसकी खोज को सही ठहराना आवश्यक है। अर्थात्, 1.5 किमी आधे में 1 साइकिल चालक से 2 के अंतराल में अंतर है: 1.5 घंटे में दूसरा 1 वापसी के बाद से पहले 3 किमी से पीछे हो जाएगा, फिर दोनों साइकिल चालक यात्रा की गई दूरी के आधे अंतर से एक-दूसरे के पास पहुंचते हैं , यानी १ , ५ किमी. इसलिए समस्या का उत्तर और इस तरह की शब्द समस्याओं को हल करने की विधि का अनुसरण करता है।

बैठक बिंदु V से 1.5 किमी की दूरी पर हुई।

18. दो ट्रेनें एक ही समय में मास्को से तेवर के लिए रवाना हुईं। पहला एक घंटे 39 मील की दूरी पर गुजरा और दूसरे की तुलना में दो घंटे पहले टवर पहुंचा, जो एक घंटे 26 मील की दूरी पर गुजरा। मास्को से तेवर तक कितने मील हैं?

१) २६ २ = ५२ (वर्स) - दूसरी ट्रेन पहली से कितनी पिछड़ गई;

२) ३९ - २६ = १३ (वर्स) - यह है कि दूसरी ट्रेन १ घंटे में पहली से कितनी पिछड़ गई;

३) ५२: १३ = ४ (एच) - इतना समय पहली ट्रेन के रास्ते में था;

४) ३९ ४ = १५६ (वर्स) - मास्को से तेवर की दूरी।

मास्को से टवर तक 156 मील।

1. सहयोग कार्य।

19. एक टीम कार्य को 9 दिनों में और दूसरी 12 दिनों में पूरा कर सकती है। पहली टीम ने इस कार्य पर 3 दिन काम किया, फिर दूसरी टीम ने काम पूरा किया। कार्य कितने दिनों में पूरा हुआ?

1) 1: 9 = (कार्य) - पहली ब्रिगेड एक दिन में पूरी हो जाएगी;

२) ३ = (कार्य) - पहली टीम द्वारा तीन दिनों में पूरा किया गया;

3) 1 - = (कार्य) - दूसरी टीम द्वारा पूरा किया गया;

4) 1: 12 = (कार्य) - एक दिन में दूसरी टीम द्वारा पूरा किया जाएगा;

5) 8 (दिन) - दूसरी टीम ने काम किया;

६) ३ + ८ = ११ (दिन) - कार्य पर खर्च किया गया।

यह कार्य 11 दिनों में पूरा किया गया।

20. एक घोड़ा एक महीने में घास की गाड़ी, दो महीने में एक बकरी, तीन महीने में एक भेड़ खाता है। घोड़े, बकरी और भेड़ को एक ही घास की गाड़ी को एक साथ खाने में कितना समय लगेगा?

घोड़े, बकरी और भेड़ को ६ महीने तक घास खाने दें। फिर एक घोड़ा ६ गाड़ियाँ, एक बकरी - ३ गाड़ियाँ, एक भेड़ - २ गाड़ियाँ खायेगा। केवल 11 वैगन, जिसका अर्थ है कि वेगाड़ी, और एक गाड़ी 1 के लिए खाई जाएगी:= (महीने)।

एक घोड़ा, एक बकरी, एक भेड़ घास की गाड़ी खा जाएगीमहीने।

21. चार बढ़ई घर बनाना चाहते हैं। पहला बढ़ई 1 साल में, दूसरा 2 साल में, तीसरा 3 साल में, चौथा 4 साल में घर बना सकता है। जब वे एक साथ काम करेंगे तो उन्हें घर बनाने में कितना समय लगेगा?

12 वर्षों के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत बढ़ई निर्माण कर सकता है: पहला - 12 घर; दूसरा - 6 घर; तीसरा - 4 घर; चौथा - 3 घर। इस प्रकार, 12 वर्षों में वे 25 घर बना सकते हैं। इसलिए, एक यार्ड, एक साथ काम करते हुए, वे इसके लिए निर्माण करने में सक्षम होंगे 175.2 दिन।

बढ़ई 175.2 दिनों में एक साथ काम करके घर बना सकेंगे।

निष्कर्ष।

निष्कर्ष रूप में, यह कहा जाना चाहिए कि अध्ययन में प्रस्तुत समस्याएँ शब्द समस्याओं को हल करने में अंकगणितीय विधियों के उपयोग का एक छोटा सा उदाहरण हैं। मुझे एक महत्वपूर्ण बिंदु के बारे में कहना होगा - कार्यों की साजिश का चुनाव। तथ्य यह है कि समस्याओं को हल करने में सभी कठिनाइयों का पूर्वाभास करना असंभव है। लेकिन फिर भी, किसी भी प्रकार की समस्याओं को हल करने की विधि के प्रारंभिक आत्मसात के समय, उनकी साजिश यथासंभव सरल होनी चाहिए।

ये उदाहरण एक विशेष मामले का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन वे दिशा को दर्शाते हैं - जीवन के लिए स्कूल का दृष्टिकोण।

साहित्य

1.विलेटनर जी. गणित के इतिहास पर पाठक। - अंक I. अंकगणित और बीजगणित / अनुवाद। उनके साथ। पी.एस. युशकेविच। - एम.-एल.: 1932।

2. टूम ए.एल. शब्द समस्याएँ: अनुप्रयोग या मानसिक जोड़तोड़ // गणित, 2004।

3. शेवकिन ए.वी. स्कूल गणित में वर्ड प्रॉब्लम्स, मॉस्को, 2006।

अंकगणित समस्या समाधान

कक्षा 5 में गणित का पाठ।

"यदि आप तैरना सीखना चाहते हैं, तो साहसपूर्वक पानी में प्रवेश करें, और यदि आप सीखना चाहते हैं कि समस्याओं को कैसे हल किया जाए, तो उन्हें हल करें।".
डी पोया

पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य:

अंकगणितीय रूप से समस्याओं को हल करने की क्षमता का गठन;

रचनात्मकता, संज्ञानात्मक रुचि का विकास;

तार्किक सोच का विकास;

विषय के लिए प्यार को बढ़ावा देना;

गणितीय सोच की संस्कृति को बढ़ावा देना।

उपकरण: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 नंबर वाले सिग्नल कार्ड।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण (1 मिनट।)

पाठ अंकगणितीय रूप से समस्याओं को हल करने के लिए समर्पित है। आज हम विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करेंगे, लेकिन वे सभी बिना समीकरणों की सहायता के हल हो जाएंगी।

द्वितीय. ऐतिहासिक संदर्भ (1 मिनट।)

ऐतिहासिक रूप से, एक लंबे समय के लिए, गणितीय ज्ञान को पीढ़ी से पीढ़ी तक व्यावहारिक समस्याओं की सूची के रूप में उनके समाधान के साथ पारित किया गया था। प्राचीन काल में, कोई व्यक्ति जो व्यवहार में आने वाली कुछ प्रकार की समस्याओं को हल करने में सक्षम था, उसे प्रशिक्षित माना जाता था।

III. जोश में आना (समस्याओं को मौखिक रूप से हल करना - 6 मिनट।)
ए) कार्ड पर कार्य।
प्रत्येक छात्र को एक समस्या वाला कार्ड दिया जाता है, जिसे वह मौखिक रूप से हल करता है और उत्तर देता है। क्रिया ३ - १ = २ के लिए सभी कार्य

(छात्र समस्याओं को सही ढंग से हल करते हैं और कौन नहीं करता है। मौखिक रूप से। कार्ड उठाएं और शिक्षक देखता है कि समस्या को किसने हल किया है कार्ड नंबर 2 होना चाहिए)

ख) पद्य और तार्किक कार्यों में कार्य। (शिक्षक समस्या को जोर से पढ़ता है, छात्र सही उत्तर के साथ कार्ड उठाते हैं।

बत्तखों को एक हाथी दिया
दोस्तों से कौन जवाब देगा
आठ चमड़े के जूते
कितने बत्तख थे?
(चार।)

दो फुर्तीले सूअर
इतना जमे हुए, पहले से ही कांप रहे हैं।
गिनें और कहें:
उन्हें कितने जूते खरीदने चाहिए?
(आठ।)

मैंने देवदार के जंगल में प्रवेश किया
Lyrics meaning: और मैं एक मक्खी agaric . देखा
दो मशरूम,
दो मोरेल।
तीन तेल के डिब्बे,
दो पंक्तियाँ...
उत्तर किसके पास तैयार है:
मुझे कितने मशरूम मिले हैं?
(दस.)

4. आंगन में मुर्गियां और कुत्ते चल रहे थे। लड़के ने उनके पंजे गिन लिए। यह दस निकला। कितने मुर्गियां हो सकती हैं और कितने कुत्ते हो सकते हैं। (दो कुत्ते और एक मुर्गी, एक कुत्ता और तीन मुर्गियाँ.)

5. डॉक्टर के कहने पर हमने फार्मेसी में 10 गोलियां खरीदीं। डॉक्टर ने दवा लेने के लिए निर्धारित किया, दिन में 3 गोलियां। यह दवा कितने दिन चलेगी? (पूरे दिन।)

6. भाई 7 साल का है, और बहन 5. जब भाई 10 साल का होगा तो बहन की उम्र कितनी होगी?

7. दी गई संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. कौन सा बड़ा है: उनका गुणनफल या योग?

8. बाड़ का निर्माण करते समय बढ़ई 5 खम्भों को एक सीधी रेखा में लगाते हैं। पदों के बीच की दूरी 2 मीटर है बाड़ की लंबाई क्या है?

चतुर्थ। समस्याओं को सुलझा रहा

(बच्चों के लिए कार्य कार्ड पर दिए गए हैं - 15 मिनट। बच्चे ब्लैकबोर्ड पर समस्याओं का समाधान करते हैं)
समस्याएं ए) और बी) का उद्देश्य जोड़ और घटाव के संचालन के साथ "द्वारा ... अधिक" और "द्वारा ... कम" संबंधों के संबंध को दोहराना है।

ए) टर्नर का अपरेंटिस प्रति शिफ्ट 120 भागों में बदल गया, और टर्नर 36 और भागों में बदल गया। टर्नर और उसके प्रशिक्षु ने कितने भागों को एक साथ घुमाया?

b) पहली टीम ने प्रति शिफ्ट में ५२ इंस्ट्रूमेंट्स एकत्र किए, दूसरे? "; - पहले से 9 इंस्ट्रूमेंट्स कम, और तीसरे - दूसरे से 12 इंस्ट्रूमेंट्स ज्यादा। तीनों टीमों ने प्रति शिफ्ट में कितने इंस्ट्रूमेंट्स जमा किए?

समस्या की सहायता से ग) छात्रों को समस्या का समाधान "उल्टा" दिखाया जा सकता है।

c) तीन ग्रेड में 44 लड़कियां हैं, जो लड़कों से 8 कम हैं। तीन ग्रेड में कितने लड़के हैं?

कार्य d में), छात्र कई समाधान प्रस्तुत कर सकते हैं।

घ) तीन बहनों से पूछा गया: "प्रत्येक बहन की उम्र कितनी है?" वेरा ने जवाब दिया कि वह और नाद्या 28 साल से एक साथ हैं, नाद्या और ल्यूबा 23 साल से एक साथ हैं, और तीनों 38 साल के हैं। प्रत्येक बहन की आयु कितनी है?

समस्या ई) का उद्देश्य "अधिक में ..." और "कम में ..." संबंध के बीच संबंध को दोहराना है।

e) वास्या के 46 अंक थे। वर्ष के दौरान उनके संग्रह में 230 डाक टिकटों की वृद्धि हुई है। उनके संग्रह में कितनी बार वृद्धि हुई है?

वी. शारीरिक शिक्षा (दो मिनट।)

एक पैर पर खड़ा
मानो आप एक सख्त सिपाही हो।
अपना बायां पैर उठाएं।
देखो - मत गिरो।
अब अपनी बाईं ओर रहें
अगर आप वीर सिपाही हैं।

वी.आई. प्राचीन, ऐतिहासिक कार्य। शानदार सामग्री के साथ समस्याएं (दस मिनट।)

समस्या च) दो संख्याओं को उनके योग और अंतर से ज्ञात करना।

इ)(लियो टॉल्स्टॉय द्वारा "अरिथमेटिक" से)

दो आदमियों के पास 35 भेड़ें हैं। एक के पास दूसरे से 9 अधिक हैं। प्रत्येक के पास कितनी भेड़ें हैं?

आंदोलन की समस्या।

जी)(एक पुरानी समस्या।)दो ट्रेनें एक ही समय में मास्को से तेवर के लिए रवाना हुईं। पहला एक घंटे में 39 मील की दूरी पर गुजरा और दूसरे की तुलना में दो घंटे पहले टवर पहुंचा, जो प्रति घंटे 26 मील की दूरी पर था। मास्को से तेवर तक कितने मील हैं?

(समीकरण से उत्तर प्राप्त करना आसान हो जाता है। लेकिन छात्रों को समस्या का अंकगणितीय हल खोजने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है।)

१) २६ * २ = ५२ (वर्स) - दूसरी ट्रेन पहले से इतने किलोमीटर पीछे हो गई;

२) ३९ - २६ = १३ (वर्स) - इतने मीलों से दूसरी ट्रेन १ घंटे में पहले से पीछे हो गई;

३) ५२: १३ = ४ (एच) - इतना समय पहली ट्रेन के रास्ते में था;

४) ३९ * ४ = १५६ (वर्स) - मास्को से तेवर की दूरी।

किलोमीटर में दूरी खोजने के लिए आप निर्देशिका में देख सकते हैं।

1 वर्स्ट = 1 किमी 69 मीटर।

कार्य भागों में है।

एच)किकिमोरा की समस्या।मरमन ने किकिमोर हा-हा से शादी करने का फैसला किया। उन्होंने किकिमोर के घूंघट पर कई जोंक लगाए, और उनके केप पर दोगुने। छुट्टी के दौरान केवल 435 को छोड़कर 15 जोंक गिर गए। किकिमोरा के घूंघट पर कितने जोंक थे?

(समस्या को समीकरण का उपयोग करके हल करने के लिए दिया गया है, लेकिन हम इसे अंकगणितीय रूप से हल करते हैं)

vii. जीवित संख्या (उतराई विराम - 4 मिनट)

शिक्षक 10 छात्रों को ब्लैकबोर्ड पर बुलाता है, उन्हें 1 से 10 तक के नंबर देता है। छात्रों को अलग-अलग असाइनमेंट मिलते हैं;

ए) शिक्षक नंबरों पर कॉल करता है; नामित लोग एक कदम आगे बढ़ते हैं (उदाहरण: 5, 8, 1, 7);

बी) केवल नामित संख्या के पड़ोसियों को छोड़ दें (उदाहरण के लिए: संख्या 6, 5 और 7 छोड़ दें);

ग) शिक्षक उदाहरणों के साथ आता है, और केवल वही सामने आता है जिसके पास इस उदाहरण या समस्या का उत्तर होता है (जैसे: 2 4; 160: 80; आदि);

घ) शिक्षक कई ताली बजाता है और एक संख्या (एक या दो) भी दिखाता है; एक छात्र को बाहर आना चाहिए, जिसकी संख्या सुनी और देखी गई सभी संख्याओं का योग है (उदाहरण के लिए: 3 ताली, संख्या 5 और संख्या 1);

कौन सी संख्या चार से 4 अधिक है?

मैंने एक संख्या के बारे में सोचा, उसमें से ३ घटाया, और मुझे ७ मिला। मेरे मन में कौन सी संख्या थी?

यदि आप नियोजित संख्या में 2 जोड़ते हैं, तो आपको 8 प्राप्त होता है। नियोजित संख्या क्या है?

हमें ऐसे कार्यों का चयन करने का प्रयास करना चाहिए ताकि उत्तर समान संख्याओं को न दोहराएं, ताकि हर कोई खेल में सक्रिय रूप से भाग ले सके।

आठवीं। पाठ सारांश (दो मिनट।)

- आज हमने कक्षा में क्या किया?

- किसी समस्या को अंकगणितीय रूप से हल करने का क्या अर्थ है?

- यह याद रखना चाहिए कि समस्या का पाया गया समाधान समस्या की शर्तों को पूरा करना चाहिए।

IX. गृह समनुदेशन। ग्रेडिंग (दो मिनट।)

№ 387 (समस्याओं को अंकगणितीय रूप से हल करें), कमजोर छात्रों के लिए। इंटरमीडिएट और उन्नत छात्रों के लिए, होमवर्क असाइनमेंट कार्ड पर दिया जाता है।

1. बेकरी में 645 किलो ब्लैक एंड व्हाइट ब्रेड थी। 215 किलो काली और 287 किलो सफेद रोटी बेचने के बाद, दोनों प्रकार की रोटी समान रूप से बनी रही। बेकरी में अलग-अलग कितने किलोग्राम ब्लैक एंड व्हाइट ब्रेड था?

जंगल में भाई-बहन को 25 पोर्चिनी मशरूम मिले। मेरे भाई को मेरी बहन से 7 अधिक मशरूम मिले। आपके भाई को कितने पोर्सिनी मशरूम मिले?

कॉम्पोट के लिए, उन्होंने सेब के 6 भाग, नाशपाती के 5 भाग और शब्दों के 3 भाग लिए। यह पता चला कि नाशपाती और प्लम ने मिलकर 2 किलो 400 ग्राम लिया। लिए गए सेब का द्रव्यमान निर्धारित करें; बहुत सारे फल।

साहित्य

विलेनकिन एन।, झोखोव वी।, चेस्नोकोव ए।गणित। ग्रेड 5। - एम।, "मेनेमोसिन", 2002।

ए.वी. शेवकिनस्कूल गणित पाठ्यक्रम में शब्द समस्याएं। - एम।: शैक्षणिक विश्वविद्यालय "सितंबर पहले", 2006।

वोलिना वी।छुट्टी संख्या। - एम।: ज्ञान, 1994।