A fibonacci sorozat és az aranymetszés alapelvei. Az aranyarány és a Fibonacci-sorszámok

A "" kiadóval közösen kivonatot adunk ki Edward Sheinerman alkalmazott matematika professzor "Útmutató a matematika szerelmeseinek" című könyvéből, amely a lenyűgöző matematika, a rejtvények, a számok és számok univerzumának nem szabványos kérdéseivel foglalkozik. Alexey Ognev fordítása angolból.

Ez a fejezet a híres Fibonacci-számokról szól: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 stb. Ezt a sorozatot Pisai Leonardoról nevezték el, ismertebb nevén Fibonacciról. Pisai Leonardo (1170–1250) – a középkori Európa egyik első jelentős matematikusa A Fibonacci becenév jelentése "Bonacci fia". A tizedes számrendszert felvázoló Abacus könyv szerzője.

Négyzetek és dominók

Kezdjük a négyzetek és dominók lerakásával. Képzeljünk el egy hosszú, vízszintes, 1×10-es keretet, amit teljesen ki szeretnénk tölteni 1×1 négyzetekkel és 1×2 dominókkal, hézagok nélkül. Íme a kép:

Kérdés: Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

A kényelem kedvéért az opciók számát F10-el jelöljük. Mindegyiket végignézni, majd újraszámolni kemény munka, tele hibákkal. Sokkal jobb a feladat egyszerűsítése. Ne keressük rögtön az F10-et, kezdjük az F1-gyel. Ez könnyebb, mint valaha! Egy 1 × 1-es keretet meg kell töltenünk 1 × 1-es négyzetekkel és 1 × 2-es dominókkal.A dominó nem fér el, csak a megoldás marad: vegyünk egy négyzetet. Más szóval, F1 = 1.

Most foglalkozzunk az F2-vel. A keret mérete 1 × 2. Megtöltheti két négyzettel vagy egy dominóval. Tehát két lehetőség van, és F2 = 2.

Következő: Hányféleképpen lehet kitölteni egy 1 × 3-as keretet? Az első lehetőség: három négyzet. Két másik lehetőség: egy dominó (kettő nem fér bele) és egy négyzet a bal vagy a jobb oldalon. Tehát, F3 = 3. Még egy lépés: vegyünk egy 1 × 4-es keretet Az ábrán az összes kitöltési lehetőség látható:

Öt lehetőséget találtunk, de mi a garancia arra, hogy nem hagytunk ki semmit? Van mód arra, hogy teszteld magad. A keret bal végén lehet négyzet vagy dominó. A képen a felső sorban - opciók, ha a négyzet a bal oldalon van, az alsó sorban - amikor a dominó a bal oldalon.

Tegyük fel, hogy ez egy négyzet a bal oldalon. A többit négyzetekkel és dominókkal kell kitölteni. Más szavakkal, ki kell töltenie a négyzetet 1 × 3-mal. Ez 3 lehetőséget ad, mivel F3 = 3. Ha a bal oldalon dominók vannak, a fennmaradó rész mérete 1 × 2, és két lehetőség van a kitöltésre. ez, mivel F2 = 2.

Tehát 3 + 2 = 5 lehetőségünk van, és megbizonyosodtunk arról, hogy F4 = 5.

Most te jössz. Gondolkodjon egy pár percig, és keresse meg az 1×5-ös keret összes kitöltési lehetőségét.Nem sok van belőlük. A megoldás a fejezet végén található. Pihenhetsz és gondolkodhatsz.

Térjünk vissza a tereinkre. Szeretném hinni, hogy 8 lehetőséget találtál, hiszen 5 fektetési mód van, ahol a négyzet a bal oldalon van, és további 3 lehetőség, ahol a dominó a bal oldalon. Tehát F5 = 8.

Foglaljuk össze. FN-nek neveztük azt a számot, amellyel egy 1 × n-es keretet négyzetekkel és dominókkal lehet kitölteni. Meg kell találnunk az F10-et. Íme, amit már tudunk:

Továbbmegyünk. Mivel egyenlő az F6? Az összes lehetőséget lerajzolhatod, de ez unalmas. Bontsuk két részre a kérdést. Hányféleképpen lehet kitölteni egy 1 × 6-os keretet, ha a bal oldalon (a) négyzet és (b) dominó van? A jó hír az, hogy már tudjuk a választ! Az első esetben öt négyzet marad, és tudjuk, hogy F5 = 8. A második esetben négy négyzetet kell kitöltenünk; tudjuk, hogy F4 = 5. Tehát F5 + F4 = 13.

Mivel egyenlő az F7? Ugyanezen megfontolások alapján F7 = F6 + F5 = 13 + 8 = 21. Mi a helyzet az F8-cal? Nyilvánvalóan F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. És így tovább. A következő összefüggést találtuk: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Még néhány lépés - és megtaláljuk a kívánt F10 számot. A helyes válasz a fejezet végén található.

Fibonacci számok

A Fibonacci-számok a következő sorrendben:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

A következő szabályok szerint épül fel:

— az első két szám 1 és 1;

— minden következő számot az előző két szám összeadásával kapunk.

Az Fn sorozat n-edik elemét jelöljük, nulláról indulva: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... A következő elemet a következő képlettel számítjuk ki: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Amint látjuk, a négyzetek és dominók egymásra helyezésének problémája elvezetett minket a Fibonacci-számok sorozatához [ 1 ]A négyzet- és dominófeladatban azt találtuk, hogy F1 = 1 és F2 = 2. De a Fibonacci-számok F0 = 1-gyel kezdődnek. Hogyan egyezik ez a feladat feltételeivel? Hányféleképpen lehet kitölteni a 0 × 1-es keretet azonos feltételek mellett? A négyzet és a dominó hossza egyaránt nagyobb, mint nulla, ezért van kísértés azt mondani, hogy a válasz nulla, de nem az. A 0 × 1 téglalap már ki van töltve, nincsenek hézagok; nincs szükségünk négyzetre vagy dominóra. Így csak egy lépés van: ne vegyen négyzetet vagy dominót. Érted? Ez esetben gratulálok. Benned van egy matematikus lelke!

Fibonacci számok összege

Próbáljuk meg összeadni az első néhány Fibonacci-számot. Mit mondhatunk az F0 + F1 +… + Fn összegről bármely n esetén? Végezzünk néhány számítást, és nézzük meg, mi történik. Figyelje meg az alábbi összeadási eredményeket. Látsz mintát? Várj egy kicsit, mielőtt továbblépsz: jobb, ha magad találod meg a választ, nem pedig egy kész megoldást olvasol.

Szeretném hinni, hogy láttad, hogy az összegzés eredményei, ha hozzáadunk egyet hozzájuk, szintén Fibonacci-számsorba sorakoznak. Például az F0 és F5 számok összeadása a következőt kapja: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. Az F0 és F6 számok összeadásával 33, amely eggyel kisebb, mint F8 = 34. Felírhatjuk a képletet n nemnegatív egész számokra: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. (*)

Valószínűleg elég lesz személyesen látnia, hogy a képlet [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. tucatnyi esetben működik, hogy elhiggye, hogy igaz, de a matematikusok éhesek a bizonyításra. Örömmel mutatunk be két lehetséges bizonyítást, hogy ez minden n nemnegatív egészre igaz.

Az elsőt indukciós bizonyításnak, a másodikat kombinatorikus bizonyításnak nevezzük.

Bizonyítás indukcióval

Képlet [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. végtelen számú képlet hajtogatott formában. Bizonyítsd [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igaz n adott értékére, mondjuk n = 6-ra, egyszerű számtani feladat. Elegendő lesz felírni a számokat F0-tól F6-ig, és összeadni őket: F0 + F2 + ... + F6 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33.

Könnyen belátható, hogy F8 = 34, tehát a képlet működik. Térjünk át az F7-re. Ne vesztegessük az időt, és adjuk össze az összes számot: már tudjuk az összeget F6-ig. Így (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. Mint korábban, minden konvergál: F9 = 55.

Ha most elkezdjük ellenőrizni, hogy működik-e az n = 8 képlete, akkor végre elfogy az erőnk. De mégis lássuk, mit tudunk már, és mit szeretnénk megtudni:

F0 +F1 +…+F7 =F9.

F0 +F1 +…+F7 +F7 =?

Használjuk az előző eredményt: (F0 +F1 +…+F7)+F8 =(F9-1)+F8.

Az (F9-1) + F8-at természetesen számtanilag is ki tudjuk számolni. De ettől még jobban elfáradunk. Ugyanakkor tudjuk, hogy F8 + F9 = F10. Így nem kell semmit számolnunk vagy belenéznünk a Fibonacci-számok táblázatába:

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

Ellenőriztük, hogy a képlet n = 8-ra működik-e az alapján, amit n = 7-ről tudtunk.

n = 9 esetén ugyanúgy az n = 8 eredményre támaszkodunk (lásd magad). Természetesen bizonyítva a helyességét [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n esetén biztosak lehetünk abban, hogy [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igaz n + 1-re is.

Készen állunk a teljes bizonyításra. Mint már említettem, [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. végtelen számú képletet jelent n minden értékéhez nullától a végtelenig. Lássuk, hogyan működik a bizonyítás.

Először bebizonyítjuk [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. a legegyszerűbb esetben n = 0 esetén. Egyszerűen ellenőrizzük, hogy F0 = F0+2 - 1. Mivel F0 = 1 és F2 = 2, nyilvánvalóan 1 = 2 - 1 és F0 = F2-1.

Továbbá elég megmutatnunk, hogy a képlet helyessége n egyik értékére (mondjuk n = k) automatikusan az n + 1 helyességét jelenti (példánkban n = k + 1). Csak be kell mutatnunk, hogyan működik „automatikusan”. Mit kell tennünk?

Vegyünk egy k számot. Tegyük fel, hogy már tudjuk, hogy F0+F1+…+Fk =Fk+2–1. Az F0 + F1 +… + Fk + Fk+1 értéket keressük.

A Fibonacci-számok összegét Fk-ig már tudjuk, így kapjuk:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1.

A jobb oldal egyenlő Fk+2 - 1 + Fk+1, és tudjuk, hogy mennyi az egymást követő Fibonacci-számok összege:

Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) - 1 = Fk+3–1

Helyettesítsük be az egyenletünket:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =Fk+3–1

Most elmagyarázom, mit csináltunk. Ha tudjuk, hogy [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igaz, ha a számokat Fk-ig összegezzük, akkor [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igaznak kell lennie, ha hozzáadjuk az Fk+1-et.

Összefoglalni:

Képlet [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igaz n = 0-ra.

Ha a képlet [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igaz n-re, igaz n + 1-re is.

Bátran kijelenthetjük, hogy [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n bármely értékére igaz. Ez igaz [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n=4987 esetén? Ez akkor igaz, ha a kifejezés igaz n = 4986 esetén, ami azon alapul, hogy a kifejezés igaz n = 4985 esetén, és így tovább n = 0-ig. Ezért a képlet [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. minden lehetséges értékre igaz. Ezt a bizonyítási módot ún matematikai indukció (vagy bizonyítás indukcióval). Ellenőrizzük az alapesetet, és adunk egy sablont, amellyel minden következő eset igazolható az előző alapján.

Kombinatorikus bizonyítás

És itt van egy teljesen más személyazonossági bizonyíték [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. A fő megközelítés itt az, hogy kihasználjuk azt a tényt, hogy az Fn szám az 1 × n méretű téglalap négyzetekkel és dominókkal való lefedésének a száma.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy bizonyítanunk kell:

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn+2-1. (*)

Az ötlet az, hogy az egyenlet mindkét oldalát a burkolati probléma megoldásaként kezeljük. Ha bebizonyítjuk, hogy a bal és a jobb oldali rész ugyanannak a téglalapnak a megoldása, akkor ezek egybeesnek egymással. Ezt a technikát kombinatorikus bizonyításnak nevezik[ 2 ]A "kombinatorikus" szó a "kombinátor" főnévből származik - a matematika ágának nevéből, amelynek tárgya a téglalap lefedéséhez hasonló feladatok opcióinak kiszámítása. A „kombinatorika” szó pedig a „kombinációk” szóból származik..

Milyen kérdés a kombinatorikában az egyenlet [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. két helyes választ ad? Ez a rejtvény hasonló a Veszély című műsorban találhatókhoz! [ 3 ]Népszerű tévéműsor az Egyesült Államokban. Hasonló a Jeopardy-hoz! különböző országokban jelent meg; Oroszországban ez a "saját játék". - kb. szerk., ahol a résztvevőknek egy kérdést kell megfogalmazniuk, előre tudva a helyes választ.

A jobb oldal egyszerűbbnek tűnik, ezért kezdjük vele. Válasz: Fn+2– 1. Mi a kérdés? Ha a válasz egyszerűen Fn+2 lenne, könnyen megfogalmaznánk a kérdést: hányféleképpen lehet egy 1 × (n + 2) téglalapot kicsempézni négyzetekkel és dominókkal? Szinte pontosan erre van szüksége, de a válasz kevesebb, mint egy. Próbáljuk meg finoman megváltoztatni a kérdést, és csökkenteni a választ. Távolítsuk el a bélés egyik változatát, és számoljuk újra a többit. A nehézség az, hogy megtaláljunk egy olyan lehetőséget, amely gyökeresen különbözik a többitől. Van ilyen?

Minden burkoló módszer négyzetek vagy dominó használatát foglalja magában. Az egyetlen lehetőségben csak a négyzetek szerepelnek, a többiben legalább egy dominó van. Vegyük ezt egy új kérdés alapjául.

Kérdés: Hány lehetőség van egy 1 × (n + 2) téglalap alakú keret négyzetekkel és dominókkal való lefedésére, beleértve legalább egy dominót?

Erre a kérdésre most két választ találunk. Mivel mindkettő igaz lesz, a számok közé nyugodtan tehetünk egyenlőségjelet.

Az egyik választ már megbeszéltük. Vannak Fn+2 halmozási lehetőségek. Csak az egyikben kizárólag négyzeteket használnak, dominó nélkül. Így kérdésünkre az 1-es válasz: Fn+2–1.

A második válasz – remélem – az egyenlet bal oldala [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. Lássuk, hogyan működik.

Újra kell számolni a keret kitöltésének lehetőségeit, beleértve legalább egy dominót. Gondoljuk végig, hol lesz a legelső csont. n + 2 pozíció van, és az első lapka 1-től n + 1-ig lehet.

Tekintsük az n = 4 esetet. Olyan 1 × 6-os keret kitöltésének módjait keressük, amely legalább egy dominót tartalmaz. Tudjuk a választ: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, de más módon kell megkapnunk.

Az első dominó a következő pozíciókat veheti fel:

Az első oszlop azt az esetet mutatja, amikor a csukló az első helyzetben van, a második - amikor a csukló a második helyzetben van, és így tovább.

Hány lehetőség van az egyes oszlopokban?

Az első oszlop öt lehetőséget tartalmaz. Ha eldobjuk a bal oldali dominókat, pontosan F4 = 5 opciót kapunk egy 1 × 4-es téglalapra.A második oszlopban három lehetőség van. Dobjuk el a dominót és a bal oldali négyzetet. Egy 1×3-as téglalapra F3 = 3 opciót kapunk, hasonlóan a többi oszlophoz. Íme, amit találtunk:

Így a négyzetek és dominók (legalább egy csont) csempézési módjai egy 1 × 6-os téglalap alakú kereten F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.

Kimenet: F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1.

Nézzük az általános esetet. Adunk egy n + 2 hosszúságú keretet. Hányféleképpen lehet kitölteni, ahol az első dominó valamilyen k helyzetben van? Ebben az esetben az első k - 1 pozíciókat négyzetek foglalják el. Így összesen k + 1 pozíció van elfoglalva [ 4 ]A k szám 1 és n + 1 közötti értékeket vehet fel, de nem többet, mert különben az utolsó dominó kilóg a keretből.. A maradék (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 bármilyen módon kitölthető. Ez megadja az Fn-k+1 opciókat. Készítsünk diagramot:

Ha k 1-ről n + 1-re változik, akkor n - k + 1 értéke 0-ról n-re változik. Így az Fn + Fn-1 +… + F1 + F0 lehetõségek száma a keretünk legalább egy dominóval való kitöltésére.

Ha fordított sorrendbe tesszük a kifejezéseket, akkor a kifejezés bal oldalát (*) kapjuk. Így megtaláltuk a második választ a feltett kérdésre: F0 +F1 +…+Fn.

Tehát két válaszunk van a kérdésre. Az általunk levezetett két képlet segítségével kapott értékek egybeesnek, és az azonosság [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igazolt.

Fibonacci-arány és aranymetszés

Két egymást követő Fibonacci-szám összeadásával a következő Fibonacci-számot kapjuk. Ebben a részben egy érdekesebb kérdést érintünk: mi történik, ha a sorozatban elosztjuk a Fibonacci-számot az azt megelőző számmal? Számítsuk ki az Fk1 arányt. A k értékének növeléséhez.

A táblázatban az F1/F0 és az F20/19 közötti arányokat láthatja.

Minél nagyobbak a Fibonacci-számok, annál közelebb van az Fk+1/Fk arány egy körülbelül 1,61803-nak megfelelő állandóhoz. Ez a szám - meg fogsz lepődni - közismert, és ha beírod a keresőbe, akkor nagyon sok oldal esik ki az aranymetszésről. Ami? A szomszédos Fibonacci-számok aránya nem azonos. Ez azonban majdnem ugyanaz, ha a számok elég nagyok. Keressünk egy képletet az 1,61803 számra, és ehhez egy ideig feltételezzük, hogy minden arány azonos. Bevezetjük az x jelölést:

x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…

Ez azt jelenti, hogy Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1 stb. Újrafogalmazhatjuk:

Fk+2=xFk+1=x2>Fk.

De tudjuk, hogy Fk+2= Fk+1 + Fk. Így x2>FkFk = xFk + Fk.

Ha mindkét részt elosztjuk Fk-val, és átrendezzük a tagokat, akkor egy másodfokú egyenletet kapunk: x2-x-1=0. Két megoldása van:

Az aránynak pozitívnak kell lennie. És így megkaptuk az általunk ismert számot. Általában a görög φ (phi) betűt használják az aranymetszés jelölésére:

Korábban már megjegyeztük, hogy a szomszédos Fibonacci-számok aránya megközelíti (hajlamos) φ-hez. Ez elképesztő. Ez egy másik módot ad a közelítő Fibonacci-számok kiszámítására. A Fibonacci-számok sorozata az F0 F1, F2, F3, F4, F5... Ha minden Fk+1/Fk arány azonos, akkor a következő képletet kapjuk:

Itt Val vel egy másik állandó. Hasonlítsuk össze az Fn és φn kerekített értékeit különböző n-ekre:

Nagy n érték esetén az Fn/φn≈0,723607 arány. Ez a szám pontosan φ/root5. Más szavakkal,

Figyeljük meg, hogy ha felfelé kerekítjük a legközelebbi egész számra, akkor pontosan Fn-t kapunk.

Ha nem akarsz egész számra kerekítéssel bajlódni, akkor a Jacques Binetről elnevezett képlet [ 5 ]Jacques Binet (1786-1856) – francia matematikus, mechanikus és csillagász A Fibonacci-számok képlete Binet nevéhez fűződik, bár Abraham de Moivre (1667–1754) majdnem száz évvel korábban származtatta. - kb. per., megadja a pontos értéket:

Kitöltés keret 1×5

Keretünket a következő módokon tölthetjük ki négyzetekkel és dominókkal:

F4 = 5 lehetőség van, ha egy négyzet van az elején, és F3 = 3 lehetőség, amikor egy dominó van az elején. Összességében ez F5 = F4 + F3 = 8 opciót ad.

F10 érték(a stílussal kapcsolatos következő kérdésre a válasz) 89.

Az univerzumban még mindig sok megfejtetlen rejtély van, amelyek közül néhányat a tudósoknak már sikerült azonosítaniuk és leírniuk. A Fibonacci-számok és az aranymetszés képezi az alapot a körülöttünk lévő világ feltárásához, annak alakjának kialakításához és az ember általi optimális vizuális érzékeléséhez, melynek segítségével megérezheti a szépséget és a harmóniát.

aranymetszés

Az aranymetszet méretének meghatározásának elve az egész világ és részei szerkezetében és funkcióiban való tökéletesedésének hátterében áll, megnyilvánulása a természetben, a művészetben és a technikában egyaránt megmutatkozik. Az aranymetszés doktrínája az ókori tudósok számok természetére vonatkozó kutatásának eredményeként jött létre.

Az ókori filozófus és matematikus, Pythagoras által a szegmensfelosztások arányainak és arányainak elméletén alapul. Bebizonyította, hogy ha egy szakaszt két részre osztunk: X (kisebb) és Y (nagyobb), a nagyobb és a kisebb aránya megegyezik az összegük (a teljes szakaszé) arányával:

Az eredmény egy egyenlet: x 2 - x - 1 = 0, ami úgy van megoldva x=(1±√5)/2.

Ha az arányt 1/x-nek tekintjük, akkor egyenlő 1,618…

Az aranymetszés ókori gondolkodók általi használatának bizonyítéka Eukleidész „Kezdetek” című könyve, amely még a 3. században íródott. Kr. e., aki ezt a szabályt használta szabályos 5-szögűek megalkotására. A pitagoreusok körében ezt az alakot szentnek tekintik, mivel szimmetrikus és aszimmetrikus is. A pentagram az életet és az egészséget szimbolizálta.

Fibonacci számok

1202-ben jelent meg a Pisai Leonardo olasz matematikus, aki később Fibonacci néven vált ismertté a Liber abaci című híres könyve. Ebben a tudós először ad számmintát, amelyben minden szám az összege. az előző 2 számjegyből. A Fibonacci-számok sorrendje a következő:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 stb.

A tudós számos mintát is idézett:

• A sorozat bármely száma, osztva a következővel, egyenlő lesz egy olyan értékkel, amely 0,618-ra hajlamos. Ráadásul az első Fibonacci-számok nem adnak ilyen számot, de ahogy haladunk a sorozat elejétől, ez az arány egyre pontosabb lesz.
• Ha a sorozat számát elosztja az előzővel, akkor az eredmény 1,618 lesz.
• Egy szám osztva a következővel 0,382-re hajló értéket mutat.

Az aranymetszet, a Fibonacci-szám (0,618) kapcsolatának és mintázatainak alkalmazása nemcsak a matematikában, hanem a természetben, a történelemben, az építészetben és az építőiparban és számos más tudományban is megtalálható.

Arkhimédész spirálja és arany téglalap

A természetben nagyon gyakori spirálokat Arkhimédész kutatta fel, és még az egyenletét is levezette. A spirál alakja az aranymetszés törvényein alapul. Ha kicsavarjuk, akkor olyan hosszúságot kapunk, amelyre arányokat és Fibonacci-számokat lehet alkalmazni, a lépésnövekedés egyenletesen történik.

A Fibonacci-számok és az aranymetszés közötti párhuzam látható egy "arany téglalap" megalkotásával is, amelynek oldalai 1,618:1 arányúak. Úgy épül fel, hogy egy nagyobb téglalapból a kisebbek felé haladunk, így az oldalak hossza megegyezik a sorból származó számokkal. Felépítése fordított sorrendben történhet, az „1” négyzettől kezdve. Ha ennek a téglalapnak a sarkait a metszéspontjuk közepén lévő vonalakkal összekötjük, Fibonacci vagy logaritmikus spirált kapunk.

Az aranyarányok használatának története

Egyiptom számos ókori építészeti emléke arany arányok felhasználásával épült: a híres Kheopsz piramisok és mások.Az ókori Görögország építészei széles körben használták őket építészeti objektumok, például templomok, amfiteátrumok, stadionok építésénél. Ilyen arányokat használtak például az ókori Parthenon-templom (Athén) és más objektumok építésénél, amelyek az ókori építészet remekeivé váltak, és a matematikai mintákon alapuló harmóniát demonstrálták.

A későbbi évszázadokban az aranymetszés iránti érdeklődés alábbhagyott, a minták feledésbe merültek, de a reneszánszban újra megjelentek L. Pacioli di Borgo ferences szerzetes „Isteni arány” (1509) című könyvével együtt. Leonardo da Vinci illusztrációit tartalmazta, aki rögzítette az új „aranymetszet” nevet. Ezenkívül az aranymetszés 12 tulajdonságát tudományosan igazolták, és a szerző beszélt arról, hogyan nyilvánul meg a természetben, a művészetben, és "a világ és a természet felépítésének elvének" nevezte.

Vitruvius ember Leonardo

A rajz, amellyel Leonardo da Vinci 1492-ben Vitruvius könyvét illusztrálta, egy férfi alakját ábrázolja két testhelyzetben, oldalra nyújtott karokkal. Az ábra körbe és négyzetbe van írva. Ezt a rajzot tekintik az emberi test (férfi) kanonikus arányainak, amelyeket Leonardo ír le Vitruvius római építész tanulmányai alapján.

A test középpontja, mint a karok és lábak végétől egyenlő távolságra lévő pont a köldök, a karok hossza megegyezik az ember magasságával, a vállak maximális szélessége = a magasság 1/8-a, a távolság a mellkastól a hajig = 1/7, a mellkas tetejétől a fejtetőig = 1/6 stb.

Azóta a rajzot az emberi test belső szimmetriáját bemutató szimbólumként használják.

Az "arany arány" kifejezést Leonardo használta az emberi alak arányos viszonyainak jelölésére. Például a deréktól a lábig mért távolság a köldöktől a fejtetőig azonos távolságra vonatkozik, ugyanúgy, mint a magasság az első hosszúságig (deréktól lefelé). Ez a számítás hasonlóan történik, mint a szegmensek aránya az aranymetszés kiszámításakor, és 1,618-ra hajlamos.

Mindezeket a harmonikus arányokat a művészek gyakran használják gyönyörű és lenyűgöző alkotások létrehozására.

Az aranymetszés tanulmányozása a XVI-XIX

Az aranymetszés és a Fibonacci-számok felhasználásával több mint egy évszázada folyik a kutatás az arányok kérdésében. Leonardo da Vincivel párhuzamosan Albrecht Dürer német művész is kidolgozta az emberi test helyes arányainak elméletét. Ehhez még egy speciális iránytűt is készített.

A 16. században a Fibonacci-szám és az aranymetszet kapcsolatának kérdését I. Kepler csillagász munkásságának szentelte, aki először alkalmazta ezeket a szabályokat a botanikában.

Új „felfedezés” várt az aranymetszésre a 19. században. Zeisig német tudós professzor „Esztétikai kutatás” című kiadványával. Ezeket az arányokat abszolútra emelte, és bejelentette, hogy minden természeti jelenségre egyetemesek. Nagyszámú embert, vagy inkább testi arányaikat (körülbelül 2 ezer) végzett vizsgálatokkal, amelyek eredményeként következtetéseket vontak le a különböző testrészek arányának statisztikailag megerősített mintázataira: a vállak, az alkarok hossza. , kezek, ujjak stb.

A műtárgyakat (vázák, építészeti szerkezetek), a zenei tónusokat, a versírás méretét is tanulmányozták - Zeisig mindezt a szegmensek és a számok hosszában jelenítette meg, bevezette a "matematikai esztétika" kifejezést is. Az eredmények kézhezvétele után kiderült, hogy a Fibonacci sorozatot kapjuk.

Fibonacci szám és aranymetszés a természetben

A növény- és állatvilágban megfigyelhető a szimmetria formájú kialakulási tendencia, amely a növekedés és a mozgás irányában figyelhető meg. A szimmetrikus részekre osztás, amelyben arany arányok figyelhetők meg, számos növény és állat mintája.

A minket körülvevő természet Fibonacci számokkal írható le, például:

• bármely növény leveleinek vagy ágainak elrendezése, valamint a távolságok az 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 és így tovább adott számok sorozatához kapcsolódnak;
• napraforgómag (pikkely a tobozokon, ananászsejtek), két sorban, különböző irányban csavart spirálokba rendezve;
• a farok hosszának és a gyík teljes testének aránya;
• a tojás alakja, ha feltételesen vonalat húz a széles részén;
• az ujjak méretének aránya az emberi kézen.

És természetesen a legérdekesebb formák a spirális csigaházak, a minták a hálón, a szél mozgása a hurrikánon belül, a DNS kettős spirál és a galaxisok szerkezete - ezek mindegyike tartalmazza a Fibonacci számsort. .

Az aranymetszés használata a művészetben

Az aranymetszés művészeti alkalmazására példákat kereső kutatók részletesen vizsgálják a különböző építészeti tárgyakat, festményeket. Híres szobrászati ​​alkotások ismertek, amelyek alkotói ragaszkodtak az arany arányokhoz - az olimposzi Zeusz szobrai, Apollo Belvedere és

Leonardo da Vinci egyik alkotása - "Mona Lisa portréja" - évek óta a tudósok kutatásának tárgya. Megállapították, hogy a mű kompozíciója teljes egészében "arany háromszögekből" áll, amelyek egy szabályos ötszög-csillaggá egyesülnek. Da Vinci összes munkája bizonyítja, hogy milyen mély ismeretekkel rendelkezett az emberi test felépítéséről és arányairól, aminek köszönhetően el tudta ragadni a Mona Lisa hihetetlenül titokzatos mosolyát.

Aranymetszés az építészetben

Példaként a tudósok az "aranymetszet" szabályai szerint létrehozott építészeti remekműveket tanulmányozták: az egyiptomi piramisokat, a Pantheont, a Parthenont, a Notre Dame de Paris katedrálist, a Szent Bazil-székesegyházat stb.

A Parthenon, az ókori Görögország egyik legszebb épülete (Kr. e. V. század), 8 oszlopos és 17 különböző oldalain áll, magasságának az oldalak hosszához viszonyított aránya 0,618. A homlokzatokon a kiemelkedések az "arany metszet" szerint készülnek (az alábbi kép).

Le Corbusier francia építész volt az egyik tudós, aki feltalálta és sikeresen alkalmazta az építészeti objektumok moduláris arányrendszerének javítását (az úgynevezett "modulort"). A modulor egy mérőrendszeren alapul, amely az emberi test részeire való feltételes felosztáshoz kapcsolódik.

M. Kazakov orosz építész, aki több lakóépületet épített Moszkvában, valamint a Szenátus épületét a Kremlben és a Golicin Kórházat (ma N. I. Pirogovról elnevezett 1. Klinika), egyike volt azoknak az építészeknek, akik a törvényeket alkalmazták a tervezés és kivitelezés az aranymetszésről.

Arányok alkalmazása a tervezésben

A divattervezésben minden divattervező új képeket és modelleket készít, figyelembe véve az emberi test arányait és az aranymetszés szabályait, bár természeténél fogva nem minden ember rendelkezik ideális arányokkal.

Tájtervezés tervezésénél és terjedelmes parkkompozíciók készítésekor növények (fák és cserjék), szökőkutak, építészeti kistárgyak segítségével az "isteni arányok" mintái is alkalmazhatók. Hiszen a park kompozíciójának arra kell irányulnia, hogy benyomást keltsen a látogatóban, aki szabadon eligazodhat benne és megtalálhatja a kompozíciós központot.

A park minden eleme olyan arányban van, hogy a geometriai szerkezet, a kölcsönös elrendezés, a megvilágítás és a fény segítségével a harmónia és a tökéletesség benyomását keltik az emberben.

Az aranymetszet alkalmazása a kibernetikában és a technológiában

Az aranymetszet és a Fibonacci-számok mintázata energiaátmenetekben, a kémiai vegyületeket alkotó elemi részecskékkel végbemenő folyamatokban, térrendszerekben, a DNS génszerkezetében is megnyilvánul.

Hasonló folyamatok fordulnak elő az emberi testben is, amelyek életének bioritmusában, szervek, például az agy vagy a látás működésében nyilvánulnak meg.

Az arany arányú algoritmusokat és mintákat széles körben alkalmazzák a modern kibernetikában és informatikában. Az egyik egyszerű feladat, amelyet a kezdő programozóknak meg kell oldaniuk, egy képlet felírása és a Fibonacci-számok összegének meghatározása programozási nyelvek segítségével egy bizonyos számig.

Az aranymetszés elméletének modern kutatása

A 20. század közepe óta drámaian megnőtt az érdeklődés az aranyarányok törvényeinek problémái és az emberi életre gyakorolt ​​hatása iránt, és számos különböző szakmát képviselő tudós részéről: matematikusok, néprajzkutatók, biológusok, filozófusok, egészségügyi dolgozók, közgazdászok, zenészek. stb.

Az 1970-es évek óta az Egyesült Államokban adják ki a The Fibonacci Quarterly-t, ahol a témában publikálnak munkákat. Olyan művek jelennek meg a sajtóban, amelyekben az aranymetszet és a Fibonacci-sorozat általánosított szabályait használják a különböző tudományágakban. Például információk kódolására, kémiai kutatásokra, biológiai stb.

Mindez megerősíti az ókori és a modern tudósok következtetéseit, miszerint az aranymetszés többoldalúan összefügg a tudomány alapvető kérdéseivel, és a minket körülvevő világ számos alkotásának és jelenségének szimmetriájában nyilvánul meg.

A Fibonacci-számok egy numerikus sorozat elemei.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, amelyben minden következő szám egyenlő az előző két szám összegével. A név a középkori Pisai Leonardo (vagy Fibonacci) matematikusról kapta a nevét, aki kereskedőként és matematikusként élt és dolgozott az olasz Pisa városában. Korának egyik leghíresebb európai tudósa. Legnagyobb eredményei közé tartozik az arab számok bevezetése a római számok helyére. Fn=Fn-1+Fn-2

A matematikai sorozat aszimptotikusan (vagyis egyre lassabban közeledve) állandó arányra hajlik. Ez a hozzáállás azonban irracionális; végeláthatatlan, megjósolhatatlan decimális értékek sorakoznak utána. Ezt soha nem lehet pontosan kifejezni. Ha a sorozat részét képező minden számot elosztunk az előző értékkel (például 13-^8 vagy 21-FROM), a művelet eredménye olyan arányban fejeződik ki, amely az 1,61803398875 irracionális szám körül ingadozik, valamivel több vagy valamivel kevesebb, mint a sorozat szomszédos arányai. Az arány soha, a végtelenségig nem lesz az utolsó számjegyig pontos (még a korunkban épített legerősebb számítógépekkel sem). A tömörség kedvéért az 1,618-as számot használjuk Fibonacci-arányként, és kérjük az olvasókat, hogy ne feledkezzenek meg erről a hibáról.

A Fibonacci-számok is fontosak az elemzés elvégzésekor.Euklidész algoritmusa két szám legnagyobb közös osztójának meghatározására. A Fibonacci-számok Pascal háromszög-átlós képletéből származnak (binomiális együtthatók).

A Fibonacci-számokat az aranyarányhoz kapcsolták.

Az aranymetszés ismert volt az ókori Egyiptomban és Babilonban, Indiában és Kínában. Mi az az "aranymetszés"? A válasz még mindig ismeretlen. A Fibonacci-számok nagyon fontosak korunk gyakorlatelméletében. A fontosság növekedése a 20. században következett be, és a mai napig tart. A Fibonacci-számok felhasználása a közgazdaságtanban és a számítástechnikában emberek tömegeit vonzotta tanulmányaikba.

Kutatásom módszertana a szakirodalom tanulmányozásából és a kapott információk összegzéséből, valamint saját kutatásból, a számok tulajdonságainak és felhasználási körének azonosításából állt.

A tudományos kutatás során meghatározta a Fibonacci-számok fogalmát, tulajdonságait. Érdekes mintákat fedeztem fel az élővilágban is, közvetlenül a napraforgómag szerkezetében.

A napraforgón a magok spirálban sorakoznak, és a másik irányba haladó spirálok száma eltérő - ezek egymást követő Fibonacci-számok.

Ennek a napraforgónak 34 és 55 van.

Ugyanez figyelhető meg az ananász termésein is, ahol 8 és 14 spirál található.A kukoricalevél a Fibonacci-számok egyedülálló tulajdonságához kapcsolódik.

Az a/b formájú töredékek, amelyek a növény szárlábai leveleinek spirális elrendezésének felelnek meg, gyakran az egymást követő Fibonacci-számok arányai. Mogyorónál ez az arány 2/3, tölgynél 3/5, nyárnál 5/8, fűznél 8/13 stb.

Figyelembe véve a levelek elrendezését a növények szárán, látható, hogy az egyes levélpárok (A és C) között a harmadik az aranymetszet (B) helyén található.

A Fibonacci-szám másik érdekes tulajdonsága, hogy az egytől eltérő két különböző Fibonacci-szám szorzata és hányadosa soha nem Fibonacci-szám.

A kutatás eredményeként a következő következtetésekre jutottam: A Fibonacci-számok egyedülálló aritmetikai sorozat, amely a Kr.u. 13. században jelent meg. Ez a progresszió nem veszíti el relevanciáját, amit kutatásom során is megerősítettem. A Fibonacci-szám a programozásban és a gazdasági előrejelzésekben, a festészetben, az építészetben és a zenében is megtalálható. Olyan híres művészek festményei, mint Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raphael és Botticelli, az aranymetszés varázsát rejtik. Még I. I. Shishkin is használta az aranymetszést „Pine Grove” című festményén.

Nehéz elhinni, de az aranymetszés olyan nagy zeneszerzők zenei műveiben is megtalálható, mint Mozart, Beethoven, Chopin stb.

A Fibonacci-számok az építészetben is megtalálhatók. Az aranymetszetet például a Parthenon és a Notre Dame katedrális építésekor használták.

Azt tapasztaltam, hogy a Fibonacci-számokat a mi térségünkben is használják. Például házak sávjai, oromzata.

Fibonacci számok... a természetben és az életben

Leonardo Fibonacci a középkor egyik legnagyobb matematikusa. Fibonacci egyik művében, a Számítások könyvében leírta az indoarab számítást és használatának előnyeit a rómaival szemben.

Meghatározás
A Fibonacci-számok vagy a Fibonacci-sorozat egy numerikus sorozat, amelynek számos tulajdonsága van. Például két szomszédos szám összege a sorozatban megadja a következő értékét (például 1+1=2; 2+3=5 stb.), ami megerősíti az úgynevezett Fibonacci együtthatók létezését , azaz állandó arányok.

A Fibonacci-sorozat így kezdődik: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

2.

A Fibonacci-számok teljes meghatározása

3.


A Fibonacci-szekvencia tulajdonságai

4.

1. Az egyes számok és a következő számok aránya a sorozatszám növekedésével egyre 0,618-ra hajlik. Az egyes számok aránya az előzőhöz képest 1,618 (fordítva 0,618). A 0,618-as számot (FI) hívják.

2. Ha minden számot elosztunk a következővel, a 0,382 számot egyen keresztül kapjuk; fordítva - 2,618.

3. Az arányokat így választva megkapjuk a Fibonacci-együtthatók fő halmazát: … 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.


A Fibonacci-szekvencia és az "aranymetszet" közötti kapcsolat

6.

A Fibonacci-szekvencia aszimptotikusan (egyre lassabban közelítve) valamilyen állandó arányra hajlik. Ez az arány azonban irracionális, vagyis olyan számról van szó, amelynek törtrészében végtelen, megjósolhatatlan tizedesjegyek sorozata van. Nem lehet pontosan kifejezni.

Ha a Fibonacci-sorozat bármely tagját elosztjuk az előtte lévővel (például 13:8), az eredmény egy olyan érték lesz, amely az 1,61803398875 irracionális érték körül ingadozik, és egy idő után vagy meghaladja azt, vagy nem éri el. azt. De még az örökkévalóság után sem lehet pontosan tudni az arányt az utolsó tizedesjegyig. A rövidség kedvéért 1,618-as formában adjuk meg. Ennek az aránynak már azelőtt elkezdték különleges neveket adni, hogy Luca Pacioli (egy középkori matematikus) Isteni aránynak nevezte volna. Modern nevei között szerepel például az Aranyarány, az Aranyközép és a forgó négyzetek aránya. Kepler ezt a relációt a „geometria kincseinek” egyikének nevezte. Az algebrában általában a görög phi betűvel jelölik

Képzeljük el az aranymetszetet egy szakasz példáján.

Tekintsünk egy A és B végű szakaszt. Legyen C pont ossza fel az AB szakaszt úgy, hogy

AC/CB = CB/AB vagy

AB/CB = CB/AC.

Ezt így képzelheted el: A-–C--–B

7.

Az aranymetszet egy szakasznak olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szakasz ugyanúgy viszonyul a nagyobb részhez, mint maga a nagyobb rész a kisebbhez; vagy más szóval, a kisebb rész úgy kapcsolódik a nagyobbhoz, mint a nagyobb mindenhez.

8.

Az aranymetszés szegmenseit 0,618 ... végtelen irracionális törtként fejezzük ki, ha AB-t egynek vesszük, AC = 0,382 .. Mint már tudjuk, a 0,618 és 0,382 számok a Fibonacci sorozat együtthatói.

9.

Fibonacci arányok és az aranymetszés a természetben és a történelemben

10.


Fontos megjegyezni, hogy Fibonacci mintegy emlékeztette az emberiséget a sorozatára. Az ókori görögök és egyiptomiak ismerték. Valójában azóta a Fibonacci-együtthatókkal leírt mintákat találtak a természetben, az építészetben, a képzőművészetben, a matematikában, a fizikában, a csillagászatban, a biológiában és sok más területen. Egyszerűen elképesztő, hogy a Fibonacci-szekvencia segítségével hány állandót lehet kiszámítani, és hogyan jelennek meg a kifejezései hatalmas számú kombinációban. Nem túlzás azonban azt állítani, hogy ez nem csupán egy számjáték, hanem a természeti jelenségek valaha felfedezett legfontosabb matematikai kifejezése.

11.

Az alábbi példák ennek a matematikai sorozatnak néhány érdekes alkalmazását mutatják be.

12.

1. A héj spirálban van csavarva. Ha kihajtja, a kígyó hosszánál valamivel alacsonyabb hosszt kap. Egy kicsi, tíz centiméteres kagyló spirálisa 35 cm, a spirálisan felgöndörödött kagyló alakja vonzotta Arkhimédész figyelmét. A helyzet az, hogy a héj volutáinak mérési aránya állandó, és egyenlő 1,618-val. Arkhimédész tanulmányozta a héjak spirálját, és levezette a spirál egyenletét. Az egyenlet által megrajzolt spirált az ő nevén nevezik. Lépésének növekedése mindig egyenletes. Jelenleg az Archimedes-spirált széles körben használják a mérnöki munkákban.

2. Növények és állatok. Már Goethe is hangsúlyozta a természet spiralitásra való hajlamát. A levelek spirális és spirális elrendeződését a faágakon már régen észrevették. A spirál a napraforgómagok elrendezésében, fenyőtobozokban, ananászokban, kaktuszokban stb. A botanikusok és matematikusok közös munkája rávilágított ezekre a csodálatos természeti jelenségekre. Kiderült, hogy a napraforgómagok, fenyőtobozok leveleinek elrendezésében a Fibonacci-sorozat nyilvánul meg, és ezért az aranymetszet törvénye nyilvánul meg. A pók spirálisan forgatja a hálóját. Egy hurrikán spirálisan forog. Egy ijedt rénszarvascsorda spirálszerűen szétszóródik. A DNS-molekula kettős spirálba csavarodik. Goethe a spirált "az élet görbéjének" nevezte.

Az út menti füvek között egy figyelemre méltó növény nő - a cikória. Nézzük meg közelebbről. A fő szárból ág alakult ki. Itt az első levél. A folyamat erős kilökődést hajt végre a térbe, megáll, kienged egy levelet, de már rövidebb, mint az első, ismét kilökést hajt végre a térbe, de kisebb erővel, egy még kisebb méretű levelet enged ki és ismét kilökődik. Ha az első kiugró értéket 100 egységnek vesszük, akkor a második 62 egység, a harmadik 38, a negyedik 24, és így tovább. A szirmok hossza is az aranymetszés függvénye. A növekedésben, a tér meghódításában a növény megtartott bizonyos arányokat. Növekedési impulzusai az aranymetszés arányában fokozatosan csökkentek.

A gyík életképes. A gyíkban első pillantásra a szemünknek tetsző arányok ragadnak meg - a farkának hossza a test többi részének hosszához viszonyítva 62-38.

Mind a növényi, mind az állati világban kitartóan áttör a természet alakító tendenciája - a növekedési és mozgási irány szimmetriája. Itt az aranymetszés a növekedési irányra merőleges részek arányában jelenik meg. A természet elvégezte a szimmetrikus részekre és arany arányokra való felosztást. Részekben az egész szerkezetének ismétlődése nyilvánul meg.

Pierre Curie századunk elején számos mélyreható szimmetriagondolatot fogalmazott meg. Azzal érvelt, hogy egyetlen test szimmetriáját sem lehet figyelembe venni anélkül, hogy ne vesszük figyelembe a környezet szimmetriáját. Az aranyszimmetria mintái az elemi részecskék energiaátmeneteiben, egyes kémiai vegyületek szerkezetében, bolygó- és térrendszerekben, élő szervezetek génszerkezetében nyilvánulnak meg. Ezek a minták, amint azt fentebb jeleztük, egy személy egyes szerveinek és a test egészének szerkezetében vannak, és a bioritmusokban és az agy működésében és a vizuális észlelésben is megnyilvánulnak.

3. Tér. A csillagászat történetéből ismert, hogy I. Titius, a 18. századi német csillagász ezt a sorozatot (Fibonacci) használva szabályosságot és rendet talált a Naprendszer bolygói közötti távolságokban.

Egy eset azonban törvénybe ütközőnek tűnt: a Mars és a Jupiter között nem volt bolygó. Az égbolt ezen területének célzott megfigyelése vezetett az aszteroidaöv felfedezéséhez. Ez Titius halála után történt, a 19. század elején.

A Fibonacci sorozatot széles körben használják: segítségével az élőlények és az ember alkotta szerkezetek építészetét, valamint a Galaxisok szerkezetét ábrázolják. Ezek a tények bizonyítják a számsor függetlenségét a megnyilvánulási feltételeitől, ami egyetemességének egyik jele.

4. Piramisok. Sokan próbálták megfejteni a gízai piramis titkait. Más egyiptomi piramisokkal ellentétben ez nem egy sír, hanem számkombinációk megoldhatatlan rejtvénye. A piramis építészeinek figyelemreméltó találékonysága, ügyessége, ideje és munkája, amelyet az örök szimbólum felépítésénél felhasználtak, jelzi annak az üzenetnek a rendkívüli fontosságát, amelyet a jövő nemzedékei felé akartak közvetíteni. Korszakuk az írástudás előtti, a hieroglifák előtti volt, és a szimbólumok jelentették az egyetlen eszközt a felfedezések rögzítésére. A gízai piramis geometriai-matematikai titkának kulcsát, amely oly sokáig rejtély volt az emberiség számára, valójában Hérodotosznak adták át a templomi papok, akik közölték vele, hogy a piramist úgy építették, hogy mindegyik területe arca egyenlő volt a magasságának négyzetével.

Háromszög terület

356 x 440/2 = 78320

négyzet alakú terület

280 x 280 = 78400

A gízai piramis alapja élének hossza 783,3 láb (238,7 m), a piramis magassága 484,4 láb (147,6 m). Az alap élének hossza osztva a magassággal, az Ф=1,618 arányhoz vezet. A 484,4 láb magasság 5813 hüvelyknek (5-8-13) felel meg – ezek a számok a Fibonacci sorozatból. Ezek az érdekes megfigyelések arra utalnak, hogy a piramis építése a Ф=1,618 arányon alapul. Egyes modern tudósok hajlamosak úgy értelmezni, hogy az ókori egyiptomiak kizárólag abból a célból építették, hogy továbbadják azt a tudást, amelyet meg akartak őrizni a jövő generációi számára. A gízai piramis intenzív tanulmányozása megmutatta, milyen kiterjedt matematikai és asztrológiai ismeretek voltak akkoriban. A piramis minden belső és külső arányában az 1,618-as szám központi szerepet játszik.

Piramisok Mexikóban. Nemcsak az egyiptomi piramisok épültek az aranymetszés tökéletes arányai szerint, ugyanezt a jelenséget a mexikói piramisoknál is megtalálták. Felmerül az ötlet, hogy az egyiptomi és a mexikói piramisokat megközelítőleg egy időben emelték közös származású emberek.

A Fibonacci-szekvencia, amelyet a Da Vinci-kód című film és könyv tett híressé, egy Pisai Leonardo olasz matematikus, ismertebb Fibonacci álnéven, a tizenharmadik században levezetett számsora. A tudós követői észrevették, hogy a képlet, amelyre ez a számsor vonatkozik, a körülöttünk lévő világban tükröződik, és más matematikai felfedezéseket is visszhangoz, ezáltal megnyitja előttünk az univerzum titkait. Ebben a cikkben elmagyarázzuk, mi a Fibonacci-szekvencia, megfontolunk példákat arra, hogy ez a minta hogyan jelenik meg a természetben, és összehasonlítjuk más matematikai elméletekkel.

A fogalom megfogalmazása és meghatározása

A Fibonacci sorozat egy matematikai sorozat, amelynek minden eleme egyenlő az előző kettő összegével. Jelöljük a sorozat egy bizonyos tagját x n-ként. Így a teljes sorozatra érvényes képletet kapunk: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. Ebben az esetben a sorrend a következőképpen néz ki: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. A következő szám 55 lesz, mivel 21 és 34 összege 55. És így tovább ugyanazon elv szerint.

Példák a környezetben

Ha megnézzük a növényt, különösen a levelek koronáját, észrevesszük, hogy spirálisan virágoznak. A szomszédos levelek között sarkok képződnek, amelyek viszont a helyes matematikai Fibonacci-sorozatot alkotják. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően minden egyes fán növekvő levél maximális mennyiségű napfényt és hőt kap.

Fibonacci matematikai rejtvény

Egy híres matematikus találós kérdés formájában mutatta be elméletét. Ez így hangzik. Zárt térbe helyezhet egy pár nyulat, hogy megtudja, hány pár nyúl születik egy év alatt. Figyelembe véve ezeknek az állatoknak a természetét, azt, hogy minden hónapban egy pár képes új párat hozni, és két hónapos koruk után szaporodásra készek, ennek eredményeként megkapta híres számsorát: 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144 - ami az új nyúlpárok számát mutatja minden hónapban.

Fibonacci szekvencia és arányos arány

Ennek a sorozatnak számos matematikai árnyalata van, amelyeket figyelembe kell venni. Ő lassabban és lassabban (aszimptotikusan) közeledve egy bizonyos arányos viszonyra hajlik. De ez irracionális. Más szóval, ez egy olyan szám, amelynek a tört részében megjósolhatatlan és végtelen decimális számsor van. Például a sorozat bármely elemének aránya 1,618 körül mozog, hol meghaladva, hol elérve. A következő analógia szerint megközelíti a 0,618-at. Ami fordítottan arányos az 1,618 számmal. Ha az elemeket egyre osztjuk, 2,618-at és 0,382-t kapunk. Mint már megértette, ezek fordítottan arányosak is. Az így kapott számokat Fibonacci-arányoknak nevezzük. Most magyarázzuk el, miért végeztük el ezeket a számításokat.

aranymetszés

Bizonyos kritériumok szerint megkülönböztetünk minden körülöttünk lévő tárgyat. Az egyik a forma. Van, amelyik jobban vonz minket, van, amelyik kevésbé, és van, amelyik egyáltalán nem szereti. Észrevették, hogy a szimmetrikus és arányos tárgyat sokkal könnyebben érzékeli az ember, és a harmónia és a szépség érzetét kelti. Egy teljes kép mindig különböző méretű részeket tartalmaz, amelyek bizonyos arányban vannak egymással. Ebből következik a válasz arra a kérdésre, hogy mit nevezünk aranyaránynak. Ez a fogalom az egész és a részek arányának tökéletesítését jelenti a természetben, a tudományban, a művészetben stb. Matematikai szempontból nézzük meg a következő példát. Vegyünk egy tetszőleges hosszúságú szakaszt, és osszuk két részre úgy, hogy a kisebbik rész a nagyobbhoz viszonyuljon, mint az összeg (a teljes szakasz hossza) a nagyobbhoz. Vegyünk tehát egy vágást Val vel egy méretre. része a 0,618 lesz, a második rész b, mint kiderült, egyenlő 0,382-vel. Így megfigyeljük az Aranymetszés állapotát. Szegmens arány c nak nek a egyenlő: 1,618. És a részek viszonya cés b- 2,618. Megkapjuk a már ismert Fibonacci-együtthatókat. Az arany háromszög, az arany téglalap és az arany téglalap ugyanazon elv szerint épül fel. Azt is érdemes megjegyezni, hogy az emberi testrészek arányos aránya közel áll az Aranyarányhoz.

A Fibonacci-sorozat az alapja mindennek?

Próbáljuk meg ötvözni az Aranymetszet elméletét és az olasz matematikus jól ismert sorozatát. Kezdjük két első méretű négyzettel. Ezután a tetejére tegyünk egy másik méretű négyzetet. Rajzoljunk ugyanahhoz az ábrához, amelynek oldalhossza megegyezik az előző két oldal összegével. Hasonlóképpen rajzolunk egy ötödik méretű négyzetet. És így folytathatod a végtelenségig, amíg meg nem unod. A lényeg az, hogy minden következő négyzet oldalának mérete megegyezzen az előző kettő oldalainak összegével. Olyan sokszögek sorozatát kapjuk, amelyek oldalhossza Fibonacci-szám. Ezeket az alakzatokat Fibonacci-téglalapoknak nevezzük. Húzzunk egy sima vonalat sokszögeink sarkain, és érjük el... Archimedes spirálja! Ennek a számnak a lépésének növekedése, mint tudod, mindig egyenletes. Ha bekapcsolja a fantáziát, akkor a kapott mintát egy kagylóhéjhoz lehet társítani. Ebből arra következtethetünk, hogy a Fibonacci-sorrend a környező világ elemeinek arányos, harmonikus arányainak alapja.

Matematikai sorozat és az univerzum

Ha alaposan megnézzük, akkor az embert körülvevő sok ismerős természeti elemben nyomon követhető Arkhimédész spirálja (hol kifejezetten, de valahol burkoltan), és ennek következtében a Fibonacci-elv. Például ugyanaz a kagylóhéj, a közönséges brokkoli virágzata, egy napraforgó virág, egy tűlevelű növény kúpja és hasonlók. Ha tovább nézünk, a Fibonacci sorozatot végtelen galaxisokban fogjuk látni. A természettől ihletett és annak formáit átvevő ember is létrehoz olyan tárgyakat, amelyekben a fent említett sorozatok nyomon követhetők. Ideje emlékezni az Aranymetszetre. A Fibonacci-mintával együtt ennek az elméletnek az alapelvei is nyomon követhetők. Létezik egy olyan változat, amely szerint a Fibonacci-sorozat a természet egyfajta próbája, hogy alkalmazkodjon az Aranyarány tökéletesebb és alapvetőbb logaritmikus sorozatához, amely szinte azonos, de nincs kezdete és végtelen. A természet mintázata olyan, hogy saját kiindulóponttal kell rendelkeznie, amelyre építkezve újat alkothat. A Fibonacci-sorozat első elemeinek aránya távol áll az Aranymetszés elveitől. Azonban minél tovább folytatjuk, ez az eltérés annál inkább kisimul. Egy sorozat meghatározásához ismernie kell annak három egymást követő elemét. A Golden sorozathoz kettő is elég. Mivel ez egyszerre számtani és geometriai sorozat.

Következtetés

A fentiek alapján mégis logikus kérdéseket tehet fel: "Honnan jöttek ezek a számok? Ki ez az egész világ eszközének szerzője, aki megpróbálta ideálissá tenni? Mindig minden úgy volt, ahogy akarta? Ha igen? , miért történt a hiba? Mi lesz ezután?" Ha az egyik kérdésre megtalálod a választ, megkapod a következőt. Oldja meg – megjelenik még kettő. Ha megoldod őket, kapsz még hármat. Miután foglalkozott velük, öt megoldatlant kap. Aztán nyolc, majd tizenhárom, huszonegy, harmincnégy, ötvenöt...