რა არის კვადრატული განტოლების ფესვი? კვადრატული განტოლებების ამოხსნა, ფესვის ფორმულა, მაგალითები

მათემატიკაში ზოგიერთი პრობლემა მოითხოვს კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის გამოთვლის უნარს. ასეთი ამოცანები მოიცავს მეორე რიგის განტოლებების ამოხსნას. ამ სტატიაში წარმოგიდგენთ ეფექტური მეთოდიგამოთვლები კვადრატული ფესვებიდა გამოიყენეთ იგი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებთან მუშაობისას.

რა არის კვადრატული ფესვი?

მათემატიკაში ეს ცნება შეესაბამება სიმბოლოს √. ისტორიული მონაცემებით ნათქვამია, რომ იგი პირველად გამოიყენეს მე-16 საუკუნის პირველ ნახევარში გერმანიაში (პირველი გერმანული ნაშრომი ალგებრაზე კრისტოფ რუდოლფის მიერ). მეცნიერები თვლიან, რომ მითითებული სიმბოლო გარდაიქმნება ლათინური ასო r (რადიქსი ლათინურად ნიშნავს "ფესვს").

ნებისმიერი რიცხვის ფესვი უდრის იმ მნიშვნელობას, რომლის კვადრატი შეესაბამება რადიკალურ გამოსახულებას. მათემატიკის ენაზე ეს განმარტება ასე გამოიყურება: √x = y, თუ y 2 = x.

დადებითი რიცხვის ფესვი (x > 0) ასევე დადებითი რიცხვია (y > 0), მაგრამ თუ აიღებთ უარყოფითი რიცხვის ფესვს (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

აქ არის ორი მარტივი მაგალითი:

√9 = 3, ვინაიდან 3 2 = 9; √(-9) = 3i, ვინაიდან i 2 = -1.

ჰერონის განმეორებითი ფორმულა კვადრატული ფესვების მნიშვნელობების მოსაძებნად

ზემოთ მოყვანილი მაგალითები ძალიან მარტივია და მათში ფესვების გამოთვლა არ არის რთული. სირთულეები იწყება ძირეული მნიშვნელობების პოვნისას ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, რომელიც არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი კვადრატის სახით ბუნებრივი რიცხვი, მაგალითად √10, √11, √12, √13, რომ აღარაფერი ვთქვათ იმ ფაქტზე, რომ პრაქტიკაში აუცილებელია არა მთელი რიცხვების ფესვების პოვნა: მაგალითად √(12,15), √(8,5) და ასე შემდეგ.

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილ შემთხვევაში გამოყენებული უნდა იყოს კვადრატული ფესვის გამოთვლის სპეციალური მეთოდი. ამჟამად ცნობილია რამდენიმე ასეთი მეთოდი: მაგალითად, ტეილორის სერიის გაფართოება, სვეტის გაყოფა და სხვა. Ყველა ცნობილი მეთოდებიალბათ ყველაზე მარტივი და ეფექტურია ჰერონის განმეორებითი ფორმულის გამოყენება, რომელიც ასევე ცნობილია, როგორც კვადრატული ფესვების განსაზღვრის ბაბილონის მეთოდი (არსებობს მტკიცებულება, რომ ძველი ბაბილონელები იყენებდნენ მას პრაქტიკულ გამოთვლებში).

მოდით, საჭირო გახდეს √x-ის მნიშვნელობის განსაზღვრა. კვადრატული ფესვის პოვნის ფორმულა არის შემდეგი ხედი:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), სადაც lim n->∞ (a n) => x.

მოდით გავშიფროთ ეს მათემატიკური აღნიშვნა. √x-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა აიღოთ გარკვეული რიცხვი a 0 (ეს შეიძლება იყოს თვითნებური, მაგრამ შედეგის სწრაფად მისაღებად, თქვენ უნდა აირჩიოთ ისე, რომ (a) 2 რაც შეიძლება ახლოს იყოს x-თან. შემდეგ ჩაანაცვლეთ იგი მითითებული ფორმულა კვადრატული ფესვის გამოსათვლელად და მიიღეთ ახალი რიცხვი a 1, რომელიც უკვე მიუახლოვდება სასურველ მნიშვნელობას, ამის შემდეგ გამოსახულებაში უნდა ჩაანაცვლოთ 1 და მიიღოთ 2. ეს პროცედურა უნდა განმეორდეს საჭიროებამდე. სიზუსტე მიიღება.

ჰერონის განმეორებითი ფორმულის გამოყენების მაგალითი

მოცემული რიცხვის კვადრატული ფესვის მისაღებად ზემოთ აღწერილი ალგორითმი შეიძლება ბევრისთვის საკმაოდ რთული და დამაბნეველი ჟღერდეს, მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი გაცილებით მარტივია, რადგან ეს ფორმულა ძალიან სწრაფად იყრის თავს (განსაკუთრებით თუ წარმატებული რიცხვი 0 არჩეულია) .

მოვიყვანოთ მარტივი მაგალითი: თქვენ უნდა გამოთვალოთ √11. მოდით ავირჩიოთ 0 = 3, რადგან 3 2 = 9, რომელიც უფრო ახლოს არის 11-თან, ვიდრე 4 2 = 16. ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2 (3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

a 3 = 1/2 (3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662.

გამოთვლების გაგრძელებას აზრი არ აქვს, რადგან აღმოვაჩინეთ, რომ 2 და 3 განსხვავდება მხოლოდ მე-5 ათწილადში. ამრიგად, საკმარისი იყო ფორმულის მხოლოდ 2-ჯერ გამოყენება, რათა გამოვთვალოთ √11 0,0001 სიზუსტით.

დღესდღეობით, კალკულატორები და კომპიუტერები ფართოდ გამოიყენება ფესვების გამოსათვლელად, თუმცა, სასარგებლოა მონიშნული ფორმულის დამახსოვრება, რათა ხელით შეძლოთ მათი ზუსტი მნიშვნელობის გამოთვლა.

მეორე რიგის განტოლებები

იმის გაგება, თუ რა არის კვადრატული ფესვი და მისი გამოთვლის უნარი, გამოიყენება კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას. ამ განტოლებებს ეწოდება ტოლობები ერთი უცნობით, რომლის ზოგადი ფორმა ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

აქ c, b და a წარმოადგენს ზოგიერთ რიცხვს და a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ხოლო c და b-ის მნიშვნელობები შეიძლება იყოს სრულიად თვითნებური, მათ შორის ნულის ტოლი.

x-ის ნებისმიერ მნიშვნელობას, რომელიც აკმაყოფილებს ფიგურაში მითითებულ თანასწორობას, ეწოდება მისი ფესვები (ეს კონცეფცია არ უნდა აგვერიოს კვადრატულ ფესვთან √). ვინაიდან განსახილველი განტოლება არის მე-2 რიგის (x 2), მაშინ მას არ შეიძლება ჰქონდეს ორზე მეტი ფესვი. მოდით გადავხედოთ სტატიაში, თუ როგორ მოვძებნოთ ეს ფესვები.

კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნა (ფორმულა)

განსახილველი თანასწორობების ტიპის ამოხსნის ამ მეთოდს ასევე უწოდებენ უნივერსალურ მეთოდს, ანუ დისკრიმინაციულ მეთოდს. ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი კვადრატული განტოლებისთვის. კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტისა და ფესვების ფორმულა შემდეგია:

ეს გვიჩვენებს, რომ ფესვები დამოკიდებულია განტოლების სამი კოეფიციენტიდან თითოეულის მნიშვნელობაზე. უფრო მეტიც, x 1-ის გამოთვლა განსხვავდება x 2-ის გაანგარიშებისგან მხოლოდ კვადრატული ფესვის წინ არსებული ნიშნით. რადიკალური გამოხატულება, რომელიც უდრის b 2 - 4ac, სხვა არაფერია, თუ არა განსახილველი თანასწორობის დისკრიმინაცია. კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულაში დისკრიმინანტი მნიშვნელოვან როლს ასრულებს, რადგან ის განსაზღვრავს ამონახსნების რაოდენობას და ტიპს. ასე რომ, თუ ის ნულის ტოლია, მაშინ იქნება მხოლოდ ერთი ამონახსნი, თუ ის დადებითია, მაშინ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი და ბოლოს, უარყოფითი დისკრიმინანტი მივყავართ ორ რთულ ფესვამდე x 1 და x 2.

ვიეტას თეორემა ან მეორე რიგის განტოლებების ფესვების ზოგიერთი თვისება

მე-16 საუკუნის ბოლოს თანამედროვე ალგებრის ერთ-ერთმა ფუძემდებელმა, ფრანგმა, რომელიც მეორე რიგის განტოლებებს სწავლობდა, შეძლო მისი ფესვების თვისებების მიღება. მათემატიკურად ისინი შეიძლება დაიწეროს ასე:

x 1 + x 2 = -b / a და x 1 * x 2 = c / a.

ორივე ტოლობის მიღება ნებისმიერს შეუძლია ადვილად; ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა შეასრულოთ შესაბამისი მათემატიკური მოქმედებები დისკრიმინატორთან ფორმულით მიღებული ფესვებით.

ამ ორი გამოთქმის ერთობლიობას სამართლიანად შეიძლება ვუწოდოთ კვადრატული განტოლების ფესვების მეორე ფორმულა, რაც შესაძლებელს ხდის გამოიცნოს მისი ამონახსნები დისკრიმინანტის გამოყენების გარეშე. აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ მიუხედავად იმისა, რომ ორივე გამონათქვამი ყოველთვის მოქმედებს, განტოლების ამოსახსნელად მათი გამოყენება მოსახერხებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ შესაძლებელია მისი ფაქტორიზირება.

მიღებული ცოდნის კონსოლიდაციის ამოცანა

მოდით გადავჭრათ მათემატიკური ამოცანა, რომელშიც ჩვენ წარმოვადგენთ სტატიაში განხილულ ყველა ტექნიკას. პრობლემის პირობები ასეთია: თქვენ უნდა იპოვოთ ორი რიცხვი, რომლებშიც ნამრავლი არის -13 და ჯამი არის 4.

ეს მდგომარეობა მაშინვე გვახსენებს ვიეტას თეორემას; კვადრატული ფესვებისა და მათი ნამრავლის ჯამის ფორმულების გამოყენებით ვწერთ:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

თუ დავუშვებთ, რომ a = 1, მაშინ b = -4 და c = -13. ეს კოეფიციენტები საშუალებას გვაძლევს შევქმნათ მეორე რიგის განტოლება:

x 2 - 4x - 13 = 0.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა დისკრიმინატორთან და მივიღოთ შემდეგი ფესვები:

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

ანუ პრობლემა √68 ნომრის პოვნამდე შემცირდა. გაითვალისწინეთ, რომ 68 = 4 * 17, შემდეგ, კვადრატული ფესვის თვისების გამოყენებით, მივიღებთ: √68 = 2√17.

ახლა გამოვიყენოთ განხილული კვადრატული ფესვის ფორმულა: a 0 = 4, შემდეგ:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4.125 + 17/4.125) = 4.1231.

არ არის საჭირო 3-ის გამოთვლა, რადგან ნაპოვნი მნიშვნელობები განსხვავდება მხოლოდ 0.02-ით. ამრიგად, √68 = 8.246. მისი ჩანაცვლებით x 1,2 ფორმულაში, მივიღებთ:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 და x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

როგორც ვხედავთ, ნაპოვნი რიცხვების ჯამი მართლაც 4-ის ტოლია, მაგრამ თუ მათ ნამრავლს ვიპოვით, მაშინ უდრის -12,999, რომელიც აკმაყოფილებს ამოცანის პირობებს 0,001 სიზუსტით.

ჩვენ ვაგრძელებთ თემის შესწავლას ” განტოლებების ამოხსნა" ჩვენ უკვე გავეცანით წრფივ განტოლებებს და გადავდივართ გაცნობაზე კვადრატული განტოლებები.

პირველ რიგში, ჩვენ გადავხედავთ რა არის კვადრატული განტოლება, როგორ იწერება იგი ზოგადი ფორმით და მივცემთ შესაბამის განმარტებებს. ამის შემდეგ, ჩვენ გამოვიყენებთ მაგალითებს, რათა დეტალურად გამოვიკვლიოთ, თუ როგორ ამოიხსნება არასრული კვადრატული განტოლებები. შემდეგ გადავალთ სრული განტოლებების ამოხსნაზე, მივიღებთ ფესვის ფორმულას, გავეცნობით კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტს და განვიხილავთ ტიპიური მაგალითების ამონახსნებს. და ბოლოს, მოდით მივყვეთ კავშირებს ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის კვადრატული განტოლება? მათი ტიპები

ჯერ ნათლად უნდა გესმოდეთ რა არის კვადრატული განტოლება. მაშასადამე, ლოგიკურია კვადრატული განტოლებების შესახებ საუბრის დაწყება კვადრატული განტოლების განმარტებით, ასევე მასთან დაკავშირებული განმარტებებით. ამის შემდეგ შეგიძლიათ განიხილოთ კვადრატული განტოლებების ძირითადი ტიპები: შემცირებული და შეუმცირებელი, ასევე სრული და არასრული განტოლებები.

კვადრატული განტოლებების განმარტება და მაგალითები

განმარტება.

Კვადრატული განტოლებაარის ფორმის განტოლება a x 2 +b x+c=0, სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი, ხოლო a არის არა ნულოვანი.

დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ კვადრატულ განტოლებებს ხშირად მეორე ხარისხის განტოლებებს უწოდებენ. ეს იმის გამო ხდება, რომ კვადრატული განტოლება არის ალგებრული განტოლებამეორე ხარისხი.

აღნიშნული განმარტება საშუალებას გვაძლევს მოვიყვანოთ კვადრატული განტოლებების მაგალითები. ანუ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 და ა.შ. ეს არის კვადრატული განტოლებები.

განმარტება.

ნომრები a, b და c ეწოდება კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები a·x 2 +b·x+c=0 და a კოეფიციენტს ეწოდება პირველი, ან უმაღლესი, ან x 2-ის კოეფიციენტი, b არის მეორე კოეფიციენტი, ან x-ის კოეფიციენტი და c არის თავისუფალი წევრი. .

მაგალითად, ავიღოთ 5 x 2 −2 x −3=0 ფორმის კვადრატული განტოლება, აქ წამყვანი კოეფიციენტია 5, მეორე კოეფიციენტი −2, ხოლო თავისუფალი წევრი −3. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ როდესაც b და/ან c კოეფიციენტები უარყოფითია, როგორც ახლახან მოცემულ მაგალითში, კვადრატული განტოლების მოკლე ფორმაა 5 x 2 −2 x−3=0, ვიდრე 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

აღსანიშნავია, რომ როდესაც a და/ან b კოეფიციენტები უდრის 1-ს ან −1-ს, ისინი, როგორც წესი, აშკარად არ არის წარმოდგენილი კვადრატულ განტოლებაში, რაც განპირობებულია ასეთი ჩაწერის თავისებურებებით. მაგალითად, კვადრატულ განტოლებაში y 2 −y+3=0 წამყვანი კოეფიციენტია ერთი, ხოლო y-ის კოეფიციენტი ტოლია −1-ის.

შემცირებული და შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებები

წამყვანი კოეფიციენტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე განასხვავებენ შემცირებულ და შეუმცირებელ კვადრატულ განტოლებებს. მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტებები.

განმარტება.

კვადრატული განტოლება, რომელშიც წამყვანი კოეფიციენტი არის 1, ეწოდება მოცემული კვადრატული განტოლება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, კვადრატული განტოლება არის ხელუხლებელი.

Მიხედვით ამ განმარტებას, კვადრატული განტოლებები x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 და ა.შ. – მოცემული, თითოეულ მათგანში პირველი კოეფიციენტი უდრის ერთს. A 5 x 2 −x−1=0 და ა.შ. - შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებები, მათი წამყვანი კოეფიციენტები განსხვავდება 1-ისგან.

ნებისმიერი შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებიდან, ორივე მხარის წამყვან კოეფიციენტზე გაყოფით, შეგიძლიათ გადახვიდეთ შემცირებულზე. ეს მოქმედება არის ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია, ანუ ამ გზით მიღებულ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას აქვს იგივე ფესვები, რაც თავდაპირველ შეუმცირებელ კვადრატულ განტოლებას, ან, როგორც მას, არ აქვს ფესვები.

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ ხდება გადასვლა შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებიდან შემცირებულზე.

მაგალითი.

3 x 2 +12 x−7=0 განტოლებიდან გადადით შესაბამის შემცირებულ კვადრატულ განტოლებაზე.

გამოსავალი.

ჩვენ უბრალოდ უნდა გავყოთ ორიგინალური განტოლების ორივე მხარე წამყვან კოეფიციენტზე 3, ის არ არის ნულოვანი, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ ეს მოქმედება. გვაქვს (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, რაც იგივეა, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 და შემდეგ (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, საიდანაც . ასე მივიღეთ შემცირებული კვადრატული განტოლება, რომელიც ორიგინალის ტოლფასია.

პასუხი:

სრული და არასრული კვადრატული განტოლებები

კვადრატული განტოლების განმარტება შეიცავს a≠0 პირობას. ეს პირობა აუცილებელია იმისათვის, რომ განტოლება a x 2 + b x + c = 0 იყოს კვადრატული, რადგან როდესაც a = 0 ის რეალურად ხდება b x + c = 0 ფორმის წრფივი განტოლება.

რაც შეეხება b და c კოეფიციენტებს, ისინი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, როგორც ცალკე, ისე ერთად. ამ შემთხვევებში კვადრატულ განტოლებას არასრული ეწოდება.

განმარტება.

კვადრატული განტოლება a x 2 +b x+c=0 ეწოდება არასრული, თუ b, c კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია.

თავის მხრივ

განმარტება.

სრული კვადრატული განტოლებაარის განტოლება, რომელშიც ყველა კოეფიციენტი განსხვავდება ნულიდან.

ასეთი სახელები შემთხვევით არ დასახელებულა. ეს ცხადი გახდება შემდეგი დისკუსიებიდან.

თუ b კოეფიციენტი არის ნული, მაშინ კვადრატული განტოლება იღებს ფორმას a·x 2 +0·x+c=0 და ის ტოლია a·x 2 +c=0 განტოლების. თუ c=0, ანუ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა a·x 2 +b·x+0=0, მაშინ ის შეიძლება გადაიწეროს როგორც a·x 2 +b·x=0. ხოლო b=0 და c=0-ით მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას a·x 2 =0. მიღებული განტოლებები განსხვავდება სრული კვადრატული განტოლებისგან იმით, რომ მათი მარცხენა მხარეები არ შეიცავს არც ცვლადთან x ტერმინს, არც თავისუფალ წევრს და არც ორივეს. აქედან მოდის მათი სახელწოდება - არასრული კვადრატული განტოლებები.

ასე რომ, განტოლებები x 2 +x+1=0 და −2 x 2 −5 x+0.2=0 არის სრული კვადრატული განტოლებების მაგალითები და x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 არასრული კვადრატული განტოლებებია.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

წინა აბზაცში მოცემული ინფორმაციადან გამომდინარეობს, რომ არსებობს სამი სახის არასრული კვადრატული განტოლება:

a·x 2 =0, მას შეესაბამება b=0 და c=0 კოეფიციენტები;
a x 2 +c=0 როდესაც b=0 ;
და a·x 2 +b·x=0 როცა c=0.

მოდით განვიხილოთ თანმიმდევრობით, თუ როგორ არის ამოხსნილი თითოეული ამ ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებები.

a x 2 =0

დავიწყოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნით, რომლებშიც b და c კოეფიციენტები ნულის ტოლია, ანუ a x 2 =0 ფორმის განტოლებებით. განტოლება a·x 2 =0 უდრის განტოლებას x 2 =0, რომელიც მიიღება ორიგინალიდან ორივე ნაწილის გაყოფით არანულოვანი რიცხვით a. ცხადია, x 2 =0 განტოლების ფესვი არის ნული, ვინაიდან 0 2 =0. ამ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს, რაც აიხსნება იმით, რომ ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვისთვის p მოქმედებს უტოლობა p 2 >0, რაც ნიშნავს, რომ p≠0 ტოლობის p 2 =0 არასოდეს მიიღწევა.

ასე რომ, არასრულ კვადრატულ განტოლებას a·x 2 =0 აქვს ერთი ფესვი x=0.

მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ ამოხსნას არასრული კვადრატული განტოლების −4 x 2 =0. იგი უდრის განტოლებას x 2 =0, მისი ერთადერთი ფესვი არის x=0, შესაბამისად, თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ძირი ნული.

მოკლე გამოსავალი ამ შემთხვევაში შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

ახლა ვნახოთ, როგორ იხსნება არასრული კვადრატული განტოლებები, რომლებშიც b კოეფიციენტი არის ნული და c≠0, ანუ a x 2 +c=0 ფორმის განტოლებები. ჩვენ ვიცით, რომ ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი მხრიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშანი, ისევე როგორც განტოლების ორივე მხარის არანულოვანი რიცხვით გაყოფა იძლევა ეკვივალენტურ განტოლებას. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია განვახორციელოთ არასრული კვადრატული განტოლების შემდეგი ეკვივალენტური გარდაქმნები a x 2 +c=0:

გადაიტანეთ c მარჯვენა მხარეს, რაც იძლევა განტოლებას a x 2 =−c,
და გავყოთ ორივე მხარე a-ზე, მივიღებთ .

მიღებული განტოლება საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ დასკვნები მისი ფესვების შესახებ. a და c მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, გამოხატვის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს უარყოფითი (მაგალითად, თუ a=1 და c=2, მაშინ ) ან დადებითი (მაგალითად, თუ a=−2 და c=6, მაშინ ), ის არ არის ნული, რადგან პირობით c≠0. ცალ-ცალკე გადავხედოთ შემთხვევებს.

თუ , მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები. ეს განცხადება გამომდინარეობს იქიდან, რომ ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი არის არაუარყოფითი რიცხვი. აქედან გამომდინარეობს, რომ როდესაც , მაშინ ნებისმიერი p რიცხვისთვის ტოლობა არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი.

თუ , მაშინ განტოლების ფესვებთან სიტუაცია განსხვავებულია. ამ შემთხვევაში, თუ გვახსოვს შესახებ, მაშინ განტოლების ფესვი მაშინვე აშკარა ხდება; ეს არის რიცხვი, ვინაიდან . ადვილი მისახვედრია, რომ რიცხვი ასევე არის განტოლების ფესვი, მართლაც, . ამ განტოლებას არ აქვს სხვა ფესვები, რაც შეიძლება ნაჩვენები იყოს, მაგალითად, წინააღმდეგობით. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

მოდით აღვნიშნოთ x 1 და −x 1-ად გამოცხადებული განტოლების ფესვები. დავუშვათ, რომ განტოლებას აქვს კიდევ ერთი ფესვი x 2, რომელიც განსხვავდება მითითებული ფესვებისგან x 1 და −x 1. ცნობილია, რომ მისი ფესვების განტოლებით ჩანაცვლება x-ის ნაცვლად განტოლებას აქცევს სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში. x 1-სთვის და −x 1-ისთვის გვაქვს , ხოლო x 2-ისთვის გვაქვს . რიცხვითი ტოლობების თვისებები საშუალებას გვაძლევს შევასრულოთ სწორი რიცხვითი ტოლობების გამოკლება ტერმინებით, ამიტომ ტოლობების შესაბამისი ნაწილების გამოკლება იძლევა x 1 2 −x 2 2 =0. რიცხვებთან მოქმედებების თვისებები საშუალებას გვაძლევს გადავწეროთ მიღებული ტოლობა როგორც (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. ჩვენ ვიცით, რომ ორი რიცხვის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ერთი მათგანი მაინც ნულის ტოლია. მაშასადამე, მიღებული ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 −x 2 =0 და/ან x 1 +x 2 =0, რაც იგივეა, x 2 =x 1 და/ან x 2 =−x 1. ასე მივედით წინააღმდეგობამდე, რადგან დასაწყისში ვთქვით, რომ x 2 განტოლების ფესვი განსხვავდება x 1 და −x 1-ისგან. ეს ადასტურებს, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები გარდა და.

მოდით შევაჯამოთ ინფორმაცია ამ პუნქტში. არასრული კვადრატული განტოლება a x 2 +c=0 უდრის იმ განტოლებას, რომელიც

ფესვები არ აქვს, თუ
აქვს ორი ფესვი და თუ .

განვიხილოთ a·x 2 +c=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები.

დავიწყოთ კვადრატული განტოლებით 9 x 2 +7=0. თავისუფალი წევრის განტოლების მარჯვენა მხარეს გადატანის შემდეგ ის მიიღებს 9 x 2 =−7 ფორმას. მიღებული განტოლების ორივე მხარეს 9-ზე გავყოფთ, მივიღებთ . ვინაიდან მარჯვენა მხარეს აღმოჩნდა უარყოფითი რიცხვი, მაშინ ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, შესაბამისად, თავდაპირველ არასრულ კვადრატულ განტოლებას 9 x 2 +7=0 ფესვები არ აქვს.

ამოხსნათ კიდევ ერთი არასრული კვადრატული განტოლება −x 2 +9=0. ცხრას გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს: −x 2 =−9. ახლა ორივე მხარეს ვყოფთ −1-ზე, მივიღებთ x 2 =9. მარჯვენა მხარეს არის დადებითი რიცხვი, საიდანაც ვასკვნით, რომ ან . შემდეგ ვწერთ საბოლოო პასუხს: არასრულ კვადრატულ განტოლებას −x 2 +9=0 აქვს ორი ფესვი x=3 ან x=−3.

a x 2 +b x=0

რჩება საქმე ბოლო ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნასთან c=0-ისთვის. x 2 + b x = 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლებები საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ ფაქტორიზაციის მეთოდი. ცხადია, ჩვენ შეგვიძლია განტოლების მარცხენა მხარეს განლაგებული, რისთვისაც საკმარისია ფრჩხილებიდან ამოიღოთ საერთო x ფაქტორი. ეს საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ორიგინალური არასრული კვადრატული განტოლებიდან x·(a·x+b)=0 ფორმის ეკვივალენტურ განტოლებაზე. და ეს განტოლება უდრის ორი განტოლების სიმრავლეს x=0 და a·x+b=0, რომელთაგან ეს უკანასკნელი წრფივია და აქვს ფესვი x=−b/a.

ასე რომ, არასრულ კვადრატულ განტოლებას a·x 2 +b·x=0 აქვს ორი ფესვი x=0 და x=−b/a.

მასალის კონსოლიდაციის მიზნით, ჩვენ გავაანალიზებთ კონკრეტული მაგალითის გადაწყვეტას.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.

x-ის ფრჩხილებიდან ამოღება იძლევა განტოლებას. იგი უდრის ორ განტოლებას x=0 და . ვხსნით მიღებულ წრფივ განტოლებას: , და ვყოფთ შერეულ რიცხვს საერთო წილადი, ჩვენ ვიპოვეთ . მაშასადამე, საწყისი განტოლების ფესვებია x=0 და .

საჭირო პრაქტიკის მოპოვების შემდეგ, ასეთი განტოლებების ამონახსნები შეიძლება მოკლედ დაიწეროს:

პასუხი:

x=0, .

დისკრიმინანტი, კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად, არსებობს ფესვის ფორმულა. მოდი ჩავწეროთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა: , სად D=b 2 −4 a c- ე. წ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი. ჩანაწერი არსებითად ნიშნავს იმას.

სასარგებლოა იმის ცოდნა, თუ როგორ იქნა მიღებული ფესვის ფორმულა და როგორ გამოიყენება ის კვადრატული განტოლებების ფესვების მოსაძებნად. მოდით გავარკვიოთ ეს.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

დაგვჭირდება ამოხსნათ კვადრატული განტოლება a·x 2 +b·x+c=0. მოდით შევასრულოთ რამდენიმე ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია:

ჩვენ შეგვიძლია ამ განტოლების ორივე მხარე გავყოთ არანულოვანი რიცხვით a, რის შედეგადაც მივიღებთ შემდეგ კვადრატულ განტოლებას.
ახლა აირჩიეთ სრული კვადრატიმის მარცხენა მხარეს: . ამის შემდეგ, განტოლება მიიღებს ფორმას.
ამ ეტაპზე შესაძლებელია ბოლო ორი ტერმინის მარჯვნივ გადატანა საპირისპირო ნიშნით, გვაქვს .
და მოდი ასევე გადავცვალოთ გამოთქმა მარჯვენა მხარეს: .

შედეგად მივდივართ განტოლებამდე, რომელიც ექვივალენტურია თავდაპირველი კვადრატული განტოლებისა a·x 2 +b·x+c=0.

წინა აბზაცებში, როდესაც განვიხილეთ, მსგავსი განტოლებები უკვე გადავჭრით. ეს საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ შემდეგი დასკვნებიგანტოლების ფესვებთან დაკავშირებით:

თუ , მაშინ განტოლებას არ აქვს რეალური ამონახსნები;
თუ , მაშინ განტოლებას აქვს ფორმა, მაშასადამე, , საიდანაც ჩანს მისი ერთადერთი ფესვი;
თუ , მაშინ ან , რომელიც იგივეა რაც ან , ანუ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

ამრიგად, განტოლების ფესვების არსებობა ან არარსებობა და, შესაბამისად, ორიგინალური კვადრატული განტოლება დამოკიდებულია გამოხატვის ნიშანზე მარჯვენა მხარეს. თავის მხრივ, ამ გამოხატვის ნიშანი განისაზღვრება მრიცხველის ნიშნით, ვინაიდან მნიშვნელი 4·a 2 ყოველთვის დადებითია, ანუ b 2 −4·a·c გამოხატვის ნიშნით. ეს გამონათქვამი b 2 −4 a c ეწოდა კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტიდა დანიშნულია წერილით დ. აქედან ირკვევა დისკრიმინანტის არსი - მისი მნიშვნელობიდან და ნიშნიდან გამომდინარე ასკვნიან, აქვს თუ არა კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები და თუ ასეა, რა არის მათი რიცხვი - ერთი ან ორი.

დავუბრუნდეთ განტოლებას და გადავიწეროთ დისკრიმინაციული აღნიშვნის გამოყენებით: . და ჩვენ ვაკეთებთ დასკვნებს:

თუ დ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
თუ D=0, მაშინ ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი;
დაბოლოს, თუ D>0, მაშინ განტოლებას აქვს ორი ფესვი ან, რომელიც შეიძლება გადაიწეროს ან სახით და წილადების გაფართოებისა და საერთო მნიშვნელამდე მიყვანის შემდეგ მივიღებთ.

ასე რომ, ჩვენ გამოვიყვანეთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები, ისინი ჰგავს , სადაც დისკრიმინანტი D გამოითვლება ფორმულით D=b 2 −4·a·c.

მათი დახმარებით, დადებითი დისკრიმინანტით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ კვადრატული განტოლების ორივე რეალური ფესვი. როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, ორივე ფორმულა იძლევა ფესვის ერთსა და იმავე მნიშვნელობას, რაც შეესაბამება კვადრატული განტოლების უნიკალურ ამონახსნებს. და უარყოფითი დისკრიმინაციით, როდესაც ვცდილობთ გამოვიყენოთ ფორმულა კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის, ჩვენ ვაწყდებით უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღებას, რაც მიგვიყვანს ფარგლებს მიღმა და სკოლის სასწავლო გეგმა. უარყოფითი დისკრიმინანტით, კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, მაგრამ აქვს წყვილი რთული კონიუგატიფესვები, რომელთა ნახვა შესაძლებელია ჩვენ მიერ მიღებული იგივე ფესვის ფორმულების გამოყენებით.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი ფესვის ფორმულების გამოყენებით

პრაქტიკაში, კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გამოიყენოთ ფესვის ფორმულა მათი მნიშვნელობების გამოსათვლელად. მაგრამ ეს უფრო რთული ფესვების პოვნას უკავშირდება.

თუმცა, სასკოლო ალგებრის კურსში ჩვეულებრივ ვსაუბრობთ არა კომპლექსურ, არამედ კვადრატული განტოლების რეალურ ფესვებზე. ამ შემთხვევაში, მიზანშეწონილია, სანამ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებს გამოიყენებთ, ჯერ იპოვნეთ დისკრიმინანტი, დარწმუნდით, რომ ის არაუარყოფითია (წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები). და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოთვალეთ ფესვების მნიშვნელობები.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ კვადრატული განტოლების ამოხსნის ალგორითმი. a x 2 +b x+c=0 კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა:

დისკრიმინაციული ფორმულის გამოყენებით D=b 2 −4·a·c გამოთვალეთ მისი მნიშვნელობა;
დავასკვნათ, რომ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია;
გამოთვალეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი ფორმულის გამოყენებით, თუ D=0;
იპოვეთ კვადრატული განტოლების ორი რეალური ფესვი ფესვის ფორმულის გამოყენებით, თუ დისკრიმინანტი დადებითია.

აქ უბრალოდ აღვნიშნავთ, რომ თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა; ის მისცემს იგივე მნიშვნელობას, რაც .

შეგიძლიათ გადახვიდეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის გამოყენების მაგალითებზე.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

განვიხილოთ სამი კვადრატული განტოლების ამონახსნები დადებითი, უარყოფითი და ნულოვანი დისკრიმინანტით. მათი ამოხსნის შემდეგ, ანალოგიით შესაძლებელი იქნება ნებისმიერი სხვა კვადრატული განტოლების ამოხსნა. Მოდით დავიწყოთ.

მაგალითი.

იპოვეთ x 2 +2·x−6=0 განტოლების ფესვები.

გამოსავალი.

ამ შემთხვევაში გვაქვს კვადრატული განტოლების შემდეგი კოეფიციენტები: a=1, b=2 და c=−6. ალგორითმის მიხედვით, ჯერ უნდა გამოთვალოთ დისკრიმინანტი; ამისათვის ჩვენ ვცვლით მითითებულ a, b და c დისკრიმინაციულ ფორმულას, გვაქვს D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. ვინაიდან 28>0, ანუ დისკრიმინანტი მეტია ნულზე, კვადრატულ განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი root ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ , აქ შეგიძლიათ გაამარტივოთ მიღებული გამონათქვამები ამით მულტიპლიკატორის გადატანა ძირეული ნიშნის მიღმარასაც მოჰყვება წილადის შემცირება:

პასუხი:

მოდით გადავიდეთ შემდეგ ტიპურ მაგალითზე.

მაგალითი.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება −4 x 2 +28 x−49=0 .

გამოსავალი.

ჩვენ ვიწყებთ დისკრიმინანტის პოვნას: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, რომელსაც ვპოულობთ, როგორც, ანუ,

პასუხი:

x=3.5.

რჩება განიხილოს კვადრატული განტოლებების ამოხსნა უარყოფითი დისკრიმინანტით.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება 5·y 2 +6·y+2=0.

გამოსავალი.

აქ მოცემულია კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები: a=5, b=6 და c=2. ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობებს დისკრიმინაციულ ფორმულაში, გვაქვს D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. დისკრიმინანტი უარყოფითია, შესაბამისად, ამ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები არ აქვს.

თუ საჭიროა რთული ფესვების მითითება, მაშინ გამოიყენეთ ცნობილი ფორმულაკვადრატული განტოლების ფესვები და შეასრულეთ ოპერაციები რთული რიცხვებით:

პასუხი:

არ არსებობს ნამდვილი ფესვები, რთული ფესვებია: .

კიდევ ერთხელ აღვნიშნოთ, რომ თუ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ სკოლაში ისინი ჩვეულებრივ დაუყოვნებლივ წერენ პასუხს, რომელშიც მიუთითებენ, რომ არ არსებობს რეალური ფესვები და რთული ფესვები არ არის ნაპოვნი.

ძირეული ფორმულა თუნდაც მეორე კოეფიციენტებისთვის

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა, სადაც D=b 2 −4·a·c საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ უფრო კომპაქტური ფორმის ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები ლუწი კოეფიციენტით x-ისთვის (ან უბრალოდ კოეფიციენტი, რომელსაც აქვს ფორმა 2·n, მაგალითად, ან 14· ln5=2·7·ln5 ). მოდით გამოვიყვანოთ იგი.

ვთქვათ, უნდა ამოხსნათ a x 2 +2 n x+c=0 ფორმის კვადრატული განტოლება. მოდი ვიპოვოთ მისი ფესვები ჩვენთვის ცნობილი ფორმულის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)და შემდეგ ვიყენებთ root ფორმულას:

გამოთქმა n 2 −a c ავღნიშნოთ როგორც D 1 (ზოგჯერ აღინიშნება D "). შემდეგ განხილული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა მეორე კოეფიციენტით 2 n მიიღებს ფორმას. , სადაც D 1 =n 2 −a·c.

ადვილი დასანახია, რომ D=4·D 1, ან D 1 =D/4. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, D 1 არის დისკრიმინანტის მეოთხე ნაწილი. ნათელია, რომ D 1-ის ნიშანი იგივეა, რაც D-ის ნიშანი. ანუ, ნიშანი D 1 ასევე არის კვადრატული განტოლების ფესვების არსებობის ან არარსებობის მაჩვენებელი.

ასე რომ, კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად მეორე კოეფიციენტით 2·n გჭირდებათ

გამოთვალეთ D 1 =n 2 −a·c ;
თუ D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
თუ D 1 =0, მაშინ გამოთვალეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი ფორმულის გამოყენებით;
თუ D 1 >0, მაშინ იპოვეთ ორი რეალური ფესვი ფორმულის გამოყენებით.

განვიხილოთ მაგალითის ამოხსნა ამ აბზაცში მიღებული ძირეული ფორმულის გამოყენებით.

მაგალითი.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება 5 x 2 −6 x −32=0 .

გამოსავალი.

ამ განტოლების მეორე კოეფიციენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2·(−3) . ანუ, შეგიძლიათ გადაწეროთ ორიგინალური კვადრატული განტოლება სახით 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, აქ a=5, n=−3 და c=−32 და გამოთვალოთ მეოთხე ნაწილი. დისკრიმინანტი: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. ვინაიდან მისი მნიშვნელობა დადებითია, განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი შესაბამისი root ფორმულის გამოყენებით:

გაითვალისწინეთ, რომ შესაძლებელი იყო ჩვეულებრივი ფორმულის გამოყენება კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის, მაგრამ ამ შემთხვევაში უფრო მეტი გამოთვლითი სამუშაო უნდა შესრულდეს.

პასუხი:

კვადრატული განტოლებების ფორმის გამარტივება

ზოგჯერ, სანამ ფორმულების გამოყენებით კვადრატული განტოლების ფესვების გამოთვლას დავიწყებთ, არ არის ცუდი დავსვათ კითხვა: "შესაძლებელია თუ არა ამ განტოლების ფორმის გამარტივება?" დამეთანხმებით, რომ გამოთვლებით უფრო ადვილი იქნება 11 x 2 −4 x−6=0 კვადრატული განტოლების ამოხსნა, ვიდრე 1100 x 2 −400 x−600=0.

როგორც წესი, კვადრატული განტოლების ფორმის გამარტივება მიიღწევა ორივე მხარის გარკვეულ რიცხვზე გამრავლებით ან გაყოფით. მაგალითად, წინა აბზაცში შესაძლებელი იყო 1100 x 2 −400 x −600=0 განტოლების გამარტივება ორივე მხარის 100-ზე გაყოფით.

მსგავსი ტრანსფორმაცია ხორციელდება კვადრატული განტოლებით, რომელთა კოეფიციენტები არ არის. ამ შემთხვევაში, განტოლების ორივე მხარე ჩვეულებრივ იყოფა მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობებით. მაგალითად, ავიღოთ კვადრატული განტოლება 12 x 2 −42 x+48=0. მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობები: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. თავდაპირველი კვადრატული განტოლების ორივე მხარეს გავყოფთ 6-ზე, მივიღებთ ეკვივალენტურ კვადრატულ განტოლებას 2 x 2 −7 x+8=0.

და კვადრატული განტოლების ორივე მხარის გამრავლება ჩვეულებრივ ხდება წილადის კოეფიციენტების მოსაშორებლად. ამ შემთხვევაში გამრავლება ხორციელდება მისი კოეფიციენტების მნიშვნელებით. მაგალითად, თუ კვადრატული განტოლების ორივე მხარე გამრავლებულია LCM(6, 3, 1)=6-ზე, მაშინ ის უფრო მარტივ ფორმას მიიღებს x 2 +4·x−18=0.

ამ პუნქტის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ ისინი თითქმის ყოველთვის ათავისუფლებენ მინუსს კვადრატული განტოლების უმაღლეს კოეფიციენტზე, ყველა წევრის ნიშნების შეცვლით, რაც შეესაბამება ორივე მხარის −1-ზე გამრავლებას (ან გაყოფას). მაგალითად, ჩვეულებრივ, ადამიანი გადადის კვადრატული განტოლებიდან −2 x 2 −3 x+7=0 ამონახსნისკენ 2 x 2 +3 x−7=0 .

კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის კავშირი

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა გამოხატავს განტოლების ფესვებს მისი კოეფიციენტების საშუალებით. ფესვების ფორმულის საფუძველზე, შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა ურთიერთობები ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

ვიეტას თეორემიდან ყველაზე ცნობილი და გამოსაყენებელი ფორმულებია ფორმის და. კერძოდ, მოცემული კვადრატული განტოლებისთვის ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს. მაგალითად, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 კვადრატული განტოლების ფორმის დათვალიერებით, მაშინვე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მისი ფესვების ჯამი უდრის 7/3-ს, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია 22-ის. /3.

უკვე დაწერილი ფორმულების გამოყენებით, შეგიძლიათ მიიღოთ მრავალი სხვა კავშირი კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის. მაგალითად, შეგიძლიათ გამოვხატოთ კვადრატული განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი მისი კოეფიციენტებით: .

ბიბლიოგრაფია.

Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე ნაწილი 1. სახელმძღვანელო მოსწავლეებისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.

“, ანუ პირველი ხარისხის განტოლებები. ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ რასაც კვადრატული განტოლება ჰქვიადა როგორ მოვაგვაროთ.

რა არის კვადრატული განტოლება?

Მნიშვნელოვანი!

განტოლების ხარისხი განისაზღვრება უცნობის უმაღლესი ხარისხით.

თუ მაქსიმალური სიმძლავრე, რომელშიც უცნობია "2", მაშინ თქვენ გაქვთ კვადრატული განტოლება.

კვადრატული განტოლებების მაგალითები

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0.25x = 0
x 2 − 8 = 0

Მნიშვნელოვანი! კვადრატული განტოლების ზოგადი ფორმა ასე გამოიყურება:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" და "c" მოცემულია ნომრები.

"a" არის პირველი ან უმაღლესი კოეფიციენტი;
„ბ“ არის მეორე კოეფიციენტი;
"c" არის თავისუფალი წევრი.

"a", "b" და "c"-ს საპოვნელად თქვენ უნდა შეადაროთ თქვენი განტოლება კვადრატული განტოლების ზოგად ფორმას "ax 2 + bx + c = 0".

ვივარჯიშოთ კვადრატულ განტოლებებში „ა“, „ბ“ და „გ“ კოეფიციენტების განსაზღვრაში.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

განტოლება	შანსები
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

= 0

a = −1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0.25x = 0

a = 1
b = 0.25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = −8

როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები

წრფივი განტოლებისგან განსხვავებით, კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად გამოიყენება სპეციალური მეთოდი. ფესვების პოვნის ფორმულა.

გახსოვდეს!

კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა:

შეამცირეთ კვადრატული განტოლება იერი"ცული 2 + bx + c = 0". ანუ, მხოლოდ "0" უნდა დარჩეს მარჯვენა მხარეს;
გამოიყენეთ ფორმულა ფესვებისთვის:

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ გამოვიყენოთ ფორმულა კვადრატული განტოლების ფესვების მოსაძებნად. ამოხსნათ კვადრატული განტოლება.

X 2 − 3x − 4 = 0

განტოლება „x 2 − 3x − 4 = 0“ უკვე დაყვანილია ზოგადი ფორმით „ax 2 + bx + c = 0“ და არ საჭიროებს დამატებით გამარტივებებს. მის გადასაჭრელად, ჩვენ უბრალოდ უნდა მიმართოთ კვადრატული განტოლების ფესვების მოძიების ფორმულა.

მოდით განვსაზღვროთ კოეფიციენტები "a", "b" და "c" ამ განტოლებისთვის.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

მისი გამოყენება შესაძლებელია ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად.

ფორმულაში "x 1; 2 = " რადიკალური გამოხატულება ხშირად იცვლება
"b 2 − 4ac" ასო "D"-სთვის და ეწოდება დისკრიმინანტი. დისკრიმინანტის ცნება უფრო დეტალურად არის განხილული გაკვეთილზე „რა არის დისკრიმინანტი“.

მოდით შევხედოთ კვადრატული განტოლების სხვა მაგალითს.

x 2 + 9 + x = 7x

ამ ფორმით საკმაოდ რთულია „ა“, „ბ“ და „გ“ კოეფიციენტების დადგენა. ჯერ განტოლება შევამციროთ ზოგად ფორმამდე „ax 2 + bx + c = 0“.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა ფესვებისთვის.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
პასუხი: x = 3

არის დრო, როდესაც კვადრატულ განტოლებებს ფესვები არ აქვთ. ეს სიტუაცია ხდება მაშინ, როდესაც ფორმულა შეიცავს უარყოფით რიცხვს ფესვის ქვეშ.

იმედი მაქვს, რომ ამ სტატიის შესწავლის შემდეგ გაიგებთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სრული კვადრატული განტოლების ფესვები.

დისკრიმინანტის გამოყენებით იხსნება მხოლოდ სრული კვადრატული განტოლებები, არასრული კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად გამოიყენება სხვა მეთოდები, რომლებსაც იხილავთ სტატიაში „არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა“.

რომელ კვადრატულ განტოლებებს ეწოდება სრული? ეს ax 2 + b x + c = 0 ფორმის განტოლებები, სადაც a, b და c კოეფიციენტები არ არის ნულის ტოლი. ასე რომ, სრული კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად, ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი D.

D = b 2 – 4ac.

დისკრიმინანტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, ჩვენ ჩამოვწერთ პასუხს.

თუ დისკრიმინანტი უარყოფითი რიცხვია (D< 0),то корней нет.

თუ დისკრიმინანტი არის ნული, მაშინ x = (-b)/2a. როდესაც დისკრიმინანტი დადებითი რიცხვია (D > 0),

შემდეგ x 1 = (-b - √D)/2a და x 2 = (-b + √D)/2a.

Მაგალითად. ამოხსენით განტოლება x 2- 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

პასუხი: 2.

ამოხსენით განტოლება 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

პასუხი: არ არის ფესვები.

ამოხსენით განტოლება 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

პასუხი: – 3,5; 1.

მოდით წარმოვიდგინოთ სრული კვადრატული განტოლებების ამონახსნი 1-ლი სქემის გამოყენებით.

ამ ფორმულების გამოყენებით შეგიძლიათ ამოხსნათ ნებისმიერი სრული კვადრატული განტოლება. თქვენ უბრალოდ უნდა იყოთ ფრთხილად განტოლება დაიწერა სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად

ა x 2 + bx + c,წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება შეცდომა დაუშვა. მაგალითად, x + 3 + 2x 2 = 0 განტოლების დაწერისას, შეგიძლიათ შეცდომით გადაწყვიტოთ, რომ

a = 1, b = 3 და c = 2. შემდეგ

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 და შემდეგ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. და ეს სიმართლეს არ შეესაბამება. (იხ. გამოსავალი მაგალითი 2 ზემოთ).

მაშასადამე, თუ განტოლება არ არის ჩაწერილი სტანდარტული ფორმის პოლინომად, ჯერ სრული კვადრატული განტოლება უნდა დაიწეროს სტანდარტული ფორმის პოლინომად (ყველაზე დიდი მაჩვენებლის მქონე მონომი პირველ რიგში უნდა მოვიდეს, ე.ი. ა x 2 , შემდეგ ნაკლებით – bxშემდეგ კი თავისუფალი წევრი თან.

შემცირებული კვადრატული განტოლებისა და ლუწი კოეფიციენტის მქონე კვადრატული განტოლების ამოხსნისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა ფორმულები. მოდით გავეცნოთ ამ ფორმულებს. თუ სრულ კვადრატულ განტოლებაში მეორე წევრს აქვს ლუწი კოეფიციენტი (b = 2k), მაშინ თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლება მე-2 დიაგრამაზე ნაჩვენები ფორმულების გამოყენებით.

სრულ კვადრატულ განტოლებას შემცირებული ეწოდება, თუ კოეფიციენტი არის x 2 უდრის ერთს და განტოლება იღებს ფორმას x 2 + px + q = 0. ასეთი განტოლება შეიძლება მივიღოთ ამოხსნისთვის, ან მისი მიღება შესაძლებელია განტოლების ყველა კოეფიციენტის კოეფიციენტზე გაყოფით ა, დგას x 2 .

ნახაზი 3 გვიჩვენებს შემცირებული კვადრატის ამოხსნის დიაგრამას
განტოლებები. მოდით შევხედოთ ამ სტატიაში განხილული ფორმულების გამოყენების მაგალითს.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება

3x 2 + 6x – 6 = 0.

მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება 1-ელ დიაგრამაზე ნაჩვენები ფორმულების გამოყენებით.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = -1 + √3

პასუხი: –1 – √3; –1 + √3

თქვენ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ x-ის კოეფიციენტი ამ განტოლებაში არის ლუწი რიცხვი, ანუ b = 6 ან b = 2k, საიდანაც k = 3. შემდეგ ვცადოთ განტოლების ამოხსნა D ფიგურის დიაგრამაზე ნაჩვენები ფორმულების გამოყენებით. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

პასუხი: –1 – √3; –1 + √3. შევამჩნიეთ, რომ ამ კვადრატულ განტოლებაში ყველა კოეფიციენტი იყოფა 3-ზე და გაყოფის შესრულებისას მივიღებთ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას x 2 + 2x – 2 = 0 ამ განტოლების ამოხსნას შემცირებული კვადრატის ფორმულების გამოყენებით.
განტოლებები ფიგურა 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

პასუხი: –1 – √3; –1 + √3.

როგორც ვხედავთ, ამ განტოლების ამოხსნისას სხვადასხვა ფორმულებიიგივე პასუხი მივიღეთ. მაშასადამე, 1-ელ სურათზე ნაჩვენები ფორმულების საფუძვლიანად ათვისების შემდეგ, თქვენ ყოველთვის შეძლებთ ამოხსნათ ნებისმიერი სრული კვადრატული განტოლება.

blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.

მოცემული იყოს კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0.
მოდით მივმართოთ კვადრატულ ტრინომულ ცულს 2 + bx + c იგივე გარდაქმნებს, რომლებიც ჩავატარეთ § 13-ში, როდესაც დავამტკიცეთ თეორემა, რომ y = ax 2 + bx + c ფუნქციის გრაფიკი პარაბოლაა.
Ჩვენ გვაქვს

ჩვეულებრივ გამონათქვამი b 2 - 4ac აღინიშნება ასო D-ით და ეწოდება კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი ax 2 + bx + c = 0 (ან კვადრატული ტრინომალური ცულის დისკრიმინანტი + bx + c).

ამგვარად

ეს ნიშნავს, რომ კვადრატული განტოლება ax 2 + მათ + c = O შეიძლება გადაიწეროს სახით

ნებისმიერი კვადრატული განტოლება შეიძლება გარდაიქმნას ფორმად (1), რაც მოსახერხებელია, როგორც ახლა დავინახავთ, რათა განვსაზღვროთ კვადრატული განტოლების ფესვების რაოდენობა და ვიპოვოთ ეს ფესვები.

მტკიცებულება. თუ დ< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время მარცხენა მხარეგანტოლება (1) იღებს არაუარყოფით მნიშვნელობებს x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ეს ნიშნავს, რომ არ არსებობს x-ის ერთი მნიშვნელობა, რომელიც დააკმაყოფილებს განტოლებას (1) და, შესაბამისად, განტოლებას (1) არ აქვს ფესვები.

მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება 2x 2 + 4x + 7 = 0.
გამოსავალი. აქ a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
მას შემდეგ, რაც დ< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

მტკიცებულება. თუ D = 0, მაშინ განტოლება (1) იღებს ფორმას

არის განტოლების ერთადერთი ფესვი.

შენიშვნა 1. გახსოვთ, რომ x = - არის პარაბოლის წვეროს აბსცისა, რომელიც ემსახურება y = ax 2 + მათ + c ფუნქციის გრაფიკს? Რატომ ეს
მნიშვნელობა აღმოჩნდა კვადრატული განტოლების ერთადერთი ფესვი ცული 2 + მათ + c - 0? "კუდა" იხსნება უბრალოდ: თუ D არის 0, მაშინ, როგორც ადრე დავადგინეთ,

იგივე ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელსაც აქვს წვერო წერტილში (იხ., მაგალითად, სურ. 98). ეს ნიშნავს, რომ პარაბოლის წვეროს აბსცისა და D = 0-ისთვის კვადრატული განტოლების ერთადერთი ფესვი ერთი და იგივე რიცხვია.

მაგალითი 2.ამოხსენით განტოლება 4x 2 - 20x + 25 = 0.
გამოსავალი. აქ a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

ვინაიდან D = 0, თეორემა 2-ით ამ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. ეს ფესვი ნაპოვნია ფორმულით

პასუხი: 2.5.

შენიშვნა 2. გაითვალისწინეთ, რომ 4x 2 - 20x +25 არის სრულყოფილი კვადრატი: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
ეს რომ მაშინვე შეგვენახა, განტოლებას ასე გადავწყვეტდით: (2x - 5) 2 = 0, რაც ნიშნავს 2x - 5 = 0, საიდანაც ვიღებთ x = 2.5. ზოგადად, თუ D = 0, მაშინ

ax 2 + bx + c = - ეს ადრე აღვნიშნეთ შენიშვნა 1-ში.
თუ D > 0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 აქვს ორი ფესვი, რომლებიც გვხვდება ფორმულებით

მტკიცებულება. მოდით გადავიწეროთ კვადრატული განტოლება ax 2 + b x + c = 0 სახით (1)

დავაყენოთ
პირობით, D > 0, რაც ნიშნავს, რომ განტოლების მარჯვენა მხარე დადებითი რიცხვია. შემდეგ (2) განტოლებიდან ვიღებთ ამას

ამრიგად, მოცემულ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

შენიშვნა 3. მათემატიკაში იშვიათად ხდება, რომ შემოღებულ ტერმინს არ ჰქონდეს, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ყოველდღიური ფონი. ავიღოთ რამე ახალი
ცნება - დისკრიმინაციული. გახსოვდეთ სიტყვა "დისკრიმინაცია". Რას ნიშნავს? ეს ნიშნავს ზოგიერთის დამცირებას და სხვის ამაღლებას, ე.ი. განსხვავებული დამოკიდებულება
სხვადასხვა ადამიანებისთვის. ორივე სიტყვა (დისკრიმინაცია და დისკრიმინაცია) მომდინარეობს ლათინური დისკრიმინანტებიდან - "დისკრიმინაციული". დისკრიმინანტი განასხვავებს კვადრატულ განტოლებებს ფესვების რაოდენობით.

მაგალითი 3.ამოხსენით განტოლება 3x 2 + 8x - 11 = 0.
გამოსავალი. აქ a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
ვინაიდან D > 0, თეორემა 3-ით ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ეს ფესვები გვხვდება ფორმულების მიხედვით (3)

სინამდვილეში, ჩვენ შევიმუშავეთ შემდეგი წესი:

განტოლების ამოხსნის წესი
ცული 2 + bx + c = 0

ეს წესი უნივერსალურია; ის ვრცელდება როგორც სრულ, ისე არასრულ კვადრატულ განტოლებებზე. თუმცა, არასრული კვადრატული განტოლებები ჩვეულებრივ არ იხსნება ამ წესის გამოყენებით; უფრო მოსახერხებელია მათი ამოხსნა, როგორც ეს გავაკეთეთ წინა აბზაცში.

მაგალითი 4.განტოლებების ამოხსნა:

ა) x 2 + 3x - 5 = 0; ბ) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; გ) 2x 2 -x + 3.5 = 0.

ამოხსნა ა) აქ a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

ვინაიდან D > 0, ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ჩვენ ვიპოვით ამ ფესვებს ფორმულების გამოყენებით (3)

ბ) როგორც გამოცდილება გვიჩვენებს, უფრო მოსახერხებელია საქმე კვადრატულ განტოლებებთან, რომლებშიც წამყვანი კოეფიციენტი დადებითია. ამიტომ, ჯერ განტოლების ორივე მხარე გავამრავლოთ -1-ზე, მივიღებთ

9x 2 - 6x + 1 = 0.
აქ a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
ვინაიდან D = 0, ამ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. ეს ფესვი გვხვდება ფორმულით x = -. ნიშნავს,

ეს განტოლება შეიძლება სხვაგვარად გადაწყდეს: ვინაიდან
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, მაშინ ვიღებთ განტოლებას (Зх - I) 2 = 0, საიდანაც ვპოულობთ Зх - 1 = 0, ანუ x = .

გ) აქ a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3.5= 1 - 28 = - 27. ვინაიდან დ< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

მათემატიკოსები პრაქტიკული, ეკონომიური ადამიანები არიან. რატომ გამოვიყენოთ ასეთი გრძელი წესი კვადრატული განტოლების გადასაჭრელად, მათი თქმით, უმჯობესია დაუყოვნებლივ დაწეროთ ზოგადი ფორმულა:

თუ აღმოჩნდება, რომ დისკრიმინანტი D = b 2 - 4ac არის უარყოფითი რიცხვი, მაშინ დაწერილ ფორმულას აზრი არ აქვს (კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ არის უარყოფითი რიცხვი), რაც ნიშნავს, რომ ფესვები არ არის. თუ აღმოჩნდება, რომ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, მაშინ მივიღებთ

ანუ ერთი ფესვი (ისინი ასევე ამბობენ, რომ ამ შემთხვევაში კვადრატულ განტოლებას ორი იდენტური ფესვი აქვს:

დაბოლოს, თუ აღმოჩნდება, რომ b 2 - 4ac > 0, მაშინ მივიღებთ ორ ფესვს x 1 და x 2, რომლებიც გამოითვლება იმავე ფორმულების გამოყენებით (3), როგორც ზემოთ იყო მითითებული.

თავად რიცხვი ამ შემთხვევაში დადებითია (როგორც ნებისმიერი Კვადრატული ფესვიდადებითი რიცხვიდან), ხოლო მის წინ ორმაგი ნიშანი ნიშნავს, რომ ერთ შემთხვევაში (x 1-ის პოვნისას) ეს დადებითი რიცხვი ემატება რიცხვს - b, ხოლო მეორე შემთხვევაში (x 2-ის პოვნისას) ეს დადებითი რიცხვია. ამოღებულია
წაიკითხეთ რიცხვიდან - ბ.

თქვენ გაქვთ არჩევანის თავისუფლება. გსურთ ამოხსნათ კვადრატული განტოლება დეტალურად ზემოთ ჩამოყალიბებული წესის გამოყენებით; თუ გსურთ, დაუყოვნებლივ ჩაწერეთ ფორმულა (4) და გამოიყენეთ იგი საჭირო დასკვნების გამოსატანად.

მაგალითი 5. განტოლებების ამოხსნა:

გამოსავალი, ა) რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულები (4) ან (3), იმის გათვალისწინებით, რომ ქ ამ შემთხვევაში მაგრამ რატომ ვაკეთებთ საქმეებს წილადებთან, როცა უფრო ადვილი და, რაც მთავარია, უფრო სასიამოვნოა მთელ რიცხვებთან ურთიერთობა? მოვიშოროთ მნიშვნელები. ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე 12-ით, ანუ იმ წილადების ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელით, რომლებიც ემსახურებიან განტოლების კოეფიციენტებს. ვიღებთ

საიდანაც 8x 2 + 10x - 7 = 0.

ახლა გამოვიყენოთ ფორმულა (4)

ბ) ისევ გვაქვს განტოლება წილადი კოეფიციენტებით: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. მოდით გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე 100-ზე, შემდეგ მივიღებთ განტოლებას მთელი რიცხვების კოეფიციენტებით:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (4):

მარტივი გამოთვლა აჩვენებს, რომ დისკრიმინანტი (რადიკალური გამოხატულება) არის უარყოფითი რიცხვი. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

მაგალითი 6.ამოხსენით განტოლება
გამოსავალი. აქ, წინა მაგალითისგან განსხვავებით, სასურველია ვიმოქმედოთ წესის მიხედვით, ვიდრე შემოკლებული ფორმულის მიხედვით (4).

გვაქვს a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. ვინაიდან D > 0, კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ ფორმულების გამოყენებით (3)

მაგალითი 7.ამოხსენით განტოლება
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

გამოსავალი. ეს კვადრატული განტოლება განსხვავდება აქამდე განხილული ყველა კვადრატული განტოლებისგან იმით, რომ კოეფიციენტები არის არა კონკრეტული რიცხვები, არამედ ასოების გამონათქვამები. ასეთ განტოლებებს ეწოდება განტოლებები ასოების კოეფიციენტებით ან განტოლებები პარამეტრებით. ამ შემთხვევაში პარამეტრი (ასო) p შედის მეორე კოეფიციენტში და განტოლების თავისუფალ წევრში.
მოდი ვიპოვოთ დისკრიმინანტი:

მაგალითი 8. ამოხსენით განტოლება px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
გამოსავალი. ეს ასევე არის განტოლება პარამეტრით p, მაგრამ, წინა მაგალითისგან განსხვავებით, მისი დაუყოვნებლივ ამოხსნა შეუძლებელია ფორმულების (4) ან (3) გამოყენებით. ფაქტია, რომ მითითებული ფორმულები გამოიყენება კვადრატულ განტოლებებზე, მაგრამ ამას ჯერ ვერ ვიტყვით მოცემულ განტოლებაზე. მართლაც, რა მოხდება, თუ p = 0? მერე
განტოლება მიიღებს 0 ფორმას. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, ანუ x - 1 = 0, საიდანაც ვიღებთ x = 1. ახლა, თუ ზუსტად იცით, რომ , მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულები კვადრატის ფესვებისთვის. განტოლება: