როგორ მოვძებნოთ ათობითი წილადის ფესვი. მრავალნიშნა რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღება

სოკოლოვი ლევ ვლადიმიროვიჩი, მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულების "ტუგულიმსკაია V(S)OSH" მე-8 კლასის მოსწავლე

სამუშაოს მიზანი:იპოვეთ და აჩვენეთ ამოღების მეთოდები კვადრატული ფესვები, რომლის გამოყენება შესაძლებელია ხელთ არსებული კალკულატორის გარეშე.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

რეგიონალური სამეცნიერო და პრაქტიკული კონფერენცია

ტუგულიმის ურბანული რაიონის სტუდენტები

დიდი რიცხვების კვადრატული ფესვების პოვნა კალკულატორის გარეშე

შემსრულებელი: ლევ სოკოლოვი,

MCOU "ტუგულიმსკაია V(S)OSH",

მე-8 კლასი

ხელმძღვანელი: სიდოროვა ტატიანა

ნიკოლაევნა

რ.პ. ტუგულიმი, 2016 წ

შესავალი 3

თავი 1. ფაქტორიზაციის მეთოდი 4

თავი 2. კვადრატული ფესვების ამოღება კუთხით 4

თავი 3. 6 ორნიშნა რიცხვების კვადრატების ცხრილის გამოყენების მეთოდი

თავი 4. ძველი ბაბილონის ფორმულა 6

თავი 6. კანადური მეთოდი 7

თავი 7. შერჩევის მეთოდის გამოცნობა 8

თავი 8. გამოკლების მეთოდი კენტი რიცხვისთვის 8

დასკვნა 10

გამოყენებული ლიტერატურა 11

დანართი 12

შესავალი

კვლევის აქტუალობა,როდესაც ამ სასწავლო წელს ვსწავლობდი კვადრატული ფესვების თემას, დავინტერესდი, როგორ შეიძლება დიდი რიცხვების კვადრატული ფესვის აღება კალკულატორის გარეშე.

დავინტერესდი და გადავწყვიტე ეს საკითხი უფრო ღრმად შემესწავლა, ვიდრე იყო ნათქვამი სკოლის სასწავლო გეგმა, და ასევე მოამზადეთ მინი წიგნი ყველაზე მარტივი გზებითდიდი რიცხვების კვადრატული ფესვების ამოღება კალკულატორის გარეშე.

სამუშაოს მიზანი: იპოვეთ და აჩვენეთ კვადრატული ფესვების ამოღების ის მეთოდები, რომელთა გამოყენება შესაძლებელია კალკულატორის ხელთ არსებული გარეშე.

Დავალებები:

1. შეისწავლეთ ლიტერატურა ამ საკითხთან დაკავშირებით.
2. განვიხილოთ თითოეული ნაპოვნი მეთოდის მახასიათებლები და მისი ალგორითმი.
3. ჩვენება პრაქტიკული გამოყენებამიღებული ცოდნა და შეფასება

სირთულის ხარისხი სხვადასხვა მეთოდებისა და ალგორითმების გამოყენებისას.

1. შექმენით მინი წიგნი ყველაზე საინტერესო ალგორითმებზე.

კვლევის ობიექტი:მათემატიკური სიმბოლოები კვადრატული ფესვებია.

კვლევის საგანი:კვადრატული ფესვების ამოღების მეთოდების მახასიათებლები კალკულატორის გარეშე.

Კვლევის მეთოდები:

1. კალკულატორის გარეშე დიდი რიცხვებიდან კვადრატული ფესვების ამოღების მეთოდებისა და ალგორითმების მოძიება.
2. ნაპოვნი მეთოდების შედარება.
3. მიღებული მეთოდების ანალიზი.

ყველამ იცის, რომ კვადრატული ფესვის აღება კალკულატორის გარეშე ძალიან რთულია.

დავალება. როდესაც ხელთ არ გვაქვს კალკულატორი, ვიწყებთ შერჩევის მეთოდის გამოყენებით, რათა შევეცადოთ დავიმახსოვროთ მონაცემები მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილიდან, მაგრამ ეს ყოველთვის არ გვეხმარება. მაგალითად, მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილი არ პასუხობს ისეთ კითხვებს, როგორიცაა, მაგალითად, 75, 37,885,108,18061 და სხვა ფესვების ამოღება, თუნდაც დაახლოებით.

ასევე, კალკულატორის გამოყენება ხშირად აკრძალულია OGE და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდების დროს.

მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილები, მაგრამ თქვენ უნდა ამოიღოთ 3136 ან 7056 ფესვი და ა.შ.

მაგრამ ამ თემაზე ლიტერატურის შესწავლისას გავიგე, რომ ფესვების აღება ასეთი რიცხვებიდან

შესაძლოა მაგიდის და კალკულატორის გარეშე ადამიანებმა მიკროკალკულატორის გამოგონებამდე დიდი ხნით ადრე ისწავლეს. ამ თემის შესწავლისას აღმოვაჩინე ამ პრობლემის გადაჭრის რამდენიმე გზა.

თავი 1. პირველ ფაქტორებად ფაქტორილიზაციის მეთოდი

კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, შეგიძლიათ რიცხვი აკრიფოთ მის პირველ ფაქტორებად და აიღოთ პროდუქტის კვადრატული ფესვი.

ეს მეთოდი ჩვეულებრივ გამოიყენება სკოლაში ფესვებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრისას.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 8

ბევრი ადამიანი წარმატებით იყენებს მას და მიიჩნევს, რომ ის ერთადერთია. ფესვის გაყვანა ფაქტორიზაციით შრომატევადი ამოცანაა, რომელიც ასევე ყოველთვის არ იწვევს სასურველ შედეგს. სცადეთ აიღოთ 209764-ის კვადრატული ფესვი? პირველ ფაქტორებში ფაქტორინგი იძლევა პროდუქტს 2∙2∙52441. რა უნდა გააკეთოს შემდეგ? ყველას წინაშე დგას ეს პრობლემა და მათ პასუხში ისინი მშვიდად იწერენ დაშლის დარჩენილ ნაწილს ფესვის ნიშნის ქვეშ. რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გააკეთოთ დაშლა ცდისა და შეცდომის და შერჩევის გამოყენებით, თუ დარწმუნებული ხართ, რომ მიიღებთ მშვენიერ პასუხს, მაგრამ პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ ძალიან იშვიათად არის შემოთავაზებული ამოცანები სრული დაშლით. უფრო ხშირად, ვიდრე არა, ჩვენ ვხედავთ, რომ ფესვის სრულად ამოღება შეუძლებელია.

ამიტომ, ეს მეთოდი მხოლოდ ნაწილობრივ წყვეტს კალკულატორის გარეშე მოპოვების პრობლემას.

თავი 2. კვადრატული ფესვების ამოღება კუთხით

კვადრატული ფესვის ამოღება კუთხის გამოყენებით დამოდით შევხედოთ ალგორითმს:
1 ნაბიჯი. ნომერი 8649 დაყოფილია კიდეებად მარჯვნიდან მარცხნივ; რომელთაგან თითოეული უნდა შეიცავდეს ორ ციფრს. ჩვენ ვიღებთ ორ სახეს:.
მე-2 ნაბიჯი. 86-ის პირველი სახის კვადრატული ფესვის აღებით მივიღებთმინუსით. რიცხვი 9 არის ფესვის პირველი ციფრი.
მე-3 ნაბიჯი. რიცხვი 9 არის კვადრატში (9 2 = 81) და გამოვაკლოთ რიცხვი 81 პირველ სახეს, მივიღებთ 86-81=5. ნომერი 5 არის პირველი ნაშთი.
მე-4 ნაბიჯი. დანარჩენ 5-ს ვამატებთ მეორე მხარეს 49, მივიღებთ რიცხვს 549.

მე-5 ნაბიჯი . ვაორმაგებთ 9-ის ძირის პირველ ციფრს და მარცხნიდან ვწერთ, მივიღებთ -18-ს

ნომერს უნდა დაემატოს შემდეგი უმაღლესი მაჩვენებელი, ასე რომ იმ რიცხვის ნამრავლი, რომელსაც ჩვენ ამ ფიგურით მივიღებთ, იქნება ან ტოლი 549 რიცხვისა, ან ნაკლები 549-ზე. ეს არის რიცხვი 3. ის გვხვდება შერჩევით: ათეულების რიცხვი 549, ე.ი. რიცხვი 54 იყოფა 18-ზე, მივიღებთ 3-ს, ვინაიდან 183 ∙ 3 = 549. რიცხვი 3 არის ფესვის მეორე ციფრი.

მე-6 ნაბიჯი. ჩვენ ვპოულობთ ნაშთს 549 – 549 = 0. ვინაიდან ნაშთი არის ნული, მივიღეთ ფესვის ზუსტი მნიშვნელობა – 93.

კიდევ ერთ მაგალითს მოგიყვან: ამონაწერი √212521

	ალგორითმის ნაბიჯები	მაგალითი	კომენტარები
	დაყავით რიცხვი 2-ნიშნა ჯგუფებად, თითოეული მარჯვნიდან მარცხნივ	21’ 25’ 21	ჩამოყალიბებული ჯგუფების ჯამური რაოდენობა განსაზღვრავს პასუხის ციფრების რაოდენობას
	რიცხვების პირველი ჯგუფისთვის აირჩიეთ რიცხვი, რომლის კვადრატი იქნება ყველაზე დიდი, მაგრამ არ აღემატებოდეს პირველი ჯგუფის რიცხვებს.	1 ჯგუფი – 21 4 2 =16 ნომერი - 4	პასუხში პირველ რიგში იწერება ნაპოვნი რიცხვი.
	რიცხვების პირველი ჯგუფიდან გამოაკლეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი პასუხის პირველი ციფრის კვადრატი	21’ 25’ 21
	მე-3 საფეხურზე ნაპოვნი დანარჩენს, დაამატეთ რიცხვების მეორე ჯგუფი მარჯვნივ (გადაწიეთ)	21’ 25’ 21 16__
	პასუხის გაორმაგებულ პირველ ციფრს დაუმატეთ მარჯვნივ ისეთი ციფრი, რომ მიღებული რიცხვის ნამრავლი ამ ციფრით იყოს უდიდესი, მაგრამ არ აღემატებოდეს მე-4 საფეხურში ნაპოვნი რიცხვს.	4*2=8 ნომერი - 6 86*6=516	ნაპოვნი რიცხვი პასუხში მეორე ადგილზეა ჩაწერილი
	მე-4 საფეხურზე მიღებულ რიცხვს გამოაკელით მე-5 საფეხურზე მიღებული რიცხვი. მესამე ჯგუფი აიღეთ დანარჩენზე.	21’ 25’ 21
	გაორმაგებულ რიცხვს, რომელიც შედგება პასუხის პირველი ორი ციფრისგან, დაამატეთ ციფრი მარჯვნივ, რომ მიღებული რიცხვის ნამრავლი ამ ციფრით იყოს ყველაზე დიდი, მაგრამ არ აღემატებოდეს მე-6 ნაბიჯში მიღებულ რიცხვს.	46*2=92 ნომერი 1 921*1=921	ნაპოვნი რიცხვი პასუხში მესამე ადგილზეა ჩაწერილი
	დაწერე პასუხი	√212521=461

თავი 3. როგორ გამოვიყენოთ ორნიშნა რიცხვების კვადრატების ცხრილი

ამ მეთოდის შესახებ ინტერნეტიდან გავიგე. მეთოდი ძალიან მარტივია და საშუალებას გაძლევთ მომენტალურად ამოიღოთ ნებისმიერი მთელი რიცხვის კვადრატული ფესვი 1-დან 100-მდე მეათედების სიზუსტით კალკულატორის გარეშე. ამ მეთოდის ერთ-ერთი პირობაა 99-მდე რიცხვების კვადრატების ცხრილის არსებობა.

(ეს არის მე-8 კლასის ალგებრის ყველა სახელმძღვანელოში და შემდეგ OGE გამოცდაშემოთავაზებული მითითების სახით.)

გახსენით ცხრილი და შეამოწმეთ პასუხის პოვნის სიჩქარე. მაგრამ პირველი, რამდენიმე რეკომენდაცია: ყველაზე მარცხენა სვეტი იქნება მთელი რიცხვები პასუხში, ყველაზე ზედა ხაზი იქნება მეათედი პასუხში. შემდეგ კი ყველაფერი მარტივია: დახურეთ ცხრილის ნომრის ბოლო ორი ციფრი და იპოვნეთ ის, რაც გჭირდებათ, რომელიც არ აღემატება რადიკალურ რიცხვს, შემდეგ კი დაიცავით ამ ცხრილის წესები.

მოდით შევხედოთ მაგალითს. ვიპოვოთ მნიშვნელობა √87.

ჩვენ ვხურავთ ცხრილის ყველა რიცხვის ბოლო ორ ციფრს და ვპოულობთ ახლო რიცხვებს 87-ისთვის - მათგან მხოლოდ ორია. 86 49 და 88 37. მაგრამ 88 უკვე ბევრია.

ასე რომ, დარჩა მხოლოდ ერთი - 8649.

მარცხენა სვეტი იძლევა პასუხს 9 (ეს არის მთელი რიცხვები), ხოლო ზედა ხაზი 3 (ეს არის მეათედი). ეს ნიშნავს √87≈ 9.3. მოდით შევამოწმოთ MK √87 ≈ 9.327379.

სწრაფი, მარტივი, ხელმისაწვდომი გამოცდის დროს. მაგრამ მაშინვე ნათელია, რომ ამ მეთოდით 100-ზე მეტი ფესვების ამოღება შეუძლებელია. მეთოდი მოსახერხებელია მცირე ფესვებით და მაგიდის თანდასწრებით ამოცანებისთვის.

თავი 4. ძველი ბაბილონის ფორმულა

ძველი ბაბილონელები იყენებდნენ შემდეგ მეთოდს მათი x რიცხვის კვადრატული ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობის საპოვნელად. ისინი x რიცხვს წარმოადგენდნენ a-ს ჯამის სახით 2 +b, სადაც a 2 x რიცხვთან უახლოესი ზუსტი კვადრატი ბუნებრივი რიცხვიაა 2 . (1)

ფორმულის გამოყენებით (1), ჩვენ ამოვიღებთ კვადრატულ ფესვს, მაგალითად, 28 რიცხვიდან:

28-ის ფესვის ამოღების შედეგი MK-ის გამოყენებით არის 5.2915026.

როგორც ვხედავთ, ბაბილონის მეთოდი კარგ მიახლოებას იძლევა ზუსტი ღირებულებაფესვი

თავი 5. სრული კვადრატის გადაგდების მეთოდი

(მხოლოდ ოთხნიშნა რიცხვებისთვის)

დაუყოვნებლივ უნდა განვმარტოთ, რომ ეს მეთოდი გამოიყენება მხოლოდ ზუსტი კვადრატის კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, ხოლო პოვნის ალგორითმი დამოკიდებულია რადიკალური რიცხვის ზომაზე.

1. ფესვების ამოღება 75-მდე 2 = 5625

მაგალითად: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

ჩვენ წარმოგიდგენთ რიცხვს 3844 ჯამის სახით ამ რიცხვიდან 144 კვადრატის არჩევით, შემდეგ არჩეული კვადრატის გადაგდებით,პირველი ტერმინის ასეულთა რიცხვი(37) ჩვენ ყოველთვის ვამატებთ 25-ს . ვიღებთ პასუხს 62.

ამ გზით შეგიძლიათ ამოიღოთ მხოლოდ კვადრატული ფესვები 75-მდე 2 =5625!

2) ფესვების ამოღება 75-ე ნომრის შემდეგ 2 = 5625

როგორ სიტყვიერად ამოიღოთ კვადრატული ფესვები 75-ზე მეტი რიცხვებიდან 2 =5625?

მაგალითად: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

ავხსნათ, 7225-ს წარმოვადგენთ 7000-ის ჯამად და არჩეულ კვადრატს 225-ს.დაამატეთ კვადრატული ფესვი ასობით რიცხვს 225-დან უდრის 15-ს.

ვიღებთ პასუხს 85.

პოვნის ეს მეთოდი ძალიან საინტერესო და გარკვეულწილად ორიგინალურია, მაგრამ ჩემი კვლევის დროს მას მხოლოდ ერთხელ შევხვდი პერმის მასწავლებლის მუშაობაში.

შესაძლოა ის ნაკლებად არის შესწავლილი ან აქვს გარკვეული გამონაკლისები.

საკმაოდ ძნელი დასამახსოვრებელია ალგორითმის ორმაგობის გამო და გამოიყენება მხოლოდ ზუსტი ფესვების ოთხნიშნა რიცხვებისთვის, მაგრამ მე ვიმუშავე მრავალი მაგალითით და დავრწმუნდი მის სისწორეში. გარდა ამისა, ეს მეთოდი ხელმისაწვდომია მათთვის, ვინც უკვე დაიმახსოვრა რიცხვების კვადრატები 11-დან 29-მდე, რადგან მათი ცოდნის გარეშე ის უსარგებლო იქნება.

თავი 6. კანადური მეთოდი

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), სადაც X არის კვადრატული ფესვის რიცხვი და S არის უახლოესი ზუსტი კვადრატის რიცხვი.

შევეცადოთ ავიღოთ 75-ის კვადრატული ფესვი

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

ამ მეთოდის დეტალური შესწავლით, მარტივად შეიძლება დაამტკიცოთ მისი მსგავსება ბაბილონურთან და დავამტკიცოთ ამ ფორმულის გამოგონების საავტორო უფლება, თუკი ეს სინამდვილეში არსებობს. მეთოდი მარტივი და მოსახერხებელია.

თავი 7. შერჩევის მეთოდის გამოცნობა

ამ მეთოდს გვთავაზობენ ლონდონის მათემატიკის კოლეჯის ინგლისელი სტუდენტები, მაგრამ ყველას უნებლიედ ცხოვრებაში ერთხელ მაინც გამოუყენებია ეს მეთოდი. იგი ეფუძნება შერჩევას სხვადასხვა მნიშვნელობამსგავსი რიცხვების კვადრატები საძიებო არეალის შევიწროვებით. ნებისმიერს შეუძლია დაეუფლოს ამ მეთოდს, მაგრამ მისი გამოყენება ნაკლებად სავარაუდოა, რადგან ის მოითხოვს არა ყოველთვის სწორად გამოცნობილი რიცხვების სვეტის ნამრავლის განმეორებით გამოთვლას. ეს მეთოდი კარგავს როგორც ხსნარის სილამაზეს, ასევე დროში. ალგორითმი მარტივია:

ვთქვათ, გსურთ აიღოთ 75-ის კვადრატული ფესვი.

ვინაიდან 8 2 = 64 და 9 2 = 81, თქვენ იცით, პასუხი სადღაც შუაშია.

სცადეთ აშენება 8.5 2 და თქვენ მიიღებთ 72.25 (ძალიან ცოტა)

ახლა სცადე 8.6 2 და თქვენ მიიღებთ 73.96 (ძალიან პატარა, მაგრამ უფრო ახლოს)

ახლა სცადე 8.7 2 და თქვენ მიიღებთ 75.69 (ძალიან დიდი)

ახლა თქვენ იცით, რომ პასუხი არის 8.6-დან 8.7-მდე

სცადეთ შენობა 8.65 2 და თქვენ მიიღებთ 74.8225 (ძალიან მცირე)

ახლა სცადე 8.66 2... და ასე შემდეგ.

გააგრძელეთ სანამ არ მიიღებთ თქვენთვის საკმარისად ზუსტ პასუხს.

თავი 8. კენტი რიცხვების გამოკლების მეთოდი

ბევრმა იცის კვადრატული ფესვის ამოღების მეთოდი რიცხვის მარტივ ფაქტორებად გადანაწილებით. ჩემს ნაშრომში წარმოგიდგენთ სხვა ხერხს, რომლითაც შეგიძლიათ გაიგოთ რიცხვის კვადრატული ფესვის მთელი რიცხვი. მეთოდი ძალიან მარტივია. გაითვალისწინეთ, რომ შემდეგი ტოლობები მართალია რიცხვების კვადრატებისთვის:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 და ა.შ.

წესი: თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ რიცხვის კვადრატული ფესვის მთელი ნაწილი, თუ გამოაკლებთ მას ყველა კენტ რიცხვს თანმიმდევრობით, სანამ ნაშთი ნაკლები იქნება შემდეგ გამოკლებულ რიცხვზე ან ნულის ტოლი და შესრულებული მოქმედებების რაოდენობის დათვლით.

მაგალითად, 36-ისა და 121-ის კვადრატული ფესვის მისაღებად ეს არის:

სულგამოკლება = 6, ანუ კვადრატული ფესვი 36 = 6.

გამოკლებების ჯამური რაოდენობა = 11, ანუ √121 = 11.

კიდევ ერთი მაგალითი: ვიპოვოთ √529

გამოსავალი: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

პასუხი: √529 = 23

მეცნიერები ამ მეთოდს კვადრატული ფესვის არითმეტიკურ ამოღებას უწოდებენ, ხოლო კულისებში "კუს მეთოდს" მისი ნელი სიჩქარის გამო.
ამ მეთოდის მინუსი ის არის, რომ თუ ამოღებული ფესვი არ არის მთელი რიცხვი, მაშინ შეგიძლიათ გაიგოთ მხოლოდ მისი მთელი ნაწილი, მაგრამ არა უფრო ზუსტად. ამავდროულად, ეს მეთოდი საკმაოდ ხელმისაწვდომია ბავშვებისთვის, რომლებიც წყვეტენ მარტივ მათემატიკურ ამოცანებს, რომლებიც საჭიროებენ კვადრატული ფესვის ამოღებას. სცადეთ ამ გზით ამოიღოთ რიცხვის კვადრატული ფესვი, მაგალითად, 5963364 და მიხვდებით, რომ ის „მუშაობს“, რა თქმა უნდა, ზუსტი ფესვებისთვის შეცდომების გარეშე, მაგრამ გამოსავალში ძალიან, ძალიან გრძელია.

დასკვნა

ამ ნაშრომში აღწერილი ფესვის ამოღების მეთოდები მრავალ წყაროშია ნაპოვნი. თუმცა მათი გაგება ჩემთვის რთული საქმე აღმოჩნდა, რამაც საკმაო ინტერესი გამოიწვია. წარმოდგენილი ალგორითმები საშუალებას მისცემს ყველას, ვინც დაინტერესებულია ამ თემით, სწრაფად დაეუფლოს კვადრატული ფესვის გამოთვლის უნარებს, მათი გამოყენება შესაძლებელია მათი ამოხსნის შემოწმებისას და არ არის დამოკიდებული კალკულატორზე.

ჩემი კვლევის შედეგად მივედი დასკვნამდე: სხვადასხვა გზებიკვადრატული ფესვების აღება კალკულატორის გარეშე აუცილებელია საშუალო სკოლის მათემატიკის კურსზე გამოთვლის უნარების გასავითარებლად.

კვლევის თეორიული მნიშვნელობა - სისტემატიზებულია კვადრატული ფესვების ამოღების ძირითადი მეთოდები.

პრაქტიკული მნიშვნელობა:მინი წიგნის შექმნისას, რომელიც შეიცავს საცნობარო დიაგრამას კვადრატული ფესვების სხვადასხვა გზით ამოღების მიზნით (დანართი 1).

ლიტერატურა და ინტერნეტ საიტები:

1. ი.ნ. სერგეევი, ს.ნ. ოლეჰნიკი, S.B. გაშკოვი "გამოიყენე მათემატიკა". – მ.: ნაუკა, 1990 წ
2. ქერიმოვი ზ., "როგორ მოვძებნოთ მთელი ფესვი?" პოპულარული სამეცნიერო და მათემატიკური ჟურნალი „კვანტი“ No2, 1980 წ
3. პეტრაკოვი ი.ს. „მათემატიკის კლუბები 8-10 კლასებში“; წიგნი მასწავლებლებისთვის.

–მ.: განათლება, 1987 წ

1. ტიხონოვი A.N., Kostomarov D.P. "მოთხრობები გამოყენებითი მათემატიკის შესახებ." - მ.: ნაუკა. ფიზიკურ-მათემატიკური ლიტერატურის მთავარი რედაქცია, 1979 წ
2. ტკაჩევა მ.ვ. მთავარი მათემატიკა. წიგნი მე-8 კლასის მოსწავლეებისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები. – მოსკოვი, განმანათლებლობა, 1994 წ.
3. ჟოხოვი V.I., Pogodin V.N. საცნობარო ცხრილები მათემატიკაში.-მ.: შპს გამომცემლობა “ROSMEN-PRESS”, 2004.-120გვ.
4. http://translate.google.ru/translate
5. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
6. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

შუადღე მშვიდობისა, ძვირფასო სტუმრებო!

მე მქვია ლევ სოკოლოვი, მე-8 კლასში ვსწავლობ საღამოს სკოლაში.

თქვენს ყურადღებას წარმოგიდგენთ ნაშრომს თემაზე: ”დიდი რიცხვების კვადრატული ფესვების პოვნა კალკულატორის გარეშე."

თემის შესწავლისასკვადრატული ფესვები ამ სასწავლო წელს მაინტერესებდა კითხვა, თუ როგორ უნდა გამოვყო დიდი რიცხვების კვადრატული ფესვი კალკულატორის გარეშე და გადავწყვიტე უფრო ღრმად შემესწავლა, რადგან მომავალ წელს გამოცდა უნდა ჩავაბარო მათემატიკაში.

ჩემი მუშაობის მიზანი:იპოვეთ და აჩვენეთ კვადრატული ფესვების ამოღების გზები კალკულატორის გარეშე

მიზნის მისაღწევად მე გადავწყვიტე შემდეგიდავალებები:

1. ამ საკითხზე ლიტერატურის შესწავლა.

2. განვიხილოთ თითოეული ნაპოვნი მეთოდის მახასიათებლები და მისი ალგორითმი.

3. აჩვენეთ მიღებული ცოდნის პრაქტიკული გამოყენება და შეაფასეთ სირთულის ხარისხი სხვადასხვა მეთოდისა და ალგორითმის გამოყენებაში.

4. შექმენით მინი წიგნი ყველაზე საინტერესო ალგორითმების მიხედვით.

ჩემი კვლევის ობიექტი იყოკვადრატული ფესვები.

კვლევის საგანი:კვადრატული ფესვების ამოღების გზები კალკულატორის გარეშე.

Კვლევის მეთოდები:

1. კალკულატორის გარეშე დიდი რიცხვებიდან კვადრატული ფესვების ამოღების მეთოდებისა და ალგორითმების ძიება.

2. ნაპოვნი მეთოდების შედარება და ანალიზი.

ვიპოვე და შევისწავლე 8 ხერხი კვადრატული ფესვების გამოსათვლელად კალკულატორის გარეშე და პრაქტიკაში გამოვიყენე. ნაპოვნი მეთოდების სახელები ნაჩვენებია სლაიდზე.

ყურადღებას გავამახვილებ იმაზე, რაც მომეწონა.

მე გაჩვენებთ მაგალითით, თუ როგორ შეგიძლიათ ამოიღოთ 3025 რიცხვის კვადრატული ფესვი მარტივი ფაქტორიზაციის გამოყენებით.

ამ მეთოდის მთავარი მინუსი- ამას დიდი დრო სჭირდება.

ძველი ბაბილონის ფორმულის გამოყენებით გამოვყოფ იგივე რიცხვის 3025 კვადრატულ ფესვს.

მეთოდი მოსახერხებელია მხოლოდ მცირე რაოდენობით.

იგივე ნომრიდან 3025 გამოვყავით კვადრატული ფესვი კუთხის გამოყენებით.

ჩემი აზრით, ეს ყველაზე უნივერსალური მეთოდია, მისი გამოყენება შესაძლებელია ნებისმიერ რიცხვზე.

IN თანამედროვე მეცნიერებაკვადრატული ფესვის ამოღების მრავალი გზა არსებობს კალკულატორის გარეშე, მაგრამ მე არ შემისწავლია ყველა.

ჩემი მუშაობის პრაქტიკული მნიშვნელობა:მინი წიგნის შექმნისას, რომელიც შეიცავს საცნობარო დიაგრამას კვადრატული ფესვების სხვადასხვა გზით ამოსაღებად.

ჩემი მუშაობის შედეგები შეიძლება წარმატებით გამოვიყენოთ მათემატიკაში, ფიზიკაში და სხვა საგნებში, სადაც საჭიროა ფესვების ამოღება კალკულატორის გარეშე.

Გმადლობთ ყურადღებისთვის!

გადახედვა:

პრეზენტაციის გადახედვის გამოსაყენებლად, შექმენით ანგარიში თქვენთვის ( ანგარიში) Google და შედით: https://accounts.google.com

სლაიდის წარწერები:

დიდი რიცხვებიდან კვადრატული ფესვების ამოღება კალკულატორის გარეშე შემსრულებელი: ლევ სოკოლოვი, MKOU "Tugulymskaya V(S)OSH", მე-8 კლასი ლიდერი: სიდოროვა ტატიანა ნიკოლაევნა I კატეგორია, მათემატიკის მასწავლებელი რ.პ. ტუგულიმ

მეთოდების სწორი გამოყენება შეიძლება ვისწავლოთ აპლიკაციით და სხვადასხვა მაგალითებით. G. Zeiten სამუშაოს მიზანი: მოიძიოს და აჩვენოს კვადრატული ფესვების ამოღების ის მეთოდები, რომლებიც შეიძლება გამოვიყენოთ კალკულატორის ხელმისაწვდომობის გარეშე. მიზნები: - ამ საკითხზე ლიტერატურის შესწავლა. - განვიხილოთ თითოეული ნაპოვნი მეთოდის მახასიათებლები და მისი ალგორითმი. - აჩვენეთ მიღებული ცოდნის პრაქტიკული გამოყენება და შეაფასეთ სირთულის ხარისხი სხვადასხვა მეთოდისა და ალგორითმის გამოყენებაში. - შექმენით მინი წიგნი ყველაზე საინტერესო ალგორითმებზე.

კვლევის ობიექტი: კვადრატული ფესვები შესწავლის საგანი: კვადრატული ფესვების ამოღების მეთოდები კალკულატორის გარეშე. კვლევის მეთოდები: კალკულატორის გარეშე დიდი რიცხვებიდან კვადრატული ფესვების ამოღების მეთოდებისა და ალგორითმების ძიება. ნაპოვნი მეთოდების შედარება. მიღებული მეთოდების ანალიზი.

კვადრატული ფესვების ამოღების მეთოდები: 1. მარტივ ფაქტორებად გაყვანის მეთოდი 2. კვადრატული ფესვების ამოღება კუთხის გამოყენებით 3. ორნიშნა რიცხვების კვადრატების ცხრილის გამოყენების მეთოდი 4. ძველი ბაბილონის ფორმულა 5. სრულყოფილი კვადრატის გადაგდების მეთოდი 6. კანადური მეთოდი 7. გამოცნობის მეთოდი 8. კენტი რიცხვის გამოკლების მეთოდი

პირველ ფაქტორებად ფაქტორინგის მეთოდი კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, შეგიძლიათ რიცხვის ფაქტორებად გადანაწილება და პროდუქტის კვადრატული ფესვის ამოღება. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2 229 │2 52441│229 392│2 1│3 98│2 147│3 √ 209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2²∙2∈2♂2 = √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. მისი დაშლა ყოველთვის ადვილი არ არის, უფრო ხშირად ბოლომდე არ მოიხსნება, ამას დიდი დრო სჭირდება.

ძველი ბაბილონის ფორმულა (ბაბილონის მეთოდი) კვადრატული ფესვის ამოღების ალგორითმი ძველი ბაბილონის მეთოდით. 1 . რიცხვი c წარმოადგინეთ ჯამის სახით a² + b, სადაც a² არის a ნატურალური რიცხვის ზუსტი კვადრატი c რიცხვთან ყველაზე ახლოს (a² ≈ c); 2. ფესვის სავარაუდო ღირებულება გამოითვლება ფორმულით: კალკულატორის გამოყენებით ფესვის ამოღების შედეგია 5,292.

კვადრატული ფესვის ამოღება კუთხით მეთოდი თითქმის უნივერსალურია, რადგან ის გამოიყენება ნებისმიერ რიცხვზე, მაგრამ რებუსის შედგენა (რიცხვის ბოლოს რიცხვის გამოცნობა) მოითხოვს ლოგიკას და კარგ გამოთვლის უნარებს სვეტით.

კვადრატული ფესვის ამოღების ალგორითმი კუთხის გამოყენებით 1. რიცხვი (5963364) დაყავით წყვილებად მარჯვნიდან მარცხნივ (5`96`33`64) 2. ამოიღეთ კვადრატული ფესვი პირველი ჯგუფიდან მარცხნივ (- ნომერი 2) . ასე ვიღებთ რიცხვის პირველ ციფრს. 3. იპოვეთ პირველი ციფრის კვადრატი (2 2 =4). 4. იპოვეთ განსხვავება პირველ ჯგუფსა და პირველი ციფრის კვადრატს შორის (5-4=1). 5. ჩამოვხსნით მომდევნო ორ ციფრს (ვიღებთ რიცხვს 196). 6. გააორმაგეთ ჩვენ მიერ ნაპოვნი პირველი ციფრი და ჩაწერეთ იგი მარცხენა ხაზის უკან (2*2=4). 7. ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რიცხვის მეორე ციფრი: ორმაგი პირველი ციფრი, რომელიც აღმოვაჩინეთ, ხდება რიცხვის ათეულების რიცხვი, როდესაც გავამრავლებთ ერთეულების რაოდენობაზე, უნდა მივიღოთ 196-ზე ნაკლები რიცხვი (ეს არის რიცხვი. 4, 44*4=176). 4 არის &-ის მეორე ციფრი. 8. იპოვე სხვაობა (196-176=20). 9. ვანგრევთ მომდევნო ჯგუფს (ვიღებთ ნომერს 2033). 10. გააორმაგე რიცხვი 24, რიცხვში მივიღებთ 48. 11. 48 ათეულს, ერთეულების რიცხვზე გამრავლებისას უნდა მივიღოთ 2033-ზე ნაკლები რიცხვი (484*4=1936). ჩვენ მიერ ნაპოვნი ერთეულების ციფრი (4) არის რიცხვის მესამე ციფრი. შემდეგ პროცესი მეორდება.

კენტი რიცხვების გამოკლების მეთოდი ( არითმეტიკული მეთოდი) კვადრატული ფესვის ალგორითმი: გამოვაკლოთ კენტი რიცხვები თანმიმდევრობით, სანამ დარჩენილი რიცხვი ნაკლები იქნება შემდეგ გამოკლებულ რიცხვზე ან ნულის ტოლი. დათვალეთ შესრულებული მოქმედებების რაოდენობა - ეს რიცხვი არის ამოღებული კვადრატული ფესვის რიცხვის მთელი ნაწილი. მაგალითი 1: გამოთვალეთ 1. 9 − 1 = 8; 8 − 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. დასრულებული 3 მოქმედება

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 გამოკლების საერთო რაოდენობა = 6, ასე რომ, კვადრატული ფესვი 36 = 6. 121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 - 13 = 72 - 15 = 57 - 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 გამოკლების საერთო რაოდენობა = 11, ასე რომ, კვადრატული ფესვი 121 = 11. 5963364 = ??? რუსი მეცნიერები კულისებში მას „კუს მეთოდს“ მისი ნელი სიჩქარის გამო უწოდებენ. არასასიამოვნოა დიდი რაოდენობით.

კვლევის თეორიული მნიშვნელობა - სისტემატიზებულია კვადრატული ფესვების ამოღების ძირითადი მეთოდები. პრაქტიკული მნიშვნელობა: მინი წიგნის შექმნისას, რომელიც შეიცავს საცნობარო დიაგრამას კვადრატული ფესვების სხვადასხვა გზით ამოსაღებად.

Გმადლობთ ყურადღებისთვის!

გადახედვა:

ზოგიერთი პრობლემა მოითხოვს დიდი რიცხვის კვადრატული ფესვის აღებას. Როგორ გავაკეთო ეს?

კენტი რიცხვების გამოკლების მეთოდი.

მეთოდი ძალიან მარტივია. გაითვალისწინეთ, რომ შემდეგი ტოლობები მართალია რიცხვების კვადრატებისთვის:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 და ა.შ.

წესი: თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ რიცხვის კვადრატული ფესვის მთელი ნაწილი, თუ გამოაკლებთ მას ყველა კენტ რიცხვს თანმიმდევრობით, სანამ დარჩენილი არ იქნება მომდევნო გამოკლებულ რიცხვზე ნაკლები ან ნულის ტოლი და შესრულებული მოქმედებების რაოდენობის დათვლით.

Მაგალითად, 36-ისა და 121-ის კვადრატული ფესვის მისაღებად არის:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

გამოკლებების ჯამური რაოდენობა = 6, ანუ კვადრატული ფესვი 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

გამოკლების ჯამური რაოდენობა = 11, ასე√121 = 11.

კანადური მეთოდი.

ეს სწრაფი მეთოდიაღმოაჩინეს მე-20 საუკუნეში კანადის ერთ-ერთი წამყვანი უნივერსიტეტის ახალგაზრდა მეცნიერებმა. მისი სიზუსტე არ არის ორ-სამ ათწილადზე მეტი. აქ არის მათი ფორმულა:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), სადაც X არის კვადრატული ფესვის რიცხვი და S არის უახლოესი ზუსტი კვადრატის რიცხვი.

მაგალითი. აიღეთ 75-ის კვადრატული ფესვი.

X = 75, S = 81. ეს ნიშნავს, რომ √ S = 9.

მოდით გამოვთვალოთ √75 ამ ფორმულის გამოყენებით: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

კვადრატული ფესვების ამოღების მეთოდი კუთხის გამოყენებით.

1. რიცხვი (5963364) დაყავით წყვილებად მარჯვნიდან მარცხნივ (5`96`33`64)

2. აიღეთ პირველი ჯგუფის კვადრატული ფესვი მარცხნივ (- ნომერი 2). ასე ვიღებთ რიცხვის პირველ ციფრს.

3. იპოვეთ პირველი ციფრის კვადრატი (2 2 =4).

4. იპოვეთ განსხვავება პირველ ჯგუფსა და პირველი ციფრის კვადრატს შორის (5-4=1).

5. ჩამოვხსნით მომდევნო ორ ციფრს (ვიღებთ რიცხვს 196).

6. გააორმაგეთ ჩვენ მიერ ნაპოვნი პირველი ციფრი და ჩაწერეთ იგი მარცხენა ხაზის უკან (2*2=4).

7. ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რიცხვის მეორე ციფრი: ორმაგი პირველი ციფრი, რომელიც აღმოვაჩინეთ, ხდება რიცხვის ათეულების რიცხვი, როდესაც გავამრავლებთ ერთეულების რაოდენობაზე, უნდა მივიღოთ 196-ზე ნაკლები რიცხვი (ეს არის რიცხვი. 4, 44*4=176). 4 არის &-ის მეორე ციფრი.

8. იპოვე სხვაობა (196-176=20).

9. ვანგრევთ მომდევნო ჯგუფს (ვიღებთ ნომერს 2033).

10. გააორმაგე რიცხვი 24, მივიღებთ 48-ს.

რიცხვში არის 11,48 ათეული, ერთეულების რიცხვზე გამრავლებისას უნდა მივიღოთ 2033-ზე ნაკლები რიცხვი (484*4=1936). ჩვენ მიერ ნაპოვნი ერთეულების ციფრი (4) არის რიცხვის მესამე ციფრი.

მოქმედება კვადრატული ფესვიკვადრატის მოქმედების შებრუნებული.

√81= 9 9 2 =81.

შერჩევის მეთოდი.

მაგალითი: ამოიღეთ 676 რიცხვის ფესვი.

ჩვენ ვამჩნევთ, რომ 20 2 = 400 და 30 2 = 900, რაც ნიშნავს 20-ს

ნატურალური რიცხვების ზუსტი კვადრატები მთავრდება 0-ით; 1; 4; 5; 6; 9.
რიცხვი 6 იძლევა 4-ს 2 და 6 2 .
ეს ნიშნავს, რომ თუ ფესვი აღებულია 676-დან, მაშინ ის არის 24 ან 26.

დარჩენილია შესამოწმებლად: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

პასუხი: √ 676 = 26.

კიდევ ერთი მაგალითი: √6889.

ვინაიდან 80 2 = 6400 და 90 2 = 8100, შემდეგ 80 რიცხვი 9 იძლევა 3-ს 2 და 7 2 , მაშინ √6889 უდრის 83-ს ან 87-ს.

მოდით შევამოწმოთ: 83 2 = 6889.

პასუხი: √6889 = 83.

თუ გაგიჭირდებათ ამოხსნა შერჩევის მეთოდის გამოყენებით, შეგიძლიათ რადიკალური გამოხატულების ფაქტორირება.

მაგალითად, იპოვეთ √893025.

მოდი 893025 რიცხვი გავამრავლოთ, დაიმახსოვრეთ, ეს მეექვსე კლასში გააკეთეთ.

ჩვენ ვიღებთ: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

ბაბილონური მეთოდი.

Ნაბიჯი 1. რიცხვი x წარმოადგინე ჯამის სახით: x=a 2 + b, სადაც a 2 ნატურალური რიცხვის a ყველაზე ახლოს ზუსტი კვადრატი x რიცხვთან.

ნაბიჯი #2. გამოიყენეთ ფორმულა:

მაგალითი. გამოთვალეთ.

არითმეტიკული მეთოდი.

ყველა კენტ რიცხვს ვაკლებთ რიცხვს თანმიმდევრობით მანამ, სანამ ნაშთი ნაკლები იქნება შემდეგ გამოკლებულ რიცხვზე ან ნულის ტოლი. შესრულებული მოქმედებების რაოდენობის დათვლის შემდეგ, ჩვენ განვსაზღვრავთ რიცხვის კვადრატული ფესვის მთელ ნაწილს.

მაგალითი. გამოთვალეთ რიცხვის მთელი ნაწილი.

გამოსავალი. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - მთელი ნაწილინომრები. Ისე, .

მეთოდი (ცნობილია როგორც ნიუტონის მეთოდი)არის შემდეგი.

მოდით 1 - რიცხვის პირველი დაახლოება(როგორც 1 შეგიძლიათ აიღოთ ნატურალური რიცხვის კვადრატული ფესვის მნიშვნელობები - ზუსტი კვადრატი, რომელიც არ აღემატება .

ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ დიდი რიცხვის კვადრატული ფესვი ნებისმიერი სიზუსტით, თუმცა მნიშვნელოვანი ნაკლით: გამოთვლების უხერხულობა.

შეფასების მეთოდი.

Ნაბიჯი 1. გაარკვიეთ დიაპაზონი, რომელშიც მდებარეობს საწყისი ფესვი (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10,000).

ნაბიჯი #2. მიერ ბოლო ციფრიდაადგინეთ, რომელი ციფრით მთავრდება ის რიცხვი, რომელსაც ეძებთ.

x-ის ერთეული ციფრი
x-ის ერთეული ციფრი 2

ნაბიჯი #3. მოსალოდნელი რიცხვების კვადრატში და მათგან განსაზღვრეთ სასურველი რიცხვი.

მაგალითი 1. გამოთვალეთ .

გამოსავალი. 2500 50 2 2 50

= *2 ან = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

ამიტომ = 58.

კალკულატორების წინ მოსწავლეებმა და მასწავლებლებმა ხელით გამოთვალეს კვადრატული ფესვები. რიცხვის კვადრატული ფესვის ხელით გამოსათვლელად რამდენიმე გზა არსებობს. ზოგი მათგანი მხოლოდ სავარაუდო გადაწყვეტას გვთავაზობს, ზოგი კი ზუსტ პასუხს იძლევა.

ნაბიჯები

ძირითადი ფაქტორიზაცია

რადიკალური რიცხვის ფაქტორებად აქცევენ კვადრატულ რიცხვებს.რადიკალური რიცხვიდან გამომდინარე მიიღებთ სავარაუდო ან ზუსტ პასუხს. კვადრატული რიცხვები არის რიცხვები, საიდანაც შეიძლება აიღოთ მთელი კვადრატული ფესვი. ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა თავდაპირველ რიცხვს. მაგალითად, 8 რიცხვის ფაქტორები არის 2 და 4, ვინაიდან 2 x 4 = 8, რიცხვები 25, 36, 49 არის კვადრატული რიცხვები, ვინაიდან √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. კვადრატული ფაქტორები არის ფაქტორები, რომლებიც კვადრატული რიცხვებია. პირველ რიგში, შეეცადეთ რადიკალური რიცხვი კვადრატულ ფაქტორებად გადაანაწილოთ.

• მაგალითად, გამოთვალეთ 400-ის კვადრატული ფესვი (ხელით). ჯერ სცადეთ 400-ის ფაქტორინგი კვადრატულ ფაქტორებად. 400 არის 100-ის ჯერადი, ანუ იყოფა 25-ზე - ეს არის კვადრატული რიცხვი. 400-ის 25-ზე გაყოფა მოგცემთ 16. რიცხვი 16 ასევე კვადრატული რიცხვია. ამრიგად, 400 შეიძლება დარეგულირდეს 25 და 16 კვადრატულ ფაქტორებში, ანუ 25 x 16 = 400.
• ეს შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: √400 = √(25 x 16).

1. ზოგიერთი წევრის ნამრავლის კვადრატული ფესვი უდრის თითოეული წევრის კვადრატული ფესვების ნამრავლს, ანუ √(a x b) = √a x √b. გამოიყენეთ ეს წესი, რომ აიღოთ თითოეული კვადრატული ფაქტორის კვადრატული ფესვი და გაამრავლოთ შედეგები პასუხის საპოვნელად.

   • ჩვენს მაგალითში აიღეთ 25-ისა და 16-ის ფესვი.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. თუ რადიკალური რიცხვი არ გაერთიანდება ორ კვადრატულ ფაქტორად (და ეს ხდება უმეტეს შემთხვევაში), თქვენ ვერ იპოვით ზუსტ პასუხს მთელი რიცხვის სახით. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ პრობლემა რადიკალური რიცხვის კვადრატულ ფაქტორად და ჩვეულებრივ კოეფიციენტად დაშლით (რიცხვი, საიდანაც მთელი კვადრატული ფესვის აღება შეუძლებელია). შემდეგ თქვენ აიღებთ კვადრატული ფაქტორის კვადრატულ ფესვს და აიღებთ საერთო ფაქტორის ფესვს.

   • მაგალითად, გამოთვალეთ რიცხვის კვადრატული ფესვი 147. რიცხვი 147 არ შეიძლება გამრავლდეს ორ კვადრატულ ფაქტორად, მაგრამ შეიძლება გამრავლდეს შემდეგ ფაქტორებად: 49 და 3. ამოხსენით ამოცანა შემდეგნაირად:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. საჭიროების შემთხვევაში შეაფასეთ ფესვის ღირებულება.ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეაფასოთ ფესვის მნიშვნელობა (იპოვეთ სავარაუდო მნიშვნელობა) მისი შედარებით კვადრატული რიცხვების ფესვების მნიშვნელობებთან, რომლებიც ყველაზე ახლოს არიან (რიცხვის ხაზის ორივე მხარეს) რადიკალურ რიცხვთან. თქვენ მიიღებთ ფესვის მნიშვნელობას როგორც ათობითი, რომელიც უნდა გამრავლდეს ძირის ნიშნის უკან არსებულ რიცხვზე.

   • დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. რადიკალური რიცხვია 3. მასთან ყველაზე ახლოს კვადრატული რიცხვები იქნება რიცხვები 1 (√1 = 1) და 4 (√4 = 2). ამრიგად, √3-ის მნიშვნელობა მდებარეობს 1-სა და 2-ს შორის. ვინაიდან √3-ის მნიშვნელობა ალბათ უფრო ახლოს არის 2-თან, ვიდრე 1-თან, ჩვენი შეფასებაა: √3 = 1.7. ჩვენ ვამრავლებთ ამ მნიშვნელობას ძირის ნიშნის რიცხვზე: 7 x 1.7 = 11.9. თუ მათემატიკას გააკეთებთ კალკულატორზე, მიიღებთ 12.13, რაც საკმაოდ ახლოსაა ჩვენს პასუხთან.
     • ეს მეთოდი ასევე მუშაობს დიდი რაოდენობით. მაგალითად, განიხილეთ √35. რადიკალური რიცხვია 35. მასთან უახლოესი კვადრატული რიცხვები იქნება რიცხვები 25 (√25 = 5) და 36 (√36 = 6). ამრიგად, √35-ის მნიშვნელობა მდებარეობს 5-სა და 6-ს შორის. ვინაიდან √35-ის მნიშვნელობა ბევრად უფრო ახლოს არის 6-თან, ვიდრე 5-თან (რადგან 35 არის მხოლოდ 1-ით ნაკლები 36-ზე), შეგვიძლია ვთქვათ, რომ √35 ოდნავ ნაკლებია 6-ზე. კალკულატორის შემოწმება გვაძლევს პასუხს 5.92 - ჩვენ მართალი ვიყავით.

4. კიდევ ერთი გზაა რადიკალური რიცხვის ფაქტორებად გადაყვანა პირველ ფაქტორებად.მარტივი ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. ჩაწერეთ პირველი ფაქტორები სერიებში და იპოვეთ იდენტური ფაქტორების წყვილი. ასეთი ფაქტორების ამოღება შესაძლებელია ძირეული ნიშნიდან.

   • მაგალითად, გამოვთვალოთ 45-ის კვადრატული ფესვი. რადიკალურ რიცხვს ვანაწილებთ მარტივ ფაქტორებად: 45 = 9 x 5 და 9 = 3 x 3. ამრიგად, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 შეიძლება ამოღებულ იქნას ძირის ნიშნად: √45 = 3√5. ახლა შეგვიძლია შევაფასოთ √5.
   • ვნახოთ კიდევ ერთი მაგალითი: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). თქვენ მიიღეთ 2-ის სამი მამრავლი; აიღეთ რამდენიმე მათგანი და გადაიტანეთ ისინი ძირეული ნიშნის მიღმა.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. ახლა შეგიძლიათ შეაფასოთ √2 და √11 და იპოვოთ სავარაუდო პასუხი.

   კვადრატული ფესვის ხელით გამოთვლა

   გრძელი გაყოფის გამოყენება

   1. ეს მეთოდი მოიცავს ხანგრძლივი დაყოფის მსგავს პროცესს და იძლევა ზუსტ პასუხს.ჯერ დახაზეთ ვერტიკალური ხაზი, რომელიც ყოფს ფურცელს ორ ნაწილად, შემდეგ კი მარჯვნივ და ოდნავ ქვემოთ ფურცლის ზედა კიდეზე, დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი ვერტიკალურ ხაზამდე. ახლა დაყავით რადიკალური რიცხვი რიცხვების წყვილებად, დაწყებული წილადი ნაწილით ათობითი წერტილის შემდეგ. ასე რომ, ნომერი 79520789182.47897 იწერება როგორც "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • მაგალითად, გამოვთვალოთ 780.14 რიცხვის კვადრატული ფესვი. დახაზეთ ორი ხაზი (როგორც სურათზეა ნაჩვენები) და ჩაწერეთ მოცემული რიცხვი ფორმაში „7 80, 14“ ზედა მარცხენა მხარეს. ნორმალურია, რომ მარცხნიდან პირველი ციფრი დაუწყვილებელი ციფრია. პასუხი (ძირი მოცემული ნომერი) თქვენ დაწერთ ზედა მარჯვნივ.

   2. რიცხვების პირველი წყვილისთვის (ან ერთი რიცხვი) მარცხნიდან, იპოვეთ უდიდესი მთელი რიცხვი n, რომლის კვადრატი ნაკლებია ან ტოლია მოცემული რიცხვების (ან ერთი რიცხვის) წყვილზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იპოვეთ კვადრატული რიცხვი, რომელიც ყველაზე ახლოს არის, მაგრამ უფრო მცირეა, ვიდრე მარცხნიდან რიცხვების პირველ წყვილთან (ან ერთ რიცხვთან) და აიღეთ მისი კვადრატული ფესვი. კვადრატული ნომერი; თქვენ მიიღებთ რიცხვს n. დაწერეთ n, რომელიც იპოვეთ ზედა მარჯვნივ, და ჩაწერეთ n-ის კვადრატი ქვედა მარჯვენა კუთხეში.

      • ჩვენს შემთხვევაში, მარცხნივ პირველი რიცხვი იქნება 7. შემდეგი, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. გამოაკლეთ n რიცხვის კვადრატი, რომელიც ახლახან იპოვნეთ მარცხნივ მდებარე რიცხვების პირველ წყვილს (ან ერთ რიცხვს).ჩაწერეთ გამოთვლის შედეგი ქვეტრასენდის ქვეშ (n რიცხვის კვადრატი).

      • ჩვენს მაგალითში გამოვაკლოთ 4 7-ს და მივიღოთ 3.

   4. ამოიღეთ რიცხვების მეორე წყვილი და ჩაწერეთ წინა საფეხურზე მიღებული მნიშვნელობის გვერდით.შემდეგ გააორმაგეთ რიცხვი ზედა მარჯვენა კუთხეში და ჩაწერეთ შედეგი ქვედა მარჯვნივ „_×_="-ის დამატებით.

      • ჩვენს მაგალითში რიცხვების მეორე წყვილი არის "80". ჩაწერეთ "80" 3-ის შემდეგ. შემდეგ, გაორმაგებული რიცხვი ზედა მარჯვნივ იძლევა 4-ს. ჩაწერეთ "4_×_=" ქვედა მარჯვენა მხარეს.

   5. შეავსეთ ცარიელი ადგილები მარჯვნივ.

      • ჩვენს შემთხვევაში, თუ ტირეების ნაცვლად დავსვამთ რიცხვს 8, მაშინ 48 x 8 = 384, რაც მეტია 380-ზე. ამიტომ, 8 არის ძალიან დიდი რიცხვი, მაგრამ 7 იქნება. ტირეების ნაცვლად დაწერეთ 7 და მიიღეთ: 47 x 7 = 329. ჩაწერეთ 7 ზედა მარჯვნივ - ეს არის მეორე ციფრი 780.14 რიცხვის სასურველ კვადრატულ ფესვში.

   6. გამოვაკლოთ მიღებული რიცხვი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს.ჩაწერეთ წინა საფეხურის შედეგი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვის ქვეშ, იპოვეთ განსხვავება და ჩაწერეთ ქვეტრაჰენდის ქვეშ.

      • ჩვენს მაგალითში გამოვაკლოთ 329 380-ს, რაც უდრის 51-ს.

   7. გაიმეორეთ ნაბიჯი 4.თუ გადატანილი რიცხვების წყვილი არის თავდაპირველი რიცხვის წილადი ნაწილი, მაშინ ჩადეთ გამყოფი (მძიმით) მთელ და წილად ნაწილებს შორის საჭირო კვადრატულ ფესვში ზედა მარჯვენა კუთხეში. მარცხნივ ჩამოწიეთ რიცხვების შემდეგი წყვილი. გააორმაგეთ რიცხვი ზედა მარჯვენა კუთხეში და ჩაწერეთ შედეგი ქვედა მარჯვნივ "_×_="-ის დამატებით.

      • ჩვენს მაგალითში, რიცხვების შემდეგი წყვილი, რომელიც უნდა მოიხსნას, იქნება 780.14 რიცხვის წილადი ნაწილი, ამიტომ მოათავსეთ მთელი და წილადი ნაწილების გამყოფი სასურველ კვადრატულ ფესვში ზედა მარჯვნივ. ამოიღეთ 14 და ჩაწერეთ ქვედა მარცხენა ნაწილში. ორმაგი რიცხვი ზედა მარჯვნივ (27) არის 54, ასე რომ ჩაწერეთ "54_×_=" ქვედა მარჯვენა მხარეს.

   8. გაიმეორეთ ნაბიჯები 5 და 6.იპოვე ერთი უდიდესი რიცხვიტირეების ნაცვლად მარჯვნივ (ტირეების ნაცვლად თქვენ უნდა შეცვალოთ იგივე რიცხვი) ისე, რომ გამრავლების შედეგი იყოს მარცხნივ მიმდინარე რიცხვზე ნაკლები ან ტოლი.

      • ჩვენს მაგალითში, 549 x 9 = 4941, რაც ნაკლებია მარცხნივ არსებულ რიცხვზე (5114). ჩაწერეთ 9 ზევით მარჯვნივ და გამოაკელით გამრავლების შედეგი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს: 5114 - 4941 = 173.

   9. თუ კვადრატული ფესვისთვის მეტი ათობითი ადგილების პოვნა გჭირდებათ, ჩაწერეთ რამდენიმე ნული მიმდინარე რიცხვის მარცხნივ და გაიმეორეთ ნაბიჯები 4, 5 და 6. გაიმეორეთ ნაბიჯები, სანამ არ მიიღებთ პასუხის სიზუსტეს (ათწილადების რაოდენობას) საჭიროება.

   პროცესის გაგება

   ასიმილაციისთვის ამ მეთოდითიფიქრეთ რიცხვზე, რომლის კვადრატული ფესვის პოვნა გსურთ, როგორც კვადრატის S ფართობი. ამ შემთხვევაში, თქვენ ეძებთ ასეთი კვადრატის L გვერდის სიგრძეს. ჩვენ ვიანგარიშებთ L-ის მნიშვნელობას ისე, რომ L² = S.

   პასუხის თითოეულ რიცხვზე მიეცით ასო. A-ით ავღნიშნოთ L მნიშვნელობის პირველი ციფრი (სასურველი კვადრატული ფესვი). B იქნება მეორე ციფრი, C მესამე და ასე შემდეგ.

   მიუთითეთ ასო პირველი ციფრის თითოეული წყვილისთვის. S-ით ავღნიშნოთ S-ის მნიშვნელობის პირველი წყვილი ციფრები, S b-ით მეორე წყვილი და ა.შ.

   გაიგეთ კავშირი ამ მეთოდსა და ხანგრძლივ დაყოფას შორის.ისევე, როგორც გაყოფისას, სადაც ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ იმ რიცხვის შემდეგი ციფრი, რომელსაც ყოველ ჯერზე ვყოფთ, კვადრატული ფესვის გამოთვლისას, ჩვენ ვმუშაობთ წყვილი ციფრების მიხედვით (იმისათვის, რომ მივიღოთ შემდეგი ციფრი კვადრატული ფესვის მნიშვნელობაში. ).

   1. განვიხილოთ S რიცხვის Sa-ს პირველი წყვილი (ჩვენს მაგალითში Sa = 7) და იპოვეთ მისი კვადრატული ფესვი.ამ შემთხვევაში, სასურველი კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის პირველი ციფრი A იქნება ციფრი, რომლის კვადრატი ნაკლებია ან ტოლია S a-ზე (ანუ ჩვენ ვეძებთ A-ს ისე, რომ უტოლობა A² ≤ Sa.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • ვთქვათ, უნდა გავყოთ 88962 7-ზე; აქ პირველი ნაბიჯი მსგავსი იქნება: განვიხილავთ გამყოფი რიცხვის 88962 (8) პირველ ციფრს და ვირჩევთ უდიდეს რიცხვს, რომელიც 7-ზე გამრავლებისას იძლევა 8-ზე ნაკლები ან ტოლი მნიშვნელობას. ანუ, ჩვენ ვეძებთ. რიცხვი d, რომლისთვისაც უტოლობა მართალია: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. გონებრივად წარმოიდგინეთ კვადრატი, რომლის ფართობიც უნდა გამოთვალოთ.თქვენ ეძებთ L-ს, ანუ კვადრატის გვერდის სიგრძეს, რომლის ფართობი უდრის S. A, B, C არის რიცხვები L რიცხვში. შეგიძლიათ სხვაგვარად დაწეროთ: 10A + B = L (ამისთვის ორნიშნა რიცხვი) ან 100A + 10B + C = L (სამნიშნა რიცხვისთვის) და ა.შ.

      • დაე (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². გახსოვდეთ, რომ 10A+B არის რიცხვი, რომელშიც B ციფრი დგას ერთეულებზე, ხოლო A ციფრი ათეულებზე. მაგალითად, თუ A=1 და B=2, მაშინ 10A+B უდრის რიცხვს 12-ს. (10A+B)²არის მთელი მოედნის ფართობი, 100A²- დიდი შიდა მოედნის ფართობი, B²- პატარა შიდა მოედნის ფართობი, 10A×B- ორი მართკუთხედიდან თითოეულის ფართობი. აღწერილი ფიგურების ფართობების დამატებით, თქვენ იპოვით ორიგინალური კვადრატის ფართობს.

მოდით შევხედოთ ამ ალგორითმს მაგალითის გამოყენებით. ჩვენ ვიპოვით

1 ნაბიჯი. ფესვის ქვეშ არსებულ რიცხვს ვყოფთ ორნიშნა სახეებად (მარჯვნიდან მარცხნივ):

მე-2 ნაბიჯი. ვიღებთ პირველი სახის კვადრატულ ფესვს, ანუ 65 რიცხვიდან ვიღებთ რიცხვს 8. პირველი სახის ქვეშ ვწერთ 8 რიცხვის კვადრატს და ვაკლებთ. დანარჩენს ვანიჭებთ მეორე სახეს (59):

(ნომერი 159 არის პირველი ნაშთი).

მე-3 ნაბიჯი. ჩვენ გავაორმაგებთ ნაპოვნი ფესვს და ვწერთ შედეგს მარცხნივ:

მე-4 ნაბიჯი. ნაშთში გამოვყოფთ ერთ ციფრს მარჯვნივ (159), ხოლო მარცხნივ ვიღებთ ათეულების რაოდენობას (ის უდრის 15-ს). შემდეგ 15-ს ვყოფთ ფესვის პირველ ციფრზე ორმაგად, ანუ 16-ზე, რადგან 15 არ იყოფა 16-ზე, კოეფიციენტი გამოდის ნულზე, რომელსაც ვწერთ ფესვის მეორე ციფრად. ასე რომ, კოეფიციენტში მივიღეთ რიცხვი 80, რომელსაც კვლავ ვაორმაგებთ და ვაშორებთ შემდეგ კიდეს

(რიცხვი 15,901 არის მეორე ნაშთი).

მე-5 ნაბიჯი. მეორე ნაშთში მარჯვნიდან გამოვყოფთ ერთ ციფრს და მიღებულ რიცხვს 1590 ვყოფთ 160-ზე. შედეგს (ნომერი 9) ვწერთ ფესვის მესამე ციფრად და ვამატებთ რიცხვს 160. მიღებულ რიცხვს 1609 ვამრავლებთ. 9 და იპოვეთ შემდეგი ნაშთი (1420):

შემდგომში მოქმედებები ხორციელდება ალგორითმში მითითებული თანმიმდევრობით (ძირის ამოღება შესაძლებელია საჭირო სიზუსტით).

კომენტარი. თუ რადიკალური გამოხატულება არის ათობითი წილადი, მაშინ მისი მთელი ნაწილი იყოფა ორი ციფრის კიდეებად მარჯვნიდან მარცხნივ, წილადი - ორი ციფრით მარცხნიდან მარჯვნივ და ფესვი ამოღებულია მითითებული ალგორითმის მიხედვით.

დიდაქტიკური მასალა

1. აიღეთ რიცხვის კვადრატული ფესვი: ა) 32; ბ) 32,45; გ) 249,5; დ) 0,9511.

ბიბლიოგრაფიული აღწერა: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. კვადრატული ფესვის ამოღების მეთოდები // ახალგაზრდა მეცნიერი. 2017. No2.2. გვ 76-77..02.2019).



საკვანძო სიტყვები : კვადრატული ფესვი, კვადრატული ფესვის ამოღება.

მათემატიკის გაკვეთილებზე გავეცანი კვადრატული ფესვის ცნებას, კვადრატული ფესვის ამოღების ოპერაციას. დავინტერესდი, შესაძლებელია თუ არა კვადრატული ფესვის ამოღება მხოლოდ კვადრატების ცხრილის გამოყენებით, კალკულატორის გამოყენებით, თუ არსებობს მისი ხელით ამოღების საშუალება. ვიპოვე რამდენიმე გზა: ძველი ბაბილონის ფორმულა, განტოლებების ამოხსნის გზით, სრული კვადრატის გადაგდების მეთოდი, ნიუტონის მეთოდი, გეომეტრიული მეთოდი, გრაფიკული მეთოდი (, ), გამოცნობის მეთოდი, კენტი რიცხვების გამოკლების მეთოდი.

განვიხილოთ შემდეგი მეთოდები:

მოდით გავყოთ მარტივ ფაქტორებად გაყოფის კრიტერიუმების გამოყენებით 27225=5*5*3*3*11*11. ამგვარად

1. TO კანადური მეთოდი.ეს სწრაფი მეთოდი მე-20 საუკუნეში კანადის ერთ-ერთი წამყვანი უნივერსიტეტის ახალგაზრდა მეცნიერებმა აღმოაჩინეს. მისი სიზუსტე არ არის ორ-სამ ათწილადზე მეტი.

სადაც x არის რიცხვი, საიდანაც უნდა ამოიღოთ ფესვი, c არის უახლოესი კვადრატის რიცხვი), მაგალითად:

=5,92

1. სვეტში.ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ნებისმიერი რეალური რიცხვის ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობა წინასწარ განსაზღვრული სიზუსტით. ამ მეთოდის ნაკლოვანებები მოიცავს გაანგარიშების სირთულის ზრდას, რაც იზრდება ნაპოვნი ციფრების რაოდენობა. ფესვის ხელით ამოსაღებად გამოიყენება გრძელი გაყოფის მსგავსი აღნიშვნა

კვადრატული ფესვის ალგორითმი

1. წილადისა და მთელი რიცხვის ნაწილს მძიმისგან ცალ-ცალკე ვყოფთ ორი ციფრის ზღვარზეთითოეულ სახეზე ( კოცნანაწილი - მარჯვნიდან მარცხნივ; წილადი- მარცხნიდან მარჯვნივ). შესაძლებელია, რომ მთელი რიცხვი შეიცავდეს ერთ ციფრს, ხოლო წილადი - ნულებს.

2. ამოღება იწყება მარცხნიდან მარჯვნივ და ვირჩევთ რიცხვს, რომლის კვადრატი არ აღემატება რიცხვს პირველ სახეზე. ამ რიცხვს კვადრატში ვწერთ და პირველ მხარეს ნომრის ქვეშ ვწერთ.

3. იპოვნეთ განსხვავება პირველ სახეზე და არჩეული პირველი რიცხვის კვადრატს შორის.

4. მიღებულ განსხვავებას ვამატებთ შემდეგ ზღვარს, შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება გაყოფადი. ვისწავლოთ გამყოფი. პასუხის პირველ არჩეულ ციფრს ვაორმაგებთ (გამრავლება 2-ზე), ვიღებთ გამყოფის ათეულების რაოდენობას და ერთეულების რაოდენობა ისეთი უნდა იყოს, რომ მისი ნამრავლი მთელი გამყოფით არ აღემატებოდეს დივიდენდს. პასუხად ვწერთ შერჩეულ რიცხვს.

5. მივიღებთ შემდეგ კიდეს მიღებულ განსხვავებას და ვასრულებთ მოქმედებებს ალგორითმის მიხედვით. თუ ეს სახე წილადი ნაწილის სახეა, მაშინ პასუხში მძიმით ვსვამთ. (ნახ. 1.)

ამ მეთოდის გამოყენებით შეგიძლიათ ამოიღოთ რიცხვები სხვადასხვა სიზუსტით, მაგალითად, მეათასედამდე. (ნახ.2)

კვადრატული ფესვის ამოღების სხვადასხვა მეთოდის გათვალისწინებით, შეგვიძლია დავასკვნათ: თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ ყველაზე ეფექტური არჩევანის გაკეთება, რათა ნაკლები დრო დახარჯოთ ამოხსნაზე.

ლიტერატურა:

1. კისელევი ა. ალგებრის და ანალიზის ელემენტები. ნაწილი პირველი.-მ.-1928წ

საკვანძო სიტყვები: კვადრატული ფესვი, კვადრატული ფესვი.

Ანოტაცია: სტატიაში აღწერილია კვადრატული ფესვების ამოღების მეთოდები და მოცემულია ფესვების ამოღების მაგალითები.