როგორ მოვძებნოთ უმცირესი საერთო ჯერადი?
როგორ მოვძებნოთ NOC
აქ არის ვიდეო, რომელიც მოგცემთ ორ გზას, რათა იპოვოთ უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). შემოთავაზებული მეთოდებიდან პირველის გამოყენებით ვარჯიშის შემდეგ, უკეთ გაიგებთ რა არის უმცირესი საერთო ჯერადი.
- ჩვენ წარმოვადგენთ თითოეულ რიცხვს, როგორც მისი მარტივი ფაქტორების ნამრავლს:
- ჩვენ ვწერთ ყველა ძირითადი ფაქტორის ძალას:
- ჩვენ ვირჩევთ ყველა მარტივ გამყოფს (გამრავლებას) უდიდესი სიმძლავრის მქონე, ვამრავლებთ და ვპოულობთ LCM-ს:
- პირველი ნაბიჯი არის ამ რიცხვების ფაქტორები პირველ ფაქტორებად.
- ჩვენ ვწერთ ფაქტორებს, რომლებიც შედის 30 რიცხვის გაფართოებაში. ეს არის 2 x 3 x 5.
- ახლა უნდა გავამრავლოთ ისინი გამოტოვებულ კოეფიციენტზე, რომელიც გვაქვს 42-ის გაფართოებისას, რაც არის 7. მივიღებთ 2 x 3 x 5 x 7.
- ვპოულობთ რას უდრის 2 x 3 x 5 x 7 და მივიღებთ 210-ს.
- ორივე რიცხვს ვანაწილებთ მარტივ ფაქტორებად: 8=2*2*2 და 12=3*2*2
- ჩვენ ვამცირებთ ერთ-ერთი რიცხვის იგივე ფაქტორებს. ჩვენს შემთხვევაში, 2 * 2 ემთხვევა, მოდით შევამციროთ ისინი 12 რიცხვისთვის, შემდეგ 12-ს დარჩება ერთი ფაქტორი: 3.
- იპოვეთ ყველა დარჩენილი ფაქტორის ნამრავლი: 2*2*2*3=24
ჩვენ უნდა ვიპოვოთ თითოეული იმ ორი რიცხვის თითოეული კოეფიციენტი, რომლისთვისაც ვიპოვით უმცირეს საერთო ჯერადს, შემდეგ კი ერთმანეთზე გავამრავლოთ ის ფაქტორები, რომლებიც ემთხვევა პირველ და მეორე რიცხვს. პროდუქტის შედეგი იქნება საჭირო მრავალჯერადი.
მაგალითად, გვაქვს რიცხვები 3 და 5 და უნდა ვიპოვოთ LCM (უმცირესი საერთო ჯერადი). Ჩვენ საჭიროა გამრავლებადა სამი და ხუთი ყველა რიცხვისთვის 1 2 3-დან დაწყებული ...და ასე შემდეგ მანამ, სანამ ორივე ადგილას ერთსა და იმავე რიცხვს დავინახავთ.
გაამრავლეთ სამი და მიიღეთ: 3, 6, 9, 12, 15
გაამრავლეთ ხუთზე და მიიღეთ: 5, 10, 15
ძირითადი ფაქტორიზაციის მეთოდი არის ყველაზე კლასიკური მეთოდი რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) მოსაძებნად. ეს მეთოდი ნათლად და მარტივად არის ნაჩვენები შემდეგ ვიდეოში:
შეკრება, გამრავლება, გაყოფა, საერთო მნიშვნელამდე შემცირება და სხვა არითმეტიკული მოქმედებები ძალიან საინტერესო აქტივობაა; განსაკუთრებით მომხიბვლელია მაგალითები, რომლებიც იკავებს მთელ ფურცელს.
ასე რომ, იპოვეთ ორი რიცხვის საერთო ჯერადი, რომელიც იქნება უმცირესი რიცხვი, რომლითაც იყოფა ეს ორი რიცხვი. მინდა აღვნიშნო, რომ არ არის აუცილებელი მომავალში მიმართოთ ფორმულებს, რომ იპოვოთ ის, რასაც ეძებთ, თუ შეგიძლიათ დათვალოთ თქვენს თავში (და ამის გაწვრთნა შესაძლებელია), მაშინ თავად რიცხვები გამოჩნდება თქვენს თავში და შემდეგ ფრაქციები თხილივით იბზარება.
დასაწყისისთვის, მოდით ვისწავლოთ, რომ თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ ორი რიცხვი ერთმანეთზე და შემდეგ შეამციროთ ეს მაჩვენებელი და მონაცვლეობით გავყოთ ამ ორ რიცხვზე, ასე რომ, ჩვენ ვიპოვით უმცირეს ჯერადს.
მაგალითად, ორი რიცხვი 15 და 6. გაამრავლეთ და მიიღეთ 90. ეს აშკარაა უფრო დიდი რაოდენობა. უფრო მეტიც, 15 იყოფა 3-ზე და 6 იყოფა 3-ზე, რაც იმას ნიშნავს, რომ ჩვენ ასევე ვყოფთ 90-ს 3-ზე. ვიღებთ 30-ს. ვცდილობთ 30 გავყოთ 15 უდრის 2-ს. და 30 გავყოთ 6 უდრის 5-ს. ვინაიდან 2 არის ზღვარი, გამოდის გამოთვალეთ, რომ რიცხვების უმცირესი ჯერადი არის 15 და 6 იქნება 30.
უფრო დიდი რიცხვებით ცოტა უფრო რთული იქნება. მაგრამ თუ იცით რომელი რიცხვები იძლევა ნულის ნაშთს გაყოფისას ან გამრავლებისას, მაშინ, პრინციპში, დიდი სირთულეები არ არის.
მე წარმოგიდგენთ სხვა გზას უმცირესი საერთო ჯერადის მოსაძებნად. მოდით შევხედოთ მას ნათელი მაგალითით.
თქვენ უნდა იპოვოთ ერთდროულად სამი რიცხვის LCM: 16, 20 და 28.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.
LCM(16, 20, 28) = 560.
ამრიგად, გამოთვლის შედეგი იყო რიცხვი 560. ეს არის უმცირესი საერთო ჯერადი, ანუ ის იყოფა სამი რიცხვიდან თითოეულზე ნაშთების გარეშე.
უმცირესი საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება დაიყოს რამდენიმე მოცემულ რიცხვად ნაშთის დატოვების გარეშე. ასეთი ფიგურის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა აიღოთ თითოეული რიცხვი და დაშალოთ იგი მარტივ ფაქტორებად. ის რიცხვები, რომლებიც ემთხვევა, ამოღებულია. ტოვებს ყველას სათითაოდ, რიგრიგობით გაამრავლებს მათ შორის და მიიღეთ სასურველი - ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი.
NOC, ან უმცირესი საერთო ჯერადი, არის ორი ან მეტი რიცხვის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე.
აქ არის მაგალითი იმისა, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ 30-ისა და 42-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.
30-ისთვის არის 2 x 3 x 5.
42-ისთვის ეს არის 2 x 3 x 7. ვინაიდან 2 და 3 არის 30 რიცხვის გაფართოებაში, ჩვენ მათ გადავხაზავთ.
შედეგად ვხვდებით, რომ 30 და 42 რიცხვების LCM არის 210.
უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა, თქვენ უნდა შეასრულოთ რამდენიმე მარტივი ნაბიჯი თანმიმდევრობით. მოდით შევხედოთ ამას ორი რიცხვის მაგალითის გამოყენებით: 8 და 12
შემოწმებისას დავრწმუნდებით, რომ 24 იყოფა როგორც 8-ზე, ასევე 12-ზე და ეს არის ყველაზე პატარა ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე. Ჩვენ აქ ვართ იპოვა უმცირესი საერთო ჯერადი.
შევეცდები ავხსნა 6 და 8 რიცხვების მაგალითის გამოყენებით. უმცირესი საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება დაიყოს ამ რიცხვებზე (ჩვენს შემთხვევაში 6 და 8) და ნაშთი არ იქნება.
ასე რომ, ჯერ ვიწყებთ 6-ის გამრავლებას 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე და ა.შ. და 8-ზე 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე და ა.შ.
ონლაინ კალკულატორი საშუალებას გაძლევთ სწრაფად იპოვოთ უდიდესი საერთო გამყოფი და უმცირესი საერთო ჯერადი ორი ან ნებისმიერი სხვა რიცხვისთვის.
კალკულატორი GCD და LCM-ის საპოვნელად
იპოვეთ GCD და LOC
ნაპოვნია GCD და LOC: 5806
როგორ გამოვიყენოთ კალკულატორი
- შეიყვანეთ ნომრები შეყვანის ველში
- თუ არასწორ სიმბოლოებს შეიყვანთ, შეყვანის ველი მონიშნული იქნება წითლად
- დააჭირეთ ღილაკს "ძებნა GCD და LOC".
როგორ შეიყვანოთ ნომრები
- რიცხვები შეიყვანება გამოყოფილი ინტერვალით, წერტილით ან მძიმით
- შეყვანილი ნომრების სიგრძე შეზღუდული არ არისასე რომ, გრძელი რიცხვების GCD და LCM-ის პოვნა არ არის რთული
რა არის GCD და NOC?
უდიდესი საერთო გამყოფირამდენიმე რიცხვი არის უდიდესი ბუნებრივი მთელი რიცხვი, რომლითაც ყველა საწყისი რიცხვი იყოფა ნაშთების გარეშე. ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შემოკლებულია როგორც GCD.
უმცირესი საერთო ჯერადირამდენიმე რიცხვი არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ თავდაპირველ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. უმცირესი საერთო ჯერადი შემოკლებულია როგორც NOC.
როგორ შევამოწმოთ, რომ რიცხვი იყოფა სხვა რიცხვზე ნაშთის გარეშე?
იმის გასარკვევად, იყო თუ არა ერთი რიცხვი მეორეზე ნაშთის გარეშე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ რიცხვების გაყოფის ზოგიერთი თვისება. შემდეგ მათი გაერთიანებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ ზოგიერთი მათგანის გაყოფა და მათი კომბინაციები.
რიცხვების გაყოფის ზოგიერთი ნიშანი
1. რიცხვის გაყოფის ტესტი 2-ზე
იმის დასადგენად, იყოფა თუ არა რიცხვი ორზე (ლუწია თუ არა), საკმარისია გადავხედოთ ამ რიცხვის ბოლო ციფრს: თუ ის უდრის 0-ს, 2-ს, 4-ს, 6-ს თუ 8-ს, მაშინ რიცხვი ლუწია. რაც ნიშნავს, რომ ის იყოფა 2-ზე.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 2-ზე.
გამოსავალი:შეხედე ბოლო ციფრი: 8 ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა ორზე.
2. რიცხვის გაყოფის ტესტი 3-ზე
რიცხვი იყოფა 3-ზე, როცა მისი ციფრების ჯამი იყოფა სამზე. ამრიგად, იმის დასადგენად, იყოფა თუ არა რიცხვი 3-ზე, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ციფრების ჯამი და შეამოწმოთ იყო თუ არა ის 3-ზე. მაშინაც კი, თუ ციფრების ჯამი ძალიან დიდია, შეგიძლიათ იგივე პროცესი გაიმეოროთ.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 3-ზე.
გამოსავალი:ჩვენ ვითვლით რიცხვების ჯამს: 3+4+9+3+8 = 27. 27 იყოფა 3-ზე, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა სამზე.
3. რიცხვის გაყოფის ტესტი 5-ზე
რიცხვი იყოფა 5-ზე, როცა მისი ბოლო ციფრი არის ნული ან ხუთი.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 5-ზე.
გამოსავალი:შეხედეთ ბოლო ციფრს: 8 ნიშნავს, რომ რიცხვი არ იყოფა ხუთზე.
4. რიცხვის გაყოფის ტესტი 9-ზე
ეს ნიშანი ძალიან ჰგავს სამზე გაყოფის ნიშანს: რიცხვი იყოფა 9-ზე, როცა მისი ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 9-ზე.
გამოსავალი:ჩვენ ვითვლით რიცხვების ჯამს: 3+4+9+3+8 = 27. 27 იყოფა 9-ზე, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა ცხრაზე.
როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის GCD და LCM
როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის gcd
უმეტესობა მარტივი გზითორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის გამოთვლა არის ამ რიცხვების ყველა შესაძლო გამყოფის პოვნა და მათგან ყველაზე დიდის არჩევა.
მოდით განვიხილოთ ეს მეთოდი GCD(28, 36) პოვნის მაგალითის გამოყენებით:
- ვახარისხებთ ორივე რიცხვს: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- ჩვენ ვპოულობთ საერთო ფაქტორებს, ანუ მათ, რაც ორივე რიცხვს აქვს: 1, 2 და 2.
- ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ ფაქტორების ნამრავლს: 1 2 2 = 4 - ეს არის 28 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.
როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის LCM
არსებობს ორი ყველაზე გავრცელებული გზა ორი რიცხვის უმცირესი ჯერადის მოსაძებნად. პირველი მეთოდი არის ის, რომ თქვენ შეგიძლიათ ჩაწეროთ ორი რიცხვის პირველი ჯერადები და შემდეგ აირჩიოთ რიცხვი, რომელიც იქნება ორივე რიცხვისთვის საერთო და ამავე დროს ყველაზე პატარა. და მეორე არის ამ რიცხვების gcd-ის პოვნა. განვიხილოთ მხოლოდ ის.
LCM-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ორიგინალური რიცხვების ნამრავლი და შემდეგ გაყოთ იგი ადრე ნაპოვნი GCD-ზე. ვიპოვოთ LCM იგივე 28 და 36 რიცხვებისთვის:
- იპოვეთ 28 და 36 რიცხვების ნამრავლი: 28·36 = 1008
- GCD(28, 36), როგორც უკვე ცნობილია, უდრის 4-ს
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.
რამდენიმე რიცხვისთვის GCD და LCM-ის პოვნა
ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შეიძლება მოიძებნოს რამდენიმე რიცხვისთვის და არა მხოლოდ ორისთვის. ამისათვის, ყველაზე დიდი საერთო გამყოფისთვის მოსაძებნი რიცხვები იშლება მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ იპოვება ამ რიცხვების საერთო მარტივი ფაქტორების ნამრავლი. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი კავშირი რამდენიმე რიცხვის gcd-ის საპოვნელად: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).
მსგავსი ურთიერთობა ვრცელდება უმცირეს საერთო ჯერადზე: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
მაგალითი:იპოვეთ GCD და LCM 12, 32 და 36 ნომრებისთვის.
- ჯერ გავამრავლოთ რიცხვები: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- ვიპოვოთ საერთო ფაქტორები: 1, 2 და 2.
- მათი პროდუქტი მისცემს GCD-ს: 1·2·2 = 4
- ახლა ვიპოვოთ LCM: ამისათვის ჯერ ვიპოვოთ LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- სამივე რიცხვის LCM-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, GCD = 1·2· 2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.
მაგრამ ბევრი ნატურალური რიცხვი ასევე იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვებზე.
Მაგალითად:
რიცხვი 12 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე;
რიცხვი 36 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე, 18-ზე, 36-ზე.
რიცხვები, რომლებითაც რიცხვი იყოფა მთელზე (12-ისთვის ეს არის 1, 2, 3, 4, 6 და 12) ეწოდება რიცხვების გამყოფები. Გამყოფი ბუნებრივი რიცხვი ა- არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც ყოფს მოცემულ რიცხვს აუკვალოდ. ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აქვს ორზე მეტი გამყოფი, ეწოდება კომპოზიტური .
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ 12 და 36 რიცხვებს აქვთ საერთო ფაქტორები. ეს რიცხვებია: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ამ რიცხვების უდიდესი გამყოფი არის 12. ამ ორი რიცხვის საერთო გამყოფი ადა ბ- ეს ის რიცხვია, რომლითაც ორივე მოცემული რიცხვი იყოფა ნაშთების გარეშე ადა ბ.
საერთო ჯერადებირამდენიმე რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე. Მაგალითად 9, 18 და 45 რიცხვებს აქვთ 180-ის საერთო ჯერადი. მაგრამ 90 და 360 ასევე მათი საერთო ჯერადებია. ყველა საერთო ჯერადს შორის ყოველთვის არის უმცირესი, in ამ შემთხვევაშიეს არის 90. ამ რიცხვს ეძახიან ყველაზე პატარასაერთო მრავალჯერადი (CMM).
LCM ყოველთვის არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც უფრო დიდი უნდა იყოს იმ რიცხვებზე, რომლებისთვისაც ის არის განსაზღვრული.
უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). Თვისებები.
კომუტატიულობა:
ასოციაციურობა:
კერძოდ, თუ და არის ერთობლივი რიცხვები, მაშინ:
ორი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი მდა ნარის ყველა სხვა საერთო ჯერადის გამყოფი მდა ნ. უფრო მეტიც, საერთო ჯერადების ნაკრები მ, ნემთხვევა LCM-ის ჯერადების სიმრავლეს( მ, ნ).
ასიმპტოტიკა შეიძლება გამოიხატოს ზოგიერთი რიცხვის თეორიული ფუნქციით.
Ისე, ჩებიშევის ფუნქცია. და:
ეს გამომდინარეობს ლანდაუს ფუნქციის განსაზღვრებიდან და თვისებებიდან g(n).
რაც გამომდინარეობს მარტივი რიცხვების განაწილების კანონიდან.
უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნა.
NOC( ა, ბ) შეიძლება გამოითვალოს რამდენიმე გზით:
1. თუ ცნობილია უდიდესი საერთო გამყოფი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მისი კავშირი LCM-თან:
2. ცნობილი იყოს ორივე რიცხვის კანონიკური დაშლა მარტივ ფაქტორებად:
სად p 1,...,p k- სხვადასხვა მარტივი რიცხვები და d 1,...,d kდა e 1,...,e k- არაუარყოფითი მთელი რიცხვები (ისინი შეიძლება იყოს ნულები, თუ შესაბამისი მარტივი არ არის გაფართოებაში).
შემდეგ NOC ( ა,ბ) გამოითვლება ფორმულით:
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, LCM დაშლა შეიცავს ყველა მარტივ ფაქტორს, რომელიც შედის რიცხვების მინიმუმ ერთ დაშლაში. ა, ბ, და აღებულია ამ მულტიპლიკატორის ორი მაჩვენებლიდან ყველაზე დიდი.
მაგალითი:
რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის გამოთვლა შეიძლება შემცირდეს ორი რიცხვის LCM-ის რამდენიმე თანმიმდევრულ გამოთვლებამდე:
წესი.რიცხვების სერიის LCM-ის საპოვნელად დაგჭირდებათ:
- რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად;
- გადაიტანეთ უდიდესი გაფართოება (სასურველი პროდუქტის ფაქტორების პროდუქტი) სასურველი პროდუქტის ფაქტორებში დიდი რიცხვიმოცემულებიდან), შემდეგ კი დაამატეთ სხვა რიცხვების გაფართოების ფაქტორები, რომლებიც არ ჩანს პირველ რიცხვში ან ჩნდება მასში ნაკლებჯერ;
— მარტივი ფაქტორების შედეგად მიღებული ნამრავლი იქნება მოცემული რიცხვების LCM.
ნებისმიერ ორ ან მეტ ნატურალურ რიცხვს აქვს საკუთარი LCM. თუ რიცხვები არ არის ერთმანეთის ჯერადი ან არ აქვთ ერთი და იგივე ფაქტორები გაფართოებაში, მაშინ მათი LCM ტოლია ამ რიცხვების ნამრავლის.
რიცხვი 28 (2, 2, 7) პირველ ფაქტორებს ემატება 3-ის კოეფიციენტი (21 რიცხვი), შედეგად მიღებული ნამრავლი (84) იქნება უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა 21-ზე და 28-ზე.
უდიდესი რიცხვის 30-ის პირველ ფაქტორებს ავსებს 25 რიცხვის მე-5 კოეფიციენტი, შედეგად მიღებული ნამრავლი 150 მეტია უდიდეს რიცხვზე 30 და იყოფა ყველა მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. ეს მინიმუმ პროდუქტიშესაძლოდან (150, 250, 300...), რომელსაც ყველა მოცემული რიცხვი მრავლობითია.
რიცხვები 2,3,11,37 არის მარტივი რიცხვები, ამიტომ მათი LCM უდრის მოცემული რიცხვების ნამრავლს.
წესი. მარტივი რიცხვების LCM-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ყველა ეს რიცხვი ერთად.
კიდევ ერთი ვარიანტი:
რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) მოსაძებნად გჭირდებათ:
1) წარმოადგინეთ თითოეული რიცხვი, როგორც მისი მარტივი ფაქტორების ნამრავლი, მაგალითად:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) ჩამოწერეთ ყველა ძირითადი ფაქტორის ძალა:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) ჩამოწერეთ თითოეული ამ რიცხვის ყველა მარტივი გამყოფი (გამრავლება);
4) აირჩიეთ თითოეული მათგანის უდიდესი ხარისხი, რომელიც გვხვდება ამ რიცხვების ყველა გაფართოებაში;
5) გაამრავლეთ ეს ძალა.
მაგალითი. იპოვეთ რიცხვების LCM: 168, 180 და 3024.
გამოსავალი. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
ჩვენ ვწერთ ყველა პირველ გამყოფთა უდიდეს ძალებს და ვამრავლებთ მათ:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
საერთო ჯერადები
მარტივად რომ ვთქვათ, ნებისმიერი მთელი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ მოცემულ რიცხვზე არის საერთო მრავლობითიმოცემული მთელი რიცხვები.
შეგიძლიათ იპოვოთ ორი ან მეტი მთელი რიცხვის საერთო ჯერადი.
მაგალითი 1
გამოთვალეთ ორი რიცხვის საერთო ჯერადი: $2$ და $5$.
გამოსავალი.
განსაზღვრებით, $2$ და $5$-ის საერთო ჯერადი არის $10$, რადგან ეს არის $2$ რიცხვისა და რიცხვის $5$-ის ჯერადი:
$2$ და $5$ რიცხვების საერთო ჯერადები ასევე იქნება ნომრები $–10, 20, –20, 30, –30$ და ა.შ., რადგან ყველა მათგანი დაყოფილია რიცხვებად $2$ და $5$.
შენიშვნა 1
ნულოვანი არის ნებისმიერი რიცხვის არა-ნულოვანი მთელი რიცხვის საერთო ჯერადი.
გაყოფის თვისებების მიხედვით, თუ გარკვეული რიცხვი არის რამდენიმე რიცხვის საერთო ჯერადი, მაშინ ნიშნის საპირისპირო რიცხვიც იქნება მოცემული რიცხვების საერთო ჯერადი. ეს ჩანს განხილული მაგალითიდან.
მოცემული მთელი რიცხვებისთვის ყოველთვის შეგიძლიათ იპოვოთ მათი საერთო ჯერადი.
მაგალითი 2
გამოთვალეთ $111$ და $55$-ის საერთო ჯერადი.
გამოსავალი.
გავამრავლოთ მოცემული რიცხვები: $111\div 55=6105$. ადვილია იმის შემოწმება, რომ რიცხვი $6105$ იყოფა რიცხვზე $111$ და რიცხვზე $55$:
$6105\div 111=$55;
$6105\div 55=$111.
ამრიგად, $6105$ არის $111$ და $55$-ის საერთო ჯერადი.
უპასუხე: $111$ და $55$-ის საერთო ჯერადი არის $6105$.
მაგრამ, როგორც უკვე ვნახეთ წინა მაგალითიდან, ეს საერთო ჯერადი არ არის ერთი. სხვა საერთო ჯერადები იქნება $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ და ა.შ. ამრიგად, მივედით შემდეგ დასკვნამდე:
შენიშვნა 2
მთელი რიცხვების ნებისმიერ სიმრავლეს აქვს საერთო ჯერადების უსასრულო რაოდენობა.
პრაქტიკაში, ისინი შემოიფარგლება მხოლოდ დადებითი მთელი რიცხვების (ბუნებრივი) რიცხვების საერთო ჯერადების მოძიებით, რადგან მრავალჯერადი ნაკრები მოცემული ნომერიდა მისი საპირისპირო ემთხვევა.
უმცირესი საერთო მრავლობითის განსაზღვრა
მოცემული რიცხვების ყველა ჯერადიდან ყველაზე ხშირად გამოიყენება ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი (LCM).
განმარტება 2
მოცემული მთელი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის უმცირესი საერთო ჯერადიეს ნომრები.
მაგალითი 3
გამოთვალეთ რიცხვების LCM $4$ და $7$.
გამოსავალი.
იმიტომ რომ ეს რიცხვები არ აქვთ საერთო გამყოფები, შემდეგ $NOK(4,7)=28$.
უპასუხე: $NOK (4,7)=28$.
NOC-ის პოვნა GCD-ის საშუალებით
იმიტომ რომ არსებობს კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის, მისი დახმარებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ ორი დადებითი მთელი რიცხვის LCM:
შენიშვნა 3
მაგალითი 4
გამოთვალეთ რიცხვების LCM $232$ და $84$.
გამოსავალი.
მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა, რომ ვიპოვოთ LCM GCD-ის მეშვეობით:
$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$
მოდით ვიპოვოთ 232$ და 84$$ რიცხვების GCD ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით:
$232=84\cdot 2+64$,
$84=64\cdot 1+20$,
$64=20\cdot 3+4$,
იმათ. $GCD(232, 84)=4$.
ვიპოვოთ $LCC (232, 84)$:
$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$
უპასუხე: $NOK (232.84) = $4872.
მაგალითი 5
გამოთვალეთ $LCD(23, 46)$.
გამოსავალი.
იმიტომ რომ $46$ იყოფა $23$-ზე, შემდეგ $gcd (23, 46)=23$. მოდი ვიპოვოთ LOC:
$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$
უპასუხე: $NOK (23.46)=46$.
ამრიგად, შეიძლება ჩამოყალიბდეს წესი:
შენიშვნა 4
უდიდესი საერთო გამყოფი და უმცირესი საერთო ჯერადი არის ძირითადი არითმეტიკული ცნებები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ იმოქმედოთ ძალისხმევის გარეშე ჩვეულებრივი წილადები. LCM და ყველაზე ხშირად გამოიყენება რამდენიმე წილადის საერთო მნიშვნელის მოსაძებნად.
Ძირითადი ცნებები
X მთელი რიცხვის გამყოფი არის სხვა მთელი რიცხვი Y, რომლითაც X იყოფა ნაშთის დატოვების გარეშე. მაგალითად, 4-ის გამყოფი არის 2, ხოლო 36 არის 4, 6, 9. X მთელი რიცხვის ჯერადი არის Y რიცხვი, რომელიც იყოფა X-ზე ნაშთის გარეშე. მაგალითად, 3 არის 15-ის ჯერადი, ხოლო 6 არის 12-ის ჯერადი.
ნებისმიერი წყვილი რიცხვისთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ მათი საერთო გამყოფები და ჯერადები. მაგალითად, 6-ისთვის და 9-ისთვის, საერთო ჯერადი არის 18, ხოლო საერთო გამყოფი არის 3. ცხადია, წყვილებს შეიძლება ჰქონდეთ რამდენიმე გამყოფი და ჯერადი, ამიტომ გამოთვლებში გამოიყენება ყველაზე დიდი გამყოფი GCD და უმცირესი ჯერადი LCM.
უმცირესი გამყოფი უაზროა, რადგან ნებისმიერი რიცხვისთვის ის ყოველთვის ერთია. უდიდესი ჯერადი ასევე უაზროა, რადგან ჯერადების თანმიმდევრობა მიდის უსასრულობამდე.
gcd-ის პოვნა
არსებობს მრავალი მეთოდი უდიდესი საერთო გამყოფის მოსაძებნად, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია:
- გამყოფთა თანმიმდევრული ძებნა, საერთოთა შერჩევა წყვილისთვის და მათგან ყველაზე დიდის ძიება;
- რიცხვების დაშლა განუყოფელ ფაქტორებად;
- ევკლიდეს ალგორითმი;
- ბინარული ალგორითმი.
დღეს ზე საგანმანათლებო ინსტიტუტებიყველაზე პოპულარულია ძირითადი ფაქტორიზაციის მეთოდები და ევკლიდური ალგორითმი. ეს უკანასკნელი, თავის მხრივ, გამოიყენება დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნისას: GCD-ის ძიება საჭიროა განტოლების შესამოწმებლად მთელ რიცხვებში გარჩევადობის შესაძლებლობისთვის.
NOC-ის პოვნა
უმცირესი საერთო ჯერადი ასევე განისაზღვრება თანმიმდევრული ძიებით ან განუყოფელ ფაქტორებად დაშლით. გარდა ამისა, ადვილია LCM-ის პოვნა, თუ უდიდესი გამყოფი უკვე განსაზღვრულია. X და Y რიცხვებისთვის, LCM და GCD დაკავშირებულია შემდეგი ურთიერთობით:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
მაგალითად, თუ GCM(15,18) = 3, მაშინ LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM გამოყენების ყველაზე აშკარა მაგალითია საერთო მნიშვნელის პოვნა, რომელიც არის უმცირესი საერთო ჯერადი. მოცემული წილადები.
კოპრიმი რიცხვები
თუ რიცხვთა წყვილს არ აქვს საერთო გამყოფები, მაშინ ასეთ წყვილს კოპრიმი ეწოდება. ასეთი წყვილებისთვის gcd ყოველთვის ერთის ტოლია და გამყოფებსა და ჯერადებს შორის კავშირიდან გამომდინარე, თანაპირველი წყვილებისთვის gcd უდრის მათ ნამრავლს. მაგალითად, რიცხვები 25 და 28 შედარებით მარტივია, რადგან მათ არ აქვთ საერთო გამყოფები და LCM(25, 28) = 700, რაც შეესაბამება მათ ნამრავლს. ნებისმიერი ორი განუყოფელი რიცხვი ყოველთვის იქნება შედარებით მარტივი.
საერთო გამყოფი და მრავალჯერადი კალკულატორი
ჩვენი კალკულატორის გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ GCD და LCM ნომრების თვითნებური რაოდენობის ასარჩევად. საერთო გამყოფებისა და ჯერადების გამოთვლის ამოცანები გვხვდება მე-5 და მე-6 კლასის არითმეტიკაში, მაგრამ GCD და LCM არის ძირითადი ცნებები მათემატიკაში და გამოიყენება რიცხვების თეორიაში, პლანიმეტრიასა და კომუნიკაციურ ალგებრაში.
რეალური ცხოვრების მაგალითები
წილადების საერთო მნიშვნელი
უმცირესი საერთო ჯერადი გამოიყენება რამდენიმე წილადის საერთო მნიშვნელის პოვნისას. შეუშვით არითმეტიკული პრობლემათქვენ უნდა შეაჯამოთ 5 წილადი:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
წილადების დასამატებლად, გამოსახულება უნდა შემცირდეს საერთო მნიშვნელამდე, რაც ამცირებს LCM-ის პოვნის პრობლემას. ამისათვის აირჩიეთ კალკულატორში 5 ნომერი და შეიყვანეთ მნიშვნელების მნიშვნელობები შესაბამის უჯრედებში. პროგრამა გამოთვლის LCM-ს (8, 9, 12, 15, 18) = 360. ახლა თქვენ უნდა გამოთვალოთ დამატებითი ფაქტორები თითოეული წილადისთვის, რომლებიც განისაზღვრება როგორც LCM-ის თანაფარდობა მნიშვნელთან. ასე რომ, დამატებითი მულტიპლიკატორები ასე გამოიყურება:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
ამის შემდეგ ვამრავლებთ ყველა წილადს შესაბამის დამატებით კოეფიციენტზე და ვიღებთ:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
ჩვენ შეგვიძლია მარტივად შევაჯამოთ ასეთი წილადები და მივიღოთ შედეგი 159/360. წილადს ვამცირებთ 3-ით და ვხედავთ საბოლოო პასუხს - 53/120.
წრფივი დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნა
წრფივი დიოფანტინის განტოლებები არის ax + by = d ფორმის გამონათქვამები. თუ თანაფარდობა d / gcd(a, b) არის მთელი რიცხვი, მაშინ განტოლება ამოსახსნელია მთელი რიცხვებით. მოდით შევამოწმოთ რამდენიმე განტოლება, რომ ვნახოთ, აქვთ თუ არა მათ მთელი ამონახსნი. ჯერ შევამოწმოთ განტოლება 150x + 8y = 37. კალკულატორის გამოყენებით ვპოულობთ GCD (150.8) = 2. გაყოფა 37/2 = 18.5. რიცხვი არ არის მთელი რიცხვი, ამიტომ განტოლებას არ აქვს მთელი რიცხვი ფესვები.
მოდით შევამოწმოთ განტოლება 1320x + 1760y = 10120. გამოიყენეთ კალკულატორი, რომ იპოვოთ GCD(1320, 1760) = 440. გავყოთ 10120/440 = 23. შედეგად მივიღებთ მთელ რიცხვს, შესაბამისად, დიოფანტინის კოეფიციენტური განტოლებაა. .
დასკვნა
GCD და LCM დიდ როლს თამაშობენ რიცხვების თეორიაში და თავად ცნებები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკის მრავალფეროვან სფეროებში. გამოთვალეთ ჩვენი კალკულატორი უდიდესი გამყოფებიდა ნებისმიერი რიცხვის უმცირესი ჯერადი.
Ჩატვირთვა...