წილადის შემცირების ცოდნისა და ასეთი მაგალითების ამოხსნის სტაბილური უნარის გარეშე, სკოლაში ალგებრის შესწავლა ძალიან რთულია. რაც უფრო წინ მიდიხართ, მით უფრო ერევა წილადების შემცირების საბაზისო ცოდნაში. ახალი ინფორმაცია. ჯერ ჩნდება ძალაუფლებები, შემდეგ ფაქტორები, რომლებიც მოგვიანებით მრავალწევად იქცევა.
როგორ შეგიძლიათ თავიდან აიცილოთ აქ დაბნეულობა? საფუძვლიანად გააერთიანეთ წინა თემებში არსებული უნარები და თანდათან მოემზადეთ ცოდნისთვის, თუ როგორ უნდა შემცირდეს წილადი, რომელიც წლიდან წლამდე უფრო რთული ხდება.
Საბაზისო ცოდნა
მათ გარეშე თქვენ ვერ შეძლებთ გაუმკლავდეთ ნებისმიერი დონის ამოცანებს. გასაგებად, თქვენ უნდა გესმოდეთ ორი მარტივი წერტილი. პირველი: თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ შეამციროთ ფაქტორები. ეს ნიუანსი ძალიან მნიშვნელოვანი აღმოჩნდება, როდესაც მრიცხველში ან მნიშვნელში ჩნდება მრავალწევრები. მაშინ მკაფიოდ უნდა განასხვავოთ სად არის მულტიპლიკატორი და სად არის დანამატი.
მეორე პუნქტი ამბობს, რომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფაქტორების სახით. უფრო მეტიც, შემცირების შედეგი არის წილადი, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი ვეღარ შემცირდება.
საერთო წილადების შემცირების წესები
პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეამოწმოთ, იყოფა თუ არა მრიცხველი მნიშვნელზე თუ პირიქით. მაშინ ზუსტად ეს რიცხვი უნდა შემცირდეს. ეს ყველაზე მარტივი ვარიანტია.
მეორე არის ანალიზი გარეგნობანომრები. თუ ორივე მთავრდება ერთი ან მეტი ნულით, მაშინ ისინი შეიძლება შემცირდეს 10, 100 ან ათასით. აქ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ ლუწი თუ არა რიცხვები. თუ კი, მაშინ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გაჭრათ ორზე.
წილადის შემცირების მესამე წესი არის მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორებად დაყენება მარტივ ფაქტორებად. ამ დროს თქვენ უნდა აქტიურად გამოიყენოთ მთელი თქვენი ცოდნა რიცხვების გაყოფის ნიშნების შესახებ. ამ დაშლის შემდეგ რჩება მხოლოდ ყველა გამეორების პოვნა, მათი გამრავლება და შედეგად მიღებული რიცხვის შემცირება.
რა მოხდება, თუ წილადში არის ალგებრული გამოხატულება?
სწორედ აქ ჩნდება პირველი სირთულეები. რადგან აქ ჩნდება ტერმინები, რომლებიც შეიძლება იყოს ფაქტორების იდენტური. ძალიან მინდა მათი შემცირება, მაგრამ არ შემიძლია. სანამ ალგებრული წილადის შემცირებას შეძლებთ, ის უნდა გადაიყვანოთ ისე, რომ მას ჰქონდეს ფაქტორები.
ამისათვის თქვენ უნდა შეასრულოთ რამდენიმე ნაბიჯი. შეიძლება დაგჭირდეთ ყველა მათგანის გავლა, ან შესაძლოა პირველმა მოგაწოდოთ შესაფერისი ვარიანტი.
შეამოწმეთ განსხვავდება თუ არა მრიცხველი და მნიშვნელი ან მათში შემავალი რომელიმე გამოხატულება ნიშნით. ამ შემთხვევაში, თქვენ უბრალოდ უნდა მოათავსოთ მინუს ერთი ფრჩხილებიდან. ეს ქმნის თანაბარ ფაქტორებს, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს.
ნახეთ, შესაძლებელია თუ არა საერთო ფაქტორის ამოღება მრავალწევრიდან ფრჩხილებიდან. შესაძლოა, ამან გამოიწვიოს ფრჩხილები, რომელიც ასევე შეიძლება შემცირდეს, ან იქნება ამოღებული მონომი.
შეეცადეთ დააჯგუფოთ მონომები, რათა შემდეგ დაამატოთ მათ საერთო ფაქტორი. ამის შემდეგ, შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ იქნება ფაქტორები, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს, ან კვლავ განმეორდეს საერთო ელემენტების ბრეკეტინგი.
შეეცადეთ წერილობით გაითვალისწინოთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულები. მათი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გადაიყვანოთ პოლინომები ფაქტორებად.
მოქმედებების თანმიმდევრობა ძალაუფლების მქონე წილადებთან
იმისათვის, რომ ადვილად გაიგოთ კითხვა, თუ როგორ უნდა შეამციროთ ფრაქცია ძალაუფლებით, თქვენ მტკიცედ უნდა გახსოვდეთ მათთან დაკავშირებული ძირითადი ოპერაციები. პირველი მათგანი დაკავშირებულია ძალაუფლების გამრავლებასთან. ამ შემთხვევაში, თუ ბაზები იგივეა, ინდიკატორები უნდა დაემატოს.
მეორე არის გაყოფა. კიდევ ერთხელ, მათთვის, ვისაც აქვს იგივე მიზეზები, ინდიკატორები უნდა გამოკლდეს. უფრო მეტიც, თქვენ უნდა გამოაკლოთ რიცხვი, რომელიც არის დივიდენდში და არა პირიქით.
მესამე არის ექსპონენტაცია. ამ სიტუაციაში ინდიკატორები მრავლდება.
წარმატებული შემცირება ასევე მოითხოვს უფლებამოსილებების თანაბარ საფუძვლებამდე შემცირების უნარს. ანუ დავინახოთ, რომ ოთხი არის ორი კვადრატი. ან 27 - სამის კუბი. რადგან 9 კვადრატისა და 3 კუბის შემცირება რთულია. მაგრამ თუ პირველ გამონათქვამს გარდაქმნით, როგორც (3 2) 2, მაშინ შემცირება წარმატებული იქნება.
ამ გაკვეთილზე შევისწავლით წილადის ძირითად თვისებას, გავარკვევთ რომელი წილადები უდრის ერთმანეთს. ჩვენ ვისწავლით წილადების შემცირებას, განვსაზღვრავთ არის თუ არა წილადი რედუცირებადი, ვივარჯიშებთ წილადების შემცირებაში და ვისწავლით როდის გამოვიყენოთ შეკუმშვა და როდის არა.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
ეს ინფორმაცია ხელმისაწვდომია რეგისტრირებული მომხმარებლებისთვის
წილადის მთავარი თვისება
წარმოიდგინეთ ეს სიტუაცია.
Მაგიდასთან 3 პირი და 5 ვაშლი გააზიარეთ 5 ვაშლი სამისთვის. ყველა იღებს \(\mathbf(\frac(5)(3))\) ვაშლებს.
და შემდეგ მაგიდასთან 3 ადამიანი და ასევე 5 ვაშლი ყოველი ისევ \(\mathbf(\frac(5)(3))\)
Მთლიანობაში 10 ვაშლი 6 ადამიანური. თითოეული \(\mathbf(\frac(10)(6))\)
მაგრამ ეს იგივეა.
\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)
ეს წილადები ტოლია.
შეგიძლიათ გააორმაგოთ ხალხის რაოდენობა და გააორმაგოთ ვაშლების რაოდენობა. შედეგი იგივე იქნება.
მათემატიკაში ის ასეა ჩამოყალიბებული:
თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება ან იყოფა იმავე რიცხვზე (არა ტოლი 0-ის), მაშინ ახალი წილადი ორიგინალის ტოლი იქნება..
ამ ქონებას ზოგჯერ უწოდებენ " წილადის მთავარი თვისება ».
$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$
მაგალითად, გზა ქალაქიდან სოფელში - 14 კმ.
მივდივართ გზაზე და ვადგენთ გავლილ მანძილს კილომეტრის მარკერებით. ექვსი სვეტი, ექვსი კილომეტრი გავიარეთ, ჩვენ გვესმის, რომ გავიარეთ \(\mathbf(\frac(6)(14))\) მანძილი.
მაგრამ თუ ჩვენ ვერ ვხედავთ ბოძებს (შესაძლოა ისინი არ იყო დამონტაჟებული), ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ბილიკი გზის გასწვრივ ელექტრო ბოძების გამოყენებით. მათი 40 ცალი ყოველ კილომეტრზე. ანუ მთლიანობაში 560 მთელი გზა. ექვსი კილომეტრი - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) სვეტები. ანუ გავიარეთ 240 საწყისი 560 pillars-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)
\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)
მაგალითი 1
მონიშნეთ წერტილი კოორდინატებით ( 5; 7 ) კოორდინატულ სიბრტყეზე XOი. ის შეესაბამება წილადს \(\mathbf(\frac(5)(7))\)
შეაერთეთ კოორდინატების წარმოშობა მიღებულ წერტილთან. ააგეთ კიდევ ერთი წერტილი, რომელსაც წინა კოორდინატები ორჯერ აღემატება. რა წილადი მიიღეთ? იქნებიან ისინი თანაბარი?
გამოსავალი
კოორდინატთა სიბრტყეზე წილადი შეიძლება მონიშნოს წერტილით. \(\mathbf(\frac(5)(7))\ წილადის წარმოსადგენად, მონიშნეთ წერტილი კოორდინატით 5 ღერძის გასწვრივ იდა 7 ღერძის გასწვრივ X. მოდით გავავლოთ სწორი ხაზი საწყისიდან ჩვენი წერტილიდან.
წერტილი, რომელიც შეესაბამება წილადს \(\mathbf(\frac(10)(14))\) ასევე იქნება იმავე წრფეზე
ისინი ექვივალენტურია: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)
ეს სტატია აგრძელებს ალგებრული წილადების გარდაქმნის თემას: განიხილეთ ასეთი მოქმედება, როგორც ალგებრული წილადების შემცირება. მოდით განვსაზღვროთ თავად ტერმინი, ჩამოვაყალიბოთ შემცირების წესი და გავაანალიზოთ პრაქტიკული მაგალითები.
Yandex.RTB R-A-339285-1
ალგებრული წილადის შემცირების მნიშვნელობა
საერთო წილადების შესახებ მასალებში ჩვენ განვიხილეთ მისი შემცირება. ჩვენ განვსაზღვრეთ წილადის შემცირება, როგორც მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორზე გაყოფა.
მსგავსი ოპერაციაა ალგებრული წილადის შემცირება.
განმარტება 1
ალგებრული წილადის შემცირებაარის მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის დაყოფა საერთო ფაქტორზე. ამ შემთხვევაში, ჩვეულებრივი წილადის შემცირებისგან განსხვავებით (საერთო მნიშვნელი შეიძლება იყოს მხოლოდ რიცხვი), ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი შეიძლება იყოს პოლინომი, კერძოდ, მონომი ან რიცხვი.
მაგალითად, ალგებრული წილადი 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 შეიძლება შემცირდეს 3 რიცხვით, შედეგად: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ იგივე წილადი x ცვლადით და ეს მოგვცემს გამოსახულებას 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. ასევე შესაძლებელია მოცემული წილადის შემცირება მონომით 3 xან რომელიმე მრავალწევრი x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ან 3 x 2 + 6 x წ.
ალგებრული წილადის შემცირების საბოლოო მიზანი არის წილადზე მეტი მარტივი ტიპისაუკეთესო შემთხვევაში, არის შეუქცევადი წილადი.
ყველა ალგებრული წილადი ექვემდებარება შემცირებას?
ისევ ჩვეულებრივი წილადების მასალებიდან ვიცით, რომ არსებობს შემცირებადი და შეუქცევადი წილადები. შეუქცევადი წილადები არის წილადები, რომლებსაც არ აქვთ საერთო ფაქტორები მრიცხველსა და მნიშვნელში, გარდა 1-ისა.
იგივეა ალგებრული წილადების შემთხვევაში: მათ შეიძლება ჰქონდეთ საერთო ფაქტორები მრიცხველსა და მნიშვნელში, ან შეიძლება არა. საერთო ფაქტორების არსებობა საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ საწყისი ფრაქცია შემცირების გზით. როდესაც არ არსებობს საერთო ფაქტორები, შეუძლებელია მოცემული წილადის ოპტიმიზაცია შემცირების მეთოდის გამოყენებით.
IN ზოგადი შემთხვევებიმიერ მოცემული ტიპიწილადისთვის საკმაოდ რთულია იმის გაგება, შეიძლება თუ არა მისი შემცირება. რა თქმა უნდა, ზოგიერთ შემთხვევაში აშკარაა მრიცხველსა და მნიშვნელს შორის საერთო ფაქტორის არსებობა. მაგალითად, ალგებრულ წილადში 3 x 2 3 y სავსებით ნათელია, რომ საერთო ფაქტორი არის რიცხვი 3.
წილადში - x · y 5 · x · y · z 3 ასევე მაშინვე გვესმის, რომ შეიძლება შემცირდეს x, ან y, ან x · y. და მაინც, ბევრად უფრო ხშირად არის ალგებრული წილადების მაგალითები, როდესაც მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი არც ისე ადვილი შესამჩნევია და უფრო ხშირად, ის უბრალოდ არ არსებობს.
მაგალითად, შეგვიძლია x 3 - 1 x 2 - 1 წილადი შევამციროთ x - 1-ით, მაშინ როცა მითითებული საერთო ფაქტორი არ არის ჩანაწერში. მაგრამ წილადი x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 არ შეიძლება შემცირდეს, რადგან მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო კოეფიციენტი.
ამდენად, ალგებრული წილადის შემცირების განსაზღვრის საკითხი არც ისე მარტივია და ხშირად უფრო ადვილია მოცემული ფორმის წილადთან მუშაობა, ვიდრე იმის გარკვევა, არის თუ არა ის შემცირებადი. ამ შემთხვევაში ხდება ისეთი გარდაქმნები, რომლებიც ცალკეულ შემთხვევებში შესაძლებელს ხდის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტის დადგენას ან წილადის შეუქცევადობის შესახებ დასკვნის გამოტანას. ამ საკითხს დეტალურად განვიხილავთ სტატიის შემდეგ პუნქტში.
ალგებრული წილადების შემცირების წესი
ალგებრული წილადების შემცირების წესიშედგება ორი თანმიმდევრული მოქმედებისგან:
- მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორების პოვნა;
- თუ აღმოჩენილია, ფრაქციის შემცირების მოქმედება ხორციელდება უშუალოდ.
საერთო მნიშვნელების პოვნის ყველაზე მოსახერხებელი მეთოდია მოცემული ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში არსებული მრავალწევრების ფაქტორირება. ეს საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ დაინახოთ საერთო ფაქტორების არსებობა ან არარსებობა.
თავად ალგებრული წილადის შემცირების მოქმედება ემყარება ალგებრული წილადის ძირითად თვისებას, რომელიც გამოიხატება განუსაზღვრელი ტოლობით, სადაც a, b, c არის რამდენიმე მრავალწევრი, ხოლო b და c არ არის ნულოვანი. პირველი ნაბიჯი არის წილადის შემცირება a · c b · c ფორმამდე, რომელშიც დაუყოვნებლივ ვამჩნევთ საერთო ფაქტორს c. მეორე ნაბიჯი არის შემცირების შესრულება, ე.ი. a b ფორმის წილადზე გადასვლა.
ტიპიური მაგალითები
გარკვეული აშკარაობის მიუხედავად, მოდით დავაზუსტოთ განსაკუთრებული შემთხვევაროცა ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი ტოლია. მსგავსი წილადები იდენტურად უდრის 1-ს ამ წილადის ცვლადების მთელ ODZ-ზე:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;
Იმიტომ რომ საერთო წილადებიალგებრული წილადების განსაკუთრებული შემთხვევაა, გავიხსენოთ როგორ ხდება მათი შემცირება. მრიცხველში და მნიშვნელში ჩაწერილი ნატურალური რიცხვები მრავლდება მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ საერთო ფაქტორები გაუქმებულია (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).
მაგალითად, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
მარტივი იდენტური ფაქტორების ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს ხარისხებად, ხოლო წილადის შემცირების პროცესში გამოიყენეთ ძალაუფლების გამყოფი თვისება იდენტური საფუძვლებით. მაშინ ზემოაღნიშნული გამოსავალი იქნება:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა საერთო ფაქტორზე 2 2 3). ან სიცხადისთვის, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებებზე დაყრდნობით, ამონახსნებს ვაძლევთ შემდეგ ფორმას:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
ანალოგიით, ხორციელდება ალგებრული წილადების შემცირება, რომლებშიც მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ მონომები მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.
მაგალითი 1
ალგებრული წილადი მოცემულია - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. საჭიროა მისი შემცირება.
გამოსავალი
შესაძლებელია მოცემული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი დავწეროთ მარტივი ფაქტორების და ცვლადების ნამრავლად და შემდეგ ჩავატაროთ შემცირება:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
თუმცა, უფრო რაციონალური გზა იქნება ამოხსნის დაწერა, როგორც გამოხატვის ძალა:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
პასუხი:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
როდესაც ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს წილადის ციფრულ კოეფიციენტებს, არსებობს შემდგომი მოქმედების ორი შესაძლო გზა: ან გაყავით ეს წილადი კოეფიციენტები ცალკე, ან ჯერ გაათავისუფლეთ წილადი კოეფიციენტები მრიცხველისა და მნიშვნელის გარკვეულზე გამრავლებით. ბუნებრივი რიცხვი. ბოლო ტრანსფორმაცია ხორციელდება ალგებრული წილადის ძირითადი თვისების გამო (ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში „ალგებრული წილადის ახალ მნიშვნელზე შემცირება“).
მაგალითი 2
მოცემული წილადია 2 5 x 0, 3 x 3. საჭიროა მისი შემცირება.
გამოსავალი
წილადის შემცირება შესაძლებელია ამ გზით:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
შევეცადოთ პრობლემის სხვაგვარად გადაჭრას, ჯერ რომ მოვიშოროთ წილადი კოეფიციენტები - გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი ამ კოეფიციენტების მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადზე, ე.ი. LCM-ზე (5, 10) = 10. შემდეგ მივიღებთ:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
პასუხი: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
როცა ალგებრულ წილადებს ვამცირებთ ზოგადი ხედი, რომელშიც მრიცხველები და მნიშვნელები შეიძლება იყოს მონომები ან პოლინომები, შეიძლება არსებობდეს პრობლემა, როდესაც საერთო ფაქტორი ყოველთვის დაუყოვნებლივ არ ჩანს. უფრო მეტიც, ის უბრალოდ არ არსებობს. შემდეგ საერთო კოეფიციენტის დასადგენად ან მისი არარსებობის ფაქტის ჩასაწერად ხდება ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი.
მაგალითი 3
მოცემულია რაციონალური წილადი 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. საჭიროა მისი შემცირება.
გამოსავალი
მრავალწევრები გავამრავლოთ მრიცხველში და მნიშვნელში. მოდი ფრჩხილებიდან გამოვყოთ:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
ჩვენ ვხედავთ, რომ ფრჩხილებში მოცემული გამოხატულება შეიძლება გარდაიქმნას შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
აშკარად ჩანს, რომ შესაძლებელია წილადის შემცირება საერთო ფაქტორით b 2 (a + 7). მოდით გავაკეთოთ შემცირება:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
მოდით დავწეროთ მოკლე ამოხსნა ახსნის გარეშე, როგორც თანასწორობის ჯაჭვი:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
პასუხი: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
ეს ხდება, რომ საერთო ფაქტორები იმალება რიცხვითი კოეფიციენტებით. შემდეგ, წილადების შემცირებისას, ოპტიმალურია რიცხვითი ფაქტორები მრიცხველისა და მნიშვნელის უფრო მაღალ სიმძლავრეებზე ფრჩხილებიდან ამოვიტანოთ.
მაგალითი 4
მოცემულია ალგებრული წილადი 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . თუ ეს შესაძლებელია, მისი შემცირება აუცილებელია.
გამოსავალი
ერთი შეხედვით მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო მნიშვნელი. თუმცა ვცადოთ მოცემული წილადის გადაქცევა. ამოვიღოთ x ფაქტორი მრიცხველში:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
ახლა თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ გარკვეული მსგავსება ფრჩხილებში გამოსახულებასა და მნიშვნელში გამოსახულებას შორის x 2 y-ის გამო . ავიღოთ ამ მრავალწევრების უმაღლესი ხარისხების რიცხვითი კოეფიციენტები:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
ახლა საერთო ფაქტორი ხილული ხდება, ჩვენ ვახორციელებთ შემცირებას:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
პასუხი: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ რაციონალური წილადების შემცირების უნარი დამოკიდებულია მრავალწევრების ფაქტორების უნარზე.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
ასე მივედით შემცირებაზე. აქ გამოიყენება წილადის ძირითადი თვისება. მაგრამ! არც ისე მარტივი. ბევრი წილადით (მათ შორის, სასკოლო კურსიდან), სავსებით შესაძლებელია მათთან გადალახვა. რა მოხდება, თუ ავიღოთ წილადები, რომლებიც „უფრო მკვეთრია“? მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ!გირჩევთ შეხედოთ მასალებს წილადებით.ასე რომ, ჩვენ უკვე ვიცით, რომ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გამრავლდეს და გავყოთ იმავე რიცხვზე, წილადი არ შეიცვლება. განვიხილოთ სამი მიდგომა:
მიუახლოვდით ერთს.
შესამცირებლად გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი საერთო გამყოფი. მოდით შევხედოთ მაგალითებს:
შევამოკლოთ:
მოცემულ მაგალითებში ჩვენ მაშინვე ვხედავთ, თუ რომელი გამყოფები ავიღოთ შემცირებისთვის. პროცესი მარტივია - გავდივართ 2,3,4,5 და ა.შ. უმეტეს სასკოლო კურსის მაგალითებში, ეს სავსებით საკმარისია. მაგრამ თუ წილადია:
აქ გამყოფების შერჩევის პროცესს შეიძლება დიდი დრო დასჭირდეს;). რა თქმა უნდა, ასეთი მაგალითები სასკოლო სასწავლო გეგმის მიღმაა, მაგრამ თქვენ უნდა შეძლოთ მათთან გამკლავება. ქვემოთ განვიხილავთ, თუ როგორ კეთდება ეს. ახლა, მოდით, დავუბრუნდეთ შემცირების პროცესს.
როგორც ზემოთ განვიხილეთ, წილადის შესამცირებლად ჩვენ გავყავით ჩვენ მიერ განსაზღვრულ საერთო გამყოფ(ებ)ზე. ყველაფერი სწორია! უბრალოდ უნდა დაამატოთ რიცხვების გაყოფის ნიშნები:
- თუ რიცხვი ლუწია, მაშინ ის იყოფა 2-ზე.
- თუ ბოლო ორი ციფრის რიცხვი იყოფა 4-ზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 4-ზე.
— თუ რიცხვის შემადგენელი ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 3-ზე. მაგალითად, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. თორმეტი იყოფა 3-ზე, ამიტომ 123031 იყოფა 3-ზე.
- თუ რიცხვი მთავრდება 5-ით ან 0-ით, მაშინ რიცხვი იყოფა 5-ზე.
— თუ რიცხვის შემადგენელი ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 9-ზე. მაგალითად, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. თვრამეტი იყოფა 9-ზე, რაც ნიშნავს, რომ 623032 იყოფა 9-ზე.
მეორე მიდგომა.
მოკლედ რომ ვთქვათ, ფაქტობრივად, მთელი მოქმედება მოდის მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორინგზე და შემდეგ მრიცხველსა და მნიშვნელში თანაბარი ფაქტორების შემცირებაზე (ეს მიდგომა არის პირველი მიდგომის შედეგი):
ვიზუალურად, დაბნეულობისა და შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, თანაბარი ფაქტორები უბრალოდ გადახაზულია. კითხვა - როგორ განვასხვავოთ რიცხვი? აუცილებელია ყველა გამყოფის დადგენა ძიებით. ეს ცალკე თემაა, არ არის რთული, მოიძიეთ ინფორმაცია სახელმძღვანელოში ან ინტერნეტში. სასკოლო წილადებში არსებული რიცხვების ფაქტორინგთან დაკავშირებით დიდი პრობლემები არ შეგხვდებათ.
ფორმალურად, შემცირების პრინციპი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
მიდგომა სამი.
აქ არის ყველაზე საინტერესო რამ მოწინავეებისთვის და მათთვის, ვისაც სურს გახდეს. შევამციროთ წილადი 143/273. თავად სცადე! აბა, როგორ მოხდა ეს სწრაფად? ახლა შეხედე!
ვაბრუნებთ (ვცვლით მრიცხველისა და მნიშვნელის ადგილებს). მიღებულ წილადს ვყოფთ კუთხით და ვაქცევთ შერეულ რიცხვად, ანუ ვირჩევთ მთელ ნაწილს:
უკვე უფრო ადვილია. ჩვენ ვხედავთ, რომ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შემცირდეს 13-ით:
ახლა არ დაგავიწყდეთ წილადის უკან გადაბრუნება, მოდით ჩამოვწეროთ მთელი ჯაჭვი:
შემოწმებულია - ამას ნაკლები დრო სჭირდება, ვიდრე გამყოფების ძიებასა და შემოწმებას. დავუბრუნდეთ ჩვენს ორ მაგალითს:
Პირველი. გავყოთ კუთხით (არა კალკულატორზე), მივიღებთ:
ეს ფრაქცია, რა თქმა უნდა, უფრო მარტივია, მაგრამ შემცირება ისევ პრობლემაა. ახლა ჩვენ ცალკე ვაანალიზებთ წილადს 1273/1463 და ვაბრუნებთ მას:
აქ უფრო ადვილია. ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ისეთი გამყოფი, როგორიცაა 19. დანარჩენი არ არის შესაფერისი, ეს გასაგებია: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. რა! მოდით დავწეროთ:
შემდეგი მაგალითი. შევამოკლოთ 88179/2717.
გაყავით, მივიღებთ:
ცალკე ვაანალიზებთ წილადს 1235/2717 და ვაბრუნებთ მას:
ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ გამყოფი, როგორიცაა 13 (13-მდე არ არის შესაფერისი):
მრიცხველი 247:13=19 მნიშვნელი 1235:13=95
*პროცესის დროს ვნახეთ კიდევ ერთი გამყოფი ტოლი 19. გამოდის, რომ:
ახლა ჩვენ ვწერთ ორიგინალ ნომერს:
და არ აქვს მნიშვნელობა რა არის უფრო დიდი წილადში - მრიცხველი თუ მნიშვნელი, თუ ეს არის მნიშვნელი, მაშინ ჩვენ ვაბრუნებთ მას და ვიმოქმედებთ ისე, როგორც აღწერილია. ამ გზით ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ ნებისმიერი წილადი; მესამე მიდგომას შეიძლება ვუწოდოთ უნივერსალური.
რა თქმა უნდა, ზემოთ განხილული ორი მაგალითი არ არის მარტივი მაგალითი. მოდით ვცადოთ ეს ტექნოლოგია იმ "მარტივ" წილადებზე, რომლებიც უკვე განვიხილეთ:
ორი მეოთხედი.
სამოცდათორმეტი სამოცი. მრიცხველი აღემატება მნიშვნელს, არ არის საჭირო მისი შებრუნება:
რა თქმა უნდა, მესამე მიდგომა გამოიყენებოდა ასეთ მარტივ მაგალითებზე უბრალოდ ალტერნატივად. მეთოდი, როგორც უკვე ითქვა, უნივერსალურია, მაგრამ არა მოსახერხებელი და სწორი ყველა ფრაქციებისთვის, განსაკუთრებით მარტივისთვის.
წილადების მრავალფეროვნება დიდია. მნიშვნელოვანია, რომ გაიგოთ პრინციპები. უბრალოდ არ არსებობს მკაცრი წესი წილადებთან მუშაობისთვის. ჩვენ შევხედეთ, გავარკვიეთ, როგორ იქნებოდა უფრო მოსახერხებელი მოქმედება და წინ წავედით. პრაქტიკით, უნარი მოვა და თქვენ მათ თესლივით გახეთქავთ.
დასკვნა:
თუ ხედავთ საერთო გამყოფ(ებ)ს მრიცხველისა და მნიშვნელისთვის, გამოიყენეთ ისინი შესამცირებლად.
თუ თქვენ იცით, როგორ სწრაფად მოაწყოთ რიცხვი, შეადარეთ მრიცხველი და მნიშვნელი, შემდეგ შეამცირეთ.
თუ თქვენ ვერ განსაზღვრავთ საერთო გამყოფს, გამოიყენეთ მესამე მიდგომა.
*წილადების შესამცირებლად მნიშვნელოვანია დაეუფლოთ შემცირების პრინციპებს, გაიგოთ წილადის ძირითადი თვისებები, იცოდეთ ამოხსნის მიდგომები და იყოთ უკიდურესად ფრთხილად გამოთვლების გაკეთებისას.
და დაიმახსოვრე! მიღებულია წილადის შემცირება მანამ, სანამ არ შეჩერდება, ანუ მცირდება, სანამ არის საერთო გამყოფი.
პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.
იგი ეფუძნება მათ ძირითად თვისებას: თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა იმავე არანულოვანი მრავალწევრით, მაშინ მიიღება ტოლი წილადი.
თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ მულტიპლიკატორების შემცირება!
მრავალწევრების წევრების შემოკლება შეუძლებელია!
ალგებრული წილადის შესამცირებლად ჯერ მრიცხველსა და მნიშვნელში მყოფი მრავალწევრები უნდა გამრავლდეს.
მოდით შევხედოთ წილადების შემცირების მაგალითებს.
წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს მონომებს. ისინი წარმოადგენენ მუშაობა(რიცხვები, ცვლადები და მათი სიმძლავრეები), მამრავლებიშეგვიძლია შევამციროთ.
ჩვენ ვამცირებთ რიცხვებს მათი უდიდესი საერთო გამყოფით, ესე იგი უდიდესი რიცხვი, რომლითაც თითოეული ეს რიცხვი იყოფა. 24-ისთვის და 36-ისთვის ეს არის 12. შემცირების შემდეგ 24-დან რჩება 2 და 36-დან 3.
ჩვენ ვამცირებთ ხარისხებს ყველაზე დაბალი ინდექსის ხარისხით. წილადის შემცირება ნიშნავს მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფას ერთიდაიმავე გამყოფზე და გამოვაკლოთ მაჩვენებლები.
a² და a⁷ მცირდება a²-მდე. ამ შემთხვევაში ერთი რჩება a²-ის მრიცხველში (1-ს ვწერთ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც შემცირების შემდეგ სხვა ფაქტორები აღარ რჩება. 24-დან რჩება 2, ამიტომ არ ვწერთ a²-დან დარჩენილ 1-ს). a7-დან, შემცირების შემდეგ, რჩება a5.
b და b მცირდება b-ით, მიღებული ერთეულები არ იწერება.
c³º და c5 შემცირებულია c5-მდე. c³º-დან რაც რჩება არის c25, c5-დან არის ერთი (ჩვენ არ ვწერთ). ამრიგად,
ამ ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავალწევრია. თქვენ არ შეგიძლიათ გააუქმოთ მრავალწევრების პირობები! (თქვენ არ შეგიძლიათ შეამციროთ, მაგალითად, 8x² და 2x!). ამ წილადის შესამცირებლად საჭიროა. მრიცხველს აქვს საერთო კოეფიციენტი 4x. ამოვიღოთ ფრჩხილებიდან:
მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც აქვს ერთი და იგივე ფაქტორი (2x-3). ამ ფაქტორით ვამცირებთ წილადს. მრიცხველში მივიღეთ 4x, მნიშვნელში - 1. ალგებრული წილადების 1 თვისების მიხედვით წილადი 4x-ის ტოლია.
თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ ფაქტორების შემცირება (ამ წილადს 25x²-ით ვერ შეამცირებთ!). მაშასადამე, წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში მრავალწევრები უნდა იყოს გამრავლებული.
მრიცხველი არის ჯამის სრული კვადრატი, მნიშვნელი არის კვადრატების სხვაობა. გამრავლების შემოკლებული ფორმულების გამოყენებით დაშლის შემდეგ ვიღებთ:
ჩვენ ვამცირებთ წილადს (5x+1)-ით (ამისთვის, მრიცხველში გადახაზეთ ორი მაჩვენებლის სახით, დატოვეთ (5x+1)² (5x+1)):
მრიცხველს აქვს საერთო კოეფიციენტი 2, ამოვიღოთ იგი ფრჩხილებიდან. მნიშვნელი არის ფორმულა კუბების სხვაობისთვის:
გაფართოების შედეგად მრიცხველმა და მნიშვნელმა მიიღეს იგივე ფაქტორი (9+3a+a²). ჩვენ ვამცირებთ წილადს:
მრიცხველში მრავალწევრი შედგება 4 წევრისაგან. პირველი წევრი მეორესთან ერთად, მესამე - მეოთხე და ამოიღეთ საერთო ფაქტორი x² პირველი ფრჩხილებიდან. ჩვენ ვხსნით მნიშვნელს კუბურების ჯამის ფორმულის გამოყენებით:
მრიცხველში ავიღოთ საერთო ფაქტორი (x+2) ფრჩხილებიდან:
წილადის შემცირება (x+2):
Ჩატვირთვა...