კვადრატული განტოლებების მაგალითების ამოხსნა და დეტალური ამოხსნა. ონლაინ კალკულატორი. კვადრატული განტოლების ამოხსნა

პირველი დონე

კვადრატული განტოლებები. ყოვლისმომცველი სახელმძღვანელო (2019)

ტერმინში "კვადრატული განტოლება" საკვანძო სიტყვაა "კვადრატული". ეს ნიშნავს, რომ განტოლება აუცილებლად უნდა შეიცავდეს ცვლადს (იგივე x) კვადრატში და არ უნდა იყოს Xes მესამე (ან უფრო დიდი) სიმძლავრის მიმართ.

მრავალი განტოლების ამოხსნა დგება ზუსტად ამოხსნამდე კვადრატული განტოლებები.

მოდით ვისწავლოთ იმის დადგენა, რომ ეს არის კვადრატული განტოლება და არა სხვა განტოლება.

მაგალითი 1.

მოვიშოროთ მნიშვნელი და გავამრავლოთ განტოლების თითოეული წევრი

გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხენა მხარედა დაალაგეთ ტერმინები x-ის ხარისხების კლებადობით

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ ეს განტოლება არის კვადრატული!

მაგალითი 2.

გაამრავლეთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები:

ეს განტოლება, თუმცა თავდაპირველად მასში იყო, არ არის კვადრატული!

მაგალითი 3.

მოდით გავამრავლოთ ყველაფერი:

საშინელი? მეოთხე და მეორე ხარისხი... თუმცა, თუ ჩანაცვლებას გავაკეთებთ, დავინახავთ, რომ გვაქვს მარტივი კვადრატული განტოლება:

მაგალითი 4.

როგორც ჩანს, არსებობს, მაგრამ მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ. მოდით გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხენა მხარეს:

ნახეთ, ის შემცირდა - და ახლა ეს არის მარტივი წრფივი განტოლება!

ახლა შეეცადეთ დაადგინოთ ქვემოთ ჩამოთვლილი განტოლებიდან რომელია კვადრატული და რომელი არა:

მაგალითები:

პასუხები:

  1. მოედანი;
  2. მოედანი;
  3. არა კვადრატი;
  4. არა კვადრატი;
  5. არა კვადრატი;
  6. მოედანი;
  7. არა კვადრატი;
  8. მოედანი.

მათემატიკოსები პირობითად ყოფენ ყველა კვადრატულ განტოლებას შემდეგ ტიპებად:

  • სრული კვადრატული განტოლებები- განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტები და, ისევე როგორც თავისუფალი წევრი c, არ არის ნულის ტოლი (როგორც მაგალითში). გარდა ამისა, სრულ კვადრატულ განტოლებებს შორის არის მოცემული- ეს არის განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტი (განტოლება პირველი მაგალითიდან არა მხოლოდ სრულია, არამედ შემცირებულია!)
  • არასრული კვადრატული განტოლებები- განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტი და ან თავისუფალი წევრი c უდრის ნულს:

    ისინი არასრულია, რადგან რაღაც ელემენტი აკლია. მაგრამ განტოლება ყოველთვის უნდა შეიცავდეს x კვადრატს!!! წინააღმდეგ შემთხვევაში, ეს აღარ იქნება კვადრატული განტოლება, არამედ სხვა განტოლება.

რატომ მოიგონეს ასეთი დაყოფა? როგორც ჩანს, არის X კვადრატში და კარგი. ეს დაყოფა განისაზღვრება გადაწყვეტის მეთოდებით. მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი უფრო დეტალურად.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

პირველ რიგში, მოდით, ყურადღება გავამახვილოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე - ისინი ბევრად უფრო მარტივია!

არსებობს არასრული კვადრატული განტოლებების ტიპები:

  1. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი ტოლია.
  2. , ამ განტოლებაში თავისუფალი წევრი უდრის.
  3. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ტოლია.

1. ი. რადგან ვიცით როგორ ავიღოთ კვადრატული ფესვი, მოდით გამოვხატოთ ამ განტოლებიდან

გამოთქმა შეიძლება იყოს უარყოფითი ან დადებითი. კვადრატული რიცხვი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რადგან ორი უარყოფითი ან ორი დადებითი რიცხვის გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის იქნება დადებითი რიცხვი, ასე რომ: თუ, მაშინ განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

და თუ, მაშინ მივიღებთ ორ ფესვს. არ არის საჭირო ამ ფორმულების დამახსოვრება. მთავარია იცოდე და ყოველთვის გახსოვდეთ, რომ ნაკლები არ შეიძლება.

შევეცადოთ ამოხსნათ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 5:

ამოხსენით განტოლება

ახლა რჩება მხოლოდ ფესვის ამოღება მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან. ბოლოს და ბოლოს, გახსოვთ, როგორ ამოიღოთ ფესვები?

პასუხი:

არასოდეს დაივიწყოთ ფესვები უარყოფითი ნიშნით!!!

მაგალითი 6:

ამოხსენით განტოლება

პასუხი:

მაგალითი 7:

ამოხსენით განტოლება

ოჰ! რიცხვის კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება

არა ფესვები!

ასეთი განტოლებისთვის, რომლებსაც ფესვები არ აქვთ, მათემატიკოსებმა გამოიგონეს სპეციალური ხატი - (ცარიელი ნაკრები). და პასუხი შეიძლება დაიწეროს ასე:

პასუხი:

ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. აქ არანაირი შეზღუდვა არ არის, რადგან ჩვენ არ გამოვყავით ფესვი.
მაგალითი 8:

ამოხსენით განტოლება

ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

ამრიგად,

ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

პასუხი:

არასრული კვადრატული განტოლებების უმარტივესი ტიპი (თუმცა ისინი ყველა მარტივია, არა?). ცხადია, ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი:

აქ მაგალითების გარეშე გავაკეთებთ.

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

შეგახსენებთ, რომ სრული კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლების განტოლება, სადაც

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ცოტა უფრო რთულია (უბრალოდ ცოტა) ვიდრე ეს.

გახსოვდეს, ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია დისკრიმინანტის გამოყენებით! თუნდაც არასრული.

სხვა მეთოდები დაგეხმარებათ ამის გაკეთებაში უფრო სწრაფად, მაგრამ თუ პრობლემები გაქვთ კვადრატულ განტოლებებთან დაკავშირებით, ჯერ დაეუფლეთ ამონახსს დისკრიმინანტის გამოყენებით.

1. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა დისკრიმინანტის გამოყენებით.

ამ მეთოდის გამოყენებით კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ძალიან მარტივია, მთავარია დაიმახსოვროთ მოქმედებების თანმიმდევრობა და რამდენიმე ფორმულა.

თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი. Განსაკუთრებული ყურადღებაგადადგი ნაბიჯი. დისკრიმინანტი () გვეუბნება განტოლების ფესვების რაოდენობას.

  • თუ, მაშინ ნაბიჯის ფორმულა შემცირდება. ამრიგად, განტოლებას მხოლოდ ფესვი ექნება.
  • თუ, მაშინ ჩვენ ვერ გამოვყოფთ დისკრიმინანტის ფესვს საფეხურზე. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

დავუბრუნდეთ ჩვენს განტოლებებს და გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 9:

ამოხსენით განტოლება

Ნაბიჯი 1ჩვენ გამოვტოვებთ.

ნაბიჯი 2.

ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:

ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

ნაბიჯი 3.

პასუხი:

მაგალითი 10:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება წარმოდგენილია სტანდარტული ფორმით, ასე რომ Ნაბიჯი 1ჩვენ გამოვტოვებთ.

ნაბიჯი 2.

ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:

ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:

მაგალითი 11:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება წარმოდგენილია სტანდარტული ფორმით, ასე რომ Ნაბიჯი 1ჩვენ გამოვტოვებთ.

ნაბიჯი 2.

ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვერ შევძლებთ დისკრიმინანტის ფესვის ამოღებას. განტოლების ფესვები არ არსებობს.

ახლა ჩვენ ვიცით, როგორ სწორად ჩამოვწეროთ ასეთი პასუხები.

პასუხი:ფესვების გარეშე

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

თუ გახსოვთ, არსებობს განტოლების ტიპი, რომელსაც ეწოდება შემცირებული (როცა კოეფიციენტი a უდრის):

ასეთი განტოლებების ამოხსნა ძალიან ადვილია ვიეტას თეორემის გამოყენებით:

ფესვების ჯამი მოცემულიკვადრატული განტოლება ტოლია, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია.

მაგალითი 12:

ამოხსენით განტოლება

ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას ვიეტას თეორემის გამოყენებით, რადგან .

განტოლების ფესვების ჯამი ტოლია, ე.ი. ჩვენ ვიღებთ პირველ განტოლებას:

და პროდუქტი უდრის:

მოდით შევადგინოთ და მოვაგვაროთ სისტემა:

  • და. თანხა უდრის;
  • და. თანხა უდრის;
  • და. თანხა თანაბარია.

და არის სისტემის გამოსავალი:

პასუხი: ; .

მაგალითი 13:

ამოხსენით განტოლება

პასუხი:

მაგალითი 14:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება მოცემულია, რაც ნიშნავს:

პასუხი:

კვადრატული განტოლებები. საშუალო დონე

რა არის კვადრატული განტოლება?

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება, სადაც - უცნობი, - ზოგიერთი რიცხვი და.

რიცხვს უწოდებენ უმაღლეს ან პირველი კოეფიციენტიკვადრატული განტოლება, - მეორე კოეფიციენტი, ა - თავისუფალი წევრი.

რატომ? რადგან თუ განტოლება მაშინვე ხდება წრფივი, იმიტომ გაქრება.

ამ შემთხვევაში და შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. ამ სავარძელში განტოლებას არასრული ეწოდება. თუ ყველა ტერმინი ადგილზეა, ანუ განტოლება დასრულებულია.

სხვადასხვა ტიპის კვადრატული განტოლებების ამონახსნები

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები:

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს - ისინი უფრო მარტივია.

ჩვენ შეგვიძლია განვასხვავოთ შემდეგი ტიპის განტოლებები:

I., ამ განტოლებაში კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ტოლია.

II. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი ტოლია.

III. , ამ განტოლებაში თავისუფალი წევრი უდრის.

ახლა მოდით გადავხედოთ თითოეული ამ ქვეტიპის გადაწყვეტას.

ცხადია, ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი:

კვადრატული რიცხვი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რადგან როდესაც გაამრავლებთ ორ უარყოფით ან ორ დადებით რიცხვს, შედეგი ყოველთვის იქნება დადებითი რიცხვი. Ამიტომაც:

თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები;

თუ ორი ფესვი გვაქვს

არ არის საჭირო ამ ფორმულების დამახსოვრება. მთავარია გახსოვდეთ, რომ ეს არ შეიძლება იყოს ნაკლები.

მაგალითები:

გადაწყვეტილებები:

პასუხი:

არასოდეს დაივიწყოთ ფესვები უარყოფითი ნიშნით!

რიცხვის კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება

ფესვების გარეშე.

მოკლედ რომ ჩამოვწეროთ, რომ პრობლემას არ აქვს გადაწყვეტილებები, ვიყენებთ ცარიელი ნაკრების ხატულას.

პასუხი:

ამრიგად, ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: და.

პასუხი:

ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ამონახსნი, როდესაც:

ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: და.

მაგალითი:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

მოდით გავამრავლოთ განტოლების მარცხენა მხარე და ვიპოვოთ ფესვები:

პასუხი:

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები:

1. დისკრიმინანტი

ამ გზით კვადრატული განტოლებების ამოხსნა მარტივია, მთავარია დაიმახსოვროთ მოქმედებების თანმიმდევრობა და რამდენიმე ფორმულა. დაიმახსოვრეთ, ნებისმიერი კვადრატული განტოლება შეიძლება ამოხსნას დისკრიმინანტის გამოყენებით! თუნდაც არასრული.

შენიშნეთ ფესვები დისკრიმინანტიდან ფესვების ფორმულაში? მაგრამ დისკრიმინანტი შეიძლება იყოს უარყოფითი. Რა უნდა ვქნა? განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მივაქციოთ მე-2 საფეხურს. დისკრიმინანტი გვეუბნება განტოლების ფესვების რაოდენობას.

  • თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვები:
  • თუ, მაშინ განტოლებას აქვს იგივე ფესვები და, ფაქტობრივად, ერთი ფესვი:

    ასეთ ფესვებს ორმაგი ფესვები ეწოდება.

  • თუ, მაშინ დისკრიმინანტის ფესვი არ არის ამოღებული. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

რატომ არის შესაძლებელი სხვადასხვა რაოდენობითფესვები? მივმართოთ გეომეტრიული გრძნობაკვადრატული განტოლება. ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა:

სპეციალურ შემთხვევაში, რომელიც არის კვადრატული განტოლება, . ეს ნიშნავს, რომ კვადრატული განტოლების ფესვები არის აბსცისის ღერძთან (ღერძთან) გადაკვეთის წერტილები. პარაბოლა შეიძლება საერთოდ არ კვეთდეს ღერძს, ან შეიძლება გადაკვეთოს იგი ერთ (როდესაც პარაბოლის წვერო ღერძზე დევს) ან ორ წერტილზე.

გარდა ამისა, კოეფიციენტი პასუხისმგებელია პარაბოლის ტოტების მიმართულებაზე. თუ, მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ, ხოლო თუ, მაშინ ქვემოთ.

მაგალითები:

გადაწყვეტილებები:

პასუხი:

პასუხი:.

პასუხი:

ეს ნიშნავს, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

პასუხი:.

2. ვიეტას თეორემა

ვიეტას თეორემის გამოყენება ძალიან მარტივია: თქვენ უბრალოდ უნდა აირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი ტოლია განტოლების თავისუფალ წევრს, ხოლო ჯამი უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ მეორე კოეფიციენტს.

მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ვიეტას თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ შემცირებული კვადრატული განტოლებები ().

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

მაგალითი #1:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას ვიეტას თეორემის გამოყენებით, რადგან . სხვა კოეფიციენტები: ; .

განტოლების ფესვების ჯამი არის:

და პროდუქტი უდრის:

ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი ტოლია და შევამოწმოთ მათი ჯამი ტოლია თუ არა:

  • და. თანხა უდრის;
  • და. თანხა უდრის;
  • და. თანხა თანაბარია.

და არის სისტემის გამოსავალი:

ამრიგად, და არის ჩვენი განტოლების ფესვები.

პასუხი: ; .

მაგალითი #2:

გამოსავალი:

მოდით ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომლებიც მოცემულია ნამრავლში და შემდეგ შევამოწმოთ მათი ჯამი ტოლია თუ არა:

და: სულ აძლევენ.

და: სულ აძლევენ. მისაღებად საკმარისია უბრალოდ შეცვალოთ სავარაუდო ფესვების ნიშნები: და ბოლოს და ბოლოს, პროდუქტი.

პასუხი:

მაგალითი #3:

გამოსავალი:

განტოლების თავისუფალი წევრი უარყოფითია და, შესაბამისად, ფესვების ნამრავლი არის უარყოფითი რიცხვი. ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი ფესვი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი. ამიტომ ფესვების ჯამი უდრის მათი მოდულების განსხვავებები.

მოდით ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომლებიც მოცემულია ნამრავლში და რომელთა განსხვავება უდრის:

და: მათი განსხვავება თანაბარია - არ ჯდება;

და: - შეუსაბამო;

და: - შეუსაბამო;

და: - შესაფერისი. რჩება მხოლოდ გვახსოვდეს, რომ ერთ-ერთი ფესვი უარყოფითია. ვინაიდან მათი ჯამი ტოლი უნდა იყოს, უფრო მცირე მოდულის მქონე ფესვი უარყოფითი უნდა იყოს: . ჩვენ ვამოწმებთ:

პასუხი:

მაგალითი #4:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

განტოლება მოცემულია, რაც ნიშნავს:

თავისუფალი ვადა უარყოფითია და, შესაბამისად, ფესვების პროდუქტი უარყოფითია. და ეს შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც განტოლების ერთი ფესვი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი.

მოდით ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი ტოლია და შემდეგ განვსაზღვროთ რომელ ფესვებს უნდა ჰქონდეს უარყოფითი ნიშანი:

ცხადია, მხოლოდ ფესვები და შესაფერისია პირველი პირობისთვის:

პასუხი:

მაგალითი #5:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

განტოლება მოცემულია, რაც ნიშნავს:

ფესვების ჯამი უარყოფითია, რაც იმას ნიშნავს, რომ, შესაბამისად მინიმუმ, ერთ-ერთი ფესვი უარყოფითია. მაგრამ რადგან მათი პროდუქტი დადებითია, ეს ნიშნავს, რომ ორივე ფესვს აქვს მინუს ნიშანი.

მოდით ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი უდრის:

ცხადია, ფესვები არის რიცხვები და.

პასუხი:

დამეთანხმებით, ძალიან მოსახერხებელია ფესვების ზეპირად გამომუშავება, ამ საზიზღარი დისკრიმინანტის დათვლის ნაცვლად. შეეცადეთ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა რაც შეიძლება ხშირად.

მაგრამ ვიეტას თეორემა საჭიროა, რათა ხელი შეუწყოს და დააჩქაროს ფესვების პოვნა. იმისათვის, რომ ისარგებლოთ მისი გამოყენებით, თქვენ უნდა მიიყვანოთ მოქმედებები ავტომატურად. და ამისათვის გადაწყვიტეთ კიდევ ხუთი მაგალითი. მაგრამ არ მოატყუოთ: თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ დისკრიმინანტი! მხოლოდ ვიეტას თეორემა:

ამოცანების გადაწყვეტილებები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

ამოცანა 1. ((x)^(2))-8x+12=0

ვიეტას თეორემის მიხედვით:

ჩვეულებისამებრ, შერჩევას ვიწყებთ ნაჭრით:

არ არის შესაფერისი, რადგან თანხა;

: თანხა არის ზუსტად ის, რაც გჭირდებათ.

პასუხი: ; .

დავალება 2.

და ისევ ჩვენი საყვარელი ვიეტას თეორემა: ჯამი ტოლი უნდა იყოს, ნამრავლი კი ტოლი.

მაგრამ რადგან ეს არ უნდა იყოს, მაგრამ, ჩვენ ვცვლით ფესვების ნიშნებს: და (სულ).

პასუხი: ; .

დავალება 3.

ჰმ... სად არის?

თქვენ უნდა გადაიტანოთ ყველა ტერმინი ერთ ნაწილად:

ფესვების ჯამი ნამრავლის ტოლია.

კარგი, გაჩერდი! განტოლება არ არის მოცემული. მაგრამ ვიეტას თეორემა გამოსაყენებელია მხოლოდ მოცემულ განტოლებებში. ასე რომ, ჯერ თქვენ უნდა მიუთითოთ განტოლება. თუ ვერ ხელმძღვანელობთ, უარი თქვით ამ იდეაზე და მოაგვარეთ სხვა გზით (მაგალითად, დისკრიმინანტის მეშვეობით). შეგახსენებთ, რომ კვადრატული განტოლების მიცემა ნიშნავს წამყვანი კოეფიციენტის ტოლს:

დიდი. მაშინ ფესვების ჯამი ტოლია და ნამრავლი.

აქ მსხლის ჭურვივით არჩევა ადვილია: ბოლოს და ბოლოს, ეს არის მარტივი რიცხვი (ბოდიში ტავტოლოგიისთვის).

პასუხი: ; .

დავალება 4.

თავისუფალი წევრი უარყოფითია. რა არის ამაში განსაკუთრებული? და ფაქტია, რომ ფესვებს განსხვავებული ნიშნები ექნებათ. ახლა კი, შერჩევისას, ჩვენ ვამოწმებთ არა ფესვების ჯამს, არამედ განსხვავებას მათ მოდულებში: ეს განსხვავება ტოლია, მაგრამ პროდუქტი.

ასე რომ, ფესვები ტოლია და, მაგრამ ერთი მათგანი არის მინუს. ვიეტას თეორემა გვეუბნება, რომ ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით, ანუ. ეს ნიშნავს, რომ პატარა ფესვს ექნება მინუსი: და, ვინაიდან.

პასუხი: ; .

დავალება 5.

რა უნდა გააკეთო პირველ რიგში? მართალია, მიეცი განტოლება:

ისევ: ჩვენ ვირჩევთ რიცხვის ფაქტორებს და მათი განსხვავება ტოლი უნდა იყოს:

ფესვები ტოლია და, მაგრამ ერთი მათგანი მინუს. რომელი? მათი ჯამი ტოლი უნდა იყოს, რაც ნიშნავს, რომ მინუსს უფრო დიდი ფესვი ექნება.

პასუხი: ; .

ნება მომეცით შევაჯამოთ:
  1. ვიეტას თეორემა გამოიყენება მხოლოდ მოცემულ კვადრატულ განტოლებებში.
  2. ვიეტას თეორემის გამოყენებით შეგიძლიათ ფესვების პოვნა შერჩევით, ზეპირად.
  3. თუ განტოლება არ არის მოცემული ან არ არის ნაპოვნი თავისუფალი ტერმინის ფაქტორების შესაფერისი წყვილი, მაშინ არ არსებობს მთელი ფესვები და თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ იგი სხვა გზით (მაგალითად, დისკრიმინანტის საშუალებით).

3. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი

თუ უცნობის შემცველი ყველა ტერმინი წარმოდგენილია ტერმინების სახით შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიდან - ჯამის ან სხვაობის კვადრატი - მაშინ ცვლადების ჩანაცვლების შემდეგ, განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების სახით.

Მაგალითად:

მაგალითი 1:

ამოხსენით განტოლება: .

გამოსავალი:

პასუხი:

მაგალითი 2:

ამოხსენით განტოლება: .

გამოსავალი:

პასუხი:

IN ზოგადი ხედიტრანსფორმაცია ასე გამოიყურება:

ეს გულისხმობს: .

არაფერს არ გახსენებს? ეს არის დისკრიმინაციული რამ! სწორედ ასე მივიღეთ დისკრიმინაციული ფორმულა.

კვადრატული განტოლებები. მოკლედ მთავარის შესახებ

Კვადრატული განტოლება- ეს არის ფორმის განტოლება, სადაც - უცნობი, - კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები, - თავისუფალი წევრი.

სრული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტები არ არის ნულის ტოლი.

შემცირებული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი, ანუ: .

არასრული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი და ან თავისუფალი წევრი c უდრის ნულს:

  • თუ კოეფიციენტი, განტოლება ასე გამოიყურება:
  • თუ არსებობს თავისუფალი წევრი, განტოლებას აქვს ფორმა:
  • თუ და, განტოლება ასე გამოიყურება: .

1. არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი

1.1. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც, :

1) გამოვხატოთ უცნობი:

2) შეამოწმეთ გამოხატვის ნიშანი:

  • თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები,
  • თუ, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

1.2. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც, :

1) ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

2) ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ამრიგად, განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

1.3. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც:

ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი: .

2. ფორმის სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი, სადაც

2.1. გამოსავალი დისკრიმინანტის გამოყენებით

1) მივიყვანოთ განტოლება სტანდარტულ ფორმაში:

2) გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი ფორმულის გამოყენებით: , რომელიც მიუთითებს განტოლების ფესვების რაოდენობას:

3) იპოვეთ განტოლების ფესვები:

  • თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვები, რომლებიც გვხვდება ფორმულით:
  • თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი, რომელიც გვხვდება ფორმულით:
  • თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

2.2. ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით

შემცირებული კვადრატული განტოლების (ფორმის განტოლება, სადაც) ფესვების ჯამი ტოლია, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია, ე.ი. , ა.

2.3. ამოხსნა სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდით

კვადრატული განტოლების ამოცანები შესწავლილია როგორც სასკოლო სასწავლო გეგმაში, ასევე უნივერსიტეტებში. ისინი გულისხმობენ a*x^2 + b*x + c = 0 ფორმის განტოლებებს, სადაც x-ცვლადი, a, b, c – მუდმივები; ა<>0 . ამოცანაა იპოვოთ განტოლების ფესვები.

კვადრატული განტოლების გეომეტრიული მნიშვნელობა

ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც წარმოდგენილია კვადრატული განტოლებით, არის პარაბოლა. კვადრატული განტოლების ამონახსნები (ფესვები) არის პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები აბსცისა (x) ღერძთან. აქედან გამომდინარეობს, რომ არსებობს სამი შესაძლო შემთხვევა:
1) პარაბოლას არ აქვს აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები. ეს ნიშნავს, რომ ის არის ზედა სიბრტყეში ტოტებით ზემოთ ან ქვედა ტოტებით ქვემოთ. ასეთ შემთხვევებში კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები (მას აქვს ორი რთული ფესვი).

2) პარაბოლას აქვს ოქსის ღერძთან გადაკვეთის ერთი წერტილი. ასეთ წერტილს პარაბოლის წვერო ეწოდება და მასზე კვადრატული განტოლება იძენს მის მინიმალურ ან მაქსიმალურ მნიშვნელობას. ამ შემთხვევაში, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი რეალური ფესვი (ან ორი იდენტური ფესვი).

3) პრაქტიკაში უფრო საინტერესოა ბოლო შემთხვევა - პარაბოლას აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის ორი წერტილია. ეს ნიშნავს, რომ განტოლების ორი რეალური ფესვია.

ცვლადების სიმძლავრის კოეფიციენტების ანალიზის საფუძველზე საინტერესო დასკვნების გამოტანა შეიძლება პარაბოლის განლაგების შესახებ.

1) თუ კოეფიციენტი a არის ნულზე მეტი, მაშინ პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, თუ ის უარყოფითია, პარაბოლის ტოტები მიმართულია ქვევით.

2) თუ კოეფიციენტი b არის ნულზე მეტი, მაშინ პარაბოლას წვერო დევს მარცხენა ნახევარსიბრტყეში, თუ ის უარყოფით მნიშვნელობას იღებს, მაშინ მარჯვნივ.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის გამოყვანა

გადავიტანოთ მუდმივი კვადრატული განტოლებიდან

ტოლობის ნიშნისთვის ვიღებთ გამონათქვამს

გავამრავლოთ ორივე მხარე 4a-ზე

მარცხნივ სრული კვადრატის მისაღებად დაამატეთ b^2 ორივე მხარეს და განახორციელეთ ტრანსფორმაცია

აქედან ვპოულობთ

კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტისა და ფესვების ფორმულა

დისკრიმინანტი არის რადიკალური გამოხატვის მნიშვნელობა, თუ ის დადებითია, მაშინ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი, რომელიც გამოითვლება ფორმულით როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი (ორი დამთხვევა ფესვი), რომლის მიღებაც შესაძლებელია ზემოთ მოყვანილი ფორმულიდან D=0-ისთვის, როდესაც დისკრიმინანტი უარყოფითია, განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები. ამასთან, კვადრატული განტოლების ამონახსნები გვხვდება კომპლექსურ სიბრტყეში და მათი მნიშვნელობა გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

ვიეტას თეორემა

განვიხილოთ კვადრატული განტოლების ორი ფესვი და მათ საფუძველზე ავაშენოთ კვადრატული განტოლება თავად ვიეტას თეორემა ადვილად გამომდინარეობს აღნიშვნიდან: თუ გვაქვს ფორმის კვადრატული განტოლება. მაშინ მისი ფესვების ჯამი უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ p კოეფიციენტს, ხოლო განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ ნაწილს q. ზემოაღნიშნულის ფორმულის გამოსახვა ასე გამოიყურება, თუ კლასიკურ განტოლებაში მუდმივი a არის ნულოვანი, მაშინ თქვენ უნდა გაყოთ მასზე მთელი განტოლება და შემდეგ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა.

ფაქტორინგის კვადრატული განტოლების განრიგი

დავალება დავსვათ: აკრიფეთ კვადრატული განტოლება. ამისათვის ჩვენ ჯერ ვხსნით განტოლებას (იპოვეთ ფესვები). შემდეგი, ჩვენ შევცვლით ნაპოვნი ფესვებს კვადრატული განტოლების გაფართოების ფორმულაში.

კვადრატული განტოლების ამოცანები

დავალება 1. იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები

x^2-26x+120=0 .

ამოხსნა: ჩაწერეთ კოეფიციენტები და ჩაანაცვლეთ ისინი დისკრიმინაციული ფორმულით

ფესვი მოცემული ღირებულებაუდრის 14-ს, მისი პოვნა ადვილია კალკულატორით, ან დამახსოვრება ხშირი გამოყენებით, თუმცა, მოხერხებულობისთვის, სტატიის ბოლოს შემოგთავაზებთ რიცხვების კვადრატების ჩამონათვალს, რომლებიც ხშირად შეიძლება შეგვხვდეს მსგავს ამოცანებში.
ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას root ფორმულაში

და ვიღებთ

დავალება 2. ამოხსენით განტოლება

2x 2 +x-3=0.

ამოხსნა: გვაქვს სრული კვადრატული განტოლება, ამოვიწეროთ კოეფიციენტები და ვიპოვოთ დისკრიმინანტი


მიერ ცნობილი ფორმულებიკვადრატული განტოლების ფესვების პოვნა

დავალება 3. ამოხსენით განტოლება

9x 2 -12x+4=0.

ამოხსნა: გვაქვს სრული კვადრატული განტოლება. დისკრიმინანტის განსაზღვრა

ჩვენ მივიღეთ შემთხვევა, როდესაც ფესვები ემთხვევა. იპოვეთ ფესვების მნიშვნელობები ფორმულის გამოყენებით

დავალება 4. ამოხსენით განტოლება

x^2+x-6=0 .

გამოსავალი: იმ შემთხვევებში, როდესაც x-ისთვის არის მცირე კოეფიციენტები, მიზანშეწონილია ვიეტას თეორემის გამოყენება. მისი პირობით ვიღებთ ორ განტოლებას

მეორე პირობიდან ვხვდებით, რომ ნამრავლი უნდა იყოს -6-ის ტოლი. ეს ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი ფესვი უარყოფითია. ჩვენ გვაქვს ამონახსნების შემდეგი შესაძლო წყვილი (-3;2), (3;-2) . პირველი პირობის გათვალისწინებით, ჩვენ უარვყოფთ ხსნარების მეორე წყვილს.
განტოლების ფესვები ტოლია

ამოცანა 5. იპოვეთ მართკუთხედის გვერდების სიგრძეები, თუ მისი პერიმეტრია 18 სმ და ფართობი 77 სმ 2.

ამოხსნა: მართკუთხედის პერიმეტრის ნახევარი უდრის მიმდებარე გვერდების ჯამს. ავღნიშნოთ x, როგორც უფრო დიდი მხარე, მაშინ 18-x არის მისი პატარა მხარე. მართკუთხედის ფართობი უდრის ამ სიგრძის ნამრავლს:
x(18-x)=77;
ან
x 2 -18x+77=0.
ვიპოვოთ განტოლების დისკრიმინანტი

განტოლების ფესვების გამოთვლა

თუ x=11,რომ 18 = 7,პირიქითაც მართალია (თუ x=7, მაშინ 21-ის=9).

ამოცანა 6. კვადრატული განტოლება 10x 2 -11x+3=0 ფაქტორზე გადაიტანეთ.

ამოხსნა: გამოვთვალოთ განტოლების ფესვები, ამისთვის ვიპოვოთ დისკრიმინანტი

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას root ფორმულაში და გამოვთვალოთ

ჩვენ ვიყენებთ კვადრატული განტოლების ფესვებით დაშლის ფორმულას

ფრჩხილების გახსნით ვიღებთ პირადობას.

კვადრატული განტოლება პარამეტრით

მაგალითი 1. რა პარამეტრის მნიშვნელობებზე A ,აქვს თუ არა განტოლებას (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ერთი ფესვი?

ამოხსნა: a=3 მნიშვნელობის პირდაპირი ჩანაცვლებით ვხედავთ, რომ მას არ აქვს ამონახსნი. შემდეგი, ჩვენ გამოვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ნულოვანი დისკრიმინანტით განტოლებას აქვს 2 სიმრავლის ერთი ფესვი. ამოვიწეროთ დისკრიმინანტი

გავამარტივოთ და გავუტოლოთ ნულს

მივიღეთ კვადრატული განტოლება a პარამეტრთან მიმართებაში, რომლის ამოხსნაც ადვილად შეიძლება მივიღოთ ვიეტას თეორემის გამოყენებით. ფესვების ჯამი არის 7, ხოლო მათი ნამრავლი 12. მარტივი ძიებით ვადგენთ, რომ რიცხვები 3,4 იქნება განტოლების ფესვები. ვინაიდან ჩვენ უკვე უარვყავით გამოსავალი a=3 გამოთვლების დასაწყისში, ერთადერთი სწორი იქნება - a=4.ამრიგად, a=4-ისთვის განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

მაგალითი 2. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე A ,განტოლება a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0აქვს ერთზე მეტი ფესვი?

ამოხსნა: ჯერ განვიხილოთ სინგულარული წერტილები, ისინი იქნება მნიშვნელობები a=0 და a=-3. როდესაც a=0, განტოლება გამარტივდება სახით 6x-9=0; x=3/2 და იქნება ერთი ფესვი. a= -3-ისთვის ვიღებთ იდენტობას 0=0.
გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი

და იპოვნეთ a-ს მნიშვნელობა, რომელზეც ის დადებითია

პირველი პირობიდან ვიღებთ a>3. მეორესთვის, ჩვენ ვპოულობთ განტოლების დისკრიმინანტს და ფესვებს


მოდით განვსაზღვროთ ის ინტერვალები, სადაც ფუნქცია იღებს დადებით მნიშვნელობებს. a=0 წერტილის ჩანაცვლებით მივიღებთ 3>0 . ანუ, ინტერვალის გარეთ (-3;1/3) ფუნქცია უარყოფითია. არ დაგავიწყდეთ წერტილი a=0,რაც უნდა გამოირიცხოს, რადგან თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.
შედეგად, ვიღებთ ორ ინტერვალს, რომელიც აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს

პრაქტიკაში ბევრი მსგავსი დავალება იქნება, შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ ამოცანები და არ დაგავიწყდეთ ურთიერთგამომრიცხავი პირობების გათვალისწინება. კარგად შეისწავლეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები, რომლებიც ხშირად საჭიროა გაანგარიშებისას სხვადასხვა ამოცანებიდა მეცნიერებები.

ბიბლიოგრაფიული აღწერა:გასანოვი A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები // ახალგაზრდა მეცნიერი. 2016. No6.1. გვ 17-20..02.2019).





ჩვენი პროექტი ეხება კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გზებს. პროექტის მიზანი: ვისწავლოთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა სასკოლო სასწავლო გეგმაში არ შედის. დავალება: იპოვე ყველაფერი შესაძლო გზებიკვადრატული განტოლებების ამოხსნა და მათი გამოყენების სწავლა და ამ მეთოდების გაცნობა თანაკლასელებისთვის.

რა არის "კვადრატული განტოლებები"?

Კვადრატული განტოლება- ფორმის განტოლება ნაჯახი2 + bx + c = 0, სად , , - რამდენიმე რიცხვი ( a ≠ 0), x- უცნობი.

a, b, c რიცხვებს უწოდებენ კვადრატული განტოლების კოეფიციენტებს.

  • a ეწოდება პირველი კოეფიციენტი;
  • b ეწოდება მეორე კოეფიციენტი;
  • გ - თავისუფალი წევრი.

ვინ იყო პირველი, ვინც "გამოიგონა" კვადრატული განტოლებები?

წრფივი და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგიერთი ალგებრული ტექნიკა ცნობილი იყო 4000 წლის წინ ძველ ბაბილონში. უძველესი ბაბილონური თიხის ფირფიტების აღმოჩენა, რომელიც თარიღდება სადღაც ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 1800-დან 1600 წლამდე, იძლევა კვადრატული განტოლებების შესწავლის ყველაზე ადრეულ მტკიცებულებას. იგივე ტაბლეტები შეიცავს მეთოდებს გარკვეული ტიპის კვადრატული განტოლებების ამოხსნისთვის.

ძველ დროში არა მხოლოდ პირველი, არამედ მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობა გამოწვეული იყო არეების მოძიებასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობით. მიწის ნაკვეთებიდა თან მიწის სამუშაოებისამხედრო ხასიათის, ასევე თავად ასტრონომიისა და მათემატიკის განვითარებით.

ამ განტოლებების ამოხსნის წესი, რომელიც მოცემულია ბაბილონურ ტექსტებში, არსებითად ემთხვევა თანამედროვეს, მაგრამ უცნობია, როგორ მივიდნენ ბაბილონელები ამ წესამდე. აქამდე ნაპოვნი თითქმის ყველა ლურსმული ტექსტი იძლევა მხოლოდ რეცეპტების სახით ასახულ გადაწყვეტილებებს და არ მიუთითებს იმაზე, თუ როგორ იქნა ისინი ნაპოვნი. მიუხედავად იმისა მაღალი დონეალგებრის განვითარება ბაბილონში, ლურსმული ტექსტები მოკლებულია უარყოფითი რიცხვის ცნებას და ზოგადი მეთოდებიკვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

ბაბილონელი მათემატიკოსები დაახლოებით IV საუკუნიდან ჩვენს წელთაღრიცხვამდე. გამოიყენა კვადრატის კომპლიმენტის მეთოდი დადებითი ფესვებით განტოლებების ამოსახსნელად. დაახლოებით 300 წ ევკლიდემ მოიფიქრა უფრო ზოგადი გეომეტრიული ამოხსნის მეთოდი. პირველი მათემატიკოსი, რომელმაც უარყოფითი ფესვების მქონე განტოლებების ამონახსნები ალგებრული ფორმულის სახით იპოვა, იყო ინდოელი მეცნიერი. ბრაჰმაგუპტა(ინდოეთი, ჩვენი წელთაღრიცხვით მე-7 საუკუნე).

ბრაჰმაგუპტამ ჩამოაყალიბა ზოგადი წესი კვადრატული განტოლებების ამოხსნისთვის, რომელიც შემცირებულია ერთ კანონიკურ ფორმაზე:

ax2 + bx = c, a>0

ამ განტოლების კოეფიციენტები ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი. ბრაჰმაგუპტას წესი არსებითად იგივეა, რაც ჩვენი.

ინდოეთში გავრცელებული იყო საჯარო კონკურსები რთული პრობლემების გადაჭრაში. ერთ-ერთ ძველ ინდურ წიგნში ასეთი შეჯიბრებების შესახებ ნათქვამია: „როგორც მზე თავისი ბრწყინვალებით დაბნელებს ვარსკვლავებს, ისე. სწავლული ადამიანიდააბნელებს თავის დიდებას სახალხო შეკრებებზე ალგებრული ამოცანების შეთავაზებითა და გადაწყვეტით“. პრობლემები ხშირად პოეტური სახით იყო წარმოდგენილი.

ალგებრულ ტრაქტატში ალ-ხვარიზმიმოცემულია წრფივი და კვადრატული განტოლებების კლასიფიკაცია. ავტორი ითვლის 6 ტიპის განტოლებებს და გამოთქვამს შემდეგნაირად:

1) "კვადრატები უდრის ფესვებს", ანუ ax2 = bx.

2) „კვადრატები რიცხვების ტოლია“, ანუ ax2 = c.

3) „ფესვები რიცხვის ტოლია“, ანუ ax2 = c.

4) „კვადრატები და რიცხვები ფესვების ტოლია“, ანუ ax2 + c = bx.

5) „კვადრატები და ფესვები რიცხვის ტოლია“, ანუ ax2 + bx = c.

6) „ფესვები და რიცხვები უდრის კვადრატებს“, ანუ bx + c == ax2.

ალ-ხვარეზმისთვის, რომელიც მოხმარებას ერიდებოდა უარყოფითი რიცხვები, თითოეული ამ განტოლების პირობები არის დამატებები და არა გამოკლებადი. ამ შემთხვევაში, განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ დადებითი ამონახსნები, აშკარად არ არის გათვალისწინებული. ავტორი ადგენს ამ განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს ალ-ჯაბრისა და ალ-მუკაბალის ტექნიკის გამოყენებით. მისი გადაწყვეტილება, რა თქმა უნდა, სრულიად არ ემთხვევა ჩვენს გადაწყვეტილებას. რომ აღარაფერი ვთქვათ წმინდა რიტორიკულ ხასიათზე, უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითად, პირველი ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნისას, ალ-ხორეზმი, ისევე როგორც ყველა მათემატიკოსი მე-17 საუკუნემდე, არ ითვალისწინებს ნულოვანი ამონახსნებს. ალბათ იმიტომ, რომ კონკრეტულ პრაქტიკაში მას არ აქვს მნიშვნელობა დავალებებს. სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ალ-ხვარეზმი ადგენს მათი ამოხსნის წესებს კონკრეტული რიცხვითი მაგალითების გამოყენებით, შემდეგ კი მათ გეომეტრიულ მტკიცებულებებს.

ევროპაში ალ-ხორეზმის მოდელის მიხედვით კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმები პირველად ჩამოყალიბდა 1202 წელს დაწერილ „აბაკუს წიგნში“. იტალიელი მათემატიკოსი ლეონარდ ფიბონაჩი. ავტორმა დამოუკიდებლად შეიმუშავა რამდენიმე ახალი ალგებრული მაგალითებიპრობლემების გადაჭრა და იყო პირველი ევროპაში, რომელმაც უარყოფითი რიცხვები შემოიღო.

ამ წიგნმა ხელი შეუწყო ალგებრული ცოდნის გავრცელებას არა მხოლოდ იტალიაში, არამედ გერმანიაში, საფრანგეთსა და ევროპის სხვა ქვეყნებში. ამ წიგნიდან მრავალი პრობლემა გამოიყენებოდა XIV-XVII საუკუნეების თითქმის ყველა ევროპულ სახელმძღვანელოში. Ზოგადი წესიკვადრატული განტოლებების ამოხსნა შემცირდა ერთ კანონიკურ ფორმამდე x2 + bх = с ნიშნებისა და კოეფიციენტების ყველა შესაძლო კომბინაციისთვის b, c ჩამოყალიბდა ევროპაში 1544 წელს. მ.შტიფელი.

კვადრატული განტოლების ზოგადი ფორმით ამოხსნის ფორმულის წარმოშობა ხელმისაწვდომია Viète-დან, მაგრამ ვიეტმა აღიარა მხოლოდ დადებითი ფესვები. იტალიელი მათემატიკოსები ტარტალია, კარდანო, ბომბელიპირველთა შორის მე-16 საუკუნეში. გარდა დადებითისა, მხედველობაში მიიღება უარყოფითი ფესვებიც. მხოლოდ მე-17 საუკუნეში. ძალისხმევის წყალობით ჟირარდი, დეკარტი, ნიუტონიდა სხვა მეცნიერებს, კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდი თანამედროვე ფორმას იღებს.

მოდით შევხედოთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის რამდენიმე გზას.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის სტანდარტული მეთოდები სკოლის სასწავლო გეგმა:

  1. განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორირება.
  2. სრული კვადრატის არჩევის მეთოდი.
  3. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ფორმულის გამოყენებით.
  4. გრაფიკული გადაწყვეტაკვადრატული განტოლება.
  5. განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ შემცირებული და შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

შეგახსენებთ, რომ ზემოთ მოყვანილი კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად საკმარისია ვიპოვოთ ორი რიცხვი, რომელთა ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს, ხოლო ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით.

მაგალითი.x 2 -5x+6=0

თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვები, რომელთა ნამრავლი არის 6 და რომელთა ჯამი არის 5. ეს რიცხვები იქნება 3 და 2.

პასუხი: x 1 =2, x 2 =3.

მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს მეთოდი განტოლებისთვის, რომელთა პირველი კოეფიციენტი არ არის ერთის ტოლი.

მაგალითი.3x 2 +2x-5=0

აიღეთ პირველი კოეფიციენტი და გაამრავლეთ თავისუფალ წევრზე: x 2 +2x-15=0

ამ განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები, რომელთა ნამრავლი უდრის - 15-ს, ხოლო ჯამი უდრის - 2-ს. ეს რიცხვებია 5 და 3. საწყისი განტოლების ფესვების საპოვნელად, მიღებული ფესვები გაყავით პირველ კოეფიციენტზე.

პასუხი: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. განტოლებების ამოხსნა „გასროლის“ მეთოდით.

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0, სადაც a≠0.

ორივე მხარის a-ზე გამრავლებით მივიღებთ განტოლებას a 2 x 2 + abx + ac = 0.

მოდით ax = y, საიდანაც x = y/a; მაშინ მივდივართ განტოლებამდე y 2 + by + ac = 0, მოცემულის ტოლფასი. ვიეტას თეორემის გამოყენებით მის ფესვებს ვიპოვით 1 და 2-ზე.

საბოლოოდ მივიღებთ x 1 = y 1 /a და x 2 = y 2 /a.

ამ მეთოდით ა კოეფიციენტი მრავლდება თავისუფალ წევრზე, თითქოს მასზე „გადააგდეს“, რის გამოც მას „გაგდების“ მეთოდს უწოდებენ. ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც განტოლების ფესვები ადვილად იპოვება ვიეტას თეორემის გამოყენებით და რაც მთავარია, როცა დისკრიმინანტი არის ზუსტი კვადრატი.

მაგალითი.2x 2 - 11x + 15 = 0.

მოდით "ჩამოვყაროთ" კოეფიციენტი 2 თავისუფალ წევრზე და შევცვალოთ და მივიღოთ განტოლება y 2 - 11y + 30 = 0.

ვიეტას შებრუნებული თეორემის მიხედვით

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

პასუხი: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების თვისებები.

მიეცით კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. თუ a+ b + c = 0 (ანუ განტოლების კოეფიციენტების ჯამი არის ნული), მაშინ x 1 = 1.

2. თუ a - b + c = 0, ან b = a + c, მაშინ x 1 = - 1.

მაგალითი.345x 2 - 137x - 208 = 0.

ვინაიდან a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), მაშინ x 1 = 1, x 2 = -208/345.

პასუხი: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

მაგალითი.132x 2 + 247x + 115 = 0

იმიტომ რომ a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), შემდეგ x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

პასუხი: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

არსებობს კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების სხვა თვისებები. მაგრამ მათი გამოყენება უფრო რთულია.

8. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ნომოგრამის გამოყენებით.

ნახ 1. ნომოგრამა

ეს არის კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ძველი და ამჟამად მივიწყებული მეთოდი, განთავსებულია კრებულის 83-ე გვ.: Bradis V.M. ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები. - მ., განათლება, 1990 წ.

ცხრილი XXII. განტოლების ამოხსნის ნომოგრამა z 2 + pz + q = 0. ეს ნომოგრამა საშუალებას იძლევა, კვადრატული განტოლების ამოხსნის გარეშე, მისი კოეფიციენტებიდან განსაზღვროს განტოლების ფესვები.

ნომოგრამის მრუდი სკალა აგებულია ფორმულების მიხედვით (ნახ. 1):

სჯეროდა OS = p, ED = q, OE = a(ყველა სმ-ში), ნახ. 1-დან სამკუთხედების მსგავსება SANდა CDFჩვენ ვიღებთ პროპორციას

რომელიც ჩანაცვლებისა და გამარტივების შემდეგ იძლევა განტოლებას z 2 + pz + q = 0,და წერილი ნიშნავს ნებისმიერი წერტილის ნიშანს მრუდე მასშტაბზე.

ბრინჯი. 2 კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ნომოგრამის გამოყენებით

მაგალითები.

1) განტოლებისთვის 2 - 9z + 8 = 0ნომოგრამა იძლევა ფესვებს z 1 = 8.0 და z 2 = 1.0

პასუხი: 8.0; 1.0.

2) ნომოგრამის გამოყენებით ვხსნით განტოლებას

2z 2 - 9z + 2 = 0.

ამ განტოლების კოეფიციენტები გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ განტოლებას z 2 - 4.5z + 1 = 0.

ნომოგრამა იძლევა ფესვებს z 1 = 4 და z 2 = 0,5.

პასუხი: 4; 0.5.

9. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გეომეტრიული მეთოდი.

მაგალითი.X 2 + 10x = 39.

ორიგინალში ეს პრობლემა შემდეგნაირად არის ჩამოყალიბებული: „კვადრატი და ათი ფესვი უდრის 39-ს“.

განვიხილოთ კვადრატი x გვერდით, მის გვერდებზე აგებულია მართკუთხედები ისე, რომ თითოეული მათგანის მეორე მხარე იყოს 2,5, შესაბამისად თითოეულის ფართობი არის 2,5x. შედეგად მიღებულ ფიგურას ემატება ახალი ABCD კვადრატი, აშენდება ოთხი თანაბარი კვადრატი კუთხეებში, თითოეული მათგანის გვერდი არის 2,5, ხოლო ფართობი არის 6,25.

ბრინჯი. 3 განტოლების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი x 2 + 10x = 39

ABCD კვადრატის S ფართობი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც უბნების ჯამი: თავდაპირველი კვადრატი x 2, ოთხი მართკუთხედი (4∙2.5x = 10x) და ოთხი დამატებითი კვადრატი (6.25∙4 = 25), ე.ი. S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x 39 რიცხვით ჩანაცვლებით მივიღებთ, რომ S = 39 + 25 = 64, რაც ნიშნავს, რომ კვადრატის გვერდი არის ABCD, ე.ი. სეგმენტი AB = 8. თავდაპირველი კვადრატის x საჭირო მხარისთვის ვიღებთ

10. განტოლებების ამოხსნა ბეზუტის თეორემის გამოყენებით.

ბეზუტის თეორემა. P(x) მრავალწევრის x - α ბინომზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი უდრის P(α)-ს (ანუ P(x)-ის მნიშვნელობა x = α-ზე).

თუ რიცხვი α არის P(x) მრავალწევრის ფესვი, მაშინ ეს მრავალწევრი იყოფა x -α-ზე ნაშთის გარეშე.

მაგალითი.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x) გაყავით (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ან x-3=0, x=3; პასუხი: x1 =2, x2 =3.

დასკვნა:კვადრატული განტოლებების სწრაფად და რაციონალურად ამოხსნის უნარი უბრალოდ აუცილებელია მეტის ამოსახსნელად რთული განტოლებებიმაგალითად, წილადი რაციონალური განტოლებები, განტოლებები უმაღლესი ხარისხები, ბიკვადრატული განტოლებები და საშუალო სკოლის ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური და ლოგარითმული განტოლებები. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ყველა ნაპოვნი მეთოდის შესწავლის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია ვურჩიოთ ჩვენს კლასელებს, გარდა სტანდარტული მეთოდებისა, ამოხსნან გადაცემის მეთოდით (6) და ამოხსნან განტოლებები კოეფიციენტების (7) თვისების გამოყენებით, რადგან ისინი უფრო ხელმისაწვდომია. გაგებამდე.

ლიტერატურა:

  1. ბრედის ვ.მ. ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები. - მ., განათლება, 1990 წ.
  2. ალგებრა მე-8 კლასი: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები Makarychev Yu N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S.A. თელიაკოვსკი მე-15 გამოცემა, შესწორებული. - მ.: განათლება, 2015 წ
  3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
  4. გლეიზერ გ.ი. მათემატიკის ისტორია სკოლაში. სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის. / რედ. ვ.ნ. Უმცროსი. - მ.: განათლება, 1964 წ.

ცნობილია, რომ ეს არის ტოლობის კონკრეტული ვერსია ax 2 + bx + c = o, სადაც a, b და c არის რეალური კოეფიციენტები უცნობი x-ისთვის და სადაც a ≠ o, და b და c იქნება ნულები - ერთდროულად ან ცალკე. მაგალითად, c = o, b ≠ o ან პირიქით. ჩვენ თითქმის გვახსოვდა კვადრატული განტოლების განმარტება.

მეორე ხარისხის ტრინომია არის ნული. მის პირველ კოეფიციენტს a ≠ o, b და c შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა. x ცვლადის მნიშვნელობა იქნება მაშინ, როდესაც ჩანაცვლება აქცევს მას სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში. მოდით ფოკუსირება მოვახდინოთ ნამდვილ ფესვებზე, თუმცა განტოლებები შეიძლება იყოს ამონახსნებიც. ჩვეულებრივად უნდა ვუწოდოთ განტოლებას სრული, რომელშიც არცერთი კოეფიციენტი არ არის ტოლი o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠.
მოვაგვაროთ მაგალითი. 2x 2 -9x-5 = ოჰ, ჩვენ ვიპოვით
D = 81+40 = 121,
D დადებითია, რაც ნიშნავს რომ არის ფესვები, x 1 = (9+√121):4 = 5, ხოლო მეორე x 2 = (9-√121):4 = -o.5. შემოწმება დაგეხმარებათ დარწმუნდეთ, რომ ისინი სწორია.

აქ მოცემულია კვადრატული განტოლების ეტაპობრივი ამოხსნა

დისკრიმინანტის გამოყენებით, შეგიძლიათ ამოხსნათ ნებისმიერი განტოლება, რომლის მარცხენა მხარეს არის ცნობილი კვადრატული ტრინომი ≠ o-სთვის. ჩვენს მაგალითში. 2x 2 -9x-5 = 0 (ცული 2 +in+s = o)

განვიხილოთ რა არის მეორე ხარისხის არასრული განტოლებები

  1. ცული 2 +in = o. თავისუფალი წევრი, კოეფიციენტი c x 0-ზე, აქ ნულის ტოლია, ≠ o-ში.
    როგორ ამოხსნათ ამ ტიპის არასრული კვადრატული განტოლება? ავიღოთ x ფრჩხილებიდან. გავიხსენოთ, როდესაც ორი ფაქტორის ნამრავლი ნულის ტოლია.
    x(ax+b) = o, ეს შეიძლება იყოს, როდესაც x = o ან როდესაც ax+b = o.
    მე-2-ის ამოხსნის შემდეგ გვაქვს x = -в/а.
    შედეგად, გვაქვს ფესვები x 1 = 0, გამოთვლების მიხედვით x 2 = -b/a.
  2. ახლა x-ის კოეფიციენტი უდრის o-ს და c არ არის ტოლი (≠) o.
    x 2 +c = o. გადავიტანოთ c ტოლობის მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ x 2 = -с. ამ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს მხოლოდ მაშინ, როდესაც -c დადებითი რიცხვია (c ‹ o),
    x 1 მაშინ უდრის √(-c), შესაბამისად, x 2 არის -√(-c). წინააღმდეგ შემთხვევაში, განტოლებას საერთოდ არ აქვს ფესვები.
  3. ბოლო ვარიანტი: b = c = o, ანუ ax 2 = o. ბუნებრივია, ასეთ მარტივ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, x = o.

განსაკუთრებული შემთხვევები

ჩვენ განვიხილეთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ არასრული კვადრატული განტოლება და ახლა ავიღოთ ნებისმიერი ტიპი.

  • სრულ კვადრატულ განტოლებაში x-ის მეორე კოეფიციენტი არის ლუწი რიცხვი.
    მოდით k = o.5b. ჩვენ გვაქვს ფორმულები დისკრიმინანტისა და ფესვების გამოსათვლელად.
    D/4 = k 2 - ac, ფესვები გამოითვლება x 1,2 = (-k±√(D/4))/a D › o-სთვის.
    x = -k/a at D = o.
    D ‹ o-ს ფესვები არ არსებობს.
  • მოცემულია კვადრატული განტოლებები, როდესაც x კვადრატის კოეფიციენტი უდრის 1-ს, ჩვეულებრივ იწერება x 2 + рх + q = o. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა მათზე ვრცელდება, მაგრამ გამოთვლები გარკვეულწილად მარტივია.
    მაგალითი, x 2 -4x-9 = 0. გამოთვალეთ D: 2 2 +9, D = 13.
    x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
  • გარდა ამისა, ადვილი გამოსაყენებელია მოცემულებზე, ნათქვამია, რომ განტოლების ფესვების ჯამი უდრის -p, მეორე კოეფიციენტი მინუსით (ნიშნავს. საპირისპირო ნიშანი), და იგივე ფესვების ნამრავლი ტოლი იქნება q, თავისუფალი წევრი. ნახეთ, რამდენად ადვილი იქნებოდა ამ განტოლების ფესვების სიტყვიერად დადგენა. შეუმცირებელი კოეფიციენტებისთვის (ყველა კოეფიციენტისთვის, რომელიც არ არის ნულის ტოლი), ეს თეორემა გამოიყენება შემდეგნაირად: ჯამი x 1 + x 2 უდრის -b/a-ს, ნამრავლი x 1 · x 2 უდრის c/a-ს.

თავისუფალი წევრის c და პირველი კოეფიციენტის ჯამი უდრის b კოეფიციენტს. ამ სიტუაციაში განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი (ადვილად დასამტკიცებელი), პირველი აუცილებლად -1-ის ტოლია, ხოლო მეორე -c/a თუ არსებობს. თქვენ შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ როგორ ამოხსნათ არასრული კვადრატული განტოლება. ტორტივით მარტივი. კოეფიციენტები შეიძლება იყოს გარკვეულ ურთიერთობაში ერთმანეთთან

  • x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
  • ყველა კოეფიციენტის ჯამი o-ის ტოლია.
    ასეთი განტოლების ფესვებია 1 და c/a. მაგალითი, 2x 2 -15x+13 = o.
    x 1 = 1, x 2 = 13/2.

არსებობს მრავალი სხვა გზა სხვადასხვა მეორე ხარისხის განტოლებების ამოსახსნელად. აი, მაგალითად, მოცემული მრავალწევრიდან სრული კვადრატის ამოღების მეთოდი. არსებობს რამდენიმე გრაფიკული მეთოდი. როცა ასეთ მაგალითებს ხშირად ხვდები, თესლივით „დაწკაპუნებას“ ისწავლი, რადგან ყველა მეთოდი თავში ავტომატურად მოდის.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 ან x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

როდესაც ისწავლეთ პირველი ხარისხის განტოლებების ამოხსნა, რა თქმა უნდა, გსურთ იმუშაოთ სხვებთან, კერძოდ, მეორე ხარისხის განტოლებებთან, რომლებსაც სხვაგვარად უწოდებენ კვადრატულს.

კვადრატული განტოლებები არის განტოლებები, როგორიცაა ax² + bx + c = 0, სადაც ცვლადი არის x, რიცხვებია a, b, c, სადაც a არ არის ნულის ტოლი.

თუ კვადრატულ განტოლებაში ერთი ან მეორე კოეფიციენტი (c ან b) ნულის ტოლია, მაშინ ეს განტოლება კლასიფიცირდება როგორც არასრული კვადრატული განტოლება.

როგორ ამოხსნათ არასრული კვადრატული განტოლება, თუ სტუდენტებს აქამდე მხოლოდ პირველი ხარისხის განტოლებების ამოხსნა შეუძლიათ? განვიხილოთ არასრული კვადრატული განტოლებები განსხვავებული ტიპებიდა მათი გადაჭრის მარტივი გზები.

ა) თუ კოეფიციენტი c უდრის 0-ს და კოეფიციენტი b არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ax ² + bx + 0 = 0 მცირდება ax ² + bx = 0 ფორმის განტოლებამდე.

ასეთი განტოლების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულა, რომელიც შედგება მისი მარცხენა მხარის ფაქტორინგში და შემდგომში იმ პირობის გამოყენებაში, რომ პროდუქტი ნულის ტოლია.

მაგალითად, 5x² - 20x = 0. ჩვეულებრივ მათემატიკური მოქმედების შესრულებისას ვანაწილებთ განტოლების მარცხენა მხარეს: ფრჩხილებიდან ვიღებთ საერთო ფაქტორს.

5x (x - 4) = 0

ჩვენ ვიყენებთ პირობას, რომ პროდუქტები ნულის ტოლია.

5 x = 0 ან x - 4 = 0

პასუხი იქნება: პირველი ფესვი არის 0; მეორე ფესვი არის 4.

ბ) თუ b = 0 და თავისუფალი წევრი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ განტოლება ax ² + 0x + c = 0 მცირდება ax ² + c = 0 ფორმის განტოლებამდე. განტოლებები წყდება ორი გზით. : ა) მარცხენა მხარეს განტოლების მრავალწევრის ფაქტორირებით; ბ) არითმეტიკის თვისებების გამოყენებით კვადრატული ფესვი. ასეთი განტოლება შეიძლება ამოხსნას ერთ-ერთი მეთოდის გამოყენებით, მაგალითად:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. პასუხი იქნება: პირველი ფესვი არის 5/2; მეორე ფესვი უდრის - 5/2-ს.

გ) თუ b უდრის 0-ს და c უდრის 0-ს, მაშინ ax ² + 0 + 0 = 0 მცირდება ax ² = 0 ფორმის განტოლებამდე. ასეთ განტოლებაში x იქნება 0-ის ტოლი.

როგორც ხედავთ, არასრულ კვადრატულ განტოლებებს შეიძლება ჰქონდეს არაუმეტეს ორი ფესვი.

Ჩატვირთვა...Ჩატვირთვა...