სტუდენტებისთვის ერთ-ერთი ყველაზე რთული თემაა მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი განტოლებების ამოხსნა. ჯერ გავარკვიოთ, რას უკავშირდება ეს? მაგალითად, რატომ არღვევს ბავშვების უმეტესობა კვადრატულ განტოლებებს, როგორც კაკალი, მაგრამ ამით ის შორს არის საუკეთესოსგან? რთული კონცეფციაროგორ აქვს მოდულს ამდენი პრობლემა?

ჩემი აზრით, ყველა ეს სირთულე დაკავშირებულია მოდულით განტოლებების ამოხსნის მკაფიოდ ჩამოყალიბებული წესების ნაკლებობასთან. ასე რომ, გადაწყვეტილების მიღება კვადრატული განტოლება, მოსწავლემ ზუსტად იცის, რომ ჯერ უნდა გამოიყენოს დისკრიმინაციული ფორმულა, შემდეგ კი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები. რა უნდა გააკეთოს, თუ განტოლებაში ნაპოვნია მოდული? შევეცდებით ნათლად აღვწეროთ საჭირო სამოქმედო გეგმა იმ შემთხვევისთვის, როდესაც განტოლება შეიცავს უცნობს მოდულის ნიშნის ქვეშ. თითოეული შემთხვევისთვის რამდენიმე მაგალითს მოვიყვანთ.

მაგრამ ჯერ გავიხსენოთ მოდულის განმარტება. ასე რომ, მოდული ნომერი აამ ნომერს თავად ჰქვია თუ აარაუარყოფითი და -ათუ ნომერი ა ნულზე ნაკლები. შეგიძლიათ დაწეროთ ასე:

|ა| = a თუ a ≥ 0 და |a| = -a თუ ა< 0

Რაღაცის შესახებ საუბარი გეომეტრიული გრძნობამოდული, უნდა გვახსოვდეს, რომ თითოეული რეალური რიცხვი შეესაბამება რიცხვთა ღერძის გარკვეულ წერტილს - მის კოორდინაცია. ამრიგად, რიცხვის მოდული ან აბსოლუტური მნიშვნელობა არის მანძილი ამ წერტილიდან რიცხვითი ღერძის საწყისამდე. მანძილი ყოველთვის მითითებულია როგორც დადებითი რიცხვი. ამრიგად, მოდული ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვიდადებითი რიცხვია. სხვათა შორის, ამ ეტაპზეც ბევრი სტუდენტი იწყებს დაბნეულობას. მოდული შეიძლება შეიცავდეს ნებისმიერ რიცხვს, მაგრამ მოდულის გამოყენების შედეგი ყოველთვის დადებითი რიცხვია.

ახლა პირდაპირ გადავიდეთ განტოლებების ამოხსნაზე.

1. განვიხილოთ ფორმის განტოლება |x| = c, სადაც c არის რეალური რიცხვი. ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას მოდულის განსაზღვრის გამოყენებით.

ყველა ნამდვილ რიცხვს ვყოფთ სამ ჯგუფად: ნულზე მეტი, ნულზე ნაკლები და მესამე ჯგუფი არის რიცხვი 0. ამონახსანს ვწერთ დიაგრამის სახით:

(±c, თუ c > 0

თუ |x| = c, მაშინ x = (0, თუ c = 0

(ძირები არ არის, თუ აქვს< 0

1) |x| = 5, რადგან 5 > 0, შემდეგ x = ±5;

2) |x| = -5, რადგან -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, შემდეგ x = 0.

2. |f(x)| ფორმის განტოლება = b, სადაც b > 0. ამ განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა მოდულის მოშორება. ჩვენ ვაკეთებთ ასე: f(x) = b ან f(x) = -b. ახლა თქვენ უნდა ამოხსნათ თითოეული მიღებული განტოლება ცალკე. თუ თავდაპირველ განტოლებაში ბ< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, რადგან 4 > 0, მაშინ

x + 2 = 4 ან x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, რადგან 11 > 0, მაშინ

x 2 – 5 = 11 ან x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ფესვების გარეშე

3) |x 2 – 5x| = -8, რადგან -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)|-ის ფორმის განტოლება = g(x). მოდულის მნიშვნელობის მიხედვით, ასეთ განტოლებას ექნება ამონახსნები, თუ მისი მარჯვენა მხარე მეტია ან ტოლია ნულზე, ე.ი. g(x) ≥ 0. მაშინ გვექნება:

f(x) = g(x)ან f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. ამ განტოლებას ექნება ფესვები, თუ 5x – 10 ≥ 0. აქედან იწყება ასეთი განტოლებების ამოხსნა.

1. ო.დ.ზ. 5x – 10 ≥ 0

2. გამოსავალი:

2x – 1 = 5x – 10 ან 2x – 1 = -(5x – 10)

3. ვაერთებთ O.D.Z. და გამოსავალს ვიღებთ:

ფესვი x = 11/7 არ შეესაბამება O.D.Z.-ს, ის 2-ზე ნაკლებია, მაგრამ x = 3 აკმაყოფილებს ამ პირობას.

პასუხი: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2.

1. ო.დ.ზ. 1 – x 2 ≥ 0. ამ უტოლობას ამოვხსნათ ინტერვალის მეთოდით:

(1 – x) (1 + x) ≥ 0

2. გამოსავალი:

x – 1 = 1 – x 2 ან x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 ან x = 1 x = 0 ან x = 1

3. ვაერთებთ ხსნარს და O.D.Z.:

მხოლოდ ფესვები x = 1 და x = 0 არის შესაფერისი.

პასუხი: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| ფორმის განტოლება = |g(x)|. ასეთი განტოლება უდრის შემდეგ ორ განტოლებას f(x) = g(x) ან f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. ეს განტოლება უდრის შემდეგ ორს:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ან x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 ან x = 4 x = 2 ან x = 1

პასუხი: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. ჩანაცვლების მეთოდით ამოხსნილი განტოლებები (ცვლადის ჩანაცვლება). ეს მეთოდიგადაწყვეტილებები ყველაზე მარტივი ასახსნელია კონკრეტული მაგალითი. მაშ ასე, მოგვცეს კვადრატული განტოლება მოდულით:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. მოდულის თვისებით x 2 = |x| 2, ასე რომ განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. გავაკეთოთ ჩანაცვლება |x| = t ≥ 0, მაშინ გვექნება:

t 2 – 6t + 5 = 0. ამ განტოლების ამოხსნით ვხვდებით, რომ t = 1 ან t = 5. დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას:

|x| = 1 ან |x| = 5

x = ±1 x = ±5

პასუხი: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს:

x 2 + |x| – 2 = 0. მოდულის თვისებით x 2 = |x| 2, შესაბამისად

|x| 2 + |x| – 2 = 0. გავაკეთოთ ჩანაცვლება |x| = t ≥ 0, მაშინ:

t 2 + t – 2 = 0. ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთ t = -2 ან t = 1. დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას:

|x| = -2 ან |x| = 1

ფესვები არ არის x = ± 1

პასუხი: x = -1, x = 1.

6. განტოლებების კიდევ ერთი ტიპია განტოლებები "კომპლექსური" მოდულით. ასეთი განტოლებები მოიცავს განტოლებებს, რომლებსაც აქვთ „მოდულები მოდულში“. ამ ტიპის განტოლებები შეიძლება ამოხსნას მოდულის თვისებების გამოყენებით.

1) |3 – |x|| = 4. ჩვენ ვიმოქმედებთ ისევე, როგორც მეორე ტიპის განტოლებებში. იმიტომ რომ 4 > 0, მაშინ მივიღებთ ორ განტოლებას:

3 – |x| = 4 ან 3 – |x| = -4.

ახლა გამოვხატოთ x მოდული თითოეულ განტოლებაში, შემდეგ |x| = -1 ან |x| = 7.

ჩვენ ვხსნით თითოეულ მიღებულ განტოლებას. პირველ განტოლებაში ფესვები არ არის, რადგან -1< 0, а во втором x = ±7.

უპასუხეთ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. ჩვენ ამ განტოლებას ვხსნით ანალოგიურად:

3 + |x + 1| = 5 ან 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ან x + 1 = -2. არავითარი ფესვები.

პასუხი: x = -3, x = 1.

Არსებობს ასევე უნივერსალური მეთოდიგანტოლებების ამოხსნა მოდულით. ეს არის ინტერვალის მეთოდი. მაგრამ ჩვენ მოგვიანებით განვიხილავთ.

blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.

ჩვენ არ ვირჩევთ მათემატიკასმისი პროფესია და ის ირჩევს ჩვენ.

რუსი მათემატიკოსი იუ.ი. მანინი

განტოლებები მოდულით

სასკოლო მათემატიკაში ყველაზე რთული ამოსახსნელი ამოცანებია მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი განტოლებები. ასეთი განტოლებების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მოდულის განმარტება და ძირითადი თვისებები. ბუნებრივია, სტუდენტებს უნდა ჰქონდეთ ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის უნარები.

ძირითადი ცნებები და თვისებები

რეალური რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა).აღინიშნება და განისაზღვრება შემდეგნაირად:

TO მარტივი თვისებებიმოდული მოიცავს შემდეგ ურთიერთობებს:

Შენიშვნა, რომ ბოლო ორი თვისება მოქმედებს ნებისმიერი ლუწი ხარისხისთვის.

უფრო მეტიც, თუ სად, მაშინ და

უფრო რთული მოდულის თვისებები, რომელიც შეიძლება ეფექტურად იქნას გამოყენებული მოდულებით განტოლებების ამოხსნისას, ჩამოყალიბებულია შემდეგი თეორემების მეშვეობით:

თეორემა 1.ნებისმიერი ანალიტიკური ფუნქციისთვისდა უთანასწორობა მართალია

თეორემა 2.თანასწორობა უთანასწორობის ტოლფასია.

თეორემა 3.Თანასწორობა უთანასწორობის ტოლფასია.

მოდით გადავხედოთ ამოცანების ამოხსნის ტიპურ მაგალითებს თემაზე „განტოლებები, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი“.

განტოლებების ამოხსნა მოდულით

ყველაზე გავრცელებულია სკოლის მათემატიკამოდულით განტოლებების ამოხსნის მეთოდი არის მეთოდი, მოდულის გაფართოების საფუძველზე. ეს მეთოდი უნივერსალურია, თუმცა შიგნით ზოგადი შემთხვევამისმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს ძალიან რთული გამოთვლები. ამასთან დაკავშირებით სტუდენტებმა სხვა უნდა იცოდნენ, მეტი ეფექტური მეთოდებიდა ასეთი განტოლებების ამოხსნის ტექნიკა. Კერძოდ, აუცილებელია თეორემების გამოყენების უნარ-ჩვევები, მოცემულ სტატიაში.

მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება. (1)

გამოსავალი. განტოლებას (1) გადავწყვეტთ „კლასიკური“ მეთოდით – მოდულების გამოვლენის მეთოდით. ამისათვის მოდით გავყოთ რიცხვითი ღერძიწერტილები და ინტერვალებით და განიხილეთ სამი შემთხვევა.

1. თუ , მაშინ , , და განტოლება (1) იღებს ფორმას. აქედან გამომდინარეობს. თუმცა, აქ, შესაბამისად, ნაპოვნი მნიშვნელობა არ არის (1) განტოლების ფესვი.

2. თუ, შემდეგ (1) განტოლებიდან ვიღებთან .

Მას შემდეგ (1) განტოლების ფესვი.

3. თუ, შემდეგ განტოლება (1) იღებს ფორმასან . აღვნიშნოთ, რომ.

პასუხი: ,.

მოდულით შემდგომი განტოლებების ამოხსნისას ჩვენ აქტიურად გამოვიყენებთ მოდულების თვისებებს, რათა გავზარდოთ ასეთი განტოლებების ამოხსნის ეფექტურობა.

მაგალითი 2.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.მას შემდეგ, რაც და შემდეგ განტოლებიდან გამომდინარეობს. Ამ მხრივ, , , და განტოლება იღებს ფორმას. აქედან ვიღებთ. თუმცა, ამიტომ თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

პასუხი: არ არის ფესვები.

მაგალითი 3.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.Მას შემდეგ. თუ, მაშინ და განტოლება იღებს ფორმას.

აქედან ვიღებთ.

მაგალითი 4.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.მოდით გადავწეროთ განტოლება ეკვივალენტური ფორმით. (2)

მიღებული განტოლება მიეკუთვნება ტიპის განტოლებებს.

თეორემა 2-ის გათვალისწინებით, შეიძლება ითქვას, რომ განტოლება (2) უდრის უტოლობას. აქედან ვიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 5.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი. ამ განტოლებას აქვს ფორმა. Ამიტომაც , თეორემა 3-ის მიხედვით, აქ გვაქვს უთანასწორობაან .

მაგალითი 6.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.დავუშვათ, რომ. რადგან, მაშინ მოცემული განტოლება იღებს კვადრატული განტოლების ფორმას, (3)

სად . ვინაიდან განტოლებას (3) აქვს ერთი დადებითი ფესვიდა მერე . აქედან ვიღებთ ორიგინალური განტოლების ორ ფესვს:და .

მაგალითი 7. ამოხსენით განტოლება. (4)

გამოსავალი. განტოლებიდან გამომდინარეუდრის ორი განტოლების კომბინაციას:და მაშინ (4) განტოლების ამოხსნისას აუცილებელია ორი შემთხვევის გათვალისწინება.

1. თუ , მაშინ ან .

აქედან ვიღებთ და .

2. თუ , მაშინ ან .

Მას შემდეგ.

პასუხი: , , , .

მაგალითი 8.ამოხსენით განტოლება . (5)

გამოსავალი.მას მერე და მერე . აქედან და (5) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ და, ე.ი. აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

თუმცა ამ სისტემასგანტოლებები არათანმიმდევრულია.

პასუხი: არ არის ფესვები.

მაგალითი 9. ამოხსენით განტოლება. (6)

გამოსავალი.თუ აღვნიშნავთ, მაშინ და (6) განტოლებიდან ვიღებთ

ან . (7)

ვინაიდან განტოლებას (7) აქვს ფორმა, ეს განტოლება უდრის უტოლობას. აქედან ვიღებთ. მას შემდეგ ან .

პასუხი:.

მაგალითი 10.ამოხსენით განტოლება. (8)

გამოსავალი.თეორემა 1-ის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ

(9)

განტოლების (8) გათვალისწინებით, დავასკვნით, რომ ორივე უტოლობა (9) გადაიქცევა ტოლებად, ე.ი. არსებობს განტოლებათა სისტემა

თუმცა, თეორემა 3-ის მიხედვით, განტოლებათა ზემოაღნიშნული სისტემა უდრის უტოლობათა სისტემას.

(10)

უტოლობების სისტემის ამოხსნით (10) ვიღებთ . ვინაიდან უტოლობების სისტემა (10) უდრის განტოლებას (8), თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:.

მაგალითი 11. ამოხსენით განტოლება. (11)

გამოსავალი.მოდით და, მაშინ ტოლობა გამომდინარეობს განტოლებიდან (11).

აქედან გამომდინარეობს, რომ და. ამრიგად, აქ გვაქვს უთანასწორობის სისტემა

ამ უთანასწორობის სისტემის გამოსავალი არისდა .

პასუხი: ,.

მაგალითი 12.ამოხსენით განტოლება. (12)

გამოსავალი. განტოლება (12) ამოიხსნება მოდულების თანმიმდევრული გაფართოების მეთოდით. ამისათვის განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა.

1. თუ , მაშინ .

1.1. თუ , მაშინ და , .

1.2. თუ, მაშინ. თუმცა, ამიტომ შიგნით ამ შემთხვევაშიგანტოლებას (12) არ აქვს ფესვები.

2. თუ , მაშინ .

2.1. თუ , მაშინ და , .

2.2. თუ , მაშინ და .

პასუხი: , , , , .

მაგალითი 13.ამოხსენით განტოლება. (13)

გამოსავალი.Იმიტომ რომ მარცხენა მხარეგანტოლება (13) არის არაუარყოფითი, მაშინ . ამასთან დაკავშირებით და განტოლება (13)

იღებს ფორმას ან.

ცნობილია, რომ განტოლება უდრის ორი განტოლების ერთობლიობასდა რომლის ამოხსნაც მივიღებთ, . რადგან, მაშინ განტოლებას (13) აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:.

მაგალითი 14. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (14)

გამოსავალი.მას შემდეგ რაც და, მერე და. შესაბამისად, განტოლებათა სისტემიდან (14) ვიღებთ განტოლებათა ოთხ სისტემას:

განტოლებათა ზემოაღნიშნული სისტემების ფესვები არის განტოლებათა სისტემის ფესვები (14).

პასუხი: ,, , , , , , .

მაგალითი 15. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (15)

გამოსავალი.Მას შემდეგ. ამასთან დაკავშირებით განტოლებათა სისტემიდან (15) ვიღებთ განტოლებათა ორ სისტემას

განტოლებათა პირველი სისტემის ფესვებია და , ხოლო განტოლებათა მეორე სისტემიდან ვიღებთ და .

პასუხი: , , , .

მაგალითი 16. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (16)

გამოსავალი.სისტემის (16) პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ .

Მას შემდეგ . განვიხილოთ სისტემის მეორე განტოლება. Იმიტომ რომ, ეს, და განტოლება იღებს ფორმას, , ან .

თუ შეცვლით მნიშვნელობასსისტემის პირველ განტოლებაში (16), მაშინ , ან .

პასუხი: ,.

მეტისთვის ღრმა სწავლებაპრობლემის გადაჭრის მეთოდები, განტოლებების ამოხსნასთან დაკავშირებული, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი, შეგიძლიათ რჩევა სასწავლო საშუალებებირეკომენდებული ლიტერატურის სიიდან.

1. მათემატიკაში ამოცანების კრებული კოლეჯების მსურველთათვის / რედ. მ.ი. სკანავი. - მ.: მშვიდობა და განათლება, 2013. – 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: გაზრდილი სირთულის ამოცანები. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200გვ.

3. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: ამოცანების გადაჭრის არასტანდარტული მეთოდები. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296გვ.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები?

დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

ინსტრუქციები

თუ მოდული წარმოდგენილია როგორც უწყვეტი ფუნქცია, მაშინ მისი არგუმენტის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

ადვილი მისახვედრია, რომ კომპლექსური რიცხვების შეკრება და გამოკლება იგივე წესია, როგორც შეკრება და .

ორი რთული რიცხვის ნამრავლი უდრის:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

ვინაიდან i^2 = -1, მაშინ საბოლოო შედეგიტოლია:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

კომპლექსური რიცხვებისთვის სიმძლავრის და ფესვის ამოღების ოპერაციები განისაზღვრება ისევე, როგორც რეალური რიცხვებისთვის. თუმცა, კომპლექსურ რეგიონში, ნებისმიერი რიცხვისთვის, არის ზუსტად n რიცხვი b ისეთი, რომ b^n = a, ანუ n-ე ხარისხის ფესვები.

კერძოდ, ეს ნიშნავს, რომ n ხარისხის ნებისმიერ ალგებრულ განტოლებას ერთი ცვლადით აქვს ზუსტად n რთული ფესვი, რომელთაგან ზოგიერთი შეიძლება იყოს .

ვიდეო თემაზე

წყაროები:

• ლექცია „კომპლექსური რიცხვები“ 2019 წ

ფესვი არის ხატი, რომელიც აღნიშნავს რიცხვის პოვნის მათემატიკურ ოპერაციას, რომლის ამაღლება ძირის ნიშნის წინ მითითებულ ძალამდე უნდა იყოს სწორედ ამ ნიშნით მითითებულ რიცხვს. ხშირად, პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც მოიცავს ფესვებს, საკმარისი არ არის მხოლოდ მნიშვნელობის გამოთვლა. აუცილებელია დამატებითი ოპერაციების განხორციელება, რომელთაგან ერთ-ერთი არის რიცხვის, ცვლადის ან გამოხატვის შეყვანა ძირის ნიშნის ქვეშ.

ინსტრუქციები

განსაზღვრეთ ფესვის მაჩვენებელი. მაჩვენებელი არის მთელი რიცხვი, რომელიც მიუთითებს იმ სიმძლავრეზე, რომლითაც უნდა გაიზარდოს ფესვის გამოთვლის შედეგი, რათა მივიღოთ რადიკალური გამოხატულება (რიცხვი, საიდანაც ეს ფესვი არის ამოღებული). ძირეული მაჩვენებელი, როგორც ზედწერილი ძირის ხატის წინ. თუ ეს არ არის მითითებული, ეს არის Კვადრატული ფესვი, რომლის ხარისხი არის ორი. მაგალითად, √3 ფესვის მაჩვენებელი არის ორი, ³√3-ის მაჩვენებელი არის სამი, ფესვის ⁴√3 არის ოთხი და ა.შ.

აწიეთ რიცხვი, რომლის შეყვანაც გსურთ ფესვის ნიშნის ქვეშ, ამ ძირის მაჩვენებლის ტოლ ხარისხზე, რომელიც თქვენ მიერ არის განსაზღვრული წინა ეტაპზე. მაგალითად, თუ თქვენ უნდა შეიყვანოთ რიცხვი 5 ძირის ნიშნის ქვეშ ⁴√3, მაშინ ფესვის ხარისხის ინდექსი არის ოთხი და გჭირდებათ 5-ის მეოთხე ხარისხზე აყვანის შედეგი 5⁴=625. ამის გაკეთება შეგიძლიათ თქვენთვის მოსახერხებელი ნებისმიერი გზით - თქვენს თავში, კალკულატორის ან შესაბამისი სერვისების გამოყენებით.

შეიყვანეთ წინა ეტაპზე მიღებული მნიშვნელობა ძირეული ნიშნის ქვეშ, როგორც რადიკალური გამოხატვის მულტიპლიკატორი. წინა საფეხურში გამოყენებული მაგალითისთვის ძირის ქვეშ ⁴√3 5 (5*4√3) დამატებით, ეს მოქმედება შეიძლება შესრულდეს ასე: 5*4√3=⁴√(625*3).

თუ შესაძლებელია, გაამარტივეთ მიღებული რადიკალური გამოხატულება. მაგალითად, წინა ნაბიჯებიდან, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ რიცხვები ფესვის ნიშნის ქვეშ: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. ეს ასრულებს ძირის ქვეშ ნომრის შეყვანის ოპერაციას.

თუ პრობლემა შეიცავს უცნობ ცვლადებს, მაშინ ზემოთ აღწერილი ნაბიჯების შესრულება შესაძლებელია ზოგადი ხედი. მაგალითად, თუ თქვენ უნდა შეიყვანოთ უცნობი ცვლადი x მეოთხე ფესვის ქვეშ და რადიკალური გამოხატულება არის 5/x³, მაშინ მოქმედებების მთელი თანმიმდევრობა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: x*4√(5/x³)=4. √(x4*5/x³)= ⁴√(x*5).

წყაროები:

• რა ჰქვია ფესვის ნიშანს?

რეალური რიცხვები არ არის საკმარისი ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად. უმარტივესი კვადრატული განტოლება, რომელსაც ფესვები არ აქვს ნამდვილ რიცხვებს შორის არის x^2+1=0. ამოხსნისას გამოდის, რომ x=±sqrt(-1) და ელემენტარული ალგებრის კანონების მიხედვით გამოყავით ლუწი ხარისხის ფესვი უარყოფითიდან. ნომრებიაკრძალულია.

A გამოითვლება შემდეგი წესების შესაბამისად:

მოკლედ გამოიყენება აღნიშვნები |ა|. ასე რომ, |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| =100 და ა.შ.

ყველა ზომა Xშეესაბამება საკმაოდ ზუსტ მნიშვნელობას | X|. და ეს ნიშნავს ვინაობა ზე= |X| კომპლექტი ზეზოგიერთის მსგავსად არგუმენტის ფუნქცია X.

განრიგიეს ფუნქციებიქვემოთ წარმოდგენილი.

ამისთვის x > 0 |x| = xდა ამისთვის x< 0 |x|= -x; ამასთან დაკავშირებით, სტრიქონი y = | x| ზე x> 0 სწორ ხაზთან ერთად y = x(პირველი კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი) და როდის X< 0 - с прямой y = -x(მეორე კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი).

ცალკე განტოლებებიშეიცავდეს უცნობებს ნიშნის ქვეშ მოდული.

ასეთი განტოლების თვითნებური მაგალითები - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 და ა.შ.

განტოლებების ამოხსნამოდულის ნიშნის ქვეშ უცნობის შემცველი ემყარება იმ ფაქტს, რომ თუ უცნობი რიცხვის x აბსოლუტური მნიშვნელობა უდრის დადებით რიცხვს a, მაშინ ეს რიცხვი x თავად უდრის a ან -a.

Მაგალითად:, თუ | X| = 10, შემდეგ ან X=10, ან X = -10.

განვიხილოთ ინდივიდუალური განტოლებების ამოხსნა.

გავაანალიზოთ განტოლების ამონახსნი | X- 1| = 2.

მოდით გავაფართოვოთ მოდულიმაშინ განსხვავება X- 1 შეიძლება იყოს + 2 ან - 2. თუ x - 1 = 2, მაშინ X= 3; თუ X- 1 = - 2, მაშინ X= - 1. ვაკეთებთ ჩანაცვლებას და ვხვდებით, რომ ორივე ეს მნიშვნელობა აკმაყოფილებს განტოლებას.

უპასუხე.ზემოხსენებულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: x 1 = 3, x 2 = - 1.

გავაანალიზოთ განტოლების ამოხსნა | 6 — 2X| = 3X+ 1.

შემდეგ მოდულის გაფართოებავიღებთ: ან 6-2 X= 3X+ 1, ან 6 - 2 X= - (3X+ 1).

პირველ შემთხვევაში X= 1 და მეორეში X= - 7.

ექსპერტიზა.ზე X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; ეს სასამართლოდან გამომდინარეობს, X = 1 - ფესვიმოცემული განტოლებები.

ზე x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1= - 20; 20 ≠ -20-დან, შემდეგ X= - 7 არ არის ამ განტოლების ფესვი.

უპასუხე. უგანტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი: X = 1.

ამ ტიპის განტოლებები შეიძლება იყოს ამოხსნას და გრაფიკულად.

ასე რომ გადავწყვიტოთ Მაგალითად, გრაფიკული განტოლება | X- 1| = 2.

ჯერ ავაშენებთ ფუნქციური გრაფიკა ზე = |x- 1|. ჯერ დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკი ზე=X- 1:

ის ნაწილი გრაფიკული ხელოვნება, რომელიც მდებარეობს ღერძის ზემოთ Xჩვენ არ შევცვლით. Მისთვის X- 1 > 0 და შესაბამისად | X-1|=X-1.

გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს ღერძის ქვემოთ X, გამოვსახოთ სიმეტრიულადამ ღერძთან შედარებით. რადგან ამ ნაწილისთვის X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). შედეგად მიღებული ხაზი(მყარი ხაზი) ​​და ნება ფუნქციის გრაფიკი y = | X—1|.

ეს ხაზი გადაიკვეთება სწორი ზე= 2 ორ წერტილში: M 1 აბსცისით -1 და M 2 აბსცისით 3. და, შესაბამისად, განტოლება | X- 1| =2 იქნება ორი ფესვი: X 1 = - 1, X 2 = 3.

ეს ონლაინ მათემატიკის კალკულატორი დაგეხმარებათ განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა მოდულით. პროგრამა ამისთვის განტოლებების და უტოლობების ამოხსნა მოდულითარა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, ის იწვევს დეტალური გადაწყვეტა განმარტებებით, ე.ი. აჩვენებს შედეგის მიღების პროცესს.

ეს პროგრამა შეიძლება სასარგებლო იყოს საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის საშუალო სკოლამომზადებაში ტესტებიხოლო გამოცდები, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წინ ცოდნის შემოწმებისას, მშობლებისთვის მათემატიკისა და ალგებრის მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის კონტროლი. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ ამის გაკეთება რაც შეიძლება სწრაფად? საშინაო დავალებამათემატიკაში თუ ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტილებებით.

ამ გზით შეგიძლიათ დახარჯოთ თქვენი საკუთარი ტრენინგიან/და ამზადებენ მათ უმცროს ძმებს ან დებს, ხოლო განათლების დონე იზრდება პრობლემების გადასაჭრელად.

|x| ან abs(x) - მოდული x

შეიყვანეთ განტოლება ან უტოლობა მოდულით

ამოხსენით განტოლება ან უტოლობა

გაირკვა, რომ ამ პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ იყო ჩატვირთული და პროგრამამ შეიძლება არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.

JavaScript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.
გამოსავალი რომ გამოჩნდეს, უნდა ჩართოთ JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.

იმიტომ რომ პრობლემის გადაჭრის მსურველი ბევრია, თქვენი მოთხოვნა რიგში დადგა.
რამდენიმე წამში გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...

Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალში, მაშინ შეგიძლიათ დაწეროთ ამის შესახებ გამოხმაურების ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.

ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:

ცოტა თეორია.

განტოლებები და უტოლობა მოდულებით

საბაზისო სკოლის ალგებრის კურსში შეიძლება შეგხვდეთ უმარტივესი განტოლებები და უტოლობები მოდულებით. მათი გადასაჭრელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ გეომეტრიული მეთოდი, რომელიც ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ \(|x-a| \) არის მანძილი რიცხვით წრფეზე x და a წერტილებს შორის: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). მაგალითად, \(|x-3|=2\) განტოლების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ წერტილები რიცხვით წრფეზე, რომლებიც დაშორებულია 3 წერტილიდან 2-ის მანძილზე. არსებობს ორი ასეთი წერტილი: \(x_1=1 \) და \(x_2=5\) .

უტოლობის ამოხსნა \(|2x+7|

მაგრამ მოდულით განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მთავარი გზა ასოცირდება ეგრეთ წოდებულ „მოდულის განმარტებით გამოვლენასთან“:
თუ \(a \geq 0 \), მაშინ \(|a|=a \);
თუ \(a როგორც წესი, განტოლება (უტოლობა) მოდულით მცირდება განტოლებათა სიმრავლემდე (უტოლობა), რომელიც არ შეიცავს მოდულის ნიშანს.

ზემოაღნიშნული განმარტების გარდა, გამოიყენება შემდეგი განცხადებები:
1) თუ \(c > 0\), მაშინ განტოლება \(|f(x)|=c \) უდრის განტოლებათა სიმრავლეს: \(\left[\begin(მასივი)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(მასივი)\მარჯვნივ. \)
2) თუ \(c > 0 \), მაშინ უტოლობა \(|f(x)| 3) თუ \(c \geq 0 \), მაშინ უტოლობა \(|f(x)| > c \) არის უტოლობების სიმრავლის ექვივალენტი: \(\left[\begin(მასივი)(l) f(x) c \end(მასივი)\მარჯვნივ.
4) თუ უტოლობის ორივე მხარე \(f(x) მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

თუ \(x-1 \geq 0\), მაშინ \(|x-1| = x-1\) და მოცემული განტოლება მიიღებს ფორმას
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \მარჯვენა ისარი x^2 +2x -8 = 0 \).
თუ \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \მარჯვენა ისარი x^2 -2x -4 = 0 \).
ამგვარად, მოცემული განტოლება ცალ-ცალკე უნდა განიხილებოდეს ორივე მითითებულ შემთხვევაში.
1) მოდით \(x-1 \geq 0 \), ე.ი. \(x\geq 1\). განტოლებიდან \(x^2 +2x -8 = 0\) ვპოულობთ \(x_1=2, \; x_2=-4\). პირობა \(x \geq 1 \) აკმაყოფილებს მხოლოდ მნიშვნელობით \(x_1=2\).
2) მოდით \(x-1 პასუხი: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

პირველი გზა(მოდულის გაფართოება განსაზღვრებით).
მსჯელობით, როგორც მაგალითში 1, მივდივართ დასკვნამდე, რომ მოცემული განტოლება ცალკე უნდა იქნას განხილული, თუ დაკმაყოფილებულია ორი პირობა: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ან \(x^2-6x+7

1) თუ \(x^2-6x+7 \geq 0 \), მაშინ \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) და მოცემული განტოლება იღებს ფორმას \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \მარჯვენა ისარი 3x^2-23x+30=0 \). ამ კვადრატული განტოლების ამოხსნის შემდეგ მივიღებთ: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
მოდით გავარკვიოთ, აკმაყოფილებს თუ არა მნიშვნელობა \(x_1=6\) პირობას \(x^2-6x+7 \geq 0\). ამისათვის ჩაანაცვლეთ მითითებული მნიშვნელობა კვადრატული უტოლობა. ვიღებთ: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), ე.ი. \(7 \geq 0 \) არის ჭეშმარიტი უტოლობა. ეს ნიშნავს, რომ \(x_1=6\) არის მოცემული განტოლების ფესვი.
მოდით გავარკვიოთ, მნიშვნელობა \(x_2=\frac(5)(3)\) აკმაყოფილებს თუ არა პირობას \(x^2-6x+7 \geq 0\). ამისათვის შეცვალეთ მითითებული მნიშვნელობა კვადრატულ უტოლობაში. ვიღებთ: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), ე.ი. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) არასწორი უტოლობაა. ეს ნიშნავს, რომ \(x_2=\frac(5)(3)\) არ არის მოცემული განტოლების ფესვი.

2) თუ \(x^2-6x+7 მნიშვნელობა \(x_3=3\) აკმაყოფილებს პირობას \(x^2-6x+7 მნიშვნელობა \(x_4=\frac(4)(3) \) არ აკმაყოფილებს პირობა \ (x^2-6x+7 ასე რომ, მოცემულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: \(x=6, \; x=3 \).

მეორე გზა.თუ მოცემულია განტოლება \(|f(x)| = h(x) \), მაშინ \(h(x) \(\left[\begin(მასივი)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(მასივი)\მარჯვნივ. \)
ორივე ეს განტოლება ამოხსნილია ზემოთ (მოცემული განტოლების ამოხსნის პირველი მეთოდის გამოყენებით), მათი ფესვები ასეთია: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). ამ ოთხი მნიშვნელობის პირობა \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) აკმაყოფილებს მხოლოდ ორი: 6 და 3. ეს ნიშნავს, რომ მოცემულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: \(x=6. , \; x=3 \ ).

მესამე გზა(გრაფიკული).
1) ავაშენოთ \(y = |x^2-6x+7| \) ფუნქციის გრაფიკი. ჯერ ავაშენოთ პარაბოლა \(y = x^2-6x+7\). გვაქვს \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). \(y = (x-3)^2-2\) ფუნქციის გრაფიკი შეიძლება მივიღოთ \(y = x^2 \) ფუნქციის გრაფიკიდან 3 მასშტაბის ერთეულით მარჯვნივ (სიგრძით) გადაადგილებით. x-ღერძი) და 2 მასშტაბის ერთეულით ქვემოთ (y-ღერძის გასწვრივ). სწორი ხაზი x=3 არის პარაბოლის ღერძი, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს. უფრო ზუსტი შედგენის საკონტროლო წერტილებად, მოსახერხებელია ავიღოთ წერტილი (3; -2) - პარაბოლის წვერო, წერტილი (0; 7) და წერტილი (6; 7) მის სიმეტრიულ პარაბოლის ღერძთან მიმართებაში. .
ახლა \(y = |x^2-6x+7| \" ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად, თქვენ უნდა დატოვოთ უცვლელი კონსტრუირებული პარაბოლის ის ნაწილები, რომლებიც არ მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ და ასახოთ ღერძის ეს ნაწილი. პარაბოლა, რომელიც მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ x ღერძთან შედარებით.
2) ავაშენოთ გრაფიკი ხაზოვანი ფუნქცია\(y = \frac(5x-9)(3)\). მოსახერხებელია პუნქტების (0; -3) და (3; 2) აღება საკონტროლო პუნქტებად.

მნიშვნელოვანია, რომ სწორი ხაზის აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის წერტილი x = 1.8 მდებარეობს პარაბოლის აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის მარცხენა წერტილის მარჯვნივ - ეს არის წერტილი \(x=3-\. sqrt(2)\) (ვინც \(3-\sqrt(2) 3) ნახაზის მიხედვით თუ ვიმსჯელებთ, გრაფიკები იკვეთება ორ წერტილზე - A(3; 2) და B(6; 7). ამ აბსცისების ჩანაცვლება x = 3 და x = 6 წერტილები მოცემულ განტოლებაში, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ ორივე სხვა მნიშვნელობაში მიიღება სწორი რიცხვითი თანასწორობა, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი ჰიპოთეზა დადასტურდა - განტოლებას ორი ფესვი აქვს: x = 3 და x = 6. პასუხი: 3; 6.

კომენტარი. გრაფიკული მეთოდი, მთელი თავისი ელეგანტურობით, არ არის ძალიან საიმედო. განხილულ მაგალითში ის მუშაობდა მხოლოდ იმიტომ, რომ განტოლების ფესვები მთელი რიცხვებია.

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

პირველი გზა
გამოხატულება 2x–4 ხდება 0 x = 2 წერტილში, ხოლო გამოხატულება x + 3 ხდება 0 x = –3 წერტილში. ეს ორი წერტილი ყოფს რიცხვთა წრფეს სამ ინტერვალად: \(x

განვიხილოთ პირველი ინტერვალი: \((-\infty; \; -3) \).
თუ x განვიხილოთ მეორე ინტერვალი: \([-3; \; 2) \).
თუ \(-3 \leq x განვიხილოთ მესამე ინტერვალი: \()