როგორ გავამრავლოთ რიცხვები უარყოფითი ძალებით. რიცხვის უარყოფითი ძალა: მშენებლობის წესები და მაგალითები

ერთ-ერთ წინა სტატიაში უკვე აღვნიშნეთ რიცხვის სიმძლავრე. დღეს ჩვენ შევეცდებით ნავიგაცია გავუწიოთ მისი მნიშვნელობის პოვნის პროცესს. მეცნიერულად რომ ვთქვათ, ჩვენ გავარკვევთ, როგორ ავიმაღლოთ ძალაუფლება სწორად. ჩვენ გავარკვევთ როგორ მიმდინარეობს ეს პროცესი და ამავდროულად შევეხებით ყველა შესაძლო მაჩვენებელს: ბუნებრივ, ირაციონალურ, რაციონალურ, მთელ რიცხვს.

ასე რომ, მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ მაგალითების გადაწყვეტილებები და გავარკვიოთ, რას ნიშნავს ეს:

1. ცნების განმარტება.
2. ამაღლება ნეგატიურ ხელოვნებამდე.
3. მთელი მაჩვენებელი.
4. რიცხვის ამაღლება ირაციონალურ ძალამდე.

აქ არის განმარტება, რომელიც ზუსტად ასახავს მნიშვნელობას: ”განზომილება არის რიცხვის სიდიდის მნიშვნელობის განსაზღვრა.”

შესაბამისად, ა ნომრის ამაღლება ხელოვნებაში. r და r მაჩვენებლით a ხარისხის მნიშვნელობის პოვნის პროცესი იდენტური ცნებებია. მაგალითად, თუ ამოცანაა გამოვთვალოთ სიმძლავრის მნიშვნელობა (0,6)6″, მაშინ ის შეიძლება გამარტივდეს გამოთქმით „აწიეთ რიცხვი 0,6 6-ის ხარისხზე“.

ამის შემდეგ შეგიძლიათ პირდაპირ გააგრძელოთ მშენებლობის წესები.

ამაღლება უარყოფით ძალამდე

სიცხადისთვის, ყურადღება უნდა მიაქციოთ გამონათქვამების შემდეგ ჯაჭვს:

110=0.1=1* 10 გამოკლებული 1 ს/კ.,

1100=0.01=1*10 მინუს 2 გრადუსში,

11000=0.0001=1*10 მინუს 3 ქ.,

110000=0.00001=1*10 მინუს 4 გრადუსამდე.

ამ მაგალითების წყალობით, თქვენ ნათლად ხედავთ 10-ის მყისიერად გამოთვლას ნებისმიერ მინუს ძალაზე. ამ მიზნით, საკმარისია უბრალოდ გადაიტანოთ ათობითი კომპონენტი:

• 10-დან -1 გრადუსამდე - ერთის წინ არის 1 ნული;
• -3-ში - სამი ნული ერთამდე;
• -9-ში არის 9 ნული და ა.შ.

ამ დიაგრამიდან ასევე ადვილი გასაგებია, რამდენი იქნება 10 გამოკლებული 5 ს/კ. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

როგორ გავზარდოთ რიცხვი ბუნებრივ ხარისხზე

განმარტების დამახსოვრებისას, ჩვენ გავითვალისწინებთ ამას ბუნებრივი რიცხვია ხელოვნებაში. n უდრის n ფაქტორების ნამრავლს, რომელთაგან თითოეული უდრის a. მოდი ილუსტრაციოთ: (a*a*…a)n, სადაც n არის გამრავლებული რიცხვების რაოდენობა. შესაბამისად, a-ს n-მდე ასაყვანად აუცილებელია შემდეგი ფორმის ნამრავლის გამოთვლა: a*a*…a გაყოფილი n-ზე.

აქედან ცხადი ხდება, რომ ამაღლება ბუნებრივ ქ. ეყრდნობა გამრავლების შესრულების უნარს(ეს მასალა გაშუქებულია რეალური რიცხვების გამრავლების განყოფილებაში). მოდით შევხედოთ პრობლემას:

აწიეთ -2 მე-4 ქ.

ბუნებრივ მაჩვენებელთან გვაქვს საქმე. შესაბამისად, გადაწყვეტილების მსვლელობა შემდეგი იქნება: (-2) მუხ. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). ახლა რჩება მხოლოდ მთელი რიცხვების გამრავლება: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). ვიღებთ 16-ს.

პასუხი პრობლემაზე:

(-2) ხელოვნებაში. 4=16.

მაგალითი:

გამოთვალეთ მნიშვნელობა: სამი წერტილი ორი მეშვიდე კვადრატში.

ეს მაგალითი უდრის შემდეგ ნამრავლს: სამი წერტილი ორი მეშვიდე გამრავლებული სამ ქულა ორ მეშვიდედზე. გავიხსენოთ, თუ როგორ მრავლდება შერეული რიცხვები, ჩვენ ვასრულებთ კონსტრუქციას:

• 3 ქულა 2 მეშვიდე გამრავლებული საკუთარ თავზე;
• უდრის 23 მეშვიდედ გამრავლებული 23 მეშვიდედ;
• უდრის 529 ორმოცდამეცხრედს;
• ვამცირებთ და ვიღებთ 10 ოცდაცხრა ორმოცდამეცხრედს.

პასუხი: 10 39/49

რაც შეეხება ირაციონალურ მაჩვენებელზე ამაღლების საკითხს, უნდა აღინიშნოს, რომ გამოთვლები იწყება ხარისხის საფუძვლის წინასწარი დამრგვალების დასრულების შემდეგ ნებისმიერ ციფრზე, რაც საშუალებას მისცემს მნიშვნელობის მიღებას მოცემული სიზუსტით. მაგალითად, ჩვენ უნდა გავაფორმოთ რიცხვი P (pi).

ჩვენ ვიწყებთ P მეასედების დამრგვალებით და ვიღებთ:

P კვადრატში = (3.14) 2 = 9.8596. თუმცა, თუ P-ს ათ მეათასედამდე შევამცირებთ, მივიღებთ P = 3.14159. შემდეგ კვადრატი იძლევა სრულიად განსხვავებულ რიცხვს: 9.8695877281.

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ბევრ პრობლემაში არ არის საჭირო ირაციონალური რიცხვების ძალაუფლებამდე აყვანა. როგორც წესი, პასუხი შეყვანილია ან ფაქტობრივი ხარისხის სახით, მაგალითად, 6-ის ფესვი 3-ის ხარისხზე, ან, თუ გამოთქმა საშუალებას იძლევა, მისი ტრანსფორმაცია ხორციელდება: ფესვი 5-დან 7 გრადუსამდე = 125 ფესვი 5-დან.

როგორ გავზარდოთ რიცხვი მთელ რიცხვამდე

ეს ალგებრული მანიპულირება შესაბამისია გაითვალისწინეთ შემდეგი შემთხვევები:

• მთელი რიცხვებისთვის;
• ნულოვანი მაჩვენებლისთვის;
• დადებითი მთელი რიცხვისთვის.

ვინაიდან თითქმის ყველა დადებითი რიცხვი ემთხვევა ნატურალური რიცხვების მასას, დადებითი რიცხვის სიმძლავრეზე დაყენება იგივე პროცესია, რაც არტში დაყენება. ბუნებრივი. ჩვენ აღვწერეთ ეს პროცესი წინა პუნქტში.

ახლა ვისაუბროთ გამოთვლაზე ქ. null. ზემოთ უკვე გავარკვიეთ, რომ a რიცხვის ნულოვანი სიმძლავრე შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი არანულოვანი a (რეალურისთვის), ხოლო a ხელოვნებაში. 0 უდრის 1-ს.

შესაბამისად, ნებისმიერი რეალური რიცხვის აწევა ნულამდე ქ. მისცემს ერთს.

მაგალითად, 10 ქ. 0=1, (-3.65)0=1 და 0 ქ. 0-ის დადგენა შეუძლებელია.

იმისათვის, რომ დავასრულოთ ამაღლება მთელ რიცხვამდე, რჩება გადაწყვეტილების მიღება უარყოფითი მთელი მნიშვნელობების ვარიანტების შესახებ. ჩვენ გვახსოვს ის ხელოვნება. a-დან მთელი რიცხვის მაჩვენებლით -z განისაზღვრება წილადად. წილადის მნიშვნელი არის ქ. დადებითი მთელი მნიშვნელობით, რომლის მნიშვნელობის პოვნა უკვე ვისწავლეთ. ახლა რჩება მხოლოდ მშენებლობის მაგალითის განხილვა.

მაგალითი:

გამოთვალეთ რიცხვი 2 კუბური უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით.

გადაწყვეტის პროცესი:

უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრის მიხედვით აღვნიშნავთ: ორ მინუს 3 გრადუსს. უდრის ერთიდან ორ მესამე ხარისხს.

მნიშვნელი გამოითვლება უბრალოდ: ორი კუბი;

3 = 2*2*2=8.

პასუხი: ორი მინუს მე-3 ქ. = ერთი მერვე.

უარყოფით ხარისხზე ამაღლება მათემატიკის ერთ-ერთი ძირითადი ელემენტია და ხშირად გვხვდება ალგებრული ამოცანების ამოხსნისას. ქვემოთ მოცემულია დეტალური ინსტრუქციები.

როგორ ავიდეთ უარყოფით ძალამდე - თეორია

როდესაც რიცხვს ჩვეულებრივ ხარისხზე ვზრდით, მის მნიშვნელობას რამდენჯერმე ვამრავლებთ. მაგალითად, 3 3 = 3×3×3 = 27. უარყოფითი წილადის შემთხვევაში საპირისპიროა. ფორმულის ზოგადი ფორმა იქნება შემდეგი ხედი: a -n = 1/a n . ამრიგად, რიცხვის უარყოფით ხარისხზე ასაყვანად, თქვენ უნდა გაყოთ ერთი მოცემულ რიცხვზე, მაგრამ დადებით ხარისხზე.

როგორ ავიდეთ უარყოფით ძალამდე - მაგალითები ჩვეულებრივ რიცხვებზე

ზემოაღნიშნული წესის გათვალისწინებით, მოვაგვაროთ რამდენიმე მაგალითი.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
პასუხი: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
პასუხი -4 -2 = 1/16.

მაგრამ რატომ არის პასუხები პირველ და მეორე მაგალითებში? ფაქტია, რომ აგებისას უარყოფითი რიცხვითანაბარ ძალამდე (2, 4, 6 და ა.შ.), ნიშანი ხდება დადებითი. ხარისხი რომ იყოს თანაბარი, მაშინ მინუსი დარჩება:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

როგორ ავიდეთ უარყოფით ხარისხზე - რიცხვები 0-დან 1-მდე

შეგახსენებთ, რომ როდესაც რიცხვი 0-დან 1-მდე იზრდება დადებით ხარისხზე, მნიშვნელობა მცირდება სიმძლავრის მატებასთან ერთად. მაგალითად, 0.5 2 = 0.25. 0.25

მაგალითი 3: გამოთვალეთ 0.5 -2
ამოხსნა: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
პასუხი: 0,5 -2 = 4

ანალიზი (მოქმედებების თანმიმდევრობა):

• ათწილადი წილადი 0,5 გადააქციეთ წილად წილად 1/2. ასე უფრო ადვილია.
  აწიეთ 1/2 უარყოფით ხარისხზე. 1/(2) -2 . გაყავით 1 1/(2) 2-ზე, მივიღებთ 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

მაგალითი 4: გამოთვალეთ 0.5 -3
ამოხსნა: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

მაგალითი 5: გამოთვალეთ -0.5 -3
ამოხსნა: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
პასუხი: -0.5 -3 = -8

მე-4 და მე-5 მაგალითებზე დაყრდნობით შეგვიძლია რამდენიმე დასკვნის გაკეთება:

• დადებითი რიცხვისთვის 0-დან 1-მდე დიაპაზონში (მაგალითი 4), ამაღლებული უარყოფით ხარისხზე, მნიშვნელობა არ აქვს სიმძლავრე ლუწი თუ კენტი, გამოხატვის მნიშვნელობა დადებითი იქნება. უფრო მეტიც, რაც უფრო მაღალია ხარისხი, მით მეტია მნიშვნელობა.
• უარყოფითი რიცხვისთვის 0-დან 1-მდე დიაპაზონში (მაგალითი 5), ამაღლებული უარყოფით ხარისხზე, მნიშვნელობა არ აქვს სიმძლავრე ლუწი თუ კენტი, გამოხატვის მნიშვნელობა უარყოფითი იქნება. ამ შემთხვევაში, რაც უფრო მაღალია ხარისხი, მით უფრო დაბალია მნიშვნელობა.

როგორ ავწიოთ უარყოფით სიმძლავრემდე - სიმძლავრე წილადი რიცხვის სახით

გამონათქვამები ამ ტიპისაქვს შემდეგი ფორმა: a -m/n, სადაც a არის რეგულარული რიცხვი, m არის ხარისხის მრიცხველი, n არის ხარისხის მნიშვნელი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:
გამოთვალეთ: 8 -1/3

გამოსავალი (მოქმედებების თანმიმდევრობა):

• გავიხსენოთ რიცხვის უარყოფით ხარისხზე აყვანის წესი. ვიღებთ: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელს აქვს რიცხვი 8 წილადის ხარისხში. წილადი სიმძლავრის გამოთვლის ზოგადი ფორმა ასეთია: a m/n = n √8 m.
• ამრიგად, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). ვიღებთ რვის კუბურ ფესვს, რომელიც უდრის 2-ს. აქედან 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• პასუხი: 8 -1/3 = 2

სკოლიდან ყველამ ვიცით სიძლიერის წესი: ნებისმიერი რიცხვი N მაჩვენებლით უდრის გამრავლების შედეგს. მოცემული ნომერისაკუთარ თავზე N რამდენჯერმე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, 7 3-ის ხარისხზე არის 7 გამრავლებული თავისთავად სამჯერ, ანუ 343. კიდევ ერთი წესია, რომ ნებისმიერი სიდიდის 0-ზე აწევა იძლევა ერთს, ხოლო უარყოფითი სიდიდის აწევა არის ჩვეულებრივი აწევის შედეგი. სიმძლავრე თუ ლუწია და იგივე შედეგი მინუს ნიშნით თუ კენტია.

წესები ასევე იძლევა პასუხს, თუ როგორ უნდა აიწიოს რიცხვი უარყოფით ხარისხზე. ამისათვის თქვენ უნდა გაზარდოთ საჭირო მნიშვნელობა ინდიკატორის მოდულით ჩვეულებრივი გზით და შემდეგ გაყოთ ერთეული შედეგზე.

ამ წესებიდან ირკვევა, რომ განხორციელება რეალური პრობლემებიდიდი რაოდენობით დამუშავება საჭიროებს ხელმისაწვდომობას ტექნიკური საშუალებები. ხელით შეგიძლიათ გაამრავლოთ რიცხვების მაქსიმალური დიაპაზონი ოციდან ოცდაათამდე, შემდეგ კი არა უმეტეს სამჯერ ან ოთხჯერ. ეს არ არის იმის თქმა, რომ ერთი შედეგზე გაყოფა. ამიტომ, მათთვის, ვისაც ხელთ არ აქვს სპეციალური საინჟინრო კალკულატორი, ჩვენ გეტყვით, თუ როგორ უნდა აიყვანოთ რიცხვი უარყოფით სიმძლავრემდე Excel-ში.

პრობლემების გადაჭრა Excel-ში

ექსპონენტაციასთან დაკავშირებული პრობლემების გადასაჭრელად, Excel საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ორიდან ერთი ვარიანტი.

პირველი არის ფორმულის გამოყენება სტანდარტული "სახურავი" ნიშნით. შეიყვანეთ შემდეგი მონაცემები სამუშაო ფურცელში:

ანალოგიურად, შეგიძლიათ აწიოთ სასურველი მნიშვნელობა ნებისმიერ სიმძლავრემდე - უარყოფითი, წილადი. Მოდი გავაკეთოთ ეს შემდეგი ქმედებებიდა უპასუხეთ კითხვას, თუ როგორ გავზარდოთ რიცხვი უარყოფით ხარისხზე. მაგალითი:

თქვენ შეგიძლიათ შეასწოროთ =B2^-C2 პირდაპირ ფორმულაში.

მეორე ვარიანტი არის მზა ფუნქციის "ხარისხის" გამოყენება, რომელიც იღებს ორ საჭირო არგუმენტს - რიცხვს და მაჩვენებელს. მისი გამოყენების დასაწყებად, უბრალოდ ჩადეთ ტოლობის ნიშანი (=) ნებისმიერ თავისუფალ უჯრედში, ფორმულის დასაწყისის მითითებით და შეიყვანეთ ზემოთ მოცემული სიტყვები. რჩება მხოლოდ ორი უჯრედის არჩევა, რომლებიც მონაწილეობას მიიღებენ ოპერაციაში (ან მიუთითეთ კონკრეტული ნომრები ხელით) და დააჭირეთ Enter ღილაკს. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მარტივ მაგალითს.

			ფორმულა	შედეგი
			ხარისხი (B2;C2)
			ხარისხი (B3;C3)	0,002915

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული იმის თაობაზე, თუ როგორ უნდა აიყვანოთ რიცხვი უარყოფით სიმძლავრემდე და ნორმალურ სიმძლავრემდე Excel-ის გამოყენებით. ყოველივე ამის შემდეგ, ამ პრობლემის გადასაჭრელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ როგორც ნაცნობი "სახურავი" სიმბოლო და პროგრამის ჩაშენებული ფუნქცია, რომელიც ადვილად დასამახსოვრებელია. ეს აშკარა პლუსია!

მოდით გადავიდეთ უფრო მეტზე რთული მაგალითები. გავიხსენოთ წესი იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა ავიყვანოთ რიცხვი უარყოფით წილად ხარისხზე და დავინახავთ, რომ Excel-ში ეს პრობლემა ძალიან მარტივად გვარდება.

წილადის მაჩვენებლები

მოკლედ, წილადი მაჩვენებლით რიცხვის გამოთვლის ალგორითმი ასეთია.

1. წილადის გადაქცევა სწორზე ან არასწორი ფრაქცია.
2. აწიეთ ჩვენი რიცხვი მიღებული გარდაქმნილი წილადის მრიცხველამდე.
3. წინა აბზაცში მიღებული რიცხვიდან გამოთვალეთ ფესვი, იმ პირობით, რომ ფესვის მაჩვენებელი იქნება პირველ ეტაპზე მიღებული წილადის მნიშვნელი.

დამეთანხმებით, რომ მცირე რიცხვებითა და სათანადო წილადებით მუშაობის დროსაც კი, ასეთ გამოთვლებს შეიძლება დიდი დრო დასჭირდეს. კარგია, რომ Excel-ის ცხრილების პროცესორს არ აინტერესებს რა რიცხვი რა სიმძლავრემდეა გაზრდილი. სცადეთ ამოხსნათ შემდეგი მაგალითი Excel-ის სამუშაო ფურცელზე:

ზემოაღნიშნული წესების გამოყენებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ და დარწმუნდეთ, რომ გაანგარიშება გაკეთდა სწორად.

ჩვენი სტატიის დასასრულს, ცხრილის სახით ფორმულებითა და შედეგებით წარმოგიდგენთ რამდენიმე მაგალითს, თუ როგორ უნდა ავიყვანოთ რიცხვი უარყოფით ხარისხზე, ასევე წილადი რიცხვებითა და ძალებით მუშაობის რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი ცხრილი

შეამოწმეთ შემდეგი მაგალითები თქვენს Excel სამუშაო ფურცელში. იმისათვის, რომ ყველაფერი სწორად იმუშაოს, ფორმულის კოპირებისას უნდა გამოიყენოთ შერეული მითითება. დააფიქსირეთ ამაღლებული რიცხვის შემცველი სვეტის ნომერი და ინდიკატორის შემცველი მწკრივის რაოდენობა. თქვენი ფორმულა ასე უნდა გამოიყურებოდეს: „=$B4^C$3“.

ნომერი/ხარისხი

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ დადებითი რიცხვები (თუნდაც არა მთელი რიცხვები) შეიძლება გამოითვალოს უპრობლემოდ ნებისმიერი მაჩვენებლისთვის. არანაირი პრობლემა არ არის რიცხვების მთელ რიცხვებამდე აყვანისას. მაგრამ უარყოფითი რიცხვის წილადის ხარისხზე აწევა თქვენთვის შეცდომა აღმოჩნდება, რადგან შეუძლებელია ჩვენი სტატიის დასაწყისში მითითებული წესის დაცვა უარყოფითი რიცხვების ამაღლების შესახებ, რადგან პარიტეტი მხოლოდ მთელი რიცხვის მახასიათებელია.

რიცხვი გაიზარდა ძალამდეურეკავენ რიცხვს, რომელიც თავისთავად რამდენჯერმე მრავლდება.

უარყოფითი მნიშვნელობის მქონე რიცხვის ძალა (a - n) შეიძლება განისაზღვროს ანალოგიურად, თუ როგორ განისაზღვრება იგივე რიცხვის სიმძლავრე დადებითი მაჩვენებლით (a n) . თუმცა, ის ასევე მოითხოვს დამატებით განმარტებას. ფორმულა განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ა-ნ = (1/a n)

რიცხვების უარყოფითი ხარისხების თვისებები მსგავსია დადებითი მაჩვენებლის მქონე ძალებთან. წარმოდგენილი განტოლება ა მ/ა n= მ-ნ შეიძლება იყოს სამართლიანი, როგორც

« არსად, როგორც მათემატიკაში, დასკვნის სიცხადე და სიზუსტე არ აძლევს ადამიანს საშუალებას, თავი დააღწიოს პასუხს კითხვაზე საუბრისას.».

A.D. ალექსანდროვი

ზე ნ მეტი მ და ერთად მ მეტი ნ . მოდით შევხედოთ მაგალითს: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

ჯერ უნდა დაადგინოთ რიცხვი, რომელიც მოქმედებს როგორც ხარისხის განსაზღვრება. b=a(-n) . ამ მაგალითში -ნ არის ექსპონენტი ბ - სასურველი რიცხვითი მნიშვნელობა, ა - ხარისხის საფუძველი ბუნებრივი რიცხვითი მნიშვნელობა. შემდეგ განსაზღვრეთ მოდული, ანუ უარყოფითი რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა, რომელიც მოქმედებს მაჩვენებლის როლში. გამოთვალეთ მოცემული რიცხვის სიმძლავრე აბსოლუტურ რიცხვთან მიმართებაში, როგორც ინდიკატორი. ხარისხის მნიშვნელობა გამოითვლება ერთის გაყოფით მიღებულ რიცხვზე.

ბრინჯი. 1

განვიხილოთ რიცხვის ძალა უარყოფითი წილადის მაჩვენებლით. წარმოვიდგინოთ, რომ რიცხვი a არის ნებისმიერი დადებითი რიცხვი, რიცხვები ნ და მ - მთელი რიცხვები. განმარტების მიხედვით ა , რომელიც ამაღლებულია ძალაუფლებაზე - უდრის ერთს გაყოფილი იმავე რიცხვზე დადებითი სიმძლავრის მქონე (სურათი 1). როდესაც რიცხვის სიმძლავრე არის წილადი, მაშინ ასეთ შემთხვევებში გამოიყენება მხოლოდ დადებითი მაჩვენებლების მქონე რიცხვები.

ღირს გახსენებარომ ნული ვერასოდეს იქნება რიცხვის მაჩვენებელი (ნულზე გაყოფის წესი).

ისეთი კონცეფციის გავრცელება, როგორიცაა რიცხვი, გახდა ისეთი მანიპულაციები, როგორიცაა საზომი გამოთვლები, ასევე მათემატიკის, როგორც მეცნიერების განვითარება. უარყოფითი მნიშვნელობების დანერგვა განპირობებული იყო ალგებრის განვითარებით, რომელიც ზოგად გადაწყვეტილებებს იძლეოდა არითმეტიკული პრობლემები, მიუხედავად მათი კონკრეტული მნიშვნელობისა და საწყისი რიცხვითი მონაცემებისა. ინდოეთში, ჯერ კიდევ მე-6-მე-11 საუკუნეებში, უარყოფითი რიცხვები სისტემატიურად გამოიყენებოდა პრობლემების გადაჭრისას და მათი ინტერპრეტაცია ხდება ისე, როგორც დღეს. ევროპულ მეცნიერებაში უარყოფითი რიცხვები ფართოდ გამოიყენეს რ. დეკარტის წყალობით, რომელმაც უარყოფითი რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია მისცა, როგორც სეგმენტების მიმართულებებს. სწორედ დეკარტმა შესთავაზა რიცხვის აღნიშვნა, რომელიც ამაღლებული იყო ორსართულიანი ფორმულის სახით. a n .

კალკულატორი გეხმარებათ სწრაფად აიყვანოთ ნომერი ონლაინ რეჟიმში. ხარისხის საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი (როგორც მთელი, ასევე რეალური). მაჩვენებელი ასევე შეიძლება იყოს მთელი ან რეალური, ასევე შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი. უნდა გვახსოვდეს, რომ უარყოფითი რიცხვებისთვის აწევა არა მთელი რიცხვის ხარისხზე არ არის განსაზღვრული და, შესაბამისად, კალკულატორი შეატყობინებს შეცდომას, თუ თქვენ ცდილობთ ამის გაკეთებას.

ხარისხის კალკულატორი

ძალაუფლებაზე აყვანა

მაჩვენებლები: 20880

რა არის რიცხვის ბუნებრივი ძალა?

რიცხვს p ეწოდება რიცხვის n-ე ხარისხად, თუ p უდრის რიცხვს a გამრავლებული თავისთავად n-ჯერ: p = a n = a·...·a.
ნ - დაუძახა ექსპონენტიდა ნომერი a არის ხარისხის საფუძველი.

როგორ გავზარდოთ რიცხვი ბუნებრივ ხარისხზე?

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა ავიყვანოთ სხვადასხვა რიცხვი ბუნებრივ ძალებზე, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითი:

მაგალითი 1. აწიეთ რიცხვი სამი მეოთხე ხარისხამდე. ანუ აუცილებელია 3 4-ის გამოთვლა
გამოსავალი: როგორც ზემოთ აღინიშნა, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
უპასუხე: 3 4 = 81 .

მაგალითი 2. აწიეთ რიცხვი ხუთი მეხუთე ხარისხამდე. ანუ აუცილებელია 55-ის გამოთვლა
გამოსავალი: ანალოგიურად, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
უპასუხე: 5 5 = 3125 .

ამრიგად, რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე ასაყვანად, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ იგი თავისთავად n-ჯერ.

რა არის რიცხვის უარყოფითი ძალა?

უარყოფითი სიძლიერე -n a არის ერთი გაყოფილი a-ზე n-ის ხარისხზე: a -n = .

ამ შემთხვევაში, უარყოფითი სიმძლავრე არსებობს მხოლოდ ნულოვანი რიცხვებისთვის, რადგან სხვაგვარად მოხდება ნულზე გაყოფა.

როგორ გავზარდოთ რიცხვი უარყოფით მთელ რიცხვამდე?

ნულოვანი რიცხვის უარყოფით ხარისხზე ასაყვანად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ამ რიცხვის მნიშვნელობა იმავე პოზიტიურ ხარისხზე და ერთი გაყოთ შედეგზე.

მაგალითი 1. აწიეთ რიცხვი ორი უარყოფითი მეოთხე ხარისხამდე. ანუ, თქვენ უნდა გამოთვალოთ 2 -4

გამოსავალი: როგორც ზემოთ აღინიშნა, 2 -4 = = = 0.0625.

უპასუხე: 2 -4 = 0.0625 .

მოგეხსენებათ, მათემატიკაში არის არა მხოლოდ დადებითი რიცხვები, არამედ უარყოფითიც. თუ პოზიტიურ ძალებთან გაცნობა იწყება კვადრატის ფართობის განსაზღვრით, მაშინ უარყოფითი ძალებით ყველაფერი გარკვეულწილად უფრო რთულია.

ეს უნდა იცოდე:

1. რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა არის რიცხვის გამრავლება (სტატიაში განვიხილავთ რიცხვისა და ციფრის ეკვივალენტის ცნებებს) თავისთავად ისეთი რაოდენობით, როგორიც არის მაჩვენებლის მაჩვენებელი (მომავალში გამოვიყენებთ პარალელურად და უბრალოდ სიტყვას. ექსპონენტი). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. IN ზოგადი ხედიეს ასე გამოიყურება: m^n = m*m*m*…*m (n ჯერ).
2. გასათვალისწინებელია, რომ უარყოფითი რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანის შემთხვევაში ის დადებითი გახდება, თუ მაჩვენებლის მაჩვენებელი ლუწია.
3. რიცხვის 0-ის მაჩვენებელზე აწევა იძლევა ერთს, იმ პირობით, რომ ის არ იყოს ნულის ტოლი. ნულიდან ნულამდე სიმძლავრე ითვლება განუსაზღვრელად. 17^0 = 1.
4. რიცხვიდან გარკვეული სიმძლავრის ფესვის ამოღება ნიშნავს რიცხვის პოვნას, რომელიც შესაბამის მაჩვენებელზე გაზრდისას მისცემს სასურველ მნიშვნელობას. ასე რომ, 125-ის კუბური ფესვი არის 5, ვინაიდან 5^3 = 125.
5. თუ გსურთ რიცხვის დადებით წილადის ხარისხზე აყვანა, მაშინ უნდა აწიოთ რიცხვი მნიშვნელის მაჩვენებელამდე და მისგან ამოიღოთ მრიცხველის მაჩვენებლის ფესვი. 6^5/7 = პროდუქტის მეშვიდე ფესვი 6*6*6*6*6.
6. თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის აწევა უარყოფით მაჩვენებელზე, მაშინ უნდა იპოვოთ მოცემული რიცხვის ინვერსია. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

რიცხვის მოდულის ნულის ერთზე აწევა უარყოფით ხარისხზე

ჯერ უნდა გვახსოვდეს რა არის მოდული. ეს არის მანძილი კოორდინატთა ხაზზე ჩვენ მიერ არჩეული მნიშვნელობიდან საწყისამდე (კოორდინატთა ხაზის ნული). განმარტებით, ის არასოდეს შეიძლება იყოს უარყოფითი.

მნიშვნელობა ნულზე მეტია

როდესაც ციფრის მნიშვნელობა ნულსა და ერთს შორისაა, უარყოფითი მაჩვენებელი იძლევა თავად ციფრის ზრდას. ეს იმიტომ ხდება, რომ მნიშვნელი მცირდება, ხოლო დადებითი რჩება.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

უფრო მეტიც, რაც უფრო დიდია ინდიკატორის მოდული, მით უფრო აქტიურად იზრდება ფიგურა. რადგან მნიშვნელი ნულისკენ მიისწრაფვის, თავად წილადი მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ.

მნიშვნელობა ნულზე ნაკლები

ახლა ვნახოთ, როგორ გავზარდოთ ის უარყოფით ხარისხზე, თუ რიცხვი ნულზე ნაკლები. პრინციპი იგივეა, რაც წინა ნაწილში, მაგრამ აქ მნიშვნელობა აქვს ინდიკატორის ნიშანს.

კიდევ ერთხელ გადავხედოთ მაგალითებს:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

IN ამ შემთხვევაში, ჩვენ ამას ვხედავთ მოდული აგრძელებს ზრდას, მაგრამ ნიშანი დამოკიდებულია იმაზე, მაჩვენებელი ლუწია თუ კენტი.

უნდა აღინიშნოს, რომ თუ ავაშენებთ ერთეულს, ის ყოველთვის თავისთავად დარჩება. თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის აწევა მინუს ერთი, მაშინ ლუწი მაჩვენებლით ის გადაიქცევა ერთად, ხოლო კენტი მაჩვენებლით დარჩება მინუს ერთი.

აწევა უარყოფით მთელ რიცხვამდე, თუ მოდული ერთზე მეტია

რიცხვებისთვის, რომელთა მოდული ერთზე მეტია,აქვს ქმედებების საკუთარი თავისებურებები. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ წილადის მთელი ნაწილი მრიცხველად, ანუ გადაიყვანოთ ის არასწორ წილადად. თუ ჩვენ გვაქვს ათობითი წილადი, მაშინ ის უნდა გადავიტანოთ ჩვეულებრივ წილადად. ეს კეთდება შემდეგნაირად:

• 6 მთელი რიცხვი 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

ახლა ვნახოთ, როგორ გავზარდოთ რიცხვი უარყოფით ხარისხზე ამ პირობებში. უკვე ზემოაღნიშნულიდან შეგვიძლია ვივარაუდოთ, თუ რას შეიძლება ველოდოთ გამოთვლების შედეგიდან. იმის გამო, რომ გამარტივების დროს ორმაგი წილადი ინვერსიულია, ფიგურის მოდული რაც უფრო სწრაფად შემცირდება, მით უფრო დიდი იქნება მაჩვენებლის მოდული.

პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ სიტუაცია, როდესაც დავალებაში მოცემული რიცხვი დადებითია.

უპირველეს ყოვლისა, ცხადი ხდება, რომ საბოლოო შედეგიიქნება ნულზე მეტი, რადგან ორი დადებითის გაყოფა ყოველთვის იძლევა დადებითს. მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ მაგალითებს, თუ როგორ კეთდება ეს:

• 6 მთელი რიცხვი 1/20 მინუს მეხუთე ხარისხამდე = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

როგორც ხედავთ, ქმედებები არ წარმოადგენს რაიმე განსაკუთრებულ სირთულეს და ყველა ჩვენი თავდაპირველი ვარაუდი მართალი აღმოჩნდა.

ახლა მივმართოთ უარყოფითი ციფრის შემთხვევას.

დასაწყისისთვის, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ თუ მაჩვენებელი ლუწია, მაშინ შედეგი დადებითი იქნება, თუ ინდიკატორი კენტია, მაშინ შედეგი იქნება უარყოფითი. ყველა ჩვენი წინა გამოთვლები ამ ნაწილში ახლა ჩაითვლება ძალაში. კიდევ ერთხელ გადავხედოთ მაგალითებს:

• -3 მთელი 1/2 მინუს მეექვსე ხარისხამდე = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0.000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

ამრიგად, ყველა ჩვენი მსჯელობა სწორი აღმოჩნდა.

კონსტრუქცია უარყოფითი წილადის მაჩვენებლის შემთხვევაში

აქ უნდა გახსოვდეთ, რომ ასეთი კონსტრუქცია არსებობს მნიშვნელის მნიშვნელობის ფესვის ამოღება რიცხვიდან მრიცხველის ხარისხამდე. ყველა ჩვენი წინა მსჯელობა ამჯერად რჩება ჭეშმარიტი. მოდით ავხსნათ ჩვენი ქმედებები მაგალითით:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/რადი(4^3) = 1/რადი64 = 1/8.

ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ფესვების მოპოვება მაღალი დონეშესაძლებელია მხოლოდ სპეციალურად შერჩეული ფორმით და, დიდი ალბათობით, ზუსტი გათვლებით ვერ მოიშორებთ რადიკალის ნიშანს (კვადრატული ფესვი, კუბური ფესვი და ა.შ.).

მიუხედავად ამისა, წინა თავების დეტალურად შესწავლის შემდეგ, არ უნდა ელოდოთ სირთულეებს სკოლის გამოთვლებში.

აღსანიშნავია, რომ ამ თავის აღწერაშიც შედის მშენებლობა განზრახ ირაციონალური მაჩვენებლითმაგალითად, თუ ინდიკატორი უდრის მინუს PI. თქვენ უნდა იმოქმედოთ ზემოთ აღწერილი პრინციპების შესაბამისად. თუმცა, ასეთ შემთხვევებში გამოთვლები იმდენად რთული ხდება, რომ ამის გაკეთება მხოლოდ მძლავრ ელექტრონულ კომპიუტერებს შეუძლიათ.

დასკვნა

ჩვენ მიერ შესწავლილი მოქმედება ერთ-ერთი ყველაზე რთული პრობლემაა მათემატიკაში(განსაკუთრებით წილად-რაციონალური ან ირაციონალური მნიშვნელობის შემთხვევაში). თუმცა, ამ ინსტრუქციების დეტალურად და ეტაპობრივად შესწავლით, შეგიძლიათ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა გააკეთოთ ეს სრულად ავტომატურად, უპრობლემოდ.

ამ მასალაში განვიხილავთ რა არის რიცხვის ძალა. ძირითადი განმარტებების გარდა, ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ რა არის ბუნებრივი, მთელი, რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლების მქონე ძალები. როგორც ყოველთვის, ყველა კონცეფცია იქნება ილუსტრირებული სამაგალითო პრობლემებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

პირველი, მოდით ჩამოვაყალიბოთ ხარისხის ძირითადი განმარტება ბუნებრივი მაჩვენებლით. ამისათვის ჩვენ უნდა გვახსოვდეს გამრავლების ძირითადი წესები. წინასწარ განვმარტოთ, რომ ამ დროისთვის საფუძვლად ავიღებთ ნამდვილ რიცხვს (აღინიშნება ასო a), ხოლო ნატურალურ რიცხვს ინდიკატორად (აღნიშნავენ n ასოთი).

განმარტება 1

a რიცხვის სიმძლავრე n ბუნებრივი მაჩვენებლით არის n-ე რაოდენობის ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a რიცხვს. ხარისხი იწერება ასე: a nდა ფორმულის სახით მისი შემადგენლობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

მაგალითად, თუ მაჩვენებელი არის 1 და ფუძე არის a, მაშინ a-ს პირველი ხარისხად იწერება როგორც a 1. იმის გათვალისწინებით, რომ a არის ფაქტორის მნიშვნელობა და 1 არის ფაქტორების რაოდენობა, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ a 1 = a.

ზოგადად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ დიპლომი არის მოსახერხებელი ფორმაჩანაწერები დიდი რაოდენობითთანაბარი ფაქტორები. ასე რომ, ფორმის ჩანაწერი 8 8 8 8შეიძლება შემცირდეს 8 4 . ანალოგიურად, ნამუშევარი გვეხმარება თავიდან ავიცილოთ ჩაწერა დიდი რიცხვიტერმინები (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); ჩვენ უკვე განვიხილეთ ეს ნატურალური რიცხვების გამრავლების სტატიაში.

როგორ სწორად წავიკითხოთ ხარისხის ჩანაწერი? საყოველთაოდ მიღებული ვარიანტია "a n ხარისხამდე". ან შეგიძლიათ თქვათ "ა-ის n-ე ძალა" ან "ანთ ძალა". თუ, ვთქვათ, მაგალითში შეგვხვდა ჩანაწერი 8 12 , შეგვიძლია წავიკითხოთ "8 მე-12 ხარისხამდე", "8 ხარისხში 12" ან "მე-12 ხარისხში 8".

რიცხვების მეორე და მესამე ხარისხებს აქვთ საკუთარი სახელები: კვადრატი და კუბი. თუ ჩვენ ვხედავთ მეორე ხარისხს, მაგალითად, რიცხვს 7 (7 2), მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ „7 კვადრატი“ ან „7 რიცხვის კვადრატი“. ანალოგიურად, მესამე ხარისხი იკითხება ასე: 5 3 - ეს არის "5 ნომრის კუბი" ან "5 კუბური". თუმცა, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ სტანდარტული ფორმულირება „მეორე/მესამე ძალამდე“ ეს არ იქნება შეცდომა.

მაგალითი 1

მოდით შევხედოთ ხარისხის მაგალითს ბუნებრივი მაჩვენებლით: for 5 7 ხუთი იქნება საფუძველი, ხოლო შვიდი იქნება მაჩვენებელი.

ფუძე არ უნდა იყოს მთელი რიცხვი: ხარისხისთვის (4 , 32) 9 ფუძე იქნება წილადი 4, 32, ხოლო მაჩვენებელი იქნება ცხრა. ყურადღება მიაქციეთ ფრჩხილებს: ეს აღნიშვნა შესრულებულია ყველა ძალაზე, რომლის ფუძეები განსხვავდება ნატურალური რიცხვებისგან.

მაგალითად: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

რისთვის არის ფრჩხილები? ისინი ხელს უწყობენ შეცდომების თავიდან აცილებას გამოთვლებში. ვთქვათ, გვაქვს ორი ჩანაწერი: (− 2) 3 და − 2 3 . მათგან პირველი ნიშნავს უარყოფით რიცხვს მინუს ორი, ამაღლებულ ხარისხზე, რომლის ბუნებრივი მაჩვენებლით არის სამი; მეორე არის რიცხვი, რომელიც შეესაბამება ხარისხის საპირისპირო მნიშვნელობას 2 3 .

ზოგჯერ წიგნებში შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვის ძალის ოდნავ განსხვავებული მართლწერა - ა^ნ(სადაც a არის საფუძველი და n არის მაჩვენებელი). ანუ 4^9 იგივეა რაც 4 9 . იმ შემთხვევაში, თუ n არის მრავალნიშნა რიცხვი, აღებულია ფრჩხილებში. მაგალითად, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . მაგრამ ჩვენ გამოვიყენებთ აღნიშვნას a nროგორც უფრო გავრცელებული.

ადვილი მისახვედრია, თუ როგორ გამოვთვალოთ მაჩვენებლის მნიშვნელობა ბუნებრივი მაჩვენებლით მისი განმარტებიდან: თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ მე-n რიცხვი ჯერ. ამის შესახებ უფრო მეტი დავწერეთ სხვა სტატიაში.

ხარისხის ცნება არის სხვა მათემატიკური კონცეფციის - რიცხვის ფესვის ინვერსია. თუ ვიცით სიმძლავრის და მაჩვენებლის მნიშვნელობა, შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი ფუძე. ხარისხს აქვს გარკვეული სპეციფიკური თვისებები, რომლებიც გამოსადეგია პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც განვიხილეთ ცალკე მასალაში.

ექსპონენტები შეიძლება შეიცავდეს არა მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებს, არამედ ზოგადად ნებისმიერ მთელ რიცხვს, მათ შორის უარყოფით და ნულებს, რადგან ისინი ასევე მიეკუთვნებიან მთელი რიცხვების სიმრავლეს.

განმარტება 2

რიცხვის სიმძლავრე დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმულის სახით: .

ამ შემთხვევაში n არის ნებისმიერი დადებითი მთელი რიცხვი.

მოდით გავიგოთ ნულოვანი ხარისხის ცნება. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ მიდგომას, რომელიც ითვალისწინებს თანაბარი ფუძის მქონე სიმძლავრეების კოეფიციენტის თვისებას. იგი ჩამოყალიბებულია ასე:

განმარტება 3

Თანასწორობა a m: a n = a m − nჭეშმარიტი იქნება შემდეგ პირობებში: m და n არის ნატურალური რიცხვები, m< n , a ≠ 0 .

ბოლო პირობამნიშვნელოვანია, რადგან ის თავს არიდებს ნულზე გაყოფას. თუ m და n-ის მნიშვნელობები ტოლია, მაშინ მივიღებთ შემდეგი შედეგი: a n: a n = a n − n = a 0

მაგრამ ამავე დროს a n: a n = 1 არის თანაბარი რიცხვების კოეფიციენტი a nდა ა. გამოდის, რომ ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის ნულოვანი სიმძლავრე ერთის ტოლია.

თუმცა, ასეთი მტკიცებულება არ ვრცელდება ნულზე ნულოვანი სიმძლავრის მიმართ. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ძალაუფლების კიდევ ერთი თვისება - თანაბარი საფუძვლების მქონე ძალაუფლების პროდუქტების თვისება. ეს ასე გამოიყურება: a m · a n = a m + n .

თუ n 0-ის ტოლია, მაშინ a m · a 0 = a m(ეს თანასწორობა ამასაც გვიმტკიცებს a 0 = 1). მაგრამ თუ და ასევე ნულის ტოლია, ჩვენი თანასწორობა იღებს ფორმას 0 მ · 0 0 = 0 მ, ეს მართალი იქნება n-ის ნებისმიერ ბუნებრივ მნიშვნელობებზე და არ აქვს მნიშვნელობა ზუსტად რის ტოლია ხარისხის მნიშვნელობა 0 0 , ანუ ის შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვის ტოლი და ეს არ იმოქმედებს ტოლობის სიზუსტეზე. ამიტომ, ფორმის აღნიშვნა 0 0 არ აქვს თავისი განსაკუთრებული მნიშვნელობა და ჩვენ არ მივაწერთ მას.

თუ სასურველია, ამის შემოწმება ადვილია a 0 = 1ემთხვევა ხარისხის თვისებას (a m) n = a m nიმ პირობით, რომ ხარისხის საფუძველი არ არის ნული. ამრიგად, ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულის მაჩვენებლით არის ერთი.

მაგალითი 2

მოდით შევხედოთ მაგალითს კონკრეტული რიცხვებით: ასე რომ, 5 0 - ერთეული, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 და მნიშვნელობა 0 0 განუსაზღვრელი.

ნულოვანი ხარისხის შემდეგ, ჩვენ უბრალოდ უნდა გავარკვიოთ, რა არის უარყოფითი ხარისხი. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება თანაბარი საფუძვლების მქონე სიმძლავრის ნამრავლის იგივე თვისება, რომელიც უკვე გამოვიყენეთ: a m · a n = a m + n.

შემოვიღოთ პირობა: m = − n, მაშინ a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი. Აქედან გამომდინარეობს, რომ a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. გამოდის, რომ ნ და a−nჩვენ გვაქვს ორმხრივი ნომრები.

შედეგად, a უარყოფით მთელ ხარისხამდე სხვა არაფერია, თუ არა წილადი 1 a n.

ეს ფორმულირება ადასტურებს, რომ უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხზე მოქმედებს ყველა იგივე თვისება, რაც აქვს ბუნებრივ მაჩვენებელს (იმ პირობით, რომ ფუძე არ არის ნულის ტოლი).

მაგალითი 3

სიმძლავრე a უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით n შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც წილადი 1 a n. ამრიგად, a - n = 1 a n ექვემდებარება a ≠ 0და n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი.

მოდით ილუსტრირდეთ ჩვენი იდეა კონკრეტული მაგალითებით:

მაგალითი 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

აბზაცის ბოლო ნაწილში ჩვენ შევეცდებით გამოვსახოთ ყველაფერი, რაც ნათლად ითქვა ერთი ფორმულით:

განმარტება 4

რიცხვის სიმძლავრე z ბუნებრივი მაჩვენებლით არის: a z = a z, e l და z - დადებითი მთელი რიცხვი 1, z = 0 და a ≠ 0, (z = 0 და a = 0-სთვის შედეგი არის 0 0, 0 0 გამოხატვის მნიშვნელობები არ არის განსაზღვრული) 1 a z, თუ და z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი და a ≠ 0 (თუ z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი და a = 0 მიიღებთ 0 z, egoz მნიშვნელობა განუსაზღვრელია)

რა არის ძალაუფლება რაციონალური მაჩვენებლით?

ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევები, როდესაც მაჩვენებელი შეიცავს მთელ რიცხვს. თუმცა, შეგიძლიათ რიცხვის ხარისხამდე აყვანა მაშინაც კი, როცა მისი მაჩვენებელი შეიცავს წილად რიცხვს. ამას ჰქვია ძალა რაციონალური მაჩვენებლით. ამ განყოფილებაში ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ მას აქვს იგივე თვისებები, რაც სხვა ძალებს.

რა არის რაციონალური რიცხვები? მათი ნაკრები მოიცავს როგორც მთლიან, ასევე წილად რიცხვებს, ხოლო წილადი რიცხვები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადები (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი). მოდით ჩამოვაყალიბოთ a რიცხვის სიმძლავრის განმარტება წილადის მაჩვენებლით m/n, სადაც n არის ნატურალური რიცხვი და m არის მთელი რიცხვი.

გვაქვს გარკვეული ხარისხი a m n წილადის მაჩვენებლით. იმისთვის, რომ საკუთრების ძალაუფლების ძალა შენარჩუნდეს, ტოლობა a m n n = a m n · n = a m უნდა იყოს ჭეშმარიტი.

n-ე ფესვის განმარტების გათვალისწინებით და რომ m n n = a m, შეგვიძლია მივიღოთ პირობა a m n = a m n, თუ m n აზრი აქვს m, n და a მოცემულ მნიშვნელობებს.

მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ზემოაღნიშნული თვისებები ჭეშმარიტი იქნება a m n = a m n პირობით.

ჩვენი მსჯელობიდან მთავარი დასკვნა ასეთია: a გარკვეული რიცხვის სიმძლავრე წილადის მაჩვენებლით m/n არის რიცხვის n-ე ფესვი m ხარისხზე. ეს მართალია, თუ m, n და a მოცემული მნიშვნელობებისთვის, გამოხატულება a m n მნიშვნელოვანი რჩება.

1. ჩვენ შეგვიძლია შევზღუდოთ ხარისხის საფუძვლის მნიშვნელობა: ავიღოთ a, რომელიც m-ის დადებითი მნიშვნელობებისთვის იქნება 0-ზე მეტი ან ტოლი, ხოლო უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის - მკაცრად ნაკლები (რადგან m ≤ 0-ისთვის ვიღებთ 0 მ, მაგრამ ასეთი ხარისხი არ არის განსაზღვრული). ამ შემთხვევაში, ხარისხის განმარტება წილადის მაჩვენებლით ასე გამოიყურება:

სიმძლავრე წილადის მაჩვენებლით m/n ზოგიერთი დადებითი რიცხვისთვის არის a-ის n-ე ფესვი, რომელიც გაიზარდა m ხარისხზე. ეს შეიძლება გამოიხატოს როგორც ფორმულა:

ნულოვანი ფუძის მქონე სიმძლავრისთვის, ეს დებულება ასევე შესაფერისია, მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მაჩვენებელი დადებითი რიცხვია.

სიმძლავრე ფუძე ნულით და წილადი დადებითი მაჩვენებლით m/n შეიძლება გამოისახოს როგორც

0 m n = 0 m n = 0 იმ პირობით, რომ m არის დადებითი მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი.

უარყოფითი თანაფარდობისთვის m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ავღნიშნოთ ერთი მომენტი. მას შემდეგ, რაც ჩვენ შემოვიღეთ პირობა, რომ a მეტია ან ტოლია ნულზე, ჩვენ გადავწყვიტეთ ზოგიერთი შემთხვევა.

გამოთქმა a m n ზოგჯერ მაინც აზრი აქვს a და ზოგიერთი m-ის ზოგიერთ უარყოფით მნიშვნელობას. ამრიგად, სწორი ჩანაწერებია (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, რომლებშიც ფუძე უარყოფითია.

2. მეორე მიდგომა არის ცალ-ცალკე განიხილოს ფესვი a m n ლუწი და კენტი მაჩვენებლებით. შემდეგ კიდევ ერთი პირობის შემოღება დაგვჭირდება: a ხარისხი, რომლის მაჩვენებელში არის შემცირებადი ჩვეულებრივი წილადი, ითვლება a ხარისხად, რომლის მაჩვენებელში არის შესაბამისი შეუქცევადი წილადი. მოგვიანებით განვმარტავთ, რატომ გვჭირდება ეს მდგომარეობა და რატომ არის ეს ასე მნიშვნელოვანი. ამრიგად, თუ გვაქვს a m · k n · k აღნიშვნა, მაშინ შეგვიძლია შევამციროთ ის m n-მდე და გავამარტივოთ გამოთვლები.

თუ n არის კენტი რიცხვი და m-ის მნიშვნელობა დადებითი და a არის ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვი, მაშინ a m n აზრი აქვს. პირობა, რომ a იყოს არაუარყოფითი, აუცილებელია, რადგან ლუწი ხარისხის ფესვი არ შეიძლება გამოვყოთ უარყოფითი რიცხვიდან. თუ m-ის მნიშვნელობა დადებითია, მაშინ a შეიძლება იყოს უარყოფითიც და ნულიც, რადგან კენტი ფესვის აღება შეიძლება ნებისმიერი რეალური რიცხვიდან.

მოდით გავაერთიანოთ ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი განმარტება ერთ ჩანაწერში:

აქ m/n ნიშნავს შეუქცევად წილადს, m არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი და n არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.

განმარტება 5

ნებისმიერი ჩვეულებრივი შემცირებადი წილადისთვის m · k n · k ხარისხი შეიძლება შეიცვალოს m n-ით.

რიცხვის a ძალა შეუქცევადი წილადი მაჩვენებლით m/n – შეიძლება გამოისახოს m n-ში შემდეგი შემთხვევები: - ნებისმიერი რეალური a-სთვის, დადებითი მთელი რიცხვი m და კენტი ბუნებრივი მნიშვნელობები n. მაგალითი: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

ნებისმიერი არანულოვანი რეალური a, m-ის უარყოფითი მთელი მნიშვნელობები და n-ის უცნაური მნიშვნელობები, მაგალითად, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

ნებისმიერი არაუარყოფითი a, დადებითი მთელი რიცხვისთვის m და ლუწი n, მაგალითად, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

ნებისმიერი დადებითი a, უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის m და ლუწი n, მაგალითად, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

სხვა მნიშვნელობების შემთხვევაში, ხარისხი წილადის მაჩვენებლით არ არის განსაზღვრული. ასეთი ხარისხების მაგალითები: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

ახლა ავხსნათ ზემოთ განხილული პირობის მნიშვნელობა: რატომ შეცვალოთ წილადი შემცირებითი მაჩვენებლით წილადით შეუქცევადი მაჩვენებლით. ეს რომ არ გაგვეკეთებინა, გვექნებოდა შემდეგი სიტუაციები, ვთქვათ, 6/10 = 3/5. მაშინ ეს უნდა იყოს მართალი (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , მაგრამ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 და (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

წილადის მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრა, რომელიც ჩვენ პირველად წარმოვადგინეთ, პრაქტიკაში უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე მეორე, ამიტომ ჩვენ გავაგრძელებთ მის გამოყენებას.

განმარტება 6

ამრიგად, დადებითი რიცხვის სიმძლავრე a წილადი მაჩვენებლით m/n განისაზღვრება როგორც 0 m n = 0 m n = 0. უარყოფითის შემთხვევაში ა a m n აღნიშვნას აზრი არ აქვს. ნულის სიმძლავრე დადებითი წილადის მაჩვენებლებისთვის მ/ნგანისაზღვრება როგორც 0 m n = 0 m n = 0, უარყოფითი წილადის მაჩვენებლებისთვის ჩვენ არ განვსაზღვრავთ ნულის ხარისხს.

დასკვნებში აღვნიშნავთ, რომ ნებისმიერი წილადური მაჩვენებელი შეიძლება დაიწეროს როგორც შერეული რიცხვის სახით, ასევე სახით. ათობითი: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

გაანგარიშებისას უმჯობესია შეცვალოთ მაჩვენებლები ჩვეულებრივი ფრაქციადა გააგრძელეთ ხარისხის განმარტების გამოყენება წილადის მაჩვენებლით. ზემოთ მოყვანილი მაგალითებისთვის ვიღებთ:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

რა არის ძალაუფლება ირაციონალური და რეალური მაჩვენებლებით?

რა არის რეალური რიცხვები? მათი ნაკრები მოიცავს როგორც რაციონალურ, ასევე ირაციონალურ რიცხვებს. ამიტომ, იმისათვის, რომ გავიგოთ, რა არის ხარისხი რეალურ მაჩვენებელთან, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ გრადუსები რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლებით. რაციონალური პირობა ზემოთ უკვე აღვნიშნეთ. მოდით, ეტაპობრივად გავუმკლავდეთ ირაციონალურ მაჩვენებლებს.

მაგალითი 5

დავუშვათ, რომ გვაქვს ირაციონალური რიცხვი a და მისი ათობითი მიახლოებების თანმიმდევრობა a 0 , a 1 , a 2 , . . . . მაგალითად, ავიღოთ მნიშვნელობა a = 1.67175331. . . , მაშინ

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

ჩვენ შეგვიძლია დავაკავშიროთ მიახლოებათა მიმდევრობები a a 0, a a 1, a a 2, ხარისხების მიმდევრობასთან. . . . თუ გავიხსენებთ, რაც ადრე ვთქვით რიცხვების რაციონალურ ძალებამდე აყვანის შესახებ, მაშინ ჩვენ თვითონ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ ძალების მნიშვნელობები.

ავიღოთ მაგალითად a = 3, შემდეგ a 0 = 3 1, 67, a 1 = 3 1, 6717, a 2 = 3 1, 671753, . . . და ა.შ.

ძალაუფლების თანმიმდევრობა შეიძლება შემცირდეს რიცხვამდე, რომელიც იქნება სიმძლავრის მნიშვნელობა a ფუძით და ირაციონალური მაჩვენებლით a. შედეგად: ხარისხი 3 1, 67175331 ფორმის ირაციონალური მაჩვენებლით. . შეიძლება შემცირდეს 6, 27 რიცხვამდე.

განმარტება 7

დადებითი რიცხვის სიძლიერე a ირაციონალური მაჩვენებლით იწერება a. მისი მნიშვნელობა არის a a 0, a a 1, a 2, მიმდევრობის ზღვარი. . . , სადაც 0 , a 1 , a 2 , . . . არის თანმიმდევრული ათობითი მიახლოებები ირაციონალური რიცხვია. ნულოვანი ფუძის მქონე ხარისხი ასევე შეიძლება განისაზღვროს დადებითი ირაციონალური მაჩვენებლებისთვის, 0 a = 0 ასე რომ, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. მაგრამ ეს არ შეიძლება გაკეთდეს უარყოფითისთვის, რადგან, მაგალითად, მნიშვნელობა 0 - 5, 0 - 2 π არ არის განსაზღვრული. ნებისმიერ ირაციონალურ ძალამდე ამაღლებული ერთეული რჩება ერთეულად, მაგალითად, და 1 2, 1 5 2-ში და 1 - 5 იქნება 1-ის ტოლი.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter