სასკოლო არითმეტიკის კურსში ყველა მათემატიკური მოქმედება სრულდება რეალური რიცხვებით. ამ რიცხვების სიმრავლეს (ანუ უწყვეტ მოწესრიგებულ ველს) აქვს მთელი რიგი თვისებები (აქსიომები): გამრავლებისა და შეკრების კომუტატიულობა და ასოციაციურობა, ნულის, ერთის, საპირისპირო და შებრუნებული ელემენტების არსებობა. ასევე გამოიყენება წესრიგისა და უწყვეტობის აქსიომები შედარებითი ანალიზი, საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ რეალური რიცხვების ყველა თვისება.
ვინაიდან გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული მოქმედება, რეალური რიცხვების ნულზე გაყოფისას აუცილებლად წარმოიქმნება ორი გადაუჭრელი პრობლემა. ჯერ ერთი, ნულზე გაყოფის შედეგის შემოწმებას გამრავლების გამოყენებით არ აქვს რიცხვითი გამოხატულება. რა რიცხვიც არ უნდა იყოს კოეფიციენტი, თუ ის გამრავლდება ნულზე, დივიდენდის მიღება შეუძლებელია. მეორეც, მაგალითში 0:0 პასუხი შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც გამყოფზე გამრავლებისას ყოველთვის გადადის ნულზე.
გაყოფა ნულზე უმაღლეს მათემატიკაში
ნულზე გაყოფის ჩამოთვლილმა სირთულეებმა განაპირობა ამ ოპერაციაზე ტაბუს დაწესება. მინიმუმ, როგორც სასკოლო კურსის ნაწილი. თუმცა, უმაღლეს მათემატიკაში ისინი პოულობენ ამ აკრძალვის გვერდის ავლის გზებს.
მაგალითად, სხვა ალგებრული სტრუქტურის აგებით, რომელიც განსხვავდება ნაცნობი რიცხვითი ხაზისგან. ასეთი სტრუქტურის მაგალითია ბორბალი. აქ არის კანონები და წესები. კერძოდ, გაყოფა არ არის მიბმული გამრავლებასთან და ორობითი ოპერაციიდან (ორი არგუმენტით) გადადის ერთეულ ოპერაციაში (ერთი არგუმენტით), რომელიც აღინიშნება სიმბოლოთი /x.
რეალური რიცხვების ველის გაფართოება ხდება ჰიპერრეალური რიცხვების შემოღების გამო, რომელიც მოიცავს უსასრულოდ დიდ და უსასრულოდ მცირე სიდიდეებს. ეს მიდგომა საშუალებას გვაძლევს განვიხილოთ ტერმინი „უსასრულობა“, როგორც გარკვეული რიცხვი. უფრო მეტიც, როდესაც რიცხვითი წრფე ფართოვდება, ეს რიცხვი კარგავს თავის ნიშანს, გადაიქცევა იდეალიზებულ წერტილად, რომელიც აკავშირებს ამ ხაზის ორ ბოლოს. ეს მიდგომა შეიძლება შევადაროთ თარიღის ხაზს, როდესაც ორ სასაათო სარტყელს შორის გადაადგილებისას UTC+12 და UTC-12 შეგიძლიათ აღმოჩნდეთ შემდეგი დღეან წინაში. ამ შემთხვევაში, განცხადება x/0=∞ ნებისმიერი x≠0 ხდება ჭეშმარიტი.
0/0 გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, ბორბლისთვის შემოყვანილია ახალი ელემენტი ⏊=0/0. ამავე დროს, ამ ალგებრულ სტრუქტურას აქვს თავისი ნიუანსი: 0 x≠0; x-x≠0 ვ ზოგადი შემთხვევა. ასევე x·/x≠1, რადგან გაყოფა და გამრავლება აღარ ითვლება შებრუნებულ ოპერაციებად. მაგრამ ბორბლის ეს მახასიათებლები კარგად არის ახსნილი დისტრიბუციული კანონის იდენტობების გამოყენებით, რომელიც გარკვეულწილად განსხვავებულად მოქმედებს ასეთ ალგებრულ სტრუქტურაში. უფრო დეტალური განმარტებები შეგიძლიათ იხილოთ სპეციალიზებულ ლიტერატურაში.
ალგებრა, რომელსაც ყველა მიჩვეულია, ფაქტობრივად, მეტის განსაკუთრებული შემთხვევაა რთული სისტემებიმაგალითად, იგივე ბორბალი. როგორც ხედავთ, ნულზე გაყოფა შესაძლებელია უმაღლეს მათემატიკაში. ეს მოითხოვს რიცხვების, ალგებრული ოპერაციების და კანონების შესახებ ჩვეულებრივი იდეების საზღვრებს გასვლას, რომლებსაც ისინი ემორჩილებიან. მიუხედავად იმისა, რომ ეს საკმაოდ ბუნებრივი პროცესი, თან ახლავს ახალი ცოდნის ნებისმიერ ძიებას.
ისინი ამბობენ, რომ თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, თუ განსაზღვრავთ გაყოფის შედეგს ნულზე. თქვენ უბრალოდ უნდა გააფართოვოთ ალგებრა. უცნაური დამთხვევით, შეუძლებელია ასეთი გაფართოების სულ მცირე, ან უკეთ გასაგები და მარტივი მაგალითის პოვნა. ინტერნეტის დასაფიქსირებლად საჭიროა ან ასეთი გაფართოების ერთ-ერთი მეთოდის დემონსტრირება, ან იმის აღწერა, თუ რატომ არ არის ეს შესაძლებელი.
სტატია დაიწერა ტენდენციის გაგრძელებაში:
პასუხისმგებლობის უარყოფა
ამ სტატიის მიზანია ახსნას ” ადამიანის ენაროგორ მუშაობს მათემატიკის ფუნდამენტური პრინციპები, აყალიბებს ცოდნას და აღადგენს გამოტოვებულ მიზეზ-შედეგობრივ კავშირებს მათემატიკის დარგებს შორის. ყველა მსჯელობა ფილოსოფიურია; ზოგიერთ მსჯელობაში ისინი განსხვავდებიან საყოველთაოდ მიღებულისაგან (აქედან გამომდინარე, ისინი არ წარმოადგენენ მათემატიკურად მკაცრებს). სტატია შექმნილია მკითხველის დონისთვის, რომელმაც "კოშკი გაიარა მრავალი წლის წინ".არითმეტიკის, ელემენტარული, ზოგადი და წრფივი ალგებრის, მათემატიკური და არასტანდარტული ანალიზის, სიმრავლეების თეორიის, ზოგადი ტოპოლოგიის, პროექციული და აფინური გეომეტრიის პრინციპების გააზრება სასურველია, მაგრამ არა საჭირო.
ექსპერიმენტების დროს არანაირი უსასრულობა არ დაშავებულა.
Პროლოგი
„საზღვრებს მიღმა“ გადასვლა ახალი ცოდნის ძიების ბუნებრივი პროცესია. მაგრამ ყოველი ძიება არ მოაქვს ახალ ცოდნას და, შესაბამისად, სარგებელს.1. ფაქტობრივად, ჩვენამდე ყველაფერი უკვე გაიყო!
1.1 რიცხვითი ხაზის გაფართოება
დავიწყოთ იქიდან, სადაც ყველა ავანტიურისტი ალბათ იწყება ნულზე გაყოფისას. გავიხსენოთ ფუნქციის გრაფიკი
.
ნულის მარცხნივ და მარჯვნივ ფუნქცია მიდის სხვადასხვა მხარეები"არარსებული". ბოლოში არის ზოგადი "აუზი" და არაფერი ჩანს.
იმის მაგივრად, რომ აუზში ვიჩქაროთ, ვნახოთ, რა მიედინება მასში და რა გამოდის მისგან. ამისთვის გამოვიყენებთ ლიმიტს - მათემატიკური ანალიზის მთავარ ინსტრუმენტს. მთავარი "ხრიკი" არის ის, რომ ლიმიტი საშუალებას გაძლევთ მიხვიდეთ მოცემულ წერტილთან რაც შეიძლება ახლოს, მაგრამ არა "დააბიჯოთ მასზე". ასეთი "ღობე" "აუზის" წინ.
Ორიგინალური
კარგი, "ღობე" აღმართულია. ეს უკვე არც ისე საშინელია. აუზამდე ორი გზა გვაქვს. წავიდეთ მარცხნივ - ციცაბო დაღმართი, მარჯვნივ - ციცაბო ასვლა. რამდენიც არ უნდა წახვიდე "ღობისკენ", ის არ უახლოვდება. ქვედა და ზედა „არაფრის“ გადაკვეთის გზა არ არსებობს. ჩნდება ეჭვები: იქნებ წრეებში დავდივართ? თუმცა არა, რიცხვები იცვლება, რაც იმას ნიშნავს, რომ ისინი წრეში არ არიან. მოდით, კიდევ გადავხედოთ მათემატიკური ანალიზის ხელსაწყოებს. გარდა შეზღუდვებისა "ღობე", ნაკრები მოიცავს დადებით და უარყოფით უსასრულობას. რაოდენობები სრულიად აბსტრაქტულია (არა რიცხვები), კარგად ფორმალიზებული და გამოსაყენებლად მზად! გვიწყობს. შევავსოთ ჩვენი „ყოფნა“ (ნამდვილი რიცხვების სიმრავლე) ორი ხელმოწერილი უსასრულობით.
მათემატიკური ენაზე:
სწორედ ეს გაფართოება გაძლევთ საშუალებას აიღოთ ლიმიტი, როდესაც არგუმენტი მიისწრაფვის უსასრულობისკენ და მიიღოთ უსასრულობა ლიმიტის აღების შედეგად.არსებობს მათემატიკის ორი ფილიალი, რომლებიც აღწერენ ერთსა და იმავეს სხვადასხვა ტერმინოლოგიის გამოყენებით.
მოდით შევაჯამოთ:
ქვედა ხაზი არის. ძველი მიდგომები აღარ მუშაობს. გაიზარდა სისტემის სირთულე, "თუ-ების", "ყველასთვის, მაგრამ" და ა.შ. სახით. ჩვენ გვქონდა მხოლოდ ორი გაურკვევლობა 1/0 და 0/0 (ჩვენ არ განვიხილავდით ელექტროენერგიის ოპერაციებს), ასე რომ იყო ხუთი. ერთი გაურკვევლობის გამოვლენამ კიდევ უფრო მეტი გაურკვევლობა შექმნა.
1.2 ბორბალი
ეს არ შეწყვეტილა ხელმოუწერელი უსასრულობის შემოღებით. გაურკვევლობიდან თავის დასაღწევად, მეორე ქარი გჭირდებათ.ასე რომ, ჩვენ გვაქვს რეალური რიცხვების ნაკრები და ორი გაურკვევლობა 1/0 და 0/0. პირველის აღმოსაფხვრელად შევასრულეთ რიცხვითი წრფის პროექციული გაფართოება (ანუ შემოვიღეთ ხელმოუწერელი უსასრულობა). შევეცადოთ გავუმკლავდეთ 0/0 ფორმის მეორე გაურკვევლობას. მოდი ასე მოვიქცეთ. მოდით დავამატოთ ახალი ელემენტი რიცხვების სიმრავლეს, რომელიც წარმოადგენს მეორე გაურკვევლობას.
გაყოფის ოპერაციის განმარტება ეფუძნება გამრავლებას. ეს არ გვიწყობს. მოდით გავყოთ მოქმედებები ერთმანეთისგან, მაგრამ შევინარჩუნოთ ჩვეულებრივი ქცევა რეალური რიცხვებისთვის. განვსაზღვროთ ერთიანი გაყოფის ოპერაცია, რომელიც აღინიშნება ნიშნით "/".
მოდით განვსაზღვროთ ოპერაციები.
ამ სტრუქტურას ეწოდება "ბორბალი". ტერმინი მიღებული იქნა რიცხვითი წრფის პროექციული გაფართოების ტოპოლოგიურ სურათთან მისი მსგავსების გამო და 0/0 წერტილი.
როგორც ჩანს, ყველაფერი კარგად გამოიყურება, მაგრამ ეშმაკი დეტალებშია:
ყველა მახასიათებლის დასადგენად, ელემენტების ნაკრების გაფართოების გარდა, მიმაგრებულია ბონუსი არა ერთი, არამედ ორი იდენტობის სახით, რომლებიც აღწერს გამანაწილებელ კანონს.
მათემატიკური ენაზე:ზოგადი ალგებრის თვალსაზრისით ვმოქმედებდით ველთან. ველში კი, მოგეხსენებათ, მხოლოდ ორი ოპერაციაა განსაზღვრული (შეკრება და გამრავლება). გაყოფის ცნება მიღებულია ინვერსიული და, უფრო ღრმად, ერთეული ელემენტების მეშვეობით. განხორციელებული ცვლილებები გარდაქმნის ჩვენს ალგებრულ სისტემას მონოიდად, როგორც შეკრების მოქმედებისთვის (ნული, როგორც ნეიტრალური ელემენტი), ასევე გამრავლების მოქმედებისთვის (ერთი, როგორც ნეიტრალური ელემენტი).პიონერთა ნამუშევრებში ყოველთვის არ გამოიყენება სიმბოლოები ∞ და ⊥. ამის ნაცვლად, შეგიძლიათ იპოვოთ ჩანაწერები ფორმით /0 და 0/0.
სამყარო აღარ არის ისეთი მშვენიერი, არა? და მაინც, არ არის საჭირო აჩქარება. მოდით შევამოწმოთ, შეუძლია თუ არა გამავრცელებელი კანონის ახალი იდენტობები გაუმკლავდეს ჩვენს გაფართოებულ კომპლექტს.
ამჯერად შედეგი ბევრად უკეთესია.მოდით შევაჯამოთ:
ქვედა ხაზი არის. ალგებრა მშვენივრად მუშაობს. თუმცა, საფუძვლად აიღეს ცნება „განუსაზღვრელი“, რომელიც მათ დაიწყეს არსებულის განხილვა და მასთან მოქმედება. ერთ მშვენიერ დღეს ვიღაც იტყვის, რომ ყველაფერი ცუდია და თქვენ უნდა დაარღვიოთ ეს "გაურკვეველი" კიდევ რამდენიმე "გაურკვეველად", მაგრამ უფრო პატარაებად. ზოგადი ალგებრა იტყვის: "არაა პრობლემა, ძმაო!"
დაახლოებით ასე არის პოსტულირებული დამატებითი (j და k) წარმოსახვითი ერთეულები კვატერნიონებში.
ევგენი შირიაევი, მასწავლებელი და პოლიტექნიკური მუზეუმის მათემატიკის ლაბორატორიის ხელმძღვანელიგანუცხადა AiF.ru-ს ნულზე გაყოფის შესახებ:
1. საკითხის იურისდიქცია
დამეთანხმებით, რაც წესს განსაკუთრებით პროვოკაციულს ხდის არის აკრძალვა. როგორ არ შეიძლება ეს? ვინ აკრძალა? რაც შეეხება ჩვენს სამოქალაქო უფლებებს?
არც რუსეთის ფედერაციის კონსტიტუცია, არც სისხლის სამართლის კოდექსი და არც თქვენი სკოლის წესდება არ აპროტესტებს ჩვენთვის საინტერესო ინტელექტუალურ ქმედებას. ეს ნიშნავს, რომ აკრძალვა არ არის იურიდიული ძალადა არაფერი გიშლის ხელს, რომ რაღაცის ნულზე გაყოფა სწორედ აქ, AiF.ru-ს გვერდებზე. მაგალითად, ათასი.
2. გავყოთ როგორც ასწავლეს
დაიმახსოვრეთ, როცა პირველად ისწავლეთ გაყოფა, პირველი მაგალითები ამოიხსნებოდა გამრავლების შემოწმებით: გამყოფზე გამრავლებული შედეგი უნდა ყოფილიყო გაყოფის იგივე. თუ ეს არ ემთხვეოდა, მათ არ გადაწყვიტეს.
მაგალითი 1. 1000: 0 =...
ერთი წუთით დავივიწყოთ აკრძალული წესი და რამდენიმე მცდელობა გამოვიცნოთ პასუხი.
არასწორებს ჩეკი ამოიჭრება. სცადეთ შემდეგი ვარიანტები: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000. თითოეული მათგანისთვის შემოწმება იგივე შედეგს მოგვცემს:
100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10,000 0 = 0
ნულის გამრავლებით ყველაფერი თავისთავად იქცევა და არასოდეს ათასად. დასკვნის ფორმულირება მარტივია: არცერთი რიცხვი არ გაივლის გამოცდას. ანუ, არც ერთი რიცხვი არ შეიძლება იყოს ნულოვანი რიცხვის ნულზე გაყოფის შედეგი. ასეთი დაყოფა არ არის აკრძალული, მაგრამ უბრალოდ შედეგი არ აქვს.
3. ნიუანსი
კინაღამ ხელიდან გავუშვით ერთი შესაძლებლობა აკრძალვის უარსაყოფად. დიახ, ჩვენ ვაღიარებთ, რომ არანულოვანი რიცხვი არ შეიძლება გაიყოს 0-ზე. მაგრამ იქნებ თავად 0 შეიძლება?
მაგალითი 2. 0: 0 = ...
რა წინადადებები გაქვთ პირადში? 100? გთხოვთ: 100-ის კოეფიციენტი გამრავლებული გამყოფ 0-ზე უდრის დივიდენდს 0-ს.
Მეტი არჩევანი! 1? უხდება ძალიან. და -23, და 17, და ეს არის ის. ამ მაგალითში ტესტი დადებითი იქნება ნებისმიერი რიცხვისთვის. და მართალი გითხრათ, ამ მაგალითში გამოსავალს უნდა ეწოდოს არა რიცხვი, არამედ რიცხვების ნაკრები. ყველას. და დიდი დრო არ სჭირდება იმის დათანხმებას, რომ ალისა არ არის ალისა, არამედ მერი ენი და ორივე მათგანი კურდღლის ოცნებაა.
4. რაც შეეხება უმაღლეს მათემატიკას?
პრობლემა მოგვარებულია, ნიუანსები გათვალისწინებულა, წერტილები განთავსდა, ყველაფერი ნათელი გახდა - ნულზე გაყოფით მაგალითზე პასუხი არ შეიძლება იყოს ერთი რიცხვი. ასეთი პრობლემების მოგვარება უიმედო და შეუძლებელია. რაც ნიშნავს... საინტერესოა! Აიღე ორი.
მაგალითი 3. გამოიცანით როგორ გავყოთ 1000 0-ზე.
მაგრამ არავითარ შემთხვევაში. მაგრამ 1000 ადვილად შეიძლება დაიყოს სხვა რიცხვებზე. კარგი, მოდი მაინც გავაკეთოთ ის, რაც შეგვიძლია, თუნდაც შევცვალოთ დავალება. შემდეგ კი, ხედავთ, ჩვენ გავიტაცებთ და პასუხი თავისთავად გამოჩნდება. დავივიწყოთ ნულის შესახებ ერთი წუთით და გავყოთ ასზე:
ასი შორს არის ნულიდან. მოდით გადავდგათ ნაბიჯი მისკენ გამყოფის შემცირებით:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
დინამიკა აშკარაა: რაც უფრო ახლოს არის გამყოფი ნულთან, მით უფრო დიდია კოეფიციენტი. ტენდენცია შეიძლება შეინიშნოს წილადებზე გადასვლით და მრიცხველის შემცირების გაგრძელებით:
ის რჩება აღვნიშნო, რომ ჩვენ შეგვიძლია მივუახლოვდეთ ნულს, რამდენიც გვსურს, რაც ჩვენ გვსურს.
ამ პროცესში არ არის ნული და არ არის ბოლო კოეფიციენტი. ჩვენ აღვნიშნეთ მოძრაობა მათკენ, რიცხვის ჩანაცვლებით იმ რიცხვთან მიმდევრობით, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს:
ეს გულისხმობს დივიდენდის მსგავს ჩანაცვლებას:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
ტყუილად არ არის ისრები, რომლებიც ორმხრივია: ზოგიერთი თანმიმდევრობა შეიძლება გადავიდეს რიცხვებთან. შემდეგ შეგვიძლია მივაკუთვნოთ თანმიმდევრობა მის რიცხვობრივ ზღვარს.
მოდით შევხედოთ კოეფიციენტების თანმიმდევრობას:
ის იზრდება შეუზღუდავად, არ მიისწრაფვის რაიმე რიცხვისკენ და აჭარბებს ნებისმიერს. მათემატიკოსები რიცხვებს უმატებენ სიმბოლოებს ∞ რომ შეძლოთ ორმხრივი ისრის დადება ასეთი თანმიმდევრობის გვერდით:
რიგითობების რიცხვებთან შედარება, რომლებსაც აქვთ ლიმიტი, საშუალებას გვაძლევს შემოგთავაზოთ გამოსავალი მესამე მაგალითზე:
როდესაც ელემენტარულად ვყოფთ 1000-ზე დაახლოებულ მიმდევრობას დადებითი რიცხვების მიმდევრობით, რომლებიც იყრიან 0-ს, ვიღებთ მიმდევრობას, რომელიც აერთიანებს ∞-ს.
5. და აქ არის ნიუანსი ორი ნულით
რა შედეგია დადებითი რიცხვების ორი მიმდევრობის გაყოფა, რომლებიც გადადიან ნულამდე? თუ ისინი ერთნაირია, მაშინ ერთეული იდენტურია. თუ დივიდენდის თანმიმდევრობა უფრო სწრაფად უახლოვდება ნულს, მაშინ კოეფიციენტში მიმდევრობას აქვს ნულოვანი ზღვარი. და როდესაც გამყოფის ელემენტები მცირდება ბევრად უფრო სწრაფად, ვიდრე დივიდენდის ელემენტები, კოეფიციენტის თანმიმდევრობა მნიშვნელოვნად გაიზრდება:
გაურკვეველი სიტუაცია. და ამას ჰქვია: ტიპის გაურკვევლობა 0/0 . როდესაც მათემატიკოსები ხედავენ თანმიმდევრობებს, რომლებიც შეესაბამება ასეთ გაურკვევლობას, ისინი არ ჩქარობენ ორი იდენტური რიცხვის ერთმანეთზე გაყოფას, არამედ გაარკვიონ, რომელი მიმდევრობა გადის უფრო სწრაფად ნულამდე და როგორ ზუსტად. და თითოეულ მაგალითს ექნება თავისი კონკრეტული პასუხი!
6. ცხოვრებაში
Ohm-ის კანონი აკავშირებს დენი, ძაბვა და წინააღმდეგობა წრეში. ხშირად იწერება ამ ფორმით:
მოდით საკუთარ თავს უფლება მივცეთ უგულებელყოთ სუფთა ფიზიკური გაგება და ოფიციალურად შევხედოთ მარჯვენა მხარეს, როგორც ორი რიცხვის კოეფიციენტს. წარმოვიდგინოთ, რომ ელექტროენერგიაზე სკოლის პრობლემას ვაგვარებთ. მდგომარეობა იძლევა ძაბვას ვოლტებში და წინააღმდეგობას ომებში. კითხვა აშკარაა, გამოსავალი ერთ მოქმედებაშია.
ახლა მოდით გადავხედოთ ზეგამტარობის განმარტებას: ეს არის ზოგიერთი ლითონის თვისება, ჰქონდეს ნულოვანი ელექტრული წინააღმდეგობა.
აბა, მოვაგვაროთ ზეგამტარი წრედის პრობლემა? უბრალოდ დააყენე R= 0 ეს არ იმუშავებს, ფიზიკა აგდებს საინტერესო დავალება, რომელიც აშკარად უკან დგას მეცნიერული აღმოჩენა. და ადამიანებმა, რომლებმაც მოახერხეს ამ სიტუაციაში ნულზე გაყოფა, მიიღეს ნობელის პრემია. სასარგებლოა ნებისმიერი აკრძალვის გვერდის ავლით!
ისინი ამბობენ, რომ თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, თუ განსაზღვრავთ გაყოფის შედეგს ნულზე. თქვენ უბრალოდ უნდა გააფართოვოთ ალგებრა. უცნაური დამთხვევით, შეუძლებელია ასეთი გაფართოების სულ მცირე, ან უკეთ გასაგები და მარტივი მაგალითის პოვნა. ინტერნეტის დასაფიქსირებლად საჭიროა ან ასეთი გაფართოების ერთ-ერთი მეთოდის დემონსტრირება, ან იმის აღწერა, თუ რატომ არ არის ეს შესაძლებელი.
სტატია დაიწერა ტენდენციის გაგრძელებაში:
პასუხისმგებლობის უარყოფა
ამ სტატიის მიზანია „ადამიანის ენით“ ახსნას, თუ როგორ მუშაობს მათემატიკის ფუნდამენტური პრინციპები, ცოდნის სტრუქტურირება და მათემატიკის დარგებს შორის გამოტოვებული მიზეზ-შედეგობრივი ურთიერთობების აღდგენა. ყველა მსჯელობა ფილოსოფიურია; ზოგიერთ მსჯელობაში ისინი განსხვავდებიან საყოველთაოდ მიღებულისაგან (აქედან გამომდინარე, ისინი არ წარმოადგენენ მათემატიკურად მკაცრებს). სტატია შექმნილია მკითხველის დონისთვის, რომელმაც "კოშკი გაიარა მრავალი წლის წინ".არითმეტიკის, ელემენტარული, ზოგადი და წრფივი ალგებრის, მათემატიკური და არასტანდარტული ანალიზის, სიმრავლეების თეორიის, ზოგადი ტოპოლოგიის, პროექციული და აფინური გეომეტრიის პრინციპების გააზრება სასურველია, მაგრამ არა საჭირო.
ექსპერიმენტების დროს არანაირი უსასრულობა არ დაშავებულა.
Პროლოგი
„საზღვრებს მიღმა“ გადასვლა ახალი ცოდნის ძიების ბუნებრივი პროცესია. მაგრამ ყოველი ძიება არ მოაქვს ახალ ცოდნას და, შესაბამისად, სარგებელს.1. ფაქტობრივად, ჩვენამდე ყველაფერი უკვე გაიყო!
1.1 რიცხვითი ხაზის გაფართოება
დავიწყოთ იქიდან, სადაც ყველა ავანტიურისტი ალბათ იწყება ნულზე გაყოფისას. გავიხსენოთ ფუნქციის გრაფიკი.
ნულის მარცხნივ და მარჯვნივ ფუნქცია მიდის "არარსებობის" სხვადასხვა მიმართულებით. ბოლოში არის ზოგადი "აუზი" და არაფერი ჩანს.
იმის მაგივრად, რომ აუზში ვიჩქაროთ, ვნახოთ, რა მიედინება მასში და რა გამოდის მისგან. ამისთვის გამოვიყენებთ ლიმიტს - მათემატიკური ანალიზის მთავარ ინსტრუმენტს. მთავარი "ხრიკი" არის ის, რომ ლიმიტი საშუალებას გაძლევთ მიხვიდეთ მოცემულ წერტილთან რაც შეიძლება ახლოს, მაგრამ არა "დააბიჯოთ მასზე". ასეთი "ღობე" "აუზის" წინ.
Ორიგინალური
კარგი, "ღობე" აღმართულია. ეს უკვე არც ისე საშინელია. აუზამდე ორი გზა გვაქვს. წავიდეთ მარცხნივ - ციცაბო დაღმართი, მარჯვნივ - ციცაბო ასვლა. რამდენიც არ უნდა წახვიდე "ღობისკენ", ის არ უახლოვდება. ქვედა და ზედა „არაფრის“ გადაკვეთის გზა არ არსებობს. ჩნდება ეჭვები: იქნებ წრეებში დავდივართ? თუმცა არა, რიცხვები იცვლება, რაც იმას ნიშნავს, რომ ისინი წრეში არ არიან. მოდით, კიდევ გადავხედოთ მათემატიკური ანალიზის ხელსაწყოებს. გარდა შეზღუდვებისა "ღობე", ნაკრები მოიცავს დადებით და უარყოფით უსასრულობას. რაოდენობები სრულიად აბსტრაქტულია (არა რიცხვები), კარგად ფორმალიზებული და გამოსაყენებლად მზად! გვიწყობს. შევავსოთ ჩვენი „ყოფნა“ (ნამდვილი რიცხვების სიმრავლე) ორი ხელმოწერილი უსასრულობით.
მათემატიკური ენაზე:
სწორედ ეს გაფართოება გაძლევთ საშუალებას აიღოთ ლიმიტი, როდესაც არგუმენტი მიისწრაფვის უსასრულობისკენ და მიიღოთ უსასრულობა ლიმიტის აღების შედეგად.არსებობს მათემატიკის ორი ფილიალი, რომლებიც აღწერენ ერთსა და იმავეს სხვადასხვა ტერმინოლოგიის გამოყენებით.
მოდით შევაჯამოთ:
ქვედა ხაზი არის. ძველი მიდგომები აღარ მუშაობს. გაიზარდა სისტემის სირთულე, "თუ-ების", "ყველასთვის, მაგრამ" და ა.შ. სახით. ჩვენ გვქონდა მხოლოდ ორი გაურკვევლობა 1/0 და 0/0 (ჩვენ არ განვიხილავდით ელექტროენერგიის ოპერაციებს), ასე რომ იყო ხუთი. ერთი გაურკვევლობის გამოვლენამ კიდევ უფრო მეტი გაურკვევლობა შექმნა.
1.2 ბორბალი
ეს არ შეწყვეტილა ხელმოუწერელი უსასრულობის შემოღებით. გაურკვევლობიდან თავის დასაღწევად, მეორე ქარი გჭირდებათ.ასე რომ, ჩვენ გვაქვს რეალური რიცხვების ნაკრები და ორი გაურკვევლობა 1/0 და 0/0. პირველის აღმოსაფხვრელად შევასრულეთ რიცხვითი წრფის პროექციული გაფართოება (ანუ შემოვიღეთ ხელმოუწერელი უსასრულობა). შევეცადოთ გავუმკლავდეთ 0/0 ფორმის მეორე გაურკვევლობას. მოდი ასე მოვიქცეთ. მოდით დავამატოთ ახალი ელემენტი რიცხვების სიმრავლეს, რომელიც წარმოადგენს მეორე გაურკვევლობას.
გაყოფის ოპერაციის განმარტება ეფუძნება გამრავლებას. ეს არ გვიწყობს. მოდით გავყოთ მოქმედებები ერთმანეთისგან, მაგრამ შევინარჩუნოთ ჩვეულებრივი ქცევა რეალური რიცხვებისთვის. განვსაზღვროთ ერთიანი გაყოფის ოპერაცია, რომელიც აღინიშნება ნიშნით "/".
მოდით განვსაზღვროთ ოპერაციები.
ამ სტრუქტურას ეწოდება "ბორბალი". ტერმინი მიღებული იქნა რიცხვითი წრფის პროექციული გაფართოების ტოპოლოგიურ სურათთან მისი მსგავსების გამო და 0/0 წერტილი.
როგორც ჩანს, ყველაფერი კარგად გამოიყურება, მაგრამ ეშმაკი დეტალებშია:
ყველა მახასიათებლის დასადგენად, ელემენტების ნაკრების გაფართოების გარდა, მიმაგრებულია ბონუსი არა ერთი, არამედ ორი იდენტობის სახით, რომლებიც აღწერს გამანაწილებელ კანონს.
მათემატიკური ენაზე:ზოგადი ალგებრის თვალსაზრისით ვმოქმედებდით ველთან. ველში კი, მოგეხსენებათ, მხოლოდ ორი ოპერაციაა განსაზღვრული (შეკრება და გამრავლება). გაყოფის ცნება მიღებულია ინვერსიული და, უფრო ღრმად, ერთეული ელემენტების მეშვეობით. განხორციელებული ცვლილებები გარდაქმნის ჩვენს ალგებრულ სისტემას მონოიდად, როგორც შეკრების მოქმედებისთვის (ნული, როგორც ნეიტრალური ელემენტი), ასევე გამრავლების მოქმედებისთვის (ერთი, როგორც ნეიტრალური ელემენტი).პიონერთა ნამუშევრებში ყოველთვის არ გამოიყენება სიმბოლოები ∞ და ⊥. ამის ნაცვლად, შეგიძლიათ იპოვოთ ჩანაწერები ფორმით /0 და 0/0.
სამყარო აღარ არის ისეთი მშვენიერი, არა? და მაინც, არ არის საჭირო აჩქარება. მოდით შევამოწმოთ, შეუძლია თუ არა გამავრცელებელი კანონის ახალი იდენტობები გაუმკლავდეს ჩვენს გაფართოებულ კომპლექტს
ამჯერად შედეგი ბევრად უკეთესია.მოდით შევაჯამოთ:
ქვედა ხაზი არის. ალგებრა მშვენივრად მუშაობს. თუმცა, საფუძვლად აიღეს ცნება „განუსაზღვრელი“, რომელიც მათ დაიწყეს არსებულის განხილვა და მასთან მოქმედება. ერთ მშვენიერ დღეს ვიღაც იტყვის, რომ ყველაფერი ცუდია და თქვენ უნდა დაარღვიოთ ეს "გაურკვეველი" კიდევ რამდენიმე "გაურკვეველად", მაგრამ უფრო პატარაებად. ზოგადი ალგებრა იტყვის: "არაა პრობლემა, ძმაო!"
დაახლოებით ასე არის პოსტულირებული დამატებითი (j და k) წარმოსახვითი ერთეულები კვატერნიონებში.
- სახელმძღვანელო
ჩემი სამი წლის ქალიშვილი სოფია შემოვიდა Ბოლო დროსხშირად ახსენებს "ნულს", მაგალითად, ამ კონტექსტში:
- სონია, ეტყობა თავიდან არ მოუსმინე, მაგრამ მერე დაემორჩილე, რა ხდება?..
- კარგი... ნული!
იმათ. განცდა უარყოფითი რიცხვებიდა ნეიტრალიტეტს უკვე აქვს ნული, ოჰ როგორ. მალე ის იკითხავს: რატომ არ შეიძლება ეს იყოფა ნულზე?
და ასე გადავწყვიტე მარტივი სიტყვებითჩამოწერეთ ყველაფერი, რაც ჯერ კიდევ მახსოვს ნულზე გაყოფის შესახებ და ეს ყველაფერი.
ზოგადად, სჯობს გაყოფა ერთხელ ნახოთ, ვიდრე ასჯერ გაიგოთ.
ან გაყავით ერთი x-ზე რომ ნახოთ...
აქ თქვენ დაუყოვნებლივ ხედავთ, რომ ნული არის სიცოცხლის ცენტრი, სამყარო და ყველაფერი. Საპასუხოდ მთავარი კითხვაამ ყველაფერთან დაკავშირებით, ნება მიეცით იყოს 42, მაგრამ ცენტრი არის, ყოველ შემთხვევაში, 0. ნიშანიც კი არ აქვს, არც პლუსი (დავემორჩილე), არც მინუსი (არ მომისმენია), ეს ნამდვილად ნულია. და მან ბევრი რამ იცის გოჭების შესახებ.
რადგან თუ რომელიმე გოჭი გამრავლდება ნულზე, მაშინ გოჭი იწოვება ამ მრგვალ შავ ხვრელში და შედეგი ისევ ნულია. ეს ნული არც ისე ნეიტრალურია, როცა შეკრებიდან და გამოკლებიდან გამრავლებამდე მიდის, რომ აღარაფერი ვთქვათ გაყოფამდე... იქ თუ ზემოთ ნული არის „0/x“, მაშინ ისევ შავი ხვრელი. ყველაფერი ნულამდე მიდის. მაგრამ თუ გაყოფის დროს და თუნდაც ქვემოდან არის “x/0”, მაშინ იწყება... მიჰყევი თეთრ კურდღელს, სონიას!
სკოლაში გეტყვიან "ნულის გაყოფა არ შეიძლება" და არ გაწითლდებიან. დასტურის სახით, ისინი კალკულატორზე დააყენებენ „1/0=“-ს და ჩვეულებრივი კალკულატორი, ასევე გაწითლების გარეშე, დაწერს „E“, „შეცდომა“, ამბობენ, „შეუძლებელია - ეს ნიშნავს, რომ შეუძლებელია“. მიუხედავად იმისა, რომ ის, რაც იქ გაქვთ, ჩაითვლება ჩვეულებრივ კალკულატორად, სხვა საკითხია. ახლა, 2014 წელს, Android ტელეფონზე სტანდარტული კალკულატორი მეუბნება სულ სხვა რამეს:
ვაი უსასრულობა. გაასრიალეთ მზერა, გაჭერით წრეები. ასე რომ თქვენ არ შეგიძლიათ. თურმე შესაძლებელია. თუ ფრთხილად ხარ. იმის გამო, რომ სიფრთხილის გარეშე, ჩემი Android ასევე ჯერ არ ეთანხმება: "0/0=Error", ისევ შეუძლებელია. მოდით, კიდევ ერთხელ ვცადოთ: „-1/0 = -∞“, ოჰ როგორ. საინტერესო აზრია, მაგრამ არ ვეთანხმები. მე ასევე არ ვეთანხმები "0/0=Error".
სხვათა შორის, JavaScript, რომელიც აძლიერებს მიმდინარე საიტებს, ასევე არ ეთანხმება Android კალკულატორს: გადადით ბრაუზერის კონსოლზე (ჯერ კიდევ F12?) და დაწერეთ იქ: "0/0" (შეყვანა). JS გიპასუხებთ: "NaN". ეს არ არის შეცდომა. ეს არის "არა რიცხვი" - ე.ი. რაღაც, მაგრამ არა რიცხვი. მიუხედავად იმისა, რომ JS ასევე ესმის "1/0" როგორც "Infinity". უკვე უფრო ახლოსაა. მაგრამ ჯერ მხოლოდ თბილია...
უნივერსიტეტში - უმაღლესი მათემატიკა. არსებობს საზღვრები, ბოძები და სხვა შამანიზმი. და ყველაფერი უფრო და უფრო რთულდება, ისინი ბუჩქის ირგვლივ სცემენ, მაგრამ მხოლოდ მათემატიკის კრისტალური კანონების დარღვევის მიზნით. მაგრამ თუ არ ცდილობთ ნულზე გაყოფა ამ არსებულ კანონებში მორგებას, მაშინ შეგიძლიათ იგრძნოთ ეს ფანტაზია - თქვენს თითებზე.
ამისათვის მოდით კვლავ გადავხედოთ დაყოფას:
Გაყოლა მარჯვენა ხაზი, მარჯვნიდან მარცხნივ. რაც უფრო ახლოს არის X ნულთან, მით უფრო მაღლა იწევს გაყოფა X-ზე. და სადღაც ღრუბლებში "პლუს უსასრულობა". ის ყოველთვის უფრო შორს არის, ჰორიზონტის მსგავსად, ვერ დაეწიე მას.
ახლა მიჰყევით მარცხენა ხაზს, მარცხნიდან მარჯვნივ. იგივე ამბავი, მხოლოდ ახლა დაფრინავს ის, რაც იყოფა, უსასრულოდ ქვემოთ, "მინუს უსასრულობად". აქედან გამომდინარეობს მოსაზრება, რომ „1/0= +∞“, და „-1/0 = 1/-0 = -∞“.
მაგრამ ხრიკი ის არის, რომ "0 = -0", ნულს არ აქვს ნიშანი, თუ საქმეს არ გაართულებთ საზღვრებით. და თუ ერთს გაყოფთ ასეთ "მარტივ" ნულზე ნიშნის გარეშე, მაშინ არ არის ლოგიკური ვივარაუდოთ, რომ მიიღებთ უსასრულობას - "უბრალოდ" უსასრულობას, ნიშნის გარეშე, ნულის მსგავსად. სად არის - ზემოთ თუ ქვემოთ? ის ყველგან არის - უსასრულოდ შორს ნულიდან ყველა მიმართულებით. ეს არის ნული, შემობრუნებული შიგნით. ნული - არაფერია. უსასრულობა ყველაფერია. დადებითიც და უარყოფითიც. Სულ ეს არის. და მაშინვე. აბსოლუტური.
მაგრამ იყო რაღაც "0/0", რაღაც სხვა, არა უსასრულობა... მოდით გავაკეთოთ ეს ხრიკი: "2*0=0", ჰო, იტყვის სკოლის მასწავლებელი. ასევე: „3*0=0“ - კიდევ ერთხელ. და თუ ჩვენ არ დავთმობთ იმის შესახებ, რომ „არ შეიძლება ნულზე გაყოფა“, ამბობენ ისინი, მთელი სამყარო მაინც ნელ-ნელა იყოფა, მივიღებთ: „2=0/0“ და „3=0/0“. რომელ კლასში ასწავლიან ამას, მხოლოდ ნულის გარეშე, რა თქმა უნდა.
ერთი წუთით, გამოდის "2 = 0/0 = 3", "2=3"?! ამიტომაც ეშინიათ, ამიტომაც არის „შეუძლებელი“. "1/0"-ზე საშინელი ერთადერთია "0/0", ანდროიდის კალკულატორსაც კი ეშინია ამის.
მაგრამ ჩვენ არ გვეშინია! იმიტომ, რომ ჩვენ გვაქვს მათემატიკის წარმოსახვის ძალა. ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ საკუთარი თავი უსასრულო აბსოლუტად სადღაც ვარსკვლავებში, იქიდან შევხედოთ სასრული რიცხვების და ადამიანების ცოდვილ სამყაროს და გავიგოთ, რომ ამ თვალსაზრისით ისინი ყველა ერთნაირია. და "2" "3"-ით და კიდევ "-1" და მასწავლებელი სკოლაში, ალბათ, ასევე.
ასე რომ, მე მოკრძალებულად ვარაუდობ, რომ 0/0 არის მთელი სასრული სამყარო, უფრო სწორად ყველაფერი, რაც არ არის უსასრულო და არა ცარიელი.
ასე გამოიყურება ნული გაყოფილი X-ზე ჩემს ფანტაზიებში, რომლებიც შორსაა ოფიციალური მათემატიკისგან. სინამდვილეში, ის ჰგავს 1/x-ს, მხოლოდ დახრის წერტილი არის არა ერთზე, არამედ ნულზე. სხვათა შორის, 2/x-ს აქვს გადახრა ორზე, ხოლო 0,5/x-ს აქვს 0,5-ზე.
გამოდის, რომ 0/x x=0-ზე იღებს ყველა სასრულ მნიშვნელობას - არა უსასრულობას, არა სიცარიელეს. გრაფაში არის ხვრელი ნულზე, ცულები ჩანს.
რა თქმა უნდა, შეიძლება ვიკამათოთ, რომ "0*0 = 0", რაც ნიშნავს ნულს (სიცარიელეს) ასევე მიეკუთვნება 0/0 კატეგორიას. ნება მომეცით ცოტათი გავუსწრო - იქნება ნულის ხარისხები და ეს წინააღმდეგობა ფრაგმენტებად დაიმსხვრევა.
უი, ერთეული უსასრულობაში ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც 0/0, რაც გამოიწვევს (0/0)/0 - უსასრულობას. ახლა წესრიგი წესრიგშია, ყველაფერი შეიძლება გამოვხატოთ ნულების შეფარდებით.
მაგალითად, თუ სასრულს დავუმატებთ უსასრულობას, მაშინ უსასრულობა შთანთქავს სასრულს და დარჩება უსასრულოდ:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.
და თუ უსასრულობა მრავლდება სიცარიელეზე, მაშინ ისინი შთანთქავენ ერთმანეთს და შედეგი არის სასრული სამყარო:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.
მაგრამ ეს მხოლოდ ოცნებების პირველი დონეა. შეგიძლიათ უფრო ღრმად ჩათხაროთ.
თუ უკვე იცით „რიცხვის სიმძლავრის“ ცნება და „1/x = x^-1“, მაშინ, გარკვეული ფიქრით, შეგიძლიათ გადახვიდეთ ყველა ამ დაყოფიდან და ფრჩხილიდან (როგორიცაა (0/0)/ 0) უბრალოდ ძალაუფლება:
1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1
ნახავ.
აქ უსასრულობასთან და სიცარიელეში ყველაფერი ისე მარტივია, როგორც სკოლაში. და სასრული სამყარო მიდის შემდეგ ხარისხებამდე:
0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.
ოუფ!
გამოდის, რომ ნულის დადებითი ხარისხები არის ნულები, უარყოფითი ძალებინული არის უსასრულობა, ხოლო ნულის ნულოვანი ხარისხი არის სასრული სამყარო.
ასე გამოდის უნივერსალური ობიექტი „0^x“. ასეთი ობიექტები მშვენივრად ურთიერთობენ ერთმანეთთან, ისევ ემორჩილებიან ბევრ კანონს, ზოგადად სილამაზეს.
მათემატიკაში ჩემი მოკრძალებული ცოდნა საკმარისი იყო იმისთვის, რომ მათგან აბელიანი ჯგუფი გამოეყვანა, რომელიც იზოლირებულ იქნა ვაკუუმში („უბრალოდ აბსტრაქტული ობიექტები, აღნიშვნის ფორმა, როგორც მაჩვენებლის მსგავსი“), მათემატიკის ყველაზე მაგარი მასწავლებლის გამოცდაც კი ჩააბარა. განაჩენი "საინტერესოა, მაგრამ არაფერი გამოვა." აქ რომ რამე გამოვიდა, ეს ტაბუდადებული თემაა - გაყოფა ნულზე. ზოგადად, არ ინერვიულო.
შევეცადოთ უბრალოდ გავამრავლოთ უსასრულობა სასრულ რიცხვზე:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.
ისევ უსასრულობამ შთანთქა სასრული რიცხვი ისევე, როგორც მისი ანტიპოდი ნული შთანთქავს სასრულ რიცხვებს, იგივე შავ ხვრელს:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.
ისიც გამოდის, რომ გრადუსები ძალას ჰგავს. იმათ. მეორე ხარისხის ნული უფრო ძლიერია ვიდრე ჩვეულებრივი ნული (პირველი ხარისხის, 0^1). და უსასრულობა მინუს მეორე ხარისხი უფრო ძლიერია ვიდრე ჩვეულებრივი უსასრულობა (0^-1).
და როდესაც სიცარიელე ეჯახება აბსოლუტს, ისინი ზომავენ თავიანთ ძალას - ვისაც მეტი აქვს, გაიმარჯვებს:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.
თუ ისინი თანაბარი არიან სიძლიერით, მაშინ ისინი ანადგურებენ და რჩება სასრული სამყარო:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.
სხვათა შორის, ოფიციალური მათემატიკა უკვე ახლოსაა. მისმა წარმომადგენლებმა იციან „პოლუსების“ შესახებ და რომ პოლუსებს აქვთ განსხვავებული სიძლიერე (ბრძანებები), ასევე „k რიგის ნულის“ შესახებ. მაგრამ ისინი მაინც თელავენ მყარ ზედაპირს „გვერდით“ და ეშინიათ შავ ხვრელში გადახტომის.
და ბოლო ჩემთვის არის ოცნებების მესამე დონე. მაგალითად, ყველა ეს 0^-1 და 0^-2 არის სხვადასხვა სიძლიერის უსასრულობა. ან 0^1, 0^2 - სხვადასხვა სიძლიერის ნულები. მაგრამ "-1" და "-2" და "+1" და "+2" - სულ ეს არის - 0/0, ტოლი 0^0, უკვე გავიდა. გამოდის, რომ სიზმრების ამ დონიდან, არ აქვს მნიშვნელობა რა არის ისინი - ნულები, უსასრულობები და სასრული სამყაროც კი აღწევს იქ გარკვეული განმანათლებლობით. ერთ წერტილამდე. ერთ კატეგორიაში. ამ ბედნიერებას სინგულარობა ჰქვია.
უნდა ვაღიარო, რომ განმანათლებლობის მდგომარეობის მიღმა მე არ ვაკვირდები ერთ პუნქტს, მაგრამ ერთი კატეგორია - გაერთიანება "0^0 U 0^(0^0)" - საკმაოდ სრულყოფილია.
რა სარგებელი შეიძლება მივიღოთ ამ ყველაფრისგან? ბოლოს და ბოლოს, ოდნავ ნაკლებად გიჟური „წარმოსახვითი რიცხვებიც“, რომლებიც ასევე ანადგურებენ კალკულატორებს შეცდომაში = √-1 და მათ შეძლეს გახდნენ ოფიციალური მათემატიკა და ახლა გაამარტივეს ფოლადის წარმოების გამოთვლები.
როგორც ხეზე ფოთლები შორიდან ერთნაირი ჩანს, მაგრამ თუ მათ უფრო ახლოს დააკვირდებით, ისინი ყველა განსხვავებულია. და თუ დაფიქრდებით, ისევ იგივეა. და დიდად არ განსხვავდება შენგან და ჩემგან. უფრო სწორად, ისინი საერთოდ არ განსხვავდებიან, თუ კარგად დაფიქრდებით.
აქ სარგებელი არის განსხვავებებზე ფოკუსირების და აბსტრაქტული უნარი. ეს ძალიან სასარგებლოა სამსახურში, ცხოვრებაში და სიკვდილთან მიმართებაშიც კი.
ასეთი მოგზაურობა კურდღლის ხვრელში, სონია!
Ჩატვირთვა...