განმარტება. გვერდითი კიდე- ეს არის სამკუთხედი, რომელშიც ერთი კუთხე დევს პირამიდის თავზე, ხოლო მოპირდაპირე მხარე ემთხვევა ფუძის მხარეს (პოლიგონი).
განმარტება. გვერდითი ნეკნები- ეს საერთო ასპექტებიგვერდითი კიდეები. პირამიდას იმდენი კიდე აქვს, რამდენიც მრავალკუთხედის კუთხეებს.
განმარტება. პირამიდის სიმაღლე- ეს არის პირამიდის ზემოდან დაშვებული პერპენდიკულური.
განმარტება. აპოთემა- ეს არის პირამიდის გვერდითი სახის პერპენდიკულარული, პირამიდის ზემოდან ძირის მხარეს დაშვებული.
განმარტება. დიაგონალური განყოფილება- ეს არის პირამიდის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის პირამიდის თავზე და ფუძის დიაგონალზე.
განმარტება. სწორი პირამიდაარის პირამიდა, რომელშიც ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და სიმაღლე ეშვება ფუძის ცენტრამდე.
პირამიდის მოცულობა და ზედაპირის ფართობი
ფორმულა. პირამიდის მოცულობაბაზის ფართობისა და სიმაღლის მეშვეობით:
პირამიდის თვისებები
თუ ყველა გვერდითი კიდე ტოლია, მაშინ პირამიდის ფუძის ირგვლივ შეიძლება შემოხაზოთ წრე, ხოლო ფუძის ცენტრი ემთხვევა წრის ცენტრს. ასევე, ზემოდან ჩამოშვებული პერპენდიკულარი გადის ფუძის ცენტრში (წრე).
თუ ყველა გვერდითი კიდე ტოლია, მაშინ ისინი მიდრეკილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.
გვერდითი ნეკნები თანაბარია, როდესაც ისინი ქმნიან ფუძის სიბრტყეს თანაბარი კუთხეებიან თუ წრის აღწერა შეიძლება პირამიდის ფუძის გარშემო.
თუ გვერდითი მხარეები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით, მაშინ წრე შეიძლება ჩაიწეროს პირამიდის ძირში, ხოლო პირამიდის ზევით დაპროექტებული იყოს მის ცენტრში.
თუ გვერდითი მხარეები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით, მაშინ გვერდითი გვერდების აპოთემები ტოლია.
რეგულარული პირამიდის თვისებები
1. პირამიდის მწვერვალი თანაბრად არის დაშორებული ფუძის ყველა კუთხიდან.
2. ყველა გვერდითი კიდე ტოლია.
3. ყველა გვერდითი ნეკნი დახრილია ფუძის მიმართ თანაბარი კუთხით.
4. ყველა გვერდითი სახის აპოთემები ტოლია.
5. ყველა გვერდითი სახის ფართობი ტოლია.
6. ყველა სახეს აქვს ერთნაირი დიედრული (ბრტყელი) კუთხე.
7. პირამიდის გარშემო შეიძლება აღწერილი იყოს სფერო. შემოხაზული სფეროს ცენტრი იქნება პერპენდიკულარების გადაკვეთის წერტილი, რომელიც გადის კიდეების შუაზე.
8. შეგიძლიათ მოერგოთ სფერო პირამიდაში. ჩაწერილი სფეროს ცენტრი იქნება კიდესა და ფუძეს შორის კუთხიდან გამომავალი ბისექტორების გადაკვეთის წერტილი.
9. თუ შემოხაზული სფეროს ცენტრი ემთხვევა შემოხაზული სფეროს ცენტრს, მაშინ სიბრტყე კუთხეების ჯამი წვეროზე უდრის π ან პირიქით, ერთი კუთხე უდრის π/n, სადაც n არის რიცხვი. კუთხეები პირამიდის ძირში.
კავშირი პირამიდასა და სფეროს შორის
სფერო შეიძლება აღწერილი იყოს პირამიდის ირგვლივ, როდესაც პირამიდის ძირში არის პოლიედონი, რომლის ირგვლივ წრე შეიძლება იყოს აღწერილი (აუცილებელი და საკმარისი პირობა). სფეროს ცენტრი იქნება სიბრტყეების გადაკვეთის წერტილი, რომლებიც პერპენდიკულარულად გადიან პირამიდის გვერდითი კიდეების შუა წერტილებში.
ყოველთვის შესაძლებელია ნებისმიერი სამკუთხა ან რეგულარული პირამიდის გარშემო სფეროს აღწერა.
სფერო შეიძლება ჩაიწეროს პირამიდაში, თუ პირამიდის შიდა დიედრული კუთხეების ბისექტრული სიბრტყეები იკვეთება ერთ წერტილში (აუცილებელი და საკმარისი პირობა). ეს წერტილი იქნება სფეროს ცენტრი.
პირამიდის შეერთება კონუსთან
ამბობენ, რომ კონუსი პირამიდაშია ჩაწერილი, თუ მათი წვეროები ემთხვევა და კონუსის ფუძე ჩაწერილია პირამიდის ძირში.
კონუსი შეიძლება ჩაიწეროს პირამიდაში, თუ პირამიდის აპოთემები ერთმანეთის ტოლია.
ამბობენ, რომ კონუსი შემოიფარგლება პირამიდის გარშემო, თუ მათი წვეროები ემთხვევა და კონუსის ფუძე შემოიფარგლება პირამიდის ფუძის გარშემო.
კონუსი შეიძლება აღწერილი იყოს პირამიდის გარშემო, თუ პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ერთმანეთის ტოლია.
პირამიდასა და ცილინდრის ურთიერთობა
პირამიდას უწოდებენ ცილინდრში ჩაწერილს, თუ პირამიდის ზევით დევს ცილინდრის ერთ ფუძეზე, ხოლო პირამიდის ფუძე ჩაწერილია ცილინდრის მეორე ძირში.
ცილინდრი შეიძლება აღიწეროს პირამიდის გარშემო, თუ წრე შეიძლება აღწეროს პირამიდის ფუძის გარშემო.
ტეტრაედრონს აქვს ოთხი სახე და ოთხი წვერო და ექვსი კიდე, სადაც ნებისმიერ ორ კიდეს არ აქვს საერთო წვეროები, მაგრამ არ ეხება.
თითოეული წვერო შედგება სამი სახისგან და კიდეებისგან, რომლებიც იქმნება სამკუთხა კუთხე.
სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ტეტრაედრის წვეროს მოპირდაპირე სახის ცენტრთან, ეწოდება ტეტრაედრის მედიანა(GM).
ბიმედიანიეწოდება სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მოპირდაპირე კიდეების შუა წერტილებს, რომლებიც არ ეხებიან (KL).
ტეტრაედრის ყველა ბიმედიანი და მედიანა იკვეთება ერთ წერტილში (S). ამ შემთხვევაში ბიმედიანები იყოფა შუაზე, მედიანები კი ზემოდან დაწყებული 3:1 თანაფარდობით.
განმარტება. მწვავე დახრილი პირამიდა- პირამიდა, რომელშიც აპოთემა ფუძის მხარის სიგრძის ნახევარზე მეტია.
განმარტება. ბლაგვი პირამიდა- პირამიდა, რომელშიც აპოთემა ფუძის მხარის სიგრძის ნახევარზე ნაკლებია.
განმარტება. რეგულარული ტეტრაედონი- ტეტრაედონი, რომელშიც ოთხივე სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია. ეს არის ხუთი რეგულარული მრავალკუთხედიდან ერთ-ერთი. რეგულარულ ტეტრაედრონში ყველა დიედრული კუთხე (სახეებს შორის) და სამკუთხედი (წვეროზე) ტოლია.
განმარტება. მართკუთხა ტეტრაედონიეწოდება ტეტრაედონი, რომელშიც მწვერვალზე სამ კიდეს შორის სწორი კუთხეა (კიდეები პერპენდიკულარულია). სამი სახე იქმნება მართკუთხა სამკუთხა კუთხედა სახეები არის მართკუთხა სამკუთხედები, ხოლო ფუძე არის თვითნებური სამკუთხედი. ნებისმიერი სახის აპოთემა უდრის ფუძის იმ მხარის ნახევარს, რომელზეც აპოთემა ეცემა.
განმარტება. იზოჰედრული ტეტრაედონიეწოდება ტეტრაედონი, რომლის გვერდითი სახეები ერთმანეთის ტოლია და ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი. ასეთ ტეტრაედრონს აქვს სახეები ტოლფერდა სამკუთხედები.
განმარტება. ორთოცენტრული ტეტრაედონიეწოდება ტეტრაედონი, რომელშიც ყველა სიმაღლე (პერპენდიკულარი), რომელიც ზემოდან მოპირდაპირე მხარეს არის დაშვებული, იკვეთება ერთ წერტილში.
განმარტება. ვარსკვლავის პირამიდაპოლიედრონს უწოდებენ, რომლის ფუძე ვარსკვლავია.
სამკუთხა პირამიდა არის პირამიდა, რომელსაც აქვს სამკუთხედი მის ძირში. ამ პირამიდის სიმაღლე არის პერპენდიკულარული, რომელიც პირამიდის ზემოდან მის ფუძემდეა დაშვებული.
პირამიდის სიმაღლის პოვნა
როგორ გავიგოთ პირამიდის სიმაღლე? Ძალიან მარტივი! ნებისმიერის სიმაღლის საპოვნელად სამკუთხა პირამიდაშეგიძლიათ გამოიყენოთ მოცულობის ფორმულა: V = (1/3)Sh, სადაც S არის ფუძის ფართობი, V არის პირამიდის მოცულობა, h არის მისი სიმაღლე. ამ ფორმულიდან გამოიღეთ სიმაღლის ფორმულა: სამკუთხა პირამიდის სიმაღლის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირამიდის მოცულობა 3-ზე, შემდეგ კი მიღებული მნიშვნელობა გაყოთ ფუძის ფართობზე, ეს იქნება: h. = (3V)/S. ვინაიდან სამკუთხა პირამიდის საფუძველი სამკუთხედია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად. თუ ვიცით: S სამკუთხედის ფართობი და მისი z გვერდი, მაშინ ფართობის ფორმულის მიხედვით S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, სადაც h არის პირამიდის სიმაღლე, γ. არის სამკუთხედის კიდე; კუთხე სამკუთხედის გვერდებსა და თავად ორ გვერდს შორის, შემდეგ შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: S = (1/2)γφsinQ, სადაც γ, φ არის სამკუთხედის გვერდები, ვპოულობთ სამკუთხედის ფართობს. Q კუთხის სინუსის მნიშვნელობა უნდა ჩაითვალოს სინუსების ცხრილში, რომელიც ხელმისაწვდომია ინტერნეტში. შემდეგი, ჩვენ ვცვლით ფართობის მნიშვნელობას სიმაღლის ფორმულაში: h = (2S)/γ. თუ დავალება მოითხოვს სამკუთხა პირამიდის სიმაღლის გამოთვლას, მაშინ პირამიდის მოცულობა უკვე ცნობილია.
რეგულარული სამკუთხა პირამიდა
იპოვეთ რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე, ანუ პირამიდა, რომელშიც ყველა სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია, იცოდეთ γ კიდის ზომა. ამ შემთხვევაში, პირამიდის კიდეები ტოლგვერდა სამკუთხედების გვერდებია. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე იქნება: h = γ√(2/3), სადაც γ არის ტოლგვერდა სამკუთხედის კიდე, h არის პირამიდის სიმაღლე. თუ ფუძის (S) ფართობი უცნობია და მოცემულია მხოლოდ პოლიედონის კიდის სიგრძე (γ) და მოცულობა (V), მაშინ წინა საფეხურიდან ფორმულაში აუცილებელი ცვლადი უნდა შეიცვალოს. მისი ეკვივალენტით, რომელიც გამოიხატება კიდის სიგრძით. სამკუთხედის ფართობი (რეგულარული) უდრის ამ სამკუთხედის გვერდის სიგრძის ნამრავლის 1/4-ს კვადრატში 3-ის კვადრატული ფესვით. ჩვენ ვცვლით ამ ფორმულას წინა ფუძის ფართობის ნაცვლად. ფორმულა და ვიღებთ შემდეგ ფორმულას: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). ტეტრაედრის მოცულობა შეიძლება გამოისახოს მისი კიდის სიგრძით, შემდეგ ფიგურის სიმაღლის გამოთვლის ფორმულიდან შეგიძლიათ ამოიღოთ ყველა ცვლადი და დატოვოთ ფიგურის სამკუთხა სახის მხოლოდ მხარე. ასეთი პირამიდის მოცულობა შეიძლება გამოითვალოს პროდუქტის 12-ზე გაყოფით მისი სახის კუბური სიგრძე 2-ის კვადრატულ ფესვზე.
ამ გამოთქმის წინა ფორმულით ჩანაცვლებით, მივიღებთ გამოანგარიშების შემდეგ ფორმულას: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. ასევე სწორი სამკუთხა პრიზმაშეიძლება დაიწეროს სფეროში და მხოლოდ სფეროს (R) რადიუსის ცოდნით შეიძლება თავად ტეტრაედრის სიმაღლე. ტეტრაედრის კიდის სიგრძეა: γ = 4R/√6. ჩვენ ვცვლით γ ცვლადს ამ გამოსახულებით წინა ფორმულაში და ვიღებთ ფორმულას: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. იგივე ფორმულა შეიძლება მივიღოთ ტეტრაედრონში ჩაწერილი წრის რადიუსის (R) ცოდნით. ამ შემთხვევაში, სამკუთხედის კიდის სიგრძე იქნება 12 თანაფარდობის ტოლი კვადრატული ფესვი 6-დან და რადიუსით. ჩვენ ვცვლით ამ გამოთქმას წინა ფორმულაში და გვაქვს: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
როგორ მოვძებნოთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის სიმაღლე
იმისათვის, რომ უპასუხოთ კითხვას, თუ როგორ უნდა იპოვოთ პირამიდის სიმაღლის სიგრძე, თქვენ უნდა იცოდეთ რა არის ჩვეულებრივი პირამიდა. ოთხკუთხა პირამიდა არის პირამიდა, რომელსაც აქვს ოთხკუთხედი მის ძირში. თუ პრობლემის პირობებში გვაქვს: მოცულობა (V) და პირამიდის ფუძის (S) ფართობი, მაშინ პოლიედრონის (h) სიმაღლის გამოთვლის ფორმულა იქნება შემდეგი - გაყავით გამრავლებული მოცულობა. 3-ით S ფართობით: h = (3V)/S. მოცემული მოცულობის (V) და გვერდის სიგრძით γ პირამიდის კვადრატული ფუძის გათვალისწინებით, წინა ფორმულის ფართობი (S) ჩაანაცვლეთ გვერდის სიგრძის კვადრატით: S = γ 2; H = 3V/γ2. რეგულარული პირამიდის სიმაღლე h = SO გადის ზუსტად წრის ცენტრში, რომელიც შემოიფარგლება ფუძესთან. ვინაიდან ამ პირამიდის ფუძე არის კვადრატი, წერტილი O არის AD და BC დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. გვაქვს: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. შემდეგი, ჩვენ ვართ მართკუთხა სამკუთხედიჩვენ ვპოულობთ SOC-ს (პითაგორას თეორემის გამოყენებით): SO = √(SC 2 -OC 2). ახლა თქვენ იცით, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ჩვეულებრივი პირამიდის სიმაღლე.
განმარტება
პირამიდაარის მრავალკუთხედი, რომელიც შედგება მრავალკუთხედის \(A_1A_2...A_n\) და \(n\) სამკუთხედებისგან საერთო წვერით \(P\) (რომელიც არ დევს მრავალკუთხედის სიბრტყეში) და მის მოპირდაპირე გვერდებს, ემთხვევა მრავალკუთხედის მხარეები.
აღნიშვნა: \(PA_1A_2...A_n\) .
მაგალითი: ხუთკუთხა პირამიდა \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
სამკუთხედები \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) და ა.შ. უწოდებენ გვერდითი სახეებიპირამიდები, სეგმენტები \(PA_1, PA_2\) და ა.შ. - გვერდითი ნეკნები, პოლიგონი \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – საფუძველი, წერტილი \(P\) – ზედა.
სიმაღლეპირამიდები არის პერპენდიკულური, რომელიც ეშვება პირამიდის ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე.
პირამიდას, რომელსაც ძირში სამკუთხედი აქვს, ეწოდება ტეტრაედონი.
პირამიდა ე.წ სწორითუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:
\((ა)\) პირამიდის გვერდითი კიდეები ტოლია;
\((ბ)\) პირამიდის სიმაღლე გადის ფუძესთან შემოხაზული წრის ცენტრში;
\((გ)\) გვერდითი ნეკნები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.
\((დ)\) გვერდითი მხარეები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.
რეგულარული ტეტრაედონიარის სამკუთხა პირამიდა, რომლის ყველა სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია.
თეორემა
პირობები \((ა), (ბ), (გ), (დ)\) ექვივალენტურია.
მტკიცებულება
მოდით ვიპოვოთ პირამიდის სიმაღლე \(PH\) . დაე, \(\alpha\) იყოს პირამიდის ფუძის სიბრტყე.
1) დავამტკიცოთ, რომ \((a)\)-დან გამომდინარეობს \((ბ)\) . მოდით \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
იმიტომ რომ \(PH\perp \alpha\), შემდეგ \(PH\) პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე ნებისმიერი წრფის მიმართ, რაც ნიშნავს, რომ სამკუთხედები მართკუთხაა. ეს ნიშნავს, რომ ეს სამკუთხედები ტოლია საერთო წვერში \(PH\) და ჰიპოტენუზაში \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . ეს ნიშნავს \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . ეს ნიშნავს, რომ წერტილები \(A_1, A_2, ..., A_n\) ერთსა და იმავე მანძილზეა \(H\) წერტილიდან, შესაბამისად, ისინი დევს იმავე წრეზე \(A_1H\) რადიუსით. ეს წრე, განსაზღვრებით, შემოიფარგლება პოლიგონზე \(A_1A_2...A_n\) .
2) დავამტკიცოთ, რომ \((b)\) გულისხმობს \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)მართკუთხა და ტოლი ორ ფეხზე. ეს ნიშნავს, რომ მათი კუთხეები ასევე თანაბარია, შესაბამისად, \(\კუთხე PA_1H=\კუთხე PA_2H=...=\კუთხე PA_nH\).
3) დავამტკიცოთ, რომ \((c)\) გულისხმობს \((a)\) .
პირველი წერტილის მსგავსად, სამკუთხედები \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)მართკუთხა, როგორც ფეხის გასწვრივ, ასევე მწვავე კუთხით. ეს ნიშნავს, რომ მათი ჰიპოტენუსებიც ტოლია, ანუ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) დავამტკიცოთ, რომ \((ბ)\) გულისხმობს \((დ)\) .
იმიტომ რომ რეგულარულ მრავალკუთხედში შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრები ერთმანეთს ემთხვევა (ზოგადად რომ ვთქვათ, ამ წერტილს რეგულარული მრავალკუთხედის ცენტრს უწოდებენ), მაშინ \(H\) არის ჩაწერილი წრის ცენტრი. დავხატოთ პერპენდიკულარები \(H\) წერტილიდან ფუძის გვერდებზე: \(HK_1, HK_2\) და ა.შ. ეს არის შემოხაზული წრის რადიუსი (განმარტებით). შემდეგ, TTP-ის მიხედვით (\(PH\) არის სიბრტყის პერპენდიკულარული, \(HK_1, HK_2\) და ა.შ. არის გვერდებზე პერპენდიკულარული პროგნოზები) დახრილი \(PK_1, PK_2\) და ა.შ. გვერდებზე პერპენდიკულარული \(A_1A_2, A_2A_3\) და ა.შ. შესაბამისად. ასე რომ, განსაზღვრებით \(\კუთხე PK_1H, \კუთხე PK_2H\)ტოლი კუთხეების გვერდითა სახეებსა და ფუძეს შორის. იმიტომ რომ სამკუთხედები \(PK_1H, PK_2H, ...\) ტოლია (როგორც მართკუთხა ორ მხარეს), შემდეგ კუთხეები \(\კუთხე PK_1H, \კუთხე PK_2H, ...\)თანაბარი არიან.
5) დავამტკიცოთ, რომ \((დ)\) გულისხმობს \((ბ)\) .
მეოთხე წერტილის მსგავსად, სამკუთხედები \(PK_1H, PK_2H, ...\) ტოლია (როგორც ფეხის გასწვრივ მართკუთხა და მწვავე კუთხე), რაც ნიშნავს, რომ სეგმენტები \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) არის თანაბარი. ეს ნიშნავს, განმარტებით, \(H\) არის ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრი. მაგრამ იმიტომ რეგულარული მრავალკუთხედებისთვის, შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრები ემთხვევა, მაშინ \(H\) არის შემოხაზული წრის ცენტრი. ჩტდ.
შედეგი
რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახეები არის თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედები.
განმარტება
მისი წვეროდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემა.
რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი სახის აპოთემები ერთმანეთის ტოლია და ასევე არის მედიანები და ბისექტრები.
მნიშვნელოვანი შენიშვნები
1. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის სიმაღლეების (ან ბისექტორების, ან შუალედების) გადაკვეთის წერტილში (ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი).
2. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის ადგილზე (ფუძე არის კვადრატი).
3. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში (ფუძე არის რეგულარული ექვსკუთხედი).
4. პირამიდის სიმაღლე პერპენდიკულარულია ძირში მდებარე ნებისმიერი სწორი ხაზის მიმართ.
განმარტება
პირამიდა ე.წ მართკუთხა, თუ მისი ერთ-ერთი გვერდითი კიდე პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყის მიმართ.
მნიშვნელოვანი შენიშვნები
1. მართკუთხა პირამიდაში ფუძის პერპენდიკულარული კიდე არის პირამიდის სიმაღლე. ანუ \(SR\) არის სიმაღლე.
2. რადგან \(SR\) არის პერპენდიკულარული ფუძედან ნებისმიერი ხაზის მიმართ \(\სამკუთხედი SRM, \სამკუთხედი SRP\)- მართკუთხა სამკუთხედები.
3. სამკუთხედები \(\სამკუთხედი SRN, \სამკუთხედი SRK\)- ასევე მართკუთხა.
ანუ, ნებისმიერი სამკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება ამ კიდით და დიაგონალი, რომელიც გამოდის ამ კიდის წვეროდან ძირში, იქნება მართკუთხა.
\[(\დიდი(\ტექსტი(პირამიდის მოცულობა და ზედაპირის ფართობი)))\]
თეორემა
პირამიდის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და პირამიდის სიმაღლის პროდუქტის მესამედს: \
შედეგები
დაე, \(a\) იყოს ფუძის მხარე, \(h\) იყოს პირამიდის სიმაღლე.
1. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(მარჯვენა სამკუთხედი.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. რეგულარული ტეტრაედრის მოცულობა არის \(V_(\text(მარჯვნივ ტეტრ.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
თეორემა
რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის ნახევარ ნამრავლს.
\[(\დიდი(\ტექსტი(ფრუსტუმი)))\]
განმარტება
განვიხილოთ თვითნებური პირამიდა \(PA_1A_2A_3...A_n\) . მოდით დავხატოთ სიბრტყე პირამიდის ფუძის პარალელურად, პირამიდის გვერდით კიდეზე მდებარე გარკვეულ წერტილში. ეს სიბრტყე პირამიდას გაყოფს ორ პოლიედრად, რომელთაგან ერთი არის პირამიდა (\(PB_1B_2...B_n\)), ხოლო მეორეს ე.წ. შეკვეცილი პირამიდა(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
ჩამოჭრილ პირამიდას აქვს ორი ფუძე - პოლიგონები \(A_1A_2...A_n\) და \(B_1B_2...B_n\), რომლებიც ერთმანეთის მსგავსია.
დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც შედგენილია ზედა ფუძის რაღაც წერტილიდან ქვედა ფუძის სიბრტყემდე.
მნიშვნელოვანი შენიშვნები
1. დამსხვრეული პირამიდის ყველა გვერდითი სახე ტრაპეციაა.
2. რეგულარული ჩამოსხმული პირამიდის (ანუ რეგულარული პირამიდის კვეთით მიღებული პირამიდის) ცენტრების დამაკავშირებელი სეგმენტი არის სიმაღლე.
შესავალი
როდესაც სტერეომეტრიული ფიგურების შესწავლა დავიწყეთ, შევეხეთ თემას „პირამიდა“. ეს თემა მოგვწონდა, რადგან პირამიდა ძალიან ხშირად გამოიყენება არქიტექტურაში. და რადგან ჩვენი მომავალი პროფესია არქიტექტურა სწორედ ამ ფიგურით არის შთაგონებული, ვფიქრობთ, რომ მას შეუძლია შესანიშნავი პროექტებისკენ გვიბიძგოს.
არქიტექტურული სტრუქტურების სიძლიერე მათი ყველაზე მნიშვნელოვანი ხარისხია. სიძლიერის დაკავშირება, პირველ რიგში, იმ მასალებთან, საიდანაც ისინი იქმნება და, მეორეც, დიზაინის გადაწყვეტილებების მახასიათებლებთან, აღმოჩნდება, რომ სტრუქტურის სიძლიერე პირდაპირ კავშირშია გეომეტრიულ ფორმასთან, რომელიც არის მისთვის ძირითადი.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საუბარია გეომეტრიულ ფიგურაზე, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს შესაბამისი არქიტექტურული ფორმის მოდელად. გამოდის, რომ გეომეტრიული ფორმა ასევე განსაზღვრავს არქიტექტურული სტრუქტურის სიძლიერეს.
უძველესი დროიდან ეგვიპტური პირამიდები ითვლებოდა ყველაზე გამძლე არქიტექტურულ ნაგებობებად. მოგეხსენებათ, მათ აქვთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდების ფორმა.
სწორედ ეს გეომეტრიული ფორმა უზრუნველყოფს უდიდეს სტაბილურობას დიდი ბაზის ფართობის გამო. მეორეს მხრივ, პირამიდის ფორმა უზრუნველყოფს მასის შემცირებას მიწის ზემოთ სიმაღლის მატებასთან ერთად. სწორედ ეს ორი თვისება ხდის პირამიდას სტაბილურს და, შესაბამისად, ძლიერს გრავიტაციის პირობებში.
პროექტის მიზანი: ისწავლეთ რაიმე ახალი პირამიდების შესახებ, გაიღრმავეთ ცოდნა და იპოვეთ პრაქტიკული გამოყენება.
ამ მიზნის მისაღწევად საჭირო იყო შემდეგი ამოცანების გადაჭრა:
· გაეცანით ისტორიულ ინფორმაციას პირამიდის შესახებ
· განვიხილოთ პირამიდა როგორც გეომეტრიული ფიგურა
· იპოვნეთ გამოყენება ცხოვრებაში და არქიტექტურაში
· იპოვნეთ მსგავსება და განსხვავებები პირამიდებს შორის სხვადასხვა ნაწილებისვეტა
თეორიული ნაწილი
პირამიდის გეომეტრიის დასაწყისი ძველ ეგვიპტეში და ბაბილონში ჩაეყარა, მაგრამ იგი აქტიურად განვითარდა. Უძველესი საბერძნეთი. პირველი, ვინც დაადგინა პირამიდის მოცულობა იყო დემოკრიტე და ევდოქსი კნიდუსელმა დაამტკიცა. ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდმა სისტემატიზაცია მოახდინა პირამიდის შესახებ ცოდნის შესახებ მისი "ელემენტების" XII ტომში და ასევე მიიღო პირამიდის პირველი განმარტება: მყარი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია თვითმფრინავებით, რომლებიც გადადიან ერთი სიბრტყიდან ერთ წერტილამდე.
ეგვიპტური ფარაონების სამარხები. მათგან ყველაზე დიდი - კეოპსის, ხაფრეს და მიკერინის პირამიდები ელ გიზაში - ძველ დროში მსოფლიოს შვიდ საოცრებად ითვლებოდა. პირამიდის მშენებლობა, რომელშიც ბერძნებმა და რომაელებმა უკვე დაინახეს მეფეთა უპრეცედენტო სიამაყისა და სისასტიკის ძეგლი, რომელმაც მთელი ეგვიპტის ხალხი გააწირა უაზრო მშენებლობისთვის, იყო ყველაზე მნიშვნელოვანი საკულტო აქტი და უნდა გამოეხატა, როგორც ჩანს, ქვეყნისა და მისი მმართველის მისტიკური იდენტობა. საფლავის მშენებლობაზე ქვეყნის მოსახლეობა სასოფლო-სამეურნეო სამუშაოებისგან თავისუფალი წლის განმავლობაში მუშაობდა. არაერთი ტექსტი მოწმობს იმ ყურადღებასა და ზრუნვას, რომელსაც თავად მეფეები (თუმცა უფრო გვიანდელი) აქცევდნენ თავიანთი საფლავის და მისი მშენებლების მშენებლობას. ასევე ცნობილია იმ განსაკუთრებული საკულტო პატივის შესახებ, რომელიც თავად პირამიდას მიენიჭა.
Ძირითადი ცნებები
პირამიდაეწოდება მრავალკუთხედს, რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი, ხოლო დარჩენილი სახეები არის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო.
აპოთემა- რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, გამოყვანილი მისი წვეროდან;
გვერდითი სახეები- სამკუთხედები ხვდებიან წვეროზე;
გვერდითი ნეკნები- გვერდითი სახეების საერთო მხარეები;
პირამიდის ზევით- გვერდითი ნეკნების დამაკავშირებელი წერტილი და არ დევს ფუძის სიბრტყეში;
სიმაღლე- პერპენდიკულარული სეგმენტი, რომელიც გაყვანილია პირამიდის ზევით მისი ფუძის სიბრტყემდე (ამ სეგმენტის ბოლოებია პირამიდის ზედა და პერპენდიკულარულის ფუძე);
პირამიდის დიაგონალური მონაკვეთი- პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც გადის ბაზის ზედა და დიაგონალზე;
ბაზა- მრავალკუთხედი, რომელიც არ ეკუთვნის პირამიდის წვეროს.
რეგულარული პირამიდის ძირითადი თვისებები
გვერდითი კიდეები, გვერდითი სახეები და აპოთემები შესაბამისად თანაბარია.
ძირში დიედრული კუთხეები ტოლია.
გვერდითი კიდეების დიედრული კუთხეები ტოლია.
თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბარი მანძილით არის დაშორებული ფუძის ყველა წვეროდან.
სიმაღლის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა გვერდიდან.
პირამიდის ძირითადი ფორმულები
პირამიდის გვერდითი და მთლიანი ზედაპირის ფართობი.
პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი (სრული და შეკვეცილი) არის მისი ყველა გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამი, მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის მისი ყველა სახის ფართობის ჯამი.
თეორემა: რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძის პერიმეტრისა და პირამიდის აპოთემის ნამრავლის ნახევარს.
გვ- ბაზის პერიმეტრი;
თ- აპოთემა.
დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი.
გვ 1, გვ 2 - ბაზის პერიმეტრები;
თ- აპოთემა.
რ- რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი;
S მხარე- რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;
S 1 + S 2- ბაზის ფართობი
პირამიდის მოცულობა
ფორმა მოცულობა ula გამოიყენება ნებისმიერი სახის პირამიდებისთვის.
ჰ- პირამიდის სიმაღლე.
პირამიდის კუთხეები
კუთხეებს, რომლებიც წარმოიქმნება პირამიდის გვერდით და ფუძით, პირამიდის ფუძესთან მდებარე დიედრული კუთხეები ეწოდება.
ორმხრივი კუთხე იქმნება ორი პერპენდიკულურით.
ამ კუთხის დასადგენად, ხშირად გჭირდებათ სამი პერპენდიკულარული თეორემის გამოყენება.
გვერდითი კიდით წარმოქმნილი კუთხეები და მისი პროექცია საბაზისო სიბრტყეზე ეწოდება კუთხეები გვერდითა კიდესა და ბაზის სიბრტყეს შორის.
ორი გვერდითი კიდეებით წარმოქმნილ კუთხეს ეწოდება დიედრული კუთხე პირამიდის გვერდითი კიდეზე.
პირამიდის ერთი სახის ორი გვერდითი კიდეებით წარმოქმნილ კუთხეს ეწოდება კუთხე პირამიდის ზედა ნაწილში.
პირამიდის სექციები
პირამიდის ზედაპირი პოლიედრონის ზედაპირია. მისი თითოეული სახე არის სიბრტყე, ამიტომ პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც განსაზღვრულია ჭრის სიბრტყით, არის გატეხილი ხაზი, რომელიც შედგება ინდივიდუალური სწორი ხაზებისგან.
დიაგონალური განყოფილება
პირამიდის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე, ეწოდება დიაგონალური განყოფილებაპირამიდები.
პარალელური მონაკვეთები
თეორემა:
თუ პირამიდა იკვეთება ფუძის პარალელურად სიბრტყით, მაშინ პირამიდის გვერდითი კიდეები და სიმაღლეები ამ სიბრტყით იყოფა პროპორციულ ნაწილებად;
ამ სიბრტყის მონაკვეთი არის ფუძის მსგავსი მრავალკუთხედი;
მონაკვეთისა და ფუძის ფართობები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, როგორც წვეროდან მათი დაშორების კვადრატები.
პირამიდის სახეები
სწორი პირამიდა- პირამიდა, რომლის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, ხოლო პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში.
ჩვეულებრივი პირამიდისთვის:
1. გვერდითი ნეკნები ტოლია
2. გვერდითი სახეები თანაბარია
3. აპოთემები ტოლია
4. ძირში ორკუთხედი კუთხეები ტოლია
5. გვერდითი კიდეების დიჰედრული კუთხეები ტოლია
6. სიმაღლის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ფუძის ყველა წვეროდან
7. თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა გვერდითი კიდედან
შეკვეცილი პირამიდა- პირამიდის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია მის ფუძესა და ძირის პარალელურად საჭრელ სიბრტყეს შორის.
დამსხვრეული პირამიდის ფუძე და შესაბამისი მონაკვეთი ეწოდება დამსხვრეული პირამიდის ფუძეები.
ერთი ფუძის ნებისმიერი წერტილიდან მეორის სიბრტყემდე გამოყვანილ პერპენდიკულარს ეწოდება დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე.
Დავალებები
No1. რეგულარულ ოთხკუთხა პირამიდაში წერტილი O არის ფუძის ცენტრი, SO=8 სმ, BD=30 სმ. იპოვეთ გვერდითი კიდე SA.
Პრობლემის გადაჭრა
No1. IN სწორი პირამიდაყველა სახე და კიდე თანაბარია.
განვიხილოთ OSB: OSB არის მართკუთხა მართკუთხედი, რადგან.
SB 2 =SO 2 +OB 2
SB 2 =64+225=289
პირამიდა არქიტექტურაში
პირამიდა არის მონუმენტური სტრუქტურა ჩვეულებრივი რეგულარული გეომეტრიული პირამიდის სახით, რომელშიც გვერდები ერთ წერტილში იყრის თავს. მათი ფუნქციური დანიშნულების მიხედვით, ძველად პირამიდები იყო სამარხი ან საკულტო თაყვანისმცემლობის ადგილები. პირამიდის ფუძე შეიძლება იყოს სამკუთხა, ოთხკუთხა ან მრავალკუთხედის ფორმის წვეროების თვითნებური რაოდენობით, მაგრამ ყველაზე გავრცელებული ვერსია არის ოთხკუთხა ფუძე.
აშენდა პირამიდების მნიშვნელოვანი რაოდენობა განსხვავებული კულტურები Ძველი მსოფლიოძირითადად ტაძრებისა თუ ძეგლების სახით. დიდი პირამიდები მოიცავს ეგვიპტის პირამიდებს.
მთელ დედამიწაზე შეგიძლიათ იხილოთ არქიტექტურული სტრუქტურები პირამიდების სახით. პირამიდის შენობები ძველ დროებს მოგაგონებთ და ძალიან ლამაზად გამოიყურება.
ეგვიპტური პირამიდებიუდიდესი არქიტექტურული ძეგლები Უძველესი ეგვიპტე, რომელთა შორის "მსოფლიოს შვიდი საოცრებიდან" ერთ-ერთია კეოპსის პირამიდა. ფეხიდან ზევით აღწევს 137,3 მ, ხოლო სანამ მწვერვალს დაკარგავდა, მისი სიმაღლე იყო 146,7 მ.
1983 წელს აშენდა რადიოსადგურის შენობა სლოვაკეთის დედაქალაქში, რომელიც წააგავს შებრუნებულ პირამიდის.
ლუვრი, რომელიც "მდუმარე და დიდებულია, როგორც პირამიდა", საუკუნეების განმავლობაში მრავალი ცვლილება განიცადა, სანამ გახდებოდა. უდიდესი მუზეუმიმშვიდობა. იგი დაიბადა 1190 წელს ფილიპ ავგუსტუსის მიერ აღმართულ ციხედ, რომელიც მალე სამეფო რეზიდენციად იქცა. 1793 წელს სასახლე გახდა მუზეუმი. კოლექციები მდიდრდება ანდერძით ან შესყიდვებით.
Ჩატვირთვა...