სამკუთხედი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება სამი სწორი ხაზისგან, რომლებიც აკავშირებენ წერტილებს, რომლებიც არ დევს იმავე სწორ ხაზზე. ხაზების შეერთების წერტილები არის სამკუთხედის წვეროები, რომლებიც მითითებულია ლათინური ასოებით(მაგ. A, B, C). სამკუთხედის დამაკავშირებელ სწორ ხაზებს სეგმენტები ეწოდება, რომლებიც ასევე ჩვეულებრივ აღინიშნება ლათინური ასოებით. გამოირჩევა სამკუთხედების შემდეგი ტიპები:

• მართკუთხა.
• ბუნდოვანი.
• მწვავე კუთხოვანი.
• მრავალმხრივი.
• ტოლგვერდა.
• ტოლფერდა.

ზოგადი ფორმულები სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა სიგრძისა და სიმაღლის მიხედვით

S= a*h/2,
სადაც a არის სამკუთხედის გვერდის სიგრძე, რომლის ფართობის პოვნაა საჭირო, h არის ფუძემდე მიყვანილი სიმაღლის სიგრძე.

ჰერონის ფორმულა

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
სადაც √ არის Კვადრატული ფესვი, p არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, a,b,c არის სამკუთხედის თითოეული გვერდის სიგრძე. სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი შეიძლება გამოითვალოს p=(a+b+c)/2 ფორმულით.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა კუთხისა და სეგმენტის სიგრძის საფუძველზე

S = (a*b*sin(α))/2,
სად b,c არისსამკუთხედის გვერდების სიგრძე, sin(α) არის ორ მხარეს შორის კუთხის სინუსი.

ფორმულა სამკუთხედის ფართობისთვის, რომელიც მოცემულია ჩაწერილი წრის და სამი გვერდის რადიუსში

S=p*r,
სადაც p არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, რომლის ფართობის პოვნაა საჭირო, r არის ამ სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია სამ მხარეს და მის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსზე

S= (a*b*c)/4*R,
სადაც a,b,c არის სამკუთხედის თითოეული გვერდის სიგრძე, R არის სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა წერტილების დეკარტის კოორდინატების გამოყენებით

წერტილების დეკარტის კოორდინატები არის კოორდინატები xOy სისტემაში, სადაც x არის აბსცისა, y არის ორდინატი. სიბრტყეზე დეკარტის კოორდინატთა სისტემა xOy არის ორმხრივი პერპენდიკულარული რიცხვითი ღერძი Ox და Oy საერთო საწყისით O წერტილში. თუ ამ სიბრტყის წერტილების კოორდინატები მოცემულია A(x1, y1), B(x2, y2 სახით. ) და C(x3, y3), შემდეგ შეგიძლიათ გამოთვალოთ სამკუთხედის ფართობი შემდეგი ფორმულის გამოყენებით, რომელიც მიიღება ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლიდან.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
სად || დგას მოდულისთვის.

როგორ მოვძებნოთ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი

მართკუთხა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომლის ერთი კუთხე არის 90 გრადუსი. სამკუთხედს შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი ასეთი კუთხე.

ორ მხარეს მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის ფორმულა

S= a*b/2,
სადაც a,b არის ფეხების სიგრძე. ფეხები არის მარჯვენა კუთხის მიმდებარე მხარეები.

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია ჰიპოტენუზაზე და მახვილ კუთხეზე

S = a*b*sin(α)/ 2,
სადაც a, b არის სამკუთხედის ფეხები, ხოლო sin(α) არის კუთხის სინუსი, რომელზეც a, b წრფეები იკვეთება.

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია გვერდსა და მოპირდაპირე კუთხეზე

S = a*b/2*tg (β),
სადაც a, b არის სამკუთხედის ფეხები, tan(β) არის კუთხის ტანგენსი, რომელზედაც არის დაკავშირებული a, b ფეხები.

როგორ გამოვთვალოთ ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი

ტოლფერდა სამკუთხედი არის ის, რომელსაც აქვს ორი თანაბარი გვერდი. ამ გვერდებს უწოდებენ გვერდებს, ხოლო მეორე მხარეს არის ფუძე. ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულებიდან ერთ-ერთი.

ძირითადი ფორმულა ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად

S=h*c/2,
სადაც c არის სამკუთხედის ფუძე, h არის ფუძემდე დაშვებული სამკუთხედის სიმაღლე.

ტოლფერდა სამკუთხედის ფორმულა, რომელიც დაფუძნებულია გვერდსა და ფუძეზე

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
სადაც c არის სამკუთხედის საფუძველი, a არის ტოლფერდა სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის ზომა.

როგორ მოვძებნოთ ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი

ტოლგვერდა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელშიც ყველა გვერდი ტოლია. ფართობის გამოსათვლელად ტოლგვერდა სამკუთხედიშეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულა:
S = (√3*a*a)/4,
სადაც a არის ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდის სიგრძე.

ზემოაღნიშნული ფორმულები საშუალებას მოგცემთ გამოთვალოთ სამკუთხედის საჭირო ფართობი. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ სამკუთხედების ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ სამკუთხედის ტიპი და ხელმისაწვდომი მონაცემები, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას გაანგარიშებისთვის.

ინსტრუქციები

პარტიებიდა კუთხეები განიხილება ძირითადი ელემენტები ა. სამკუთხედი მთლიანად განისაზღვრება მისი რომელიმე შემდეგი ძირითადი ელემენტით: ან სამი გვერდი, ან ერთი გვერდი და ორი კუთხე, ან ორი გვერდი და კუთხე მათ შორის. არსებობისთვის სამკუთხედიმოცემული სამი გვერდით a, b, c, აუცილებელია და საკმარისია იმ უტოლობების დასაკმაყოფილებლად, რომელსაც ეწოდება უტოლობები. სამკუთხედი:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

მშენებლობისთვის სამკუთხედისამი მხრიდან a, b, c, CB = a სეგმენტის C წერტილიდან აუცილებელია კომპასით დავხატოთ b რადიუსის წრე. შემდეგ ანალოგიურად დახაზეთ წრე B წერტილიდან რადიუსით მხარის ტოლიგ. მათი გადაკვეთის წერტილი A არის სასურველის მესამე წვერო სამკუთხედი ABC, სადაც AB=c, CB=a, CA=b - გვერდები სამკუთხედი. პრობლემას აქვს , თუ გვერდები a, b, c, აკმაყოფილებს უტოლობას სამკუთხედიმითითებულია ნაბიჯი 1.

ზონა S აგებულია ამ გზით სამკუთხედი ABC ცნობილი გვერდებით a, b, c, გამოითვლება ჰერონის ფორმულით:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
სადაც a, b, c არის გვერდები სამკუთხედი, p – ნახევრადპერიმეტრი.
p = (a+b+c)/2

თუ სამკუთხედი ტოლგვერდაა, ანუ მისი ყველა გვერდი ტოლია (a=b=c). ფართობი სამკუთხედიგამოითვლება ფორმულით:
S=(a^2 v3)/4

თუ სამკუთხედი მართკუთხაა, ანუ მისი ერთ-ერთი კუთხე უდრის 90°-ს, ხოლო მისი შემქმნელი გვერდები ფეხებია, მესამე მხარე არის ჰიპოტენუზა. IN ამ შემთხვევაში კვადრატიუდრის ფეხების ნამრავლს გაყოფილი ორზე.
S=ab/2

Პოვნა კვადრატი სამკუთხედი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მრავალი ფორმულიდან ერთი. აირჩიეთ ფორმულა იმის მიხედვით, თუ რა მონაცემებია უკვე ცნობილი.

დაგჭირდებათ

• სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულების ცოდნა

ინსტრუქციები

თუ იცით ერთ-ერთი გვერდის ზომა და ამ მხარეს ჩამოშვებული სიმაღლის მნიშვნელობა მის მოპირდაპირე კუთხიდან, მაშინ შეგიძლიათ იპოვოთ ფართობი შემდეგით: S = a*h/2, სადაც S არის ფართობი. სამკუთხედის a არის სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდი, ხოლო h - სიმაღლე, a გვერდისკენ.

ცნობილია სამკუთხედის ფართობის განსაზღვრის მეთოდი, თუ ცნობილია მისი სამი გვერდი. ეს არის ჰერონის ფორმულა. მისი ჩაწერის გასამარტივებლად შემოდის შუალედური მნიშვნელობა - ნახევრადპერიმეტრი: p = (a+b+c)/2, სადაც a, b, c - . მაშინ ჰერონის ფორმულა ასეთია: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ სიძლიერე.

დავუშვათ, რომ თქვენ იცით სამკუთხედის ერთი გვერდი და სამი კუთხე. შემდეგ ადვილია სამკუთხედის ფართობის პოვნა: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), სადაც β არის a გვერდის საპირისპირო კუთხე, ხოლო α და γ არის გვერდის მიმდებარე კუთხეები.

ვიდეო თემაზე

შენიშვნა

Ყველაზე ზოგადი ფორმულა, რომელიც ყველა შემთხვევისთვის არის შესაფერისი ჰერონის ფორმულა.

წყაროები:

რჩევა 3: როგორ მოვძებნოთ სამკუთხედის ფართობი, რომელიც დაფუძნებულია სამ მხარეს

სამკუთხედის ფართობის პოვნა ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული პრობლემაა სასკოლო პლანიმეტრიაში. სამკუთხედის სამი გვერდის ცოდნა საკმარისია ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობის დასადგენად. ტოლგვერდა სამკუთხედების განსაკუთრებულ შემთხვევებში საკმარისია ვიცოდეთ, შესაბამისად, ორი და ერთი გვერდის სიგრძე.

დაგჭირდებათ

• სამკუთხედების გვერდების სიგრძეები, ჰერონის ფორმულა, კოსინუსების თეორემა

ინსტრუქციები

ჰერონის ფორმულა სამკუთხედის ფართობისთვის ასეთია: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). თუ დავწერთ p ნახევარპერიმეტრს, მივიღებთ: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)(a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ სამკუთხედის ფართობის ფორმულა მოსაზრებებიდან, მაგალითად, კოსინუსების თეორემის გამოყენებით.

კოსინუსების თეორემით, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). შემოღებული აღნიშვნების გამოყენებით, ისინი ასევე შეიძლება დაიწეროს სახით: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). აქედან გამომდინარე, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

სამკუთხედის ფართობი ასევე გვხვდება ფორმულით S = a*c*sin(ABC)/2 ორი გვერდის და მათ შორის კუთხის გამოყენებით. ABC კუთხის სინუსი შეიძლება გამოიხატოს მის მიხედვით ძირითადის გამოყენებით ტრიგონომეტრიული იდენტურობა: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) სინუსის ფართობის ფორმულაში ჩანაცვლებით და მისი ამოწერით, შეგიძლიათ მიხვიდეთ ABC სამკუთხედის ფართობის ფორმულამდე.

ვიდეო თემაზე

სარემონტო სამუშაოების ჩასატარებლად შეიძლება საჭირო გახდეს გაზომვა კვადრატიკედლები ეს აადვილებს საღებავის ან შპალერის საჭირო რაოდენობის გამოთვლას. გაზომვისთვის უმჯობესია გამოიყენოთ საზომი ლენტი ან საზომი ლენტი. გაზომვები უნდა გაკეთდეს შემდეგ კედლებიგაათანაბრეს.

დაგჭირდებათ

• - რულეტკა;
• -კიბე.

ინსტრუქციები

დათვლა კვადრატიკედლები, თქვენ უნდა იცოდეთ ჭერის ზუსტი სიმაღლე და ასევე გაზომოთ სიგრძე იატაკის გასწვრივ. ეს კეთდება შემდეგნაირად: აიღეთ სანტიმეტრი და დადეთ იგი ძირზე. ჩვეულებრივ, სანტიმეტრი არ არის საკმარისი მთელ სიგრძეზე, ამიტომ დაამაგრეთ იგი კუთხეში, შემდეგ გადაშალეთ მაქსიმალურ სიგრძემდე. ამ დროს დადეთ ფანქრით ნიშანი, ჩაწერეთ მიღებული შედეგი და განახორციელეთ შემდგომი გაზომვები ბოლო გაზომვის წერტილიდან დაწყებული ანალოგიურად.

სტანდარტული ჭერი არის 2 მეტრი 80 სანტიმეტრი, 3 მეტრი და 3 მეტრი 20 სანტიმეტრი, სახლის მიხედვით. თუ სახლი აშენდა 50-იან წლებამდე, მაშინ, სავარაუდოდ, რეალური სიმაღლე ოდნავ დაბალია, ვიდრე მითითებულია. თუ გათვლით კვადრატისარემონტო სამუშაოებისთვის, მაშინ მცირე მიწოდება არ დააზარალებს - განიხილეთ სტანდარტის საფუძველზე. თუ მაინც გჭირდებათ რეალური სიმაღლის ცოდნა, გაზომეთ. პრინციპი სიგრძის გაზომვის მსგავსია, მაგრამ დაგჭირდებათ კიბე.

გაამრავლეთ მიღებული ინდიკატორები - ეს არის კვადრატიშენია კედლები. მართალია, ხატვისას ან ფერწერისთვის აუცილებელია გამოკლება კვადრატიკარების და ფანჯრების ღიობები. ამისათვის დადეთ სანტიმეტრი გახსნის გასწვრივ. თუ ჩვენ ვსაუბრობთ კარზე, რომლის შეცვლასაც აპირებთ, მაშინ გააგრძელეთ კარის ჩარჩოს ამოღება, მხოლოდ იმის გათვალისწინებით. კვადრატიუშუალოდ გახსნისკენ. ფანჯრის ფართობი გამოითვლება მისი ჩარჩოს პერიმეტრის გასწვრივ. შემდეგ კვადრატიფანჯრისა და კარიბჭის გაანგარიშებით, გამოაკლეთ შედეგი ოთახის მთლიანი ფართობიდან.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ორმა ადამიანმა უნდა გაზომოს ოთახის სიგრძე და სიგანე, ეს აადვილებს სანტიმეტრის ან საზომი ლენტის დაფიქსირებას და, შესაბამისად, მეტის მიღებას. ზუსტი შედეგი. გააკეთეთ ერთი და იგივე გაზომვა რამდენჯერმე, რათა დარწმუნდეთ, რომ მიღებული რიცხვები ზუსტია.

ვიდეო თემაზე

სამკუთხედის მოცულობის პოვნა ნამდვილად არა ტრივიალური ამოცანაა. ფაქტია, რომ სამკუთხედი არის ორგანზომილებიანი ფიგურა, ე.ი. ის მთლიანად ერთ სიბრტყეში დევს, რაც იმას ნიშნავს, რომ მას უბრალოდ მოცულობა არ აქვს. რა თქმა უნდა, თქვენ ვერ იპოვით იმას, რაც არ არსებობს. მაგრამ არ დავნებდეთ! შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი დაშვება: ორგანზომილებიანი ფიგურის მოცულობა არის მისი ფართობი. ჩვენ ვეძებთ სამკუთხედის ფართობს.

დაგჭირდებათ

• ფურცელი, ფანქარი, სახაზავი, კალკულატორი

ინსტრუქციები

დახატეთ ფურცელზე სახაზავი და ფანქრის გამოყენებით. სამკუთხედის გულდასმით შესწავლით, შეგიძლიათ დარწმუნდეთ, რომ მას ნამდვილად არ აქვს სამკუთხედი, რადგან ის დახატულია სიბრტყეზე. მონიშნეთ სამკუთხედის გვერდები: ერთი გვერდი იყოს გვერდი "a", მეორე გვერდი "b", ხოლო მესამე გვერდი "c". მონიშნეთ სამკუთხედის წვეროები ასოებით "A", "B" და "C".

გაზომეთ სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდი სახაზავი და ჩაწერეთ შედეგი. ამის შემდეგ აღადგინეთ გაზომილი მხარის პერპენდიკულარი მის მოპირდაპირე წვეროდან, ასეთი პერპენდიკულარი იქნება სამკუთხედის სიმაღლე. ნახატზე გამოსახულ შემთხვევაში პერპენდიკულარული „h“ აღდგენილია „c“ მხარეს „A“ წვეროდან. გაზომეთ მიღებული სიმაღლე სახაზავით და ჩაწერეთ გაზომვის შედეგი.

შეიძლება გაგიჭირდეთ ზუსტი პერპენდიკულარულის აღდგენა. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სხვა ფორმულა. გაზომეთ სამკუთხედის ყველა მხარე მმართველით. ამის შემდეგ გამოთვალეთ "p" სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი გვერდების სიგრძის მიღებით და მათი ჯამის შუაზე გაყოფით. ნახევრად პერიმეტრის თქვენს განკარგულებაშია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჰერონის ფორმულა. ამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ შემდეგი კვადრატული ფესვი: p(p-a)(p-b)(p-c).

თქვენ მიიღეთ სამკუთხედის საჭირო ფართობი. სამკუთხედის მოცულობის პოვნის პრობლემა არ არის გადაჭრილი, მაგრამ როგორც ზემოთ აღინიშნა, მოცულობა არ არის. სამგანზომილებიან სამყაროში შეგიძლიათ იპოვოთ მოცულობა, რომელიც არსებითად სამკუთხედია. თუ წარმოვიდგენთ, რომ ჩვენი თავდაპირველი სამკუთხედი გახდა სამგანზომილებიანი პირამიდა, მაშინ ასეთი პირამიდის მოცულობა იქნება მისი ფუძის სიგრძის ნამრავლი ჩვენს მიერ მიღებული სამკუთხედის ფართობით.

შენიშვნა

რაც უფრო ფრთხილად გაზომავთ, მით უფრო ზუსტი იქნება თქვენი გამოთვლები.

წყაროები:

• კალკულატორი "ყველაფერი ყველაფრისთვის" - პორტალი საცნობარო მნიშვნელობებისთვის
• სამკუთხედის მოცულობა 2019 წელს

სამი წერტილი, რომელიც ცალსახად განსაზღვრავს სამკუთხედს დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში, არის მისი წვეროები. იცოდეთ მათი პოზიცია თითოეულ კოორდინატთა ღერძთან მიმართებაში, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ამ ბრტყელი ფიგურის ნებისმიერი პარამეტრი, მათ შორის პერიმეტრით შეზღუდული. კვადრატი. ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით.

ინსტრუქციები

ფართობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ ჰერონის ფორმულა სამკუთხედი. იგი მოიცავს ფიგურის სამი მხარის ზომებს, ამიტომ დაიწყეთ თქვენი გამოთვლები . თითოეული მხარის სიგრძე უნდა იყოს კოორდინატთა ღერძებზე მისი პროგნოზების სიგრძის კვადრატების ჯამის ფესვის ტოლი. თუ აღვნიშნავთ A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) და C(X3,Y3,Z3) კოორდინატებს, მათი გვერდების სიგრძე შეიძლება გამოისახოს შემდეგნაირად: AB = √((X1-). X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

გამოთვლების გასამარტივებლად შემოიტანეთ დამხმარე ცვლადი - ნახევრადპერიმეტრი (P). იქიდან გამომდინარე, რომ ეს არის ყველა მხარის სიგრძის ჯამის ნახევარი: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z₂)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

სამკუთხედი ყველასთვის ნაცნობი ფიგურაა. და ეს მიუხედავად მისი ფორმების მდიდარი მრავალფეროვნებისა. მართკუთხა, ტოლგვერდა, მწვავე, ტოლკუთხა, ბლაგვი. თითოეული მათგანი გარკვეულწილად განსხვავებულია. მაგრამ ვინმესთვის თქვენ უნდა გაარკვიოთ სამკუთხედის ფართობი.

ფორმულები საერთოა ყველა სამკუთხედისთვის, რომელიც იყენებს გვერდების ან სიმაღლეების სიგრძეს

მათში მიღებული აღნიშვნები: მხარეები - a, b, c; სიმაღლეები შესაბამის მხარეებზე a, n in, n ერთად.

1. სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება ½-ის, გვერდის და მისგან გამოკლებული სიმაღლის ნამრავლით. S = ½ * a * n a. დანარჩენი ორი მხარის ფორმულები ანალოგიურად უნდა დაიწეროს.

2. ჰერონის ფორმულა, რომელშიც ჩანს ნახევრადპერიმეტრი (როგორც წესი, აღნიშნავენ პატარა ასო p-ით, სრული პერიმეტრისგან განსხვავებით). ნახევრადპერიმეტრი უნდა გამოითვალოს შემდეგნაირად: შეკრიბეთ ყველა გვერდი და გაყავით 2-ზე. ნახევრადპერიმეტრის ფორმულა არის: p = (a+b+c) / 2. შემდეგ ტოლობა ფართობისთვის ფიგურა ასე გამოიყურება: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. თუ არ გსურთ ნახევარპერიმეტრის გამოყენება, მაშინ გამოგადგებათ ფორმულა, რომელიც შეიცავს მხოლოდ გვერდების სიგრძეებს: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). ის ოდნავ გრძელია ვიდრე წინა, მაგრამ ეს დაგეხმარებათ, თუ დაგავიწყდათ როგორ იპოვოთ ნახევრად პერიმეტრი.

ზოგადი ფორმულები, რომლებიც მოიცავს სამკუთხედის კუთხეებს

ფორმულების წასაკითხად საჭირო აღნიშვნები: α, β, γ - კუთხეები. ისინი დევს მოპირდაპირე მხარეს a, b, c, შესაბამისად.

1. მისი მიხედვით, ორი გვერდის ნამრავლის ნახევარი და მათ შორის კუთხის სინუსი უდრის სამკუთხედის ფართობს. ანუ: S = ½ a * b * sin γ. ანალოგიურადთქვენ უნდა ჩაწეროთ ფორმულები დანარჩენი ორი შემთხვევისთვის.

2. სამკუთხედის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ერთი მხრიდან და სამი ცნობილი კუთხიდან. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. ასევე არსებობს ფორმულა ერთი ცნობილი გვერდით და ორი მიმდებარე კუთხით. ეს ასე გამოიყურება: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

ბოლო ორი ფორმულა არ არის უმარტივესი. მათი დამახსოვრება საკმაოდ რთულია.

ზოგადი ფორმულები სიტუაციებისთვის, სადაც ცნობილია შემოხაზული ან შემოხაზული წრეების რადიუსი

დამატებითი აღნიშვნები: r, R - რადიუსი. პირველი გამოიყენება ჩაწერილი წრის რადიუსისთვის. მეორე არის აღწერილი.

1. პირველი ფორმულა, რომლითაც გამოითვლება სამკუთხედის ფართობი, დაკავშირებულია ნახევარპერიმეტრთან. S = r * r. მისი ჩაწერის კიდევ ერთი გზაა: S = ½ r * (a + b + c).

2. მეორე შემთხვევაში დაგჭირდებათ სამკუთხედის ყველა გვერდის გამრავლება და შემოხაზული წრის რადიუსის ოთხჯერ გაყოფა. პირდაპირი გამოთქმით ასე გამოიყურება: S = (a * b * c) / (4R).

3. მესამე სიტუაცია საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ მხარეების ცოდნის გარეშე, მაგრამ დაგჭირდებათ სამივე კუთხის მნიშვნელობები. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

განსაკუთრებული შემთხვევა: მართკუთხა სამკუთხედი

ეს არის უმარტივესი სიტუაცია, რადგან საჭიროა მხოლოდ ორივე ფეხის სიგრძე. ისინი აღინიშნება ლათინური ასოებით a და b. მოედანი მართკუთხა სამკუთხედიუდრის მას დამატებული მართკუთხედის ფართობის ნახევარს.

მათემატიკურად ასე გამოიყურება: S = ½ a * b. ყველაზე ადვილი დასამახსოვრებელია. იმის გამო, რომ ის ჰგავს მართკუთხედის ფართობის ფორმულას, ჩნდება მხოლოდ წილადი, რომელიც მიუთითებს ნახევარზე.

განსაკუთრებული შემთხვევა: ტოლფერდა სამკუთხედი

ვინაიდან მას აქვს ორი თანაბარი მხარე, მისი ფართობის ზოგიერთი ფორმულა გარკვეულწილად გამარტივებულია. მაგალითად, ჰერონის ფორმულა, რომელიც ითვლის ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობს, იღებს შემდეგ ფორმას:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

თუ გარდაქმნით, ის უფრო მოკლე გახდება. ამ შემთხვევაში ჰერონის ფორმულა ტოლფერდა სამკუთხედისთვის იწერება შემდეგნაირად:

S = ¼ √-ში (4 * a 2 - b 2).

ფართობის ფორმულა უფრო მარტივად გამოიყურება, ვიდრე თვითნებური სამკუთხედისთვის, თუ ცნობილია გვერდები და მათ შორის კუთხე. S = ½ a 2 * sin β.

განსაკუთრებული შემთხვევა: ტოლგვერდა სამკუთხედი

როგორც წესი, პრობლემებში მხარე ცნობილია ან შეიძლება რაიმე გზით გაირკვეს. შემდეგ ასეთი სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა შემდეგია:

S = (a 2 √3) / 4.

ფართობის პოვნის პრობლემა, თუ სამკუთხედი გამოსახულია ქაღალდზე

უმარტივესი სიტუაციაა, როდესაც მართკუთხა სამკუთხედი ისეა დახატული, რომ მისი ფეხები ემთხვევა ქაღალდის ხაზებს. შემდეგ თქვენ უბრალოდ უნდა დათვალოთ უჯრედების რაოდენობა, რომლებიც ჯდება ფეხებში. შემდეგ გაამრავლეთ ისინი და გაყავით ორზე.

როდესაც სამკუთხედი მახვილი ან ბლაგვია, ის მართკუთხედისკენ უნდა მიიზიდოს. შემდეგ მიღებულ ფიგურას ექნება 3 სამკუთხედი. ერთი არის პრობლემაში მოცემული. ხოლო დანარჩენი ორი დამხმარე და მართკუთხაა. ბოლო ორის არეები უნდა განისაზღვროს ზემოთ აღწერილი მეთოდის გამოყენებით. შემდეგ გამოთვალეთ მართკუთხედის ფართობი და გამოაკლეთ ის, რაც გამოითვლება დამხმარეებისთვის. სამკუთხედის ფართობი განისაზღვრება.

სიტუაცია, როდესაც სამკუთხედის არცერთი გვერდი არ ემთხვევა ქაღალდის ხაზებს, გაცილებით რთული აღმოჩნდება. შემდეგ ის უნდა ჩაიწეროს მართკუთხედში ისე, რომ ორიგინალური ფიგურის წვეროები მის გვერდებზე იყოს. ამ შემთხვევაში, იქნება სამი დამხმარე მართკუთხა სამკუთხედი.

პრობლემის მაგალითი ჰერონის ფორმულის გამოყენებით

მდგომარეობა. ზოგიერთ სამკუთხედს აქვს ცნობილი გვერდები. ისინი უდრის 3, 5 და 6 სმ. თქვენ უნდა გაარკვიოთ მისი ფართობი.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ სამკუთხედის ფართობი ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით. კვადრატული ფესვის ქვეშ არის ოთხი რიცხვის ნამრავლი: 7, 4, 2 და 1. ანუ ფართობი არის √(4 * 14) = 2 √(14).

თუ მეტი სიზუსტე არ არის საჭირო, მაშინ შეგიძლიათ აიღოთ 14-ის კვადრატული ფესვი. ის უდრის 3,74-ს. მაშინ ფართობი იქნება 7.48.

უპასუხე. S = 2 √14 სმ 2 ან 7,48 სმ 2.

მართკუთხა სამკუთხედის პრობლემის მაგალითი

მდგომარეობა. მართკუთხა სამკუთხედის ერთი ფეხი 31 სმ-ით დიდია მეორეზე, მათი სიგრძე უნდა გაარკვიოთ, თუ სამკუთხედის ფართობი 180 სმ 2-ია.
გამოსავალი. ორი განტოლების სისტემის ამოხსნა მოგვიწევს. პირველი დაკავშირებულია ტერიტორიასთან. მეორე არის ფეხების თანაფარდობა, რომელიც მოცემულია პრობლემაში.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
პირველ რიგში, "a"-ს მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს პირველ განტოლებაში. გამოდის: 180 = ½ (+ 31-ში) * ინჩი. მას აქვს მხოლოდ ერთი უცნობი რაოდენობა, ამიტომ მისი ამოხსნა მარტივია. ფრჩხილების გახსნის შემდეგ ვიღებთ კვადრატული განტოლება: 2 + 31 -ში - 360 = 0. ის იძლევა ორ მნიშვნელობას "in"-სთვის: 9 და - 40. მეორე რიცხვი არ არის შესაფერისი პასუხად, რადგან სამკუთხედის გვერდის სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი. ღირებულება.

რჩება მეორე ფეხის გამოთვლა: მიღებულ რიცხვს დაუმატეთ 31. გამოდის 40. ეს არის პრობლემში მოძიებული რაოდენობები.

უპასუხე. სამკუთხედის ფეხები არის 9 და 40 სმ.

სამკუთხედის ფართობის, გვერდისა და კუთხის მეშვეობით გვერდის პოვნის პრობლემა

მდგომარეობა. გარკვეული სამკუთხედის ფართობია 60 სმ 2. აუცილებელია მისი ერთ-ერთი გვერდის გამოთვლა, თუ მეორე მხარე 15 სმ-ია და მათ შორის კუთხე 30º.

გამოსავალი. დაფუძნებული მიღებული აღნიშვნები, სასურველი მხარე “a”, ცნობილი გვერდი “b”, მოცემული კუთხე “γ”. შემდეგ ფართობის ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

60 = ½ a * 15 * ცოდვა 30º. აქ 30 გრადუსის სინუსი არის 0,5.

გარდაქმნების შემდეგ, "a" აღმოჩნდება ტოლი 60 / (0.5 * 0.5 * 15). ეს არის 16.

უპასუხე. საჭირო მხარე არის 16 სმ.

მართკუთხა სამკუთხედში ჩაწერილი კვადრატის პრობლემა

მდგომარეობა. კვადრატის წვერო, რომლის გვერდია 24 სმ, ემთხვევა სამკუთხედის მართ კუთხეს. დანარჩენი ორი გვერდებზე წევს. მესამე ეკუთვნის ჰიპოტენუზას. ერთი ფეხის სიგრძეა 42 სმ. რა არის მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი?

გამოსავალი. განვიხილოთ ორი მართკუთხა სამკუთხედი. პირველი არის ამოცანაში მითითებული. მეორე ეფუძნება თავდაპირველი სამკუთხედის ცნობილ წვერს. ისინი მსგავსია, რადგან მათ აქვთ საერთო კუთხე და წარმოიქმნება პარალელური ხაზებით.

მაშინ მათი ფეხების თანაფარდობა ტოლია. პატარა სამკუთხედის ფეხები უდრის 24 სმ (კვადრატის გვერდი) და 18 სმ (მოცემული ფეხი 42 სმ გამოაკლო კვადრატის გვერდი 24 სმ). დიდი სამკუთხედის შესაბამისი ფეხებია 42 სმ და x სმ. სწორედ ეს "x" არის საჭირო სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად.

18/42 = 24/x, ანუ x = 24 * 42 / 18 = 56 (სმ).

მაშინ ფართობი უდრის 56-ისა და 42-ის ნამრავლს გაყოფილი ორზე, ანუ 1176 სმ 2-ზე.

უპასუხე. საჭირო ფართობია 1176 სმ 2.

სამკუთხედის ფართობი - პრობლემის გადაჭრის ფორმულები და მაგალითები

ქვემოთ მოცემულია თვითნებური სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულებირომლებიც შესაფერისია ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად, მიუხედავად მისი თვისებებისა, კუთხისა თუ ზომისა. ფორმულები წარმოდგენილია სურათის სახით, მათი გამოყენების განმარტებით ან მათი სისწორის დასაბუთებით. კორესპონდენციები ასევე მითითებულია ცალკე ფიგურაში ასოების აღნიშვნებინახაზში ფორმულებში და გრაფიკულ სიმბოლოებში.

შენიშვნა . თუ სამკუთხედს აქვს სპეციალური თვისებები(ტოლფერდა, მართკუთხა, ტოლგვერდა), შეგიძლიათ გამოიყენოთ ქვემოთ მოცემული ფორმულები, ასევე დამატებითი სპეციალური ფორმულები, რომლებიც მოქმედებს მხოლოდ ამ თვისებების მქონე სამკუთხედებისთვის:

• "ფორმულა ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობისთვის"

სამკუთხედის ფართობის ფორმულები

ფორმულების ახსნა:
ა, ბ, გ- სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები, რომლის ფართობის პოვნა გვინდა
რ- სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი
რ- სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი
თ- სამკუთხედის სიმაღლე დაშვებულია გვერდზე
გვ- სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, მისი გვერდების ჯამის 1/2 (პერიმეტრი)
α - კუთხე სამკუთხედის a მხარის საპირისპირო
β - კუთხე სამკუთხედის b მხარის საპირისპირო
γ - კუთხე სამკუთხედის c მხარის საპირისპირო
თ ა, თ ბ , თ გ- სამკუთხედის სიმაღლე დაშვებულია a, b, c გვერდებზე

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ზემოაღნიშნული აღნიშვნები შეესაბამება ზემოთ მოცემულ ფიგურას ისე, რომ ამოხსნისას რეალური პრობლემაგეომეტრიის თვალსაზრისით, ვიზუალურად გაგიადვილდათ ჩანაცვლება სწორი ადგილებიფორმულები სწორი მნიშვნელობებია.

• სამკუთხედის ფართობი არის სამკუთხედის სიმაღლისა და გვერდის სიგრძის ნამრავლის ნახევარი, რომლითაც ეს სიმაღლე იკლებს(Ფორმულა 1). ამ ფორმულის სისწორე ლოგიკურად შეიძლება გავიგოთ. ძირამდე დაშვებული სიმაღლე თვითნებურ სამკუთხედს ორ მართკუთხედად გაყოფს. თუ თითოეულ მათგანს აყალიბებთ მართკუთხედად b და h ზომებით, მაშინ ცხადია, რომ ამ სამკუთხედების ფართობი ტოლი იქნება მართკუთხედის ფართობის ზუსტად ნახევარზე (Spr = bh)
• სამკუთხედის ფართობი არის მისი ორი გვერდის ნამრავლის ნახევარი და მათ შორის კუთხის სინუსი(ფორმულა 2) (იხილეთ ამ ფორმულის გამოყენებით პრობლემის გადაჭრის მაგალითი ქვემოთ). მიუხედავად იმისა, რომ ის განსხვავდება წინასგან, ის ადვილად შეიძლება გარდაიქმნას მასში. თუ სიმაღლეს B კუთხიდან b გვერდისკენ შევამცირებთ, გამოდის, რომ a გვერდის ნამრავლი და γ კუთხის სინუსი, მართკუთხა სამკუთხედში სინუსის თვისებების მიხედვით, უდრის ჩვენს მიერ დახატულ სამკუთხედის სიმაღლეს. , რომელიც გვაძლევს წინა ფორმულას
• შეიძლება მოიძებნოს თვითნებური სამკუთხედის ფართობი მეშვეობით მუშაობამასში ჩაწერილი წრის რადიუსის ნახევარი მისი ყველა მხარის სიგრძის ჯამით(ფორმულა 3), მარტივად რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი ჩაწერილი წრის რადიუსზე (ეს უფრო ადვილი დასამახსოვრებელია)
• თვითნებური სამკუთხედის ფართობის პოვნა შესაძლებელია მისი ყველა გვერდის ნამრავლის გაყოფით მის გარშემო შემოხაზული წრის 4 რადიუსზე (ფორმულა 4)
• ფორმულა 5 პოულობს სამკუთხედის ფართობს მისი გვერდების სიგრძეზე და ნახევარპერიმეტრზე (მისი ყველა გვერდის ჯამის ნახევარი)
• ჰერონის ფორმულა(6) არის იგივე ფორმულის წარმოდგენა ნახევარპერიმეტრის ცნების გამოყენების გარეშე, მხოლოდ გვერდების სიგრძეზე
• თვითნებური სამკუთხედის ფართობი ტოლია სამკუთხედის გვერდის კვადრატის ნამრავლისა და ამ მხარის მიმდებარე კუთხის სინუსების ნამრავლის, გაყოფილი ამ მხარის მოპირდაპირე კუთხის ორმაგ სინუსზე (ფორმულა 7)
• თვითნებური სამკუთხედის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს, როგორც წრის ორი კვადრატის ნამრავლი, რომელიც გარშემოწერილია მისი თითოეული კუთხის სინუსებით. (ფორმულა 8)
• თუ ცნობილია ერთი მხარის სიგრძე და ორი მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობები, მაშინ სამკუთხედის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს, როგორც ამ გვერდის კვადრატი გაყოფილი ამ კუთხის კოტანგენტების ორმაგ ჯამზე (ფორმულა 9).
• თუ ცნობილია მხოლოდ სამკუთხედის თითოეული სიმაღლის სიგრძე (ფორმულა 10), მაშინ ასეთი სამკუთხედის ფართობი უკუპროპორციულია ამ სიმაღლეების სიგრძისა, როგორც ჰერონის ფორმულის მიხედვით.
• ფორმულა 11 საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ სამკუთხედის ფართობი მისი წვეროების კოორდინატებზე დაყრდნობით, რომლებიც მითითებულია როგორც (x;y) მნიშვნელობები თითოეული წვეროსთვის. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მიღებული მნიშვნელობა უნდა იქნას მიღებული მოდულით, რადგან ინდივიდუალური (ან თუნდაც ყველა) წვეროების კოორდინატები შეიძლება იყოს უარყოფითი მნიშვნელობების რეგიონში.

შენიშვნა. ქვემოთ მოცემულია გეომეტრიის ამოცანების ამოხსნის მაგალითები სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად. თუ თქვენ გჭირდებათ გეომეტრიის პრობლემის გადაჭრა, რომელიც აქ არ არის მსგავსი, დაწერეთ ამის შესახებ ფორუმზე. გადაწყვეტილებებში, "კვადრატული ფესვის" სიმბოლოს ნაცვლად, შეიძლება გამოყენებულ იქნას sqrt() ფუნქცია, რომელშიც sqrt არის კვადრატული ფესვის სიმბოლო, ხოლო რადიკალური გამოხატულება მითითებულია ფრჩხილებში..ზოგჯერ მარტივი რადიკალური გამონათქვამებისთვის სიმბოლო შეიძლება გამოყენებულ იქნას √

დავალება. იპოვნეთ მოცემული ორი გვერდი და კუთხე მათ შორის

სამკუთხედის გვერდებია 5 და 6 სმ, მათ შორის კუთხე 60 გრადუსია. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი.

გამოსავალი.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ გაკვეთილის თეორიული ნაწილის ნომერ ორ ფორმულას.
სამკუთხედის ფართობი გვხვდება ორი გვერდის სიგრძეზე და მათ შორის კუთხის სინუსში და ტოლი იქნება
S=1/2 ab sin γ

ვინაიდან ჩვენ გვაქვს ყველა საჭირო მონაცემი ამოხსნისთვის (ფორმულის მიხედვით), შეგვიძლია მხოლოდ პრობლემის პირობებიდან მნიშვნელობები ჩავანაცვლოთ ფორმულაში:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილში ჩვენ ვიპოვით და ჩავანაცვლებთ სინუსის მნიშვნელობას 60 გრადუსით გამოხატულებაში. ის სამჯერ ორის ფესვის ტოლი იქნება.
S = 15 √3 / 2

უპასუხე: 7.5 √3 (მასწავლებლის მოთხოვნებიდან გამომდინარე, შეგიძლიათ დატოვოთ 15 √3/2)

დავალება. იპოვეთ ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი

იპოვეთ 3 სმ გვერდით ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი.

გამოსავალი .

სამკუთხედის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ჰერონის ფორმულით:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

ვინაიდან a = b = c, ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობის ფორმულა იღებს ფორმას:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

უპასუხე: 9 √3 / 4.

დავალება. გვერდების სიგრძის შეცვლისას ფართობის შეცვლა

რამდენჯერ გაიზრდება სამკუთხედის ფართობი, თუ გვერდები 4-ჯერ გაიზარდა?

გამოსავალი.

ვინაიდან სამკუთხედის გვერდების ზომები ჩვენთვის უცნობია, ამოცანის ამოსახსნელად ჩავთვლით, რომ გვერდების სიგრძეები შესაბამისად უდრის თვითნებურ რიცხვებს a, b, c. შემდეგ პრობლემის კითხვაზე პასუხის გასაცემად ვპოულობთ ტერიტორიას მოცემული სამკუთხედიდა შემდეგ იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი, რომლის გვერდებიც ოთხჯერ დიდია. ამ სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა გაგვცემს ამოცანის პასუხს.

ქვემოთ მოცემულია პრობლემის გადაჭრის ტექსტური ახსნა ეტაპობრივად. თუმცა, ბოლოს და ბოლოს, იგივე გადაწყვეტა წარმოდგენილია უფრო მოსახერხებელი გრაფიკული ფორმით. დაინტერესებულ პირებს შეუძლიათ დაუყოვნებლივ წაიკითხონ გადაწყვეტილებები.

ამოსახსნელად ვიყენებთ ჰერონის ფორმულას (იხილეთ ზემოთ გაკვეთილის თეორიულ ნაწილში). ეს ასე გამოიყურება:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(იხილეთ სურათის პირველი ხაზი ქვემოთ)

თვითნებური სამკუთხედის გვერდების სიგრძე მითითებულია a, b, c ცვლადებით.
თუ გვერდები 4-ჯერ გაიზარდა, მაშინ ახალი სამკუთხედის c ფართობი იქნება:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(იხილეთ მეორე ხაზი ქვემოთ მოცემულ სურათზე)

როგორც ხედავთ, 4 არის საერთო ფაქტორი, რომლის ამოღება შესაძლებელია ოთხივე გამონათქვამიდან ფრჩხილებიდან ძირითადი წესებიმათემატიკა.
მერე

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - სურათის მესამე სტრიქონზე
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - მეოთხე ხაზი

რიცხვის 256-ის კვადრატული ფესვი მშვენივრად არის ამოღებული, ამიტომ ამოვიღოთ იგი ფესვის ქვეშ
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(იხ. სურათის მეხუთე სტრიქონი ქვემოთ)

პრობლემაში დასმულ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, ჩვენ უბრალოდ უნდა გავყოთ მიღებული სამკუთხედის ფართობი თავდაპირველის ფართობზე.
მოდით განვსაზღვროთ ფართობის თანაფარდობა გამონათქვამების ერთმანეთზე გაყოფით და მიღებული წილადის შემცირებით.

სამკუთხედი ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებულია გეომეტრიული ფორმები, რომელსაც უკვე გავეცანით დაწყებითი სკოლა. ყველა სტუდენტს აწყდება კითხვა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი გეომეტრიის გაკვეთილებზე. მაშ, მოცემული ფიგურის ფართობის პოვნის რა თავისებურებები შეიძლება გამოვლინდეს? ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ ძირითად ფორმულებს, რომლებიც აუცილებელია ასეთი ამოცანის შესასრულებლად და ასევე გავაანალიზებთ სამკუთხედების ტიპებს.

სამკუთხედების სახეები

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი აბსოლუტურად სხვადასხვა გზები, რადგან გეომეტრიაში არის ერთზე მეტი ტიპის ფიგურა, რომელიც შეიცავს სამ კუთხეს. ეს ტიპები მოიცავს:

• ბუნდოვანი.
• ტოლგვერდა (სწორი).
• მართკუთხა სამკუთხედი.
• ტოლფერდა.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ სამკუთხედების თითოეულ არსებულ ტიპს.

ეს გეომეტრიული ფიგურა ითვლება ყველაზე გავრცელებულად გეომეტრიული ამოცანების გადაჭრისას. როდესაც ჩნდება თვითნებური სამკუთხედის დახატვის საჭიროება, ეს ვარიანტი სამაშველოში მოდის.

მახვილ სამკუთხედში, როგორც სახელიდან ჩანს, ყველა კუთხე არის მახვილი და ემატება 180°.

ამ ტიპის სამკუთხედი ასევე ძალიან გავრცელებულია, მაგრამ გარკვეულწილად ნაკლებად გავრცელებულია, ვიდრე მწვავე სამკუთხედი. მაგალითად, სამკუთხედების ამოხსნისას (ანუ ცნობილია მისი რამდენიმე გვერდი და კუთხე და საჭიროა დარჩენილი ელემენტების პოვნა), ზოგჯერ უნდა დაადგინოთ, არის თუ არა კუთხე ბლაგვი. კოსინუსი არის უარყოფითი რიცხვი.

B, ერთ-ერთი კუთხის მნიშვნელობა აღემატება 90°-ს, ამიტომ დარჩენილ ორ კუთხეს შეუძლია მიიღოს მცირე მნიშვნელობები (მაგალითად, 15° ან თუნდაც 3°).

სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად ამ ტიპის, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ნიუანსი, რაზეც შემდეგში ვისაუბრებთ.

რეგულარული და ტოლფერდა სამკუთხედები

რეგულარული მრავალკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც მოიცავს n კუთხეს და რომლის გვერდები და კუთხეები ტოლია. ეს არის ჩვეულებრივი სამკუთხედი. ვინაიდან სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი არის 180°, მაშინ სამივე კუთხიდან თითოეული არის 60°.

რეგულარულ სამკუთხედს, თავისი თვისების გამო, ტოლგვერდა ფიგურასაც უწოდებენ.

აღსანიშნავია ისიც, რომ მხოლოდ ერთი წრე შეიძლება ჩაიწეროს რეგულარულ სამკუთხედში და მხოლოდ ერთი წრე შეიძლება იყოს აღწერილი მის გარშემო და მათი ცენტრები განლაგებულია იმავე წერტილში.

ტოლგვერდა ტიპის გარდა, შეიძლება განვასხვავოთ მისგან ოდნავ განსხვავებული ტოლფერდა სამკუთხედიც. ასეთ სამკუთხედში ორი გვერდი და ორი კუთხე ერთმანეთის ტოლია, ხოლო მესამე გვერდი (რომელსაც მიმდებარე თანაბარი კუთხეები) არის საფუძველი.

ნახატზე ნაჩვენებია ტოლფერდა სამკუთხედი DEF, რომლის კუთხეები D და F ტოლია და DF არის ფუძე.

მართკუთხა სამკუთხედი

მართკუთხა სამკუთხედს ასე უწოდებენ, რადგან მისი ერთ-ერთი კუთხე მართია, ანუ ტოლია 90°-ისა. დანარჩენი ორი კუთხე ემატება 90°-ს.

ასეთი სამკუთხედის ყველაზე დიდი გვერდი, რომელიც მდებარეობს 90° კუთხის საპირისპიროდ, არის ჰიპოტენუზა, ხოლო დანარჩენი ორი გვერდი არის ფეხები. ამ ტიპის სამკუთხედისთვის გამოიყენება პითაგორას თეორემა:

ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატს.

ნახატზე ნაჩვენებია მართკუთხა სამკუთხედი BAC ჰიპოტენუზა AC-ით და AB და BC ფეხებით.

იმისათვის, რომ იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი მართი კუთხით, თქვენ უნდა იცოდეთ რიცხვითი მნიშვნელობებიმისი ფეხები.

მოდით გადავიდეთ მოცემული ფიგურის ფართობის პოვნის ფორმულებზე.

ფართობის პოვნის ძირითადი ფორმულები

გეომეტრიაში არსებობს ორი ფორმულა, რომლებიც შესაფერისია სამკუთხედების უმეტესი ტიპების ფართობის საპოვნელად, კერძოდ, მწვავე, ბლაგვი, რეგულარული და ტოლფერდა სამკუთხედებისთვის. მოდით შევხედოთ თითოეულ მათგანს.

გვერდით და სიმაღლეზე

ეს ფორმულა უნივერსალურია იმ ფიგურის ფართობის დასადგენად, რომელსაც განვიხილავთ. ამისათვის საკმარისია ვიცოდეთ გვერდის სიგრძე და მასზე დახატული სიმაღლის სიგრძე. თავად ფორმულა (ძირის ნამრავლის ნახევარი და სიმაღლე) ასეთია:

სადაც A არის მოცემული სამკუთხედის გვერდი, ხოლო H არის სამკუთხედის სიმაღლე.

მაგალითად, ტერიტორიის მოსაძებნად მწვავე სამკუთხედი ACB, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მისი გვერდი AB სიმაღლით CD და გაყოთ მიღებული მნიშვნელობა ორზე.

თუმცა, ყოველთვის ადვილი არ არის ამ გზით სამკუთხედის ფართობის პოვნა. მაგალითად, ბლაგვი სამკუთხედისთვის ამ ფორმულის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა გააფართოვოთ მისი ერთ-ერთი გვერდი და მხოლოდ ამის შემდეგ მიაპყროთ მას სიმაღლე.

პრაქტიკაში, ეს ფორმულა უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე სხვები.

ორივე მხარეს და კუთხეში

ეს ფორმულა, ისევე როგორც წინა, შესაფერისია სამკუთხედების უმეტესობისთვის და მისი მნიშვნელობით არის სამკუთხედის გვერდითი ფართობის და სიმაღლის ფორმულის შედეგი. ანუ განსახილველი ფორმულა ადვილად შეიძლება იყოს მიღებული წინადან. მისი ფორმულირება ასე გამოიყურება:

S = ½*sinO*A*B,

სადაც A და B არის სამკუთხედის გვერდები, ხოლო O არის კუთხე A და B გვერდებს შორის.

შეგახსენებთ, რომ კუთხის სინუსის ნახვა შესაძლებელია გამოჩენილი საბჭოთა მათემატიკოსის V.M. Bradis-ის სახელობის სპეციალურ ცხრილში.

ახლა მოდით გადავიდეთ სხვა ფორმულებზე, რომლებიც შესაფერისია მხოლოდ განსაკუთრებული ტიპის სამკუთხედებისთვის.

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი

უნივერსალური ფორმულის გარდა, რომელიც მოიცავს სამკუთხედში სიმაღლის პოვნის აუცილებლობას, სამკუთხედის ფართობი, რომელიც შეიცავს მართკუთხა კუთხეს, შეგიძლიათ ნახოთ მისი ფეხებიდან.

ამრიგად, სამკუთხედის ფართობი, რომელიც შეიცავს მართ კუთხეს, არის მისი ფეხების პროდუქტის ნახევარი, ან:

სადაც a და b არის მართკუთხა სამკუთხედის ფეხები.

რეგულარული სამკუთხედი

ამ ტიპისგეომეტრიული ფიგურები განსხვავდება იმით, რომ მისი ფართობი შეიძლება მოიძებნოს მხოლოდ მისი ერთი მხარის მითითებული მნიშვნელობით (რადგან ყველა მხარე რეგულარული სამკუთხედითანაბარი არიან). ასე რომ, როდესაც წინაშე დგახართ "სამკუთხედის ფართობის პოვნა, როდესაც გვერდები ტოლია", თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულა:

S = A 2 *√3 / 4,

სადაც A არის ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდი.

ჰერონის ფორმულა

სამკუთხედის ფართობის პოვნის ბოლო ვარიანტია ჰერონის ფორმულა. მისი გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფიგურის სამი მხარის სიგრძე. ჰერონის ფორმულა ასე გამოიყურება:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

სადაც a, b და c არის მოცემული სამკუთხედის გვერდები.

ზოგჯერ მოცემულია პრობლემა: ”რეგულარული სამკუთხედის ფართობი არის მისი გვერდის სიგრძის პოვნა”. ამ შემთხვევაში, ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ფორმულა, რომელიც უკვე ვიცით რეგულარული სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად და მისგან გამოვიტანოთ გვერდის (ან მისი კვადრატის) მნიშვნელობა:

A 2 = 4S / √3.

საგამოცდო ამოცანები

მათემატიკაში GIA ამოცანებში ბევრი ფორმულაა. გარდა ამისა, საკმაოდ ხშირად საჭიროა სამკუთხედის ფართობის პოვნა ქაღალდზე.

ამ შემთხვევაში, ყველაზე მოსახერხებელია სიმაღლის დახატვა ფიგურის ერთ-ერთ მხარეს, მისი სიგრძის განსაზღვრა უჯრედებიდან და გამოყენება. უნივერსალური ფორმულატერიტორიის საპოვნელად:

ასე რომ, სტატიაში წარმოდგენილი ფორმულების შესწავლის შემდეგ, არანაირი პრობლემა არ გექნებათ რაიმე სახის სამკუთხედის ფართობის პოვნაში.