ლოგარითმის ორმხრივი. ლოგარითმები: მაგალითები და ამონახსნები

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც თქვენ გაგზავნით მოთხოვნას საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ელფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში - კანონის შესაბამისად, სასამართლო პროცედურებით, ქ სასამართლო პროცესი, და/ან საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

მოგეხსენებათ, გამონათქვამების ძალებით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ყოველთვის იკრიბება (a b *a c = a b+c). ეს მათემატიკური კანონი გამოიტანა არქიმედესმა, მოგვიანებით კი, მე-8 საუკუნეში, მათემატიკოსმა ვირასენმა შექმნა მთელი რიცხვების მაჩვენებლების ცხრილი. სწორედ ისინი ემსახურებოდნენ ლოგარითმების შემდგომ აღმოჩენას. ამ ფუნქციის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ თითქმის ყველგან, სადაც თქვენ უნდა გაამარტივოთ რთული გამრავლება მარტივი შეკრებით. თუ 10 წუთს დაუთმობთ ამ სტატიის კითხვას, ჩვენ აგიხსნით რა არის ლოგარითმები და როგორ იმუშაოთ მათთან. მარტივი და ხელმისაწვდომი ენით.

განმარტება მათემატიკაში

ლოგარითმი არის შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log a b=c, ანუ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვის (ანუ ნებისმიერი დადებითი) ლოგარითმი "b" მის ფუძეზე "a" ითვლება "c" ხარისხად. ” რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ფუძე “a”, რათა საბოლოოდ მივიღოთ მნიშვნელობა “b”. გავაანალიზოთ ლოგარითმი მაგალითების გამოყენებით, ვთქვათ არის გამონათქვამი log 2 8. როგორ მოვძებნოთ პასუხი? ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა იპოვოთ სიმძლავრე ისეთი, რომ 2-დან საჭირო სიმძლავრემდე მიიღოთ 8. თქვენს თავში გარკვეული გამოთვლების გაკეთების შემდეგ მივიღებთ რიცხვს 3! და ეს მართალია, რადგან 2 3-ის ხარისხზე იძლევა პასუხს, როგორც 8.

ლოგარითმების სახეები

ბევრი მოსწავლისა და სტუდენტისთვის ეს თემა რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში ლოგარითმები არც ისე საშინელია, მთავარია მათი ზოგადი მნიშვნელობის გაგება და მათი თვისებების და ზოგიერთი წესის დამახსოვრება. არის სამი ცალკეული სახეობებილოგარითმული გამონათქვამები:

1. ბუნებრივი ლოგარითმი ln a, სადაც ფუძეა ეილერის რიცხვი (e = 2.7).
2. ათწილადი a, სადაც ფუძე არის 10.
3. ნებისმიერი b რიცხვის ლოგარითმი a>1-მდე.

თითოეული მათგანი წყდება სტანდარტული გზით, მათ შორის გამარტივება, შემცირება და შემდგომი შემცირება ერთ ლოგარითმზე ლოგარითმული თეორემების გამოყენებით. ლოგარითმების სწორი მნიშვნელობების მისაღებად, მათი ამოხსნისას უნდა გახსოვდეთ მათი თვისებები და მოქმედებების თანმიმდევრობა.

წესები და გარკვეული შეზღუდვები

მათემატიკაში არის რამდენიმე წესი-შეზღუდვა, რომლებიც მიღებულია აქსიომად, ანუ ისინი არ ექვემდებარება განხილვას და არის ჭეშმარიტება. მაგალითად, რიცხვების ნულზე გაყოფა შეუძლებელია და ასევე შეუძლებელია ლუწი ფესვის ამოღება უარყოფითი რიცხვები. ლოგარითმებს ასევე აქვთ საკუთარი წესები, რომელთა დაცვით შეგიძლიათ მარტივად ისწავლოთ მუშაობა გრძელი და ტევადი ლოგარითმული გამონათქვამებითაც კი:

• ფუძე "a" ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი და არა 1-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთქმა დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან "1" და "0" ნებისმიერი ხარისხით ყოველთვის მათი მნიშვნელობების ტოლია;
• თუ a > 0, მაშინ a b >0, გამოდის, რომ „c“ ასევე უნდა იყოს ნულზე მეტი.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

მაგალითად, დავალება მოცემულია პასუხის პოვნა განტოლებაზე 10 x = 100. ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა აირჩიოთ სიმძლავრე ათი რიცხვის აწევით, რომლითაც მივიღებთ 100-ს. ეს, რა თქმა უნდა, არის 10 2 = 100.

ახლა წარმოვიდგინოთ ეს გამონათქვამი ლოგარითმული ფორმით. ვიღებთ log 10 100 = 2. ლოგარითმების ამოხსნისას ყველა მოქმედება პრაქტიკულად იყრის თავს იმ სიმძლავრის საპოვნელად, რომელზედაც საჭიროა ლოგარითმის ფუძის შეყვანა მოცემული რიცხვის მისაღებად.

უცნობი ხარისხის მნიშვნელობის ზუსტად დასადგენად, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ გრადუსების ცხრილთან. ეს ასე გამოიყურება:

როგორც ხედავთ, ზოგიერთი მაჩვენებლის გამოცნობა შესაძლებელია ინტუიციურად, თუ თქვენ გაქვთ ტექნიკური გონება და ცოდნა გამრავლების ცხრილის შესახებ. თუმცა, უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის დაგჭირდებათ დენის მაგიდა. მისი გამოყენება შეუძლიათ მათაც, ვინც საერთოდ არაფერი იცის კომპლექსის შესახებ მათემატიკური თემები. მარცხენა სვეტი შეიცავს რიცხვებს (ბაზა a), რიცხვების ზედა მწკრივი არის c სიმძლავრის მნიშვნელობა, რომელზედაც ამაღლებულია რიცხვი. კვეთაზე, უჯრედები შეიცავს ნომრის მნიშვნელობებს, რომლებიც პასუხია (a c =b). ავიღოთ, მაგალითად, პირველივე უჯრედი 10-ით და კვადრატში მივიღოთ მნიშვნელობა 100, რომელიც მითითებულია ჩვენი ორი უჯრედის გადაკვეთაზე. ყველაფერი ისეთი მარტივი და მარტივია, რომ ყველაზე ჭეშმარიტი ჰუმანისტიც კი მიხვდება!

განტოლებები და უტოლობა

თურმე როცა გარკვეული პირობებიმაჩვენებელი არის ლოგარითმი. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი მათემატიკური რიცხვითი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული ტოლობის სახით. მაგალითად, 3 4 = 81 შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც 81-ის მე-3 ლოგარითმი, რომელიც ტოლია ოთხს (log 3 81 = 4). ამისთვის უარყოფითი ძალებიწესები იგივეა: 2 -5 = 1/32 ვწერთ ლოგარითმად, ვიღებთ log 2 (1/32) = -5. მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბვლელი განყოფილება არის "ლოგარითმების" თემა. განტოლებების მაგალითებსა და ამონახსნებს განვიხილავთ ქვემოთ, მათი თვისებების შესწავლისთანავე. ახლა ვნახოთ, როგორ გამოიყურება უტოლობები და როგორ განვასხვავოთ ისინი განტოლებისგან.

მოცემულია შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log 2 (x-1) > 3 - ეს არის ლოგარითმული უტოლობა, ვინაიდან უცნობი მნიშვნელობა "x" ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ იმყოფება. და ასევე გამონათქვამში შედარებულია ორი სიდიდე: სასურველი რიცხვის ლოგარითმი ორზე მეტია სამზე.

ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავება ლოგარითმულ განტოლებებსა და უტოლობას შორის არის ის, რომ განტოლებები ლოგარითმებით (მაგალითად, ლოგარითმი 2 x = √9) გულისხმობს ერთ ან მეტ კონკრეტულ პასუხს. რიცხვითი მნიშვნელობები, ხოლო უტოლობების ამოხსნისას განისაზღვრება რეგიონად მისაღები ღირებულებებიდა ამ ფუნქციის წყვეტის წერტილები. შედეგად, პასუხი არ არის ინდივიდუალური რიცხვების მარტივი ნაკრები, როგორც განტოლების პასუხში, არამედ უწყვეტი სერია ან რიცხვების სიმრავლე.

ძირითადი თეორემები ლოგარითმების შესახებ

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნის პრიმიტიული ამოცანების გადაჭრისას, მისი თვისებები შეიძლება არ იყოს ცნობილი. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება ლოგარითმულ განტოლებებს ან უტოლობას, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ლოგარითმების ყველა ძირითადი თვისების მკაფიოდ გაგება და პრაქტიკაში გამოყენება. განტოლებების მაგალითებს მოგვიანებით განვიხილავთ; ჯერ უფრო დეტალურად განვიხილოთ თითოეული თვისება.

1. ძირითადი იდენტურობა ასე გამოიყურება: a logaB =B. იგი გამოიყენება მხოლოდ მაშინ, როდესაც a მეტია 0-ზე, არ უდრის ერთს და B არის ნულზე მეტი.
2. პროდუქტის ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ამ შემთხვევაში სავალდებულო პირობაა: d, s 1 და s 2 > 0; a≠1. ამ ლოგარითმული ფორმულის მტკიცებულება შეგიძლიათ მაგალითებითა და ამოხსნით. მოდით log a s 1 = f 1 და log a s 2 = f 2, შემდეგ a f1 = s 1, a f2 = s 2. მივიღებთ, რომ s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (თვისებები გრადუსი ), და შემდეგ განმარტებით: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, რაც დასამტკიცებლად იყო საჭირო.
3. კოეფიციენტის ლოგარითმი ასე გამოიყურება: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. თეორემა ფორმულის სახით იღებს შემდეგი ხედი: log a q b n = n/q log a b.

ამ ფორმულას ეწოდება "ლოგარითმის ხარისხის თვისება". იგი წააგავს ჩვეულებრივი ხარისხების თვისებებს და გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა მათემატიკა ემყარება ბუნებრივ პოსტულატებს. მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას.

მოდით log a b = t, გამოდის t =b. თუ ორივე ნაწილს ავწევთ m ხარისხზე: a tn = b n;

მაგრამ რადგან a tn = (a q) nt/q = b n, ამიტომ log a q b n = (n*t)/t, მაშინ log a q b n = n/q log a b. თეორემა დადასტურდა.

პრობლემებისა და უთანასწორობის მაგალითები

ლოგარითმებზე ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის განტოლებებისა და უტოლობების მაგალითები. ისინი გვხვდება თითქმის ყველა პრობლემურ წიგნში და ასევე არის მათემატიკის გამოცდების აუცილებელი ნაწილი. უნივერსიტეტში ჩაბარებისთვის ან ჩაბარებისთვის მისაღები გამოცდებიმათემატიკაში თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ გადაჭრათ ასეთი ამოცანები სწორად.

სამწუხაროდ, არ არსებობს ერთიანი გეგმა ან სქემა ლოგარითმის უცნობი მნიშვნელობის ამოხსნისა და განსაზღვრისთვის, მაგრამ გარკვეული წესები შეიძლება გამოყენებულ იქნას თითოეულ მათემატიკური უტოლობის ან ლოგარითმული განტოლებისთვის. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, შეიძლება თუ არა გამოხატვის გამარტივება ან გამოიწვიოს იერი. თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ გრძელი ლოგარითმული გამონათქვამები, თუ სწორად გამოიყენებთ მათ თვისებებს. მოდით გავეცნოთ მათ სწრაფად.

ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას უნდა განვსაზღვროთ რა ტიპის ლოგარითმი გვაქვს: მაგალითის გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს ბუნებრივ ლოგარითმს ან ათობითი.

აქ არის მაგალითები ln100, ln1026. მათი გამოსავალი ემყარება იმ ფაქტს, რომ მათ უნდა დაადგინონ სიმძლავრე, რომლის ფუძე 10 ტოლი იქნება, შესაბამისად, 100 და 1026. ბუნებრივი ლოგარითმების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლოგარითმული იდენტობები ან მათი თვისებები. მოდით შევხედოთ სხვადასხვა ტიპის ლოგარითმული ამოცანების ამოხსნის მაგალითებს.

როგორ გამოვიყენოთ ლოგარითმის ფორმულები: მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით

ასე რომ, მოდით შევხედოთ ლოგარითმების შესახებ ძირითადი თეორემების გამოყენების მაგალითებს.

1. პროდუქტის ლოგარითმის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანებში, სადაც საჭიროა გაფართოება დიდი მნიშვნელობარიცხვები b მარტივ ფაქტორებად. მაგალითად, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. პასუხი არის 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - როგორც ხედავთ, ლოგარითმის სიმძლავრის მეოთხე თვისების გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ ერთი შეხედვით რთული და ამოუხსნელი გამოსახულების ამოხსნა. თქვენ უბრალოდ უნდა შეაფასოთ საფუძველი და შემდეგ ამოიღოთ მაჩვენებლების მნიშვნელობები ლოგარითმის ნიშნიდან.

დავალებები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან

ლოგარითმები ხშირად გვხვდება მისაღებ გამოცდებში, განსაკუთრებით ბევრი ლოგარითმული პრობლემა ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში (სახელმწიფო გამოცდა სკოლის ყველა კურსდამთავრებულისთვის). როგორც წესი, ეს ამოცანები წარმოდგენილია არა მხოლოდ A ნაწილში (გამოცდის ყველაზე მარტივი ტესტი), არამედ C ნაწილში (ყველაზე რთული და მოცულობითი ამოცანები). გამოცდა მოითხოვს ზუსტ და სრულყოფილ ცოდნას თემის „ბუნებრივი ლოგარითმები“.

მაგალითები და პრობლემების გადაწყვეტა აღებულია ოფიციალური პირებისგან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ვარიანტები. ვნახოთ, როგორ წყდება ასეთი ამოცანები.

მოცემული ჟურნალი 2 (2x-1) = 4. ამოხსნა:
მოდით გადავიწეროთ გამონათქვამი, გავამარტივოთ იგი ცოტა log 2 (2x-1) = 2 2, ლოგარითმის განმარტებით მივიღებთ, რომ 2x-1 = 2 4, შესაბამისად 2x = 17; x = 8.5.

• უმჯობესია, ყველა ლოგარითმი ერთსა და იმავე ფუძეზე შევიყვანოთ, რათა გამოსავალი არ იყოს რთული და დამაბნეველი.
• ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამონათქვამი მითითებულია, როგორც დადებითი, ამიტომ, როდესაც გამოხატვის გამოხატულება, რომელიც არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მისი ფუძე ამოღებულია მულტიპლიკატორად, ლოგარითმის ქვეშ დარჩენილი გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი.

b დადებითი რიცხვის ლოგარითმი a საფუძველზე (a>0, a არ არის 1-ის ტოლი) არის c რიცხვი, რომ a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

გაითვალისწინეთ, რომ არაპოზიტიური რიცხვის ლოგარითმი განუსაზღვრელია. გარდა ამისა, ლოგარითმის ფუძე უნდა იყოს დადებითი რიცხვი, რომელიც არ არის 1-ის ტოლი. მაგალითად, თუ კვადრატში -2 მივიღებთ რიცხვს 4, მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ ლოგარითმი -2-ის ფუძეზე 4-დან. უდრის 2-ს.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

მნიშვნელოვანია, რომ ამ ფორმულის მარჯვენა და მარცხენა მხარის განსაზღვრის ფარგლები განსხვავებული იყოს. Მარცხენა მხარეგანსაზღვრულია მხოლოდ b>0, a>0 და a ≠ 1-ისთვის. მარჯვენა მხარე განსაზღვრულია ნებისმიერი b-ისთვის და საერთოდ არ არის დამოკიდებული a-ზე. ამრიგად, ძირითადი ლოგარითმული „იდენტობის“ გამოყენება განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას შეიძლება გამოიწვიოს OD-ის ცვლილება.

ლოგარითმის განმარტების ორი აშკარა შედეგი

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
შესვლა a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

მართლაც, a რიცხვის პირველ ხარისხზე აყვანისას ვიღებთ იგივე რიცხვს, ხოლო ნულოვან ხარისხზე აყვანისას ვიღებთ ერთს.

ნამრავლის ლოგარითმი და კოეფიციენტის ლოგარითმი

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

მინდა გავაფრთხილო სკოლის მოსწავლეები, არ გამოიყენონ ეს ფორმულები დაუფიქრებლად ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. მათი გამოყენებისას „მარცხნიდან მარჯვნივ“, ODZ ვიწროვდება, ხოლო ლოგარითმების ჯამიდან ან სხვაობიდან პროდუქტის ან კოეფიციენტის ლოგარითმზე გადასვლისას, ODZ ფართოვდება.

მართლაც, გამოთქმა log a (f (x) g (x)) განისაზღვრება ორ შემთხვევაში: როდესაც ორივე ფუნქცია მკაცრად დადებითია ან როდესაც f(x) და g(x) ორივე ნულზე ნაკლებია.

ამ გამოთქმის ჯამად log a f (x) + log a g (x) გარდაქმნით, იძულებული ვართ შემოვიფარგლოთ მხოლოდ იმ შემთხვევით, როდესაც f(x)>0 და g(x)>0. არსებობს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის შევიწროება და ეს კატეგორიულად მიუღებელია, ვინაიდან ამან შეიძლება გამოიწვიოს გადაწყვეტილებების დაკარგვა. ანალოგიური პრობლემა არსებობს ფორმულისთვის (6).

ხარისხი შეიძლება ამოღებულ იქნას ლოგარითმის ნიშნიდან

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

და კიდევ ერთხელ მინდა მოვუწოდო სიზუსტეს. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

ტოლობის მარცხენა მხარე აშკარად არის განსაზღვრული f(x)-ის ყველა მნიშვნელობისთვის ნულის გარდა. მარჯვენა მხარე არის მხოლოდ f(x)>0! ლოგარითმიდან ხარისხის ამოღებით, ჩვენ კვლავ ვიწროვებთ ODZ-ს. საპირისპირო პროცედურა იწვევს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის გაფართოებას. ყველა ეს შენიშვნა ეხება არა მხოლოდ ძალა 2-ს, არამედ ნებისმიერ თანაბარ ძალას.

ახალ ფონდში გადასვლის ფორმულა

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

ის იშვიათი შემთხვევა, როდესაც ODZ არ იცვლება ტრანსფორმაციის დროს. თუ თქვენ გონივრულად შეარჩიეთ ბაზა c (დადებითი და არა 1-ის ტოლი), ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა სრულიად უსაფრთხოა.

თუ ახალ c ფუძედ ვირჩევთ b რიცხვს, მივიღებთ მნიშვნელოვანს განსაკუთრებული შემთხვევაფორმულები (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

რამდენიმე მარტივი მაგალითი ლოგარითმებით

მაგალითი 1. გამოთვალეთ: log2 + log50.
გამოსავალი. log2 + log50 = log100 = 2. ჩვენ გამოვიყენეთ ლოგარითმების ჯამი ფორმულა (5) და ათობითი ლოგარითმის განმარტება.

მაგალითი 2. გამოთვალეთ: lg125/lg5.
გამოსავალი. log125/log5 = log 5 125 = 3. ჩვენ გამოვიყენეთ ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა (8).

ლოგარითმებთან დაკავშირებული ფორმულების ცხრილი

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

შესვლა a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

მოცემულია ლოგარითმის ძირითადი თვისებები, ლოგარითმის გრაფიკი, განსაზღვრების დომენი, მნიშვნელობების სიმრავლე, ძირითადი ფორმულები, მატება და კლება. განიხილება ლოგარითმის წარმოებულის პოვნა. ისევე როგორც ინტეგრალური, სიმძლავრის სერიის გაფართოება და წარმოდგენა რთული რიცხვების გამოყენებით.

ლოგარითმის განმარტება

ლოგარითმი ფუძით aარის y-ის ფუნქცია (x) = log a x, შებრუნებული ექსპონენციალური ფუნქციის ფუძით a: x (y) = a y.

ათწილადი ლოგარითმიარის რიცხვის ფუძის ლოგარითმი 10 : ჟურნალი x ≡ ჟურნალი 10 x.

ბუნებრივი ლოგარითმიარის ლოგარითმი e-ის ფუძის მიმართ: ln x ≡ ჟურნალი e x.

2,718281828459045... ;
.

ლოგარითმის გრაფიკი მიიღება ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკიდან y = x სწორი ხაზის მიმართ მისი არეკვით. მარცხნივ არის y ფუნქციის გრაფიკები (x) = log a xოთხი ღირებულებისთვის ლოგარითმის საფუძვლები: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 და a = 1/8 . გრაფიკი აჩვენებს, რომ როდესაც > 1 ლოგარითმი მონოტონურად იზრდება. x იზრდება, ზრდა მნიშვნელოვნად შენელდება. ზე 0 < a < 1 ლოგარითმი მონოტონურად მცირდება.

ლოგარითმის თვისებები

დომენი, მნიშვნელობების ნაკრები, მზარდი, კლებადი

ლოგარითმი მონოტონური ფუნქციაა, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები. ლოგარითმის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში.

დომენი	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
ღირებულებების დიაპაზონი	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
მონოტონური	მონოტონურად იზრდება	მონოტონურად მცირდება
ნულები, y = 0	x = 1	x = 1
კვეთის წერტილები ორდინატთა ღერძით, x = 0	არა	არა
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

პირადი ღირებულებები

მე-10 ბაზის ლოგარითმი ეწოდება ათობითი ლოგარითმიდა აღინიშნება შემდეგნაირად:

ლოგარითმი ბაზამდე ედაურეკა ბუნებრივი ლოგარითმი :

ლოგარითმების ძირითადი ფორმულები

შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრებიდან გამომდინარე ლოგარითმის თვისებები:

ლოგარითმების ძირითადი თვისება და მისი შედეგები

ბაზის შეცვლის ფორმულა

ლოგარითმიარის ლოგარითმის აღების მათემატიკური ოპერაცია. ლოგარითმების აღებისას ფაქტორების ნამრავლი გარდაიქმნება ტერმინთა ჯამებად.

გაძლიერებაარის ლოგარითმის შებრუნებული მათემატიკური მოქმედება. პოტენციაციის დროს მოცემული ბაზა ამაღლებულია გამოხატვის ხარისხამდე, რომელზედაც ხდება პოტენციაცია. ამ შემთხვევაში ტერმინების ჯამები გარდაიქმნება ფაქტორების პროდუქტებად.

ლოგარითმების ძირითადი ფორმულების დადასტურება

ლოგარითმებთან დაკავშირებული ფორმულები გამომდინარეობს ექსპონენციალური ფუნქციების ფორმულებიდან და შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრებიდან.

განვიხილოთ ექსპონენციალური ფუნქციის თვისება
.
მერე
.
გამოვიყენოთ ექსპონენციალური ფუნქციის თვისება
:
.

მოდით დავამტკიცოთ ბაზის ჩანაცვლების ფორმულა.
;
.
თუ დავუშვებთ c = b, გვაქვს:

ინვერსიული ფუნქცია

ლოგარითმის შებრუნება a-ს ბაზაზე არის ექსპონენციალური ფუნქცია a მაჩვენებლით.

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ

ლოგარითმის წარმოებული

x მოდულის ლოგარითმის წარმოებული:
.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა >>>

ლოგარითმის წარმოებული რომ ვიპოვოთ, ის უნდა დაიყვანოთ ფუძემდე ე.
;
.

ინტეგრალური

ლოგარითმის ინტეგრალი გამოითვლება ნაწილებით ინტეგრირებით: .
Ისე,

გამოთქმები რთული რიცხვების გამოყენებით

განვიხილოთ კომპლექსური რიცხვების ფუნქცია ზ:
.
გამოვხატოთ რთული რიცხვი ზმოდულის საშუალებით რდა არგუმენტი φ :
.
შემდეგ, ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით, გვაქვს:
.
ან

თუმცა, არგუმენტი φ არ არის ცალსახად განსაზღვრული. თუ დააყენებთ
, სადაც n არის მთელი რიცხვი,
მაშინ ეს იქნება იგივე რიცხვი სხვადასხვასთვის ნ.

ამრიგად, ლოგარითმი, როგორც რთული ცვლადის ფუნქცია, არ არის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია.

დენის სერიის გაფართოება

როდესაც გაფართოება ხდება:

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.

გამომდინარეობს მისი განმარტებიდან. ასე რომ, რიცხვის ლოგარითმი ბდაფუძნებული აგანისაზღვრება, როგორც მაჩვენებელი, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).

ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x=log a b, უდრის განტოლების ამოხსნას a x =b.Მაგალითად, ჟურნალი 2 8 = 3რადგან 8 = 2 3 . ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბდაფუძნებული აუდრის თან. ასევე ნათელია, რომ ლოგარითმების თემა მჭიდრო კავშირშია რიცხვის ხარისხების თემასთან.

ლოგარითმებით, როგორც ნებისმიერი რიცხვით, შეგიძლიათ ამის გაკეთება შეკრების, გამოკლების ოპერაციებიდა გარდაიქმნება ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ იმის გამო, რომ ლოგარითმები არ არის სრულიად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ მოქმედებს მათი სპეციალური წესები, რომლებიც ე.წ. ძირითადი თვისებები.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება.

ავიღოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძეებით: შესვლა xდა შესვლა y. შემდეგ შესაძლებელია შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციების შესრულება:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ჟურნალი ა(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = შესვლა x 1 + შესვლა x 2 + შესვლა x 3 + ... + log a x k.

დან ლოგარითმის კოეფიციენტის თეორემაშეიძლება მივიღოთ ლოგარითმის კიდევ ერთი თვისება. საყოველთაოდ ცნობილია, რომ ჟურნალი ა 1 = 0, შესაბამისად

ჟურნალი ა 1 /ბ= ჟურნალი ა 1 - ჟურნალი ბ= - ჟურნალი ბ.

ეს ნიშნავს, რომ არსებობს თანასწორობა:

log a 1 / b = - log a b.

ორი საპასუხო რიცხვის ლოგარითმებიამავე მიზეზით განსხვავდებიან ერთმანეთისაგან მხოლოდ ნიშნით. Ისე:

ჟურნალი 3 9= - ჟურნალი 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.