$f(x)$ უწყვეტი არაუარყოფითი ფუნქციის გრაფიკით შემოსაზღვრული ფიგურა $$ სეგმენტზე და $y=0, \ x=a$ და $x=b$ წრფეებზე მრუდი ტრაპეცია ეწოდება.
შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
ჩვენ პირობითად დავყოფთ პრობლემებს, რათა ვიპოვოთ მრუდი ტრაპეციის ფართობი $4$ ტიპებად. მოდით შევხედოთ თითოეულ ტიპს უფრო დეტალურად.
ტიპი I: მრუდი ტრაპეცია ცალსახად არის მითითებული.შემდეგ დაუყოვნებლივ გამოიყენეთ ფორმულა (*).
მაგალითად, იპოვეთ მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება $y=4-(x-2)^(2)$ ფუნქციის გრაფიკით და $y=0, \ x=1$ და $x ხაზებით. = 3$.
დავხატოთ ეს მოხრილი ტრაპეცია.
ფორმულის გამოყენებით (*), ჩვენ ვპოულობთ ამ მრუდი ტრაპეციის ფართობს.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \მარცხნივ.\frac((x-2)^(3) )(3)\მარჯვნივ|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\მარჯვნივ)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\მარჯვნივ) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (ერთეული$^(2)$).
ტიპი II: მრუდი ტრაპეცია მითითებულია იმპლიციტურად.ამ შემთხვევაში, სწორი ხაზები $x=a, \ x=b$ ჩვეულებრივ არ არის მითითებული ან ნაწილობრივ მითითებული. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა იპოვოთ $y=f(x)$ და $y=0$ ფუნქციების გადაკვეთის წერტილები. ეს ქულები იქნება $a$ და $b$.
მაგალითად, იპოვეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია $y=1-x^(2)$ და $y=0$ ფუნქციების გრაფიკებით.
მოდი ვიპოვოთ გადაკვეთის წერტილები. ამისათვის ჩვენ ვაიგივებთ ფუნქციების მარჯვენა მხარეს.
ამრიგად, $a=-1$ და $b=1$. დავხატოთ ეს მოხრილი ტრაპეცია.
მოდით ვიპოვოთ ამ მოხრილი ტრაპეციის ფართობი.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \მარცხნივ.\frac(x^(3))(3)\მარჯვნივ|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\მარჯვნივ)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (ერთეული$^(2)$).
ტიპი III: ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება ორი უწყვეტი არაუარყოფითი ფუნქციის კვეთით.ეს ფიგურა არ იქნება მრუდი ტრაპეცია, რაც ნიშნავს, რომ მისი ფართობის გამოთვლა შეუძლებელია ფორმულის გამოყენებით (*). Როგორ უნდა იყოს?გამოდის, რომ ამ ფიგურის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს, როგორც სხვაობა მრუდი ტრაპეციის არეებს შორის, რომლებიც შემოსაზღვრულია ზედა ფუნქციით და $y=0$ ($S_(uf)$), და ქვედა ფუნქციადა $y=0$ ($S_(lf)$), სადაც $x=a, \ x=b$-ის როლს ასრულებს ამ ფუნქციების გადაკვეთის წერტილების $x$ კოორდინატები, ე.ი.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
ასეთი უბნების გაანგარიშებისას ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ არ "გამოტოვოთ" ზედა და ქვედა ფუნქციების არჩევისას.
მაგალითად, იპოვეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია $y=x^(2)$ და $y=x+6$ ფუნქციებით.
მოდი ვიპოვოთ ამ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები:
ვიეტას თეორემის მიხედვით,
$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$
ანუ $a=-2,\b=3$. მოდით დავხატოთ ფიგურა:
ამრიგად, ზედა ფუნქცია არის $y=x+6$, ხოლო ქვედა ფუნქცია არის $y=x^(2)$. შემდეგი, ჩვენ ვიპოვით $S_(uf)$ და $S_(lf)$ ფორმულის გამოყენებით (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\მარცხნივ.\frac(x^(2))(2)\მარჯვნივ|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (ერთეული$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\მარცხნივ.\frac(x^(3))(3)\მარჯვნივ|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (ერთეული$^(2)$).
მოდით შევცვალოთ ის, რაც აღმოვაჩინეთ (**) და მივიღოთ:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (ერთეული$^(2)$).
ტიპი IV: ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება ფუნქცი(ებ)ით, რომელიც არ აკმაყოფილებს არაუარყოფითობის პირობას.იმისათვის, რომ იპოვოთ ასეთი ფიგურის ფართობი, თქვენ უნდა იყოთ სიმეტრიული $Ox$ ღერძის მიმართ ( სხვა სიტყვებით,დააყენეთ „მინუსები“ ფუნქციების წინ) აჩვენეთ ფართობი და I – III ტიპებში ასახული მეთოდების გამოყენებით იპოვეთ ნაჩვენები არეალის ფართობი. ეს ტერიტორია იქნება საჭირო ფართობი. პირველ რიგში, შეიძლება დაგჭირდეთ ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების პოვნა.
მაგალითად, იპოვეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია $y=x^(2)-1$ და $y=0$ ფუნქციების გრაფიკებით.
ვიპოვოთ ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები:
იმათ. $a=-1$ და $b=1$. დავხატოთ ფართობი.
მოდით გამოვხატოთ ფართობი სიმეტრიულად:
$y=0 \ \მარჯვენა ისარი \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \მარჯვენა ისარი \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
შედეგი არის მრუდი ტრაპეცია, რომელიც შემოსაზღვრულია $y=1-x^(2)$ და $y=0$ ფუნქციის გრაფიკით. ეს არის მეორე ტიპის მოხრილი ტრაპეციის პოვნის პრობლემა. ჩვენ უკვე მოვაგვარეთ. პასუხი იყო: $S= 1\frac(1)(3)$ (ერთეული $^(2)$). ეს ნიშნავს, რომ საჭირო მრუდი ტრაპეციის ფართობი უდრის:
$S=1\frac(1)(3)$ (ერთეული$^(2)$).
მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის განსაზღვრულ ინტეგრალს
ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა. კლასში ვთქვი, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი. და ახლა დროა განვაცხადო კიდევ ერთი სასარგებლო ფაქტი. გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA.
ანუ განსაზღვრული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება გარკვეული ფიგურის ფართობს. მაგალითად, განიხილეთ განსაზღვრული ინტეგრალი. ინტეგრანტი განსაზღვრავს გარკვეულ მრუდს სიბრტყეზე (სურვილის შემთხვევაში მისი დახატვა ყოველთვის შესაძლებელია), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხობრივად. ფართობის ტოლიშესაბამისი მოხრილი ტრაპეცია.
მაგალითი 1
ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი მომენტიგადაწყვეტილებები - ნახატი. უფრო მეტიც, ნახაზი უნდა იყოს აგებული უფლება.
ნახატის აგებისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: პირველადუმჯობესია ავაშენოთ ყველა სწორი ხაზი (თუ ისინი არსებობს) და მხოლოდ მერე– პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. უფრო მომგებიანია ფუნქციების გრაფიკების აგება წერტილი-პუნქტი, წერტილი-პუნქტის მშენებლობის ტექნიკა შეგიძლიათ იხილოთ საცნობარო მასალაში.
აქ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ძალიან სასარგებლო მასალა ჩვენი გაკვეთილისთვის - როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა.
ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.
მოდით დავხატოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება განსაზღვრავს ღერძს):
მოხრილ ტრაპეციას არ დავჩრდილავ, აქ აშკარაა, რომელ არეალზეა საუბარი. გამოსავალი ასე გრძელდება:
სეგმენტზე განთავსებულია ფუნქციის გრაფიკი ღერძის ზემოთ, Ამიტომაც:
პასუხი:
ვისაც უჭირს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება 
, იხილეთ ლექცია განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები.
დავალების დასრულების შემდეგ, ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. IN ამ შემთხვევაში"თვალით" ჩვენ ვითვლით ნახატში უჯრედების რაოდენობას - კარგად, დაახლოებით 9 იქნება, როგორც ჩანს, მართალია. აბსოლუტურად გასაგებია, რომ თუ მივიღეთ, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ აშკარაა, რომ სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითია, მაშინ დავალებაც არასწორად გადაწყდა.
მაგალითი 2
გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, ღერძებით
ეს არის მაგალითი ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.
რა უნდა გააკეთოს, თუ მოხრილი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ?
მაგალითი 3
გამოთვალეთ ხაზებითა და კოორდინატთა ღერძებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.
გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი: 
თუ მოხრილი ტრაპეცია მთლიანად მდებარეობს ღერძის ქვეშ, მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:
Ამ შემთხვევაში: 
ყურადღება! ორი ტიპის დავალება არ უნდა იყოს აღრეული:
1) თუ გთხოვენ ამოხსნათ უბრალოდ განსაზღვრული ინტეგრალი ყოველგვარის გარეშე გეომეტრიული მნიშვნელობა, მაშინ ეს შეიძლება იყოს უარყოფითი.
2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.
პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევრად სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.
მაგალითი 4
იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, .
გამოსავალი: ჯერ უნდა გააკეთოთ ნახატი. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლისა და სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი მეთოდი არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:
ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი არის, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი არის.
თუ ეს შესაძლებელია, უმჯობესია არ გამოიყენოთ ეს მეთოდი.
გაცილებით მომგებიანი და სწრაფია ხაზების აგება წერტილი-პუნქტით და ინტეგრაციის საზღვრები ცხადი ხდება „თვითონ“. დახმარებაში დეტალურად არის განხილული სხვადასხვა გრაფიკის წერტილი-პუნქტის აგების ტექნიკა გრაფიკები და თვისებები ელემენტარული ფუნქციები . მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი მაინც ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან დეტალური კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადი ან ირაციონალური). და ჩვენ ასევე განვიხილავთ ასეთ მაგალითს.
დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით გავაკეთოთ ნახატი: 
ვიმეორებ, რომ წერტილის აგებისას, ინტეგრაციის საზღვრები ყველაზე ხშირად „ავტომატურად“ ირკვევა.
ახლა კი სამუშაო ფორმულა:თუ სეგმენტზე არის რაიმე უწყვეტი ფუნქცია მეტი ან ტოლიზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია, მაშინ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:
აქ აღარ გჭირდებათ ფიქრი იმაზე, თუ სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ და, უხეშად რომ ვთქვათ, მნიშვნელობა აქვს რომელი გრაფიკია უფრო მაღალი(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.
განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, აუცილებელია გამოკლება
დასრულებული გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:
სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით ზემოთ და სწორი ხაზით ქვემოთ.
სეგმენტზე, შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:
პასუხი:
სინამდვილეში, სკოლის ფორმულა მრუდი ტრაპეციის ფართობის ქვედა ნახევარ სიბრტყეში (იხ. მარტივი მაგალითი No3) არის განსაკუთრებული შემთხვევაფორმულები 
. ვინაიდან ღერძი მითითებულია განტოლებით და ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს ღერძის ქვემოთ, მაშინ 
ახლა კი რამდენიმე მაგალითი საკუთარი გადაწყვეტისთვის
მაგალითი 5
მაგალითი 6
იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი, .
განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით ფართობის გამოთვლასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრისას, ზოგჯერ ხდება სასაცილო ინციდენტი. ნახატი სწორად იყო შესრულებული, გათვლები გამართული, მაგრამ დაუდევრობის გამო... ნაპოვნია არასწორი ფიგურის ფართობი, ზუსტად ასე გაფუჭდა რამდენჯერმე შენმა თავმდაბალმა მსახურმა. Აქ რეალური შემთხვევაცხოვრებიდან:
მაგალითი 7
გამოთვალეთ , , , ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.
ჯერ დავხატოთ ნახატი: 
ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად არის დაჩრდილული(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ხშირად ჩნდება, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც დაჩრდილულია. მწვანე!
ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა იმით, რომ ითვლის ფიგურის ფართობს ორი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. ნამდვილად:
1) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის სწორი ხაზის გრაფიკი;
2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის ჰიპერბოლის გრაფიკი.
აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:
პასუხი:
მაგალითი 8
გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი,
წარმოვადგინოთ განტოლებები „სასკოლო“ სახით და გავაკეთოთ ნახატი წერტილი-წერტილზე: 
ნახატიდან ირკვევა, რომ ჩვენი ზედა ზღვარი არის „კარგი“: .
მაგრამ რა არის ქვედა ზღვარი?! გასაგებია, რომ ეს არ არის მთელი რიცხვი, მაგრამ რა არის? Შესაძლოა ? მაგრამ სად არის გარანტია, რომ ნახატი შესრულებულია სრულყოფილი სიზუსტით, შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ... ან ფესვი. რა მოხდება, თუ გრაფიკი არასწორად ავაშენეთ?
ასეთ შემთხვევებში თქვენ მოგიწევთ დამატებითი დრო დახარჯოთ და ინტეგრაციის საზღვრები ანალიტიკურად დაზუსტოთ.
ვიპოვოთ სწორი ხაზისა და პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები.
ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას: 
აქედან გამომდინარე,.
შემდგომი გამოსავალი ტრივიალურია, მთავარია არ აირიოთ ჩანაცვლებებსა და ნიშნებში; აქ გამოთვლები არ არის უმარტივესი.
სეგმენტზე 
შესაბამისი ფორმულის მიხედვით: 
პასუხი: 
კარგად, გაკვეთილის დასასრულებლად, მოდით შევხედოთ კიდევ ორ რთულ ამოცანას.
მაგალითი 9
გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი,
გამოსავალი: მოდით გამოვსახოთ ეს ფიგურა ნახატზე. 
წერტილი-წერტილი ნახაზის დასახატად საჭიროა იცოდეთ გარეგნობასინუსოიდები (და ზოგადად სასარგებლოა იცოდეთ ყველა ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკები), ისევე როგორც ზოგიერთი სინუსური მნიშვნელობები, ისინი შეიძლება მოიძებნოს ტრიგონომეტრიული ცხრილი. ზოგიერთ შემთხვევაში (როგორც ამ შემთხვევაში), შესაძლებელია სქემატური ნახაზის აგება, რომელზედაც ძირეულად სწორად უნდა იყოს ნაჩვენები გრაფიკები და ინტეგრაციის საზღვრები.
აქ ინტეგრაციის საზღვრებთან არანაირი პრობლემა არ არის, ისინი პირდაპირ გამომდინარეობენ მდგომარეობიდან: „x“ იცვლება ნულიდან „pi“. მოდით მივიღოთ შემდგომი გადაწყვეტილება:
სეგმენტზე ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს ღერძის ზემოთ, შესაბამისად:
(1) გაკვეთილზე შეგიძლიათ ნახოთ, როგორ არის ინტეგრირებული სინუსები და კოსინუსები კენტ ძალებში ინტეგრალები-დან ტრიგონომეტრიული ფუნქციები . ეს ტიპიური ტექნიკაა, ჩვენ ვჭრით ერთ სინუსს.
(2) გამოიყენეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობაროგორც 
(3) შევცვალოთ ცვლადი, შემდეგ:
ინტეგრაციის ახალი სფეროები:
ვინც ნამდვილად ცუდად არის ჩანაცვლებით, გთხოვთ, გაიაროთ გაკვეთილი. ჩანაცვლების მეთოდი ში განუსაზღვრელი ინტეგრალი . მათთვის, ვისაც ბოლომდე არ ესმის ჩანაცვლების ალგორითმი განსაზღვრულ ინტეგრალში, ეწვიეთ გვერდს განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები.
ამ სტატიაში თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა იპოვოთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენებით. პირველად ვხვდებით ასეთი პრობლემის ფორმულირებას უმაღლეს სკოლაში, როცა ახლახან დავასრულეთ განსაზღვრული ინტეგრალების შესწავლა და დროა დავიწყოთ მიღებული ცოდნის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია პრაქტიკაში.
ასე რომ, რა არის საჭირო ინტეგრალების გამოყენებით ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის წარმატებით გადასაჭრელად:
- კომპეტენტური ნახატების გაკეთების უნარი;
- განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით ამოხსნის უნარი ცნობილი ფორმულანიუტონ-ლაიბნიცი;
- უფრო მომგებიანი გადაწყვეტის ვარიანტის „ნახვის“ შესაძლებლობა - ე.ი. გესმით, როგორ იქნება უფრო მოსახერხებელი ინტეგრაციის განხორციელება ამა თუ იმ შემთხვევაში? x-ღერძის გასწვრივ (OX) თუ y-ღერძი (OY)?
- კარგად, სად ვიქნებოდით სწორი გამოთვლების გარეშე?) ეს მოიცავს იმის გაგებას, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ სხვა ტიპის ინტეგრალები და სწორი რიცხვითი გამოთვლები.
ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობის გამოთვლის პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი:
1. ჩვენ ვაკეთებთ ნახატს. მიზანშეწონილია ამის გაკეთება ქაღალდის ფურცელზე, დიდი მასშტაბით. ჩვენ ვაწერთ ხელს ამ ფუნქციის სახელს ფანქრით თითოეული გრაფიკის ზემოთ. გრაფიკების ხელმოწერა ხდება მხოლოდ შემდგომი გამოთვლების მოხერხებულობისთვის. სასურველი ფიგურის გრაფიკის მიღების შემდეგ, უმეტეს შემთხვევაში, მაშინვე გაირკვევა, ინტეგრაციის რომელი საზღვრები იქნება გამოყენებული. ამრიგად, ჩვენ პრობლემას გრაფიკულად ვხსნით. თუმცა, ეს ხდება, რომ საზღვრების მნიშვნელობები არის წილადი ან ირაციონალური. ამიტომ, შეგიძლიათ გააკეთოთ დამატებითი გამოთვლები, გადადით მეორე ეტაპზე.
2. თუ ინტეგრაციის საზღვრები ცალსახად არ არის მითითებული, მაშინ ვპოულობთ გრაფიკების ერთმანეთთან გადაკვეთის წერტილებს და ვნახავთ თუ არა ჩვენი გრაფიკული გადაწყვეტაანალიტიკურთან ერთად.
3. შემდეგი, თქვენ უნდა გააანალიზოთ ნახაზი. იმისდა მიხედვით, თუ როგორ არის მოწყობილი ფუნქციის გრაფიკები, არსებობს სხვადასხვა მიდგომა ფიგურის ფართობის მოსაძებნად. განვიხილოთ სხვადასხვა მაგალითებიინტეგრალის გამოყენებით ფიგურის ფართობის პოვნაზე.
3.1. პრობლემის ყველაზე კლასიკური და მარტივი ვერსია არის ის, როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ მოსახვევი ტრაპეციის ფართობი. რა არის მოხრილი ტრაპეცია? ეს არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოიფარგლება x-ღერძით (y = 0), სწორი x = a, x = bდა ნებისმიერი მრუდი უწყვეტი ინტერვალზე აადრე ბ. უფრო მეტიც, ეს მაჩვენებელი არაუარყოფითია და მდებარეობს არა x ღერძის ქვემოთ. ამ შემთხვევაში, მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის გარკვეულ ინტეგრალს, რომელიც გამოითვლება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით:
მაგალითი 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
რა ხაზებით არის შემოსაზღვრული ფიგურა? ჩვენ გვაქვს პარაბოლა y = x2 – 3x + 3, რომელიც მდებარეობს ღერძის ზემოთ ოჰ, არაუარყოფითია, რადგან ამ პარაბოლის ყველა წერტილს აქვს დადებითი მნიშვნელობები. შემდეგი, მოცემულია სწორი ხაზები x = 1და x = 3, რომლებიც გადიან ღერძის პარალელურად OU, არის ფიგურის სასაზღვრო ხაზები მარცხნივ და მარჯვნივ. კარგად y = 0ეს არის ასევე x ღერძი, რომელიც ზღუდავს ფიგურას ქვემოდან. შედეგად მიღებული ფიგურა დაჩრდილულია, როგორც ჩანს მარცხენა ფიგურიდან. ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ დაიწყოთ პრობლემის მოგვარება. ჩვენს წინაშეა მრუდი ტრაპეციის მარტივი მაგალითი, რომელსაც შემდეგ ვხსნით ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით.
3.2. წინა 3.1 პარაგრაფში ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევა, როდესაც მოხრილი ტრაპეცია მდებარეობს x ღერძის ზემოთ. ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც პრობლემის პირობები იგივეა, გარდა იმისა, რომ ფუნქცია x-ღერძის ქვეშ დევს. ნიუტონ-ლაიბნიცის სტანდარტულ ფორმულას ემატება მინუსი. როგორ მოვაგვაროთ ასეთი პრობლემა ქვემოთ განვიხილავთ.
მაგალითი 2 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
ამ მაგალითში გვაქვს პარაბოლა y = x2 + 6x + 2, რომელიც სათავეს იღებს ღერძიდან ოჰ, სწორი x = -4, x = -1, y = 0. Აქ y = 0ზღუდავს სასურველ ფიგურას ზემოდან. პირდაპირი x = -4და x = -1ეს ის საზღვრებია, რომლებშიც გამოითვლება განსაზღვრული ინტეგრალი. ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის გადაჭრის პრინციპი თითქმის მთლიანად ემთხვევა მაგალითს 1. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ მოცემული ფუნქცია არ არის დადებითი და ასევე უწყვეტია ინტერვალზე. [-4; -1] . რას გულისხმობ არადადებითი? როგორც ნახატიდან ჩანს, მოცემულ x-ებში მოცემულ ფიგურას აქვს ექსკლუზიურად „უარყოფითი“ კოორდინატები, რაც უნდა დავინახოთ და დავიმახსოვროთ პრობლემის გადაჭრისას. ჩვენ ვეძებთ ფიგურის ფართობს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით, მხოლოდ დასაწყისში მინუს ნიშნით.
სტატია არ არის დასრულებული.
მაგალითი 1 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 და x = 2
ავაშენოთ ფიგურა (იხ. სურათი) ვაშენებთ სწორ ხაზს x + 2y – 4 = 0 ორი A(4;0) და B(0;2) წერტილის გამოყენებით. გამოვხატავთ y-ს x-ით, მივიღებთ y = -0.5x + 2. (1) ფორმულის გამოყენებით, სადაც f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, ვპოულობთ
S = = [-0,25=11,25 კვ. ერთეულები
მაგალითი 2. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 და y = 0.
გამოსავალი. მოდით ავაშენოთ ფიგურა.
ავაშენოთ სწორი ხაზი x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
ავაშენოთ სწორი ხაზი x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
ვიპოვოთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
საჭირო ფართობის გამოსათვლელად AMC სამკუთხედს ვყოფთ ორ სამკუთხედად AMN და NMC, რადგან როდესაც x იცვლება A-დან N-მდე, ფართობი შემოიფარგლება სწორი ხაზით, ხოლო როდესაც x იცვლება N-დან C-მდე - სწორი ხაზით.
სამკუთხედისთვის AMN გვაქვს: ; y = 0.5x + 2, ანუ f(x) = 0.5x + 2, a = - 4, b = 2.
სამკუთხედისთვის NMC გვაქვს: y = - x + 5, ანუ f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
თითოეული სამკუთხედის ფართობის გამოთვლით და შედეგების მიმატებით, ვპოულობთ:
კვ. ერთეულები
კვ. ერთეულები
9 + 4, 5 = 13,5 კვ. ერთეულები შემოწმება: = 0,5AC = 0,5 კვ. ერთეულები
მაგალითი 3. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოსახვევი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც ესაზღვრება პარაბოლას y = x. 2 სწორი ხაზები x = 2 და x = 3 და Ox ღერძი (იხ. სურათი) ფორმულის გამოყენებით (1) ვპოულობთ მრუდი ტრაპეციის ფართობს
= = 6 კვ. ერთეულები
მაგალითი 4. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y = - x 2 + 4 და y = 0
მოდით ავაშენოთ ფიგურა. საჭირო ფართობი მოთავსებულია პარაბოლას შორის y = - x 2 + 4 და ხარის ღერძი.
ვიპოვოთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები Ox-ის ღერძთან. თუ ვივარაუდებთ y = 0, ჩვენ ვპოულობთ x = ვინაიდან ეს ფიგურა სიმეტრიულია Oy ღერძის მიმართ, ჩვენ ვიანგარიშებთ Oy ღერძის მარჯვნივ მდებარე ფიგურის ფართობს და მიღებულ შედეგს გავაორმაგებთ: = +4x]კვ. ერთეულები 2 = 2 კვ. ერთეულები
მაგალითი 5. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y 2 = x, yx = 1, x = 4
აქ თქვენ უნდა გამოთვალოთ პარაბოლის ზედა ტოტით შემოსაზღვრული მრუდი ტრაპეციის ფართობი. 2 = x, Ox ღერძი და სწორი ხაზები x = 1 და x = 4 (იხ. სურათი)
ფორმულის მიხედვით (1), სადაც f(x) = a = 1 და b = 4, გვაქვს = (= კვ. ერთეული.
მაგალითი 6 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
საჭირო ფართობი შემოიფარგლება სინუსოიდის ნახევრად ტალღით და Ox ღერძით (იხ. სურათი).
გვაქვს - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 კვ. ერთეულები
მაგალითი 7. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y = - 6x, y = 0 და x = 4.
ფიგურა მდებარეობს Ox ღერძის ქვეშ (იხ. სურათი).
ამიტომ, ჩვენ ვიპოვით მის ფართობს ფორმულის გამოყენებით (3)
= =
მაგალითი 8. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y = და x = 2. ააგეთ y = მრუდი წერტილებიდან (იხ. სურათი). ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ ფიგურის ფართობს ფორმულის გამოყენებით (4)
მაგალითი 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
აქ თქვენ უნდა გამოთვალოთ x წრით შემოსაზღვრული ფართობი 2 + y 2 = r 2 , ანუ r რადიუსის წრის ფართობი, რომლის ცენტრი სათავეშია. მოდი ვიპოვოთ ამ არეალის მეოთხე ნაწილი ინტეგრაციის ზღვრების 0-დან ავღებით
ადრე; ჩვენ გვაქვს: 1 = = [
აქედან გამომდინარე, 1 =
მაგალითი 10. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y= x 2 და y = 2x
ეს მაჩვენებელი შემოიფარგლება პარაბოლით y = x 2 და სწორი ხაზი y = 2x (იხ. სურათი) მოცემული წრფეების გადაკვეთის წერტილების დასადგენად ვხსნით განტოლებათა სისტემას: x 2 - 2x = 0 x = 0 და x = 2
ფორმულის გამოყენებით (5) ფართობის საპოვნელად, მივიღებთ
= }
Ჩატვირთვა...