Lygiagretainio plotas lygus. Lygiagretainio plotas

Pastaba. Tai yra pamokos su geometrijos problemomis dalis (lygiagretainė dalis). Jei jums reikia išspręsti geometrijos problemą, kurios čia nėra, parašykite apie tai forume. Nurodykite gavimo veiksmą kvadratinė šaknis sprendžiant uždavinius naudojamas simbolis √ arba sqrt(), o radikali išraiška nurodoma skliausteliuose.

Teorinė medžiaga

Lygiagretainio ploto nustatymo formulių paaiškinimai:

  1. Lygiagretainio plotas lygus vienos iš jo kraštinių ilgio ir tos kraštinės aukščio sandaugai
  2. Lygiagretainio plotas lygus dviejų gretimų jo kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugai
  3. Lygiagretainio plotas lygus pusei jo įstrižainių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos

Problemos ieškant lygiagretainio ploto

Užduotis.
Lygiagretainio trumpesnis aukštis ir trumpesnė kraštinė yra atitinkamai 9 cm ir šaknis iš 82. Didesnė įstrižainė yra 15 cm. Raskite lygiagretainio plotą.

Sprendimas.
Mažesnį lygiagretainio ABCD aukštį, nuleistą iš taško B į didesnį pagrindą AD, pažymėkime BK.
Raskime kojos vertę taisyklingas trikampis ABK sudaro mažesnis aukštis, mažesnė pusė ir dalis didesnio pagrindo. Pagal Pitagoro teoremą:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82–81
AK = 1

Išplėskime lygiagretainio BC viršutinį pagrindą ir nuleiskite aukštį AN nuo apatinio pagrindo. AN = BK kaip stačiakampio ANBK kraštinės. Raskime gauto stačiojo trikampio ANC koją NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225–81
NC 2 = √144
NC=12

Dabar suraskime didesnę lygiagretainio ABCD bazę BC.
BC = NC - NB
Atsižvelgkime į tai, kad NB = AK kaip stačiakampio kraštines
BC = 12 – 1 = 11

Lygiagretainio plotas lygus pagrindo sandaugai ir aukščiui iki šio pagrindo.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Atsakymas: 99 cm 2 .

Užduotis

Lygiagretainyje ABCD statmenas BO nuleidžiamas ant įstrižainės AC. Raskite lygiagretainio plotą, jei AO=8, OC=6 ir BO=4.

Sprendimas.
Numeskime kitą statmeną DK ant įstrižainės AC.
Atitinkamai, trikampiai AOB ir DKC, COB ir AKD yra poromis lygūs. Viena iš kraštinių yra priešinga lygiagretainio kraštinė, vienas iš kampų yra tiesi linija, nes ji yra statmena įstrižai, o vienas iš likusių kampų yra vidinis kryžius, esantis lygiagrečiose lygiagretainio kraštinėse ir atkarpoje. įstrižainės.

Taigi lygiagretainio plotas yra lygus nurodytų trikampių plotui. Tai yra
Paralelinė = 2S AOB + 2S BOC

Stačiojo trikampio plotas yra lygus pusei kojų sandaugos. Kur
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Atsakymas: 56 cm 2 .

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas sėkmingam darbui reikalingas temas išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą iš matematikos už 60-65 balus. Visiškai visos problemos 1-13 Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematika. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti būdai Vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus paaiškinimas sudėtingos sąvokos. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

Sprendžiant problemas šia tema, išskyrus pagrindinės savybės lygiagretainis ir atitinkamas formules, galite atsiminti ir taikyti:

  1. Lygiagretainio vidinio kampo bisektorius atkerta iš jo lygiašonį trikampį
  2. Vidinių kampų, esančių greta vienos iš lygiagretainio kraštinių, bisektoriai yra vienas kitą statmeni
  3. Bisektoriai, kylantys iš priešingų vidinių lygiagretainio kampų, yra lygiagrečiai vienas kitam arba yra toje pačioje tiesėje
  4. Lygiagretainio įstrižainių kvadratų suma lygi jo kraštinių kvadratų sumai
  5. Lygiagretainio plotas lygus pusei įstrižainių sandaugos ir kampo tarp jų sinuso

Panagrinėkime problemas, kuriose šios savybės naudojamos.

1 užduotis.

Lygiagretainio ABCD kampo C bisektorius kerta kraštinę AD taške M, o kraštinės AB tęsinį už taško A taške E. Raskite lygiagretainio perimetrą, jei AE = 4, DM = 3.

Sprendimas.

1. Trikampis CMD yra lygiašonis. (1 nuosavybė). Todėl CD = MD = 3 cm.

2. Trikampis EAM yra lygiašonis.
Todėl AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Perimetras ABCD = 20 cm.

Atsakymas. 20 cm.

2 užduotis.

Išgaubtame keturkampyje ABCD brėžiamos įstrižainės. Yra žinoma, kad trikampių ABD, ACD, BCD plotai yra lygūs. Įrodykite, kad šis keturkampis yra lygiagretainis.

Sprendimas.

1. Tegu BE yra trikampio ABD aukštis, CF – trikampio ACD aukštis. Kadangi pagal uždavinio sąlygas trikampių plotai yra lygūs ir jie turi bendrą pagrindą AD, tai šių trikampių aukščiai yra vienodi. BE = CF.

2. BE, CF yra statmenos AD. Taškai B ir C yra toje pačioje pusėje tiesės AD atžvilgiu. BE = CF. Todėl tiesi linija BC || REKLAMA. (*)

3. Tegu AL yra trikampio ACD aukštis, BK – trikampio BCD aukštis. Kadangi pagal uždavinio sąlygas trikampių plotai yra lygūs ir jie turi bendrą pagrindą CD, tai šių trikampių aukščiai yra vienodi. AL = BK.

4. AL ir BK yra statmenos CD. Taškai B ir A yra toje pačioje pusėje tiesios linijos CD atžvilgiu. AL = BK. Todėl tiesė AB || CD (**)

5. Iš sąlygų (*), (**) išplaukia, kad ABCD yra lygiagretainis.

Atsakymas. Įrodyta. ABCD yra lygiagretainis.

3 užduotis.

Lygiagretainio ABCD kraštinėse BC ir CD atitinkamai pažymėti taškai M ir H, kad atkarpos BM ir HD susikirstų taške O;<ВМD = 95 о,

Sprendimas.

1. Trikampyje DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Stačiame trikampyje DHC
(

Tada<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Kadangi stačiakampiame trikampyje koja, esanti priešais 30° kampą, yra lygi pusei hipotenuzės).

Bet CD = AB. Tada AB: HD = 2:1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Atsakymas: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В =

4 užduotis.

Viena iš lygiagretainio, kurio ilgis 4√6, įstrižainės sudaro 60° kampą su pagrindu, o antroji įstrižainė sudaro 45° kampą su tuo pačiu pagrindu. Raskite antrąją įstrižainę.

Sprendimas.

1. AO = 2√6.

2. Trikampiui AOD pritaikome sinuso teoremą.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Atsakymas: 12.

5 užduotis.

Lygiagretainio, kurio kraštinės yra 5√2 ir 7√2, mažesnis kampas tarp įstrižainių yra lygus mažesniam lygiagretainio kampui. Raskite įstrižainių ilgių sumą.

Sprendimas.

Tegu lygiagretainio įstrižainės yra d 1, d 2, o kampas tarp įstrižainių ir mažesniojo lygiagretainio kampo lygus φ.

1. Suskaičiuokime du skirtingus
būdais jo plotas.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Gauname lygybę 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f arba

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2;

2. Naudodamiesi lygiagretainio kraštinių ir įstrižainių ryšiu, užrašome lygybę

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Sukurkime sistemą:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Padauginkime antrąją sistemos lygtį iš 2 ir pridėkime prie pirmosios.

Gauname (d 1 + d 2) 2 = 576. Taigi Id 1 + d 2 I = 24.

Kadangi d 1, d 2 yra lygiagretainio įstrižainių ilgiai, tai d 1 + d 2 = 24.

Atsakymas: 24.

6 užduotis.

Lygiagretainio kraštinės yra 4 ir 6. Smailusis kampas tarp įstrižainių yra 45 laipsniai. Raskite lygiagretainio plotą.

Sprendimas.

1. Iš trikampio AOB, naudodamiesi kosinuso teorema, užrašome ryšį tarp lygiagretainio kraštinės ir įstrižainių.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 · (d 1/2) · (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Panašiai rašome santykį trikampiui AOD.

Atsižvelgkime į tai<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Gauname lygtį d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Mes turime sistemą
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Iš antrosios lygties atėmę pirmąją, gauname 2d 1 · d 2 √2 = 80 arba

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Pastaba:Šioje ir ankstesnėje užduotyje nereikia visiškai išspręsti sistemos, numatant, kad šioje užduotyje plotui apskaičiuoti reikia įstrižainių sandaugos.

Atsakymas: 10.

7 užduotis.

Lygiagretainio plotas yra 96, o jo kraštinės yra 8 ir 15. Raskite mažesnės įstrižainės kvadratą.

Sprendimas.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Pakeiskime formulę.

Gauname 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Taigi nuodėmė ВAD = 4/5.

2. Raskime cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

Pagal uždavinio sąlygas randame mažesnės įstrižainės ilgį. Įstrižainė ВD bus mažesnė, jei kampas ВАD yra smailus. Tada cos VAD = 3/5.

3. Iš trikampio ABD, pasitelkę kosinuso teoremą, randame įstrižainės BD kvadratą.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Atsakymas: 145.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti geometrijos problemą?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Geometrinės figūros plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, kurią riboja uždaras šios figūros kontūras). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.

Trikampio ploto formulės

  1. Trikampio ploto pagal kraštą ir aukštį formulė
    Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos
  2. Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir apskritimo spinduliu
  3. Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir įbrėžto apskritimo spinduliu
    Trikampio plotas lygi trikampio pusperimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai.
    4. kur S yra trikampio plotas,
    - trikampio kraštinių ilgiai,
    - trikampio aukštis,
    - kampas tarp šonų ir
    - įbrėžto apskritimo spindulys,
    R - apibrėžto apskritimo spindulys,

Kvadratinės ploto formulės

  1. Kvadrato ploto pagal kraštinių ilgį formulė
    Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
  2. Kvadrato ploto išilgai įstrižainės formulė
    Kvadrato plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
    S =1 2
    2
    3. kur S yra kvadrato plotas,
    - kvadrato kraštinės ilgis,
    - kvadrato įstrižainės ilgis.

Stačiakampio ploto formulė

    Stačiakampio plotas lygus dviejų gretimų jo kraštinių ilgių sandaugai

    kur S yra stačiakampio plotas,
    - stačiakampio kraštinių ilgiai.

Lygiagretainio ploto formulės

  1. Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta kraštinės ilgiu ir aukščiu
    Lygiagretainio plotas
  2. Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų
    Lygiagretainio plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.

    a b sin α

    3. kur S yra lygiagretainio plotas,
    - lygiagretainio kraštinių ilgiai,
    - lygiagretainio aukščio ilgis,
    - kampas tarp lygiagretainio kraštinių.

Rombo ploto formulės

  1. Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir aukštį
    Rombo plotas lygus jos kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai.
  2. Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir kampą
    Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai.
  3. Rombo ploto formulė, pagrįsta jo įstrižainių ilgiais
    Rombo plotas lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos.
    4. kur S yra rombo plotas,
    - rombo kraštinės ilgis,
    - rombo aukščio ilgis,
    - kampas tarp rombo kraštų,
    1, 2 - įstrižainių ilgiai.

Trapecijos plotų formulės

  1. Garnio trapecijos formulė

    kur S yra trapecijos plotas,
    - trapecijos pagrindų ilgiai,
    - trapecijos kraštinių ilgiai,

Lygiagretainis yra keturkampė figūra, kurios priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios poromis. Jo priešingi kampai taip pat lygūs, o lygiagretainio įstrižainių susikirtimo taškas dalija jas pusiau, būdamas figūros simetrijos centru. Ypatingi lygiagretainio atvejai yra tokios geometrinės figūros kaip kvadratas, stačiakampis ir rombas. Lygiagretainio plotą galima rasti įvairiais būdais, priklausomai nuo to, kokie pradiniai duomenys naudojami formuluojant problemą.


Pagrindinė lygiagretainio charakteristika, labai dažnai naudojama ieškant jo ploto, yra jo aukštis. Lygiagretainio aukštis paprastai vadinamas statmenu, nubrėžtu nuo savavališko taško priešingoje pusėje iki tiesios atkarpos, sudarančios tą pusę.
  1. Paprasčiausiu atveju lygiagretainio plotas apibrėžiamas kaip jo pagrindo ir aukščio sandauga.

    S = DC ∙ val


    kur S yra lygiagretainio plotas;
    a - bazė;
    h yra aukštis, nubrėžtas iki nurodyto pagrindo.

    Šią formulę labai lengva suprasti ir prisiminti, jei pažvelgsite į toliau pateiktą paveikslą.

    Kaip matote iš šio paveikslėlio, jei nupjausime įsivaizduojamą trikampį kairėje nuo lygiagretainio ir pritvirtinsime jį dešinėje, rezultatas bus stačiakampis. Kaip žinote, stačiakampio plotas randamas jo ilgį padauginus iš aukščio. Tik lygiagretainio atveju ilgis bus pagrindas, o stačiakampio aukštis bus lygiagretainio aukštis, nuleistas į nurodytą pusę.

  2. Lygiagretainio plotą taip pat galima rasti padauginus dviejų gretimų bazių ilgius ir kampo tarp jų sinusą:

    S = AD∙AB∙sinα


    kur AD, AB yra gretimos bazės, sudarančios susikirtimo tašką ir kampą a tarpusavyje;
    α – kampas tarp bazių AD ir AB.

  3. Lygiagretainio plotą taip pat galite rasti lygiagretainio įstrižainių ilgių sandaugą padalydami per pusę iš kampo tarp jų sinuso.

    S = ½∙AC∙BD∙sinβ


    čia AC, BD yra lygiagretainio įstrižainės;
    β yra kampas tarp įstrižainių.

  4. Taip pat yra formulė, kaip rasti lygiagretainio plotą per jame įrašyto apskritimo spindulį. Tai parašyta taip:
Įkeliama...Įkeliama...