2 vaizdo pamoka: Piramidės problema. Piramidės tūris

3 vaizdo pamoka: Piramidės problema. Teisinga piramidė

Paskaita: Piramidė, jos pagrindas, šoniniai šonkauliai, aukštis, šoninis paviršius; trikampė piramidė; taisyklinga piramidė

Piramidė, jos savybės

Piramidė yra trimatis kūnas, kurio pagrindas yra daugiakampis, o visi jo paviršiai susideda iš trikampių.

Ypatingas piramidės atvejis yra kūgis, kurio pagrindas yra apskritimas.

Pažvelkime į pagrindinius piramidės elementus:

Apotema- tai segmentas, jungiantis piramidės viršūnę su šoninio paviršiaus apatinio krašto viduriu. Kitaip tariant, tai yra piramidės krašto aukštis.

Paveiksle matote trikampius ADS, ABS, BCS, CDS. Jei atidžiai pažvelgsite į pavadinimus, pamatysite, kad kiekvieno trikampio pavadinime yra viena bendra raidė - S. Tai reiškia, kad visi šoniniai paviršiai (trikampiai) susilieja viename taške, kuris vadinamas piramidės viršūne. .

Atkarpa OS, jungianti viršūnę su pagrindo įstrižainių susikirtimo tašku (trikampių atveju - aukščių susikirtimo taške) vadinama piramidės aukštis.

Įstrižainė yra plokštuma, einanti per piramidės viršūnę, taip pat viena iš pagrindo įstrižainių.

Kadangi piramidės šoninis paviršius susideda iš trikampių, tada reikia rasti bendro plotošoninį paviršių, turite rasti kiekvieno veido plotą ir juos pridėti. Veidų skaičius ir forma priklauso nuo daugiakampio, esančio prie pagrindo, kraštinių formos ir dydžio.

Vienintelė piramidės plokštuma, kuri nepriklauso jos viršūnei, vadinama pagrindu piramidės.

Paveiksle matome, kad pagrindas yra lygiagretainis, tačiau jis gali būti bet koks savavališkas daugiakampis.

Savybės:

Apsvarstykite pirmąjį piramidės atvejį, kai jos kraštai yra vienodo ilgio:

• Aplink tokios piramidės pagrindą galima nubrėžti apskritimą. Jei projektuosite tokios piramidės viršūnę, tada jos projekcija bus apskritimo centre.
• Piramidės pagrindo kampai yra vienodi kiekviename paviršiuje.
• Šiuo atveju pakankama sąlyga, kad aplink piramidės pagrindą būtų galima apibūdinti apskritimą, taip pat kad visos briaunos būtų skirtingo ilgio, gali būti laikomi vienodais kampais tarp pagrindo ir kiekvienos veidų briaunos.

Jei susidursite su piramide, kurioje kampai tarp šoninių paviršių ir pagrindo yra lygūs, tada šios savybės yra teisingos:

• Galėsite apibūdinti apskritimą aplink piramidės pagrindą, kurio viršūnė projektuojama tiksliai centre.
• Jei kiekvieną šoninį aukščio kraštą nubrėžiate prie pagrindo, jie bus vienodo ilgio.
• Norint rasti tokios piramidės šoninį paviršiaus plotą, pakanka rasti pagrindo perimetrą ir padauginti jį iš pusės aukščio ilgio.
• S bp = 0,5P oc H.
• Piramidės tipai.
• Priklausomai nuo to, kuris daugiakampis yra piramidės pagrinde, jie gali būti trikampiai, keturkampiai ir pan. Jei piramidės pagrinde yra taisyklingas daugiakampis (su lygios pusės), tada tokia piramidė bus vadinama taisyklingąja.

Taisyklinga trikampė piramidė

Šis vaizdo įrašas padės vartotojams suprasti piramidės temą. Teisinga piramidė. Šioje pamokoje susipažinsime su piramidės sąvoka ir pateiksime jos apibrėžimą. Panagrinėkime, kas yra įprasta piramidė ir kokias jos savybes ji turi. Tada įrodome teoremą apie taisyklingosios piramidės šoninį paviršių.

Šioje pamokoje susipažinsime su piramidės sąvoka ir pateiksime jos apibrėžimą.

Apsvarstykite daugiakampį A 1 A 2...A n, kuris yra α plokštumoje, ir taškas P, kuris nėra α plokštumoje (1 pav.). Sujunkime taškus P su viršūnėmis A 1, A 2, A 3, … A n. Mes gauname n trikampiai: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R ir taip toliau.

Apibrėžimas. Daugiakampis RA 1 A 2 ...A n, sudarytas iš n- kvadratas A 1 A 2...A n Ir n trikampiai RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 vadinamas n- anglies piramidė. Ryžiai. 1.

Ryžiai. 1

Apsvarstykite keturkampę piramidę PABCD(2 pav.).

R- piramidės viršūnė.

ABCD- piramidės pagrindas.

RA- šoninis šonkaulis.

AB- pagrindo šonkaulis.

Iš taško R numeskime statmeną RNį bazinę plokštumą ABCD. Nubrėžtas statmuo yra piramidės aukštis.

Ryžiai. 2

Visas piramidės paviršius susideda iš šoninio paviršiaus, tai yra, visų šoninių paviršių ploto ir pagrindo ploto:

S pilnas = S pusė + S pagrindinis

Piramidė vadinama teisinga, jei:

• jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis;
• atkarpa, jungianti piramidės viršūnę su pagrindo centru, yra jos aukštis.

Paaiškinimas naudojant taisyklingos keturkampės piramidės pavyzdį

Apsvarstykite taisyklingą keturkampę piramidę PABCD(3 pav.).

R- piramidės viršūnė. Piramidės pagrindas ABCD- taisyklingas keturkampis, tai yra kvadratas. Taškas APIE, įstrižainių susikirtimo taškas, yra kvadrato centras. Reiškia, RO yra piramidės aukštis.

Ryžiai. 3

Paaiškinimas: teisinga n Trikampyje įbrėžto apskritimo centras ir apskritimo centras sutampa. Šis centras vadinamas daugiakampio centru. Kartais sakoma, kad viršūnė projektuojama į centrą.

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, ištrauktas iš jos viršūnės, vadinamas apotemas ir yra paskirtas h a.

1. visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios;

2. Šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai.

Šių savybių įrodymą pateiksime taisyklingos keturkampės piramidės pavyzdžiu.

Duota: PABCD- taisyklinga keturkampė piramidė,

ABCD- kvadratas,

RO- piramidės aukštis.

Įrodyk:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Žr. pav. 4.

Ryžiai. 4

Įrodymas.

RO- piramidės aukštis. Tai yra, tiesiai RO statmenai plokštumai ABC, todėl tiesioginis UAB, VO, SO Ir DARYK guli joje. Taigi trikampiai ROA, ROV, ROS, ROD- stačiakampis.

Apsvarstykite kvadratą ABCD. Iš kvadrato savybių matyti, kad AO = VO = CO = DARYK.

Tada stačiakampiai trikampiai ROA, ROV, ROS, ROD koja RO- bendras ir kojos UAB, VO, SO Ir DARYK yra lygūs, o tai reiškia, kad šie trikampiai yra lygūs iš dviejų kraštinių. Iš trikampių lygybės išplaukia atkarpų lygybė, RA = PB = RS = PD. 1 punktas įrodytas.

Segmentai AB Ir Saulė yra vienodos, nes yra to paties kvadrato kraštinės, RA = PB = RS. Taigi trikampiai AVR Ir VSR – lygiašonis ir lygus iš trijų kraštinių.

Panašiai randame tuos trikampius ABP, VCP, CDP, DAP yra lygiašoniai ir lygūs, kaip reikalaujama įrodyti 2 dalyje.

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pusei pagrindo ir apotemos perimetro sandaugos:

Norėdami tai įrodyti, parinkkime taisyklingą trikampę piramidę.

Duota: RAVS- taisyklinga trikampė piramidė.

AB = BC = AC.

RO- aukštis.

Įrodyk: . Žr. pav. 5.

Ryžiai. 5

Įrodymas.

RAVS- taisyklinga trikampė piramidė. Tai yra AB= AC = BC. Leisti APIE- trikampio centras ABC, Tada RO yra piramidės aukštis. Piramidės pagrinde yra lygiakraštis trikampis ABC. pastebėti, kad .

Trikampiai RAV, RVS, RSA- lygus lygiašoniai trikampiai(pagal nuosavybę). U trikampė piramidė trys šoniniai paviršiai: RAV, RVS, RSA. Tai reiškia, kad piramidės šoninio paviršiaus plotas yra:

S pusė = 3S RAW

Teorema įrodyta.

Į taisyklingos keturkampės piramidės pagrindą įbrėžto apskritimo spindulys lygus 3 m, piramidės aukštis – 4 m. Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Duota: taisyklinga keturkampė piramidė ABCD,

ABCD- kvadratas,

r= 3 m,

RO- piramidės aukštis,

RO= 4 m.

Rasti: S pusė. Žr. pav. 6.

Ryžiai. 6

Sprendimas.

Pagal įrodytą teoremą,.

Pirmiausia suraskime pagrindo pusę AB. Žinome, kad į taisyklingos keturkampės piramidės pagrindą įbrėžto apskritimo spindulys yra 3 m.

Tada, m.

Raskite kvadrato perimetrą ABCD kurių kraštinė yra 6 m:

Apsvarstykite trikampį BCD. Leisti M- šono vidurys DC. Nes APIE- vidurys BD, Tai (m).

Trikampis DPC- lygiašoniai. M- vidurys DC. Tai yra, RM- mediana, taigi ir aukštis trikampyje DPC. Tada RM- piramidės apotema.

RO- piramidės aukštis. Tada tiesiai RO statmenai plokštumai ABC, todėl tiesioginis OM, guli jame. Raskime apotemą RM iš taisyklingas trikampis ROM.

Dabar galime rasti piramidės šoninį paviršių:

Atsakymas Plotas: 60 m2.

Aplink taisyklingosios trikampės piramidės pagrindą apibrėžiamo apskritimo spindulys lygus m. Šoninio paviršiaus plotas 18 m 2. Raskite apotemo ilgį.

Duota: ABCP- taisyklinga trikampė piramidė,

AB = BC = SA,

R= m,

P pusė = 18 m2.

Rasti: . Žr. pav. 7.

Ryžiai. 7

Sprendimas.

Stačiakampiame trikampyje ABC Nurodytas apibrėžto apskritimo spindulys. Raskime pusę ABšis trikampis naudojant sinusų dėsnį.

Žinant pusę taisyklingas trikampis(m), suraskime jo perimetrą.

Pagal teoremą apie taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotą, kur h a- piramidės apotema. Tada:

Atsakymas: 4 m.

Taigi, pažiūrėjome, kas yra piramidė, kas yra taisyklingoji piramidė, ir įrodėme teoremą apie taisyklingosios piramidės šoninį paviršių. Kitoje pamokoje susipažinsime su nupjautąja piramide.

Bibliografija

1. Geometrija. 10-11 klasės: vadovėlis mokiniams švietimo įstaigų(pagrindinis ir profilio lygiai) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-asis leidimas, red. ir papildomas - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr.
2. Geometrija. 10-11 klasė: Bendrojo ugdymo vadovėlis švietimo įstaigų/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: iliustr.
3. Geometrija. 10 klasė: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms su giluminiu ir specializuotu matematikos mokymu /E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6 leid., stereotipas. - M.: Bustardas, 008. - 233 p.: iliustr.

1. Interneto portalas "Yaklass" ()
2. Interneto portalas „Festivalis pedagoginės idėjos„Rugsėjo pirmoji“ ()
3. Interneto portalas „Slideshare.net“ ()

Namų darbai

1. Ar taisyklingas daugiakampis gali būti netaisyklingos piramidės pagrindas?
2. Įrodykite, kad taisyklingosios piramidės nesujungtos briaunos yra statmenos.
3. Raskite dvikampio kampo taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo kraštinėje reikšmę, jei piramidės apotemas lygus jos pagrindo kraštinei.
4. RAVS- taisyklinga trikampė piramidė. Sukurkite dvisienio kampo tiesinį kampą piramidės pagrindu.

Mes ir toliau svarstome užduotis, įtrauktas į Vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Mes jau nagrinėjome problemas, kuriose pateikta sąlyga ir reikia rasti atstumą tarp dviejų nurodytų taškų arba kampą.

Piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, likusieji paviršiai yra trikampiai ir turi bendrą viršūnę.

Taisyklinga piramidė yra piramidė, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, o jos viršūnė projektuojama į pagrindo centrą.

Taisyklinga keturkampė piramidė – pagrindas yra kvadratas.Piramidės viršūnė projektuojama pagrindo (kvadrato) įstrižainių susikirtimo taške.

ML – apotema
∠MLO – dvikampis kampas piramidės pagrindu
∠MCO – kampas tarp piramidės šoninės briaunos ir pagrindo plokštumos

Šiame straipsnyje apžvelgsime įprastos piramidės problemas. Reikia rasti kokį nors elementą, šoninio paviršiaus plotą, tūrį, aukštį. Žinoma, reikia žinoti Pitagoro teoremą, piramidės šoninio paviršiaus ploto formulę ir piramidės tūrio nustatymo formulę.

Straipsnyje "" pateikia formules, kurios būtinos stereometrijos uždaviniams spręsti. Taigi, užduotys:

SABCD taškas O- pagrindo centras,S viršūnė, TAIP = 51, A.C.= 136. Raskite šoninę briaunąS.C..

IN tokiu atveju pagrindas yra kvadratas. Tai reiškia, kad įstrižainės AC ir BD yra lygios, jos susikerta ir yra perkirstos per susikirtimo tašką. Atkreipkite dėmesį, kad įprastoje piramidėje aukštis, nukritęs nuo jos viršaus, eina per piramidės pagrindo centrą. Taigi SO yra aukštis ir trikampisSOCstačiakampio formos. Tada pagal Pitagoro teoremą:

Kaip ištraukti šaknį iš didelis skaičius.

Atsakymas: 85

Spręskite patys:

Taisyklingoje keturkampėje piramidėje SABCD taškas O- pagrindo centras, S viršūnė, TAIP = 4, A.C.= 6. Raskite šoninę briauną S.C..

Taisyklingoje keturkampėje piramidėje SABCD taškas O- pagrindo centras, S viršūnė, S.C. = 5, A.C.= 6. Raskite atkarpos ilgį TAIP.

Taisyklingoje keturkampėje piramidėje SABCD taškas O- pagrindo centras, S viršūnė, TAIP = 4, S.C.= 5. Raskite atkarpos ilgį A.C..

SABC R- šonkaulio vidurys B.C., S- viršuje. Yra žinoma, kad AB= 7, a S.R.= 16. Raskite šoninio paviršiaus plotą.

Taisyklingos trikampės piramidės šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei pagrindo perimetro ir apotemos sandaugos (apotema yra taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš jos viršūnės):

Arba galime pasakyti taip: piramidės šoninio paviršiaus plotas yra lygus sumai trys kvadrataišoniniai kraštai. Taisyklingos trikampės piramidės šoniniai paviršiai yra vienodo ploto trikampiai. Tokiu atveju:

Atsakymas: 168

Spręskite patys:

Taisyklingoje trikampėje piramidėje SABC R- šonkaulio vidurys B.C., S- viršuje. Yra žinoma, kad AB= 1, a S.R.= 2. Raskite šoninio paviršiaus plotą.

Taisyklingoje trikampėje piramidėje SABC R- šonkaulio vidurys B.C., S- viršuje. Yra žinoma, kad AB= 1, o šoninio paviršiaus plotas yra 3. Raskite atkarpos ilgį S.R..

Taisyklingoje trikampėje piramidėje SABC L- šonkaulio vidurys B.C., S- viršuje. Yra žinoma, kad SL= 2, o šoninio paviršiaus plotas lygus 3. Raskite atkarpos ilgį AB.

Taisyklingoje trikampėje piramidėje SABC M. Trikampio plotas ABC yra 25, piramidės tūris yra 100. Raskite atkarpos ilgį MS.

Piramidės pagrindas yra lygiakraštis trikampis. Štai kodėl Myra pagrindo centras irMS- taisyklingos piramidės aukštisSABC. Piramidės tūris SABC lygu: peržiūrėti sprendimą

Taisyklingoje trikampėje piramidėje SABC pagrindo medianos susikerta taške M. Trikampio plotas ABC lygus 3, MS= 1. Raskite piramidės tūrį.

Taisyklingoje trikampėje piramidėje SABC pagrindo medianos susikerta taške M. Piramidės tūris yra 1, MS= 1. Raskite trikampio plotą ABC.

Pabaikime čia. Kaip matote, problemos išsprendžiamos vienu ar dviem etapais. Ateityje mes svarstysime ir kitas problemas iš šios dalies, kur pateikiami revoliucijos kūnai, nepraleiskite to!

Linkiu sėkmės!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Pirmas lygis

Piramidė. Vaizdinis vadovas (2019 m.)

Kas yra piramidė?

Kaip ji atrodo?

Matote: piramidės apačioje (jie sako: bazėje") tam tikras daugiakampis, o visos šio daugiakampio viršūnės yra sujungtos su tam tikru erdvės tašku (šis taškas vadinamas " viršūnė»).

Visa ši struktūra vis dar turi šoniniai veidai, šoniniai šonkauliai Ir pagrindo šonkauliai. Dar kartą nupieškime piramidę su visais šiais pavadinimais:

Kai kurios piramidės gali atrodyti labai keistai, bet jos vis tiek yra piramidės.

Pavyzdžiui, čia yra visiškai „įstrižai“ piramidė.

Ir dar šiek tiek apie pavadinimus: jei piramidės pagrinde yra trikampis, tai piramidė vadinama trikampe, jei keturkampe, tai keturkampe, o jei šimtakampė, tai... atspėk patys .

Tuo pačiu metu taškas, kur jis nukrito aukščio, paskambino aukščio pagrindas. Atkreipkite dėmesį, kad „kreivose“ piramidėse aukščio gali net atsidurti už piramidės ribų. Kaip šitas:

Ir tame nėra nieko blogo. Tai atrodo kaip bukas trikampis.

Teisinga piramidė.

Daug sudėtingi žodžiai? Iššifruokime: „Pagrinde - teisingai“ - tai suprantama. Dabar prisiminkime, kad reguliarus daugiakampis turi centrą - tašką, kuris yra ir centras, ir .

Na, o žodžiai "viršus projektuojamas į pagrindo centrą" reiškia, kad aukščio pagrindas patenka tiksliai į pagrindo centrą. Pažiūrėkite, kaip jis atrodo švelnus ir mielas taisyklinga piramidė.

Šešiakampis: prie pagrindo yra taisyklingas šešiakampis, viršūnė projektuojama į pagrindo centrą.

Keturkampis: pagrindas yra kvadratas, viršus projektuojamas iki šio kvadrato įstrižainių susikirtimo taško.

Trikampis: pagrinde yra taisyklingasis trikampis, viršūnė projektuojama į šio trikampio aukščių (jie taip pat yra medianos ir pusiausvyros) susikirtimo tašką.

Labai svarbios taisyklingos piramidės savybės:

Dešinėje piramidėje

• visi šoniniai kraštai lygūs.
• visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai ir visi šie trikampiai yra lygūs.

Piramidės tūris

Pagrindinė piramidės tūrio formulė:

Iš kur tiksliai ji atsirado? Tai nėra taip paprasta, ir iš pradžių tereikia atsiminti, kad piramidės ir kūgio formulėje yra tūris, o cilindro – ne.

Dabar apskaičiuokime populiariausių piramidžių tūrį.

Tegul pagrindo kraštinė yra lygi, o šoninė briauna lygi. Turime rasti ir.

Tai taisyklingo trikampio plotas.

Prisiminkime, kaip ieškoti šios srities. Mes naudojame ploto formulę:

Mums „ “ yra tai, o „ “ taip pat yra tai, eh.

Dabar suraskime.

Pagal Pitagoro teoremą už

Koks skirtumas? Tai yra apskritimo spindulys, nes piramidėteisinga taigi ir centras.

Kadangi - ir medianų susikirtimo taškas.

(Pitagoro teorema)

Pakeiskime jį į formulę.

Ir pakeiskime viską į tūrio formulę:

Dėmesio: jei turite įprastą tetraedrą (t. y.), tada formulė pasirodo taip:

Tegul pagrindo kraštinė yra lygi, o šoninė briauna lygi.

Nereikia čia žiūrėti; Juk pagrindas yra kvadratas, taigi.

Surasime. Pagal Pitagoro teoremą už

Ar mes žinome? Beveik. Žiūrėk:

(tai pamatėme žiūrėdami).

Į formulę pakeiskite:

O dabar pakeičiame tūrio formulę.

Tegul pagrindo pusė yra lygi, o šoninis kraštas.

Kaip rasti? Žiūrėkite, šešiakampis susideda iš lygiai šešių vienodų taisyklingų trikampių. Skaičiuodami taisyklingos trikampės piramidės tūrį jau ieškojome taisyklingo trikampio ploto, čia naudojame rastą formulę.

Dabar suraskime (tai).

Pagal Pitagoro teoremą už

Bet kas tai svarbu? Tai paprasta, nes (ir visi kiti) yra teisūs.

Pakeiskime:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDĖ. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Piramidė yra daugiakampis, susidedantis iš bet kurio plokščio daugiakampio (), taško, esančio ne pagrindo plokštumoje (piramidės viršuje), ir visų atkarpų, jungiančių piramidės viršūnę su pagrindo taškais (šoniniais kraštais).

Nuo piramidės viršaus iki pagrindo plokštumos nukrito statmuo.

Teisinga piramidė- piramidė, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršus projektuojamas į pagrindo centrą.

Taisyklingos piramidės savybės:

• Taisyklingoje piramidėje visos šoninės briaunos yra lygios.
• Visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai ir visi šie trikampiai yra lygūs.