Kampas ABC yra įbrėžtasis kampas. Jis remiasi į lanką AC, uždarą tarp jo šonų (330 pav.).
Teorema. Įbrėžtas kampas matuojamas puse lanko, ant kurio jis yra.
Tai turėtų būti suprantama taip: įrašytame kampe yra tiek kampo laipsnių, minučių ir sekundžių, kiek yra lanko laipsnių, minučių ir sekundžių, esančių lanko pusėje, ant kurios jis remiasi.
Įrodant šią teoremą reikia atsižvelgti į tris atvejus.
Pirmas atvejis. Apskritimo centras yra įbrėžto kampo pusėje (331 pav.).
Tegu ∠ABC yra įbrėžtasis kampas, o apskritimo O centras yra kraštinėje BC. Reikia įrodyti, kad jis matuojamas puse lanko kintamosios srovės.
Sujungkime tašką A su apskritimo centru. Gauname lygiašonį \(\Delta\)AOB, kuriame AO = OB, kaip to paties apskritimo spindulius. Todėl ∠A = ∠B.
∠AOC yra trikampio AOB išorėje, todėl ∠AOC = ∠A + ∠B, o kadangi kampai A ir B yra lygūs, tai ∠B yra 1/2 ∠AOC.
Bet ∠AOC matuojamas AC lanku, todėl ∠B matuojamas puse lanko AC.
Pavyzdžiui, jei \(\breve(AC)\) yra 60°18', tada ∠B yra 30°9'.
Antras atvejis. Apskritimo centras yra tarp įbrėžto kampo kraštinių (332 pav.).
Tegu ∠ABD yra įbrėžtasis kampas. Apskritimo O centras yra tarp jo kraštinių. Turime įrodyti, kad ∠ABD matuojamas puse lanko AD.
Norėdami tai įrodyti, nubrėžkime skersmenį BC. Kampas ABD yra padalintas į du kampus: ∠1 ir ∠2.
∠1 matuojamas puse lanko AC, o ∠2 – puse lanko CD, todėl visas ∠ABD matuojamas 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \(\breve (CD)\), ty pusė lanko AD.
Pavyzdžiui, jei \(\breve(AD)\) yra 124°, tada ∠B yra 62°.
Trečias atvejis. Apskritimo centras yra už įbrėžto kampo ribų (333 pav.).
Tegu ∠MAD yra įbrėžtasis kampas. Apskritimo O centras yra už kampo. Turime įrodyti, kad ∠MAD matuojamas puse lanko MD.
Norėdami tai įrodyti, nubrėžkime skersmenį AB. ∠MAD = ∠MAB – ∠DAB. Tačiau ∠MAB matuoja 1/2 \(\breve(MB)\), o ∠DAB matuoja 1/2 \(\breve(DB)\).
Todėl ∠MAD matuoja 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), t. y. 1/2 \(\breve(MD)\).
Pavyzdžiui, jei \(\breve(MD)\) yra 48° 38", tada ∠MAD yra 24° 19' 8".
Pasekmės
1.
Visi įbrėžtieji kampai, esantys tą patį lanką, yra lygūs vienas kitam, nes jie matuojami puse to paties lanko
(334 pav., a).
2. Įbrėžtas kampas, kurį sudaro skersmuo, yra stačiu kampu, nes jis sudaro pusę apskritimo. Pusėje apskritimo yra 180 lanko laipsnių, o tai reiškia, kad kampas pagal skersmenį yra 90 lanko laipsnių (334 pav., b).
Dažniausiai pasirengimo vieningam valstybiniam matematikos egzaminui procesas prasideda pagrindinių apibrėžimų, formulių ir teoremų pakartojimu, įskaitant temą „Centriniai ir įrašyti kampai apskritime“. Paprastai, šį skyrių planimetrija buvo tiriama nuo vidurinė mokykla. Nenuostabu, kad daugelis studentų susiduria su būtinybe peržiūrėti pagrindines sąvokas ir teoremas tema „Centrinis apskritimo kampas“. Supratę tokių problemų sprendimo algoritmą, moksleiviai galės tikėtis, kad gaus konkursinius balus pagal vieningo valstybinio egzamino išlaikymo rezultatus.
Kaip lengvai ir efektyviai pasiruošti išlaikyti sertifikavimo testą?
Mokydamiesi prieš išlaikydami vieningą valstybinį egzaminą, daugelis aukštųjų mokyklų studentų susiduria su problema, kaip rasti reikiamą informaciją tema „Centriniai ir užrašyti kampai apskritime“. Ne visada po ranka būna mokyklinis vadovėlis. O formulių paieška internete kartais atima nemažai laiko.
Mūsų komanda padės jums „patobulinti“ įgūdžius ir patobulinti žinias tokioje sudėtingoje geometrijos dalyje kaip planimetrija. edukacinis portalas. „Shkolkovo“ siūlo aukštųjų mokyklų studentams ir jų mokytojams naują būdą sukurti pasirengimo vieningam valstybiniam egzaminui procesą. Visą pagrindinę medžiagą mūsų specialistai pateikia maksimaliai. prieinama forma. Perskaitę informaciją skyriuje „Teorinis pagrindas“ mokiniai sužinos, kokias savybes turi centrinis apskritimo kampas, kaip rasti jo reikšmę ir kt.
Tuomet, norint įtvirtinti įgytas žinias ir praktikos įgūdžius, rekomenduojame atlikti atitinkamus pratimus. Didelis pasirinkimas skiltyje „Katalogas“ pateikiamos užduotys, kaip rasti į apskritimą įbrėžto kampo reikšmę ir kitus parametrus. Kiekvienam pratimui mūsų ekspertai surašė išsamų sprendimą ir nurodė teisingą atsakymą. Užduočių sąrašas svetainėje nuolat pildomas ir atnaujinamas.
Gimnazistai gali pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui atlikdami pratimus, pavyzdžiui, norėdami rasti centrinio kampo dydį ir apskritimo lanko ilgį internetu iš bet kurio Rusijos regiono.
Esant poreikiui, atliktą užduotį galima išsaugoti skiltyje „Mėgstamiausi“, kad vėliau prie jos sugrįžtume ir dar kartą išanalizuoti jos sprendimo principą.
Centrinis kampas yra kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre.
Įrašytas kampas- kampas, kurio viršūnė yra ant apskritimo ir kurio kraštinės jį kerta.
Paveiksle pavaizduoti centriniai ir įrašyti kampai bei svarbiausios jų savybės.
Taigi, centrinio kampo dydis yra lygus lanko, ant kurio jis remiasi, kampiniam dydžiui. Tai reiškia, kad centrinis 90 laipsnių kampas remsis į lanką, lygų 90°, tai yra, apskritimą. Centrinis kampas, lygus 60°, remiasi į 60 laipsnių lanką, tai yra į šeštąją apskritimo dalį.
Įbrėžto kampo dydis yra du kartus mažesnis nei centrinis kampas, pagrįstas tuo pačiu lanku.
Be to, norint išspręsti problemas, mums reikės „akordo“ sąvokos.
Lygi centriniai kampai sujungia lygias stygas.
1. Koks yra įbrėžtasis kampas, kurį sudaro apskritimo skersmuo? Atsakymą pateikite laipsniais.
Įbrėžtas kampas, kurį sudaro skersmuo, yra stačiu kampu.
2. Centrinis kampas yra 36° didesnis už smailųjį įbrėžtą kampą, kurį sudaro tas pats apskritimo lankas. Raskite įbrėžtą kampą. Atsakymą pateikite laipsniais.
Tegul centrinis kampas lygus x, o įbrėžtasis to paties lanko kampas lygus y.
Žinome, kad x = 2y.
Taigi 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Apskritimo spindulys lygus 1. Raskite stygos įbrėžto bukojo kampo reikšmę, lygią . Atsakymą pateikite laipsniais.
Tegul styga AB lygi . Bukas įbrėžtas kampas, pagrįstas šia styga, bus pažymėtas α.
Trikampyje AOB kraštinės AO ir OB lygios 1, kraštinės AB lygios . Su tokiais trikampiais jau susidūrėme. Akivaizdu, kad trikampis AOB yra stačiakampis ir lygiašonis, tai yra, kampas AOB yra 90°.
Tada lankas ACB lygus 90°, o lankas AKB lygus 360° – 90° = 270°.
Įbrėžtas kampas α remiasi lanku AKB ir yra lygus pusei šio lanko kampo vertės, tai yra 135°.
Atsakymas: 135.
4. Styga AB padalija apskritimą į dvi dalis, kurių laipsnių reikšmės yra santykiu 5:7. Kokiu kampu ši styga matoma iš taško C, kuris priklauso mažesniajam apskritimo lankui? Atsakymą pateikite laipsniais.
Svarbiausia šioje užduotyje yra teisingas brėžinys ir sąlygų supratimas. Kaip suprantate klausimą: „Kokiu kampu styga matoma iš taško C?
Įsivaizduokite, kad sėdite taške C ir jums reikia matyti viską, kas vyksta styga AB. Lyg akordas AB būtų ekranas kino teatre :-)
Akivaizdu, kad reikia rasti kampą ACB.
Dviejų lankų, į kuriuos styga AB dalija apskritimą, suma yra lygi 360°, tai yra
5x + 7x = 360°
Taigi x = 30°, o įbrėžtasis kampas ACB remiasi į lanką, lygų 210°.
Įbrėžto kampo dydis yra lygus pusei lanko, ant kurio jis remiasi, kampinio dydžio, o tai reiškia, kad kampas ACB yra lygus 105°.
Tai kampas, sudarytas iš dviejų akordai, kilęs viename apskritimo taške. Sakoma, kad įbrėžtas kampas ilsisi tarp jo šonų uždarytame lanke.
Įrašytas kampas lygi pusei lanko, ant kurio jis remiasi.
Kitaip tariant, įrašytas kampas apima tiek kampinių laipsnių, minučių ir sekundžių, kiek lanko laipsnių, minutės ir sekundės yra pusėje lanko, ant kurio jis remiasi. Norėdami tai pagrįsti, panagrinėkime tris atvejus:
Pirmas atvejis:
Centras O yra šone įrašytas kampas ABC. Nubrėžę spindulį AO, gauname ΔABO, jame OA = OB (kaip spindulius) ir atitinkamai ∠ABO = ∠BAO. Kalbant apie tai trikampis, kampas AOC - išorinis. Ir tai reiškia, kad jis yra lygus kampų ABO ir BAO sumai arba lygus dvigubam kampui ABO. Taigi ∠ABO yra lygus pusei centrinis kampas AOC. Bet šis kampas matuojamas lanku AC. Tai yra, įbrėžtasis kampas ABC matuojamas puse lanko AC.
Antras atvejis:
Centras O yra tarp šonų įrašytas kampas ABC.. Nubraižę skersmenį BD, kampą ABC padalijame į du kampus, iš kurių pagal pirmąjį atvejį vienas matuojamas puse lankai AD, o kita lankinio kompaktinio disko pusė. Ir atitinkamai matuojamas kampas ABC (AD+DC) /2, t.y. 1/2 kintamosios srovės.
Trečias atvejis:
Centras O yra lauke įrašytas kampas ABC. Nubrėžę skersmenį BD, gausime:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Tačiau kampai ABD ir CBD matuojami remiantis anksčiau pagrįsta puse lankas AD ir CD. Ir kadangi ∠ABC matuojamas (AD-CD)/2, tai yra pusė lanko AC.
1 išvada. Bet kurie, pagrįsti tuo pačiu lanku, yra vienodi, tai yra, lygūs vienas kitam. Kadangi kiekvienas iš jų matuojamas puse to paties lankai .
2 išvada. Įrašytas kampas, pagal skersmenį - stačiu kampu. Kadangi kiekvienas toks kampas matuojamas puse puslankiu ir atitinkamai yra 90°.
Šiandien apžvelgsime kito tipo problemas 6 – šį kartą su apskritimu. Daugelis studentų jų nemėgsta ir jiems sunku. Ir visiškai veltui, nes tokios problemos išsprendžiamos elementarus, jei žinote kai kurias teoremas. Arba jie visai nedrįsta, jei tu jų nepažįsti.
Prieš kalbėdamas apie pagrindines savybes, priminsiu apibrėžimą:
Įbrėžtasis kampas yra kampas, kurio viršūnė yra pačiame apskritime ir kurio kraštinės išpjauna stygą šiame apskritime.
Centrinis kampas yra bet koks kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre. Jo šonai taip pat kerta šį apskritimą ir išraižo jame akordą.
Taigi įbrėžtųjų ir centrinių kampų sąvokos yra neatsiejamai susijusios su apskritimu ir jo viduje esančiomis stygomis. O dabar pagrindinis teiginys:
Teorema. Centrinis kampas visada yra dvigubai didesnis už įrašytą kampą, remiantis tuo pačiu lanku.
Nepaisant teiginio paprastumo, yra visa klasė problemų 6, kurias galima išspręsti naudojant jį – ir nieko daugiau.
Užduotis. Raskite smailųjį kampą, kurį sudaro styga, lygi apskritimo spinduliui.
Tegul AB yra nagrinėjama styga, O apskritimo centras. Papildoma konstrukcija: OA ir OB yra apskritimo spinduliai. Mes gauname:
Apsvarstykite trikampį ABO. Jame AB = OA = OB - visos kraštinės lygios apskritimo spinduliui. Todėl trikampis ABO yra lygiakraštis, o visi jo kampai yra 60°.
Tegu M yra įbrėžto kampo viršūnė. Kadangi kampai O ir M yra ant to paties lanko AB, įbrėžtasis kampas M yra 2 kartus mažesnis už centrinį kampą O. Mes turime:
M = O: 2 = 60: 2 = 30
Užduotis. Centrinis kampas yra 36° didesnis už įbrėžtą kampą, kurį sudaro tas pats apskritimo lankas. Raskite įbrėžtą kampą.
Įveskime tokį užrašą:
- AB yra apskritimo styga;
- Taškas O yra apskritimo centras, taigi kampas AOB yra centrinis kampas;
- Taškas C yra įbrėžto kampo ACB viršūnė.
Kadangi ieškome įbrėžto kampo ACB, pažymėkime jį ACB = x. Tada centrinis kampas AOB yra x + 36. Kita vertus, centrinis kampas yra 2 kartus didesnis už įbrėžtą kampą. Mes turime:
AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.
Taigi radome įbrėžtinį kampą AOB – jis lygus 36°.
Apskritimas yra 360° kampas
Perskaitę paantraštę, išmanantys skaitytojai tikriausiai dabar pasakys: „Uh! Iš tiesų, lyginti apskritimą su kampu nėra visiškai teisinga. Norėdami suprasti, apie ką mes kalbame, pažvelkite į klasikinį trigonometrinį apskritimą:
Kam skirtas šis paveikslas? Be to, visas sukimasis yra 360 laipsnių kampas. Ir jei padalysite, tarkime, į 20 lygių dalių, tada kiekvienos iš jų dydis bus 360: 20 = 18 laipsnių. Būtent to reikia norint išspręsti B8 problemą.
Taškai A, B ir C yra apskritime ir padalijame jį į tris lankus, kurių laipsnio matai yra santykiu 1: 3: 5. Raskite didesnį trikampio ABC kampą.
Pirmiausia suraskime kiekvieno lanko laipsnio matą. Tegul mažesnis yra x. Paveiksle šis lankas pažymėtas AB. Tada likusius lankus – BC ir AC – galima išreikšti AB: lankas BC = 3x; AC = 5x. Iš viso šie lankai suteikia 360 laipsnių:
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.
Dabar apsvarstykite didelį lanką AC, kuriame nėra taško B. Šis lankas, kaip ir atitinkamas centrinis kampas AOC, yra 5x = 5 40 = 200 laipsnių.
Kampas ABC yra didžiausias iš visų trikampio kampų. Tai įbrėžtas kampas, apribotas to paties lanko kaip ir centrinis kampas AOC. Tai reiškia, kad kampas ABC yra 2 kartus mažesnis nei AOC. Mes turime:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Tai bus didesnio trikampio ABC kampo laipsnio matas.
Apskritimas, apibrėžtas stačiu trikampiu
Daugelis žmonių pamiršta šią teoremą. Bet veltui, nes be jo kai kurių B8 problemų išvis nepavyksta išspręsti. Tiksliau, jos išspręstos, bet su tokia skaičiavimų apimtimi, kad verčiau užmigtum, nei sulauktum atsakymo.
Teorema. Apriboto apskritimo centras taisyklingas trikampis, yra hipotenuzės viduryje.
Kas išplaukia iš šios teoremos?
- Hipotenuzės vidurio taškas yra vienodu atstumu nuo visų trikampio viršūnių. Tai yra tiesioginė teoremos pasekmė;
- Į hipotenuzę nubrėžta mediana padalija pradinį trikampį į du lygiašonius trikampius. Būtent to reikia norint išspręsti B8 problemą.
Trikampyje ABC nubrėžiame medianą CD. Kampas C yra 90°, o kampas B yra 60°. Raskite kampą ACD.
Kadangi kampas C yra 90°, trikampis ABC yra stačiakampis. Pasirodo, CD yra mediana, nubrėžta iki hipotenuzės. Tai reiškia, kad trikampiai ADC ir BDC yra lygiašoniai.
Visų pirma apsvarstykite trikampį ADC. Jame AD = CD. Tačiau lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs – žr. „B8 uždavinys: tiesių atkarpos ir kampai trikampiuose“. Todėl norimas kampas ACD = A.
Taigi, belieka išsiaiškinti, kodėl lygus kampui A. Norėdami tai padaryti, vėl atsigręžkime į pradinį trikampį ABC. Pažymėkime kampą A = x. Kadangi bet kurio trikampio kampų suma yra 180°, turime:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.
Žinoma, paskutinę problemą galima išspręsti kitaip. Pavyzdžiui, nesunku įrodyti, kad trikampis BCD yra ne tik lygiakraštis, bet ir lygiakraštis. Taigi kampas BCD yra 60 laipsnių. Taigi kampas ACD yra 90–60 = 30 laipsnių. Kaip matote, galite naudoti skirtingus lygiašoniai trikampiai, bet atsakymas visada bus tas pats.
Įkeliama...