Vaikai mokykloje trupmenų mažinimo taisyklių mokosi 6 klasėje. Šiame straipsnyje mes pirmiausia jums pasakysime, ką reiškia šis veiksmas, tada paaiškinsime, kaip redukuojamą trupmeną paversti neredukuojamąja trupmena. Kitas punktas bus trupmenų mažinimo taisyklės, o tada palaipsniui pereisime prie pavyzdžių.
Ką reiškia „sumažinti dalį“?
Taigi mes visi tai žinome paprastosios trupmenos skirstomi į dvi grupes: redukuojamus ir neredukuojamus. Jau iš pavadinimų galima suprasti, kad tie, kurie yra sutraukiami, yra susitraukę, o tie, kurie yra nesumažinami, – ne.
- Sumažinti trupmeną reiškia jos vardiklį ir skaitiklį padalyti iš jų (išskyrus vieną) teigiamo daliklio. Rezultatas, žinoma, yra nauja trupmena su mažesniu vardikliu ir skaitikliu. Gauta trupmena bus lygi pradinei trupmenai.
Verta paminėti, kad matematikos knygose su užduotimi „sumažinti trupmeną“ tai reiškia, kad reikia sumažinti pradinę trupmeną iki šios neredukuojamos formos. Jei kalbėsime paprastais žodžiais, tada vardiklį ir skaitiklį padalinkite iš didžiausio bendras daliklis ir yra sumažinimas.
Kaip sumažinti dalį. Frakcijų mažinimo taisyklės (6 klasė)
Taigi čia galioja tik dvi taisyklės.
- Pirmoji trupmenų mažinimo taisyklė – pirmiausia reikia rasti didžiausią bendrąjį trupmenos vardiklio ir skaitiklio koeficientą.
- Antroji taisyklė: padalykite vardiklį ir skaitiklį iš didžiausio bendro daliklio, galiausiai gaudami neredukuojamą trupmeną.
Kaip sumažinti netinkamą trupmeną?
Trupmenų mažinimo taisyklės yra identiškos netinkamų trupmenų mažinimo taisyklėms.
Norėdami sumažinti netinkamą trupmeną, pirmiausia turėsite įtraukti vardiklį ir skaitiklį į pirminius veiksnius, o tik tada sumažinti bendruosius veiksnius.
Sumaišytų frakcijų mažinimas
Frakcijų mažinimo taisyklės taikomos ir mišrioms frakcijoms redukuoti. Yra tik nedidelis skirtumas: galime liesti ne visą dalį, o sumažinti frakciją arba paversti mišrią frakciją netinkama, tada ją sumažinti ir vėl paversti tinkama frakcija.
Yra du būdai, kaip sumažinti mišrias frakcijas.
Pirma: surašykite trupmeninę dalį į pirminius veiksnius ir palikite visą dalį ramybėje.
Antrasis būdas: pirmiausia konvertuokite jį į netinkamą trupmeną, įrašykite į įprastus koeficientus, tada sumažinkite trupmeną. Paverskite jau gautą netinkamą trupmeną į tinkamą trupmeną.
Pavyzdžius galite pamatyti aukščiau esančioje nuotraukoje.
Labai tikimės, kad galėjome padėti jums ir jūsų vaikams. Juk dažnai pamokose būna nedėmesingi, todėl namuose tenka intensyviau mokytis savarankiškai.
Šiame straipsnyje mes išsamiai apžvelgsime, kaip redukuojančios frakcijos. Pirmiausia aptarkime, kas vadinama trupmenos mažinimu. Po to pakalbėkime apie redukuojamos frakcijos sumažinimą į neredukuojamą formą. Toliau gausime trupmenų mažinimo taisyklę ir galiausiai apsvarstysime šios taisyklės taikymo pavyzdžius.
Puslapio naršymas.
Ką reiškia sumažinti dalį?
Žinome, kad paprastosios trupmenos skirstomos į redukuojamas ir neredukuojamas trupmenas. Iš pavadinimų galite atspėti, kad redukuojamų trupmenų gali būti sumažinta, o ne redukuojamųjų trupmenų.
Ką reiškia sumažinti dalį? Sumažinti frakciją- tai reiškia, kad jo skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš teigiamų ir skiriasi nuo vienybės. Aišku, kad sumažinus trupmeną gaunama nauja trupmena su mažesniu skaitikliu ir vardikliu, o dėl pagrindinės trupmenos savybės gauta trupmena yra lygi pradinei.
Pavyzdžiui, sumažinkime bendrąją trupmeną 8/24, padalydami jos skaitiklį ir vardiklį iš 2. Kitaip tariant, sumažinkime trupmeną 8/24 2. Kadangi 8:2=4 ir 24:2=12, dėl šio sumažinimo gaunama trupmena 4/12, kuri yra lygi pradinei trupmenai 8/24 (žr. lygias ir nelygias trupmenas). Dėl to mes turime .
Paprastųjų trupmenų redukavimas į neredukuojamą formą
Paprastai galutinis trupmenos mažinimo tikslas yra gauti nesumažinamą trupmeną, lygią pradinei redukuojamai trupmenai. Šį tikslą galima pasiekti sumažinus pradinę redukuojamą trupmeną į jos skaitiklį ir vardiklį. Dėl tokio sumažinimo visada gaunama neredukuojama trupmena. Tikrai, dalis 
yra nepataisoma, nes tai žinoma 
Ir 
- . Čia pasakysime, kad didžiausias bendrasis trupmenos skaitiklio ir vardiklio daliklis yra didžiausias skaičius, kuriuo šią trupmeną galima sumažinti.
Taigi, bendrosios trupmenos redukavimas į neredukuojamą formą susideda iš pradinės redukuojamos trupmenos skaitiklio ir vardiklio padalijimo iš jų gcd.
Pažiūrėkime į pavyzdį, kuriam grįžtame prie trupmenos 8/24 ir sumažiname ją didžiausiu skaičių 8 ir 24 bendruoju dalikliu, kuris yra lygus 8. Kadangi 8:8=1 ir 24:8=3, gauname neredukuojamą trupmeną 1/3. Taigi,.
Atkreipkite dėmesį, kad frazė „sumažinti frakciją“ dažnai reiškia pradinės frakcijos sumažinimą iki nesumažinamos formos. Kitaip tariant, trupmenos sumažinimas labai dažnai reiškia skaitiklio ir vardiklio padalijimą iš didžiausio bendro koeficiento (o ne iš kokio nors bendro koeficiento).
Kaip sumažinti dalį? Trupmenų mažinimo taisyklės ir pavyzdžiai
Belieka pažvelgti į trupmenų mažinimo taisyklę, kuri paaiškina, kaip sumažinti nurodytą trupmeną.
Trupmenų mažinimo taisyklė susideda iš dviejų žingsnių:
- pirmiausia randamas trupmenos skaitiklio ir vardiklio gcd;
- antra, trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijami iš jų gcd, todėl gaunama neredukuojama trupmena, lygi pradinei.
Sutvarkykime trupmenos mažinimo pavyzdys pagal nurodytą taisyklę.
Pavyzdys.
Sumažinkite dalį 182/195.
Sprendimas.
Atlikime abu trupmenos mažinimo taisyklės nurodytus veiksmus.
Pirmiausia randame GCD(182, 195) . Patogiausia naudoti Euklido algoritmą (žr.): 195=182·1+13, 182=13·14, tai yra GCD(182, 195)=13.
Dabar trupmenos 182/195 skaitiklį ir vardiklį padalijame iš 13 ir gauname neredukuojamą trupmeną 14/15, kuri yra lygi pradinei trupmenai. Tai užbaigia frakcijos sumažinimą.
Trumpai sprendinį galima parašyti taip: .
Atsakymas:
Čia galime baigti mažinti frakcijas. Tačiau norėdami užbaigti vaizdą, pažvelkime į dar du būdus, kaip sumažinti trupmenas, kurie paprastai naudojami paprastais atvejais.
Kartais redukuojamos trupmenos skaitiklis ir vardiklis nėra sunkus. Šiuo atveju trupmenos sumažinimas yra labai paprastas: tereikia pašalinti visus įprastus veiksnius iš skaitiklio ir vardiklio.
Verta paminėti, kad šis metodas tiesiogiai išplaukia iš trupmenų mažinimo taisyklės, nes visų bendrų pirminių skaitiklio ir vardiklio koeficientų sandauga yra lygi didžiausiam jų bendrajam dalikliui.
Pažvelkime į pavyzdžio sprendimą.
Pavyzdys.
Sumažinkite dalį 360/2 940.
Sprendimas.
Išskaidykime skaitiklį ir vardiklį į paprastus koeficientus: 360=2·2·2·3·3·5 ir 2,940=2·2·3·5·7·7. Taigi, 
.
Dabar atsikratome bendrų skaitiklio ir vardiklio veiksnių; patogumo dėlei juos tiesiog išbraukiame: 
.
Galiausiai padauginame likusius veiksnius: , ir trupmenos sumažinimas baigtas.
Štai trumpa sprendimo santrauka: 
.
Atsakymas:
Panagrinėkime kitą trupmenos sumažinimo būdą, kurį sudaro nuoseklus mažinimas. Čia kiekviename žingsnyje trupmena sumažinama tam tikru bendru skaitiklio ir vardiklio dalikliu, kuris yra akivaizdus arba lengvai nustatomas naudojant
Daugelis mokinių daro tas pačias klaidas dirbdami su trupmenomis. Ir viskas, nes jie pamiršta pagrindines taisykles aritmetika. Šiandien pakartosime šias taisykles konkrečioms užduotims, kurias duodu savo pamokose.
Štai užduotis, kurią siūlau visiems, kurie ruošiasi vieningam valstybiniam matematikos egzaminui:
Užduotis. Kiaulė per dieną suvalgo 150 gramų maisto. Bet ji užaugo ir pradėjo valgyti 20% daugiau. Kiek gramų pašaro kiaulė dabar suvalgo?
Ne teisingas sprendimas. Tai procentinė problema, kuri susiveda į lygtį:
Daugelis (labai daug) sumažina skaičių 100 trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje:
Tai klaida, kurią mano mokinys padarė šio straipsnio rašymo dieną. Sutrumpinti skaičiai pažymėti raudonai.
Nereikia nė sakyti, kad atsakymas buvo neteisingas. Spręskite patys: kiaulė suvalgė 150 gramų, bet pradėjo valgyti 3150 gramų. Didėja ne 20%, o 21 kartą, t.y. 2000 proc.
Kad išvengtumėte tokių nesusipratimų, atsiminkite pagrindinę taisyklę:
Galima sumažinti tik daugiklius. Terminai negali būti sumažinti!
Taigi teisingas ankstesnės problemos sprendimas atrodo taip:
Skaičiai, kurie skaitiklyje ir vardiklyje yra sutrumpinti, pažymėti raudonai. Kaip matote, skaitiklis yra sandauga, vardiklis yra paprastas skaičius. Todėl sumažinimas yra visiškai teisėtas.
Darbas su proporcijomis
Kitas probleminė sritis — proporcijas. Ypač kai kintamasis yra iš abiejų pusių. Pavyzdžiui:
Užduotis. Išspręskite lygtį:
Neteisingas sprendimas – kai kuriems žmonėms tiesiog norisi viską sutrumpinti m:
Sumažinti kintamieji rodomi raudonai. Išraiška 1/4 = 1/5 pasirodo visiška nesąmonė, šie skaičiai niekada nėra lygūs.
O dabar – teisingas sprendimas. Iš esmės tai įprasta tiesinė lygtis. Tai galima išspręsti perkeliant visus elementus į vieną pusę arba pagal pagrindinę proporcijos savybę:
Daugelis skaitytojų prieštaraus: „Kur yra pirmojo sprendimo klaida? Na, išsiaiškinkime. Prisiminkime darbo su lygtimis taisyklę:
Bet kurią lygtį galima padalyti ir padauginti iš bet kurio skaičiaus, ne nulis.
Ar praleidote triuką? Galite padalyti tik iš skaičių ne nulis. Konkrečiai, jūs galite dalyti iš kintamojo m tik tuo atveju, jei m != 0. O kas, jei m = 0? Pakeiskime ir patikrinkime:
Gavome teisingą skaitinę lygybę, t.y. m = 0 yra lygties šaknis. Likusiems m != 0 gauname 1/4 = 1/5 formos išraišką, kuri yra natūraliai neteisinga. Taigi, nėra nulinių šaknų.
Išvados: viską sudėjus
Taigi, norėdami išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis, atsiminkite tris taisykles:
- Galima sumažinti tik daugiklius. Papildymai neįmanomi. Todėl išmokite skaičiuoti skaitiklį ir vardiklį;
- Pagrindinė proporcijos savybė: kraštutinių elementų sandauga lygi vidurinių sandaugai;
- Lygtys gali būti dauginamos ir dalijamos tik iš skaičių k, išskyrus nulį. Atvejis k = 0 turi būti patikrintas atskirai.
Prisiminkite šias taisykles ir nedarykite klaidų.
Padalinys o jų trupmenos skaitiklis ir vardiklis bendras daliklis, skiriasi nuo vieno, vadinamas sumažinant dalį.
Norėdami sutrumpinti bendroji trupmena, jo skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš to paties natūraliojo skaičiaus.
Šis skaičius yra didžiausias bendrasis duotosios trupmenos skaitiklio ir vardiklio daliklis.
Galimi šie dalykai sprendimų registravimo formos Paprastųjų trupmenų mažinimo pavyzdžiai.
Studentas turi teisę pasirinkti bet kokią įrašymo formą.
Pavyzdžiai. Supaprastinkite trupmenas.
Sumažinkite trupmeną 3 (skaitiklį padalinkite iš 3;
padalykite vardiklį iš 3).
Sumažinkite trupmeną 7.
Nurodytus veiksmus atliekame trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje.
Gauta dalis sumažinama 5.
Sumažinkime šią trupmeną 4)
įjungta 5,7³- didžiausias bendras skaitiklio ir vardiklio daliklis (GCD), kurį sudaro bendrieji skaitiklio ir vardiklio koeficientai, paimti į laipsnį su mažiausiu laipsniu.
Suskaičiuokime šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį į pirminius veiksnius.
Mes gauname: 756=2²·3³·7 Ir 1176=2³·3·7².
Nustatykite trupmenos skaitiklio ir vardiklio GCD (didžiausias bendras daliklis) 5) .
Tai yra bendrų veiksnių, paimtų su mažiausiais eksponentais, rezultatas.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš jų gcd, t.y. 2²·3·7 gauname neredukuojamą trupmeną 9/14
.
Arba buvo galima parašyti skaitiklio ir vardiklio skaidymą pirminių koeficientų sandauga, nenaudojant galios sąvokos, o tada sumažinti trupmeną išbraukiant tuos pačius veiksnius skaitiklyje ir vardiklyje. Kai nelieka identiškų koeficientų, likusius veiksnius dauginame atskirai skaitiklyje ir atskirai vardiklyje ir išrašome gautą trupmeną 9/14 .
Ir galiausiai šią dalį pavyko sumažinti 5) palaipsniui, taikant skaičių dalybos ženklus ir trupmenos skaitikliui, ir vardikliui. Pagalvokime taip: skaičiai 756 Ir 1176 baigiasi lyginiu skaičiumi, o tai reiškia, kad abu dalijasi iš 2 . Sumažiname trupmeną 2 . Naujos trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra skaičiai 378 Ir 588 taip pat skirstomi į 2 . Sumažiname trupmeną 2 . Pastebime, kad skaičius 294 - net ir 189 yra nelyginis, o sumažinti 2 nebeįmanoma. Patikrinkime skaičių dalijamumą 189 Ir 294 įjungta 3 .
(1+8+9)=18 dalijasi iš 3 ir (2+9+4)=15 dalijasi iš 3, taigi ir patys skaičiai 189 Ir 294 yra skirstomi į 3 . Sumažiname trupmeną 3 . Toliau, 63 dalijasi iš 3 ir 98 – Ne. Pažvelkime į kitus pagrindinius veiksnius. Abu skaičiai dalijasi iš 7 . Sumažiname trupmeną 7 ir gauname neredukuojamąją trupmeną 9/14 .
Norėdami suprasti, kaip sumažinti trupmenas, pirmiausia pažvelkime į pavyzdį.
Sumažinti trupmeną reiškia skaitiklį ir vardiklį padalyti iš to paties. Tiek 360, tiek 420 baigiasi skaitmeniu, todėl šią trupmeną galime sumažinti 2. Naujoje trupmenoje 180 ir 210 taip pat dalijasi iš 2, todėl šią trupmeną sumažiname iš 2. Skaičiuose 90 ir 105 suma skaitmenų dalijasi iš 3, todėl abu šie skaičiai dalijasi iš 3, trupmeną sumažiname 3. Naujoje trupmenoje 30 ir 35 baigiasi 0 ir 5, tai reiškia, kad abu skaičiai dalijasi iš 5, todėl sumažiname trupmeną 5. Gauta šešių septintųjų trupmena yra neredukuojama. Tai yra galutinis atsakymas.
Mes galime gauti tą patį atsakymą kitu būdu.
Tiek 360, tiek 420 baigiasi nuliu, o tai reiškia, kad jie dalijasi iš 10. Sumažiname trupmeną iš 10. Naujoje trupmenoje tiek skaitiklis 36, tiek vardiklis 42 dalijami iš 2. Trupmeną sumažiname iš 2. sekanti trupmena, tiek skaitiklis 18, tiek vardiklis 21 dalinami iš 3, vadinasi, trupmeną sumažiname 3. Priėjome prie rezultato - šešios septintosios.
Ir dar vienas sprendimas.
Kitą kartą pažvelgsime į trupmenų mažinimo pavyzdžius.
Įkeliama...