Mažiausias bendrasis dviejų skaičių kartotinis. Dalikliai ir kartotiniai

Apsvarstykite tris būdus, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį.

Ieškomas faktoringo būdu

Pirmasis būdas yra rasti mažiausią bendrą kartotinį, įtraukiant šiuos skaičius į pirminius veiksnius.

Tarkime, kad turime rasti skaičių LCM: 99, 30 ir 28. Norėdami tai padaryti, kiekvieną iš šių skaičių išskaidome į pirminius veiksnius:

Kad norimas skaičius dalytųsi iš 99, 30 ir 28, būtina ir pakanka, kad į jį patektų visi pirminiai šių daliklių veiksniai. Norėdami tai padaryti, turime paimti visus pirminius šių skaičių veiksnius iki didžiausios galios ir padauginti juos kartu:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Taigi LCM (99, 30, 28) = 13 860. Joks kitas skaičius, mažesnis nei 13 860, nesidalija iš 99, 30 arba 28.

Norėdami rasti mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį, turite įtraukti juos į pirminius veiksnius, tada paimti kiekvieną pirminį koeficientą su didžiausiu rodikliu, kurį jis atitinka, ir padauginti šiuos veiksnius kartu.

Kadangi pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių koeficientų, jų mažiausias bendras kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai. Pavyzdžiui, trys skaičiai: 20, 49 ir ​​33 yra abipusiai pirminiai. Taigi

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Tą patį reikėtų daryti ir ieškant mažiausiojo bendro skirtingų pirminių skaičių kartotinio. Pavyzdžiui, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Rasti atrankos būdu

Antrasis būdas – derinant surasti mažiausią bendrą kartotinį.

1 pavyzdys. Kai didžiausias iš pateiktų skaičių yra visiškai padalintas iš kitų pateiktų skaičių, šių skaičių LCM yra lygus didesniam iš jų. Pavyzdžiui, duoti keturi skaičiai: 60, 30, 10 ir 6. Kiekvienas iš jų dalijasi iš 60, todėl:

LCM (60, 30, 10, 6) = 60

Kitu atveju, norint rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojama ši procedūra:

  1. Nustatykite didžiausią pateiktų skaičių skaičių.
  2. Toliau randame skaičius, kurie yra didžiausio skaičiaus kartotiniai, padauginame jį iš natūraliųjų skaičių didėjančia tvarka ir patikriname, ar likę pateikti skaičiai dalijasi iš gautos sandaugos.

2 pavyzdys. Duoti trys skaičiai 24, 3 ir 18. Nustatykite didžiausią iš jų – tai skaičius 24. Tada suraskite skaičius, kurie yra 24 kartotiniai, patikrindami, ar kiekvienas iš jų dalijasi iš 18 ir 3:

24 1 = 24 – dalijasi iš 3, bet nesidali iš 18.

24 2 = 48 – dalijasi iš 3, bet nesidali iš 18.

24 3 = 72 – dalijasi iš 3 ir 18.

Taigi LCM (24, 3, 18) = 72.

Rasti nuosekliai ieškant LCM

Trečias būdas yra rasti mažiausią bendrą kartotinį, nuosekliai ieškant LCM.

Dviejų pateiktų skaičių LCM yra lygi šių skaičių sandaugai, padalytai iš didžiausio bendro daliklio.

1 pavyzdys. Raskime dviejų pateiktų skaičių LCM: 12 ir 8. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: GCD (12, 8) = 4. Padauginkite šiuos skaičius:

Darbą suskirstome į jų GCD:

Taigi LCM (12, 8) = 24.

Norėdami rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, atlikite šią procedūrą:

  1. Pirmiausia suraskite bet kurių dviejų nurodytų skaičių LCM.
  2. Tada rasto mažiausio bendro kartotinio ir trečiojo duoto skaičiaus LCM.
  3. Tada gauto mažiausio bendro kartotinio ir ketvirtojo skaičiaus LCM ir kt.
  4. Taigi LCM paieška tęsiasi tol, kol yra skaičių.

2 pavyzdys. Raskime trijų pateiktų skaičių LCM: 12, 8 ir 9. Skaičių 12 ir 8 LCM, kuriuos jau radome ankstesniame pavyzdyje (tai skaičius 24). Belieka rasti mažiausią bendrą 24 kartotinį ir trečiąjį duotąjį skaičių – 9. Nustatykite jų didžiausią bendrąjį daliklį: GCD (24, 9) = 3. LCM padauginkite iš 9:

Darbą suskirstome į jų GCD:

Taigi LCM (12, 8, 9) = 72.

Kartinys yra skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš nurodyto skaičiaus. Mažiausias skaičių grupės kartotinis (LCM) yra mažiausias skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš kiekvieno grupės skaičiaus. Norėdami rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, turite rasti pirminius duotųjų skaičių veiksnius. LCM taip pat gali būti apskaičiuojamas naudojant daugybę kitų metodų, taikomų dviejų ar daugiau skaičių grupėms.

Žingsniai

Daugialypių serija

    Pažiūrėkite į pateiktus skaičius.Čia aprašytą metodą geriausia naudoti, kai pateikiami du skaičiai, kurių kiekvienas yra mažesnis nei 10. Jei skaičiai dideli, naudokite kitą metodą.

    • Pavyzdžiui, suraskite mažiausią bendrą 5 ir 8 kartotinį. Tai maži skaičiai, todėl galite naudoti šį metodą.

  1. Kartinys yra skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš nurodyto skaičiaus. Daugybos lentelėje galima rasti kelis skaičius.

    • Pavyzdžiui, skaičiai, kurie yra 5 kartotiniai, yra: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. Užrašykite skaičių seriją, kuri yra pirmojo skaičiaus kartotiniai. Atlikite tai su pirmojo skaičiaus kartotiniais, kad palygintumėte dvi skaičių serijas.

    • Pavyzdžiui, skaičiai, kurie yra 8 kartotiniai, yra: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ir 64.

  3. Raskite mažiausią skaičių, esantį abiejose kartotinių eilutėse. Gali tekti parašyti ilgas kartotinių serijas, kad rastumėte bendrą sumą. Mažiausias skaičius, esantis abiejose kartotinių eilutėse, yra mažiausias bendras kartotinis.

    • Pavyzdžiui, mažiausias skaičius, atsirandantis 5 ir 8 kartotinių serijoje, yra 40. Todėl 40 yra mažiausias bendras 5 ir 8 kartotinis.

    Pirminis faktorizavimas

    1. Pažiūrėkite į pateiktus skaičius.Čia aprašytą metodą geriausia naudoti, kai pateikiami du skaičiai, kurių kiekvienas yra didesnis nei 10. Jei pateikti skaičiai mažesni, naudokite kitą metodą.

      • Pavyzdžiui, raskite mažiausią bendrą skaičių 20 ir 84. Kiekvienas skaičius yra didesnis nei 10, todėl galite naudoti šį metodą.

    2. Paskaičiuokite pirmąjį skaičių. Tai yra, reikia rasti tokius pirminius skaičius, kuriuos padauginus gausite nurodytą skaičių. Suradę pirminius veiksnius, užrašykite juos kaip lygybes.

      • Pavyzdžiui, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ kartus 10 = 20) ir 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ kartus (\ mathbf (5)) = 10)... Taigi pirminiai 20 koeficientai yra 2, 2 ir 5. Užrašykite juos kaip išraišką:.

    3. Antrasis skaičius koeficientas. Atlikite tai taip pat, kaip faktorinavote pirmąjį skaičių, tai yra, suraskite pirminius skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nurodytas skaičius.

      • Pavyzdžiui, 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ kartus 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7)) \ kartus 6 = 42) ir 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ kartus (\ mathbf (2)) = 6)... Taigi, pirminiai koeficientai 84 yra 2, 7, 3 ir 2. Užrašykite juos kaip išraišką:.

    4. Užrašykite abiem skaičiams bendrus veiksnius. Užrašykite šiuos veiksnius kaip daugybos operaciją. Rašydami kiekvieną veiksnį, perbraukite jį abiejose išraiškose (išraiškose, apibūdinančiose pirminius faktorius).

      • Pavyzdžiui, bendras abiejų skaičių koeficientas yra 2, todėl parašykite 2 × (\ displaystyle 2 \ kartus) ir išbraukti 2 abiejose išraiškose.
      • Abiejų skaičių bendras yra dar vienas koeficientas 2, todėl parašykite 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ times 2) ir abiejose išraiškose išbraukite antrąjį 2.

    5. Pridėkite likusius veiksnius prie daugybos operacijos. Tai yra veiksniai, kurie nėra perbraukti abiejose išraiškose, tai yra veiksniai, kurie nėra bendri abiem skaičiams.

      • Pavyzdžiui, išraiškoje 20 = 2 × 2 × 5 (\ ekrano stilius 20 = 2 \ kartus 2 \ kartus 5) abu 2 (2) yra perbraukti, nes jie yra bendri veiksniai. Koeficientas 5 nėra perbrauktas, todėl daugybos operaciją parašykite taip: 2 × 2 × 5 (\ ekrano stilius 2 \ kartus 2 \ kartus 5)
      • Išraiškoje 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ kartus 7 \ kartus 3 \ kartus 2) abu 2 taip pat perbraukti (2). 7 ir 3 koeficientai nėra perbraukti, todėl daugybos operaciją parašykite taip: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ kartus 2 \ kartus 5 \ kartus 7 \ kartus 3).

    6. Apskaičiuokite mažiausiąjį bendrąjį kartotinį. Norėdami tai padaryti, padauginkite skaičius įrašytoje daugybos operacijoje.

      • Pavyzdžiui, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ ekrano stilius 2 \ kartus 2 \ kartus 5 \ kartus 7 \ kartus 3 = 420)... Taigi mažiausias bendras 20 ir 84 kartotinis yra 420.

    Bendrų daliklių radimas

    1. Nubraižykite tinklelį taip, kaip žaidžiant „tic-tac-toe“. Toks tinklelis susideda iš dviejų lygiagrečių tiesių, kurios susikerta (stačiu kampu) su kitomis dviem lygiagrečiomis linijomis. Taip sukuriamos trys eilutės ir trys stulpeliai (tinklelis labai panašus į # ženklą). Pirmoje eilutėje ir antrame stulpelyje parašykite pirmąjį skaičių. Pirmoje eilutėje ir trečiame stulpelyje parašykite antrąjį skaičių.

      • Pavyzdžiui, suraskite mažiausią bendrą 18 ir 30 kartotinį. Pirmoje eilutėje ir antrame stulpelyje parašykite 18, o pirmoje ir trečioje stulpelyje - 30.

    2. Raskite abiem skaičiams bendrą daliklį. Užrašykite jį pirmoje eilutėje ir pirmame stulpelyje. Geriau ieškoti pagrindinių veiksnių, bet tai nėra būtina.

      • Pavyzdžiui, 18 ir 30 yra lyginiai skaičiai, todėl jų bendras daliklis yra 2. Taigi pirmoje eilutėje ir pirmame stulpelyje parašykite 2.

    3. Padalinkite kiekvieną skaičių iš pirmojo daliklio. Kiekvieną koeficientą parašykite po atitinkamu skaičiumi. Dalinys yra dviejų skaičių padalijimo rezultatas.

      • Pavyzdžiui, 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9) taigi rašykite 9 iki 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15) taigi rašykite 15 iki 30.

    4. Raskite daliklį, bendrą abiems koeficientams. Jei tokio daliklio nėra, praleiskite kitus du veiksmus. Kitu atveju parašykite daliklį antroje eilutėje ir pirmame stulpelyje.

      • Pavyzdžiui, 9 ir 15 dalijasi iš 3, todėl antroje eilutėje ir pirmame stulpelyje parašykite 3.

    5. Kiekvieną koeficientą padalinkite iš antrojo koeficiento. Kiekvieno padalijimo rezultatą parašykite po atitinkamu koeficientu.

      • Pavyzdžiui, 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3) taigi parašykite 3 po 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5) taigi parašykite 5 iki 15.

    6. Jei reikia, tinklelį papildykite papildomomis ląstelėmis. Kartokite aprašytus veiksmus, kol koeficientai turės bendrą daliklį.

    7. Apibraukite skaičius pirmame stulpelyje ir paskutinėje tinklelio eilutėje. Tada užrašykite pasirinktus skaičius kaip daugybos operaciją.

      • Pavyzdžiui, skaičiai 2 ir 3 yra pirmame stulpelyje, o skaičiai 3 ir 5 yra paskutinėje eilutėje, todėl daugybos operaciją parašykite taip: 2 × 3 × 3 × 5 (\ ekrano stilius 2 \ kartus 3 \ kartus 3 \ kartus 5).

    8. Raskite skaičių daugybos rezultatą. Taip bus apskaičiuotas mažiausias bendrasis dviejų nurodytų skaičių kartotinis.

      • Pavyzdžiui, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ ekrano stilius 2 \ kartus 3 \ kartus 3 \ kartus 5 = 90)... Taigi mažiausias bendras 18 ir 30 kartotinis yra 90.

    Euklido algoritmas

    1. Prisiminkite terminiją, susijusią su padalijimo operacija. Dividendas yra dalijamas skaičius. Daliklis yra skaičius, padalytas iš. Dalinys yra dviejų skaičių padalijimo rezultatas. Likutis yra skaičius, likęs padalijus du skaičius.

      • Pavyzdžiui, išraiškoje 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2) ost. 3:
        15 yra dividendas
        6 yra daliklis
        2 yra koeficientas
        3 yra likusi dalis.

Didžiausias bendras daliklis

2 apibrėžimas

Jei natūralusis skaičius a dalijasi iš natūraliojo skaičiaus $ b $, tai $ b $ vadinamas $ a $ dalikliu, o $ a $ vadinamas $ b $ kartotiniu.

Tegul $ a $ ir $ b $ yra natūralieji skaičiai. Skaičius $ c $ vadinamas bendruoju ir $ a $, ir $ b $ dalikliu.

$ a $ ir $ b $ bendrųjų daliklių rinkinys yra baigtinis, nes nė vienas iš šių daliklių negali būti didesnis nei $ a $. Tai reiškia, kad tarp šių daliklių yra didžiausias, vadinamas didžiausiu bendruoju skaičių $ a $ ir $ b $ dalikliu, ir jam žymėti naudojamas užrašas:

$ Gcd \ (a; b) \ arba \ D \ (a; b) $

Norėdami rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, turite:

  1. Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras koeficientas.

1 pavyzdys

Raskite skaičių $ 121 $ ir $ 132. $ gcd

    242 USD = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 USD

    132 USD = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

    Pasirinkite skaičius, kurie yra įtraukti į šių skaičių skaidymą

    242 USD = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 USD

    132 USD = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

    Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras koeficientas.

    $ Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 $

2 pavyzdys

Raskite 63 USD ir 81 USD kainuojantį GCD.

Rasime pagal pateiktą algoritmą. Už tai:

    Išskaidykite skaičius į pirminius veiksnius

    63 USD = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 USD

    81 USD = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

    Mes pasirenkame skaičius, kurie yra įtraukti į šių skaičių skaidymą

    63 USD = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 USD

    81 USD = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

    Raskime skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras koeficientas.

    $ Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

Dviejų skaičių GCD galite rasti kitu būdu, naudodami skaičių daliklių rinkinį.

3 pavyzdys

Raskite skaičių 48 USD ir 60 USD GCD.

Sprendimas:

Raskite skaičiaus $ 48 daliklių rinkinį: $ \ left \ ((\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \ right \) $

Dabar randame skaičiaus $ 60 daliklių rinkinį: $ \ \ left \ ((\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \ dešinė \ ) $

Raskime šių aibių sankirtą: $ \ left \ ((\ rm 1,2,3,4,6,12) \ right \) $ - šis rinkinys nustatys skaičių bendrųjų daliklių aibę $ 48 $ ir 60 USD. Didžiausias elementas duotame rinkinyje bus skaičius $ 12 $. Taigi didžiausias bendras 48 USD ir 60 USD daliklis bus 12 USD.

LCM apibrėžimas

3 apibrėžimas

Bendrasis natūraliųjų skaičių kartotinis$ a $ ir $ b $ yra natūralusis skaičius, kuris yra $ a $ ir $ b $ kartotinis.

Bendrieji skaičių kartotiniai yra skaičiai, kuriuos galima padalyti iš originalo be liekanos. Pavyzdžiui, skaičių $ 25 $ ir $ 50 $ bendrieji kartotiniai bus skaičiai $ 50 100 150 200 ir kt.

Mažiausias bendras kartotinis bus vadinamas mažiausiu bendruoju kartotiniu ir žymimas LCM $ (a; b) $ arba K $ (a; b). $

Norėdami rasti dviejų skaičių LCM, jums reikia:

  1. Veiksnių skaičiai
  2. Užrašykite veiksnius, kurie yra pirmojo skaičiaus dalis, ir pridėkite prie jų veiksnius, kurie yra antrojo skaičiaus dalis ir neįeina į pirmąjį.

4 pavyzdys

Raskite skaičių 99 USD ir 77 USD LCM.

Rasime pagal pateiktą algoritmą. Už tai

    Veiksnių skaičiai

    99 USD = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 USD

    Užrašykite veiksnius, įtrauktus į pirmąjį

    pridėkite prie jų veiksnius, kurie yra antrojo dalis ir nesigilinkite į pirmąjį

    Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas mažiausias bendras kartotinis

    $ LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 $

    Skaičių daliklių sąrašų sudarymas dažnai užima daug laiko. Yra būdas rasti GCD, vadinamas Euklido algoritmu.

    Teiginiai, kuriais grindžiamas Euklido algoritmas:

    Jei $ a $ ir $ b $ yra natūralūs skaičiai, o $ a \ vdots b $, tai $ D (a; b) = b $

    Jei $ a $ ir $ b $ yra natūralūs skaičiai, tokie, kad $ b

Naudodami $ D (a; b) = D (a-b; b) $, galime paeiliui mažinti nagrinėjamus skaičius, kol pasieksime tokią skaičių porą, kad vienas iš jų dalytųsi iš kito. Tada mažesnis iš šių skaičių bus pageidaujamas didžiausias skaičių $ a $ ir $ b $ daliklis.

GCD ir LCM savybės

  1. Bet koks bendras $ a $ ir $ b $ kartotinis dalijasi iš K $ (a; b) $
  2. Jei $ a \ vdots b $, tai K $ (a; b) = a $

    3. Jei K $ (a; b) = k $ ir $ m $ yra natūralusis skaičius, tai K $ (am; bm) = km $

    Jei $ d $ yra bendras $ a $ ir $ b $ daliklis, tada K ($ \ frac (a) (d); \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d ) $

    Jei $ a \ vdots c $ ir $ b \ vdots c $, tai $ \ frac (ab) (c) $ yra bendras $ a $ ir $ b $ kartotinis

    Bet kokių natūraliųjų skaičių $ a $ ir $ b $ lygybė

    $ D (a; b) \ cdot К (a; b) = ab $

    Bet koks bendras skaičių $ a $ ir $ b $ daliklis yra skaičiaus $ D daliklis (a; b) $

Matematinės išraiškos ir uždaviniai reikalauja daug papildomų žinių. NOC yra vienas iš pagrindinių, ypač dažnai vartojamas Tema nagrinėjama vidurinėje mokykloje, tuo tarpu perprasti medžiagą nėra itin sunku, žmogui, susipažinusiam su laipsniais ir daugybos lentele, nebus sunku pasirinkti reikiamą. skaičių ir raskite rezultatą.

Apibrėžimas

Bendrasis kartotinis yra skaičius, kurį vienu metu galima visiškai padalyti į du skaičius (a ir b). Dažniausiai šis skaičius gaunamas padauginus pradinius skaičius a ir b. Skaičius turi dalytis iš abiejų skaičių iš karto, be nukrypimų.

NOC yra trumpas pavadinimas, sudarytas iš pirmųjų raidžių.

Būdai gauti numerį

Norint rasti LCM, skaičių dauginimo metodas ne visada tinka, jis daug geriau tinka paprastiems vienaženkliams arba dviženkliams skaičiams. įprasta dalyti iš faktorių, kuo didesnis skaičius, tuo daugiau faktorių bus.

1 pavyzdys

Paprasčiausiam pavyzdžiui, mokyklose dažniausiai naudojami paprasti, vienženkliai arba dviženkliai skaičiai. Pavyzdžiui, reikia išspręsti šią problemą, rasti mažiausią skaičių 7 ir 3 kartotinį, sprendimas gana paprastas, tereikia juos padauginti. Dėl to yra skaičius 21, mažesnio skaičiaus tiesiog nėra.

2 pavyzdys

Antrasis užduoties variantas yra daug sunkesnis. Atsižvelgiant į skaičius 300 ir 1260, LCM rasti yra privaloma. Norint išspręsti užduotį, atliekami šie veiksmai:

Pirmojo ir antrojo skaičių išskaidymas į paprasčiausius veiksnius. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Pirmasis etapas baigtas.

Antrasis etapas apima darbą su jau gautais duomenimis. Kiekvienas gautas skaičius turi dalyvauti skaičiuojant galutinį rezultatą. Iš pradinių skaičių paimamas didžiausias kiekvieno veiksnio įvykių skaičius. LCM yra bendras skaičius, todėl faktoriai iš skaičių turi pasikartoti jame į vieną, net ir tie, kurie yra vienoje kopijoje. Abu pradiniai skaičiai savo sudėtyje turi skaičius 2, 3 ir 5, skirtingais laipsniais, vienu atveju yra tik 7.

Norėdami apskaičiuoti galutinį rezultatą, turite paimti kiekvieną skaičių pagal didžiausią iš lygtyje pateiktų galių. Belieka padauginti ir gauti atsakymą, teisingai užpildžius užduotis suskirstyta į du etapus be paaiškinimo:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM = 6300.

Tai ir yra visa problema, jei bandysite apskaičiuoti reikiamą skaičių padaugindami, tada atsakymas tikrai nebus teisingas, nes 300 * 1260 = 378 000.

Egzaminas:

6300/300 = 21 – tiesa;

6300/1260 = 5 – teisingai.

Gauto rezultato teisingumas nustatomas tikrinant – LCM dalijant iš abiejų pradinių skaičių, jei skaičius abiem atvejais yra sveikasis skaičius, tai atsakymas teisingas.

Ką matematikoje reiškia LCM

Kaip žinote, matematikoje nėra nė vienos nenaudingos funkcijos, tai ne išimtis. Dažniausiai šis skaičius naudojamas trupmenoms sujungti į bendrą vardiklį. Ko dažniausiai mokomasi vidurinės mokyklos 5-6 klasėse. Be to, tai yra bendras visų kartotinių daliklis, jei problemos yra tokios. Panaši išraiška gali rasti kartotinį ne tik dviejų skaičių, bet ir daug didesnio skaičiaus – trijų, penkių ir pan. Kuo daugiau skaičių – tuo daugiau veiksmų užduotyje, tačiau sudėtingumas nuo to nepadidėja.

Pavyzdžiui, atsižvelgiant į skaičius 250, 600 ir 1500, turite rasti bendrą jų LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 – šiame pavyzdyje faktorizacija aprašoma išsamiai, neatšaukiant.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Norint sudaryti išraišką, reikia paminėti visus veiksnius, šiuo atveju pateikiami 2, 5, 3, - visiems šiems skaičiams reikia nustatyti maksimalų laipsnį.

Dėmesio: visi daugikliai turi būti visiškai supaprastinti, jei įmanoma, išplėsti iki vienreikšmių.

Egzaminas:

1) 3000/250 = 12 – tiesa;

2) 3000/600 = 5 – tiesa;

3) 3000/1500 = 2 – tiesa.

Šis metodas nereikalauja jokių gudrybių ar genialaus lygio sugebėjimų, viskas paprasta ir aišku.

Kitas būdas

Matematikoje daug kas yra susiję, daug ką galima išspręsti dviem ar daugiau būdų, tas pats pasakytina ir ieškant mažiausiojo bendro kartotinio LCM. Šis metodas gali būti naudojamas paprastiems dviženkliams ir vienženkliams skaičiams. Sudaroma lentelė, į kurią vertikaliai įvedamas daugiklis, horizontaliai, o sandauga nurodoma susikertančiose stulpelio langeliuose. Lentelę galite atspindėti linija, paimamas skaičius ir šio skaičiaus padauginimo iš sveikųjų skaičių nuo 1 iki begalybės rezultatai rašomi iš eilės, kartais pakanka 3-5 taškų, antrasis ir vėlesni skaičiai yra kuriems taikomas tas pats skaičiavimo procesas. Viskas vyksta tol, kol nerandamas bendras kartotinis.

Atsižvelgiant į skaičius 30, 35, 42, turite rasti LCM, jungiantį visus skaičius:

1) 30 kartotiniai: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 ir kt.

2) 35 kartotiniai: 70, 105, 140, 175, 210, 245 ir kt.

3) 42 kartotiniai: 84, 126, 168, 210, 252 ir kt.

Pastebima, kad visi skaičiai yra gana skirtingi, vienintelis bendras skaičius tarp jų yra 210, todėl tai bus LCM. Tarp procesų, susijusių su šiuo skaičiavimu, taip pat yra didžiausias bendras daliklis, kuris apskaičiuojamas pagal panašius principus ir dažnai susiduriama su gretimomis problemomis. Skirtumas nedidelis, bet pakankamai reikšmingas, LCM daro prielaidą, kad apskaičiuojamas skaičius, padalytas iš visų nurodytų pradinių reikšmių, o GCD – didžiausios reikšmės, iš kurios dalijami pradiniai skaičiai, apskaičiavimas.

Tema „Daugiai“ nagrinėjama bendrojo lavinimo mokyklos 5 klasėje. Jo tikslas – tobulinti matematinių skaičiavimų įgūdžius raštu ir žodžiu. Šioje pamokoje pristatomos naujos sąvokos – „daugiai“ ir „dalikliai“, lavinama natūraliojo skaičiaus daliklių ir kartotinių paieškos technika, galimybė įvairiais būdais rasti LCM.

Ši tema labai svarbi. Žinios apie tai gali būti pritaikytos sprendžiant pavyzdžius su trupmenomis. Norėdami tai padaryti, apskaičiuodami mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM) turite rasti bendrą vardiklį.

A kartotinis yra sveikasis skaičius, kuris dalijasi iš A be liekanos.

Kiekvienas natūralusis skaičius turi begalinį jo kartotinių skaičių. Jis pats laikomas mažiausiu. Daugiakalbis negali būti mažesnis už patį skaičių.

Turime įrodyti, kad 125 yra 5 kartotinis. Norėdami tai padaryti, padalykite pirmąjį skaičių iš antrojo. Jei 125 dalijasi iš 5 be liekanos, atsakymas yra taip.

Šis metodas tinka mažiems skaičiams.

Skaičiuojant LCM yra ypatingų atvejų.

1. Jei reikia rasti bendrą 2 skaičių kartotinį (pavyzdžiui, 80 ir 20), kur vienas iš jų (80) be likučio dalinamas iš kito (20), tai šis skaičius (80) yra mažiausias šių dviejų skaičių kartotinis.

LCM (80, 20) = 80.

2. Jei du neturi bendro daliklio, tai galime sakyti, kad jų LCM yra šių dviejų skaičių sandauga.

LCM (6, 7) = 42.

Pažvelkime į paskutinį pavyzdį. 6 ir 7 42 atžvilgiu yra dalikliai. Jie padalija kartotinį be liekanos.

Šiame pavyzdyje 6 ir 7 yra suporuoti dalikliai. Jų sandauga yra lygi didžiausiam skaičiaus (42) kartotiniam.

Skaičius vadinamas pirminiu, jei jis dalijasi tik iš savęs arba iš 1 (3: 1 = 3; 3: 3 = 1). Likusieji vadinami sudėtiniais.

Kitame pavyzdyje turite nustatyti, ar 9 yra 42 daliklis.

42: 9 = 4 (likęs 6)

Atsakymas: 9 nėra 42 daliklis, nes atsakyme yra liekana.

Daliklis nuo kartotinio skiriasi tuo, kad daliklis yra skaičius, iš kurio dalijami natūralieji skaičiai, o pats kartotinis dalijasi iš šio skaičiaus.

Didžiausias bendras skaičių daliklis a ir b, padaugintas iš mažiausio jų kartotinio, gaus pačių skaičių sandaugą a ir b.

Būtent: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Bendrieji sudėtingesnių skaičių kartotiniai randami tokiu būdu.

Pavyzdžiui, suraskite 168, 180, 3024 LCM.

Šiuos skaičius išskaidome į pirminius veiksnius, užrašome juos laipsnių sandaugos forma:

168 = 2³х3¹х7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Įkeliama...Įkeliama...