Paprastąją trupmeną konvertuoti į dešimtainę trupmeną reiškia rasti dešimtainę trupmeną, kuri būtų lygi duotai bendrajai trupmenai. Konvertuodami paprastas trupmenas į dešimtaines, susidursime su dviem atvejais:
1) kai paprastosios trupmenos gali būti konvertuojamos į dešimtaines tiksliai;
2) kai paprastosios trupmenos gali būti konvertuojamos tik į dešimtaines maždaug. Panagrinėkime šiuos atvejus paeiliui.
1. Kaip paprastąją neredukuojamąją trupmeną paversti į dešimtainę, arba, kitaip tariant, kaip paprastąją trupmeną pakeisti jai lygia dešimtaine?
Tuo atveju, kai gali būti paprastosios trupmenos tiksliai paversta į dešimtainę, yra du keliai toks gydymas.
Prisiminkime, kaip vieną trupmeną pakeisti kita, lygia pirmajai, arba kaip pereiti iš vienos trupmenos į kitą nekeičiant pirmosios reikšmės. Tai padarėme, kai sumažinome trupmenas iki bendro vardiklio (§86). Kai sumažiname trupmenas iki bendro vardiklio, elgiamės taip: randame šių trupmenų bendrą vardiklį, apskaičiuojame papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą ir padauginame kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš šio koeficiento.
Tai pastebėję, imkime neredukuojamąją trupmeną 3/20 ir pabandykime konvertuoti į dešimtainę. Šios trupmenos vardiklis yra 20, tačiau jį reikia perkelti į kitą vardiklį, kuris būtų pavaizduotas vienetu su nuliais. Ieškosime mažiausio vieneto vardiklio, po kurio seka nuliai.
Pirmas būdas trupmenos pavertimas dešimtainiu yra pagrįstas vardiklio išskaidymu į pirminius veiksnius.
Turite išsiaiškinti, iš kokio skaičiaus reikia padauginti 20, kad sandauga būtų išreikšta kaip vienetas, po kurio eina nuliai. Norėdami tai sužinoti, pirmiausia turite atsiminti, į kokius pirminius veiksnius yra skaidomi skaičiai, pavaizduoti vienetu ir nuliais. Tai yra skilimai:
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
Matome, kad skaičius, pavaizduotas vienetu su nuliais, išskaidomas tik į du ir penketukus, o kitų plėtimosi veiksnių nėra. Be to, tuo pačiu skaičiumi į išplėtimą įtraukiami dvejetai ir penketukai. Ir, galiausiai, tų ir kitų veiksnių skaičius atskirai yra lygus nulių skaičiui po vieneto nurodyto skaičiaus paveikslėlyje.
Dabar pažiūrėkime, kaip 20 išskaidomas į pirminius veiksnius: 20 = 2 2 5. Iš to aišku, kad skaičiaus 20 skaidyme yra du dvejetai ir vienas penketukas. Tai reiškia, kad jei prie šių veiksnių pridėsime vieną penkis, gausime skaičių, pavaizduotą vienetu su nuliais. Kitaip tariant, norint, kad vardiklio skaičius būtų pavaizduotas vienetu su nuliais, o ne 20, reikia 20 padauginti iš 5, o kad trupmenos reikšmė nesikeistų, reikia jos skaitiklį padauginti iš 5 , t.y.
Taigi, norėdami paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę, turite išskaidyti šios paprastosios trupmenos vardiklį į pirminius veiksnius ir tada išlyginti jame esančių dvejetų ir penketukų skaičių, įvesdami į jį (ir, žinoma, į skaitiklį). ) trūkstamus veiksnius reikiamu skaičiumi.
Taikykime šią išvadą kai kurioms trupmenoms.
Konvertuoti 3/50 į dešimtainį skaičių. Šios trupmenos vardiklis išplečiamas taip:
Tai reiškia, kad trūksta vieno dviračio. Pridėkime:
Konvertuoti 7/40 į dešimtainį skaičių.
Šios trupmenos vardiklis skaidomas taip: 40 = 2 2 2 5, t.y. trūksta dviejų penketukų. Įveskime juos į skaitiklį ir vardiklį kaip veiksnius:
Iš to, kas pasakyta, nesunku nuspręsti, kurios paprastosios trupmenos tiksliai konvertuojamos į dešimtaines. Visiškai akivaizdu, kad nesumažinama paprastoji trupmena, kurios vardiklyje nėra jokių kitų pirminių koeficientų, išskyrus 2 ir 5, tiksliai konvertuojama į dešimtainį skaičių. Dešimtainė trupmena, kuri gaunama apverčiant kokią nors paprastąją trupmeną, turės tiek skaitmenų po kablelio, kiek kartų į paprastosios trupmenos vardiklį, ją sumažinus, įtraukiamas skaitiniu požiūriu vyraujantis koeficientas 2 arba 5.
Jei imsime trupmeną 9/40, tai, pirma, ji pavirs į dešimtainę dalį, nes jos vardiklis apima koeficientus 2 2 2 5, ir, antra, gautoje trupmenoje bus 3 skaitmenys po kablelio, nes skaitiniu požiūriu dominuojantis koeficientas 2 plečiasi tris kartus. Iš tikrųjų:
Antras būdas(skaitiklį padalijus iš vardiklio).
Tarkime, kad norite konvertuoti 3/4 į dešimtainę trupmeną. Žinome, kad 3/4 yra 3, padalyto iš 4, koeficientas. Šį koeficientą galime rasti padalydami 3 iš 4. Padarykime taip:
Taigi, 3/4 = 0,75.
Kitas pavyzdys: konvertuoti 5/8 į dešimtainę trupmeną.
Taigi 5/8 = 0,625.
Taigi, norėdami paversti trupmeną į dešimtainę, tereikia trupmenos skaitiklį padalyti iš vardiklio.
2. Dabar panagrinėkime antrąjį iš pastraipos pradžioje nurodytų atvejų, t.y. atvejį, kai paprastosios trupmenos negalima paversti tiksliu dešimtainiu.
Įprastos neredukuojamos trupmenos, kurios vardiklyje yra bet kokie pirminiai koeficientai, išskyrus 2 ir 5, negalima tiksliai konvertuoti į dešimtainį skaičių. Tiesą sakant, pavyzdžiui, trupmena 8/15 negali būti konvertuojama į dešimtainį skaičių, nes jos vardiklis 15 išskaidomas į du veiksnius: 3 ir 5.
Negalime pašalinti iš vardiklio trigubo ir negalime pasirinkti tokio sveikojo skaičiaus, kad, padauginus iš jo nurodytą vardiklį, sandauga būtų išreikšta kaip vienetas, po kurio seka nuliai.
Tokiais atvejais galime kalbėti tik apie aproksimacija paprastosios trupmenos po kablelio.
Kaip tai daroma? Tai daroma dalijant bendrosios trupmenos skaitiklį iš vardiklio, t. y. šiuo atveju naudojamas antrasis bendrosios trupmenos konvertavimo į dešimtainį būdas. Tai reiškia, kad šis metodas naudojamas tiek tiksliai, tiek apytiksliai tvarkyti.
Jei trupmena tiksliai konvertuojama į dešimtainę trupmeną, tada padalijus gaunama galutinė dešimtainė trupmena.
Jei paprastoji trupmena nekonvertuojama į tikslią dešimtainę trupmeną, tada padalijus gaunama begalinė dešimtainė trupmena.
Kadangi negalime atlikti nesibaigiančio padalijimo proceso, turime sustabdyti padalijimą ties kokiu nors dešimtainiu tikslumu, tai yra, atlikti apytikslį padalijimą. Pavyzdžiui, galime nustoti dalyti pirmuoju skaitmeniu po kablelio, tai yra, apsiriboti dešimtosiomis; jei reikia, galime sustoti ties antruoju skaitmeniu po kablelio, gaudami šimtąsias dalis ir pan. Tokiais atvejais sakome, kad apvaliname begalinę dešimtainę trupmeną. Apvalinimas atliekamas tokiu tikslumu, kuris reikalingas šiai problemai išspręsti.
§ 115. Periodinės trupmenos samprata.
Nuolatinė dešimtainė trupmena, kurioje vienas ar daugiau skaitmenų nuolat kartojasi ta pačia seka, vadinama periodine dešimtaine trupmena. Pavyzdžiui:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
Iškviečiamas pasikartojančių skaičių rinkinys laikotarpįši trupmena. Pirmosios iš aukščiau užrašytų trupmenų periodas yra 3, antrosios trupmenos periodas yra 12, trečios trupmenos periodas yra 234. Tai reiškia, kad taškas gali susidėti iš kelių skaitmenų – vieno, dviejų, trijų ir kt. Pirmasis pasikartojančių skaitmenų rinkinys vadinamas pirmuoju periodu, antrasis visuma – antruoju periodu ir pan., t.y.
Periodinės frakcijos gali būti grynos arba mišrios. Periodinė trupmena vadinama grynąja, jei jos periodas prasideda iškart po kablelio. Tai reiškia, kad aukščiau parašytos periodinės trupmenos bus grynos. prieš, periodinė trupmena vadinamas mišriu, jei tarp kablelio ir pirmojo taško yra vienas ar daugiau nesikartojančių skaitmenų, pavyzdžiui:
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
Norėdami sutrumpinti raidę, taško skaičius galite rašyti vieną kartą skliaustuose ir nedėkite elipsės po skliaustų, t.y. vietoj 0,33... galite rašyti 0,(3); vietoj 2.515151... galite rašyti 2,(51); vietoj 0,2333... galima rašyti 0,2(3); vietoj 0,8333... galima rašyti 0,8(3).
Periodinės trupmenos skaitomos taip:
0,(3) – 0 sveikųjų skaičių, 3 taške.
7,2(3) - 7 sveikieji skaičiai, 2 prieš tašką, 3 taške.
5.00(17) - 5 sveikieji skaičiai, du nuliai prieš laikotarpį, 17 laikotarpiu.
Kaip atsiranda periodinės trupmenos? Jau matėme, kad trupmenas konvertuojant į dešimtaines, gali būti du atvejai.
Pirmiausia, paprastosios neredukuojamos trupmenos vardiklyje nėra jokių kitų faktorių, išskyrus 2 ir 5; šiuo atveju paprastoji trupmena tampa galutine po kablelio dalimi.
Antra, paprastosios neredukuojamos trupmenos vardiklyje yra bet kurie pirminiai koeficientai, išskyrus 2 ir 5; šiuo atveju paprastoji trupmena nevirsta galutiniu dešimtainiu. Pastaruoju atveju bandant paversti trupmeną į dešimtainį skaičių, skaitiklį padalijus iš vardiklio, gaunama begalinė trupmena, kuri visada bus periodinė.
Norėdami tai pamatyti, pažvelkime į pavyzdį. Pabandykime paversti trupmeną 18/7 į dešimtainę.
Žinoma, iš anksto žinome, kad trupmenos su tokiu vardikliu negalima konvertuoti į galutinį dešimtainį skaičių, o kalbame tik apie apytikslį perskaičiavimą. Padalinkite skaitiklį 18 iš vardiklio 7.
Gavome aštuonių skaičių po kablelio koeficientą. Tęsti skirstymo toliau nereikia, nes jis vis tiek nesibaigs. Tačiau iš to aišku, kad padalijimas gali būti tęsiamas neribotą laiką ir tokiu būdu gauti naujus skaičius. Šie nauji skaičiai atsiras, nes visada turėsime likučių; bet jokia liekana negali būti didesnė už daliklį, kuris mums yra 7.
Pažiūrėkime, kokius likučius turėjome: 4; 5; 1; 3; 2; b, t.y. tai buvo skaičiai, mažesni už 7. Akivaizdu, kad jų negali būti daugiau nei šeši, o toliau tęsiant padalijimą jie turės būti kartojami, o po jų kartosis dalinio skaitmenys. Aukščiau pateiktas pavyzdys patvirtina šią mintį: dalinio kableliai po kablelio yra tokia tvarka: 571428, o po to vėl atsirado skaičiai 57. Tai reiškia, kad pirmasis laikotarpis baigėsi, o antrasis prasideda.
Taigi, begalinė dešimtainė trupmena, gauta apverčiant bendrąją trupmeną, visada bus periodinė.
Jei sprendžiant uždavinį susiduriama su periodine trupmena, tada ji imama tikslumu, kurio reikalauja uždavinio sąlygos (iki dešimtosios, šimtinės, tūkstantosios ir pan.).
§ 116. Bendri veiksmai su paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis.
Spręsdami įvairias problemas susidursime su atvejais, kai problema apima tiek eilinę, tiek po kablelio.
Tokiais atvejais galite eiti įvairiais būdais.
1. Konvertuoti visas trupmenas į dešimtainius. Tai patogu, nes skaičiavimai su dešimtainėmis trupmenomis yra lengvesni nei su paprastomis trupmenomis. Pavyzdžiui,
Paverskime trupmenas 3/4 ir 1 1/5 į dešimtaines:
2. Konvertuoti visas trupmenas į paprastas trupmenas. Tai dažniausiai daroma tais atvejais, kai yra paprastosios trupmenos, kurios nevirsta paskutiniais po kablelio skaitmenimis.
Pavyzdžiui, 
Paverskime dešimtaines trupmenas į paprastąsias trupmenas:
3. Skaičiavimai atliekami nekeičiant kai kurių trupmenų į kitas.
Tai ypač naudinga, kai pavyzdys apima tik daugybą ir padalijimą. Pavyzdžiui,
Perrašykime pavyzdį taip:
4. Kai kuriais atvejais konvertuoti visas trupmenas į dešimtainius(net ir tie, kurie virsta periodiniais) ir rasti apytikslį rezultatą. Pavyzdžiui,
Paverskime 2/3 į dešimtainę trupmeną, apsiribodami tūkstantosiomis dalimis.
Prisiminkite, kaip pačioje pirmoje pamokoje apie dešimtainius aš sakiau, kad yra skaitinių trupmenų, kurių negalima pavaizduoti kaip po kablelio (žr. pamoką „Dešimtainės trupmenos“)? Taip pat išmokome apskaičiuoti trupmenų vardiklius, kad pamatytume, ar yra kitų skaičių, išskyrus 2 ir 5.
Taigi: melavau. Ir šiandien mes išmoksime, kaip absoliučiai bet kokią skaitinę trupmeną paversti dešimtainiu. Tuo pačiu metu susipažinsime su visa trupmenų klase, turinčia begalinę reikšmingą dalį.
Periodinis dešimtainis skaičius yra bet koks dešimtainis skaičius, kuris:
- Reikšmingąją dalį sudaro begalinis skaičius skaitmenų;
- Tam tikrais intervalais kartojami reikšmingosios dalies skaičiai.
Pasikartojančių skaitmenų rinkinys, sudarantis reikšmingąją dalį, vadinamas periodine trupmenos dalimi, o skaitmenų skaičius šioje aibėje vadinamas trupmenos periodu. Likęs reikšmingosios dalies segmentas, kuris nesikartoja, vadinamas neperiodine dalimi.
Kadangi yra daug apibrėžimų, verta išsamiai apsvarstyti keletą iš šių trupmenų:
Ši dalis dažniausiai atsiranda problemų atveju. Neperiodinė dalis: 0; periodinė dalis: 3; laikotarpio trukmė: 1.
Neperiodinė dalis: 0,58; periodinė dalis: 3; laikotarpio trukmė: vėl 1.
Neperiodinė dalis: 1; periodinė dalis: 54; laikotarpio trukmė: 2.
Neperiodinė dalis: 0; periodinė dalis: 641025; periodo ilgis: 6. Patogumui pasikartojančios dalys viena nuo kitos atskiriamos tarpu – tai šiame sprendime nėra būtina.
Neperiodinė dalis: 3066; periodinė dalis: 6; laikotarpio trukmė: 1.
Kaip matote, periodinės trupmenos apibrėžimas grindžiamas sąvoka reikšminga skaičiaus dalis. Todėl, jei pamiršote, kas tai yra, rekomenduoju tai pakartoti - žiūrėkite pamoką „“.
Perėjimas prie periodinės dešimtainės trupmenos
Apsvarstykite paprastąją formos a /b trupmeną. Išskaidykime jo vardiklį į pirminius veiksnius. Yra dvi parinktys:
- Išplėtimas apima tik koeficientus 2 ir 5. Šios trupmenos lengvai konvertuojamos į dešimtainę dalį – žr. pamoką „Dešimtainės trupmenos“. Mums tokie žmonės neįdomūs;
- Išplėtime yra dar kažkas, išskyrus 2 ir 5. Šiuo atveju trupmena negali būti pavaizduota kaip dešimtainė dalis, tačiau ją galima paversti periodine dešimtaine dalimi.
Norėdami apibrėžti periodinę dešimtainę trupmeną, turite rasti jos periodines ir neperiodines dalis. Kaip? Konvertuokite trupmeną į netinkamą trupmeną, tada kampu padalykite skaitiklį iš vardiklio.
Tai atsitiks:
- Išsiskirs pirmas visa dalis , jei jis yra;
- Po kablelio gali būti keli skaičiai;
- Po kurio laiko prasidės skaičiai kartoti.
Tai viskas! Pasikartojantys skaičiai po kablelio žymimi periodine dalimi, o esantys priekyje – neperiodine.
Užduotis. Paprastąsias trupmenas konvertuoti į periodines dešimtaines:
Visos trupmenos be sveikosios dalies, todėl skaitiklį tiesiog padalijame iš vardiklio su „kampu“:
Kaip matote, likučiai kartojasi. Parašykime trupmeną „teisinga“ forma: 1,733 ... = 1,7(3).
Rezultatas yra trupmena: 0,5833 ... = 0,58(3).
Parašyti normali forma: 4,0909 ... = 4,(09).
Gauname trupmeną: 0,4141 ... = 0.(41).
Perėjimas iš periodinės dešimtainės trupmenos į paprastąją trupmeną
Apsvarstykite periodinę dešimtainę trupmeną X = abc (a 1 b 1 c 1). Jį reikia paversti klasikiniu „dviejų aukštų“. Norėdami tai padaryti, atlikite keturis paprastus veiksmus:
- Raskite trupmenos periodą, t.y. suskaičiuokite, kiek skaitmenų yra periodinėje dalyje. Tegul tai yra skaičius k;
- Raskite išraiškos X · 10 k reikšmę. Tai prilygsta dešimtainio taško perkėlimui visas laikotarpisį dešinę - žiūrėkite pamoką „Dešimtainių skaičių dauginimas ir dalijimas“;
- Pradinė išraiška turi būti atimta iš gauto skaičiaus. Tokiu atveju periodinė dalis „sudeginama“ ir lieka bendroji trupmena;
- Gautoje lygtyje raskite X. Visas dešimtaines trupmenas paverčiame paprastosiomis trupmenomis.
Užduotis. Sumažinti iki įprastų netinkama trupmena skaičiai:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Mes dirbame su pirmąja trupmena: X = 9, (6) = 9,666 ...
Skliausteliuose yra tik vienas skaitmuo, taigi taškas yra k = 1. Toliau šią trupmeną padauginame iš 10 k = 10 1 = 10. Turime:
10X = 10 9,6666... = 96,666...
Atimkite pradinę trupmeną ir išspręskite lygtį:
10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.
Dabar pažvelkime į antrąją trupmeną. Taigi X = 32, (39) = 32,393939...
Laikotarpis k = 2, todėl viską padauginkite iš 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...
Dar kartą atimkite pradinę trupmeną ir išspręskite lygtį:
100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Pereikime prie trečiosios trupmenos: X = 0,30(5) = 0,30555... Diagrama ta pati, todėl pateiksiu tik skaičiavimus:
Laikotarpis k = 1 ⇒ viską padauginti iš 10 k = 10 1 = 10;
10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.
Galiausiai paskutinė trupmena: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Vėlgi, patogumo dėlei periodinės dalys viena nuo kitos atskirtos tarpais. Mes turime:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000 X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
Padalijimo operacija apima kelių pagrindinių komponentų dalyvavimą. Pirmasis iš jų yra vadinamasis dividendas, tai yra skaičius, kuriam taikoma padalijimo procedūra. Antrasis yra daliklis, tai yra skaičius, pagal kurį atliekamas padalijimas. Trečiasis yra koeficientas, tai yra, operacijos dalijant dividendą iš daliklio rezultatas.
Padalijimo rezultatas
Labiausiai paprastas variantas Rezultatas, kurį galima gauti, kai du teigiami sveikieji skaičiai naudojami kaip dividendas ir daliklis, yra kitas teigiamas sveikasis skaičius. Pavyzdžiui, dalijant 6 iš 2, koeficientas bus lygus 3. Tokia situacija įmanoma, jei dividendas yra daliklis, tai yra, jis dalinamas iš jo be liekanos.Tačiau yra ir kitų variantų, kai neįmanoma atlikti padalijimo operacijos be likučio. Šiuo atveju ne sveikasis skaičius tampa koeficientu, kurį galima užrašyti kaip sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies derinį. Pavyzdžiui, dalijant 5 iš 2, koeficientas yra 2,5.
Skaičius laikotarpiu
Vienas iš variantų, kuris gali atsirasti, jei dividendas nėra daliklio kartotinis, yra vadinamasis periodo skaičius. Jis gali atsirasti dėl padalijimo, jei koeficientas pasirodo be galo pasikartojantis skaičių rinkinys. Pavyzdžiui, taško skaičius gali atsirasti dalijant skaičių 2 iš 3. Tokiu atveju rezultatas, kaip dešimtainė trupmena, bus išreikštas begalinio skaičiaus 6 skaitmenų po kablelio deriniu.Norint nurodyti tokio padalijimo rezultatą, buvo išrastas specialus skaičių rašymo taške būdas: toks skaičius nurodomas skliausteliuose dedant pasikartojantį skaitmenį. Pavyzdžiui, 2 dalijimo iš 3 rezultatas šiuo metodu būtų parašytas kaip 0,(6). Šis žymėjimas taip pat taikomas, jei kartojasi tik dalis skaičiaus, gauto padalijus.
Pavyzdžiui, dalijant 5 iš 6, gaunamas periodinis skaičius, kurio forma yra 0,8(3). Šio metodo naudojimas, pirma, yra efektyvesnis, palyginti su bandymu užrašyti visus ar dalį skaičiaus skaitmenų taške, ir, antra, jis turi didesnį tikslumą, palyginti su kitu tokių skaičių perdavimo būdu – apvalinimu, be to, tai leidžia atskirti periodo skaičius nuo tikslios dešimtainės trupmenos su atitinkama reikšme, kai lyginant šių skaičių dydį. Taigi, pavyzdžiui, akivaizdu, kad 0.(6) yra žymiai didesnis nei 0,6.
Kaip žinoma, racionaliųjų skaičių aibė (Q) apima sveikųjų skaičių aibę (Z), kuri savo ruožtu apima natūraliųjų skaičių aibę (N). Be sveikųjų skaičių, racionalieji skaičiai apima trupmenas.
Kodėl tada visa racionaliųjų skaičių rinkinys kartais laikomas begalinėmis periodinėmis dešimtainėmis trupmenomis? Iš tiesų, be trupmenų, jie taip pat apima sveikuosius skaičius, taip pat neperiodines trupmenas.
Faktas yra tas, kad visi sveikieji skaičiai, taip pat bet kokia trupmena, gali būti vaizduojami kaip begalinė periodinė dešimtainė trupmena. Tai reiškia, kad visiems racionaliems skaičiams galite naudoti tą patį įrašymo metodą.
Kaip vaizduojamas begalinis periodinis dešimtainis? Jame skliausteliuose dedama pasikartojanti skaičių grupė po kablelio. Pavyzdžiui, 1.56(12) yra trupmena, kurioje kartojasi skaitmenų 12 grupė, t.y. trupmenos reikšmė 1.561212121212... ir taip be galo. Pasikartojančių skaičių grupė vadinama tašku.
Tačiau mes galime pavaizduoti bet kurį skaičių šioje formoje, jei laikome jo periodą skaičiumi 0, kuris taip pat kartojasi be galo. Pavyzdžiui, skaičius 2 yra toks pat kaip 2.00000... Todėl jį galima užrašyti kaip begalinę periodinę trupmeną, t.y. 2,(0).
Tą patį galima padaryti su bet kuria baigtine trupmena. Pavyzdžiui:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
Tačiau praktiškai jie nenaudoja baigtinės trupmenos transformavimo į begalinę periodinę. Todėl jie atskiria baigtines trupmenas ir begalines periodines. Taigi teisingiau sakyti, kad racionalieji skaičiai apima
- visi sveikieji skaičiai
- galutinės frakcijos,
- begalinės periodinės trupmenos.
Tuo pačiu metu tiesiog atminkite, kad sveikieji skaičiai ir baigtinės trupmenos teoriškai pateikiami begalinių periodinių trupmenų pavidalu.
Kita vertus, baigtinių ir begalinių trupmenų sąvokos taikomos dešimtainėms trupmenoms. Kalbant apie trupmenas, tiek baigtiniai, tiek begaliniai dešimtainiai skaitmenys gali būti vienareikšmiškai pavaizduoti kaip trupmena. Tai reiškia, kad paprastųjų trupmenų požiūriu periodinės ir baigtinės trupmenos yra tas pats dalykas. Be to, sveikieji skaičiai taip pat gali būti pavaizduoti kaip trupmena, įsivaizduojant, kad skaičių dalijame iš 1.
Kaip dešimtainę begalinę periodinę trupmeną pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną? Dažniausiai naudojamas algoritmas yra maždaug toks:
- Sumažinkite trupmeną, kad po kablelio būtų tik taškas.
- Begalinę periodinę trupmeną padauginkite iš 10 arba 100 arba ..., kad kablelis pasislinktų į dešinę vienu tašku (t. y. vienas taškas baigtųsi visoje dalyje).
- Pradinę trupmeną (a) prilyginkite kintamajam x, o trupmeną (b), gautą padauginus iš skaičiaus N iš Nx.
- Atimkite x iš Nx. Iš b atimu a. Tai yra, jie sudaro lygtį Nx – x = b – a.
- Sprendžiant lygtį, gaunama paprastoji trupmena.
Begalinės periodinės dešimtainės trupmenos konvertavimo į paprastąją trupmeną pavyzdys:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... - 11,3333...
90x = 102
x =
Periodinė trupmena begalinė dešimtainė trupmena, kurioje, pradedant nuo tam tikro taško, yra tik periodiškai pasikartojanti tam tikra skaitmenų grupė. Pavyzdžiui, 1.3181818...; Trumpai tariant, ši trupmena rašoma taip: 1.3(18), tai yra, tašką deda skliausteliuose (ir sako: „18 taške“). P. vadinamas grynuoju, jei taškas prasideda iškart po kablelio, pvz., 2(71) = 2,7171..., ir mišrus, jei po kablelio yra skaičiai prieš tašką, pavyzdžiui, 1,3(18). Dešimtainių trupmenų vaidmuo aritmetikoje yra susijęs su tuo, kad kai racionalieji skaičiai, tai yra paprastosios (paprastosios) trupmenos, pateikiamos dešimtainėmis trupmenomis, visada gaunamos baigtinės arba periodinės trupmenos. Tiksliau: galutinė dešimtainė trupmena gaunama, kai neredukuojamos paprastosios trupmenos vardiklyje nėra kitų pirminių koeficientų, išskyrus 2 ir 5; visais kitais atvejais rezultatas yra P. trupmena, be to, jis yra grynas, jei tam tikros neredukuojamos trupmenos vardiklyje iš viso nėra koeficientų 2 ir 5, ir mišrus, jei yra bent vienas iš šių veiksnių vardiklyje. Bet kurią trupmeną galima paversti paprasta trupmena (tai yra, ji lygi tam tikram racionaliam skaičiui). Gryna trupmena lygi paprastajai trupmenai, kurios skaitiklis yra taškas, o vardiklį reiškia skaičius 9, parašytas tiek kartų, kiek laikotarpyje yra skaitmenų; Konvertuojant mišrią trupmeną į paprastąją trupmeną, skaitiklis yra skirtumas tarp skaičiaus, pavaizduoto skaičiais, einančiomis prieš antrąjį periodą, ir skaičiaus, pavaizduoto skaičiais prieš pirmąjį tašką; Norint sudaryti vardiklį, skaičių 9 reikia parašyti tiek kartų, kiek taške yra skaičių, o dešinėje pridėti tiek nulių, kiek skaičių yra prieš tašką. Šios taisyklės daro prielaidą, kad pateiktas P. yra teisingas, tai yra, jame nėra sveikų vienetų; kitu atveju ypatingas dėmesys skiriamas visai daliai. Taip pat žinomos tam tikrą paprastąją trupmeną atitinkančios trupmenos periodo trukmės nustatymo taisyklės. Pavyzdžiui, trupmenai a/p, Kur R - pirminis skaičius ir 1 ≤ a ≤ p- 1, periodo ilgis yra daliklis R - 1. Taigi, jei reikia žinomų skaičių aproksimacijų (žr. Pi)
22/7 ir 355/113 laikotarpiai yra lygūs atitinkamai 6 ir 112.
Didelis Sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. 1969-1978 .
Sinonimai:Pažiūrėkite, kas yra „periodinė trupmena“ kituose žodynuose:
Begalinė dešimtainė trupmena, kurioje, pradedant nuo tam tikros vietos, periodiškai kartojama tam tikra skaitmenų grupė (taškas), pvz. 0,373737... gryna periodinė trupmena arba 0,253737... mišri periodinė trupmena... Didelis enciklopedinis žodynas
Trupmena, begalinė trupmena Rusų sinonimų žodynas. periodinės trupmenos daiktavardis, sinonimų skaičius: 2 begalinė trupmena (2) ... Sinonimų žodynas
Dešimtainė trupmena, kurioje skaitmenų serija kartojama ta pačia tvarka. Pavyzdžiui, 0,135135135... yra p.d., kurio periodas yra 135 ir kuris yra lygus paprastajai trupmenai 135/999 = 5/37. Užsienio žodžių žodynas, įtrauktas į rusų kalbą. Pavlenkovas F... Rusų kalbos svetimžodžių žodynas
Dešimtainė dalis yra trupmena, kurios vardiklis yra 10n, kur n natūralusis skaičius. Tai turi ypatinga formaįrašai: sveikoji dalis dešimtainėje skaičių sistemoje, tada kablelis ir trupmeninė dalis dešimtainėje skaičių sistemoje, o trupmeninės dalies skaitmenų skaičius ... Vikipedija
Begalinė dešimtainė trupmena, kurioje, pradedant nuo tam tikro taško, periodiškai kartojama tam tikra skaitmenų grupė (taškas); pavyzdžiui, 0,373737... grynoji periodinė trupmena arba 0,253737... mišri periodinė trupmena. * * * PERIODINIS…… enciklopedinis žodynas
Begalinė dešimtainė trupmena, kurioje, pradedant nuo tam tikros vietos, periodiškai kartojamas apibrėžimas. skaitmenų grupė (taškas); pavyzdžiui, 0,373737... grynas P. d. arba 0,253737... mišrus P. d. ... Gamtos mokslai. enciklopedinis žodynas
Žiūrėti dalį... Rusų sinonimų ir panašių posakių žodynas. pagal. red. N. Abramova, M.: Rusų žodynai, 1999. trupmenos smulkmena, dalis; dunst, kamuolys, miltai, buckshot; trupmeninis skaičius Rusų sinonimų žodynas... Sinonimų žodynas
periodinis dešimtainis- - [L.G. Sumenko. Anglų-rusų informacinių technologijų žodynas. M.: Valstybės įmonė TsNIIS, 2003.] Temos Informacinės technologijos apskritai LT cirkuliuojantis dešimtainis pasikartojantis dešimtainis periodas dešimtainis periodinis dešimtainis periodinis dešimtainis ... Techninis vertėjo vadovas
Jei koks nors sveikasis skaičius a yra padalintas iš kito sveikojo skaičiaus b, t.y., ieškoma skaičiaus x, kuris tenkintų sąlygą bx = a, tada gali atsirasti du atvejai: arba sveikųjų skaičių serijoje yra skaičius x, kuris tenkina šią sąlygą, arba jis pasirodo ,… … Enciklopedinis žodynas F.A. Brockhausas ir I.A. Efronas
Trupmena, kurios vardiklis yra visas laipsnis skaičiai 10. D. rašomi be vardiklio, dešinėje esančiame skaitiklyje kableliu atskiriant tiek skaitmenų, kiek vardiklyje yra nulių. Pavyzdžiui, tokiame įraše dalis kairėje... ... Didžioji sovietinė enciklopedija
Įkeliama...