Bērni skolā daļskaitļu samazināšanas noteikumus apgūst 6. klasē. Šajā rakstā mēs vispirms jums pateiksim, ko šī darbība nozīmē, un pēc tam mēs izskaidrosim, kā pārvērst reducējamo daļu par nesamazināmu daļu. Nākamais punkts būs frakciju samazināšanas noteikumi, un tad mēs pakāpeniski tiksim pie piemēriem.
Ko nozīmē “samazināt daļu”?
Tātad mēs visi to zinām parastās frakcijas ir sadalīti divās grupās: reducējamie un nesamazināmie. Jau pēc nosaukumiem var saprast, ka tie, kas ir saraujami, tiek noslēgti, un tie, kas ir nesamazināmi, nav noslēgti.
- Daļas samazināšana nozīmē dalīt tās saucēju un skaitītāju ar to (izņemot vienu) pozitīvo dalītāju. Rezultāts, protams, ir jauns daļskaitlis ar mazāku saucēju un skaitītāju. Iegūtā daļa būs vienāda ar sākotnējo daļu.
Ir vērts atzīmēt, ka matemātikas grāmatās ar uzdevumu “samazināt daļu” tas nozīmē, ka sākotnējā daļa ir jāsamazina līdz šai nereducējamajai formai. Ja runājam vienkāršos vārdos, pēc tam daliet saucēju un skaitītāju ar to lielāko kopīgs dalītājs un ir samazinājums.
Kā samazināt daļu. Noteikumi frakciju samazināšanai (6. klase)
Tātad šeit ir tikai divi noteikumi.
- Pirmais daļskaitļu samazināšanas noteikums ir vispirms atrast lielākās daļas saucēja un skaitītāja kopējo koeficientu.
- Otrais noteikums: sadaliet saucēju un skaitītāju ar lielāko kopīgo dalītāju, galu galā iegūstot nesamazināmu daļu.
Kā samazināt nepareizo daļu?
Noteikumi par frakciju samazināšanu ir identiski noteikumiem par nepareizo frakciju samazināšanu.
Lai samazinātu nepareizo daļskaitli, vispirms ir jāieskaita saucējs un skaitītājs galvenajos faktoros un tikai pēc tam jāsamazina kopējie faktori.
Jaukto frakciju samazināšana
Frakciju samazināšanas noteikumi attiecas arī uz jaukto frakciju samazināšanu. Ir tikai neliela atšķirība: mēs nevaram pieskarties visai daļai, bet samazināt frakciju vai pārvērst sajaukto frakciju par nepareizu frakciju, pēc tam to samazināt un atkal pārvērst par pareizu frakciju.
Ir divi veidi, kā samazināt jauktās frakcijas.
Pirmkārt: ierakstiet daļējo daļu primārajos faktoros un pēc tam atstājiet visu daļu atsevišķi.
Otrs veids: vispirms konvertējiet to nepareizā daļskaitlī, ierakstiet parastos faktoros, pēc tam samaziniet daļu. Pārvērtiet jau iegūto nepareizo daļu pareizā daļskaitlī.
Piemērus var redzēt augstāk esošajā fotoattēlā.
Mēs ļoti ceram, ka varējām palīdzēt jums un jūsu bērniem. Galu galā viņi stundās bieži ir neuzmanīgi, tāpēc viņiem intensīvāk jāmācās mājās patstāvīgi.
Šajā rakstā mēs detalizēti aplūkosim, kā reducējošās frakcijas. Vispirms apspriedīsim to, ko sauc par frakcijas samazināšanu. Pēc tam parunāsim par reducējamās daļas samazināšanu līdz nereducējamai formai. Tālāk mēs iegūsim noteikumu par frakciju samazināšanu un, visbeidzot, aplūkosim šī noteikuma piemērošanas piemērus.
Lapas navigācija.
Ko nozīmē samazināt daļu?
Mēs zinām, ka parastās frakcijas iedala reducējamās un nereducējamās frakcijās. Pēc nosaukumiem var nojaust, ka reducējamās daļas var samazināt, bet nereducējamās frakcijas nevar.
Ko nozīmē samazināt daļu? Samazināt frakciju- tas nozīmē, ka tā skaitītājs un saucējs ir jāsadala ar to pozitīvo un atšķirīgo no vienotības. Skaidrs, ka daļskaitļa samazināšanas rezultātā tiek iegūta jauna daļa ar mazāku skaitītāju un saucēju, un, pateicoties daļskaitļa pamatīpašībai, iegūtā daļa ir vienāda ar sākotnējo.
Piemēram, samazināsim parasto daļskaitli 8/24, dalot tās skaitītāju un saucēju ar 2. Citiem vārdiem sakot, samazināsim daļu 8/24 par 2. Tā kā 8:2=4 un 24:2=12, šis samazinājums rada daļskaitli 4/12, kas ir vienāda ar sākotnējo daļskaitli 8/24 (skatīt vienādas un nevienādas daļas). Rezultātā mums ir .
Parasto frakciju samazināšana līdz nereducējamai formai
Parasti frakcijas samazināšanas galīgais mērķis ir iegūt nesamazināmu daļu, kas ir vienāda ar sākotnējo reducējamo daļu. Šo mērķi var sasniegt, samazinot sākotnējo reducējamo daļu ar tās skaitītāju un saucēju. Šādas samazināšanas rezultātā vienmēr tiek iegūta nereducējama daļa. Patiešām, daļa 
ir nesamazināms, jo tas ir zināms 
Un 
- . Šeit mēs teiksim, ka daļskaitļa skaitītāja un saucēja lielākais kopīgais dalītājs ir lielākais skaits, ar kuru šo daļu var samazināt.
Tātad, kopējās frakcijas samazināšana līdz nereducējamai formai sastāv no sākotnējās reducējamās daļas skaitītāja un saucēja dalīšanas ar to gcd.
Apskatīsim piemēru, kuram mēs atgriežamies pie daļskaitļa 8/24 un samazinām to ar skaitļu 8 un 24 lielāko kopīgo dalītāju, kas ir vienāds ar 8. Tā kā 8:8=1 un 24:8=3, mēs nonākam pie nereducējamās daļas 1/3. Tātad,.
Ņemiet vērā, ka frāze “samazināt daļu” bieži nozīmē sākotnējās daļas samazināšanu līdz tās nesamazināmai formai. Citiem vārdiem sakot, daļskaitļa samazināšana ļoti bieži attiecas uz skaitītāja un saucēja dalīšanu ar to lielāko kopīgo koeficientu (nevis ar jebkuru kopējo faktoru).
Kā samazināt daļu? Daļskaitļu samazināšanas noteikumi un piemēri
Atliek tikai aplūkot frakciju samazināšanas noteikumu, kas izskaidro, kā samazināt noteiktu daļu.
Noteikums frakciju samazināšanai sastāv no diviem posmiem:
- pirmkārt, tiek atrasts daļskaitļa skaitītāja un saucēja gcd;
- otrkārt, frakcijas skaitītājs un saucējs tiek dalīts ar to gcd, kas dod nereducējamu daļu, kas vienāda ar sākotnējo.
Sakārtosim to daļas samazināšanas piemērs saskaņā ar noteikto noteikumu.
Piemērs.
Samaziniet daļu 182/195.
Risinājums.
Izpildīsim abas daļas, kas noteiktas daļas samazināšanas noteikumā.
Vispirms atrodam GCD(182, 195) . Visērtāk ir izmantot Eiklida algoritmu (skat.): 195=182·1+13, 182=13·14, tas ir, GCD(182, 195)=13.
Tagad mēs dalām daļskaitļa 182/195 skaitītāju un saucēju ar 13, un mēs iegūstam nereducējamo daļu 14/15, kas ir vienāda ar sākotnējo daļu. Tas pabeidz frakcijas samazināšanu.
Īsumā risinājumu var uzrakstīt šādi: .
Atbilde:
Šeit mēs varam pabeigt frakciju samazināšanu. Bet, lai pabeigtu attēlu, apskatīsim vēl divus veidus, kā samazināt frakcijas, ko parasti izmanto vieglos gadījumos.
Dažreiz samazinātās daļas skaitītājs un saucējs nav grūts. Daļas samazināšana šajā gadījumā ir ļoti vienkārša: no skaitītāja un saucēja vienkārši jānoņem visi izplatītie faktori.
Ir vērts atzīmēt, ka šī metode tieši izriet no daļskaitļu samazināšanas noteikuma, jo visu kopējo skaitītāja un saucēja galveno faktoru reizinājums ir vienāds ar to lielāko kopīgo dalītāju.
Apskatīsim piemēra risinājumu.
Piemērs.
Samaziniet daļu 360/2 940.
Risinājums.
Sadalīsim skaitītāju un saucēju vienkāršos faktoros: 360=2·2·2·3·3·5 un 2,940=2·2·3·5·7·7. Tādējādi 
.
Tagad mēs atbrīvojamies no kopējiem faktoriem skaitītājā un saucējā; ērtības labad mēs tos vienkārši izsvītrojam: 
.
Visbeidzot, mēs reizinām atlikušos faktorus: , un frakcijas samazināšana ir pabeigta.
Šeit ir īss risinājuma kopsavilkums: 
.
Atbilde:
Apskatīsim citu veidu, kā samazināt daļu, kas sastāv no secīgas samazināšanas. Šeit katrā solī daļa tiek samazināta ar kādu kopīgu skaitītāja un saucēja dalītāju, kas ir acīmredzams vai viegli nosakāms, izmantojot
Daudzi skolēni pieļauj tādas pašas kļūdas, strādājot ar daļskaitļiem. Un viss tāpēc, ka viņi aizmirst pamatnoteikumus aritmētika. Šodien mēs atkārtosim šos noteikumus par konkrētiem uzdevumiem, kurus es dodu savās nodarbībās.
Lūk, uzdevums, ko piedāvāju ikvienam, kurš gatavojas vienotajam valsts eksāmenam matemātikā:
Uzdevums. Cūkdelfīns dienā apēd 150 gramus barības. Bet viņa uzauga un sāka ēst par 20% vairāk. Cik gramus barības tagad cūka apēd?
Nav pareizais risinājums. Šī ir procentuālā problēma, kas izpaužas vienādojumā:
Daudzi (ļoti daudzi) samazina skaitli 100 daļskaitļa skaitītājā un saucējā:
Šī ir kļūda, ko mans students pieļāva tieši šī raksta rakstīšanas dienā. Saīsinātie skaitļi ir atzīmēti sarkanā krāsā.
Lieki piebilst, ka atbilde bija nepareiza. Spriediet paši: cūka apēda 150 gramus, bet sāka ēst 3150 gramus. Pieaugums ir nevis 20%, bet 21 reizi, t.i. par 2000%.
Lai izvairītos no šādiem pārpratumiem, atcerieties pamatnoteikumu:
Var samazināt tikai reizinātājus. Termiņus nevar samazināt!
Tādējādi pareizais iepriekšējās problēmas risinājums izskatās šādi:
Skaitītājā un saucējā saīsinātie skaitļi ir atzīmēti ar sarkanu krāsu. Kā redzat, skaitītājs ir reizinājums, saucējs ir parasts skaitlis. Līdz ar to samazinājums ir pilnīgi likumīgs.
Darbs ar proporcijām
Cits problēmzona — proporcijas. It īpaši, ja mainīgais ir abās pusēs. Piemēram:
Uzdevums. Atrisiniet vienādojumu:
Nepareizs risinājums - dažiem cilvēkiem burtiski niez visu saīsināt par m:
Samazinātie mainīgie ir parādīti sarkanā krāsā. Izteiksme 1/4 = 1/5 izrādās pilnīga muļķība, šie skaitļi nekad nav vienādi.
Un tagad - pareizais lēmums. Būtībā tas ir parasts lineārais vienādojums. To var atrisināt, pārvietojot visus elementus uz vienu pusi, vai arī ar proporcijas pamatīpašību:
Daudzi lasītāji iebildīs: "Kur ir kļūda pirmajā risinājumā?" Nu, noskaidrosim. Atcerēsimies noteikumu darbam ar vienādojumiem:
Jebkuru vienādojumu var dalīt un reizināt ar jebkuru skaitli, kas nav nulle.
Vai palaidāt garām triku? Var dalīt tikai ar cipariem kas nav nulle. Konkrēti, jūs varat dalīt ar mainīgo m tikai tad, ja m != 0. Bet ja m = 0? Aizstāsim un pārbaudīsim:
Mēs saņēmām pareizo skaitlisko vienādību, t.i. m = 0 ir vienādojuma sakne. Atlikušajam m != 0 iegūstam izteiksmi formā 1/4 = 1/5, kas dabiski ir nepareiza. Tādējādi nav sakņu, kas atšķiras no nulles.
Secinājumi: saliekot visu kopā
Tātad, lai atrisinātu daļējus racionālos vienādojumus, atcerieties trīs noteikumus:
- Var samazināt tikai reizinātājus. Papildinājumi nav atļauti. Tāpēc iemācieties skaitīt skaitītāju un saucēju;
- Galvenā proporcijas īpašība: galējo elementu reizinājums ir vienāds ar vidējo reizinājumu;
- Vienādojumus var reizināt un dalīt tikai ar skaitļiem k, kas nav nulle. Gadījums k = 0 ir jāpārbauda atsevišķi.
Atcerieties šos noteikumus un nepieļaujiet kļūdas.
Divīzija un to daļskaitļa skaitītājs un saucējs kopīgs dalītājs, kas atšķiras no viena, sauc samazinot daļu.
Lai saīsinātu kopējā frakcija, jums ir jāsadala tā skaitītājs un saucējs ar to pašu naturālo skaitli.
Šis skaitlis ir dotās daļskaitļa skaitītāja un saucēja lielākais kopīgais dalītājs.
Ir iespējami šādi lēmumu ierakstīšanas veidlapas Piemēri parasto frakciju samazināšanai.
Studentam ir tiesības izvēlēties jebkuru ieraksta veidu.
Piemēri. Vienkāršojiet frakcijas.
Samaziniet daļu par 3 (daliet skaitītāju ar 3;
daliet saucēju ar 3).
Samaziniet daļu par 7.
Norādītās darbības veicam daļskaitļa skaitītājā un saucējā.
Iegūto daļu samazina par 5.
Samazināsim šo daļu 4)
ieslēgts 5,7³- skaitītāja un saucēja lielākais kopējais dalītājs (GCD), kas sastāv no skaitītāja un saucēja kopējiem faktoriem, kas ņemti pakāpē ar mazāko eksponentu.
Ieskaitīsim šīs daļskaitļa skaitītāju un saucēju primārajos faktoros.
Mēs iegūstam: 756=2²·3³·7 Un 1176=2³·3·7².
Nosakiet daļskaitļa skaitītāja un saucēja GCD (lielāko kopīgo dalītāju) 5) .
Tas ir kopīgu faktoru rezultāts ar zemākajiem eksponentiem.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Mēs dalām šīs daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar to gcd, t.i., ar 2²·3·7 mēs iegūstam nesamazināmu daļu 9/14
.
Vai arī bija iespējams uzrakstīt skaitītāja un saucēja dekompozīcijas pirmfaktoru reizinājuma formā, neizmantojot jaudas jēdzienu, un pēc tam samazināt daļu, izsvītrojot tos pašus faktorus skaitītājā un saucējā. Kad nav palicis identisks koeficients, atlikušos faktorus reizinām atsevišķi skaitītājā un atsevišķi saucējā un izrakstām iegūto daļu 9/14 .
Un, visbeidzot, šo daļu bija iespējams samazināt 5) pakāpeniski, piemērojot skaitļu dalīšanas zīmes gan daļskaitļa skaitītājam, gan saucējam. Padomāsim šādi: skaitļi 756 Un 1176 beidzas ar pāra skaitli, kas nozīmē, ka abi dalās ar 2 . Mēs samazinām daļu par 2 . Jaunās frakcijas skaitītājs un saucējs ir skaitļi 378 Un 588 sadalīts arī 2 . Mēs samazinām daļu par 2 . Mēs pamanām, ka numurs 294 - pat, un 189 ir nepāra, un samazināšana par 2 vairs nav iespējama. Pārbaudīsim skaitļu dalāmību 189 Un 294 ieslēgts 3 .
(1+8+9)=18 dalās ar 3 un (2+9+4)=15 dalās ar 3, tātad paši skaitļi 189 Un 294 tiek sadalīti 3 . Mēs samazinām daļu par 3 . Tālāk, 63 dalās ar 3 un 98 - Nē. Apskatīsim citus galvenos faktorus. Abi skaitļi dalās ar 7 . Mēs samazinām daļu par 7 un mēs iegūstam nesamazināmo daļu 9/14 .
Lai saprastu, kā samazināt frakcijas, vispirms apskatīsim piemēru.
Daļas samazināšana nozīmē dalīt skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu. Gan 360, gan 420 beidzas ar ciparu, tāpēc mēs varam samazināt šo daļskaitli par 2. Jaunajā daļskaitlī gan 180, gan 210 arī dalās ar 2, tāpēc mēs samazinām šo daļu ar 2. Skaitļos 90 un 105 summa no cipariem dalās ar 3, tāpēc abi šie skaitļi dalās ar 3, mēs samazinām daļu ar 3. Jaunajā daļā 30 un 35 beidzas ar 0 un 5, kas nozīmē, ka abi skaitļi dalās ar 5, tāpēc mēs samazinām daļskaitlis ar 5. Iegūtā sešu septīto daļu daļa ir nesamazināma. Šī ir galīgā atbilde.
Mēs varam nonākt pie vienas un tās pašas atbildes citādā veidā.
Gan 360, gan 420 beidzas ar nulli, kas nozīmē, ka tie dalās ar 10. Mēs samazinām daļu ar 10. Jaunajā daļskaitlī gan skaitītājs 36, gan saucējs 42 tiek dalīti ar 2. Mēs samazinām daļskaitli ar 2. nākamais daļskaitlis, gan skaitītājs 18, gan saucējs 21 ir dalīts ar 3, kas nozīmē, ka mēs samazinām daļskaitli par 3. Nonācām pie rezultāta - sešas septītās.
Un vēl viens risinājums.
Nākamreiz apskatīsim daļskaitļu samazināšanas piemērus.
Notiek ielāde...