Pirmais līmenis

Kvadrātvienādojumi. Visaptveroša rokasgrāmata (2019)

Terminā “kvadrātvienādojums” atslēgas vārds ir “kvadrātvienādojums”. Tas nozīmē, ka vienādojumā obligāti jāietver mainīgais (tas pats x) kvadrātā, un tajā nedrīkst būt x līdz trešajai (vai lielākai) pakāpei.

Daudzu vienādojumu risinājums ir precīzs kvadrātvienādojumi.

Mācīsimies noteikt, ka šis ir kvadrātvienādojums, nevis kāds cits vienādojums.

1. piemērs.

Atbrīvosimies no saucēja un reiziināsim katru vienādojuma biedru ar

Pārcelsim visu uz kreisā puse un sakārtojiet terminus dilstošā x pakāpju secībā

Tagad mēs varam ar pārliecību teikt, ka šis vienādojums ir kvadrātisks!

2. piemērs.

Reiziniet kreiso un labo pusi ar:

Šis vienādojums, lai gan sākotnēji tajā bija, nav kvadrātisks!

3. piemērs.

Sareizināsim visu ar:

Baisi? Ceturtā un otrā pakāpe... Tomēr, ja mēs veiksim nomaiņu, mēs redzēsim, ka mums ir vienkāršs kvadrātvienādojums:

4. piemērs.

Šķiet, ka tā ir, bet paskatīsimies tuvāk. Pārvietosim visu uz kreiso pusi:

Redziet, tas ir samazināts – un tagad tas ir vienkāršs lineārs vienādojums!

Tagad mēģiniet pats noteikt, kuri no šiem vienādojumiem ir kvadrātvienādojumi un kuri nav:

Piemēri:

Atbildes:

1. kvadrāts;
2. kvadrāts;
3. nav kvadrātveida;
4. nav kvadrātveida;
5. nav kvadrātveida;
6. kvadrāts;
7. nav kvadrātveida;
8. kvadrāts.

Matemātiķi visus kvadrātvienādojumus parasti iedala šādos veidos:

• Pilnīgi kvadrātvienādojumi- vienādojumi, kuros koeficienti un, kā arī brīvais termins c nav vienādi ar nulli (kā piemērā). Turklāt starp pilnīgiem kvadrātvienādojumiem ir dots- tie ir vienādojumi, kuros koeficients (vienādojums no pirmā piemēra ir ne tikai pilnīgs, bet arī samazināts!)

• Nepilnīgi kvadrātvienādojumi- vienādojumi, kuros koeficients un/vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:

  Tie ir nepilnīgi, jo tiem trūkst kāda elementa. Bet vienādojumā vienmēr jābūt x kvadrātā!!! Pretējā gadījumā tas vairs nebūs kvadrātvienādojums, bet gan kāds cits vienādojums.

Kāpēc viņi izdomāja šādu sadalījumu? Šķiet, ka ir X kvadrātā, un labi. Šo iedalījumu nosaka risināšanas metodes. Apskatīsim katru no tiem sīkāk.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

Pirmkārt, pievērsīsimies nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanai – tie ir daudz vienkāršāki!

Pastāv nepilnu kvadrātvienādojumu veidi:

1. , šajā vienādojumā koeficients ir vienāds.
2. , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.
3. , šajā vienādojumā koeficients un brīvais termins ir vienādi.

1. i. Tā kā mēs zinām, kā ņemt kvadrātsakni, izteiksim no šī vienādojuma

Izteiciens var būt gan negatīvs, gan pozitīvs. Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis, tātad: ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu.

Un ja, tad mēs iegūstam divas saknes. Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais ir zināt un vienmēr atcerēties, ka mazāk nevar būt.

Mēģināsim atrisināt dažus piemērus.

5. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Tagad atliek tikai izvilkt sakni no kreisās un labās puses. Galu galā, jūs atceraties, kā iegūt saknes?

Atbilde:

Nekad neaizmirstiet par saknēm ar negatīvu zīmi!!!

6. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Atbilde:

7. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Ak! Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums

nav sakņu!

Šādiem vienādojumiem, kuriem nav sakņu, matemātiķi izdomāja īpašu ikonu - (tukšs komplekts). Un atbildi var uzrakstīt šādi:

Atbilde:

Tādējādi šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Šeit nav nekādu ierobežojumu, jo mēs neizņēmām sakni.
8. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:

Tādējādi

Šim vienādojumam ir divas saknes.

Atbilde:

Vienkāršākais nepilnīgo kvadrātvienādojumu veids (lai gan tie visi ir vienkārši, vai ne?). Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:

Šeit mēs iztiksim no piemēriem.

Pilnu kvadrātvienādojumu risināšana

Atgādinām, ka pilns kvadrātvienādojums ir formas vienādojuma vienādojums, kur

Pilnu kvadrātvienādojumu atrisināšana ir nedaudz grūtāka (tikai nedaudz) nekā šie.

Atcerieties, Jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.

Citas metodes palīdzēs to izdarīt ātrāk, taču, ja rodas problēmas ar kvadrātvienādojumiem, vispirms apgūstiet risinājumu, izmantojot diskriminantu.

1. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot diskriminantu.

Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot šo metodi, ir ļoti vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas.

Ja, tad vienādojumam ir sakne. Īpaša uzmanība sper soli. Diskriminants () norāda vienādojuma sakņu skaitu.

• Ja, tad solī esošā formula tiks samazināta līdz. Tādējādi vienādojumam būs tikai sakne.
• Ja, tad mēs nevarēsim izdalīt diskriminanta sakni solī. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.

Atgriezīsimies pie mūsu vienādojumiem un apskatīsim dažus piemērus.

9. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

1. darbība mēs izlaižam.

2. darbība.

Mēs atrodam diskriminantu:

Tas nozīmē, ka vienādojumam ir divas saknes.

3. darbība.

Atbilde:

10. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Vienādojums ir uzrādīts standarta formā, tātad 1. darbība mēs izlaižam.

2. darbība.

Mēs atrodam diskriminantu:

Tas nozīmē, ka vienādojumam ir viena sakne.

Atbilde:

11. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Vienādojums ir uzrādīts standarta formā, tātad 1. darbība mēs izlaižam.

2. darbība.

Mēs atrodam diskriminantu:

Tas nozīmē, ka mēs nevarēsim iegūt diskriminanta sakni. Vienādojumam nav sakņu.

Tagad mēs zinām, kā pareizi pierakstīt šādas atbildes.

Atbilde: nav sakņu

2. Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.

Ja atceraties, ir vienādojuma veids, ko sauc par reducētu (kad koeficients a ir vienāds ar):

Šādus vienādojumus ir ļoti viegli atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu:

Sakņu summa dots kvadrātvienādojums ir vienāds, un sakņu reizinājums ir vienāds.

12. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu, jo .

Vienādojuma sakņu summa ir vienāda, t.i. mēs iegūstam pirmo vienādojumu:

Un produkts ir vienāds ar:

Sastādīsim un atrisināsim sistēmu:

• Un. Summa ir vienāda ar;
• Un. Summa ir vienāda ar;
• Un. Summa ir vienāda.

un ir sistēmas risinājums:

Atbilde: ; .

13. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Atbilde:

14. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Ir dots vienādojums, kas nozīmē:

Atbilde:

Kvadrātvienādojumi. VIDĒJAIS LĪMENIS

Kas ir kvadrātvienādojums?

Citiem vārdiem sakot, kvadrātvienādojums ir formas vienādojums, kur - nezināmais, - daži skaitļi un.

Skaitli sauc par lielāko vai pirmais koeficients kvadrātvienādojums, - otrais koeficients, A - bezmaksas dalībnieks.

Kāpēc? Jo, ja vienādojums uzreiz kļūst lineārs, jo pazudīs.

Šajā gadījumā un var būt vienāds ar nulli. Šajā krēslā vienādojumu sauc par nepilnīgu. Ja visi termini ir vietā, tas ir, vienādojums ir pabeigts.

Dažādu veidu kvadrātvienādojumu risinājumi

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes:

Vispirms apskatīsim nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes – tās ir vienkāršākas.

Mēs varam atšķirt šādus vienādojumu veidus:

I., šajā vienādojumā koeficients un brīvais loceklis ir vienādi.

II. , šajā vienādojumā koeficients ir vienāds.

III. , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.

Tagad apskatīsim risinājumu katram no šiem apakštipiem.

Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:

Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis. Tāpēc:

ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu;

ja mums ir divas saknes

Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka tas nevar būt mazāks.

Piemēri:

Risinājumi:

Atbilde:

Nekad neaizmirstiet par saknēm ar negatīvu zīmi!

Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums

nav sakņu.

Lai īsi pierakstītu, ka problēmai nav risinājumu, mēs izmantojam tukšas kopas ikonu.

Atbilde:

Tātad šim vienādojumam ir divas saknes: un.

Atbilde:

Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:

Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir risinājums, ja:

Tātad šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes: un.

Piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Aprēķināsim vienādojuma kreiso pusi un atradīsim saknes:

Atbilde:

Pilnu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes:

1. Diskriminants

Kvadrātvienādojumu risināšana šādā veidā ir vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas. Atcerieties, ka jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.

Vai sakņu formulā pamanījāt sakni no diskriminanta? Bet diskriminants var būt negatīvs. Ko darīt? Īpaša uzmanība jāpievērš 2. solim. Diskriminants norāda vienādojuma sakņu skaitu.

• Ja, tad vienādojumam ir saknes:
• Ja, tad vienādojumam ir vienādas saknes un faktiski viena sakne:

  Šādas saknes sauc par dubultsaknēm.

• Ja, tad diskriminanta sakne netiek izvilkta. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.

Kāpēc tas ir iespējams dažādi daudzumi saknes? Pievērsīsimies ģeometriskā sajūta kvadrātvienādojums. Funkcijas grafiks ir parabola:

Īpašā gadījumā, kas ir kvadrātvienādojums, . Tas nozīmē, ka kvadrātvienādojuma saknes ir krustošanās punkti ar abscisu asi (asi). Parabola var nekrustoties ar asi vispār vai var šķērsot to vienā (ja parabolas virsotne atrodas uz ass) vai divos punktos.

Turklāt koeficients ir atbildīgs par parabolas zaru virzienu. Ja, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu, un ja, tad uz leju.

Piemēri:

Risinājumi:

Atbilde:

Atbilde: .

Atbilde:

Tas nozīmē, ka risinājumu nav.

Atbilde: .

2. Vietas teorēma

Vietas teorēmas izmantošana ir ļoti vienkārša: jums vienkārši jāizvēlas skaitļu pāris, kuru reizinājums ir vienāds ar vienādojuma brīvo biedru, un summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi.

Ir svarīgi atcerēties, ka Vietas teorēmu var izmantot tikai reducēti kvadrātvienādojumi ().

Apskatīsim dažus piemērus:

1. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu, jo . Citi koeficienti: ; .

Vienādojuma sakņu summa ir:

Un produkts ir vienāds ar:

Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:

• Un. Summa ir vienāda ar;
• Un. Summa ir vienāda ar;
• Un. Summa ir vienāda.

un ir sistēmas risinājums:

Tādējādi un ir mūsu vienādojuma saknes.

Atbilde: ; .

2. piemērs:

Risinājums:

Atlasīsim skaitļu pārus, kas dod reizinājumu, un pēc tam pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:

un: viņi dod kopā.

un: viņi dod kopā. Lai iegūtu, pietiek vienkārši nomainīt domājamo sakņu pazīmes: un galu galā produktu.

Atbilde:

3. piemērs:

Risinājums:

Vienādojuma brīvais termins ir negatīvs, un tāpēc sakņu reizinājums ir negatīvs skaitlis. Tas ir iespējams tikai tad, ja viena no saknēm ir negatīva, bet otra ir pozitīva. Tāpēc sakņu summa ir vienāda ar to moduļu atšķirības.

Atlasīsim skaitļu pārus, kas dod reizinājumu un kuru starpība ir vienāda ar:

un: to atšķirība ir vienāda - neder;

un: - nav piemērots;

un: - nav piemērots;

un: - piemērots. Atliek tikai atcerēties, ka viena no saknēm ir negatīva. Tā kā to summai jābūt vienādai, saknei ar mazāko moduli jābūt negatīvai: . Mēs pārbaudām:

Atbilde:

4. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Ir dots vienādojums, kas nozīmē:

Brīvais termins ir negatīvs, un tāpēc sakņu reizinājums ir negatīvs. Un tas ir iespējams tikai tad, ja viena vienādojuma sakne ir negatīva, bet otra ir pozitīva.

Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pēc tam noteiksim, kurām saknēm jābūt ar negatīvu zīmi:

Acīmredzot tikai saknes un ir piemērotas pirmajam nosacījumam:

Atbilde:

5. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Ir dots vienādojums, kas nozīmē:

Sakņu summa ir negatīva, kas nozīmē, ka saskaņā ar vismaz, viena no saknēm ir negatīva. Bet, tā kā viņu produkts ir pozitīvs, tas nozīmē, ka abām saknēm ir mīnusa zīme.

Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds ar:

Acīmredzot saknes ir skaitļi un.

Atbilde:

Piekrītu, ir ļoti ērti izdomāt saknes mutiski, nevis skaitīt šo šķebinošo diskriminantu. Centieties pēc iespējas biežāk izmantot Vietas teorēmu.

Bet Vietas teorēma ir nepieciešama, lai atvieglotu un paātrinātu sakņu atrašanu. Lai jūs gūtu labumu no tā izmantošanas, jums ir jāaktivizē darbības. Un šim nolūkam atrisiniet vēl piecus piemērus. Bet nekrāpieties: jūs nevarat izmantot diskriminantu! Tikai Vietas teorēma:

Patstāvīga darba uzdevumu risinājumi:

Uzdevums 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Saskaņā ar Vietas teorēmu:

Kā parasti, atlasi sākam ar gabalu:

Nav piemērots, jo daudzums;

: summa ir tieši tāda, kāda jums nepieciešama.

Atbilde: ; .

2. uzdevums.

Un atkal mūsu iecienītākā Vieta teorēma: summai jābūt vienādai, un reizinājumam jābūt vienādam.

Bet tā kā tam jābūt nevis, bet, mēs mainām sakņu zīmes: un (kopā).

Atbilde: ; .

3. uzdevums.

Hmm... Kur tas ir?

Visi termini ir jāpārvieto vienā daļā:

Sakņu summa ir vienāda ar produktu.

Labi, beidz! Vienādojums nav dots. Bet Vietas teorēma ir piemērojama tikai dotajos vienādojumos. Tātad vispirms jums ir jāsniedz vienādojums. Ja nevarat vadīt, atsakieties no šīs idejas un atrisiniet to citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu). Atgādināšu, ka dot kvadrātvienādojumu nozīmē padarīt vadošo koeficientu vienādu:

Lieliski. Tad sakņu summa ir vienāda ar un reizinājumu.

Šeit izvēlēties ir tikpat vienkārši kā bumbieru lobīšanu: galu galā tas ir pirmskaitlis (atvainojiet par tautoloģiju).

Atbilde: ; .

4. uzdevums.

Bezmaksas dalībnieks ir negatīvs. Kas šajā ir īpašs? Un fakts ir tāds, ka saknēm būs dažādas zīmes. Un tagad atlases laikā mēs pārbaudām nevis sakņu summu, bet gan to moduļu atšķirību: šī atšķirība ir vienāda, bet produkts.

Tātad, saknes ir vienādas ar un, bet viena no tām ir mīnus. Vietas teorēma saka, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, tas ir. Tas nozīmē, ka mazākajai saknei būs mīnuss: un kopš.

Atbilde: ; .

5. uzdevums.

Kas jums jādara vispirms? Tieši tā, sniedziet vienādojumu:

Atkal: mēs izvēlamies skaitļa faktorus, un to starpībai jābūt vienādai ar:

Saknes ir vienādas ar un, bet viena no tām ir mīnus. Kuru? To summai jābūt vienādai, kas nozīmē, ka mīnusam būs lielāka sakne.

Atbilde: ; .

Ļaujiet man apkopot:

1. Vietas teorēma tiek izmantota tikai dotajos kvadrātvienādojumos.
2. Izmantojot Vietas teorēmu, jūs varat atrast saknes pēc atlases, mutiski.
3. Ja vienādojums nav dots vai nav atrasts piemērots brīvā termina faktoru pāris, tad nav veselu sakņu, un tas ir jāatrisina citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu).

3. Pilna kvadrāta izvēles metode

Ja visi termini, kas satur nezināmo, ir attēloti terminu veidā no saīsinātām reizināšanas formulām - summas vai starpības kvadrātā -, tad pēc mainīgo aizstāšanas vienādojumu var uzrādīt nepilnīga veida kvadrātvienādojuma veidā.

Piemēram:

1. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu:.

Risinājums:

Atbilde:

2. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu:.

Risinājums:

Atbilde:

IN vispārējs skats transformācija izskatīsies šādi:

Tas nozīmē:.

Tev neko neatgādina? Tā ir diskriminējoša lieta! Tieši tā mēs ieguvām diskriminējošās formulas.

Kvadrātvienādojumi. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Kvadrātvienādojums- tas ir formas vienādojums, kur - nezināmais, - kvadrātvienādojuma koeficienti, - brīvais termins.

Pilnīgs kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficienti nav vienādi ar nulli.

Samazināts kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients, tas ir: .

Nepilns kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients un/vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:

• ja koeficients, vienādojums izskatās šādi: ,
• ja ir brīvs termins, vienādojumam ir šāda forma: ,
• ja un, vienādojums izskatās šādi: .

1. Algoritms nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai

1.1. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:

1) Izteiksim nezināmo: ,

2) Pārbaudiet izteiksmes zīmi:

• ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu,
• ja, tad vienādojumam ir divas saknes.

1.2. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:

1) Izņemsim kopējo koeficientu no iekavām: ,

2) reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tāpēc vienādojumam ir divas saknes:

1.3. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:

Šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne: .

2. Algoritms pilnu kvadrātvienādojumu atrisināšanai ar formu kur

2.1. Risinājums, izmantojot diskriminantu

1) Sakārtosim vienādojumu standarta formā: ,

2) Aprēķināsim diskriminantu, izmantojot formulu: , kas norāda vienādojuma sakņu skaitu:

3) Atrodiet vienādojuma saknes:

• ja, tad vienādojumam ir saknes, kuras atrod pēc formulas:
• ja, tad vienādojumam ir sakne, ko atrod pēc formulas:
• ja, tad vienādojumam nav sakņu.

2.2. Risinājums, izmantojot Vietas teorēmu

Reducētā kvadrātvienādojuma (formas vienādojums kur) sakņu summa ir vienāda, un sakņu reizinājums ir vienāds, t.i. , A.

2.3. Risinājums ar pilna kvadrāta izvēles metodi

Kvadrātvienādojuma problēmas tiek pētītas gan skolu programmās, gan augstskolās. Tie nozīmē vienādojumus formā a*x^2 + b*x + c = 0, kur x- mainīgais, a, b, c – konstantes; a<>0 . Uzdevums ir atrast vienādojuma saknes.

Kvadrātvienādojuma ģeometriskā nozīme

Funkcijas grafiks, kas attēlots ar kvadrātvienādojumu, ir parabola. Kvadrātvienādojuma atrisinājumi (saknes) ir parabolas krustošanās punkti ar abscisu (x) asi. No tā izriet, ka ir trīs iespējamie gadījumi:
1) parabolai nav krustošanās punktu ar abscisu asi. Tas nozīmē, ka tas atrodas augšējā plaknē ar zariem uz augšu vai apakšā ar zariem uz leju. Šādos gadījumos kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu (tam ir divas sarežģītas saknes).

2) parabolai ir viens krustpunkts ar Vērša asi. Šādu punktu sauc par parabolas virsotni, un kvadrātvienādojums tajā iegūst savu minimālo vai maksimālo vērtību. Šajā gadījumā kvadrātvienādojumam ir viena reāla sakne (vai divas identiskas saknes).

3) Pēdējais gadījums praksē ir interesantāks - ir divi parabolas krustošanās punkti ar abscisu asi. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir divas reālās saknes.

Balstoties uz mainīgo pakāpju koeficientu analīzi, var izdarīt interesantus secinājumus par parabolas izvietojumu.

1) Ja koeficients a ir lielāks par nulli, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu, ja tas ir negatīvs, tad parabolas zari ir vērsti uz leju.

2) Ja koeficients b ir lielāks par nulli, tad parabolas virsotne atrodas kreisajā pusplaknē, ja tā ieņem negatīvu vērtību, tad labajā.

Kvadrātvienādojuma risināšanas formulas atvasināšana

Pārnesim konstanti no kvadrātvienādojuma

vienādības zīmei mēs iegūstam izteiksmi

Reiziniet abas puses ar 4a

Lai iegūtu pilnīgu kvadrātu kreisajā pusē, pievienojiet b^2 abās pusēs un veiciet pārveidošanu

No šejienes mēs atrodam

Kvadrātvienādojuma diskriminanta un sakņu formula

Diskriminants ir radikālas izteiksmes vērtība. Ja tā ir pozitīva, tad vienādojumam ir divas reālās saknes, kas aprēķinātas pēc formulas Ja diskriminants ir nulle, kvadrātvienādojumam ir viens atrisinājums (divas saknes, kas sakrīt), ko var viegli iegūt no iepriekš minētās formulas D = 0. Ja diskriminants ir negatīvs, vienādojumam nav reālu sakņu. Tomēr kvadrātvienādojuma atrisinājumi tiek atrasti kompleksajā plaknē, un to vērtību aprēķina, izmantojot formulu

Vietas teorēma

Aplūkosim divas kvadrātvienādojuma saknes un uz to pamata konstruēsim kvadrātvienādojumu.Pati Vietas teorēma viegli izriet no apzīmējuma: ja mums ir formas kvadrātvienādojums tad tā sakņu summa ir vienāda ar koeficientu p, kas ņemts ar pretēju zīmi, un vienādojuma sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu q. Iepriekš minētā formulas attēlojums izskatīsies šādi. Ja klasiskajā vienādojumā konstante a nav nulle, tad viss vienādojums ar to jāsadala un pēc tam jāpiemēro Vietas teorēma.

Faktoringa kvadrātvienādojuma grafiks

Ļaujiet izvirzīt uzdevumu: koeficientu kvadrātvienādojumu. Lai to izdarītu, vispirms atrisinām vienādojumu (atrodam saknes). Tālāk mēs aizvietojam atrastās saknes kvadrātvienādojuma paplašināšanas formulā, kas atrisinās problēmu.

Kvadrātvienādojuma problēmas

1. uzdevums. Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes

x^2-26x+120=0 .

Risinājums: pierakstiet koeficientus un aizstājiet tos diskriminējošā formulā

Sakne no dotā vērtība ir vienāds ar 14, to ir viegli atrast ar kalkulatoru vai atcerēties, bieži lietojot, tomēr ērtības labad raksta beigās es jums sniegšu sarakstu ar skaitļu kvadrātiem, ar kuriem bieži var saskarties šādās problēmās.
Atrasto vērtību aizstājam saknes formulā

un saņemam

2. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

2x2 +x-3=0.

Risinājums: mums ir pilnīgs kvadrātvienādojums, izrakstām koeficientus un atrodam diskriminantu


Autors zināmās formulas kvadrātvienādojuma sakņu atrašana

3. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

9x2 -12x+4=0.

Risinājums: mums ir pilnīgs kvadrātvienādojums. Diskriminanta noteikšana

Mēs saņēmām gadījumu, kad saknes sakrīt. Atrodiet sakņu vērtības, izmantojot formulu

4. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

x^2+x-6=0 .

Risinājums: Gadījumos, kad x ir mazi koeficienti, ieteicams izmantot Vietas teorēmu. Pēc tā nosacījuma mēs iegūstam divus vienādojumus

No otrā nosacījuma mēs atklājam, ka produktam jābūt vienādam ar -6. Tas nozīmē, ka viena no saknēm ir negatīva. Mums ir šādi iespējamie atrisinājumu pāris (-3;2), (3;-2) . Ņemot vērā pirmo nosacījumu, mēs noraidām otro risinājumu pāri.
Vienādojuma saknes ir vienādas

5. uzdevums. Atrodiet taisnstūra malu garumus, ja tā perimetrs ir 18 cm un laukums ir 77 cm 2.

Risinājums: puse no taisnstūra perimetra ir vienāda ar tā blakus esošo malu summu. Apzīmēsim x kā lielāko malu, tad 18-x ir tā mazākā mala. Taisnstūra laukums ir vienāds ar šo garumu reizinājumu:
x(18-x)=77;
vai
x 2 -18x+77=0.
Atradīsim vienādojuma diskriminantu

Vienādojuma sakņu aprēķināšana

Ja x=11, Tas 18's=7, ir arī pretējais (ja x=7, tad 21's=9).

6. uzdevums. Kvadrātvienādojuma koeficients 10x 2 -11x+3=0.

Risinājums: Aprēķināsim vienādojuma saknes, lai to izdarītu, atrodam diskriminantu

Atrasto vērtību aizstājam saknes formulā un aprēķinām

Mēs izmantojam formulu kvadrātvienādojuma sadalīšanai pēc saknēm

Atverot iekavas, mēs iegūstam identitāti.

Kvadrātvienādojums ar parametru

Piemērs 1. Pie kādām parametru vērtībām A , vai vienādojumam (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ir viena sakne?

Risinājums: Tiešā veidā aizstājot vērtību a=3, mēs redzam, ka tai nav risinājuma. Tālāk mēs izmantosim faktu, ka ar nulles diskriminantu vienādojumam ir viena reizinājuma 2 sakne. Izrakstīsim diskriminantu

Vienkāršosim un pielīdzināsim nullei

Esam ieguvuši kvadrātvienādojumu attiecībā uz parametru a, kura atrisinājumu var viegli iegūt, izmantojot Vietas teorēmu. Sakņu summa ir 7, un to reizinājums ir 12. Ar vienkāršu meklēšanu mēs nosakām, ka skaitļi 3,4 būs vienādojuma saknes. Tā kā mēs jau aprēķinu sākumā noraidījām risinājumu a=3, tad vienīgais pareizais būs - a=4. Tādējādi a = 4 vienādojumam ir viena sakne.

Piemērs 2. Pie kādām parametru vērtībām A , vienādojums a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ir vairāk nekā viena sakne?

Risinājums: Vispirms apskatīsim vienskaitļa punktus, tie būs vērtības a=0 un a=-3. Ja a=0, vienādojums tiks vienkāršots līdz formai 6x-9=0; x=3/2 un būs viena sakne. Ja a= -3 iegūstam identitāti 0=0.
Aprēķināsim diskriminantu

un atrodiet a vērtību, pie kuras tā ir pozitīva

No pirmā nosacījuma mēs iegūstam a>3. Otrajā gadījumā mēs atrodam vienādojuma diskriminantu un saknes


Nosakīsim intervālus, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības. Aizvietojot punktu a=0, iegūstam 3>0 . Tātad ārpus intervāla (-3;1/3) funkcija ir negatīva. Neaizmirstiet būtību a=0, kas būtu jāizslēdz, jo sākotnējam vienādojumam ir viena sakne.
Rezultātā mēs iegūstam divus intervālus, kas atbilst problēmas nosacījumiem

Praksē būs daudz līdzīgu uzdevumu, mēģiniet izdomāt uzdevumus pats un neaizmirstiet ņemt vērā nosacījumus, kas viens otru izslēdz. Labi izpētiet kvadrātvienādojumu atrisināšanas formulas; tās bieži ir nepieciešamas, aprēķinot dažādi uzdevumi un zinātnes.

Bibliogrāfiskais apraksts: Gasanovs A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes // Jaunais zinātnieks. 2016. Nr.6.1. P. 17-20..02.2019).



Mūsu projekts ir par kvadrātvienādojumu risināšanas veidiem. Projekta mērķis: iemācīties atrisināt kvadrātvienādojumus veidos, kas nav iekļauti skolas mācību programmā. Uzdevums: atrast visu iespējamie veidi atrisinot kvadrātvienādojumus un iemācoties tos lietot pašiem un iepazīstināt ar šīm metodēm savus klasesbiedrus.

Kas ir “kvadrātvienādojumi”?

Kvadrātvienādojums- formas vienādojums cirvis2 + bx + c = 0, Kur a, b, c- daži cipari ( a ≠ 0), x- nezināms.

Skaitļus a, b, c sauc par kvadrātvienādojuma koeficientiem.

• a sauc par pirmo koeficientu;
• b sauc par otro koeficientu;
• c - bezmaksas dalībnieks.

Kurš bija pirmais, kurš “izgudroja” kvadrātvienādojumus?

Dažas algebriskās metodes lineāro un kvadrātvienādojumu risināšanai bija zināmas pirms 4000 gadiem Senajā Babilonā. Seno Babilonijas māla tablešu atklāšana, kas datētas ar 1800. un 1600. gadu pirms mūsu ēras, sniedz agrākos pierādījumus par kvadrātvienādojumu izpēti. Tās pašas tabletes satur metodes noteikta veida kvadrātvienādojumu risināšanai.

Nepieciešamību atrisināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar apgabalu atrašanu. zemes gabali un ar zemes darbi militāra rakstura, kā arī ar pašas astronomijas un matemātikas attīstību.

Šo vienādojumu risināšanas noteikums, kas izklāstīts babiloniešu tekstos, būtībā sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši nonāca pie šī noteikuma. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļrakstu teksti sniedz tikai problēmas ar risinājumiem, kas izklāstīti recepšu veidā, bez norādes par to, kā tie atrasti. Neskatoties uz augsts līmenis algebras attīstība Babilonijā, ķīļraksta tekstos trūkst negatīva skaitļa jēdziena un vispārīgas metodes kvadrātvienādojumu risināšana.

Babilonijas matemātiķi aptuveni 4. gadsimtā pirms mūsu ēras. izmantoja kvadrāta komplementa metodi, lai atrisinātu vienādojumus ar pozitīvām saknēm. Apmēram 300.g.pmē Eiklīds nāca klajā ar vispārīgāku ģeometriskā risinājuma metodi. Pirmais matemātiķis, kurš algebriskās formulas veidā atrada risinājumus vienādojumiem ar negatīvām saknēm, bija Indijas zinātnieks. Brahmagupta(Indija, 7. gadsimts AD).

Brahmagupta noteica vispārīgu noteikumu kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai:

ax2 + bx = c, a>0

Koeficienti šajā vienādojumā var būt arī negatīvi. Brahmaguptas likums būtībā ir tāds pats kā mūsu.

Indijā bija izplatīti publiski konkursi sarežģītu problēmu risināšanā. Vienā no senajām indiešu grāmatām par šādām sacensībām teikts: “Kā saule ar savu spožumu aptumšo zvaigznes, tā mācīts cilvēks aizēnos savu slavu publiskās sapulcēs, ierosinot un risinot algebriskas problēmas. Problēmas bieži tika izklāstītas poētiskā formā.

Algebriskā traktātā Al-Khvarizmi ir dota lineāro un kvadrātvienādojumu klasifikācija. Autors saskaita 6 vienādojumu veidus, izsakot tos šādi:

1) “Kvadrāti ir vienādi ar saknēm”, t.i., ax2 = bx.

2) “Kvadrāti ir vienādi ar skaitļiem”, t.i., ax2 = c.

3) “Saknes ir vienādas ar skaitli”, t.i., ax2 = c.

4) “Kvadrāti un skaitļi ir vienādi ar saknēm”, t.i., ax2 + c = bx.

5) “Kvadrāti un saknes ir vienādi ar skaitli”, t.i., ax2 + bx = c.

6) “Saknes un skaitļi ir vienādi ar kvadrātiem”, t.i., bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi, kurš izvairījās no patēriņa negatīvi skaitļi, katra no šiem vienādojumiem ir saskaitāmie, nevis atņemamie. Šajā gadījumā vienādojumi, kuriem nav pozitīvu atrisinājumu, acīmredzami netiek ņemti vērā. Autors izklāsta metodes šo vienādojumu risināšanai, izmantojot al-jabr un al-mukabal metodes. Viņa lēmums, protams, pilnībā nesakrīt ar mūsējo. Nemaz nerunājot par to, ka tas ir tīri retorisks, jāatzīmē, piemēram, ka, risinot nepilnu pirmā tipa kvadrātvienādojumu, Al-Khorezmi, tāpat kā visi matemātiķi līdz 17. gadsimtam, neņem vērā nulles atrisinājumu. laikam tāpēc, ka konkrētajā praksē uzdevumos tam nav nozīmes. Risinot pilnīgus kvadrātvienādojumus, Al-Khwarizmi nosaka to risināšanas noteikumus, izmantojot konkrētus skaitliskos piemērus un pēc tam to ģeometriskos pierādījumus.

Veidlapas kvadrātvienādojumu risināšanai pēc Al-Khwarizmi parauga Eiropā pirmo reizi tika izklāstītas “Abaka grāmatā”, kas sarakstīta 1202. gadā. Itāļu matemātiķis Leonards Fibonači. Autors patstāvīgi izstrādāja dažus jaunus algebriskie piemēri risinot problēmas un pirmais Eiropā ieviesa negatīvus skaitļus.

Šī grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatību ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzas problēmas no šīs grāmatas tika izmantotas gandrīz visās Eiropas 14.-17. gadsimta mācību grāmatās. Vispārējs noteikums kvadrātvienādojumu atrisinājums, kas reducēts līdz vienai kanoniskajai formai x2 + bх = с visām iespējamām zīmju un koeficientu kombinācijām b, c tika formulēts Eiropā 1544. gadā. M. Stīfels.

Formulas atvasinājums kvadrātvienādojuma risināšanai vispārējā formā ir pieejams no Viète, bet Viète atpazina tikai pozitīvas saknes. itāļu matemātiķi Tartaglia, Cardano, Bombelli starp pirmajiem 16. gadsimtā. Papildus pozitīvajām tiek ņemtas vērā arī negatīvās saknes. Tikai 17. gs. pateicoties pūlēm Žirārs, Dekarts, Ņūtons un citi zinātnieki, kvadrātvienādojumu risināšanas metode iegūst modernu formu.

Apskatīsim vairākus kvadrātvienādojumu risināšanas veidus.

Standartmetodes kvadrātvienādojumu atrisināšanai no skolas mācību programma:

1. Vienādojuma kreisās puses faktorēšana.
2. Pilna kvadrāta izvēles metode.
3. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot formulu.
4. Grafiskais risinājums kvadrātvienādojums.
5. Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.

Sīkāk pakavēsimies pie reducētu un nereducētu kvadrātvienādojumu risinājuma, izmantojot Vietas teorēmu.

Atgādiniet, ka, lai atrisinātu iepriekš minētos kvadrātvienādojumus, pietiek atrast divus skaitļus, kuru reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu un kuru summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi.

Piemērs.x 2 -5x+6=0

Jāatrod skaitļi, kuru reizinājums ir 6 un kuru summa ir 5. Šie skaitļi būs 3 un 2.

Atbilde: x 1 =2, x 2 =3.

Taču šo metodi var izmantot arī vienādojumiem, kuru pirmais koeficients nav vienāds ar vienu.

Piemērs.3x 2 +2x-5=0

Ņemiet pirmo koeficientu un reiziniet to ar brīvo termiņu: x 2 +2x-15=0

Šī vienādojuma saknes būs skaitļi, kuru reizinājums ir vienāds ar - 15 un kuru summa ir vienāda ar - 2. Šie skaitļi ir 5 un 3. Lai atrastu sākotnējā vienādojuma saknes, iegūtās saknes sadaliet ar pirmo koeficientu.

Atbilde: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Vienādojumu risināšana, izmantojot "mest" metodi.

Aplūkosim kvadrātvienādojumu ax 2 + bx + c = 0, kur a≠0.

Reizinot abas puses ar a, iegūstam vienādojumu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Lai ax = y, no kurienes x = y/a; tad mēs nonākam pie vienādojuma y 2 + ar + ac = 0, kas ir ekvivalents dotajam. Mēs atrodam tās saknes 1 un 2, izmantojot Vietas teorēmu.

Beidzot iegūstam x 1 = y 1 /a un x 2 = y 2 /a.

Izmantojot šo metodi, koeficients a tiek reizināts ar brīvo terminu, it kā tam tiek “iemests”, tāpēc to sauc par “metiena” metodi. Šo metodi izmanto, ja vienādojuma saknes var viegli atrast, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Piemērs.2x 2 - 11x + 15 = 0.

“Iemetīsim” koeficientu 2 brīvajam terminam un veiksim aizstāšanu un iegūsim vienādojumu y 2 - 11y + 30 = 0.

Saskaņā ar Vietas apgriezto teorēmu

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Atbilde: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības.

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Ja a+ b + c = 0 (t.i., vienādojuma koeficientu summa ir nulle), tad x 1 = 1.

2. Ja a - b + c = 0 vai b = a + c, tad x 1 = - 1.

Piemērs.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Tā kā a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), tad x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Atbilde: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Piemērs.132x 2 + 247x + 115 = 0

Jo a-b+c = 0 (132 - 247 +115 = 0), tad x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Atbilde: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Kvadrātvienādojuma koeficientiem ir arī citas īpašības. bet to izmantošana ir sarežģītāka.

8. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu.

1. att. Nomogramma

Šī ir sena un šobrīd aizmirsta kvadrātvienādojumu risināšanas metode, kas ievietota krājuma 83. lpp.: Bradis V.M. Četru ciparu matemātikas tabulas. - M., Izglītība, 1990. gads.

XXII tabula. Nomogramma vienādojuma risināšanai z 2 + pz + q = 0. Šī nomogramma ļauj, neatrisinot kvadrātvienādojumu, noteikt vienādojuma saknes no tā koeficientiem.

Nomogrammas līknes skala ir veidota pēc formulām (1. att.):

Ticot OS = p, ED = q, OE = a(visi cm), no 1. att. trīsstūru līdzības SAN Un CDF mēs iegūstam proporciju

kas pēc aizstāšanas un vienkāršošanas dod vienādojumu z 2 + pz + q = 0, un vēstule z nozīmē jebkura punkta atzīmi izliektā skalā.

Rīsi. 2 Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu

Piemēri.

1) Vienādojumam z 2 - 9z + 8 = 0 nomogramma dod saknes z 1 = 8,0 un z 2 = 1,0

Atbilde:8,0; 1.0.

2) Izmantojot nomogrammu, mēs atrisinām vienādojumu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Sadalot šī vienādojuma koeficientus ar 2, iegūstam vienādojumu z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogramma dod saknes z 1 = 4 un z 2 = 0,5.

Atbilde: 4; 0.5.

9. Ģeometriskā metode kvadrātvienādojumu risināšanai.

Piemērs.X 2 + 10x = 39.

Oriģinālā šī problēma ir formulēta šādi: "Kvadrāts un desmit saknes ir vienādi ar 39."

Aplūkosim kvadrātu ar malu x, tā malās ir izveidoti taisnstūri tā, lai katra otra mala būtu 2,5, tāpēc katra laukums ir 2,5x. Pēc tam iegūto skaitli papildina ar jaunu kvadrātu ABCD, veidojot četrus vienādus kvadrātus stūros, katra mala ir 2,5 un laukums ir 6,25

Rīsi. 3 Grafiskā metode vienādojuma x 2 + 10x = 39 atrisināšanai

Kvadrāta ABCD laukumu S var attēlot kā laukumu summu no: sākotnējā kvadrāta x 2, četriem taisnstūriem (4∙2,5x = 10x) un četriem papildu kvadrātiem (6,25∙4 = 25), t.i. S = x 2 + 10x = 25. Aizstājot x 2 + 10x ar skaitli 39, iegūstam, ka S = 39 + 25 = 64, kas nozīmē, ka kvadrāta mala ir ABCD, t.i. segments AB = 8. Sākotnējā kvadrāta vajadzīgajai malai x iegūstam

10. Vienādojumu risināšana, izmantojot Bezout teorēmu.

Bezout teorēma. Atlikušais polinoma P(x) dalījums ar binomiālu x - α ir vienāds ar P(α) (tas ir, P(x) vērtība pie x = α).

Ja skaitlis α ir polinoma P(x) sakne, tad šis polinoms dalās ar x -α bez atlikuma.

Piemērs.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Sadaliet P(x) ar (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 vai x-3=0, x=3; Atbilde: x1 =2, x2 =3.

Secinājums: Spēja ātri un racionāli atrisināt kvadrātvienādojumus ir vienkārši nepieciešama, lai atrisinātu vairāk sarežģīti vienādojumi, piemēram, frakcionēti racionālie vienādojumi, vienādojumi augstākas pakāpes, bikvadrātiskie vienādojumi un vidusskolā trigonometriskie, eksponenciālie un logaritmiskie vienādojumi. Izpētot visas atrastās kvadrātvienādojumu risināšanas metodes, mēs varam ieteikt saviem klasesbiedriem papildus standarta metodēm atrisināt ar pārsūtīšanas metodi (6) un atrisināt vienādojumus, izmantojot koeficientu īpašību (7), jo tie ir pieejamāki. uz izpratni.

Literatūra:

1. Bradis V.M. Četru ciparu matemātikas tabulas. - M., Izglītība, 1990. gads.
2. Algebra 8. klase: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teljakovskis, 15. izd., pārstrādāts. - M.: Izglītība, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Matemātikas vēsture skolā. Rokasgrāmata skolotājiem. / Red. V.N. Jaunāks. - M.: Izglītība, 1964. gads.

Ir zināms, ka tā ir noteikta vienādības ax 2 + bx + c = o versija, kur a, b un c ir reālie koeficienti nezināmam x, un kur a ≠ o, un b un c būs nulles - vienlaicīgi vai atsevišķi. Piemēram, c = o, b ≠ o vai otrādi. Mēs gandrīz atcerējāmies kvadrātvienādojuma definīciju.

Otrās pakāpes trinomāls ir nulle. Tā pirmajam koeficientam a ≠ o, b un c var būt jebkuras vērtības. Mainīgā x vērtība būs tad, kad aizstāšana pārvērš to par pareizu skaitlisko vienādību. Koncentrēsimies uz reālajām saknēm, lai gan vienādojumi var būt arī risinājumi.Par pabeigtu ir pieņemts saukt vienādojumu, kurā neviens no koeficientiem nav vienāds ar o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Atrisināsim piemēru. 2x 2 -9x-5 = ak, mēs atrodam
D = 81+40 = 121,
D ir pozitīvs, kas nozīmē, ka ir saknes, x 1 = (9+√121):4 = 5, un otrais x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Pārbaude palīdzēs pārliecināties, vai tie ir pareizi.

Šeit ir soli pa solim kvadrātvienādojuma risinājums

Izmantojot diskriminantu, jūs varat atrisināt jebkuru vienādojumu, kura kreisajā pusē ir zināms kvadrātiskais trinomiāls ≠ o. Mūsu piemērā. 2x2 -9x-5 = 0 (ass 2 +in+s = o)

Apskatīsim, kas ir nepilnīgi otrās pakāpes vienādojumi

1. cirvis 2 +in = o. Brīvais termins, koeficients c pie x 0, šeit ir vienāds ar nulli, ≠ o.
   Kā atrisināt šāda veida nepilnīgu kvadrātvienādojumu? Izņemsim x no iekavām. Atcerēsimies, kad divu faktoru reizinājums ir vienāds ar nulli.
   x(ax+b) = o, tas var būt, ja x = o vai kad ax+b = o.
   Atrisinot otro, mums ir x = -в/а.
   Rezultātā mums ir saknes x 1 = 0, pēc aprēķiniem x 2 = -b/a.
2. Tagad koeficients x ir vienāds ar o, un c nav vienāds ar (≠) o.
   x 2 +c = o. Pārvietosim c uz vienādības labo pusi, iegūstam x 2 = -с. Šim vienādojumam ir tikai reālas saknes, ja -c ir pozitīvs skaitlis (c ‹ o),
   x 1 tad ir vienāds ar √(-c), attiecīgi x 2 ir -√(-c). Pretējā gadījumā vienādojumam vispār nav sakņu.
3. Pēdējā iespēja: b = c = o, tas ir, ax 2 = o. Protams, šādam vienkāršam vienādojumam ir viena sakne, x = o.

Īpaši gadījumi

Mēs apskatījām, kā atrisināt nepilnīgu kvadrātvienādojumu, un tagad pieņemsim jebkurus veidus.

• Pilnajā kvadrātvienādojumā otrais x koeficients ir pāra skaitlis.
  Pieņemsim, ka k = o.5b. Mums ir formulas diskriminanta un sakņu aprēķināšanai.
  D/4 = k 2 - ac, saknes aprēķina kā x 1,2 = (-k±√(D/4))/a D › o.
  x = -k/a pie D = o.
  D ‹ o nav sakņu.
• Ir doti kvadrātvienādojumi, kad x kvadrātā ir vienāds ar 1, tos parasti raksta x 2 + рх + q = o. Uz tiem attiecas visas iepriekš minētās formulas, taču aprēķini ir nedaudz vienkāršāki.
  Piemērs, x 2 -4x-9 = 0. Aprēķiniet D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Turklāt to ir viegli attiecināt uz dotajiem.Saka, ka vienādojuma sakņu summa ir vienāda ar -p, otrais koeficients ar mīnusu (nozīmē pretējā zīme), un šo pašu sakņu reizinājums būs vienāds ar q, brīvo terminu. Skatiet, cik viegli būtu mutiski noteikt šī vienādojuma saknes. Nereducētiem koeficientiem (visiem koeficientiem, kas nav vienādi ar nulli) šī teorēma ir piemērojama šādi: summa x 1 + x 2 ir vienāda ar -b/a, reizinājums x 1 · x 2 ir vienāds ar c/a.

Brīvā vārda c un pirmā koeficienta a summa ir vienāda ar koeficientu b. Šajā situācijā vienādojumam ir vismaz viena sakne (viegli pierādīt), pirmais obligāti ir vienāds ar -1, bet otrais -c/a, ja tāds pastāv. Jūs varat pārbaudīt, kā pats atrisināt nepilnīgu kvadrātvienādojumu. Tik vienkārši kā pīrāgs. Koeficienti var būt noteiktās attiecībās savā starpā

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Visu koeficientu summa ir vienāda ar o.
  Šāda vienādojuma saknes ir 1 un c/a. Piemērs, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Ir vairāki citi veidi, kā atrisināt dažādus otrās pakāpes vienādojumus. Šeit, piemēram, ir metode pilna kvadrāta iegūšanai no dotā polinoma. Ir vairākas grafiskās metodes. Bieži saskaroties ar šādiem piemēriem, iemācīsies tos “klikšķināt” kā sēklas, jo visas metodes nāk prātā automātiski.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 vai x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Iemācījies atrisināt pirmās pakāpes vienādojumus, protams, jūs vēlaties strādāt ar citiem, jo ​​īpaši ar otrās pakāpes vienādojumiem, kurus citādi sauc par kvadrātvienādojumiem.

Kvadrātvienādojumi ir vienādojumi, piemēram, ax² + bx + c = 0, kur mainīgais ir x, skaitļi ir a, b, c, kur a nav vienāds ar nulli.

Ja kvadrātvienādojumā viens vai otrs koeficients (c vai b) ir vienāds ar nulli, tad šis vienādojums tiks klasificēts kā nepilnīgs kvadrātvienādojums.

Kā atrisināt nepilnu kvadrātvienādojumu, ja studenti līdz šim ir spējuši atrisināt tikai pirmās pakāpes vienādojumus? Apsveriet nepilnīgus kvadrātvienādojumus dažādi veidi un vienkārši veidi, kā tos atrisināt.

a) Ja koeficients c ir vienāds ar 0 un koeficients b nav vienāds ar nulli, tad ax ² + bx + 0 = 0 tiek reducēts uz vienādojumu formā ax ² + bx = 0.

Lai atrisinātu šādu vienādojumu, ir jāzina nepilna kvadrātvienādojuma risināšanas formula, kas sastāv no tā kreisās puses faktorēšanas un vēlāk nosacījuma, ka reizinājums ir vienāds ar nulli, izmantošana.

Piemēram, 5x² - 20x = 0. Mēs faktorējam vienādojuma kreiso pusi, veicot parasto matemātisko darbību: kopējo koeficientu izņemam no iekavām

5x (x - 4) = 0

Mēs izmantojam nosacījumu, ka produkti ir vienādi ar nulli.

5 x = 0 vai x - 4 = 0

Atbilde būs: pirmā sakne ir 0; otrā sakne ir 4.

b) Ja b = 0 un brīvais loceklis nav vienāds ar nulli, tad vienādojums ax ² + 0x + c = 0 tiek reducēts uz vienādojumu formā ax ² + c = 0. Vienādojumus risina divos veidos. : a) faktorējot vienādojuma polinomu kreisajā pusē ; b) izmantojot aritmētikas īpašības kvadrātsakne. Šādu vienādojumu var atrisināt, izmantojot vienu no metodēm, piemēram:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Atbilde būs: pirmā sakne ir 5/2; otrā sakne ir vienāda ar - 5/2.

c) Ja b ir vienāds ar 0 un c ir vienāds ar 0, tad ax ² + 0 + 0 = 0 tiek reducēts uz vienādojumu formā ax ² = 0. Šādā vienādojumā x būs vienāds ar 0.

Kā redzat, nepilnīgiem kvadrātvienādojumiem var būt ne vairāk kā divas saknes.