Attēlu, ko ierobežo nepārtrauktas nenegatīvas funkcijas $f(x)$ grafiks segmentā $$ un taisnēm $y=0, \ x=a$ un $x=b$, sauc par līknes trapeci.

Atbilstošās līknes trapeces laukumu aprēķina pēc formulas:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Mēs nosacīti sadalīsim problēmas, lai atrastu līknes trapeces laukumu $4$ veidos. Apskatīsim katru veidu sīkāk.

I tips: izliekta trapecveida forma ir skaidri norādīta. Pēc tam nekavējoties pielietojiet formulu (*).

Piemēram, atrodiet līknes trapeces laukumu, ko ierobežo funkcijas $y=4-(x-2)^(2)$ grafiks un līnijas $y=0, \ x=1$ un $x. = 3 USD.

Uzzīmēsim šo izliekto trapeci.

Izmantojot formulu (*), mēs atrodam šīs līknes trapeces laukumu.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\kreisais((1)^(3)-(-1)^(3)\labais) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (vienības$^(2)$).

II tips: izliektā trapecveida forma ir norādīta netieši.Šajā gadījumā taisnes $x=a, \ x=b$ parasti nav norādītas vai norādītas daļēji. Šajā gadījumā jāatrod funkciju $y=f(x)$ un $y=0$ krustošanās punkti. Šie punkti būs punkti $a$ un $b$.

Piemēram, atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo funkciju $y=1-x^(2)$ un $y=0$ grafiki.

Atradīsim krustošanās punktus. Lai to izdarītu, mēs pielīdzinām funkciju labās puses.

Tādējādi $a=-1$ un $b=1$. Uzzīmēsim šo izliekto trapeci.

Atradīsim šīs izliektās trapeces laukumu.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (vienības $^(2)$).

III tips: figūras laukums, ko ierobežo divu nepārtrauktu nenegatīvu funkciju krustpunkts.Šis skaitlis nebūs izliekta trapece, kas nozīmē, ka jūs nevarat aprēķināt tā laukumu, izmantojot formulu (*). Kā būt? Izrādās, ka šī attēla laukumu var atrast kā starpību starp līknes trapeces laukumiem, ko ierobežo augšējā funkcija un $y=0$ ($S_(uf)$), un zemāka funkcija un $y=0$ ($S_(lf)$), kur $x=a, \ x=b$ lomu spēlē šo funkciju krustošanās punktu $x$ koordinātes, t.i.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Aprēķinot šādas platības, vissvarīgākais ir “nepalaist garām” ar augšējo un apakšējo funkciju izvēli.

Piemēram, atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo funkcijas $y=x^(2)$ un $y=x+6$.

Atradīsim šo grafiku krustošanās punktus:

Saskaņā ar Vietas teorēmu,

$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$

Tas ir, $a=-2,\b=3$. Uzzīmēsim figūru:

Tādējādi augšējā funkcija ir $y=x+6$, bet apakšējā funkcija ir $y=x^(2)$. Tālāk mēs atrodam $S_(uf)$ un $S_(lf)$, izmantojot formulu (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (vienības$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (vienības$^(2)$).

Aizstāsim atrasto ar (**) un iegūsim:

$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (vienības$^(2)$).

IV tips: figūras laukums, ko ierobežo funkcija(-as), kas neatbilst nenegatīvisma nosacījumam. Lai atrastu šādas figūras laukumu, jums jābūt simetriskam pret $Ox$ asi ( citiem vārdiem sakot, ievietojiet “mīnusus” funkciju priekšā) parāda laukumu un, izmantojot I – III tipos aprakstītās metodes, atrodiet parādītā apgabala laukumu. Šī zona būs vajadzīgā zona. Pirmkārt, iespējams, būs jāatrod funkciju grafiku krustošanās punkti.

Piemēram, atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo funkciju $y=x^(2)-1$ un $y=0$ grafiki.

Atradīsim funkciju grafiku krustošanās punktus:

tie. $a=-1$ un $b=1$. Uzzīmēsim laukumu.

Parādīsim apgabalu simetriski:

$y=0 \ \Rightrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Rezultāts ir līknes trapecveida forma, ko ierobežo funkcijas $y=1-x^(2)$ un $y=0$ grafiks. Šī ir problēma, lai atrastu izliektu otrā veida trapecveida formu. Mēs to jau esam atrisinājuši. Atbilde bija: $S= 1\frac(1)(3)$ (vienības $^(2)$). Tas nozīmē, ka nepieciešamās līknes trapeces laukums ir vienāds ar:

$S=1\frac(1)(3)$ (vienības$^(2)$).

Līklīnijas trapeces laukums ir skaitliski vienāds ar noteiktu integrāli

Jebkuram noteiktam integrālim (kas pastāv) ir ļoti laba ģeometriskā nozīme. Klasē es teicu, ka noteikts integrālis ir skaitlis. Un tagad ir pienācis laiks pateikt vēl vienu noderīgs fakts. No ģeometrijas viedokļa noteiktais integrālis ir AREA.

Tas ir, noteiktais integrālis (ja tāds pastāv) ģeometriski atbilst noteiktas figūras laukumam. Piemēram, ņemiet vērā noteikto integrāli. Integrāds definē noteiktu līkni plaknē (to vienmēr var uzzīmēt, ja vēlas), un pats noteiktais integrālis ir skaitliski vienāds ar laukumu atbilstošā izliektā trapece.

1. piemērs

Šis ir tipisks uzdevuma paziņojums. Pirmkārt un vissvarīgākais brīdis risinājumi - zīmēšana. Turklāt zīmējums ir jākonstruē PA LABI.

Veidojot zīmējumu, iesaku šādu secību: vispirms labāk ir konstruēt visas taisnes (ja tādas ir) un tikai Tad– parabolas, hiperbolas, citu funkciju grafiki. Izdevīgāk ir veidot funkciju grafikus punkts pa punktam, punktu pa punktam būvniecības tehnika ir atrodama atsauces materiālā.

Tur arī var atrast ļoti noderīgu materiālu mūsu nodarbībai – kā ātri uzbūvēt parabolu.

Šīs problēmas risinājums varētu izskatīties šādi.
Uzzīmēsim zīmējumu (ņemiet vērā, ka vienādojums nosaka asi):

Es neēnošu izliekto trapecveida formu, šeit ir skaidrs, par kuru apgabalu mēs runājam. Risinājums turpinās šādi:

Segmentā atrodas funkcijas grafiks virs ass, Tāpēc:

Atbilde:

Kam ir grūtības ar noteiktā integrāļa aprēķināšanu un Ņūtona-Leibnica formulas piemērošanu , atsaukties uz lekciju Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri.

Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi aplūkot zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. IN šajā gadījumā“ar aci” mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā - labi, būs apmēram 9, šķiet, ka tā ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņēmām, teiksim, atbildi: 20 kvadrātvienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas acīmredzami neietilpst attiecīgajā attēlā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.

2. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , un ass

Šis ir piemērs priekš neatkarīgs lēmums. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ko darīt, ja atrodas izliektā trapece zem ass?

3. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas un koordinātu asis.

Risinājums: izveidosim zīmējumu:

Ja izliekta trapece pilnībā atrodas zem ass, tad tā laukumu var atrast, izmantojot formulu:
Šajā gadījumā:

Uzmanību! Nedrīkst jaukt divu veidu uzdevumus:

1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez neviena ģeometriskā nozīme, tad tas var būt negatīvs.

2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.

Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē, un tāpēc no vienkāršākajām skolas problēmām mēs pārejam pie jēgpilnākiem piemēriem.

4. piemērs

Atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , .

Risinājums: Vispirms jums ir jāizveido zīmējums. Vispārīgi runājot, konstruējot zīmējumu laukuma problēmās, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas un taisnes krustpunktus. To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska. Mēs atrisinām vienādojumu:

Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža ir , integrācijas augšējā robeža ir .
Ja iespējams, šo metodi labāk neizmantot.

Daudz izdevīgāk un ātrāk ir būvēt līnijas pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Punktu pēc punkta konstruēšanas tehnika dažādiem grafikiem ir detalizēti apskatīta palīdzībā Grafiki un rekvizīti elementāras funkcijas . Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla). Un mēs arī apsvērsim šādu piemēru.

Atgriezīsimies pie uzdevuma: racionālāk ir vispirms izveidot taisni un tikai pēc tam parabolu. Izveidosim zīmējumu:

Atkārtoju, ka, konstruējot punktveida, integrācijas robežas visbiežāk tiek noskaidrotas “automātiski”.

Un tagad darba formula: Ja segmentā ir kāda nepārtraukta funkcija lielāks par vai vienāds ar kādu nepārtrauktu funkciju, tad atbilstošās figūras laukumu var atrast, izmantojot formulu:

Šeit jums vairs nav jādomā par to, kur atrodas figūra - virs ass vai zem ass, un, rupji runājot, ir svarīgi, kurš grafiks ir AUGSTĀKS(attiecībā pret citu grafiku), un kurš no tiem ir Apakšā.

Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc ir jāatņem no

Pabeigtais risinājums varētu izskatīties šādi:

Vēlamo figūru ierobežo parabola augšpusē un taisna līnija zemāk.
Segmentā saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Faktiski skolas formula līknes trapeces laukumam apakšējā pusplaknē (skat. vienkāršu piemēru Nr. 3) ir īpašs gadījums formulas . Tā kā asi ir norādīta ar vienādojumu un funkcijas grafiks atrodas zem ass, tad

Un tagad pāris piemēri savam risinājumam

5. piemērs

6. piemērs

Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , .

Risinot problēmas, kas saistītas ar laukuma aprēķināšanu, izmantojot noteiktu integrāli, dažreiz notiek smieklīgi atgadījumi. Zīmējums izdarīts pareizi, aprēķini pareizi, bet neuzmanības dēļ... tika atrasts nepareizās figūras laukums, tieši tā tavs pazemīgais kalps vairākas reizes izkūpēja. Šeit reāls gadījums no dzīves:

7. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , , .

Vispirms izveidosim zīmējumu:

Figūra, kuras apgabals mums jāatrod, ir iekrāsots zilā krāsā(uzmanīgi apskatiet nosacījumu - kā figūra ir ierobežota!). Bet praksē neuzmanības dēļ bieži rodas situācija, ka jāatrod ēnotās figūras laukums. zaļš!

Šis piemērs ir noderīgs arī tāpēc, ka tas aprēķina figūras laukumu, izmantojot divus noteiktus integrāļus. Tiešām:

1) Uz segmenta virs ass ir taisnes grafiks;

2) Uz segmenta virs ass ir hiperbolas grafiks.

Ir pilnīgi skaidrs, ka apgabalus var (un vajadzētu) pievienot, tāpēc:

Atbilde:

8. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas,
Iesniegsim vienādojumus “skolas” formā un izveidosim punktu pa punktam zīmējumu:

No zīmējuma ir skaidrs, ka mūsu augšējā robeža ir “laba”: .
Bet kāda ir zemākā robeža?! Ir skaidrs, ka tas nav vesels skaitlis, bet kas tas ir? Var būt ? Bet kur ir garantija, ka zīmējums tapis ar nevainojamu precizitāti, var izrādīties, ka... Vai sakne. Ko darīt, ja mēs izveidojam grafiku nepareizi?

Šādos gadījumos jums ir jāpavada papildu laiks un analītiski jānoskaidro integrācijas robežas.

Atradīsim taisnes un parabolas krustošanās punktus.
Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu:

Līdz ar to,.

Tālākais risinājums ir triviāls, galvenais neapjukt aizvietojumos un zīmēs, aprēķini šeit nav no tiem vienkāršākajiem.

Uz segmentu , saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Nodarbības noslēgumā apskatīsim divus sarežģītākus uzdevumus.

9. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , ,

Risinājums: attēlosim šo figūru zīmējumā.

Lai zīmētu punktu pa punktam, jums jāzina izskats sinusoīdi (un parasti ir noderīgi zināt visu elementāro funkciju grafiki), kā arī dažas sinusa vērtības, tās var atrast trigonometriskā tabula. Dažos gadījumos (kā šajā gadījumā) ir iespējams izveidot shematisku zīmējumu, uz kura principiāli pareizi jāattēlo integrācijas grafiki un robežas.

Šeit nav problēmu ar integrācijas ierobežojumiem, tie izriet tieši no nosacījuma: “x” mainās no nulles uz “pi”. Pieņemsim tālāku lēmumu:

Segmentā funkcijas grafiks atrodas virs ass, tāpēc:

(1) Nodarbībā var redzēt, kā sinusus un kosinusus ir integrēti nepāra pakāpēs Integrāļi no trigonometriskās funkcijas . Tas ir tipisks paņēmiens, mēs nospiežam vienu sinusu.

(2) Izmantojiet pamata trigonometriskā identitāte kā

(3) Mainīsim mainīgo , tad:

Jaunas integrācijas jomas:

Ikviens, kurš patiešām slikti izturas ar aizstāšanu, lūdzu, paņemiet mācību. Aizstāšanas metode iekšā nenoteikts integrālis . Tiem, kas īsti nesaprot aizstāšanas algoritmu noteiktā integrālī, apmeklējiet lapu Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri.

Šajā rakstā jūs uzzināsit, kā, izmantojot integrālos aprēķinus, atrast figūras laukumu, ko ierobežo līnijas. Pirmo reizi ar šādas problēmas formulēšanu sastopamies vidusskolā, kad tikko esam pabeiguši noteikto integrāļu izpēti un ir laiks uzsākt iegūto zināšanu ģeometrisko interpretāciju praksē.

Tātad, kas nepieciešams, lai veiksmīgi atrisinātu figūras laukuma atrašanas problēmu, izmantojot integrāļus:

Spēja veidot kompetentus rasējumus;
Spēja atrisināt noteiktu integrāli, izmantojot slavenā formulaŅūtons-Leibnics;
Iespēja “redzēt” izdevīgāku risinājuma variantu – t.i. saproti, kā vienā vai otrā gadījumā būs ērtāk veikt integrāciju? Pa x asi (OX) vai y asi (OY)?
Kur mēs būtu bez pareiziem aprēķiniem?) Tas ietver izpratni par to, kā atrisināt cita veida integrāļus un pareizi veikt skaitliskos aprēķinus.

Algoritms ar līnijām norobežotas figūras laukuma aprēķināšanas problēmas risināšanai:

1. Mēs veidojam zīmējumu. Vēlams to darīt uz rūtainas papīra lapas, lielā mērogā. Šīs funkcijas nosaukumu mēs parakstām ar zīmuli virs katra grafika. Grafiku parakstīšana tiek veikta tikai turpmāko aprēķinu ērtībai. Saņemot vēlamās figūras grafiku, vairumā gadījumu uzreiz būs skaidrs, kuras integrācijas robežas tiks izmantotas. Tādējādi mēs atrisinām problēmu grafiski. Tomēr gadās, ka robežvērtības ir daļējas vai neracionālas. Tāpēc varat veikt papildu aprēķinus, pārejiet uz otro darbību.

2. Ja integrācijas robežas nav skaidri norādītas, mēs atrodam grafiku krustošanās punktus savā starpā un redzam, vai mūsu grafiskais risinājums ar analītisko.

3. Tālāk jums jāanalizē zīmējums. Atkarībā no tā, kā ir sakārtoti funkciju grafiki, ir dažādas pieejas figūras laukuma atrašanai. Apsvērsim dažādi piemēri par figūras laukuma atrašanu, izmantojot integrāļus.

3.1. Klasiskākā un vienkāršākā problēmas versija ir tad, kad jāatrod izliektas trapeces laukums. Kas ir izliekta trapece? Šis ir plakans skaitlis, ko ierobežo x ass (y = 0), taisni x = a, x = b un jebkura līkne, kas nepārtraukta intervālā no a pirms tam b. Turklāt šis skaitlis nav negatīvs un atrodas ne zem x ass. Šajā gadījumā līknes trapeces laukums ir skaitliski vienāds ar noteiktu integrāli, ko aprēķina, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu:

1. piemērs y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Ar kādām līnijām skaitlis ierobežo? Mums ir parabola y = x2 – 3x + 3, kas atrodas virs ass Ak!, tas nav negatīvs, jo visiem šīs parabolas punktiem ir pozitīvas vērtības. Tālāk dotas taisnas līnijas x = 1 Un x = 3, kas iet paralēli asij OU, ir figūras robežlīnijas kreisajā un labajā pusē. Nu y = 0, tā ir arī x ass, kas ierobežo attēlu no apakšas. Iegūtais skaitlis ir ieēnots, kā redzams attēlā pa kreisi. Šajā gadījumā jūs varat nekavējoties sākt problēmas risināšanu. Pirms mums ir vienkāršs izliektas trapeces piemērs, kuru mēs pēc tam atrisinām, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu.

3.2. Iepriekšējā 3.1. punktā mēs apskatījām gadījumu, kad izliekta trapece atrodas virs x ass. Tagad apsveriet gadījumu, kad problēmas nosacījumi ir vienādi, izņemot to, ka funkcija atrodas zem x ass. Standarta Ņūtona-Leibnica formulai tiek pievienots mīnuss. Tālāk mēs apsvērsim, kā atrisināt šādu problēmu.

2. piemērs . Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Šajā piemērā mums ir parabola y = x2 + 6x + 2, kas nāk no ass Ak!, taisni x = -4, x = -1, y = 0. Šeit y = 0 ierobežo vēlamo figūru no augšas. Tieša x = -4 Un x = -1šīs ir robežas, kurās tiks aprēķināts noteiktais integrālis. Figūras laukuma atrašanas problēmas risināšanas princips gandrīz pilnībā sakrīt ar piemēru numuru 1. Vienīgā atšķirība ir tā, ka dotā funkcija nav pozitīva, kā arī ir nepārtraukta intervālā [-4; -1] . Ko tu domā, ka nav pozitīvs? Kā redzams no attēla, skaitlim, kas atrodas dotajos x, ir tikai “negatīvas” koordinātas, kas mums ir jāredz un jāatceras, risinot problēmu. Mēs meklējam figūras laukumu, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, tikai ar mīnusa zīmi sākumā.

Raksts nav pabeigts.

Piemērs1 . Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 un x = 2

Konstruēsim figūru (skat. attēlu) Konstruējam taisni x + 2y – 4 = 0, izmantojot divus punktus A(4;0) un B(0;2). Izsakot y caur x, mēs iegūstam y = -0,5x + 2. Izmantojot formulu (1), kur f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, mēs atrodam

S = = [-0,25 = 11,25 kv. vienības

2. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 un y = 0.

Risinājums. Konstruēsim figūru.

Konstruēsim taisni x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Konstruēsim taisni x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Atrisinot vienādojumu sistēmu, atradīsim līniju krustošanās punktu:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Lai aprēķinātu nepieciešamo laukumu, mēs sadalām trīsstūri AMC divos trīsstūros AMN un NMC, jo, kad x mainās no A uz N, laukums tiek ierobežots ar taisni, bet, kad x mainās no N uz C - ar taisni.

Trijstūrim AMN mums ir: ; y = 0,5x + 2, t.i., f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Trijstūrim NMC mums ir: y = - x + 5, t.i., f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Aprēķinot katra trīsstūra laukumu un saskaitot rezultātus, mēs atrodam:

kv. vienības

9 + 4, 5 = 13,5 kv. vienības Pārbaudiet: = 0,5 AC = 0,5 kv. vienības

3. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Šajā gadījumā jums jāaprēķina izliektas trapeces laukums, ko ierobežo parabola y = x 2 , taisnas līnijas x = 2 un x = 3 un Vērša ass (skat. attēlu) Izmantojot formulu (1) mēs atrodam līknes trapeces laukumu

= = 6 kv. vienības

4. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = - x 2 + 4 un y = 0

Konstruēsim figūru. Nepieciešamais laukums ir norobežots starp parabolu y = - x 2 + 4 un Vērša ass.

Atradīsim parabolas krustošanās punktus ar Vērša asi. Pieņemot, ka y = 0, mēs atrodam x = Tā kā šis skaitlis ir simetrisks pret Oy asi, mēs aprēķinām figūras laukumu, kas atrodas pa labi no Oy ass, un dubultojam iegūto rezultātu: = +4x] kv. vienības 2 = 2 kv. vienības

5. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Šeit jums jāaprēķina līknes trapeces laukums, ko ierobežo parabolas augšējais zars 2 = x, Ox ass un taisnes x = 1 un x = 4 (skatīt attēlu)

Saskaņā ar formulu (1), kur f(x) = a = 1 un b = 4, mums ir = (= kv. vienības.

6. piemērs . Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .

Nepieciešamo laukumu ierobežo sinusoīda pusvilnis un Ox ass (sk. attēlu).

Mums ir - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kv. vienības

7. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = - 6x, y = 0 un x = 4.

Attēls atrodas zem Vērša ass (sk. attēlu).

Tāpēc mēs atrodam tā laukumu, izmantojot formulu (3)

= =

8. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = un x = 2. No punktiem izveidojiet y = līkni (skatiet attēlu). Tādējādi mēs atrodam figūras laukumu, izmantojot formulu (4)

9. piemērs .

X 2 + y 2 = r 2 .

Šeit jums jāaprēķina laukums, ko ieskauj aplis x 2 + y 2 = r 2 , t.i., apļa laukums ar rādiusu r ar centru sākuma punktā. Atradīsim šī apgabala ceturto daļu, ņemot integrācijas robežas no 0

pirms; mums ir: 1 = = [

Tāpēc 1 =

10. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = x 2 un y = 2x

Šo skaitli ierobežo parabola y = x 2 un taisne y = 2x (skat. attēlu) Lai noteiktu doto taisnes krustošanās punktus, risinām vienādojumu sistēmu: x 2 – 2x = 0 x = 0 un x = 2

Izmantojot formulu (5), lai atrastu apgabalu, mēs iegūstam

= }