Merk. Dette er en del av en leksjon med geometriproblemer (parallelogramdelen). Hvis du trenger å løse et geometriproblem som ikke er her, skriv om det i forumet. For å indikere handlingen for å hente kvadratrot ved å løse problemer brukes symbolet √ eller sqrt() med det radikale uttrykket angitt i parentes.
Teoretisk materiale
Forklaringer for formlene for å finne arealet til et parallellogram:
- Arealet til et parallellogram er lik produktet av lengden på en av sidene og høyden på den siden
- Arealet til et parallellogram er lik produktet av de to tilstøtende sidene og sinusen til vinkelen mellom dem
- Arealet til et parallellogram er lik halvparten av produktet av diagonalene og sinusen til vinkelen mellom dem
Problemer med å finne arealet av et parallellogram
Oppgave.I et parallellogram er den kortere høyden og den korte siden henholdsvis 9 cm og roten av 82. Den største diagonalen er 15 cm. Finn arealet av parallellogrammet.
Løsning.
La oss betegne den mindre høyden til parallellogrammet ABCD senket fra punkt B til den større basen AD som BK.
La oss finne verdien av benet høyre trekant ABK dannet av en mindre høyde, en mindre side og en del av en større base. I følge Pythagoras teorem:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
La oss utvide den øvre bunnen av parallellogrammet BC og senke høyden AN til den fra den nedre bunnen. AN = BK som sidene av rektangelet ANBK. La oss finne etappe NC til den resulterende rettvinklede trekanten ANC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12
La oss nå finne den større basen BC av parallellogram ABCD.
BC = NC - NB
La oss ta hensyn til at NB = AK som sidene av rektangelet, da
BC = 12 - 1 = 11
Arealet til et parallellogram er lik produktet av basen og høyden til denne basen.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Svar: 99 cm 2 .
Oppgave
I parallellogrammet ABCD slippes den perpendikulære BO ned på diagonalen AC. Finn arealet av parallellogrammet hvis AO=8, OC=6 og BO=4.
Løsning.
La oss slippe en annen perpendikulær DK på diagonalen AC.
Følgelig er trekantene AOB og DKC, COB og AKD parvis like. En av sidene er motsatt side av parallellogrammet, en av vinklene er en rett linje, siden den er vinkelrett på diagonalen, og en av de resterende vinklene er et indre kryss som ligger for de parallelle sidene av parallellogrammet og sekanten diagonal.
Dermed er arealet av parallellogrammet lik arealet til de angitte trekantene. Det er
Sparallell = 2S AOB +2S BOC
Arealet av en rettvinklet trekant er lik halvparten av produktet av bena. Hvor
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Svar: 56 cm 2 .
Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å lykkes bestått Unified State-eksamenen i matematikk for 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!
Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.
All nødvendig teori. Raske måter løsninger, fallgruver og hemmeligheter ved Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.
Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.
Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Visuell forklaring komplekse konsepter. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.
Når du løser problemer om dette emnet, unntatt grunnleggende egenskaper parallellogram og de tilsvarende formlene, kan du huske og bruke følgende:
- Halveringslinjen til en indre vinkel i et parallellogram skjærer av en likebenet trekant fra den
- Halvledere av indre vinkler ved siden av en av sidene av et parallellogram er innbyrdes vinkelrett
- Halvledere som kommer fra motsatte indre hjørner av et parallellogram er parallelle med hverandre eller ligger på samme rette linje
- Summen av kvadratene til diagonalene til et parallellogram er lik summen av kvadratene på sidene
- Arealet til et parallellogram er lik halvparten av produktet av diagonalene og sinusen til vinkelen mellom dem
La oss vurdere problemer der disse egenskapene brukes.
Oppgave 1.
Halveringsvinkelen C til parallellogrammet ABCD skjærer side AD i punktet M og fortsettelsen av siden AB utover punktet A i punktet E. Finn omkretsen til parallellogrammet hvis AE = 4, DM = 3.
Løsning.
1. Triangle CMD er likebenet. (Eiendom 1). Derfor er CD = MD = 3 cm.
2. Trekant EAM er likebenet.
Derfor er AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Omkrets ABCD = 20 cm.
Svar. 20 cm.
Oppgave 2.
Diagonaler er tegnet i en konveks firkant ABCD. Det er kjent at arealene til trekantene ABD, ACD, BCD er like. Bevis at denne firkanten er et parallellogram.
Løsning.
1. La BE være høyden av trekanten ABD, CF være høyden av trekanten ACD. Siden, i henhold til betingelsene for problemet, arealene til trekantene er like og de har en felles base AD, så er høydene til disse trekantene like. BE = CF.
2. BE, CF er vinkelrett på AD. Punktene B og C ligger på samme side i forhold til rett linje AD. BE = CF. Derfor rett linje BC || A.D. (*)
3. La AL være høyden til trekanten ACD, BK høyden til trekanten BCD. Siden, i henhold til betingelsene for problemet, arealene til trekantene er like og de har en felles base CD, så er høydene til disse trekantene like. AL = BK.
4. AL og BK er vinkelrett på CD. Punktene B og A er plassert på samme side i forhold til rett linje CD. AL = BK. Derfor, rett linje AB || CD (**)
5. Av betingelser (*), (**) følger det at ABCD er et parallellogram.
Svar. Bevist. ABCD er et parallellogram.
Oppgave 3.
På sidene BC og CD av parallellogrammet ABCD er henholdsvis punktene M og H markert slik at segmentene BM og HD skjærer hverandre i punkt O;<ВМD = 95 о,
Løsning.
1. I trekant DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. I en rettvinklet trekant DHC Deretter<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Men CD = AB. Så AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Svar: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Oppgave 4. En av diagonalene til et parallellogram med en lengde på 4√6 danner en vinkel på 60° med basen, og den andre diagonalen gir en vinkel på 45° med samme base. Finn den andre diagonalen. Løsning.
1. AO = 2√6. 2. Vi bruker sinussetningen på trekant AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Svar: 12.
Oppgave 5. For et parallellogram med sidene 5√2 og 7√2, er den mindre vinkelen mellom diagonalene lik den mindre vinkelen til parallellogrammet. Finn summen av lengdene til diagonalene. Løsning.
La d 1, d 2 være diagonalene til parallellogrammet, og vinkelen mellom diagonalene og den mindre vinkelen til parallellogrammet er lik φ. 1. La oss telle to forskjellige S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Vi oppnår likheten 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f eller 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Ved å bruke forholdet mellom sidene og diagonalene til parallellogrammet skriver vi likheten (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. La oss lage et system: (d 1 2 + d 2 2 = 296, La oss multiplisere den andre ligningen i systemet med 2 og legge den til den første. Vi får (d 1 + d 2) 2 = 576. Derfor Id 1 + d 2 I = 24. Siden d 1, d 2 er lengdene på diagonalene til parallellogrammet, så er d 1 + d 2 = 24. Svar: 24.
Oppgave 6. Sidene av parallellogrammet er 4 og 6. Den spisse vinkelen mellom diagonalene er 45 grader. Finn arealet av parallellogrammet. Løsning.
1. Fra trekant AOB, ved hjelp av cosinussetningen, skriver vi forholdet mellom siden av parallellogrammet og diagonalene. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. På samme måte skriver vi relasjonen for trekanten AOD. La oss ta hensyn til det<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Vi får ligningen d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Vi har et system Trekker vi den første fra den andre ligningen, får vi 2d 1 · d 2 √2 = 80 eller d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Merk: I denne og forrige oppgaven er det ikke nødvendig å løse systemet fullstendig, forutsatt at vi i denne oppgaven trenger produktet av diagonaler for å beregne arealet. Svar: 10. Oppgave 7. Arealet av parallellogrammet er 96 og sidene er 8 og 15. Finn kvadratet på den mindre diagonalen. Løsning.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. La oss gjøre en erstatning i formelen. Vi får 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Derav synd ВAD = 4/5. 2. La oss finne cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. I henhold til forholdene for problemet finner vi lengden på den mindre diagonalen. Diagonalen ВD vil være mindre hvis vinkelen ВАD er spiss. Da er VAD = 3/5. 3. Fra trekanten ABD, ved hjelp av cosinussetningen, finner vi kvadratet til diagonalen BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Svar: 145.
Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser et geometriproblem? nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden. Arealet til en geometrisk figur- en numerisk karakteristikk av en geometrisk figur som viser størrelsen på denne figuren (en del av overflaten begrenset av den lukkede konturen til denne figuren). Størrelsen på området uttrykkes ved antall kvadratiske enheter som det inneholder. a b sin α Hvor S er arealet av trapeset, Et parallellogram er en firkantet figur hvis motsatte sider er parallelle og like i par. Dens motsatte vinkler er også like, og skjæringspunktet mellom diagonalene til parallellogrammet deler dem i to, og er symmetrisenteret til figuren. Spesielle tilfeller av et parallellogram er slike geometriske former som kvadrat, rektangel og rombe. Arealet til et parallellogram kan finnes på forskjellige måter, avhengig av hvilke innledende data som brukes til å formulere problemet. S = DC ∙ h hvor S er arealet av parallellogrammet; Denne formelen er veldig lett å forstå og huske hvis du ser på følgende figur. Som du kan se fra dette bildet, hvis vi kutter av en tenkt trekant til venstre for parallellogrammet og fester den til høyre, vil resultatet bli et rektangel. Som du vet, blir arealet til et rektangel funnet ved å multiplisere lengden med høyden. Bare i tilfelle av et parallellogram vil lengden være basen, og høyden på rektangelet vil være høyden på parallellogrammet senket til en gitt side. S = AD∙AB∙sinα hvor AD, AB er tilstøtende baser som danner et skjæringspunkt og en vinkel a mellom seg; S = ½∙AC∙BD∙sinβ hvor AC, BD er diagonalene til parallellogrammet;
(
(Siden i en rettvinklet trekant er benet som ligger motsatt vinkelen på 30° lik halve hypotenusen).
måter sitt område.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!
Trekantarealformler
Arealet av en trekant lik halvparten av produktet av lengden av en side av en trekant og lengden av høyden trukket til denne siden
Arealet av en trekant er lik produktet av halvperimeteren til trekanten og radiusen til den innskrevne sirkelen.
- lengder på sidene i trekanten,
- høyden på trekanten,
- vinkelen mellom sidene og,
- radius av den innskrevne sirkelen,
R - radius av den omskrevne sirkelen, Kvadratarealformler
Firkantet område lik kvadratet på lengden på siden.
Firkantet område lik halve kvadratet av lengden på diagonalen. S= 1
2
2
- lengden på siden av firkanten,
- lengden på kvadratets diagonal.Formel for rektangelareal
Arealet av et rektangel lik produktet av lengdene til de to tilstøtende sidene
hvor S er arealet av rektangelet,
- lengder på sidene av rektangelet. Parallelogramarealformler
Arealet av et parallellogram
Arealet av et parallellogram er lik produktet av lengdene på sidene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem.
- lengder på sidene av parallellogrammet,
- lengden på parallellogramhøyden,
- vinkelen mellom sidene av parallellogrammet.Formler for området til en rombe
Området til en rombe lik produktet av lengden på siden og lengden på høyden senket til denne siden.
Området til en rombe er lik produktet av kvadratet av lengden på siden og sinusen til vinkelen mellom sidene av romben.
Området til en rombe lik halvparten av produktet av lengdene til diagonalene.
- lengden på siden av romben,
- lengden på høyden på romben,
- vinkelen mellom sidene av romben,
1, 2 - lengder av diagonaler.Trapesformler for område
- lengder på basene til trapesen,
- lengder på sidene av trapesen,
Nøkkelegenskapen til et parallellogram, veldig ofte brukt når man finner området, er høyden. Høyden på et parallellogram kalles vanligvis en vinkelrett trukket fra et vilkårlig punkt på motsatt side til et rett segment som danner den siden.
a - base;
h er høyden tegnet til den gitte basen.
α er vinkelen mellom basene AD og AB.
β er vinkelen mellom diagonalene.
Laster inn...