Grunnleggende trigonometriske identiteter.
secα leses: "secant alpha". Dette er den gjensidige av cosinus alfa.
cosecα leste: "cosecant alpha." Dette er den gjensidige av sinus alfa.
Eksempler. Forenkle uttrykket:
EN) 1 – sin 2 α; b) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα; d) sin 2 α+1+cos 2 α;
e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; og) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; Og) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
EN) 1 – sin 2 α = cos 2 α i henhold til formelen 1) ;
b) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α brukte også formelen 1) ;
V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Først brukte vi formelen for forskjellen mellom kvadratene til to uttrykk: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2, og deretter formelen 1) ;
G) sin 2 αcosα – cosα. La oss ta den felles faktoren ut av parentes.
sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Du har selvfølgelig allerede lagt merke til at siden 1 – sin 2 α = cos 2 α, så er sin 2 α – 1 = -cos 2 α. På samme måte, hvis 1 – cos 2 α = sin 2 α, så cos 2 α – 1 = -sin 2 α.
d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Vi har: kvadratet av uttrykket sin 2 α pluss dobbeltproduktet av sin 2 α med cos 2 α og pluss kvadratet av det andre uttrykket cos 2 α. La oss bruke formelen for kvadratet av summen av to uttrykk: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Deretter bruker vi formelen 1) . Vi får: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
og) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = sin 2 α. Bruk formelen 1) , og deretter formelen 2) .
Huske: tgα ∙ cosα = syndα.
På samme måte ved å bruke formelen 3) tilgjengelig: ctgα ∙ syndα = cosα. Huske!
h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
Og) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Vi tok først fellesfaktoren ut av parentes, og forenklet innholdet i parentesene ved hjelp av formelen 7).
Konverter uttrykk:
Vi brukte formelen 7) og oppnådde produktet av summen av to uttrykk ved det ufullstendige kvadratet av differansen til disse uttrykkene - formelen for summen av terninger av to uttrykk.
Artikkelen beskriver i detalj de grunnleggende trigonometriske identitetene Disse likhetene etablerer forholdet mellom sin, cos, t g, c t g for en gitt vinkel. Hvis en funksjon er kjent, kan en annen bli funnet gjennom den.
Trigonometriske identiteter som skal vurderes i denne artikkelen. Nedenfor viser vi et eksempel på deres utledning med en forklaring.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α
Yandex.RTB R-A-339285-1
La oss snakke om en viktig trigonometrisk identitet, som regnes som grunnlaget for trigonometri.
sin 2 α + cos 2 α = 1
De gitte likhetene t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α er utledet fra den viktigste ved å dele begge deler med sin 2 α og cos 2 α. Deretter får vi t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α og t g α · c t g α = 1 - dette er en konsekvens av definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens.
Likheten sin 2 α + cos 2 α = 1 er den trigonometriske hovedidentiteten. For å bevise det, må du vende deg til emnet for enhetssirkelen.
La koordinatene til punkt A (1, 0) gis, som etter rotasjon med en vinkel α blir til punkt A 1. Ved definisjon av sin og cos vil punkt A 1 motta koordinater (cos α, sin α). Siden A 1 ligger innenfor enhetssirkelen betyr dette at koordinatene må tilfredsstille betingelsen x 2 + y 2 = 1 til denne sirkelen. Uttrykket cos 2 α + sin 2 α = 1 skal være gyldig. For å gjøre dette er det nødvendig å bevise den trigonometriske hovedidentiteten for alle rotasjonsvinkler α.
I trigonometri brukes uttrykket sin 2 α + cos 2 α = 1 som Pythagoras teorem i trigonometri. For å gjøre dette, vurder et detaljert bevis.
Ved hjelp av en enhetssirkel roterer vi punkt A med koordinater (1, 0) rundt midtpunktet O med vinkel α. Etter rotasjon endrer punktet koordinater og blir lik A 1 (x, y). Vi senker den vinkelrette linjen A 1 H til O x fra punkt A 1.
Figuren viser tydelig at det er dannet en rettvinklet trekant O A 1 N. Modulen til beina OA 1 N og O N er like, oppføringen vil ha følgende form: | A 1 H | = | y | , | O N | = | x | . Hypotenusen OA 1 har en verdi lik radiusen til enhetssirkelen, | O A 1 | = 1 . Ved å bruke dette uttrykket kan vi skrive likheten ved å bruke Pythagoras teorem: | A 1 N | 2 + | O N | 2 = | O A 1 | 2. La oss skrive denne likheten som | y | 2 + | x | 2 = 1 2, som betyr y 2 + x 2 = 1.
Ved å bruke definisjonen av sin α = y og cos α = x, erstatter vi vinkeldataene i stedet for koordinatene til punktene og går videre til ulikheten sin 2 α + cos 2 α = 1.
Den grunnleggende forbindelsen mellom synd og cos av en vinkel er mulig gjennom denne trigonometriske identiteten. Dermed kan vi beregne synden til en vinkel med en kjent cos og omvendt. For å gjøre dette er det nødvendig å løse sin 2 α + cos 2 = 1 med hensyn til sin og cos, da får vi uttrykk på formen sin α = ± 1 - cos 2 α og cos α = ± 1 - sin 2 α , henholdsvis. Størrelsen på vinkelen α bestemmer tegnet foran roten av uttrykket. For en detaljert forklaring må du lese avsnittet om beregning av sinus, cosinus, tangens og cotangens ved hjelp av trigonometriske formler.
Oftest brukes den grunnleggende formelen til å transformere eller forenkle trigonometriske uttrykk. Det er mulig å erstatte summen av kvadratene av sinus og cosinus med 1. Identitetssubstitusjon kan enten være direkte eller omvendt rekkefølge: enhet erstattes av uttrykket av summen av kvadratene av sinus og cosinus.
Tangent og cotangens gjennom sinus og cosinus
Fra definisjonen av cosinus og sinus, tangent og cotangens er det klart at de er sammenkoblet med hverandre, noe som lar deg konvertere de nødvendige mengdene separat.
t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α
Fra definisjonen er sinus ordinaten til y, og cosinus er abscissen til x. Tangent er forholdet mellom ordinat og abscisse. Dermed har vi:
t g α = y x = sin α cos α , og det cotangente uttrykket har motsatt betydning, dvs.
c t g α = x y = cos α sin α .
Det følger at de resulterende identitetene t g α = sin α cos α og c t g α = cos α sin α er spesifisert ved å bruke sin og cos-vinkler. Tangenten anses å være forholdet mellom sinus og cosinus for vinkelen mellom dem, og cotangensen er motsatt.
Merk at t g α = sin α cos α og c t g α = cos α sin α er sanne for enhver verdi av vinkel α, hvis verdier er inkludert i området. Fra formelen t g α = sin α cos α er verdien av vinkelen α forskjellig fra π 2 + π · z, og c t g α = cos α sin α tar verdien av vinkelen α forskjellig fra π · z, z tar verdien av et heltall.
Forholdet mellom tangent og cotangens
Det er en formel som viser forholdet mellom vinkler gjennom tangent og cotangens. Denne trigonometriske identiteten er viktig i trigonometri og er betegnet som t g α · c t g α = 1. Det gir mening for α med en annen verdi enn π 2 · z, ellers vil ikke funksjonene bli definert.
Formelen t g α · c t g α = 1 har sine egne særegenheter i beviset. Fra definisjonen har vi at t g α = y x og c t g α = x y, derav får vi t g α · c t g α = y x · x y = 1. Ved å transformere uttrykket og erstatte t g α = sin α cos α og c t g α = cos α sin α, får vi t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1.
Da har uttrykket tangent og cotangens betydningen av når vi til slutt oppnår gjensidig inverse tall.
Tangent og cosinus, cotangens og sinus
Etter å ha transformert hovedidentitetene, kommer vi til den konklusjon at tangenten er relatert gjennom cosinus, og cotangens gjennom sinus. Dette kan sees av formlene t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α.
Definisjonen er som følger: summen av kvadratet av tangenten til en vinkel og 1 er likestilt med en brøk, hvor vi i telleren har 1, og i nevneren kvadratet av cosinus til en gitt vinkel, og summen av kvadratet av cotangensen til vinkelen er det motsatte. Takket være den trigonometriske identiteten sin 2 α + cos 2 α = 1, kan vi dele de tilsvarende sidene med cos 2 α og få t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, hvor verdien av cos 2 α ikke skal være lik null. Ved å dele med sin 2 α får vi identiteten 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α, hvor verdien av sin 2 α ikke skal være lik null.
Fra uttrykkene ovenfor fant vi at identiteten t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α er sann for alle verdier av vinkelen α som ikke tilhører π 2 + π · z, og 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α for verdier av α som ikke tilhører intervallet π · z.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Grunnleggende trigonometriske identiteter.
secα leses: "secant alpha". Dette er den gjensidige av cosinus alfa.
cosecα leste: "cosecant alpha." Dette er den gjensidige av sinus alfa.
Eksempler. Forenkle uttrykket:
EN) 1 – sin 2 α; b) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα; d) sin 2 α+1+cos 2 α;
e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; og) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; Og) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
EN) 1 – sin 2 α = cos 2 α i henhold til formelen 1) ;
b) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α brukte også formelen 1) ;
V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Først brukte vi formelen for forskjellen mellom kvadratene til to uttrykk: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2, og deretter formelen 1) ;
G) sin 2 αcosα – cosα. La oss ta den felles faktoren ut av parentes.
sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Du har selvfølgelig allerede lagt merke til at siden 1 – sin 2 α = cos 2 α, så er sin 2 α – 1 = -cos 2 α. På samme måte, hvis 1 – cos 2 α = sin 2 α, så cos 2 α – 1 = -sin 2 α.
d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Vi har: kvadratet av uttrykket sin 2 α pluss dobbeltproduktet av sin 2 α med cos 2 α og pluss kvadratet av det andre uttrykket cos 2 α. La oss bruke formelen for kvadratet av summen av to uttrykk: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Deretter bruker vi formelen 1) . Vi får: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
og) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = sin 2 α. Bruk formelen 1) , og deretter formelen 2) .
Huske: tgα ∙ cosα = syndα.
På samme måte ved å bruke formelen 3) tilgjengelig: ctgα ∙ syndα = cosα. Huske!
h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
Og) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Vi tok først fellesfaktoren ut av parentes, og forenklet innholdet i parentesene ved hjelp av formelen 7).
Konverter uttrykk:
"Synd"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger. "sek"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger. "Sine"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger... Wikipedia
Ris. 1 Diagrammer trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, sekant, cosecant, cotangens Trigonometrisk funksjonstype elementære funksjoner. Vanligvis inkluderer disse sinus (sin x), cosinus (cos x), tangens (tg x), cotangens (ctg x), ... ... Wikipedia
Ris. 1 Grafer over trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, sekant, cosekant, cotangens Trigonometriske funksjoner er en type elementære funksjoner. Vanligvis inkluderer disse sinus (sin x), cosinus (cos x), tangens (tg x), cotangens (ctg x), ... ... Wikipedia
Ris. 1 Grafer over trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, sekant, cosekant, cotangens Trigonometriske funksjoner er en type elementære funksjoner. Vanligvis inkluderer disse sinus (sin x), cosinus (cos x), tangens (tg x), cotangens (ctg x), ... ... Wikipedia
Ris. 1 Grafer over trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, sekant, cosekant, cotangens Trigonometriske funksjoner er en type elementære funksjoner. Vanligvis inkluderer disse sinus (sin x), cosinus (cos x), tangens (tg x), cotangens (ctg x), ... ... Wikipedia
Geodetiske målinger (XVII århundre) ... Wikipedia
I trigonometri relaterer formelen for solbrun av halv vinkel brunfargen av halv vinkel til trigonometriske funksjoner full vinkel: Ulike varianter av denne formelen er som følger... Wikipedia
- (fra gresk τρίγονο (trekant) og gresk μετρειν (mål), det vil si måling av trekanter) en gren av matematikken der trigonometriske funksjoner og deres anvendelser på geometri studeres. Dette begrepet dukket først opp i 1595 som... ... Wikipedia
- (lat. solutio triangulorum) et historisk begrep som betyr løsningen av det trigonometriske hovedproblemet: ved å bruke kjente data om en trekant (sider, vinkler, etc.) finn dens gjenværende egenskaper. Trekanten kan lokaliseres på... ... Wikipedia
Bøker
- Sett med bord. Algebra og begynnelsen av analysen. Karakter 10. 17 tabeller + metodikk,. Bordene er trykket på tykk trykt papp som måler 680 x 980 mm. Settet inkluderer en brosjyre med metodiske anbefalinger for læreren. Pedagogisk album med 17 ark.…
- Tables of Integrals and Other Mathematical Formulas, Dwight G.B. Den tiende utgaven av den berømte oppslagsboken inneholder svært detaljerte tabeller over ubestemte og bestemte integraler, samt stort antall andre matematiske formler: serieutvidelser,...
Forholdet mellom de grunnleggende trigonometriske funksjonene - sinus, cosinus, tangens og cotangens - er gitt trigonometriske formler. Og siden det er ganske mange sammenhenger mellom trigonometriske funksjoner, forklarer dette overfloden av trigonometriske formler. Noen formler forbinder trigonometriske funksjoner med samme vinkel, andre - funksjoner av flere vinkler, andre - lar deg redusere graden, fjerde - uttrykke alle funksjoner gjennom tangenten til en halv vinkel, etc.
I denne artikkelen vil vi liste opp alle de viktigste i rekkefølge trigonometriske formler, som er tilstrekkelig til å løse de aller fleste trigonometriproblemer. For å gjøre det enklere å huske og bruke, vil vi gruppere dem etter formål og legge dem inn i tabeller.
Sidenavigering.
Grunnleggende trigonometriske identiteter
Grunnleggende trigonometriske identiteter definere forholdet mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel. De følger av definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens, samt begrepet enhetssirkelen. De lar deg uttrykke en trigonometrisk funksjon i form av en hvilken som helst annen.
For en detaljert beskrivelse av disse trigonometriformlene, deres utledning og eksempler på anvendelse, se artikkelen.
Reduksjonsformler
Reduksjonsformler følger av egenskapene til sinus, cosinus, tangens og cotangens, det vil si at de gjenspeiler egenskapen periodisitet til trigonometriske funksjoner, egenskapen til symmetri, samt egenskapen til forskyvning med en gitt vinkel. Disse trigonometriske formlene lar deg gå fra å jobbe med vilkårlige vinkler til å jobbe med vinkler fra null til 90 grader.
Begrunnelsen for disse formlene, en mnemonisk regel for å huske dem og eksempler på deres anvendelse kan studeres i artikkelen.
Addisjonsformler
Trigonometriske addisjonsformler vis hvordan trigonometriske funksjoner av summen eller forskjellen av to vinkler uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til disse vinklene. Disse formlene tjener som grunnlag for å utlede følgende trigonometriske formler.
Formler for dobbel, trippel osv. vinkel
Formler for dobbel, trippel osv. vinkel (de kalles også flere vinkelformler) viser hvordan trigonometriske funksjoner av dobbel, trippel, etc. vinkler () uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til en enkelt vinkel. Deres utledning er basert på addisjonsformler.
Mer detaljert informasjon er samlet i artikkelformlene for dobbel, trippel osv. vinkel
Halvvinkelformler
Halvvinkelformler vis hvordan trigonometriske funksjoner til en halv vinkel uttrykkes i form av cosinus til en hel vinkel. Disse trigonometriske formlene følger av dobbelvinkelformlene.
Deres konklusjon og eksempler på anvendelse finner du i artikkelen.
Formler for gradreduksjon
Trigonometriske formler for å redusere grader er designet for å lette overgangen fra naturlige krefter til trigonometriske funksjoner til sinus og cosinus i første grad, men flere vinkler. Med andre ord lar de deg redusere kreftene til trigonometriske funksjoner til den første.
Formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner
Hovedgrunnen formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner er å gå til produktet av funksjoner, som er veldig nyttig når man forenkler trigonometriske uttrykk. Disse formlene er også mye brukt for å løse trigonometriske ligninger, da de lar deg faktorisere summen og forskjellen av sinus og cosinus.
Formler for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus
Overgangen fra produktet av trigonometriske funksjoner til en sum eller forskjell utføres ved å bruke formlene for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus.
Opphavsrett av smartstudenter
Alle rettigheter forbeholdt.
Beskyttet av lov om opphavsrett. Ingen del av www.nettstedet, inkludert internt materiale og utvendig design, kan ikke reproduseres i noen form eller brukes uten skriftlig forhåndstillatelse fra opphavsrettsinnehaveren.
Laster inn...