0 delt på 5 er hva det er. Hva med høyere matematikk? Kommutativ lov om multiplikasjon

I skolereknekurset utføres alle matematiske operasjoner med reelle tall. Settet med disse tallene (eller et kontinuerlig ordnet felt) har en rekke egenskaper (aksiomer): kommutativitet og assosiativitet av multiplikasjon og addisjon, eksistensen av null, en, motsatte og inverse elementer. Også aksiomene om orden og kontinuitet gjaldt komparativ analyse, lar deg bestemme alle egenskapene til reelle tall.

Siden divisjon er den inverse operasjonen av multiplikasjon, oppstår det uunngåelig to uløselige problemer når man deler reelle tall med null. For det første, kontroll av resultatet av divisjon med null ved hjelp av multiplikasjon har ikke et numerisk uttrykk. Uansett hvilket tall kvotienten er, hvis den multipliseres med null, er det umulig å få utbyttet. For det andre, i eksemplet 0:0 kan svaret være absolutt et hvilket som helst tall, som når det multipliseres med en divisor alltid blir til null.

Divisjon med null i høyere matematikk

De oppførte vanskelighetene med å dele med null førte til at det ble innført et tabu på denne operasjonen, ifølge i det minste, som en del av et skolekurs. Men i høyere matematikk finner de måter å omgå dette forbudet på.

For eksempel ved å konstruere en annen algebraisk struktur, forskjellig fra den kjente tallinjen. Et eksempel på en slik struktur er et hjul. Det er lover og regler her. Spesielt er divisjon ikke knyttet til multiplikasjon og går fra en binær operasjon (med to argumenter) til en unær operasjon (med ett argument), angitt med symbolet /x.

Utvidelsen av feltet av reelle tall skjer på grunn av introduksjonen av hyperreelle tall, som dekker uendelig store og uendelig små mengder. Denne tilnærmingen lar oss vurdere begrepet "uendelig" som et visst tall. Dessuten, når talllinjen utvides, mister dette tallet sitt fortegn, og blir til et idealisert punkt som forbinder de to endene av denne linjen. Denne tilnærmingen kan sammenlignes med datolinjen, når du beveger deg mellom to tidssoner UTC+12 og UTC-12 kan du finne deg selv i neste dag eller i den forrige. I dette tilfellet blir setningen x/0=∞ for enhver x≠0 sann.

For å eliminere usikkerheten 0/0, introduseres et nytt element ⏊=0/0 for hjulet. Samtidig har denne algebraiske strukturen sine egne nyanser: 0 x≠0; x-x≠0 v generell sak. Også x·/x≠1, siden divisjon og multiplikasjon ikke lenger betraktes som inverse operasjoner. Men disse funksjonene til hjulet er godt forklart ved å bruke identitetene til den distributive loven, som fungerer noe annerledes i en slik algebraisk struktur. Mer detaljerte forklaringer finnes i spesiallitteratur.

Algebra, som alle er vant til, er faktisk et spesielt tilfelle av mer komplekse systemer, for eksempel det samme hjulet. Som du kan se, er det mulig å dele med null i høyere matematikk. Dette krever at man går utover grensene for konvensjonelle ideer om tall, algebraiske operasjoner og lovene de adlyder. Selv om dette er ganske naturlig prosess, som følger med ethvert søk etter ny kunnskap.

De sier at du kan dele på null hvis du bestemmer resultatet av divisjon med null. Du trenger bare å utvide algebraen. Ved en merkelig tilfeldighet er det ikke mulig å finne i det minste noen, eller bedre forståelige og enkle, eksempler på en slik utvidelse. For å fikse Internett trenger du enten en demonstrasjon av en av metodene for en slik utvidelse, eller en beskrivelse av hvorfor dette ikke er mulig.

Artikkelen ble skrevet i fortsettelsen av trenden:

Ansvarsfraskrivelse

Hensikten med denne artikkelen er å forklare " menneskelig språk", hvordan de grunnleggende prinsippene for matematikk fungerer, strukturerer kunnskap og gjenoppretter tapte årsak-virkningsforhold mellom grener av matematikk. Alle resonnementer er filosofiske; i noen vurderinger avviker de fra generelt aksepterte (derav later de ikke til å være matematisk strenge). Artikkelen er designet for nivået til leseren som "passerte tårnet for mange år siden."

Forståelse av prinsippene for aritmetikk, elementær, generell og lineær algebra, matematisk og ikke-standard analyse, mengdlære, generell topologi, projektiv og affin geometri er ønskelig, men ikke nødvendig.

Ingen uendeligheter ble skadet under forsøkene.

Prolog

Å gå "utover grensene" er en naturlig prosess for å søke etter ny kunnskap. Men ikke alle søk gir ny kunnskap og derfor fordeler.

1. Faktisk har alt allerede blitt delt før oss!

1.1 Affin forlengelse av nummerlinjen

La oss starte med hvor alle eventyrere sannsynligvis starter når de deler på null. La oss huske grafen til funksjonen

Til venstre og høyre for null går funksjonen til forskjellige sider"ikke eksisterende". Helt nederst er det et generelt "basseng" og ingenting er synlig.

I stedet for å skynde oss ut i bassenget, la oss se på hva som renner inn i det og hva som kommer ut av det. For å gjøre dette vil vi bruke grensen - hovedverktøyet for matematisk analyse. Det viktigste "trikset" er at grensen lar deg gå til et gitt punkt så nærme som mulig, men ikke "tråkke på det". Et slikt "gjerde" foran "bassenget".

Opprinnelig

Ok, "gjerdet" er satt opp. Det er ikke så skummelt lenger. Vi har to stier til bassenget. La oss gå til venstre - en bratt nedstigning, til høyre - en bratt stigning. Uansett hvor mye du går mot "gjerdet", blir det ikke nærmere. Det er ingen måte å krysse den nedre og øvre "intetheten". Det oppstår mistanker: kanskje vi går i sirkler? Selv om nei, tallene endres, noe som betyr at de ikke er i en sirkel. La oss rote litt mer gjennom brystet med matematiske analyseverktøy. I tillegg til grenser med et "gjerde", inneholder settet positive og negative uendeligheter. Mengdene er helt abstrakte (ikke tall), godt formaliserte og klare til bruk! Det passer oss. La oss supplere vårt "vesen" (settet med reelle tall) med to uendeligheter med fortegn.

På matematisk språk:

Det er denne utvidelsen som lar deg ta en grense når argumentet har en tendens til uendelig og få uendelig som et resultat av å ta grensen.
Det er to grener av matematikk som beskriver det samme ved å bruke forskjellig terminologi.
La oss oppsummere:

Hovedpoenget er. De gamle tilnærmingene fungerer ikke lenger. Kompleksiteten til systemet, i form av en haug med "hvis", "for alle men" osv., har økt. Vi hadde bare to usikkerhetsmomenter 1/0 og 0/0 (vi vurderte ikke kraftdrift), så det var fem. Avsløringen av én usikkerhet skapte enda flere usikkerhetsmomenter.
1.2 hjul
Det stoppet ikke med introduksjonen av usignert uendelighet. For å komme ut av usikkerhet, trenger du en ny vind.
Så vi har et sett med reelle tall og to usikkerhetsmomenter 1/0 og 0/0. For å eliminere den første, utførte vi en projektiv utvidelse av talllinjen (det vil si at vi introduserte usignert uendelighet). La oss prøve å håndtere den andre usikkerheten til skjemaet 0/0. La oss gjøre det samme. La oss legge til et nytt element til settet med tall, som representerer den andre usikkerheten.

Definisjonen av divisjonsoperasjonen er basert på multiplikasjon. Dette passer ikke oss. La oss koble operasjonene fra hverandre, men beholde den vanlige oppførselen for reelle tall. La oss definere en unær divisjonsoperasjon, merket med tegnet "/".

La oss definere operasjonene.

Denne strukturen kalles "hjulet". Begrepet ble tatt på grunn av dets likhet med det topologiske bildet av den projektive utvidelsen av talllinjen og 0/0-punktet.

Alt ser bra ut, men djevelen er i detaljene:

For å etablere alle funksjonene, i tillegg til utvidelsen av settet med elementer, er det vedlagt en bonus i form av ikke én, men to identiteter som beskriver distribusjonsloven.

På matematisk språk:
Fra generell algebras synspunkt opererte vi med feltet. Og i feltet er det som kjent bare to operasjoner definert (addisjon og multiplikasjon). Divisjonsbegrepet er avledet gjennom invers, og enda dypere, gjennom enhetselementer. Endringene forvandler vårt algebraiske system til en monoid for både operasjonen av addisjon (med null som et nøytralt element) og operasjonen av multiplikasjon (med en som et nøytralt element).
Pionerenes verk bruker ikke alltid symbolene ∞ og ⊥. I stedet kan du finne oppføringer i formen /0 og 0/0.

Verden er vel ikke så fantastisk lenger? Likevel er det ingen grunn til å forhaste seg. La oss sjekke om de nye identitetene til distribusjonsloven kan takle vårt utvidede sett .

Denne gangen er resultatet mye bedre.
La oss oppsummere:

Hovedpoenget er. Algebra fungerer utmerket. Imidlertid ble konseptet "udefinert" tatt som grunnlag, som de begynte å betrakte som noe eksisterende og operere med det. En dag vil noen si at alt er dårlig, og du må dele opp dette "udefinerte" i flere "udefinerte", men mindre. Generell algebra vil si: "Ikke noe problem, bro!"
Dette er omtrent hvordan ytterligere (j og k) imaginære enheter postuleres i quaternions Legg til tagger

Evgeniy Shiryaev, lærer og leder for matematikklaboratoriet ved Polytechnic Museum, fortalte AiF.ru om divisjon med null:

1. Sakens jurisdiksjon

Enig, det som gjør regelen spesielt provoserende er forbudet. Hvordan kan dette ikke gjøres? Hvem har utestengt? Hva med våre borgerrettigheter?

Verken den russiske føderasjonens grunnlov, straffeloven, eller til og med skolens charter, protesterer mot den intellektuelle handlingen som interesserer oss. Dette betyr at det ikke er noe forbud rettskraft, og ingenting hindrer deg i å prøve å dele noe med null her, på sidene til AiF.ru. For eksempel tusen.

2. La oss dele som lært

Husk at når du først lærte å dele, ble de første eksemplene løst ved å sjekke multiplikasjon: resultatet multiplisert med divisoren måtte være det samme som det delbare. Hvis det ikke stemte, bestemte de seg ikke.

Eksempel 1. 1000: 0 =...

La oss glemme den forbudte regelen et øyeblikk og gjøre flere forsøk på å gjette svaret.

Feilaktige vil bli avskåret av sjekken. Prøv følgende alternativer: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. For hver av dem vil sjekken gi samme resultat:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0

Ved å multiplisere null blir alt til seg selv og aldri til tusen. Konklusjonen er enkel å formulere: ingen tall vil bestå testen. Det vil si at ingen tall kan være resultatet av å dele et tall som ikke er null med null. Slik deling er ikke forbudt, men har rett og slett ikke noe resultat.

3. Nyanse

Vi gikk nesten glipp av én mulighet til å motbevise forbudet. Ja, vi innrømmer at et tall som ikke er null ikke kan deles på 0. Men kanskje 0 selv kan det?

Eksempel 2. 0: 0 = ...

Hva er dine forslag til privat? 100? Vennligst: kvotienten på 100 multiplisert med deleren 0 er lik utbyttet 0.

Flere valg! 1? Passer også. Og -23 og 17, og det er det. I dette eksemplet vil testen være positiv for et hvilket som helst tall. Og for å være ærlig, bør løsningen i dette eksemplet ikke kalles et tall, men et sett med tall. Alle sammen. Og det tar ikke lang tid å bli enige om at Alice ikke er Alice, men Mary Ann, og begge er en kanindrøm.

4. Hva med høyere matematikk?

Problemet er løst, nyansene er tatt i betraktning, prikkene er plassert, alt har blitt klart - svaret på eksemplet med divisjon med null kan ikke være et enkelt tall. Å løse slike problemer er håpløst og umulig. Hvilket betyr... interessant! Ta to.

Eksempel 3. Finn ut hvordan du deler 1000 med 0.

Men ingen måte. Men 1000 kan enkelt deles på andre tall. Vel, la oss i det minste gjøre det vi kan, selv om vi endrer oppgaven. Og så, skjønner du, lar vi oss rive med, og svaret dukker opp av seg selv. La oss glemme null i et minutt og dele på hundre:

Hundre er langt fra null. La oss ta et skritt mot det ved å redusere divisoren:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dynamikken er åpenbar: Jo nærmere divisoren er null, jo større er kvotienten. Trenden kan observeres ytterligere ved å gå til brøker og fortsette å redusere telleren:

Det gjenstår å merke seg at vi kan komme så nær null som vi vil, noe som gjør kvotienten så stor som vi vil.

I denne prosessen er det ingen null og det er ingen siste kvotient. Vi indikerte bevegelsen mot dem ved å erstatte tallet med en sekvens som konvergerer til tallet vi er interessert i:

Dette innebærer en lignende erstatning for utbyttet:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Det er ikke for ingenting at pilene er tosidige: noen sekvenser kan konvergere til tall. Deretter kan vi assosiere sekvensen med dens numeriske grense.

La oss se på rekkefølgen av kvotienter:

Den vokser ubegrenset, streber ikke etter noe tall og overgår noen. Matematikere legger til symboler til tall ∞ for å kunne sette en dobbeltsidig pil ved siden av en slik sekvens:

Sammenligning med antall sekvenser som har en grense lar oss foreslå en løsning på det tredje eksemplet:

Når vi elementvis deler en sekvens som konvergerer til 1000 med en sekvens av positive tall som konvergerer til 0, får vi en sekvens som konvergerer til ∞.

5. Og her er nyansen med to nuller

Hva er resultatet av å dele to sekvenser med positive tall som konvergerer til null? Hvis de er like, er enheten identisk. Hvis utbyttesekvensen konvergerer til null raskere, har sekvensen en nullgrense i kvotienten. Og når elementene i divisoren synker mye raskere enn de i utbyttet, vil sekvensen til kvotienten vokse sterkt:

Uviss situasjon. Og det er det det kalles: usikkerhet av typen 0/0 . Når matematikere ser sekvenser som passer til en slik usikkerhet, skynder de seg ikke med å dele to like tall med hverandre, men finne ut hvilken av sekvensene som går raskere til null og nøyaktig hvordan. Og hvert eksempel vil ha sitt eget spesifikke svar!

6. I livet

Ohms lov relaterer strøm, spenning og motstand i en krets. Det er ofte skrevet i denne formen:

La oss tillate oss å ignorere den ryddige fysiske forståelsen og formelt se på høyresiden som kvotienten av to tall. La oss tenke oss at vi løser et skoleproblem på elektrisitet. Tilstanden gir spenningen i volt og motstand i ohm. Spørsmålet er åpenbart, løsningen er i én handling.

La oss nå se på definisjonen av superledning: dette er egenskapen til noen metaller å ha null elektrisk motstand.

Vel, la oss løse problemet for en superledende krets? Bare sett det opp R= 0 det vil ikke fungere, fysikken kaster opp interessant oppgave, som åpenbart står bak vitenskapelig oppdagelse. Og de som klarte å dele med null i denne situasjonen fikk Nobel pris. Det er nyttig å kunne omgå eventuelle forbud!

Artikkelen ble skrevet i fortsettelsen av trenden:

Ansvarsfraskrivelse

Hensikten med denne artikkelen er å forklare på «menneskelig språk» hvordan de grunnleggende prinsippene i matematikk fungerer, å strukturere kunnskap og å gjenopprette tapte årsak-og-virkning-forhold mellom grener av matematikk. Alle resonnementer er filosofiske; i noen vurderinger avviker de fra generelt aksepterte (derav later de ikke til å være matematisk strenge). Artikkelen er designet for nivået til leseren som "passerte tårnet for mange år siden."

Ingen uendeligheter ble skadet under forsøkene.

Prolog

Å gå "utover grensene" er en naturlig prosess for å søke etter ny kunnskap. Men ikke alle søk gir ny kunnskap og derfor fordeler.

1. Faktisk har alt allerede blitt delt før oss!

1.1 Affin forlengelse av nummerlinjen

La oss starte med hvor alle eventyrere sannsynligvis starter når de deler på null. La oss huske grafen til funksjonen

Til venstre og høyre for null går funksjonen inn i forskjellige retninger av "ikke-eksistens". Helt nederst er det et generelt "basseng" og ingenting er synlig.

Opprinnelig

På matematisk språk:

Det er denne utvidelsen som lar deg ta en grense når argumentet har en tendens til uendelig og få uendelig som et resultat av å ta grensen.
Det er to grener av matematikk som beskriver det samme ved å bruke forskjellig terminologi.
La oss oppsummere:

Hovedpoenget er. De gamle tilnærmingene fungerer ikke lenger. Kompleksiteten til systemet, i form av en haug med "hvis", "for alle men" osv., har økt. Vi hadde bare to usikkerhetsmomenter 1/0 og 0/0 (vi vurderte ikke kraftdrift), så det var fem. Avsløringen av én usikkerhet skapte enda flere usikkerhetsmomenter.
1.2 hjul
Det stoppet ikke med introduksjonen av usignert uendelighet. For å komme ut av usikkerhet, trenger du en ny vind.
Så vi har et sett med reelle tall og to usikkerhetsmomenter 1/0 og 0/0. For å eliminere den første, utførte vi en projektiv utvidelse av talllinjen (det vil si at vi introduserte usignert uendelighet). La oss prøve å håndtere den andre usikkerheten til skjemaet 0/0. La oss gjøre det samme. La oss legge til et nytt element til settet med tall, som representerer den andre usikkerheten.

Definisjonen av divisjonsoperasjonen er basert på multiplikasjon. Dette passer ikke oss. La oss koble operasjonene fra hverandre, men beholde den vanlige oppførselen for reelle tall. La oss definere en unær divisjonsoperasjon, merket med tegnet "/".

La oss definere operasjonene.

Denne strukturen kalles "hjulet". Begrepet ble tatt på grunn av dets likhet med det topologiske bildet av den projektive utvidelsen av talllinjen og 0/0-punktet.

Alt ser bra ut, men djevelen er i detaljene:

For å etablere alle funksjonene, i tillegg til utvidelsen av settet med elementer, er det vedlagt en bonus i form av ikke én, men to identiteter som beskriver distribusjonsloven.

På matematisk språk:
Fra generell algebras synspunkt opererte vi med feltet. Og i feltet er det som kjent bare to operasjoner definert (addisjon og multiplikasjon). Divisjonsbegrepet er avledet gjennom invers, og enda dypere, gjennom enhetselementer. Endringene forvandler vårt algebraiske system til en monoid for både operasjonen av addisjon (med null som et nøytralt element) og operasjonen av multiplikasjon (med en som et nøytralt element).
Pionerenes verk bruker ikke alltid symbolene ∞ og ⊥. I stedet kan du finne oppføringer i formen /0 og 0/0.

Verden er vel ikke så fantastisk lenger? Likevel er det ingen grunn til å forhaste seg. La oss sjekke om de nye identitetene til distribusjonsloven kan takle vårt utvidede sett .

Denne gangen er resultatet mye bedre.
La oss oppsummere:

Hovedpoenget er. Algebra fungerer utmerket. Imidlertid ble konseptet "udefinert" tatt som grunnlag, som de begynte å betrakte som noe eksisterende og operere med det. En dag vil noen si at alt er dårlig, og du må dele opp dette "udefinerte" i flere "udefinerte", men mindre. Generell algebra vil si: "Ikke noe problem, bro!"
Dette er omtrent hvordan ytterligere (j og k) imaginære enheter postuleres i quaternions Legg til tagger

Opplæringen

Min tre år gamle datter Sofia inn I det siste nevner ofte "null", for eksempel i denne sammenhengen:

- Sonya, det virker som om du ikke hørte etter først, men så adlød du, hva skjer?
– Vel... null!

De. følelse negative tall og nøytralitet har allerede null, åh hvordan. Snart vil han spørre: hvorfor kan ikke dette deles på null?
Og så bestemte jeg meg med enkle ord skriv ned alt jeg fortsatt husker om deling på null og alt det der.

Generelt er det bedre å se divisjon én gang enn å høre den hundre ganger.
Vel, eller del en og x ganger for å se...

Her kan du umiddelbart se at null er sentrum for livet, universet og alt. Som svar på hovedspørsmålet om alt dette, la deg være 42, men midten er i alle fall 0. Den har ikke engang et tegn, verken pluss (jeg adlød), eller minus (jeg hørte ikke), det er egentlig null. Og han kan mye om smågris.

For hvis en smågris multipliseres med null, så blir grisungen sugd inn i dette runde sorte hullet, og resultatet er null igjen. Denne nullen er ikke så nøytral når den kommer fra addisjon og subtraksjon til multiplikasjon, for ikke å snakke om divisjon... Der, hvis nullen over er "0/x", så igjen svart hull. Alt går i null. Men hvis det under deling, og til og med nedenfra, er "x/0", så begynner det ... følg den hvite kaninen, Sonya!

På skolen vil de fortelle deg "du kan ikke dele med null" og vil ikke rødme. Som bevis vil de stikke "1/0=" på kalkulatoren og en vanlig kalkulator, også uten å rødme, vil skrive "E", "Feil", sier de, "det er umulig - det betyr at det er umulig." Selv om det du har der vil bli betraktet som en vanlig kalkulator er et annet spørsmål. Nå, i 2014, forteller en standardkalkulator på en Android-telefon meg noe helt annet:

Wow uendelig. Skyv blikket, klipp sirkler. Så du kan ikke. Det viser seg at det er mulig. Hvis du er forsiktig. For uten forsiktighet, min Android er heller ikke enig ennå: "0/0=Feil", igjen er det umulig. La oss prøve igjen: "-1/0 = -∞", åh hvordan. Interessant mening, men jeg er ikke enig i den. Jeg er også uenig med "0/0=Feil".

Forresten, JavaScript, som driver gjeldende nettsteder, stemmer heller ikke overens med Android-kalkulatoren: gå til nettleserkonsollen (fortsatt F12?) og skriv der: "0/0" (inndata). JS vil svare deg: "NaN". Det er ikke en feil. Dette er "Not a Number" - dvs. en slags ting, men ikke et tall. Til tross for at JS også forstår «1/0» som «Infinity». Det er allerede nærmere. Men foreløpig er det bare varmt...

På universitetet - høyere matematikk. Det er grenser, poler og annen sjamanisme. Og alt blir mer og mer komplisert, de slår rundt bushen, men bare ikke for å bryte krystalllovene i matematikken. Men hvis du ikke prøver å passe inndeling med null i disse eksisterende lovene, kan du føle denne fantasien - på fingrene.

For å gjøre dette, la oss se på divisjon igjen:

Følg høyre linje, fra høyre til venstre. Jo nærmere X er null, jo mer flyr delt med X opp. Og et sted i skyene "pluss uendelighet". Hun er alltid lenger unna, som horisonten, du kan ikke hamle opp med henne.

Følg nå venstre linje, fra venstre til høyre. Den samme historien, bare nå flyr det som er delt ned, uendelig ned, i «minus uendelighet». Derav oppfatningen at "1/0= +∞", og "-1/0 = 1/-0 = -∞".

Men trikset er at "0 = -0", null har ingen tegn, hvis du ikke kompliserer ting med grenser. Og hvis du deler en med en slik "enkel" null uten tegn, er det ikke logisk å anta at du vil få uendelig - "bare" uendelig, uten tegn, som null. Hvor er det - over eller under? Det er overalt – uendelig langt fra null i alle retninger. Dette er null, snudd på vrangen. Null - det er ingenting. Uendelighet er alt. Både positive og negative. Det er alt. Og med en gang. Absolutt.

Men det var noe med «0/0», noe annet, ikke uendelig... La oss gjøre dette trikset: «2*0=0», ja, vil læreren på skolen si. Også: "3*0=0" - ja igjen. Og hvis vi ikke bryr oss om "du kan ikke dele med null," sier de, hele verden deler seg sakte uansett, vi får: "2=0/0" og "3=0/0." I hvilken klasse lærer de dette, bare uten nullen, selvfølgelig.

Vent litt, viser det seg "2 = 0/0 = 3", "2=3"?! Det er derfor de er redde, det er derfor det er «umulig». Det eneste som er skumlere enn "1/0" er "0/0"; selv en Android-kalkulator er redd for det.

Men vi er ikke redde! Fordi vi har fantasien til matematikk. Vi kan forestille oss selv som det uendelige Absolutte et sted der ute i stjernene, se derfra på den syndige verden av endelige tall og mennesker og forstå at fra dette synspunktet er de alle like. Og "2" med "3", og til og med "-1", og læreren på skolen, kanskje også.

Så jeg antyder beskjedent at 0/0 er hele den endelige verden, eller rettere sagt alt som ikke er uendelig og ikke tomt.

Slik ser null delt på X ut i mine fantasier, som er langt fra offisiell matematikk. Faktisk ser det ut som 1/x, bare bøyningspunktet er ikke på én, men på null. Forresten, 2/x har en bøyning ved to, og 0,5/x har en bøyning ved 0,5.

Det viser seg at 0/x ved x=0 tar på seg alle endelige verdier - ikke uendelig, ikke tomhet. Det er et hull i grafen på null, aksene er synlige.

Man kan selvfølgelig argumentere for at "0*0 = 0", som betyr null (tomhet) også faller inn i 0/0-kategorien. La meg gå litt foran meg selv - det vil være nullgrader og denne innvendingen vil knuses i fragmenter.

Oops, en enhet på uendelig kan også skrives som 0/0, noe som vil resultere i (0/0)/0 - uendelig. Nå er rekkefølgen i orden, alt kan uttrykkes med forholdet nuller.

For eksempel, hvis vi legger det endelige til uendelig, vil uendelighet absorbere det endelige og forbli uendelig:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

Og hvis uendelighet multipliseres med tomhet, absorberer de hverandre, og resultatet er en begrenset verden:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.

Men dette er bare det første nivået av drømmer. Du kan grave dypere.

Hvis du allerede kjenner begrepet "potens til et tall", og at "1/x = x^-1", kan du, med litt omtanke, flytte fra alle disse divisjonene og parentesene (som (0/0)/ 0) for å bare gi makt:

1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1

Clue.
Her med uendelighet og tomhet er alt like enkelt som på skolen. Og den endelige verden går i grader som dette:

0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.

Uff!

Det viser seg at positive potenser av null er null, negative krefter null er uendelig, og nullgraden av null er en endelig verden.

Slik blir det universelle objektet "0^x". Slike gjenstander samhandler perfekt med hverandre, igjen adlyder de mange lover, skjønnhet generelt.

Mine beskjedne kunnskaper om matematikk var nok til å trekke fra dem en abelsk gruppe, som, isolert i et vakuum ("bare abstrakte objekter, en form for notasjon, som en eksponent"), til og med besto testen til den kuleste matematikklæreren med dommen "interessant, men ingenting vil fungere." Hvis bare noe hadde fungert her, er dette et tabubelagt tema – deling på null. Generelt, ikke bry deg.

La oss prøve å multiplisere uendelig med et endelig tall:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.

Igjen absorberte uendelighet et endelig tall på samme måte som antipoden null absorberer endelige tall, det samme sorte hullet:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.

Det viser seg også at grader er som styrke. De. En null av andre grad er sterkere enn en vanlig null (av første grad, 0^1). Og uendelig minus andre grad er sterkere enn vanlig uendelig (0^-1).

Og når tomheten kolliderer med det absolutte, måler de sin styrke – den som har mer vil vinne:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.

Hvis de er like i styrke, utsletter de og en begrenset verden gjenstår:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.

Forresten, offisiell matematikk er allerede i nærheten. Dens representanter vet om "polene" og at polene har forskjellige styrker (ordener), samt om "null av orden k". Men de tråkker fortsatt på den faste overflaten "ved siden av" og er redde for å hoppe inn i et svart hull.

Og den siste for meg er det tredje nivået av drømmer. For eksempel er alle disse 0^-1 og 0^-2 uendeligheter med forskjellige styrker. Eller 0^1, 0^2 - nuller med forskjellig styrke. Men "-1" og "-2" og "+1" og "+2" - det er alt - 0/0, lik 0^0, har allerede passert. Det viser seg at fra dette nivået av drømmer spiller det ingen rolle hva de er - nuller, uendeligheter, og til og med den begrensede verden kommer dit med litt opplysning. Til ett punkt. I én kategori. Denne lykken kalles Singularity.

Jeg må innrømme at utenfor opplysningstilstanden observerer jeg ikke ett punkt, men en kategori - foreningen "0^0 U 0^(0^0)" - er ganske komplett.

Hvilken fordel kan man få ut av alt dette? Tross alt, selv de litt mindre sprø "imaginære tallene" som også river opp kalkulatorer i Error = √-1, og de kunne bli offisiell matematikk og nå forenkle stålfremstillingsberegninger.

Som bladene på et tre på avstand virker like, men hvis du ser nærmere på dem, er de alle forskjellige. Og hvis du tenker deg om, er de de samme igjen. Og ikke mye forskjellig fra deg eller meg. Eller rettere sagt, de er ikke annerledes i det hele tatt, hvis du tenker deg godt om.

Fordelen her er muligheten til både å fokusere på forskjeller og abstrakt. Dette er veldig nyttig i arbeid, i livet, og til og med i forhold til døden.

En slik tur ned i kaninhullet, Sonya!