Hva er sinus til en vinkel i en rettvinklet trekant? Regler for å finne trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens og cotangens

I denne artikkelen vil vi vise hvordan du gir definisjoner av sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel og et tall i trigonometri. Her skal vi snakke om notasjoner, gi eksempler på oppføringer og gi grafiske illustrasjoner. Avslutningsvis, la oss trekke en parallell mellom definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens i trigonometri og geometri.

Sidenavigering.

Definisjon av sinus, cosinus, tangens og cotangens

La oss se hvordan ideen om sinus, cosinus, tangens og cotangens dannes i et skolematematikkkurs. I geometritimer er definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en spiss vinkel i en rettvinklet trekant gitt. Og senere studeres trigonometri, som snakker om sinus, cosinus, tangens og cotangens av rotasjonsvinkelen og tallet. La oss presentere alle disse definisjonene, gi eksempler og gi de nødvendige kommentarene.

Spiss vinkel i en rettvinklet trekant

Fra geometrikurset kjenner vi definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant. De er gitt som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. La oss gi deres formuleringer.

Definisjon.

Sinus av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen.

Definisjon.

Cosinus av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Definisjon.

Tangent av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant– dette er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Definisjon.

Kotangens av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant- dette er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.

Betegnelsene for sinus, cosinus, tangens og cotangens er også introdusert der - henholdsvis sin, cos, tg og ctg.

For eksempel, hvis ABC er en rettvinklet trekant med rett vinkel C, så er sinusen til den spisse vinkelen A lik forholdet mellom motsatt side BC og hypotenusen AB, det vil si sin∠A=BC/AB.

Disse definisjonene lar deg beregne verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av en spiss vinkel fra de kjente lengdene på sidene i en rettvinklet trekant, så vel som fra kjente verdier finn lengdene på de andre sidene ved å bruke sinus, cosinus, tangens, cotangens og lengden på en av sidene. For eksempel, hvis vi visste at i en rettvinklet trekant er benet AC lik 3 og hypotenusen AB er lik 7, så kunne vi beregne verdien av cosinus til den spisse vinkelen A per definisjon: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Rotasjonsvinkel

I trigonometri begynner de å se bredere på vinkelen – de introduserer begrepet rotasjonsvinkel. Størrelsen på rotasjonsvinkelen, i motsetning til en spiss vinkel, er ikke begrenset til 0 til 90 grader; rotasjonsvinkelen i grader (og i radianer) kan uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall fra −∞ til +∞.

I dette lyset er definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens ikke gitt av en spiss vinkel, men av en vinkel av vilkårlig størrelse - rotasjonsvinkelen. De er gitt gjennom x- og y-koordinatene til punktet A 1, som det såkalte startpunktet A(1, 0) går etter sin rotasjon med en vinkel α rundt punktet O - begynnelsen av det rektangulære kartesiske koordinatsystemet og midten av enhetssirkelen.

Definisjon.

Sinus av rotasjonsvinkelα er ordinaten til punkt A 1, det vil si sinα=y.

Definisjon.

Cosinus til rotasjonsvinkelenα kalles abscissen til punkt A 1, det vil si cosα=x.

Definisjon.

Tangent av rotasjonsvinkelα er forholdet mellom ordinaten til punktet A 1 og abscissen, det vil si tanα=y/x.

Definisjon.

Kotangens av rotasjonsvinkelenα er forholdet mellom abscissen til punkt A 1 og ordinaten, det vil si ctgα=x/y.

Sinus og cosinus er definert for enhver vinkel α, siden vi alltid kan bestemme abscissen og ordinaten til punktet, som oppnås ved å rotere startpunktet etter vinkelen α. Men tangent og cotangens er ikke definert for noen vinkel. Tangenten er ikke definert for vinklene α hvor startpunktet går til et punkt med null abscisse (0, 1) eller (0, −1), og dette skjer ved vinklene 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Faktisk, ved slike rotasjonsvinkler gir uttrykket tgα=y/x ikke mening, siden det inneholder divisjon med null. Når det gjelder cotangens, er den ikke definert for vinklene α hvor startpunktet går til punktet med nullordinaten (1, 0) eller (−1, 0), og dette skjer for vinklene 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Så, sinus og cosinus er definert for alle rotasjonsvinkler, tangent er definert for alle vinkler unntatt 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), og cotangens er definert for alle vinkler unntatt 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definisjonene inkluderer betegnelsene som allerede er kjent for oss sin, cos, tg og ctg, de brukes også til å betegne sinus, cosinus, tangens og cotangens for rotasjonsvinkelen (noen ganger kan du finne betegnelsene tan og cot som svarer til tangent og cotangens) . Så sinusen til en rotasjonsvinkel på 30 grader kan skrives som sin30°, oppføringene tg(−24°17′) og ctgα tilsvarer tangenten til rotasjonsvinkelen −24 grader 17 minutter og cotangensen til rotasjonsvinkelen α . Husk at når du skriver radianmålet for en vinkel, blir betegnelsen "rad" ofte utelatt. For eksempel er cosinus til en rotasjonsvinkel på tre pi rad vanligvis betegnet cos3·π.

Som konklusjon av dette punktet er det verdt å merke seg at når man snakker om sinus, cosinus, tangens og cotangens for rotasjonsvinkelen, er uttrykket "rotasjonsvinkel" eller ordet "rotasjon" ofte utelatt. Det vil si at i stedet for uttrykket "sinus til rotasjonsvinkelen alfa", brukes vanligvis uttrykket "sinus til alfavinkelen" eller enda kortere, "sinus alfa". Det samme gjelder cosinus, tangens og cotangens.

Vi vil også si at definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er i samsvar med definisjonene som nettopp er gitt for sinus, cosinus, tangens og cotangens for en rotasjonsvinkel som varierer fra 0 til 90 grader. Vi vil begrunne dette.

Tall

Definisjon.

Sinus, cosinus, tangens og cotangens av et tall t er et tall lik sinus, cosinus, tangens og cotangens til henholdsvis rotasjonsvinkelen i t radianer.

For eksempel er cosinus til tallet 8 π per definisjon tallet lik cosinus vinkel på 8·π rad. Og cosinus til en vinkel på 8·π rad er lik én, derfor er cosinus til tallet 8·π lik 1.

Det er en annen tilnærming til å bestemme sinus, cosinus, tangens og cotangens til et tall. Den består i at hvert reelt tall t er assosiert med et punkt på enhetssirkelen med sentrum ved opprinnelsen til det rektangulære koordinatsystemet, og sinus, cosinus, tangent og cotangens bestemmes gjennom koordinatene til dette punktet. La oss se på dette mer detaljert.

La oss vise hvordan en korrespondanse etableres mellom reelle tall og punkter på en sirkel:

tallet 0 er tildelt startpunktet A(1, 0);
det positive tallet t er assosiert med et punkt på enhetssirkelen, som vi kommer til hvis vi beveger oss langs sirkelen fra startpunktet i retning mot klokken og går en bane med lengden t;
negativt tall t er assosiert med punktet til enhetssirkelen, som vi kommer til hvis vi beveger oss langs sirkelen fra startpunktet i retning med klokken og går en bane med lengde |t| .

Nå går vi videre til definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av tallet t. La oss anta at tallet t tilsvarer et punkt på sirkelen A 1 (x, y) (for eksempel tilsvarer tallet &pi/2; punktet A 1 (0, 1) ).

Definisjon.

Sinus av tallet t er ordinaten til punktet på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si sint=y.

Definisjon.

Cosinus av tallet t kalles abscissen til punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si kostnad=x.

Definisjon.

Tangent av nummeret t er forholdet mellom ordinaten og abscissen til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si tgt=y/x. I en annen ekvivalent formulering er tangensen til et tall t forholdet mellom sinusen til dette tallet og cosinus, det vil si tgt=sint/kostnad.

Definisjon.

Kotangens av nummeret t er forholdet mellom abscissen og ordinaten til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si ctgt=x/y. En annen formulering er denne: tangenten til tallet t er forholdet mellom cosinus til tallet t og sinus til tallet t: ctgt=kostnad/sint.

Her merker vi at definisjonene som nettopp er gitt, stemmer overens med definisjonen gitt i begynnelsen av dette avsnittet. Faktisk faller punktet på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t sammen med punktet oppnådd ved å rotere startpunktet med en vinkel på t radianer.

Det er likevel verdt å avklare dette punktet. La oss si at vi har oppføringen sin3. Hvordan kan vi forstå om vi snakker om sinus til tallet 3 eller sinus til rotasjonsvinkelen til 3 radianer? Dette er vanligvis tydelig fra konteksten, ellers er det sannsynligvis ikke av grunnleggende betydning.

Trigonometriske funksjoner av vinkel- og numerisk argument

I henhold til definisjonene gitt i forrige avsnitt, tilsvarer hver rotasjonsvinkel α en veldig spesifikk verdi sinα, så vel som verdien cosα. I tillegg tilsvarer alle andre rotasjonsvinkler enn 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tgα-verdier, og andre verdier enn 180°k, k∈Z (πk rad ) – verdier av ctgα. Derfor er sinα, cosα, tanα og ctgα funksjoner av vinkelen α. Med andre ord, dette er funksjoner til vinkelargumentet.

Vi kan snakke på samme måte om funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens til et numerisk argument. Faktisk tilsvarer hvert reelle tall t en veldig spesifikk verdi sint, så vel som kostnad. I tillegg tilsvarer alle andre tall enn π/2+π·k, k∈Z verdiene tgt, og tallene π·k, k∈Z - verdier ctgt.

Funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens kalles grunnleggende trigonometriske funksjoner.

Det er vanligvis klart av konteksten om vi har å gjøre med trigonometriske funksjoner til et vinkelargument eller et numerisk argument. Ellers kan vi tenke på den uavhengige variabelen som både et mål på vinkelen (vinkelargument) og et numerisk argument.

På skolen studerer vi imidlertid hovedsakelig numeriske funksjoner, det vil si funksjoner hvis argumenter, så vel som deres tilsvarende funksjonsverdier, er tall. Derfor, hvis vi snakker spesifikt om funksjoner, er det tilrådelig å vurdere trigonometriske funksjoner som funksjoner av numeriske argumenter.

Sammenheng mellom definisjoner fra geometri og trigonometri

Hvis vi betrakter rotasjonsvinkelen α som strekker seg fra 0 til 90 grader, så er definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av rotasjonsvinkelen i sammenheng med trigonometri fullt konsistente med definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant, som er gitt i geometrikurset. La oss begrunne dette.

La oss skildre enhetssirkelen i det rektangulære kartesiske koordinatsystemet Oxy. La oss markere startpunktet A(1, 0) . La oss rotere den med en vinkel α som strekker seg fra 0 til 90 grader, vi får punktet A 1 (x, y). La oss slippe perpendikulæren A 1 H fra punkt A 1 til Ox-aksen.

Det er lett å se at i en rettvinklet trekant vinkel A 1 OH lik vinkel rotasjon α, lengden på benet OH ved siden av denne vinkelen er lik abscissen til punktet A 1, det vil si |OH|=x, lengden på benet A 1 H motsatt hjørnet er lik ordinaten til punkt A 1, det vil si |A 1 H|=y, og lengden på hypotenusen OA 1 er lik én, siden den er radiusen til enhetssirkelen. Da, per definisjon fra geometri, er sinusen til en spiss vinkel α i en rettvinklet trekant A 1 OH lik forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen, det vil si sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Og per definisjon fra trigonometri er sinusen til rotasjonsvinkelen α lik ordinaten til punktet A 1, det vil si sinα=y. Dette viser at å bestemme sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er ekvivalent med å bestemme sinusen til rotasjonsvinkelen α når α er fra 0 til 90 grader.

Tilsvarende kan det vises at definisjonene av cosinus, tangens og cotangens av en spiss vinkel α stemmer overens med definisjonene av cosinus, tangens og cotangens av rotasjonsvinkelen α.

Bibliografi.

Geometri. 7-9 klassetrinn: lærebok for allmennutdanning institusjoner / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, etc.]. - 20. utg. M.: Utdanning, 2010. - 384 s.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
Pogorelov A.V. Geometri: Lærebok. for 7-9 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner / A. V. Pogorelov. - 2. utg. - M.: Utdanning, 2001. - 224 s.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
Algebra og elementære funksjoner : Opplæringen for elever i 9. klasse videregående skole/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Redigert av Doctor of Physical and Mathematical Sciences O. N. Golovin - 4. utg. M.: Utdanning, 1969.
Algebra: Lærebok for 9. klasse. gj.sn. skole/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. utg. - M.: Education, 2004. - 384 s.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
Mordkovich A.G. Algebra og begynnelsen av analysen. Karakter 10. Kl 2. Del 1: opplæring for utdanningsinstitusjoner(profilnivå)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. utgave, legg til. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
Algebra og begynnelsen på matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; redigert av A. B. Zhizhchenko. - 3. utg. - I.: Education, 2010.- 368 s.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
Bashmakov M. I. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. for 10-11 klassetrinn. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Utdanning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

I denne artikkelen vil vi ta en omfattende titt. Grunnleggende trigonometriske identiteter er likheter som etablerer en forbindelse mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens til en vinkel, og lar en finne hvilken som helst av disse trigonometriske funksjonene gjennom en kjent annen.

La oss umiddelbart liste de viktigste trigonometriske identitetene som vi vil analysere i denne artikkelen. La oss skrive dem ned i en tabell, og nedenfor gir vi resultatet av disse formlene og gir de nødvendige forklaringene.

Sidenavigering.

Forholdet mellom sinus og cosinus i en vinkel

Noen ganger snakker de ikke om de viktigste trigonometriske identitetene som er oppført i tabellen ovenfor, men om én enkelt grunnleggende trigonometrisk identitet snill . Forklaringen på dette faktum er ganske enkel: likhetene oppnås fra den trigonometriske hovedidentiteten etter å ha dividert begge delene med henholdsvis og og likhetene Og følge av definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens. Vi vil snakke om dette mer detaljert i de følgende avsnittene.

Det vil si at det er likestillingen som er av spesiell interesse, som fikk navnet på den trigonometriske hovedidentiteten.

Før vi beviser den trigonometriske hovedidentiteten, gir vi dens formulering: summen av kvadratene til sinus og cosinus til en vinkel er identisk lik en. La oss nå bevise det.

Den grunnleggende trigonometriske identiteten brukes veldig ofte når konvertere trigonometriske uttrykk. Den lar summen av kvadratene av sinus og cosinus til en vinkel erstattes med én. Ikke mindre ofte brukes den grunnleggende trigonometriske identiteten i omvendt rekkefølge: enhet erstattes av summen av kvadratene av sinus og cosinus for en hvilken som helst vinkel.

Tangent og cotangens gjennom sinus og cosinus

Identiteter som forbinder tangent og cotangens med sinus og cosinus av en synsvinkel og følger umiddelbart av definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens. Faktisk, per definisjon, er sinus ordinaten til y, cosinus er abscissen til x, tangens er forholdet mellom ordinaten og abscissen, det vil si, , og cotangensen er forholdet mellom abscissen og ordinaten, det vil si, .

Takket være en slik åpenbarhet av identiteter og Tangent og cotangens er ofte ikke definert gjennom forholdet abscisse og ordinat, men gjennom forholdet mellom sinus og cosinus. Så tangenten til en vinkel er forholdet mellom sinus og cosinus til denne vinkelen, og cotangens er forholdet mellom cosinus og sinus.

Avslutningsvis i denne paragrafen skal det bemerkes at identitetene og finne sted for alle vinkler der de trigonometriske funksjonene som er inkludert i dem gir mening. Så formelen er gyldig for alle , annet enn (ellers vil nevneren ha null, og vi definerte ikke divisjon med null), og formelen - for alle , forskjellig fra , hvor z er hvilken som helst .

Forholdet mellom tangent og cotangens

Enda mer tydelig trigonometrisk identitet enn de to foregående, er identiteten som forbinder tangenten og cotangensen til en vinkel i formen . Det er klart at det gjelder for andre vinkler enn , ellers er enten tangenten eller cotangensen ikke definert.

Bevis på formelen veldig enkelt. Per definisjon og hvorfra . Beviset kunne vært utført litt annerledes. Siden , Det .

Så tangenten og cotangensen til samme vinkel som de gir mening er .

Sinus og cosinus oppsto opprinnelig fra behovet for å beregne mengder i rette trekanter. Det ble lagt merke til at hvis gradmålet til vinklene i en rettvinklet trekant ikke endres, forblir sideforholdet, uansett hvor mye disse sidene endrer seg i lengde, alltid det samme.

Slik ble begrepene sinus og cosinus introdusert. Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen, og cosinus er forholdet til siden ved siden av hypotenusen.

Teoremer av cosinus og sinus

Men cosinus og sinus kan brukes til mer enn bare rette trekanter. For å finne verdien av en stump eller spiss vinkel eller side av en hvilken som helst trekant, er det nok å bruke teoremet om cosinus og sinus.

Cosinus-teoremet er ganske enkelt: "Kvadratet til en side i en trekant er lik summen av kvadratene til de to andre sidene minus to ganger produktet av disse sidene og cosinus til vinkelen mellom dem."

Det er to tolkninger av sinussetningen: liten og utvidet. I følge den mindreårige: "I en trekant er vinklene proporsjonale med de motsatte sidene." Denne teoremet utvides ofte på grunn av egenskapen til den omskrevne sirkelen til en trekant: "I en trekant er vinklene proporsjonale med de motsatte sidene, og deres forhold er lik diameteren til den omskrevne sirkelen."

Derivater

Den deriverte er et matematisk verktøy som viser hvor raskt en funksjon endres i forhold til en endring i argumentet. Derivater brukes i geometri, og i en rekke tekniske disipliner.

Når du løser problemer, må du kjenne tabellverdiene til derivatene av trigonometriske funksjoner: sinus og cosinus. Den deriverte av en sinus er en cosinus, og en cosinus er en sinus, men med et minustegn.

Søknad i matematikk

Sinus og cosinus brukes spesielt ofte til å løse rettvinklede trekanter og problemer knyttet til dem.

Bekvemmeligheten med sinus og cosinus gjenspeiles også i teknologi. Vinkler og sider var enkle å evaluere ved å bruke cosinus- og sinussetningene, og bryte ned komplekse former og objekter til "enkle" trekanter. Ingeniører som ofte arbeider med beregninger av sideforhold og gradmål brukte mye tid og krefter på å beregne cosinus og sinus for vinkler som ikke er tabellformede.

Da kom Bradis-tabeller til unnsetning, som inneholder tusenvis av verdier av sinus, cosinus, tangenter og cotangenter i forskjellige vinkler. I sovjetisk tid noen lærere tvang elevene til å huske sider med Bradis-tabeller.

Radian er vinkelverdien til en bue hvis lengde er lik radiusen eller 57,295779513° grader.

Grad (i geometri) - 1/360 del av en sirkel eller 1/90 del av en rett vinkel.

π = 3,141592653589793238462... (omtrentlig verdi av Pi).

Cosinusbord for vinkler: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Vinkel x (i grader)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Vinkel x (i radianer)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
fordi x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Tenk først på en sirkel med radius 1 og senter ved (0;0). For enhver αЄR kan radiusen 0A tegnes slik at radianmålet for vinkelen mellom 0A og 0x-aksen er lik α. Mot klokken anses som positiv. La enden av radius A ha koordinater (a,b).

Definisjon av sinus

Definisjon: Tallet b, lik ordinaten til enhetsradiusen konstruert på den beskrevne måten, er betegnet med sinα og kalles sinus til vinkelen α.

Eksempel: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Definisjon av cosinus

Definisjon: Tallet a, lik abscissen til enden av enhetsradiusen konstruert på den beskrevne måten, er betegnet med cosα og kalles cosinus til vinkelen α.

Eksempel: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Disse eksemplene bruker definisjonen av sinus og cosinus til en vinkel i form av koordinatene til enden av enhetens radius og enhetssirkelen. For en mer visuell representasjon må du tegne en enhetssirkel og plotte de tilsvarende punktene på den, og deretter telle abscissene deres for å beregne cosinus og ordinatene for å beregne sinus.

Tangent definisjon

Definisjon: Funksjonen tgx=sinx/cosx for x≠π/2+πk, kЄZ, kalles cotangensen til vinkelen x. Definisjonsdomenet til funksjonen tgx er alle reelle tall, bortsett fra x=π/2+πn, nЄZ.

Eksempel: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Dette eksemplet ligner det forrige. For å beregne tangenten til en vinkel, må du dele ordinaten til et punkt med abscissen.

Definisjon av cotangens

Definisjon: Funksjonen ctgx=cosx/sinx for x≠πk, kЄZ kalles cotangensen til vinkelen x. Definisjonsdomenet til funksjonen ctgx = er alle reelle tall unntatt punktene x=πk, kЄZ.

La oss se på et eksempel med en vanlig rettvinklet trekant

For å gjøre det tydeligere hva cosinus, sinus, tangens og cotangens er. La oss se på et eksempel med en vanlig rettvinklet trekant med vinkel y og sidene a,b,c. Hypotenus c, henholdsvis ben a og b. Vinkelen mellom hypotenusen c og benet b y.

Definisjon: Sinusen til vinkelen y er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen: siny = a/c

Definisjon: Cosinus for vinkelen y er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen: koselig = v/c

Definisjon: Tangensen til vinkelen y er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side: tgy = a/b

Definisjon: Kotangensen til vinkelen y er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden: ctgy= in/a

Sinus, cosinus, tangens og cotangens kalles også trigonometriske funksjoner. Hver vinkel har sin egen sinus og cosinus. Og nesten alle har sin egen tangent og cotangens.

Det antas at hvis vi får en vinkel, så er dens sinus, cosinus, tangent og cotangens kjent for oss! Og vice versa. Gitt en sinus, eller en annen trigonometrisk funksjon, henholdsvis, vet vi vinkelen. Til og med spesielle tabeller er laget der trigonometriske funksjoner er skrevet for hver vinkel.

Trigonometri er en gren av matematisk vitenskap som studerer trigonometriske funksjoner og deres bruk i geometri. Utviklingen av trigonometri begynte i tiden antikkens Hellas. I løpet av middelalderen ga forskere fra Midtøsten og India viktige bidrag til utviklingen av denne vitenskapen.

Denne artikkelen er viet til de grunnleggende konseptene og definisjonene av trigonometri. Den diskuterer definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene: sinus, cosinus, tangens og cotangens. Betydningen deres er forklart og illustrert i sammenheng med geometri.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Opprinnelig ble definisjonene av trigonometriske funksjoner hvis argument er en vinkel uttrykt i form av forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant.

Definisjoner av trigonometriske funksjoner

Sinusen til en vinkel (sin α) er forholdet mellom benet motsatt denne vinkelen og hypotenusen.

Cosinus av vinkelen (cos α) - forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Vinkeltangens (t g α) - forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Vinkel cotangens (c t g α) - forholdet mellom den tilstøtende siden til den motsatte siden.

Disse definisjonene er gitt for den spisse vinkelen til en rettvinklet trekant!

La oss gi en illustrasjon.

I trekant ABC med rett vinkel C er sinus til vinkel A lik forholdet mellom ben BC og hypotenus AB.

Definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens lar deg beregne verdiene til disse funksjonene fra de kjente lengdene på sidene i trekanten.

Viktig å huske!

Verdiområdet for sinus og cosinus er fra -1 til 1. Med andre ord tar sinus og cosinus verdier fra -1 til 1. Verdiområdet for tangent og cotangens er hele talllinjen, det vil si at disse funksjonene kan ta på seg alle verdier.

Definisjonene gitt ovenfor gjelder spisse vinkler. I trigonometri introduseres konseptet med en rotasjonsvinkel, hvis verdi, i motsetning til en spiss vinkel, ikke er begrenset til 0 til 90 grader. Rotasjonsvinkelen i grader eller radianer uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall fra - ∞ til + ∞ .

I denne sammenhengen kan vi definere sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel av vilkårlig størrelse. La oss forestille oss en enhetssirkel med sentrum ved opprinnelsen til det kartesiske koordinatsystemet.

Startpunktet A med koordinatene (1, 0) roterer rundt sentrum av enhetssirkelen gjennom en viss vinkel α og går til punktet A 1. Definisjonen er gitt i form av koordinatene til punkt A 1 (x, y).

Sinus (sin) av rotasjonsvinkelen

Sinusen til rotasjonsvinkelen α er ordinaten til punktet A 1 (x, y). sin α = y

Cosinus (cos) til rotasjonsvinkelen

Cosinus til rotasjonsvinkelen α er abscissen til punktet A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) av rotasjonsvinkelen

Tangensen til rotasjonsvinkelen α er forholdet mellom ordinaten til punktet A 1 (x, y) og abscissen. t g α = y x

Kotangens (ctg) av rotasjonsvinkelen

Kotangensen til rotasjonsvinkelen α er forholdet mellom abscissen til punktet A 1 (x, y) og ordinaten. c t g α = x y

Sinus og cosinus er definert for enhver rotasjonsvinkel. Dette er logisk, fordi abscissen og ordinaten til et punkt etter rotasjon kan bestemmes i enhver vinkel. Situasjonen er annerledes med tangent og cotangens. Tangenten er udefinert når et punkt etter rotasjon går til et punkt med null abscisse (0, 1) og (0, - 1). I slike tilfeller gir uttrykket for tangent t g α = y x rett og slett ikke mening, siden det inneholder divisjon med null. Situasjonen er lik med cotangens. Forskjellen er at cotangensen ikke er definert i tilfeller hvor ordinaten til et punkt går til null.

Viktig å huske!

Sinus og cosinus er definert for alle vinkler α.

Tangent er definert for alle vinkler unntatt α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Cotangens er definert for alle vinkler unntatt α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Når du løser praktiske eksempler, ikke si "sinus til rotasjonsvinkelen α". Ordene "rotasjonsvinkel" er ganske enkelt utelatt, noe som betyr at det allerede er klart fra konteksten hva som diskuteres.

Tall

Hva med definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens til et tall, og ikke rotasjonsvinkelen?

Sinus, cosinus, tangens, cotangens av et tall

Sinus, cosinus, tangens og cotangens av et tall t er et tall som er henholdsvis lik sinus, cosinus, tangens og cotangens i t radian.

For eksempel er sinusen til tallet 10 π lik sinusen til rotasjonsvinkelen på 10 π rad.

Det er en annen tilnærming til å bestemme sinus, cosinus, tangens og cotangens til et tall. La oss se nærmere på det.

Ethvert reelt tall t et punkt på enhetssirkelen er assosiert med sentrum ved opprinnelsen til det rektangulære kartesiske koordinatsystemet. Sinus, cosinus, tangens og cotangens bestemmes gjennom koordinatene til dette punktet.

Utgangspunktet på sirkelen er punkt A med koordinater (1, 0).

Positivt tall t

Negativt tall t tilsvarer punktet som startpunktet vil gå til hvis det beveger seg rundt sirkelen mot klokken og passerer banen t.

Nå som forbindelsen mellom et tall og et punkt på en sirkel er etablert, går vi videre til definisjonen av sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Sinus (synd) av t

Sinus av et tall t- ordinaten til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t. sin t = y

Cosinus (cos) av t

Cosinus av et tall t- abscisse av punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t. cos t = x

Tangent (tg) av t

Tangent av et tall t- forholdet mellom ordinaten og abscissen til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t. t g t = y x = sin t cos t

De siste definisjonene er i samsvar med og motsier ikke definisjonen gitt i begynnelsen av dette avsnittet. Pek på sirkelen som tilsvarer tallet t, faller sammen med punktet som startpunktet går til etter å ha svingt med en vinkel t radian.

Trigonometriske funksjoner av vinkel- og numerisk argument

Hver verdi av vinkelen α tilsvarer en viss verdi av sinus og cosinus til denne vinkelen. Akkurat som alle vinkler α bortsett fra α = 90 ° + 180 ° k, tilsvarer k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) en viss tangentverdi. Cotangens, som nevnt ovenfor, er definert for alle α unntatt α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Vi kan si at sin α, cos α, t g α, c t g α er funksjoner av vinkelen alfa, eller funksjoner av vinkelargumentet.

På samme måte kan vi snakke om sinus, cosinus, tangens og cotangens som funksjoner av et numerisk argument. Hvert reelt tall t tilsvarer en viss verdi av sinus eller cosinus til et tall t. Alle andre tall enn π 2 + π · k, k ∈ Z, tilsvarer en tangentverdi. Cotangens er på samme måte definert for alle tall unntatt π · k, k ∈ Z.

Grunnleggende funksjoner for trigonometri

Sinus, cosinus, tangens og cotangens er de grunnleggende trigonometriske funksjonene.

Det er vanligvis klart fra konteksten hvilket argument for den trigonometriske funksjonen (vinkelargument eller numerisk argument) vi har å gjøre med.

La oss gå tilbake til definisjonene gitt helt i begynnelsen og alfavinkelen, som ligger i området fra 0 til 90 grader. De trigonometriske definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens er helt i samsvar med de geometriske definisjonene gitt av sideforholdet til en rettvinklet trekant. La oss vise det.

La oss ta en enhetssirkel med et senter i et rektangulært kartesisk koordinatsystem. La oss rotere startpunktet A (1, 0) med en vinkel på opptil 90 grader og tegne en vinkelrett på abscisseaksen fra det resulterende punktet A 1 (x, y). I den resulterende rettvinklet er vinkelen A 1 O H lik rotasjonsvinkelen α, lengden på benet O H er lik abscissen til punktet A 1 (x, y). Lengden på benet motsatt vinkelen er lik ordinaten til punktet A 1 (x, y), og lengden på hypotenusen er lik én, siden det er radiusen til enhetssirkelen.

I samsvar med definisjonen fra geometri er sinusen til vinkelen α lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Dette betyr at å bestemme sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant gjennom sideforholdet er ekvivalent med å bestemme sinusen til rotasjonsvinkelen α, med alfa liggende i området fra 0 til 90 grader.

Tilsvarende kan samsvaret mellom definisjoner vises for cosinus, tangens og cotangens.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter