Prismekarakteristikk. Prismegrunnflate: fra trekantet til polygonalt

Definisjon. Prisme er et polyeder, hvis toppunkter er plassert i to parallelle plan, og i disse samme to planene ligger to flater av prismet, som er like polygoner med tilsvarende parallelle sider, og alle kanter som ikke ligger i disse planene er parallelle.

To like ansikter kalles prismebaser(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Alle andre flater av prismet kalles sideflater(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Alle sideflater dannes sideoverflaten til prismet .

Alle sideflatene til prismet er parallellogrammer .

Kantene som ikke ligger ved bunnene kalles prismets sidekanter ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisme diagonal er et segment hvis ender er to hjørner av et prisme som ikke ligger på samme side (AD 1).

Lengden på segmentet som forbinder prismebasene og vinkelrett på begge basene samtidig kalles prismehøyde .

Betegnelse:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Først, i traverserende rekkefølge, er toppunktene til en base angitt, og deretter, i samme rekkefølge, toppunktene til en annen; endene på hver sidekant er angitt med de samme bokstavene, bare toppunktene som ligger i en base er angitt med bokstaver uten indeks, og i den andre - med indeks)

Navnet på prismet er assosiert med antall vinkler i figuren som ligger ved basen, for eksempel i figur 1 er det en femkant ved basen, så prismet kalles femkantet prisme. Men fordi et slikt prisme har 7 flater, da det heptaeder(2 flater - basen til prismet, 5 flater - parallellogrammer, - sideflatene)

Blant rette prismer skiller en bestemt type seg ut: vanlige prismer.

Et rett prisme kalles riktig, hvis basene er vanlige polygoner.

Parallelepiped

Rektangulært parallellepipedum- et rett parallellepiped hvis base er et rektangel.

Egenskaper og teoremer:

,

hvor d er diagonalen til kvadratet;
a er siden av firkanten.

En idé om et prisme er gitt av:

• ulike arkitektoniske strukturer;
• Leker for barn;
• emballasje bokser;
• designerartikler osv.

Arealet av den totale og laterale overflaten av prismet

S full = S side + 2S hoved,

Hvor S full- total overflate, S-siden- lateral overflate, S base- grunnareal

Sideoverflatearealet til et rett prisme er lik produktet av basens omkrets og prismets høyde.

S-siden= P grunnleggende * h,

Hvor S-siden-området av sideoverflaten til et rett prisme,

P main - omkretsen av bunnen av et rett prisme,

h er høyden på det rette prismet, lik sidekanten.

Prismevolum

Volumet til et prisme er lik produktet av arealet av basen og høyden.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i prøve, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Generell informasjon om rett prisme

Sideoverflaten til et prisme (mer presist, sideoverflaten) kalles sum områder av sideflatene. Den totale overflaten av prismet er lik summen av sideflaten og arealene til basene.

Teorem 19.1. Sideoverflaten til et rett prisme er lik produktet av omkretsen av basen og høyden på prismet, dvs. lengden på sidekanten.

Bevis. Sideflatene til et rett prisme er rektangler. Basene til disse rektanglene er sidene av polygonet som ligger ved bunnen av prismet, og høydene er lik lengden på sidekantene. Det følger at sideoverflaten til prismet er lik

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

hvor a 1 og n er lengdene til grunnkantene, p er omkretsen av prismets basis, og I er lengden til sidekantene. Teoremet er bevist.

Praktisk oppgave

Problem (22) . I et skrånende prisme utføres det seksjon, vinkelrett på sideribbene og krysser alle sideribbene. Finn sideflaten til prismet hvis omkretsen av snittet er lik p og sidekantene er lik l.

Løsning. Planet til det tegnede snittet deler prismet i to deler (fig. 411). La oss utsette en av dem for parallell oversettelse, ved å kombinere prismebasene. I dette tilfellet får vi et rett prisme, hvis basis er tverrsnittet til det originale prismet, og sidekantene er lik l. Dette prismet har samme sideoverflate som det originale. Dermed er sideflaten til det opprinnelige prismet lik pl.

Oppsummering av det dekkede emnet

La oss nå prøve å oppsummere emnet vi dekket om prismer og huske hvilke egenskaper et prisme har.

Prisme egenskaper

For det første har et prisme alle sine baser som like polygoner;
For det andre, i et prisme er alle sideflatene parallellogrammer;
For det tredje, i en så mangefasettert figur som et prisme, er alle sidekanter like;

Det bør også huskes at polyedre som prismer kan være rette eller skråstilte.

Hvilket prisme kalles et rett prisme?

Hvis sidekanten til et prisme er plassert vinkelrett på planet til basen, kalles et slikt prisme et rett.

Det ville ikke være overflødig å huske at sideflatene til et rett prisme er rektangler.

Hvilken type prisme kalles skrå?

Men hvis sidekanten til et prisme ikke er plassert vinkelrett på planet til basen, kan vi trygt si at det er et skrånende prisme.

Hvilket prisme kalles riktig?

Hvis en regulær polygon ligger ved bunnen av et rett prisme, så er et slikt prisme regulært.

La oss nå huske egenskapene som et vanlig prisme har.

Egenskaper til et vanlig prisme

For det første tjener regelmessige polygoner alltid som basis for et regulært prisme;
For det andre, hvis vi tar for oss sideflatene til et vanlig prisme, er de alltid like rektangler;
For det tredje, hvis du sammenligner størrelsene på sideribbene, er de alltid like i et vanlig prisme.
For det fjerde er et korrekt prisme alltid rett;
For det femte, hvis sideflatene i et vanlig prisme har form av firkanter, kalles en slik figur vanligvis en semi-regelmessig polygon.

Prismetverrsnitt

La oss nå se på tverrsnittet av prismet:

Hjemmelekser

La oss nå prøve å konsolidere emnet vi har lært ved å løse problemer.

La oss tegne et skrånende trekantet prisme, avstanden mellom kantene vil være lik: 3 cm, 4 cm og 5 cm, og sideoverflaten til dette prismet vil være lik 60 cm2. Når du har disse parameterne, finn sidekanten til dette prismet.

Visste du at geometriske figurer hele tiden omgi oss ikke bare i geometritimer, men også i Hverdagen Det er gjenstander som ligner en eller annen geometrisk figur.

Hvert hjem, skole eller arbeid har en datamaskin hvis systemenhet er formet som et rett prisme.

Hvis du tar opp en enkel blyant, vil du se at hoveddelen av blyanten er et prisme.

Når vi går langs den sentrale gaten i byen, ser vi at under føttene våre ligger en flis som har form av et sekskantet prisme.

A. V. Pogorelov, Geometri for klassetrinn 7-11, Lærebok for utdanningsinstitusjoner

Polygonene ABCDE og FHKMP som ligger i parallelle plan kalles prismebasene, vinkelrett OO 1 senket fra et hvilket som helst punkt på basen til planet til et annet kalles prismehøyden. Parallelogrammer ABHF, BCKH, etc. kalles prismets sideflater, og deres sider SC, DM, etc., som forbinder de tilsvarende toppunktene til basene, kalles sidekanter. I et prisme er alle sidekanter like med hverandre som segmenter av parallelle rette linjer innelukket mellom parallelle plan.
Et prisme kalles en rett linje ( Fig. 282, b) eller skrå ( Fig. 282, c) avhengig av om sideribbene er vinkelrette eller skråstilte på basene. Et rett prisme har rektangulære sideflater. Sidekanten kan tas som høyden på et slikt prisme.
Et rett prisme kalles regulært hvis basene er regulære polygoner. I et slikt prisme er alle sideflater like rektangler.
For å skildre et prisme i en kompleks tegning, må du kjenne til og kunne skildre elementene den består av (et punkt, en rett linje, en flat figur).
og deres bilde i den komplekse tegningen (fig. 283, a - i)

a) Kompleks tegning av et prisme. Basen av prismet er plassert på projeksjonsplanet P 1; en av sideflatene til prismet er parallell med projeksjonsplanet P 2.
b) Nær bunnen av prismet DEF - flat figur - vanlig trekant, plassert i planet P 1; siden av trekanten DE er parallell med x-aksen 12 - Den horisontale projeksjonen smelter sammen med den gitte basen og er derfor lik dens naturlige størrelse; Frontprojeksjonen smelter sammen med x 12-aksen og er lik siden av bunnen av prismet.
c) Den øvre bunnen av prismet ABC er en flat figur - en trekant plassert i horisontalt plan. Den horisontale projeksjonen smelter sammen med projeksjonen av den nedre basen og dekker den, siden prismet er rett; frontal projeksjon - rett, parallelt med x 12-aksen, i en avstand fra prismets høyde.
d) Sideflaten til ABED-prismet er en flat figur - et rektangel som ligger i frontplanet. Frontal projeksjon - et rektangel lik den naturlige størrelsen på ansiktet; horisontal projeksjon er en rett linje lik siden av bunnen av prismet.
e) og f) Sideflatene til ACFD- og CBEF-prismene er flate figurer - rektangler som ligger i horisontale utstikkende plan plassert i en vinkel på 60° til projeksjonsplanet P 2. Horisontale projeksjoner er rette linjer, plassert til x 12-aksen i en vinkel på 60°, og er lik den naturlige størrelsen på sidene av prismets base; frontale projeksjoner er rektangler hvis bilder er mindre enn naturlig størrelse: to sider av hvert rektangel er lik høyden på prismet.
g) Prismets kant AD er en rett linje, vinkelrett på projeksjonsplanet P 1. Horisontal projeksjon - punkt; frontal - rett, vinkelrett på x 12-aksen, lik sidekanten av prismet (prismehøyde).
h) Side AB på den øvre basen er rett, parallelt med planene P 1 og P 2. Horisontale og frontale projeksjoner er rette, parallelle med x 12-aksen og lik siden av den gitte basen til prismet. Frontprojeksjonen er adskilt fra x-aksen 12 i en avstand lik prismets høyde.
i) Toppene til prismet. Punkt E - toppen av den nedre basen er plassert på planet P 1. Den horisontale projeksjonen faller sammen med selve punktet; frontal - ligger på aksen x 12. Punkt C - toppen av den øvre basen - er plassert i rommet. Horisontal projeksjon har dybde; frontal - høyde lik høyden på dette prismet.
Dette innebærer: Når du designer et polyeder, må du mentalt dele det inn i dets komponentelementer og bestemme rekkefølgen på deres representasjon, bestående av påfølgende grafiske operasjoner. Figurene 284 og 285 viser eksempler på sekvensielle grafiske operasjoner når du utfører en kompleks tegning og visuell representasjon (aksonometri) av prismer.
(Fig. 284).

Gitt:
1. Basen er plassert på projeksjonsplanet P 1.
2. Ingen av sidene av basen er parallelle med x-aksen 12.
I. Kompleks tegning.
jeg, a. Vi designer den nedre basen - en polygon, som etter betingelse ligger i planet P1.
jeg, b. Vi designer den øvre basen - en polygon lik den nedre basen med sidene tilsvarende parallelle med den nedre basen, adskilt fra den nedre basen med høyden H til det gitte prismet.
jeg, c. Vi designer sidekantene til prismet - segmenter plassert parallelt; deres horisontale projeksjoner er punkter som smelter sammen med projeksjonene av toppunktene til basene; frontal - segmenter (parallelle) oppnådd fra å forbinde med rette linjer projeksjonene av toppunktene til basene med samme navn. De fremre fremspringene til ribbene, trukket fra fremspringene til toppunktene B og C på den nedre basen, er avbildet med stiplede linjer som usynlige.
jeg, g. Gitt: horisontal projeksjon F 1 av punkt F på den øvre basen og frontal projeksjon K 2 av punkt K på sideflaten. Det er nødvendig å bestemme plasseringen av deres andre projeksjoner.
For punkt F. Den andre (frontale) projeksjonen F 2 av punkt F vil falle sammen med projeksjonen av den øvre basen, som et punkt som ligger i planet til denne basen; dens plass bestemmes av den vertikale kommunikasjonslinjen.
For punkt K - Den andre (horisontale) projeksjonen K 1 av punktet K vil falle sammen med den horisontale projeksjonen av sideflaten, som et punkt som ligger i flatens plan; dens plass bestemmes av den vertikale kommunikasjonslinjen.
II. Prismeoverflateutvikling- en flat figur som består av sideflater - rektangler, der to sider er lik høyden på prismet, og de to andre er lik de tilsvarende sidene av basen, og fra to baser lik hverandre - uregelmessige polygoner .
De naturlige dimensjonene til basene og sidene av flatene som er nødvendige for å konstruere utviklingen, avsløres på fremspringene; vi bygger på dem; På en rett linje plotter vi sekvensielt sidene AB, BC, CD, DE og EA til polygonet - basene til prismet, tatt fra den horisontale projeksjonen. På perpendikulære tegnet fra punktene A, B, C, D, E og A, plotter vi høyden H til dette prismet tatt fra frontprojeksjonen og tegner en rett linje gjennom merkene. Som et resultat får vi en skanning av sideflatene til prismet.
Hvis vi fester basen til prismet til denne utviklingen, får vi en utvikling av hele overflaten av prismet. Basene til prismet skal festes til den tilsvarende sideflaten ved hjelp av trianguleringsmetoden.
På den øvre bunnen av prismet, ved hjelp av radius R og R 1, bestemmer vi plasseringen av punktet F, og på sideflaten, ved hjelp av radius R 3 og H 1, bestemmer vi punktet K.
III. En visuell representasjon av et prisme i dimetri.
III, a. Vi skildrer den nedre bunnen av prismet i henhold til koordinatene til punktene A, B, C, D og E (fig. 284 I, a).
III, b. Vi skildrer den øvre basen parallelt med den nedre, adskilt fra den med høyden H på prismet.
III, c. Vi skildrer sidekantene ved å koble de tilsvarende toppunktene til basene med rette linjer. Vi bestemmer de synlige og usynlige elementene i prismet og skisserer dem med de tilsvarende linjene,
III, d. Vi bestemmer punktene F og K på overflaten av prismet - Punkt F - på den øvre basen bestemmes ved hjelp av dimensjonene i og e; punkt K - på sideflaten med i 1 og H" .
For et isometrisk bilde av prismet og bestemmelse av plasseringen av punktene F og K, bør den samme sekvensen følges.
Fig. 285).

Gitt:
1. Basen er plassert på planet P 1.
2. Sideribbene er parallelle med P 2-planet.
3. Ingen av sidene av basen er parallelle med x 12-aksen
I. Kompleks tegning.
jeg, a. Vi designer iht denne tilstanden: bunnen er en polygon som ligger i planet P1, og sidekanten er et segment parallelt med planet P2 og skråstilt til planet P1.
jeg, b. Vi designer de resterende sidekantene - segmenter like og parallelle med den første kanten SE.
jeg, c. Vi designer den øvre basen av prismet som en polygon, lik og parallell med den nedre basen, og får en kompleks tegning av prismet.
Vi identifiserer usynlige elementer på projeksjoner. Frontprojeksjonen av kanten av VM og den horisontale projeksjonen av siden av base-CDen er avbildet med stiplede linjer som usynlige.
I, g. Gitt frontprojeksjonen Q 2 av punktet Q på projeksjonen A 2 K 2 F 2 D 2 av sideflaten; du må finne den horisontale projeksjonen. For å gjøre dette, tegn en hjelpelinje gjennom punktet Q 2 i projeksjonen A 2 K 2 F 2 D 2 av prismeflaten, parallelt med sidekantene til denne flaten. Vi finner den horisontale projeksjonen av hjelpelinjen og på den, ved hjelp av en vertikal forbindelseslinje, bestemmer vi plasseringen av den ønskede horisontale projeksjonen Q 1 av punkt Q.
II. Prismeoverflateutvikling.
Ved å ha de naturlige dimensjonene til sidene av basen på den horisontale projeksjonen, og dimensjonene til ribbene på den frontale projeksjonen, er det mulig å konstruere en fullstendig utvikling av overflaten til et gitt prisme.
Vi vil rulle prismet, rotere det hver gang rundt sidekanten, så vil hver sideflate av prismet på planet etterlate et spor (parallelogram) lik dens naturlige størrelse. Vi vil konstruere sideskanningen i følgende rekkefølge:
a) fra punktene A 2, B 2, D 2. . . E 2 (frontale projeksjoner av toppunktene til basene) vi tegner hjelpelinjer vinkelrett på projeksjonene til ribbene;
b) radius R ( lik side base CD) vi lager et hakk ved punkt D på hjelpelinjen trukket fra punkt D2; ved å koble rette punkter C 2 og D og tegne rette linjer parallelt med E 2 C 2 og C 2 D, får vi sideflaten CEFD;
c) så, ved på lignende måte å arrangere de følgende sideflatene, får vi en utvikling av sideflatene til prismet. For å oppnå en fullstendig utvikling av overflaten til dette prismet, fester vi det til de tilsvarende flatene til basen.
III. En visuell representasjon av et prisme i isometri.
III, a. Vi skildrer den nedre bunnen av prismet og kanten CE, ved å bruke koordinater i henhold til (