Den riktige pyramiden av egenskaper og betegnelser. Geometriske figurer. Pyramide

  • apotem- høyden på sideflaten til en vanlig pyramide, som er trukket fra toppen (i tillegg er apotemet lengden på perpendikulæren, som senkes fra midten av en vanlig polygon til 1 av sidene);
  • sideflater (ASB, BSC, CSD, DSA) - trekanter som konvergerer på toppen;
  • side ribber ( SOM , BS , CS , D.S. ) - felles sider av sideflatene;
  • toppen av pyramiden (v. S) - et punkt som forbinder sidekantene og som ikke ligger i basens plan;
  • høyde ( SÅ ) - et segment av perpendikulæren, som trekkes gjennom toppen av pyramiden til planet til basen (endene av et slikt segment vil være toppen av pyramiden og basen av perpendikulæren);
  • diagonal del av en pyramide- seksjon av pyramiden, som går gjennom toppen og diagonalen til basen;
  • utgangspunkt (ABCD) er en polygon som toppen av pyramiden ikke tilhører.

pyramideegenskaper.

1. Når alle sidekanter har samme størrelse, gjør du følgende:

  • nær bunnen av pyramiden er det lett å beskrive en sirkel, mens toppen av pyramiden vil bli projisert inn i midten av denne sirkelen;
  • sideribber danner like vinkler med grunnplanet;
  • i tillegg er det motsatte også sant, dvs. når sidekantene danner like vinkler med grunnplanet, eller når en sirkel kan beskrives nær bunnen av pyramiden og toppen av pyramiden vil projiseres inn i midten av denne sirkelen, så har alle sidekantene til pyramiden samme størrelse.

2. Når sideflatene har en helningsvinkel til grunnplanet med samme verdi, da:

  • nær bunnen av pyramiden er det lett å beskrive en sirkel, mens toppen av pyramiden vil bli projisert inn i midten av denne sirkelen;
  • høydene på sideflatene er like lange;
  • arealet av sideflaten er ½ produktet av omkretsen av basen og høyden på sideflaten.

3. En kule kan beskrives nær pyramiden hvis bunnen av pyramiden er en polygon som en sirkel kan beskrives rundt (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse). Sentrum av sfæren vil være skjæringspunktet for planene som passerer gjennom midtpunktene på kantene av pyramiden vinkelrett på dem. Fra denne teoremet konkluderer vi med at en kule kan beskrives både rundt en hvilken som helst trekantet og rundt en hvilken som helst vanlig pyramide.

4. En kule kan innskrives i en pyramide hvis halveringslinjene til de indre dihedrale vinklene til pyramiden skjærer hverandre i 1. punkt (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse). Dette punktet vil bli sentrum av sfæren.

Den enkleste pyramiden.

I henhold til antall hjørner av bunnen av pyramiden er de delt inn i trekantede, firkantede og så videre.

Pyramiden vil trekantet, firkantet, og så videre, når bunnen av pyramiden er en trekant, en firkant og så videre. En trekantet pyramide er et tetraeder - et tetraeder. Firkantet - pentahedron og så videre.

En trekantet pyramide er en pyramide basert på en trekant. Høyden på denne pyramiden er perpendikulæren, som senkes fra toppen av pyramiden til basene.

Finne høyden på en pyramide

Hvordan finne høyden på en pyramide? Veldig enkelt! For å finne høyden på en hvilken som helst trekantet pyramide, kan du bruke volumformelen: V = (1/3)Sh, der S er grunnflaten, V er volumet til pyramiden, h er høyden. Fra denne formelen, utlede høydeformelen: for å finne høyden til en trekantet pyramide, må du multiplisere volumet av pyramiden med 3, og deretter dele den resulterende verdien med grunnflaten, det vil være: h \u003d (3V ) / S. Siden bunnen av en trekantet pyramide er en trekant, kan du bruke formelen for å beregne arealet til en trekant. Hvis vi vet: arealet av trekanten S og siden z, så i henhold til områdeformelen S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, hvor h er høyden på pyramiden, γ er kanten av trekanten; vinkelen mellom sidene av trekanten og de to sidene selv, og bruker deretter følgende formel: S = (1/2)γφsinQ, hvor γ, φ er sidene til trekanten, finner vi arealet av trekanten. Verdien av sinusen til vinkelen Q må sees i sinustabellen, som er på Internett. Deretter erstatter vi arealverdien i høydeformelen: h = (2S)/γ. Hvis oppgaven krever beregning av høyden på en trekantet pyramide, er volumet av pyramiden allerede kjent.

Vanlig trekantet pyramide

Finn høyden på en vanlig trekantet pyramide, dvs. en pyramide der alle flater er likesidede trekanter, og kjenn størrelsen på kanten γ. I dette tilfellet er kantene på pyramiden sidene til likesidede trekanter. Høyden på en vanlig trekantet pyramide vil være: h = γ√(2/3), der γ er kanten på en likesidet trekant, h er høyden på pyramiden. Hvis arealet av basen (S) er ukjent, og bare lengden på kanten (γ) og volumet (V) til polyederet er gitt, må den nødvendige variabelen i formelen fra forrige trinn erstattes med ekvivalenten, som uttrykkes i form av lengden på kanten. Arealet av en trekant (regelmessig) er lik 1/4 av produktet av lengden på siden av denne trekanten, opphøyd i kvadrat med kvadratroten av 3. Vi erstatter denne formelen i stedet for grunnflaten i forrige formel , og vi får følgende formel: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Volumet til et tetraeder kan uttrykkes i form av lengden på kanten, så kan alle variabler fjernes fra formelen for å beregne høyden på en figur, og bare siden av den trekantede siden av figuren kan stå igjen. Volumet til en slik pyramide kan beregnes ved å dividere med 12 fra produktet lengden på overflaten i terninger med kvadratroten av 2.

Vi erstatter dette uttrykket i den forrige formelen, vi får følgende formel for å beregne: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2 /3) = (1/3)γ√6. Et vanlig trekantet prisme kan også skrives inn i en kule, og hvis du bare kjenner radiusen til kulen (R), kan du finne selve høyden på tetraederet. Kantlengden til tetraederet er: γ = 4R/√6. Vi erstatter variabelen γ med dette uttrykket i forrige formel og får formelen: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Den samme formelen kan oppnås ved å kjenne radius (R) til en sirkel innskrevet i et tetraeder. I dette tilfellet vil lengden på kanten av trekanten være lik 12 forhold mellom kvadratroten av 6 og radien. Vi erstatter dette uttrykket i den forrige formelen og har: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Hvordan finne høyden på en vanlig firkantet pyramide

For å svare på spørsmålet om hvordan du finner lengden på pyramidens høyde, må du vite hva en vanlig pyramide er. En firkantet pyramide er en pyramide basert på en firkant. Hvis vi under betingelsene for problemet har: volumet (V) og arealet av bunnen (S) av pyramiden, vil formelen for å beregne høyden til polyederet (h) være som følger - del volumet multiplisert med 3 med området S: h \u003d (3V) / S. Med en kvadratisk base av en pyramide med kjent: gitt volum (V) og sidelengde γ, erstatt arealet (S) i forrige formel med kvadratet av sidelengden: S = γ 2 ; H = 3V/y2. Høyden på den vanlige pyramiden h = SO passerer like gjennom midten av sirkelen, som er omskrevet nær basen. Siden bunnen av denne pyramiden er et kvadrat, er punktet O skjæringspunktet mellom diagonalene AD og BC. Vi har: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Videre finner vi i en rettvinklet trekant SOC (ifølge Pythagoras teorem): SO = √(SC 2 -OC 2). Nå vet du hvordan du finner høyden på en vanlig pyramide.

Studenter kommer over konseptet med en pyramide lenge før de studerer geometri. Skyld på de berømte store egyptiske underverkene i verden. Derfor, med å starte studiet av dette fantastiske polyederet, forestiller de fleste studenter seg det allerede tydelig. Alle de ovennevnte severdighetene er i riktig form. Hva har skjedd høyre pyramide, og hvilke egenskaper den har og vil bli diskutert videre.

I kontakt med

Definisjon

Det er mange definisjoner på en pyramide. Siden antikken har det vært veldig populært.

For eksempel definerte Euklid det som en solid figur, bestående av plan, som starter fra ett, konvergerer på et bestemt punkt.

Heron ga en mer presis formulering. Han insisterte på at det var en figur som har en base og plan i form av trekanter, konvergerer på ett punkt.

Basert på den moderne tolkningen presenteres pyramiden som et romlig polyeder, bestående av en viss k-gon og k flate trekantede figurer som har ett felles punkt.

La oss se nærmere, Hvilke elementer består den av?

  • k-gon regnes som grunnlaget for figuren;
  • 3-vinklede figurer stikker ut som sidene av sidedelen;
  • den øvre delen, som sideelementene stammer fra, kalles toppen;
  • alle segmenter som forbinder toppunktet kalles kanter;
  • hvis en rett linje senkes fra toppen til figurens plan i en vinkel på 90 grader, er dens del innelukket i det indre rommet høyden på pyramiden;
  • i et hvilket som helst sideelement til siden av polyederet vårt, kan du tegne en vinkelrett, kalt apotem.

Antall kanter beregnes ved å bruke formelen 2*k, hvor k er antall sider av k-gonen. Hvor mange flater et polyeder som en pyramide har kan bestemmes av uttrykket k + 1.

Viktig! En regelmessig formet pyramide er en stereometrisk figur hvis grunnplan er en k-gon med like sider.

Grunnleggende egenskaper

Riktig pyramide har mange egenskaper som er unike for henne. La oss liste dem opp:

  1. Basen er en figur med riktig form.
  2. Kantene på pyramiden, som begrenser sideelementene, har like numeriske verdier.
  3. Sideelementene er likebente trekanter.
  4. Basen av høyden på figuren faller inn i midten av polygonet, mens det samtidig er det sentrale punktet på det innskrevne og beskrevne.
  5. Alle sideribber er skråstilt til grunnplanet i samme vinkel.
  6. Alle sideflater har samme helningsvinkel i forhold til underlaget.

Takket være alle de oppførte egenskapene er ytelsen til elementberegninger betydelig forenklet. Basert på egenskapene ovenfor tar vi hensyn til to tegn:

  1. I tilfellet når polygonet passer inn i en sirkel, vil sideflatene ha like vinkler med basen.
  2. Når man beskriver en sirkel rundt en polygon, vil alle kantene på pyramiden som kommer fra toppunktet ha samme lengde og like vinkler med grunnflaten.

Torget er basert

Vanlig firkantet pyramide - et polyeder basert på en firkant.

Den har fire sideflater, som er likebenet i utseende.

På et plan er en firkant avbildet, men de er basert på alle egenskapene til en vanlig firkant.

For eksempel, hvis det er nødvendig å koble siden av et kvadrat med diagonalen, brukes følgende formel: diagonalen er lik produktet av siden av kvadratet og kvadratroten av to.

Basert på en vanlig trekant

En vanlig trekantet pyramide er et polyeder hvis base er en vanlig 3-gon.

Hvis basen er en vanlig trekant, og sidekantene er lik kantene på basen, så en slik figur kalt et tetraeder.

Alle flatene til et tetraeder er likesidede 3-goner. I dette tilfellet må du vite noen poeng og ikke kaste bort tid på dem når du beregner:

  • hellingsvinkelen til ribbene til en hvilken som helst base er 60 grader;
  • verdien av alle indre ansikter er også 60 grader;
  • ethvert ansikt kan fungere som en base;
  • tegnet inne i figuren er like elementer.

Utsnitt av et polyeder

I alle polyeder er det flere typer seksjoner flyet. Ofte i et skolegeometrikurs jobber de med to:

  • aksial;
  • parallell basis.

Et aksialsnitt oppnås ved å skjære et polyeder med et plan som går gjennom toppunktet, sidekantene og aksen. I dette tilfellet er aksen høyden trukket fra toppunktet. Skjæreplanet er begrenset av skjæringslinjene med alle flater, noe som resulterer i en trekant.

Merk følgende! I en vanlig pyramide er den aksiale seksjonen en likebenet trekant.

Hvis skjæreplanet går parallelt med basen, er resultatet det andre alternativet. I dette tilfellet har vi i sammenheng med en figur som ligner på basen.

For eksempel, hvis basen er en firkant, vil seksjonen parallelt med basen også være en firkant, bare av mindre størrelse.

Når du løser problemer under denne tilstanden, brukes tegn og egenskaper for likhet mellom figurer, basert på Thales-teoremet. Først av alt er det nødvendig å bestemme likhetskoeffisienten.

Hvis flyet er trukket parallelt med basen, og det kutter av den øvre delen av polyederet, oppnås en vanlig avkortet pyramide i den nedre delen. Deretter sies basene til det avkortede polyederet å være lignende polygoner. I dette tilfellet er sideflatene likebenede trapeser. Den aksiale seksjonen er også likebenet.

For å bestemme høyden til et avkortet polyeder, er det nødvendig å tegne høyden i et aksialsnitt, det vil si i en trapes.

Overflatearealer

De viktigste geometriske problemene som må løses i skolegeometrikurset er finne overflaten og volumet til en pyramide.

Det er to typer overflateareal:

  • område med sideelementer;
  • hele overflaten.

Av selve tittelen er det tydelig hva det handler om. Sideflaten inkluderer kun sideelementene. Av dette følger det at for å finne det, trenger du bare å legge sammen områdene til sideplanene, det vil si områdene til likebenede 3-goner. La oss prøve å utlede formelen for arealet til sideelementene:

  1. Arealet til en likebenet 3-gon er Str=1/2(aL), der a er siden av basen, L er apotem.
  2. Antall sideplan avhenger av typen k-gon ved basen. For eksempel har en vanlig firkantet pyramide fire sideplan. Derfor er det nødvendig å legge sammen arealene til fire tall Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Uttrykket er forenklet på denne måten fordi verdien 4a=POS, hvor POS er omkretsen av basen. Og uttrykket 1/2 * Rosn er dens semi-perimeter.
  3. Så vi konkluderer med at arealet av sideelementene til en vanlig pyramide er lik produktet av halvperimeteren til basen og apotemet: Sside \u003d Rosn * L.

Arealet av hele overflaten av pyramiden består av summen av arealene til sideplanene og basen: Sp.p. = Sside + Sbase.

Når det gjelder arealet av basen, her brukes formelen i henhold til typen polygon.

Volum av en vanlig pyramide er lik produktet av grunnplanets areal og høyden delt på tre: V=1/3*Sbase*H, hvor H er høyden til polyederet.

Hva er en vanlig pyramide i geometri

Egenskaper til en vanlig firkantet pyramide

Definisjon

Pyramide er et polyeder sammensatt av et polygon \(A_1A_2...A_n\) og \(n\) trekanter med et felles toppunkt \(P\) (ligger ikke i polygonets plan) og motsatte sider som faller sammen med sidene til polygonen.
Betegnelse: \(PA_1A_2...A_n\) .
Eksempel: femkantet pyramide \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trekanter \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) osv. kalt sideflater pyramider, segmenter \(PA_1, PA_2\), etc. - side ribber, polygon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – basis, punkt \(P\) – toppmøte.

Høyde Pyramider er en vinkelrett som faller fra toppen av pyramiden til planet til basen.

En pyramide med en trekant ved bunnen kalles tetraeder.

Pyramiden kalles riktig, hvis basen er en vanlig polygon og en av følgende betingelser er oppfylt:

\((a)\) sidekanter av pyramiden er like;

\((b)\) høyden på pyramiden passerer gjennom midten av den omskrevne sirkelen nær basen;

\((c)\) sideribber skråner til grunnplanet i samme vinkel.

\((d)\) sideflater skråner til grunnplanet i samme vinkel.

vanlig tetraeder er en trekantet pyramide, hvis alle flater er like likesidede trekanter.

Teorem

Betingelsene \((a), (b), (c), (d)\) er likeverdige.

Bevis

Tegn høyden på pyramiden \(PH\) . La \(\alpha\) være planet til bunnen av pyramiden.


1) La oss bevise at \((a)\) innebærer \((b)\) . La \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Fordi \(PH\perp \alpha\) , så er \(PH\) vinkelrett på en hvilken som helst linje som ligger i dette planet, så trekantene er rettvinklet. Så disse trekantene er like i felles ben \(PH\) og hypotenusen \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Så \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Dette betyr at punktene \(A_1, A_2, ..., A_n\) er i samme avstand fra punktet \(H\) , derfor ligger de på samme sirkel med radius \(A_1H\) . Denne sirkelen er per definisjon omskrevet om polygonet \(A_1A_2...A_n\) .

2) La oss bevise at \((b)\) innebærer \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rektangulær og lik i to ben. Derfor er vinklene deres også like, derfor, \(\vinkel PA_1H=\vinkel PA_2H=...=\vinkel PA_nH\).

3) La oss bevise at \((c)\) innebærer \((a)\) .

I likhet med det første punktet, trekanter \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rektangulær og langs benet og spiss vinkel. Dette betyr at hypotenusene deres også er like, det vil si \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) La oss bevise at \((b)\) innebærer \((d)\) .

Fordi i en regulær polygon faller sentrene til de omskrevne og innskrevne sirklene sammen (generelt sett kalles dette punktet sentrum av en regulær polygon), da er \(H\) sentrum av den innskrevne sirkelen. La oss tegne perpendikulære fra punktet \(H\) til sidene av basen: \(HK_1, HK_2\), etc. Dette er radiene til den innskrevne sirkelen (per definisjon). Så, ifølge TTP, (\(PH\) er en vinkelrett på planet, \(HK_1, HK_2\), etc. er projeksjoner vinkelrett på sidene) skrå \(PK_1, PK_2\), etc. vinkelrett på sidene \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. hhv. Så per definisjon \(\vinkel PK_1H, \vinkel PK_2H\) lik vinklene mellom sideflatene og basen. Fordi trekanter \(PK_1H, PK_2H, ...\) er like (som rettvinklet på to ben), deretter vinklene \(\vinkel PK_1H, \vinkel PK_2H, ...\) er like.

5) La oss bevise at \((d)\) innebærer \((b)\) .

På samme måte som det fjerde punktet er trekantene \(PK_1H, PK_2H, ...\) like (som rektangulære langs benet og spissvinkel), noe som betyr at segmentene \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) er like. Derfor, per definisjon, er \(H\) midten av en sirkel innskrevet i basen. Men siden for vanlige polygoner faller sentrene til de innskrevne og omskrevne sirklene sammen, da er \(H\) sentrum av den omskrevne sirkelen. Chtd.

Konsekvens

Sideflatene til en vanlig pyramide er like likebenede trekanter.

Definisjon

Høyden på sideflaten til en vanlig pyramide, trukket fra toppen, kalles apotem.
Apotemene til alle sideflatene til en vanlig pyramide er lik hverandre og er også medianer og halveringslinjer.

Viktige notater

1. Høyden til en vanlig trekantet pyramide faller til skjæringspunktet mellom høydene (eller halveringslinjene, eller medianene) til basen (grunnlaget er en vanlig trekant).

2. Høyden på en vanlig firkantet pyramide faller til skjæringspunktet mellom diagonalene til basen (basen er en firkant).

3. Høyden på en vanlig sekskantet pyramide faller til skjæringspunktet mellom diagonalene til basen (basen er en vanlig sekskant).

4. Høyden på pyramiden er vinkelrett på enhver rett linje som ligger ved basen.

Definisjon

Pyramiden kalles rektangulær hvis en av sidekantene er vinkelrett på basens plan.


Viktige notater

1. For en rektangulær pyramide er kanten vinkelrett på basen høyden på pyramiden. Det vil si at \(SR\) er høyden.

2. Fordi \(SR\) vinkelrett på en hvilken som helst linje fra basen, da \(\triangle SRM, \triangle SRP\) er rette trekanter.

3. Trekanter \(\triangle SRN, \triangle SRK\) er også rektangulære.
Det vil si at enhver trekant som dannes av denne kanten og diagonalen som kommer ut av toppunktet til denne kanten, som ligger ved basen, vil være rettvinklet.

\[(\Large(\text(Volum og overflateareal av pyramiden)))\]

Teorem

Volumet av en pyramide er lik en tredjedel av produktet av arealet av basen og høyden på pyramiden: \

Konsekvenser

La \(a\) være siden av basen, \(h\) være høyden på pyramiden.

1. Volumet til en vanlig trekantet pyramide er \(V_(\text(rettkantet trekant pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volumet til en vanlig firkantet pyramide er \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volumet til en vanlig sekskantet pyramide er \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volumet til et vanlig tetraeder er \(V_(\text(høyre tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorem

Arealet av sideoverflaten til en vanlig pyramide er lik halvparten av produktet av omkretsen av basen og apotem.

\[(\Large(\tekst(Trunkert pyramide)))\]

Definisjon

Tenk på en vilkårlig pyramide \(PA_1A_2A_3...A_n\) . La oss tegne et plan parallelt med bunnen av pyramiden gjennom et bestemt punkt som ligger på sidekanten av pyramiden. Dette planet vil dele pyramiden i to polyedre, hvorav den ene er en pyramide (\(PB_1B_2...B_n\) ), og den andre kalles avkortet pyramide(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).


Den avkortede pyramiden har to baser - polygoner \(A_1A_2...A_n\) og \(B_1B_2...B_n\) , som ligner hverandre.

Høyden på en avkortet pyramide er en vinkelrett trukket fra et punkt på den øvre basen til planet til den nedre basen.

Viktige notater

1. Alle sideflater av en avkortet pyramide er trapeser.

2. Segmentet som forbinder sentrene til basene til en vanlig avkortet pyramide (det vil si en pyramide oppnådd av en del av en vanlig pyramide) er en høyde.

Her er samlet grunnleggende informasjon om pyramidene og relaterte formler og konsepter. Alle studeres med veileder i matematikk som forberedelse til eksamen.

Tenk på et plan, en polygon ligger i den og et punkt S som ikke ligger i den. Koble S til alle toppunktene i polygonet. Det resulterende polyederet kalles en pyramide. Segmentene kalles sidekanter. Polygonet kalles grunnflaten, og punktet S kalles toppen av pyramiden. Avhengig av tallet n, kalles pyramiden trekantet (n=3), firkantet (n=4), femkantet (n=5) og så videre. Alternativt navn for den trekantede pyramiden - tetraeder. Høyden på en pyramide er vinkelrett trukket fra spissen til grunnplanet.

En pyramide kalles riktig hvis en vanlig polygon, og bunnen av høyden til pyramiden (grunnen til perpendikulæren) er dens sentrum.

Lærerens kommentar:
Ikke forveksle konseptet "vanlig pyramide" og "vanlig tetraeder". I en vanlig pyramide er sidekantene ikke nødvendigvis like kantene på basen, men i en vanlig tetraeder er alle 6 kantene like. Dette er hans definisjon. Det er lett å bevise at likheten innebærer at sentrum P av polygonet med en høydebase, så et vanlig tetraeder er en vanlig pyramide.

Hva er et apotem?
Apotemet til en pyramide er høyden på sideflaten. Hvis pyramiden er vanlig, er alle dens apotemer like. Det motsatte er ikke sant.

Matematikklærer om sin terminologi: arbeid med pyramider er 80 % bygget gjennom to typer trekanter:
1) Inneholder apotem SK og høyde SP
2) Inneholder sidekanten SA og dens projeksjon PA

For å forenkle referanser til disse trekantene, er det mer praktisk for en mattelærer å nevne den første av dem apotemisk, og andre costal. Dessverre finner du ikke denne terminologien i noen av lærebøkene, og læreren må introdusere den ensidig.

Formel for pyramidevolum:
1) , hvor er arealet av bunnen av pyramiden, og er høyden på pyramiden
2) , hvor er radien til den innskrevne sfæren, og er det totale overflatearealet til pyramiden.
3) , der MN er avstanden til to kryssende kanter, og er arealet av parallellogrammet dannet av midtpunktene til de fire gjenværende kantene.

Pyramidehøydebaseegenskap:

Punkt P (se figur) faller sammen med sentrum av den innskrevne sirkelen ved bunnen av pyramiden hvis en av følgende betingelser er oppfylt:
1) Alle apotemer er like
2) Alle sideflater er likt skråstilt mot basen
3) Alle apotemer er like tilbøyelige til pyramidens høyde
4) Høyden på pyramiden er likt skråstilt til alle sideflater

Mattelærerens kommentar: merk at alle punkter er forent av en felles eiendom: på en eller annen måte deltar sideflater overalt (apotemer er deres elementer). Derfor kan veilederen tilby en mindre presis, men mer praktisk formulering for memorering: punktet P faller sammen med midten av den innskrevne sirkelen, bunnen av pyramiden, hvis det er lik informasjon om sideflatene. For å bevise det, er det nok å vise at alle apotemiske trekanter er like.

Punktet P faller sammen med sentrum av den omskrevne sirkelen nær bunnen av pyramiden, hvis en av de tre betingelsene er sanne:
1) Alle sidekanter er like
2) Alle sideribber er likt skråstilt mot basen
3) Alle sideribber er likt skråstilt til høyden

Laster inn...Laster inn...