Piramida corectă a proprietăților și a denumirilor. Figuri geometrice. Piramidă

• apotema- înălțimea feței laterale a piramidei regulate, care este desenată din vârful acesteia (în plus, apotema este lungimea perpendicularei, care este coborâtă de la mijlocul poligonului regulat la 1 din laturile sale);
• fetele laterale (ASB, BSC, CSD, DSA) - triunghiuri care converg la vârf;
• coaste laterale ( LA FEL DE , BS , Cs , DS ) - laturile comune ale fetelor laterale;
• vârful piramidei (t. S) - un punct care leaga marginile laterale si care nu se afla in planul bazei;
• înălţime ( ASA DE ) - un segment al perpendicularei, care este tras prin vârful piramidei până în planul bazei acesteia (capetele unui astfel de segment vor fi vârful piramidei și baza perpendicularei);
• secțiunea diagonală a piramidei- sectiune a piramidei, care trece prin varful si diagonala bazei;
• baza (ABCD) - un poligon căruia nu îi aparține vârful piramidei.

Proprietățile piramidei.

1. Când toate coastele laterale sunt de aceeași dimensiune, atunci:

• este ușor să descrii un cerc lângă baza piramidei, în timp ce vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei;
• în plus, este adevărat și invers, adică. când marginile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei sau când un cerc poate fi descris lângă baza piramidei și vârful piramidei este proiectat în centrul acestui cerc, atunci toate marginile laterale ale piramidei au aceeași mărime.

2. Când fețele laterale au un unghi de înclinare față de planul bazei de aceeași mărime, atunci:

• este ușor să descrii un cerc lângă baza piramidei, în timp ce vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• înălțimile fețelor laterale sunt de lungime egală;
• aria suprafeței laterale este ½ din produsul perimetrului bazei cu înălțimea feței laterale.

3. O sferă poate fi descrisă lângă o piramidă dacă la baza piramidei se află un poligon în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec prin punctele medii ale marginilor piramidei perpendicular pe acestea. Din această teoremă, concluzionăm că o sferă poate fi descrisă atât în ​​jurul oricărei piramide triunghiulare, cât și în jurul oricărei piramide regulate.

4. O sferă poate fi înscrisă în piramidă dacă planele bisectoare ale unghiurilor diedrice interioare ale piramidei se intersectează în primul punct (condiție necesară și suficientă). Acest punct va deveni centrul sferei.

Cea mai simplă piramidă.

După numărul de unghiuri, baza piramidei este împărțită în triunghiular, patruunghiular și așa mai departe.

Piramida va triunghiular, patruunghiular, și așa mai departe, când baza piramidei este un triunghi, un patrulater și așa mai departe. O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentaedru și așa mai departe.

O piramidă triunghiulară este o piramidă cu un triunghi la bază. Înălțimea acestei piramide este perpendiculară, care este coborâtă de la vârful piramidei până la baza acesteia.

Aflarea înălțimii piramidei

Cum să afli înălțimea unei piramide? Foarte simplu! Pentru a găsi înălțimea oricărei piramide triunghiulare, puteți utiliza formula de volum: V = (1/3) Sh, unde S este aria bazei, V este volumul piramidei, h este înălțimea acesteia. Deduceți formula înălțimii din această formulă: pentru a găsi înălțimea unei piramide triunghiulare, trebuie să înmulțiți volumul piramidei cu 3 și apoi să împărțiți valoarea rezultată la aria bazei, aceasta va fi: h = (3V) / S. Deoarece baza unei piramide triunghiulare este un triunghi, puteți utiliza formula pentru calcularea ariei unui triunghi. Dacă știm: aria triunghiului S și latura sa z, atunci după formula ariei S = (1/2) γh: h = (2S) / γ, unde h este înălțimea piramidei, γ este marginea triunghiului; unghiul dintre laturile triunghiului și cele două laturi în sine, apoi prin următoarea formulă: S = (1/2) γφsinQ, unde γ, φ sunt laturile triunghiului, găsim aria triunghiului. Valoarea sinusului unghiului Q trebuie găsită în tabelul sinusurilor care este disponibil pe Internet. Apoi, înlocuim valoarea ariei în formula înălțimii: h = (2S) / γ. Dacă sarcina necesită calcularea înălțimii unei piramide triunghiulare, atunci volumul piramidei este deja cunoscut.

Piramidă triunghiulară regulată

Aflați înălțimea unei piramide triunghiulare regulate, adică a unei piramide în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale, cunoscând valoarea muchiei γ. În acest caz, muchiile piramidei sunt laturile triunghiurilor echilaterale. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate va fi: h = γ√ (2/3), unde γ este marginea unui triunghi echilateral, h este înălțimea piramidei. Dacă aria bazei (S) este necunoscută și sunt date numai lungimea muchiei (γ) și volumul (V) poliedrului, atunci variabila necesară din formula din pasul anterior trebuie înlocuită prin echivalentul său, care se exprimă în termeni de lungime a muchiei. Aria unui triunghi (regulat) este egală cu 1/4 din produsul lungimii laturii acestui triunghi la pătrat cu rădăcina pătrată a lui 3. Înlocuiți această formulă în loc de aria bazei din formula anterioară și obținem următoarea formulă: h = 3V4 / (γ 2 √3) = 12V / (γ 2 √3). Volumul unui tetraedru poate fi exprimat în funcție de lungimea muchiei acestuia, apoi toate variabilele pot fi eliminate din formula de calcul a înălțimii figurii și poate fi lăsată doar latura feței triunghiulare a figurii. Volumul unei astfel de piramide poate fi calculat împărțind lungimea în cuburi a fațetei sale la rădăcina pătrată a lui 2 la 12 din produs.

Înlocuind această expresie în formula anterioară, obținem următoarea formulă de calcul: h = 12 (γ 3 √2 / 12) / (γ 2 √3) = (γ 3 √2) / (γ 2 √3) = γ √ (2 / 3) = (1/3) γ√6. De asemenea, o prismă triunghiulară obișnuită poate fi înscrisă într-o sferă, iar cunoscând doar raza sferei (R), puteți afla chiar înălțimea tetraedrului. Lungimea muchiei tetraedrului este: γ = 4R / √6. Înlocuiți variabila γ cu această expresie în formula anterioară și obțineți formula: h = (1/3) √6 (4R) / √6 = (4R) / 3. Aceeași formulă se poate obține cunoscând raza (R) a unui cerc înscris într-un tetraedru. În acest caz, lungimea marginii triunghiului va fi de 12 ori rădăcina pătrată a lui 6 și raza. Înlocuim această expresie în formula anterioară și avem: h = (1/3) γ√6 = (1/3) √6 (12R) / √6 = 4R.

Cum să găsiți înălțimea unei piramide patruunghiulare obișnuite

Pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți lungimea înălțimii piramidei, trebuie să știți, o sută de astfel de piramide obișnuite. O piramidă pătraunghiulară este o piramidă cu un patrulater la bază. Dacă în condițiile problemei avem: volumul (V) și aria bazei (S) a piramidei, atunci formula pentru calcularea înălțimii poliedrului (h) va fi următoarea - împărțiți volum înmulțit cu 3 cu aria S: h = (3V) / S. Cu o bază pătrată a piramidei cu: dat volumul (V) și lungimea laturii γ, se înlocuiește aria (S) din formula anterioară cu pătratul lungimii laturii: S = γ 2; H = 3V / y 2. Înălțimea piramidei regulate h = SO trece chiar prin centrul cercului, care este descris lângă bază. Deoarece baza acestei piramide este un pătrat, punctul O este intersecția diagonalelor AD și BC. Avem: OC = (1/2) BC = (1/2) AB√6. În plus, găsim într-un triunghi dreptunghic SOC (după teorema lui Pitagora): SO = √ (SC 2 -OC 2). Acum știi cum să găsești înălțimea piramidei corecte.

Elevii se confruntă cu conceptul de piramidă cu mult înainte de studiul geometriei. Acest lucru se datorează celebrelor mari minuni egiptene ale lumii. Prin urmare, atunci când încep studiul acestui minunat poliedru, majoritatea studenților deja își imaginează clar. Toate reperele menționate mai sus au forma corectă. Ce s-a întâmplat piramida corecta, și ce proprietăți are și vor fi discutate în continuare.

In contact cu

Definiție

Există multe definiții ale unei piramide. Din cele mai vechi timpuri, s-a bucurat de o mare popularitate.

De exemplu, Euclid a definit-o ca o figură corporală, formată din planuri care, pornind de la unul, converg într-un anumit punct.

Heron a oferit o formulare mai precisă. El a insistat că este o figură care are o bază și plane sub formă de triunghiuri, convergând la un moment dat.

Pe baza interpretării moderne, piramida este prezentată ca un poliedru spațial, format dintr-un anumit k-gon și k figuri plate de formă triunghiulară, având un punct comun.

Să ne dăm seama mai detaliat, din ce elemente constă:

• K-gonul este considerat baza figurii;
• Figurile cu 3 fețe sunt laturile părții laterale;
• partea superioară, din care provin elementele laterale, se numește vârf;
• toate segmentele care leagă un vârf se numesc muchii;
• dacă o linie dreaptă este coborâtă de sus în planul figurii la un unghi de 90 de grade, atunci partea ei, închisă în spațiul interior, este înălțimea piramidei;
• în orice element lateral, o perpendiculară poate fi trasă pe latura poliedrului nostru, numită apotema.

Numărul de muchii este calculat prin formula 2 * k, unde k este numărul de laturi ale unui k-gon. Câte fețe ale unui poliedru, cum ar fi o piramidă, pot fi determinate prin expresia k + 1.

Important! O piramidă de formă regulată este o figură stereometrică, al cărei plan de bază este un k-gon cu laturile egale.

Proprietăți de bază

Piramida corectă are multe proprietăți, care sunt unice pentru ea. Să le enumerăm:

1. Baza este o figură de formă regulată.
2. Marginile piramidei care delimitau elementele laterale au valori numerice egale.
3. Elementele laterale sunt triunghiuri isoscele.
4. Baza înălțimii figurii se încadrează în centrul poligonului, în timp ce în același timp este punctul central al celui înscris și descris.
5. Toate nervurile laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi.
6. Toate suprafețele laterale au același unghi de înclinare față de bază.

Toate aceste proprietăți fac mult mai ușoară efectuarea calculelor membrelor. Pe baza proprietăților de mai sus, atragem atenția asupra doua semne:

1. În cazul în care poligonul se potrivește într-un cerc, fețele laterale vor avea unghiuri egale cu baza.
2. Când descrieți un cerc în jurul unui poligon, toate marginile piramidei care ies din vârf vor avea aceeași lungime și unghiuri egale cu baza.

Se bazează pe un pătrat

Piramidă patruunghiulară obișnuită - un poliedru bazat pe un pătrat.

Are patru fețe laterale, care au aspect isoscel.

Pe un plan, este reprezentat un pătrat, dar se bazează pe toate proprietățile unui patrulater regulat.

De exemplu, dacă trebuie să conectați latura unui pătrat cu diagonala sa, atunci utilizați următoarea formulă: diagonala este egală cu produsul dintre latura pătratului și rădăcina pătrată a două.

Se bazează pe un triunghi regulat

O piramidă triunghiulară regulată este un poliedru cu un 3-gon regulat la bază.

Dacă baza este un triunghi regulat, iar marginile laterale sunt egale cu marginile bazei, atunci o astfel de figură numit tetraedru.

Toate fețele unui tetraedru sunt 3-goane echilaterale. În acest caz, trebuie să cunoașteți câteva puncte și să nu pierdeți timpul cu ele atunci când calculați:

• unghiul de înclinare al nervurilor față de orice bază este de 60 de grade;
• dimensiunea tuturor marginilor interioare este, de asemenea, de 60 de grade;
• orice fațetă poate acționa ca bază;
• desenate în interiorul figurii sunt elemente egale.

Secțiuni ale unui poliedru

În orice poliedru, există mai multe tipuri de sectiune avion. Adesea, la cursul de geometrie a școlii, se lucrează două:

• axial;
• pe bază paralelă.

O secțiune axială se obține atunci când un plan poliedric intersectează un vârf, muchii laterale și o axă. În acest caz, axa este înălțimea desenată de sus. Planul de tăiere este limitat de liniile de intersecție cu toate fețele, rezultând un triunghi.

Atenţie!Într-o piramidă obișnuită, secțiunea axială este un triunghi isoscel.

Dacă planul de tăiere este paralel cu baza, atunci rezultatul este a doua opțiune. În acest caz, avem o figură în secțiune transversală similară bazei.

De exemplu, dacă la bază există un pătrat, atunci secțiunea paralelă cu baza va fi și un pătrat, doar de dimensiuni mai mici.

La rezolvarea problemelor în această condiție, se folosesc semne și proprietăți ale asemănării figurilor, bazat pe teorema lui Thales... În primul rând, este necesar să se determine coeficientul de similitudine.

Dacă planul este paralel cu baza și taie partea superioară a poliedrului, atunci se obține o piramidă trunchiată obișnuită în partea inferioară. Apoi se spune că tulpinile poliedrului trunchiat sunt poligoane similare. În acest caz, fețele laterale sunt trapeze isoscele. Secțiunea axială este, de asemenea, isoscelă.

Pentru a determina înălțimea poliedrului trunchiat, este necesar să se tragă înălțimea în secțiunea axială, adică în trapez.

Zone de suprafață

Principalele probleme geometrice care trebuie rezolvate la cursul de geometrie școlară sunt aflarea suprafetelor si volumului piramidei.

Există două tipuri de valori ale suprafeței:

• zona elementelor laterale;
• suprafața întregii suprafețe.

Din numele în sine este clar despre ce este vorba. Suprafața laterală include doar elemente laterale. De aici rezultă că, pentru a-l găsi, trebuie doar să adunați zonele planurilor laterale, adică zonele de 3-gonuri isoscele. Să încercăm să derivăm formula pentru aria elementelor laterale:

1. Aria unui 3-gon isoscel este Str = 1/2 (aL), unde a este latura bazei, L este apotema.
2. Numărul de planuri laterale depinde de tipul k-lea gon de la bază. De exemplu, o piramidă patruunghiulară obișnuită are patru planuri laterale. Prin urmare, este necesar să se adauge ariile celor patru figuri S latura = 1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) = 1/2 * 4а * L. Expresia este simplificată în acest fel deoarece valoarea 4a = Rosn, unde Rosn este perimetrul bazei. Iar expresia 1/2 * Rosn este semiperimetrul său.
3. Deci, concluzionăm că aria elementelor laterale ale unei piramide obișnuite este egală cu produsul semiperimetrului bazei prin apotema: Sbok = Rosn * L.

Suprafața totală a piramidei este formată din suma ariilor planurilor laterale și ale bazei: Sp.p. = Sside + Sbase.

În ceea ce privește aria bazei, aici formula este utilizată în funcție de tipul poligonului.

Volumul unei piramide obișnuite este egal cu produsul ariei planului de bază cu înălțimea, împărțit la trei: V = 1/3 * Sbase * H, unde H este înălțimea poliedrului.

Ce este o piramidă corectă în geometrie

Proprietățile unei piramide patruunghiulare regulate

Definiție

Piramidă Este un poliedru compus dintr-un poligon \ (A_1A_2 ... A_n \) și \ (n \) triunghiuri cu un vârf comun \ (P \) (nu se află în planul poligonului) și laturile opuse care coincid cu laturile lui poligonul.
Denumire: \ (PA_1A_2 ... A_n \).
Exemplu: piramidă pentagonală \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \).

Triunghiuri \ (PA_1A_2, \ PA_2A_3 \) etc. sunt numite fetele laterale piramide, segmente \ (PA_1, PA_2 \), etc. - coaste laterale, poligon \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - bază, punctul \ (P \) - apex.

Înălţime piramidele sunt o perpendiculară coborâtă de la vârful piramidei până la planul bazei.

O piramidă cu un triunghi la bază se numește tetraedru.

Piramida se numește corect dacă baza sa este un poligon regulat și este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

\ ((a) \) marginile laterale ale piramidei sunt egale;

\ ((b) \) înălțimea piramidei trece prin centrul cercului descris lângă bază;

\ ((c) \) nervurile laterale sunt înclinate pe planul bazei la același unghi.

\ ((d) \) fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi.

Tetraedru regulat- aceasta este o piramidă triunghiulară, toate fețele fiind triunghiuri echilaterale egale.

Teorema

Condițiile \ ((a), (b), (c), (d) \) sunt echivalente.

Dovada

Să desenăm înălțimea piramidei \ (PH \). Fie \ (\ alpha \) planul bazei piramidei.

1) Să demonstrăm că \ ((a) \) implică \ ((b) \). Fie \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

pentru că \ (PH \ perp \ alpha \), atunci \ (PH \) este perpendicular pe orice dreptă situată în acest plan, deci triunghiurile sunt dreptunghiulare. Prin urmare, aceste triunghiuri sunt egale în cateta comună \ (PH \) și ipotenuze \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \). Prin urmare, \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH \). Aceasta înseamnă că punctele \ (A_1, A_2, ..., A_n \) sunt la aceeași distanță de punctul \ (H \), prin urmare, ele se află pe același cerc cu raza \ (A_1H \). Prin definiție, acest cerc este circumscris poligonului \ (A_1A_2 ... A_n \).

2) Să demonstrăm că \ ((b) \) implică \ ((c) \).

\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \) dreptunghiulară și egală în două picioare. Prin urmare, unghiurile lor sunt de asemenea egale, prin urmare, \ (\ unghi PA_1H = \ unghi PA_2H = ... = \ unghi PA_nH \).

3) Să demonstrăm că \ ((c) \) implică \ ((a) \).

Similar cu primul punct, triunghiuri \ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \) dreptunghiular și de-a lungul piciorului și unghi ascuțit. Aceasta înseamnă că și ipotenuzele lor sunt egale, adică \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

4) Să demonstrăm că \ ((b) \) implică \ ((d) \).

pentru că într-un poligon obișnuit, centrele cercului circumferitor și ale cercului cerc coincid (în general, acest punct se numește centrul poligonului regulat), atunci \ (H \) este centrul cercului. Să desenăm perpendiculare din punctul \ (H \) către laturile bazei: \ (HK_1, HK_2 \), etc. Acestea sunt razele cercului înscris (prin definiție). Apoi, conform TTP (\ (PH \) - perpendicular pe plan, \ (HK_1, HK_2 \), etc. - proiecții perpendiculare pe laturi) oblic \ (PK_1, PK_2 \), etc. perpendicular pe laturile \ (A_1A_2, A_2A_3 \), etc. respectiv. Prin urmare, prin definiție \ (\ unghi PK_1H, \ unghi PK_2H \) egal cu unghiurile dintre fețele laterale și bază. pentru că triunghiurile \ (PK_1H, PK_2H, ... \) sunt egale (ca dreptunghiulare în două catete), apoi unghiurile \ (\ unghi PK_1H, \ unghi PK_2H, ... \) sunt egale.

5) Să demonstrăm că \ ((d) \) implică \ ((b) \).

În mod similar cu al patrulea punct, triunghiurile \ (PK_1H, PK_2H, ... \) sunt egale (ca dreptunghiulare în picior și unghi ascuțit), deci segmentele \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) sunt egale. Prin urmare, prin definiție, \ (H \) este centrul unui cerc înscris la bază. Dar de atunci pentru poligoane regulate, centrele cercului și cercului împrejur coincid, atunci \ (H \) este centrul cercului împrejur. Thtd.

Consecinţă

Fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele egale.

Definiție

Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârful ei se numește apotema.
Apotemele tuturor fețelor laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele și sunt, de asemenea, mediane și bisectoare.

Notite importante

1. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate cade în punctul de intersecție a înălțimilor (sau bisectoarelor, sau medianelor) bazei (baza este un triunghi regulat).

2. Înălțimea unei piramide patruunghiulare regulate scade în punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un pătrat).

3. Înălțimea unei piramide hexagonale regulate scade în punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un hexagon regulat).

4. Înălțimea piramidei este perpendiculară pe orice linie dreaptă aflată la bază.

Definiție

Piramida se numește dreptunghiular dacă una dintre marginile sale laterale este perpendiculară pe planul bazei.

Notite importante

1. Într-o piramidă dreptunghiulară, muchia perpendiculară pe bază este înălțimea piramidei. Adică \ (SR \) este înălțimea.

2. Pentru că \ (SR \) este perpendiculară pe orice dreaptă de la bază, atunci \ (\ triunghi SRM, \ triunghi SRP \)- triunghiuri dreptunghiulare.

3. Triunghiuri \ (\ triunghi SRN, \ triunghi SRK \)- tot dreptunghiular.
Adică, orice triunghi format din această muchie și diagonala care se extinde de la vârful acestei muchii aflată la bază va fi dreptunghiulară.

\ [(\ Mare (\ text (Volumul și suprafața piramidei))) \]

Teorema

Volumul piramidei este egal cu o treime din produsul ariei bazei cu înălțimea piramidei: \

Consecințe

Fie \ (a \) latura bazei, \ (h \) înălțimea piramidei.

1. Volumul unei piramide triunghiulare regulate este \ (V _ (\ text (pir triunghiular drept)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 2h \),

2. Volumul unei piramide patruunghiulare regulate este \ (V _ (\ text (dreapta patru pyr.)) = \ Dfrac13a ^ 2h \).

3. Volumul unei piramide hexagonale regulate este \ (V _ (\ text (hex dreapta)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) a ^ 2h \).

4. Volumul unui tetraedru regulat este \ (V _ (\ text (dreapta tet.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 3 \).

Teorema

Suprafața laterală a unei piramide obișnuite este egală cu jumătatea produsului din perimetrul bazei de către apotem.

\ [(\ Mare (\ text (piramida trunchiată))) \]

Definiție

Luați în considerare o piramidă arbitrară \ (PA_1A_2A_3 ... A_n \). Să desenăm un plan paralel cu baza piramidei printr-un punct situat pe marginea laterală a piramidei. Acest plan va împărți piramida în două poliedre, dintre care unul este o piramidă (\ (PB_1B_2 ... B_n \)), iar celălalt se numește trunchi de piramidă(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \)).

Piramida trunchiată are două baze - poligoane \ (A_1A_2 ... A_n \) și \ (B_1B_2 ... B_n \), care sunt similare între ele.

Înălțimea trunchiului piramidei este o perpendiculară trasată dintr-un punct de pe baza superioară până în planul bazei inferioare.

Notite importante

1. Toate fețele laterale ale piramidei trunchiate sunt trapeze.

2. Segmentul care leagă centrele bazelor unei piramide trunchiate obișnuite (adică o piramidă obținută prin tăierea unei piramide regulate) este înălțimea.

Aici puteți găsi informații de bază despre piramide și formule și concepte aferente. Toate sunt studiate cu un tutore de matematică în pregătirea examenului.

Luați în considerare un plan, un poligon culcat în ea și un punct S care nu se află în el. Conectați S la toate vârfurile poligonului. Poliedrul rezultat se numește piramidă. Segmentele de linie se numesc nervuri laterale. Poligonul se numește bază, iar punctul S este numit vârful piramidei. În funcție de numărul n, piramida se numește triunghiulară (n = 3), pătrangulară (n = 4), piramidă (n = 5) și așa mai departe. Un nume alternativ pentru piramida triunghiulară este tetraedru... Înălțimea piramidei se numește perpendiculară, coborâtă din vârful ei până în planul bazei.

O piramidă se numește corectă dacă un poligon regulat, iar baza înălțimii piramidei (baza perpendicularei) este centrul acesteia.

Comentariul tutorelui:
Nu confundați conceptul de „piramidă obișnuită” și „tetraedru corect”. Într-o piramidă obișnuită, marginile laterale nu sunt neapărat egale cu marginile bazei, dar într-un tetraedru obișnuit, toate cele 6 margini ale marginilor sunt egale. Aceasta este definiția lui. Este ușor de demonstrat că egalitatea implică coincidența centrului P al poligonului cu baza înălțimii, deci un tetraedru regulat este o piramidă regulată.

Ce este Apothema?
Apotema unei piramide este înălțimea feței sale laterale. Dacă piramida este corectă, atunci toate apotemele ei sunt egale. Reversul nu este adevărat.

Tutor la matematică despre terminologia lui: lucrul cu piramide este construit în proporție de 80% prin două tipuri de triunghiuri:
1) Conținând apotema SK și înălțimea SP
2) Conținând o margine laterală SA și proiecția ei PA

Pentru a simplifica referințele la aceste triunghiuri, este mai convenabil ca un profesor de matematică să îl numească pe primul dintre ele apotemic, și al doilea costal... Din păcate, această terminologie nu o veți găsi în niciunul dintre manuale, iar profesorul trebuie să o introducă unilateral.

Formula pentru volumul unei piramide:
1) , unde este aria bazei piramidei și este înălțimea piramidei
2), unde este raza sferei înscrise și este suprafața totală a piramidei.
3) , unde MN este distanța oricăror două muchii care se încrucișează și este aria paralelogramului format din punctele de mijloc ale celor patru muchii rămase.

Proprietatea bazei înălțimii piramidei:

Punctul P (vezi figura) coincide cu centrul cercului înscris la baza piramidei dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
1) Toate apotemele sunt egale
2) Toate fețele laterale sunt înclinate egal spre bază
3) Toate apotemele sunt înclinate în mod egal față de înălțimea piramidei
4) Înălțimea piramidei este înclinată în mod egal față de toate fețele laterale

Comentariu profesor de matematică: Rețineți că toate punctele au o proprietate comună: într-un fel sau altul, fețele laterale sunt implicate peste tot (apotemele sunt elementele lor). Prin urmare, tutorele poate oferi o formulare mai puțin precisă, dar mai convenabilă pentru memorare: punctul P coincide cu centrul cercului înscris la baza piramidei, dacă există informații egale despre fețele sale laterale. Pentru a dovedi, este suficient să arătăm că toate triunghiurile apotemice sunt egale.

Punctul P coincide cu centrul unui cerc descris lângă baza piramidei, dacă una dintre cele trei condiții este adevărată:
1) Toate marginile laterale sunt egale
2) Toate nervurile laterale sunt înclinate egal spre bază
3) Toate nervurile laterale sunt înclinate egal la înălțime