Cel mai mic multiplu comun a două numere. Divizori și multipli

Luați în considerare trei moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun.

Găsirea prin factoring

Prima modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin factorizarea acestor numere în factori primi.

Să presupunem că trebuie să găsim LCM a numerelor: 99, 30 și 28. Pentru a face acest lucru, descompunem fiecare dintre aceste numere în factori primi:

Pentru ca numărul dorit să fie divizibil cu 99, 30 și 28, este necesar și suficient ca toți factorii primi ai acestor divizori să intre în el. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm toți factorii primi ai acestor numere la cea mai mare putere posibilă și să-i înmulțim împreună:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Deci LCM (99, 30, 28) = 13 860. Niciun alt număr mai mic decât 13 860 nu este divizibil cu 99, 30 sau 28.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al acestor numere, trebuie să le descompuneți în factori primi, apoi să luați fiecare factor prim cu cel mai mare exponent pe care îl întâlnește și să înmulțiți acești factori împreună.

Deoarece numerele coprime nu au factori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere. De exemplu, trei numere: 20, 49 și 33 sunt prime reciproc. De aceea

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Același lucru ar trebui făcut atunci când se caută cel mai mic multiplu comun al numerelor prime diferite. De exemplu, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Găsirea prin selecție

A doua modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin potrivire.

Exemplul 1. Când cel mai mare dintre numerele date este împărțit în întregime la celelalte numere date, LCM-ul acestor numere este egal cu cel mai mare dintre ele. De exemplu, având în vedere patru numere: 60, 30, 10 și 6. Fiecare dintre ele este divizibil cu 60, prin urmare:

LCM (60, 30, 10, 6) = 60

În caz contrar, se utilizează următoarea procedură pentru a găsi cel mai mic multiplu comun:

1. Determinați cel mai mare număr dintre numerele date.
2. În continuare, găsim numere care sunt multipli ai celui mai mare număr, înmulțindu-l cu numere naturale în ordine crescătoare și verificând dacă numerele date rămase sunt divizibile cu produsul rezultat.

Exemplul 2. Având în vedere trei numere 24, 3 și 18. Determinați cel mai mare dintre ele - acesta este numărul 24. Apoi, găsiți numere care sunt multipli ai lui 24, verificând dacă fiecare dintre ele este divizibil cu 18 și 3:

24 1 = 24 - divizibil cu 3, dar nu divizibil cu 18.

24 2 = 48 - divizibil cu 3, dar nu divizibil cu 18.

24 3 = 72 - divizibil cu 3 și 18.

Deci LCM (24, 3, 18) = 72.

Găsirea prin găsirea secvenţială a LCM

A treia modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin găsirea secvenţială a LCM.

LCM a două numere date este egal cu produsul acestor numere împărțit la cel mai mare divizor comun al lor.

Exemplul 1. Să găsim LCM a două numere date: 12 și 8. Să se determine cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (12, 8) = 4. Înmulțiți aceste numere:

Împărțim munca în GCD-ul lor:

Astfel, LCM (12, 8) = 24.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, utilizați următoarea procedură:

1. Mai întâi, găsiți LCM a oricăror două dintre numerele date.
2. Apoi, LCM al celui mai mic multiplu comun găsit și al treilea număr dat.
3. Apoi, LCM-ul cel mai mic multiplu comun rezultat și al patrulea număr etc.
4. Astfel, căutarea LCM continuă atâta timp cât există numere.

Exemplul 2. Să găsim LCM-ul celor trei numere date: 12, 8 și 9. LCM-ul numerelor 12 și 8 l-am găsit deja în exemplul anterior (acesta este numărul 24). Rămâne să găsim cel mai mic multiplu comun al lui 24 și al treilea număr dat - 9. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (24, 9) = 3. Înmulțiți LCM cu numărul 9:

Împărțim munca în GCD-ul lor:

Deci LCM (12, 8, 9) = 72.

Un multiplu este un număr care este divizibil egal cu un număr dat. Cel mai mic multiplu comun (LCM) al unui grup de numere este cel mai mic număr care este divizibil egal cu fiecare număr din grup. Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să găsiți factorii primi ai numerelor date. LCM poate fi, de asemenea, calculat folosind o serie de alte metode care sunt aplicabile la grupuri de două sau mai multe numere.

Pași

O serie de multipli

Uită-te la numerele date. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere, fiecare dintre ele mai mică de 10. Dacă numerele sunt mari, utilizați o metodă diferită.

• De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al lui 5 și 8. Acestea sunt numere mici, așa că puteți utiliza această metodă.

1. Un multiplu este un număr care este divizibil egal cu un număr dat. Numerele multiple pot fi găsite în tabelul înmulțirii.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 5 sunt: ​​5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Notează o serie de numere care sunt multipli ai primului număr. Faceți acest lucru sub multiplii primului număr pentru a compara două serii de numere.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 8 sunt: ​​8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 și 64.

3. Găsiți cel mai mic număr care apare în ambele rânduri de multipli. Poate fi necesar să scrieți serii lungi de multipli pentru a găsi totalul. Cel mai mic număr care apare în ambele rânduri de multipli este cel mai mic multiplu comun.

   • De exemplu, cel mai mic număr care apare într-o serie de multipli ai lui 5 și 8 este 40. Prin urmare, 40 este cel mai mic multiplu comun al lui 5 și 8.

   factorizare primara

   1. Uită-te la numerele date. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere, fiecare dintre ele mai mare decât 10. Dacă numerele date sunt mai mici, utilizați o metodă diferită.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun de 20 și 84. Fiecare dintre numere este mai mare decât 10, așa că puteți utiliza această metodă.

   2. Factorizați primul număr. Adică, trebuie să găsiți astfel de numere prime, atunci când înmulțiți care obțineți numărul dat. Odată ce ați găsit factorii primi, scrieți-i ca egalități.

      • De exemplu, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 10 = 20)și 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ ori (\ mathbf (5)) = 10)... Astfel, factorii primi ai lui 20 sunt 2, 2 și 5. Notează-i ca expresie:.

   3. Factorizați al doilea număr. Faceți-o în același mod în care ați factorizat primul număr, adică găsiți numerele prime care, atunci când sunt înmulțite, vor da numărul dat.

      • De exemplu, 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7)) \ times 6 = 42)și 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ ori (\ mathbf (2)) = 6)... Astfel, factorii primi ai lui 84 ​​sunt 2, 7, 3 și 2. Notează-i ca expresie:.

   4. Notați factorii comuni ambelor numere. Notați acești factori ca operație de înmulțire. Pe măsură ce notați fiecare factor, tăiați-l în ambele expresii (expresii care descriu factorizările prime).

      • De exemplu, factorul comun pentru ambele numere este 2, așa că scrieți 2 × (\ stil de afișare de 2 \ ori)și bifați 2 în ambele expresii.
      • Comun ambelor numere este un alt factor de 2, așa că scrieți 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ times 2)și tăiați al doilea 2 în ambele expresii.

   5. Adăugați factorii rămași la operația de înmulțire. Aceștia sunt factori care nu sunt tăiați în ambele expresii, adică factori care nu sunt comuni ambelor numere.

      • De exemplu, în expresia 20 = 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 20 = 2 \ times 2 \ times 5) ambele 2 (2) sunt tăiate deoarece sunt factori comuni. Factorul 5 nu este tăiat, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5)
      • În expresie 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ times 7 \ times 3 \ times 2) ambele 2 sunt de asemenea tăiate (2). Factorii 7 și 3 nu sunt tăiați, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3).

   6. Calculați cel mai mic multiplu comun. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numerele din operația de înmulțire înregistrată.

      • De exemplu, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3 = 420)... Deci cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 84 este 420.

   Găsirea divizorilor comuni

   1. Desenați grila ca pentru un joc tic-tac-toe. O astfel de grilă este formată din două linii paralele care se intersectează (în unghi drept) cu celelalte două linii paralele. Acest lucru creează trei rânduri și trei coloane (grila este foarte asemănătoare cu semnul #). Scrieți primul număr în prima linie și a doua coloană. Scrieți al doilea număr pe prima linie și pe a treia coloană.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun de 18 și 30. Scrieți 18 în primul rând și a doua coloană și scrieți 30 în primul rând și a treia coloană.

   2. Găsiți divizorul comun ambelor numere. Notează-l pe primul rând și pe prima coloană. Este mai bine să cauți factori primi, dar aceasta nu este o cerință.

      • De exemplu, 18 și 30 sunt numere pare, deci divizorul lor comun este 2. Așa că scrieți 2 în primul rând și prima coloană.

   3. Împărțiți fiecare număr la primul divizor. Scrieți fiecare coeficient sub numărul corespunzător. Coeficientul este rezultatul împărțirii a două numere.

      • De exemplu, 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9) deci scrie 9 sub 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15) deci scrie 15 sub 30.

   4. Aflați divizorul comun ambilor câte. Dacă nu există un astfel de divizor, săriți peste următorii doi pași. În caz contrar, scrieți divizorul în al doilea rând și în prima coloană.

      • De exemplu, 9 și 15 sunt divizibile cu 3, așa că scrieți 3 în al doilea rând și în prima coloană.

   5. Împărțiți fiecare coeficient la al doilea factor. Scrieți fiecare rezultat al împărțirii sub coeficientul corespunzător.

      • De exemplu, 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3) deci scrie 3 sub 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5) deci scrie 5 sub 15.

   6. Dacă este necesar, completați grila cu celule suplimentare. Repetați pașii descriși până când coeficientii au un divizor comun.

   7. Încercuiește numerele din prima coloană și ultimul rând al grilei. Apoi notează numerele selectate ca operație de înmulțire.

      • De exemplu, numerele 2 și 3 sunt în prima coloană, iar numerele 3 și 5 sunt în ultimul rând, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5).

   8. Aflați rezultatul înmulțirii numerelor. Acesta va calcula cel mai mic multiplu comun al celor două numere date.

      • De exemplu, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5 = 90)... Deci cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 30 este 90.

   Algoritmul lui Euclid

   1. Amintiți-vă terminologia asociată cu operația de divizare. Dividendul este numărul care este împărțit. Împărțitorul este numărul împărțit la. Coeficientul este rezultatul împărțirii a două numere. Restul este numărul rămas când două numere sunt împărțite.

      • De exemplu, în expresia 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2) ost. 3:
        15 este un dividend
        6 este divizorul
        2 este coeficientul
        3 este restul.

Cel mai mare divizor comun

Definiția 2

Dacă un număr natural a este divizibil cu un număr natural $ b $, atunci $ b $ se numește divizor al lui $ a $, iar $ a $ este numit multiplu al lui $ b $.

Fie $ a $ și $ b $ numere naturale. Numărul $ c $ se numește divizor comun atât pentru $ a $ cât și pentru $ b $.

Setul de divizori comuni pentru $ a $ și $ b $ este finit, deoarece niciunul dintre acești divizori nu poate fi mai mare decât $ a $. Aceasta înseamnă că printre acești divizori există cel mai mare, care se numește cel mai mare divizor comun al numerelor $ a $ și $ b $, iar notația este folosită pentru a-l desemna:

$ Gcd \ (a; b) \ sau \ D \ (a; b) $

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al două numere, trebuie să:

1. Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare factor comun dorit.

Exemplul 1

Găsiți mcd-ul numerelor $ 121 $ și $ 132. $

242 $ = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

$ 132 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Alegeți numerele care sunt incluse în descompunerea acestor numere

242 $ = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

$ 132 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare factor comun dorit.

$ Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 $

Exemplul 2

Găsiți GCD de 63 $ și 81 $ monomii.

Vom găsi conform algoritmului prezentat. Pentru aceasta:

Descompune numerele în factori primi

$ 63 = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

$ 81 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

Alegem numere care sunt incluse în descompunerea acestor numere

$ 63 = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

$ 81 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

Să găsim produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare factor comun dorit.

$ Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

Puteți găsi GCD-ul a două numere într-un alt mod, folosind setul de divizori de numere.

Exemplul 3

Găsiți GCD-ul numerelor $ 48 $ și $ 60 $.

Soluţie:

Aflați mulțimea divizorilor numărului $ 48 $: $ \ stânga \ ((\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \ dreapta \) $

Acum găsim mulțimea de divizori ai numărului $ 60 $: $ \ \ stânga \ ((\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \ right \ ) $

Să găsim intersecția acestor mulțimi: $ \ stânga \ ((\ rm 1,2,3,4,6,12) \ dreapta \) $ - această mulțime va determina mulțimea divizorilor comuni ai numerelor $ 48 $ și 60 USD. Cel mai mare element din acest set va fi numărul $ 12 $. Deci, cel mai mare divizor comun dintre 48 USD și 60 USD va fi 12 USD.

Definiţia LCM

Definiția 3

Multiplu comun al numerelor naturale$ a $ și $ b $ este un număr natural care este un multiplu al ambelor $ a $ și $ b $.

Multiplii comuni ai numerelor sunt numere care pot fi împărțite la original fără rest. De exemplu, pentru numerele $ 25 $ și $ 50 $, multiplii comuni vor fi numerele $ 50.100.150.200 etc.

Cel mai mic multiplu comun va fi numit cel mai mic multiplu comun și notat cu LCM $ (a; b) $ sau K $ (a; b). $

Pentru a găsi LCM a două numere, aveți nevoie de:

1. Factori numere
2. Scrieți factorii care fac parte din primul număr și adăugați la ei factorii care fac parte din al doilea și nu intră în primul

Exemplul 4

Găsiți LCM al numerelor $ 99 $ și $ 77 $.

Vom găsi conform algoritmului prezentat. Pentru aceasta

Factori numere

99 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Scrieți factorii incluși în primul

adaugă la ei factorii care fac parte din al doilea și nu intră în primul

Găsiți produsul numerelor găsite la Pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun dorit

$ LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 $

Compilarea listelor de divizori de numere necesită adesea foarte mult timp. Există o modalitate de a găsi GCD numită algoritmul lui Euclid.

Afirmațiile pe care se bazează algoritmul euclidian:

Dacă $ a $ și $ b $ sunt numere naturale și $ a \ vdots b $, atunci $ D (a; b) = b $

Dacă $ a $ și $ b $ sunt numere naturale astfel încât $ b

Folosind $ D (a; b) = D (a-b; b) $, putem micșora succesiv numerele considerate până ajungem la o astfel de pereche de numere încât unul dintre ele să fie divizibil cu celălalt. Atunci cel mai mic dintre aceste numere va fi cel mai mare divizor comun dorit pentru numerele $ a $ și $ b $.

Proprietățile GCD și LCM

1. Orice multiplu comun al lui $ a $ și $ b $ este divizibil cu K $ (a; b) $
2. Dacă $ a \ vdots b $, atunci K $ (a; b) = a $

Dacă K $ (a; b) = k $ și $ m $ este un număr natural, atunci K $ (am; bm) = km $

Dacă $ d $ este un divizor comun pentru $ a $ și $ b $, atunci K ($ \ frac (a) (d); \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d); ) $

Dacă $ a \ vdots c $ și $ b \ vdots c $, atunci $ \ frac (ab) (c) $ este un multiplu comun al $ a $ și $ b $

Pentru orice numere naturale $ a $ și $ b $, egalitatea

$ D (a; b) \ cdot К (a; b) = ab $

Orice divizor comun al numerelor $ a $ și $ b $ este un divizor al numărului $ D (a; b) $

Expresiile și problemele matematice necesită multe cunoștințe suplimentare. NOC este unul dintre principalele, mai ales des folosit în Subiectul este studiat în liceu, deși nu este deosebit de greu de înțeles materialul, o persoană familiarizată cu grade și cu tabla înmulțirii nu va fi dificil să selecteze necesarul numere și găsiți rezultatul.

Definiție

Multiplu comun este un număr care poate fi împărțit complet în două numere în același timp (a și b). Cel mai adesea, acest număr se obține prin înmulțirea numerelor originale a și b. Numărul trebuie să fie divizibil cu ambele numere simultan, fără abateri.

NOC este un nume scurt adoptat pentru desemnare, asamblat din primele litere.

Modalități de a obține numărul

Pentru a găsi LCM, metoda de înmulțire a numerelor nu este întotdeauna potrivită; este mult mai potrivită pentru numere simple cu o singură cifră sau cu două cifre. se obișnuiește să se împartă în factori, cu cât numărul este mai mare, cu atât vor fi mai mulți factori.

Exemplul nr. 1

Pentru cel mai simplu exemplu, școlile folosesc de obicei numere simple, simple sau din două cifre. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea problemă, să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 7 și 3, soluția este destul de simplă, doar înmulțiți-le. Ca rezultat, există un număr 21, pur și simplu nu există un număr mai mic.

Exemplul nr. 2

A doua variantă a sarcinii este mult mai dificilă. Având în vedere numerele 300 și 1260, găsirea LCM este obligatorie. Pentru a rezolva sarcina, se iau următoarele acțiuni:

Descompunerea primului și celui de-al doilea număr în cei mai simpli factori. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prima etapă a fost finalizată.

A doua etapă implică lucrul cu datele deja primite. Fiecare dintre numerele obținute trebuie să participe la calculul rezultatului final. Pentru fiecare factor, cel mai mare număr de apariții este luat din numerele originale. LCM este numărul total, deci factorii din numere trebuie repeți în el la unul, chiar și cei care sunt prezenți într-un singur exemplar. Ambele numere inițiale au în componența lor numerele 2, 3 și 5, în grade diferite, existând doar 7 într-un caz.

Pentru a calcula rezultatul final, trebuie să luați fiecare număr în cea mai mare dintre puterile prezentate în ecuație. Tot ce rămâne este să înmulți și să obții răspunsul, cu completarea corectă, sarcina se încadrează în doi pași fără explicații:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM = 6300.

Asta e toată problema, dacă încerci să calculezi numărul necesar prin înmulțire, atunci răspunsul cu siguranță nu va fi corect, deoarece 300 * 1260 = 378.000.

Examinare:

6300/300 = 21 - adevărat;

6300/1260 = 5 - corect.

Corectitudinea rezultatului obținut se determină prin verificare - împărțirea LCM la ambele numere inițiale, dacă numărul este un întreg în ambele cazuri, atunci răspunsul este corect.

Ce înseamnă LCM în matematică

După cum știți, în matematică nu există o singură funcție inutilă, aceasta nu face excepție. Cea mai obișnuită utilizare pentru acest număr este aducerea fracțiilor la un numitor comun. Ceea ce se studiază de obicei în clasele 5-6 de liceu. Este, de asemenea, un divizor comun pentru toți multiplii, dacă astfel de condiții sunt în problemă. O expresie similară poate găsi un multiplu nu numai a două numere, ci și la un număr mult mai mare - trei, cinci și așa mai departe. Cu cât mai multe numere - cu atât mai multe acțiuni în sarcină, dar complexitatea nu crește din aceasta.

De exemplu, având în vedere numerele 250, 600 și 1500, trebuie să găsiți LCM-ul lor total:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - acest exemplu descrie factorizarea în detaliu, fără anulare.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Pentru alcătuirea unei expresii se cere menționarea tuturor factorilor, în acest caz se dau 2, 5, 3, - pentru toate aceste numere se cere să se determine gradul maxim.

Atenție: toți multiplicatorii trebuie aduși la simplificare completă, dacă este posibil, extinzându-se la nivelul celor cu valoare unică.

Examinare:

1) 3000/250 = 12 - adevărat;

2) 3000/600 = 5 - adevărat;

3) 3000/1500 = 2 - adevărat.

Această metodă nu necesită trucuri sau abilități de geniu, totul este simplu și direct.

Altă cale

În matematică, mult este conectat, mult poate fi rezolvat în două sau mai multe moduri, același lucru este valabil și pentru găsirea celui mai mic multiplu comun, LCM. Următoarea metodă poate fi utilizată în cazul numerelor simple din două cifre și cu o singură cifră. Este alcătuit un tabel în care multiplicatorul este introdus pe verticală, multiplicatorul pe orizontală, iar produsul este indicat în celulele care se intersectează ale coloanei. Puteți reflecta tabelul prin intermediul unei linii, se ia un număr și rezultatele înmulțirii acestui număr cu numere întregi, de la 1 la infinit, sunt scrise pe rând, uneori sunt suficiente 3-5 puncte, al doilea și numărul următor sunt supus aceluiaşi proces de calcul. Totul se întâmplă până când este găsit multiplu comun.

Având în vedere numerele 30, 35, 42, trebuie să găsiți LCM care conectează toate numerele:

1) Multiplii lui 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 etc.

2) Multiplii lui 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 etc.

3) Multiplii lui 42: 84, 126, 168, 210, 252 etc.

Se observă că toate numerele sunt destul de diferite, singurul număr comun dintre ele este 210, deci va fi LCM. Printre procesele asociate cu acest calcul, există și cel mai mare divizor comun, care este calculat după principii similare și este adesea întâlnit în problemele învecinate. Diferența este mică, dar suficient de semnificativă, LCM presupune calculul unui număr care este împărțit la toate valorile inițiale date, iar GCD presupune calculul celei mai mari valori cu care sunt împărțite numerele originale.

Tema „Multiple” este studiată în clasa a V-a a unei școli generale. Scopul său este de a îmbunătăți abilitățile scrise și orale ale calculelor matematice. În această lecție, sunt introduse concepte noi - „multipli” și „divizori”, tehnica de a găsi divizori și multipli ai unui număr natural, se elaborează capacitatea de a găsi LCM în diferite moduri.

Acest subiect este foarte important. Cunoștințele despre aceasta pot fi aplicate atunci când rezolvați exemple cu fracții. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un numitor comun calculând cel mai mic multiplu comun (LCM).

Un multiplu al lui A este un întreg care este divizibil cu A fără rest.

Fiecare număr natural are un număr infinit de multipli ai acestuia. El însuși este considerat cel mai mic. Multiplu nu poate fi mai mic decât numărul în sine.

Trebuie să demonstrăm că 125 este un multiplu al lui 5. Pentru a face acest lucru, împărțiți primul număr la al doilea. Dacă 125 este divizibil cu 5 fără rest, atunci răspunsul este da.

Această metodă este aplicabilă pentru numere mici.

Există cazuri speciale când se calculează LCM.

1. Dacă trebuie să găsiți multiplu comun pentru 2 numere (de exemplu, 80 și 20), unde unul dintre ele (80) este împărțit fără rest la celălalt (20), atunci acest număr (80) este cel mai mic multiplu dintre aceste două numere.

LCM (80, 20) = 80.

2. Dacă doi nu au un divizor comun, atunci putem spune că LCM lor este produsul acestor două numere.

LCM (6, 7) = 42.

Să aruncăm o privire la ultimul exemplu. 6 și 7 față de 42 sunt divizori. Ele împart un multiplu fără un rest.

În acest exemplu, 6 și 7 sunt divizori perechi. Produsul lor este egal cu cel mai mare multiplu al numărului (42).

Un număr se numește prim dacă este divizibil numai cu el însuși sau cu 1 (3: 1 = 3; 3: 3 = 1). Restul se numesc compozit.

Într-un alt exemplu, trebuie să determinați dacă 9 este un divizor al lui 42.

42: 9 = 4 (restul 6)

Răspuns: 9 nu este un divizor al lui 42, deoarece există un rest în răspuns.

Divizorul diferă de multiplu prin faptul că divizorul este numărul cu care sunt împărțite numerele naturale, iar multiplu însuși este divizibil cu acest număr.

Cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b, înmulțit cu cel mai mic multiplu al lor, va da produsul numerelor în sine Ași b.

Și anume: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Multiplii comuni pentru numerele mai complexe se găsesc în felul următor.

De exemplu, găsiți LCM pentru 168, 180, 3024.

Descompunem aceste numere în factori primi, le scriem sub forma unui produs de grade:

168 = 2³х3¹х7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.