Pentru a simplifica împărțirea numerelor naturale, au fost derivate regulile de împărțire la numerele primelor zece și numerele 11, 25, care sunt combinate într-o secțiune semne de divizibilitate a numerelor naturale. Mai jos sunt regulile prin care analiza unui număr fără a-l împărți la un alt număr natural va răspunde la întrebarea, este un număr natural un multiplu al numerelor 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 și un pic de unitate?
Numerele naturale care au cifre (terminate în) 2,4,6,8,0 în prima cifră se numesc pare.
Semnul divizibilității numerelor cu 2
Toate numerele naturale pare sunt divizibile cu 2, de exemplu: 172, 94,67 838, 1670.
Semnul divizibilității numerelor cu 3
Toate numerele naturale sunt divizibile cu 3, a căror suma cifrelor este multiplu de 3. De exemplu:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Semnul divizibilității numerelor cu 4
Toate numerele naturale sunt divizibile cu 4, ultimele două cifre ale cărora sunt zerouri sau un multiplu de 4. De exemplu:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Semnul divizibilității numerelor cu 5
Semnul divizibilității numerelor cu 6
Acele numere naturale care sunt divizibile cu 2 și 3 în același timp sunt divizibile cu 6 (toate numerele pare care sunt divizibile cu 3). De exemplu: 126 (b - par, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Semnul divizibilității numerelor cu 9
Acele numere naturale sunt divizibile cu 9, a căror suma cifrelor este multiplu de 9. De exemplu:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Semnul divizibilității numerelor cu 10
Semnul divizibilității numerelor cu 11
Numai acele numere naturale sunt divizibile cu 11, în care suma cifrelor care ocupă locuri pare este egală cu suma cifrelor care ocupă locuri impare sau diferența dintre suma cifrelor locurilor impare și suma cifrelor locurilor pare este un multiplu al lui 11. De exemplu:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 și 0 + 7 + 7 = 14);
9.163.627 (9 + 6 + b + 7 = 28 și 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Semnul divizibilității numerelor cu 25
Acele numere naturale sunt divizibile cu 25, ultimele două cifre ale cărora sunt zerouri sau sunt multiplu de 25. De exemplu:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Semnul divizibilității numerelor cu o unitate de biți
Acele numere naturale sunt împărțite într-o unitate de biți, în care numărul de zerouri este mai mare sau egal cu numărul de zerouri al unității de biți. De exemplu: 12.000 este divizibil cu 10, 100 și 1000.
O serie de articole despre semnele de divizibilitate continuă semn de divizibilitate cu 3. Acest articol oferă mai întâi formularea criteriului de divizibilitate cu 3 și oferă exemple de aplicare a acestui criteriu pentru a afla care dintre numerele întregi date sunt divizibile cu 3 și care nu. În plus, este dată dovada testului de divizibilitate cu 3. Sunt luate în considerare și abordările de stabilire a divizibilității cu 3 a numerelor date ca valoare a unei expresii.
Navigare în pagină.
Semn de divizibilitate cu 3, exemple
Sa incepem cu formulări ale testului de divizibilitate cu 3: un întreg este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 3 , dacă suma cifrelor sale nu este divizibil cu 3 , atunci numărul în sine nu este divizibil cu 3 .
Din formularea de mai sus este clar că semnul divizibilității cu 3 nu poate fi folosit fără capacitatea de a efectua adunarea numerelor naturale. De asemenea, pentru aplicarea cu succes a semnului divizibilității cu 3, trebuie să știți că dintre toate numerele naturale cu o singură cifră, numerele 3, 6 și 9 sunt divizibile cu 3, iar numerele 1, 2, 4, 5, 7 și 8 nu sunt divizibile cu 3.
Acum putem considera cel mai simplu exemple de aplicare a testului de divizibilitate cu 3. Să aflăm dacă numărul este divizibil cu 3? 42. Pentru a face acest lucru, calculăm suma cifrelor numărului?42, este egal cu 4+2=6. Deoarece 6 este divizibil cu 3, atunci, în virtutea semnului divizibilității cu 3, se poate susține că numărul? 42 este, de asemenea, divizibil cu 3. Dar numărul întreg pozitiv 71 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 7+1=8, iar 8 nu este divizibil cu 3.
Este 0 divizibil cu 3? Pentru a răspunde la această întrebare, nu este necesar criteriul de divizibilitate cu 3, aici trebuie să reamintim proprietatea corespunzătoare a divizibilității, care afirmă că zero este divizibil cu orice număr întreg. Deci 0 este divizibil cu 3.
În unele cazuri, pentru a arăta că un număr dat are sau nu capacitatea de a fi divizibil cu 3, testul de divizibilitate cu 3 trebuie aplicat de mai multe ori la rând. Să luăm un exemplu.
Arătați că numărul 907444812 este divizibil cu 3.
Suma cifrelor lui 907444812 este 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Pentru a afla dacă 39 este divizibil cu 3 , îi calculăm suma cifrelor: 3+9=12 . Și pentru a afla dacă 12 este divizibil cu 3, găsim suma cifrelor numărului 12, avem 1+2=3. Deoarece am primit numărul 3, care este divizibil cu 3, atunci, datorită semnului divizibilității cu 3, numărul 12 este divizibil cu 3. Prin urmare, 39 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 12, iar 12 este divizibil cu 3. În cele din urmă, 907333812 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 39 și 39 este divizibil cu 3.
Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția unui alt exemplu.
Este numărul divizibil cu 3?543205?
Să calculăm suma cifrelor acestui număr: 5+4+3+2+0+5=19 . La rândul său, suma cifrelor numărului 19 este 1+9=10 , iar suma cifrelor numărului 10 este 1+0=1 . Deoarece am primit numărul 1, care nu este divizibil cu 3, din criteriul divizibilității cu 3 rezultă că 10 nu este divizibil cu 3. Prin urmare, 19 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 10, iar 10 nu este divizibil cu 3. Prin urmare, numărul original?543205 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale, egală cu 19, nu este divizibil cu 3.
Este de remarcat faptul că împărțirea directă a unui număr dat la 3 ne permite, de asemenea, să concluzionam dacă numărul dat este divizibil cu 3 sau nu. Prin aceasta dorim să spunem că împărțirea nu trebuie neglijată în favoarea semnului divizibilității cu 3. În ultimul exemplu, împărțind 543205 la 3 la o coloană, ne-am asigura că 543205 nu este divizibil cu 3, din care am putea spune că?543205 nu este divizibil nici cu 3.
Dovada testului de divizibilitate cu 3
Următoarea reprezentare a numărului a ne va ajuta să demonstrăm semnul divizibilității cu 3. Putem descompune orice număr natural a în cifre, după care regula înmulțirii cu 10, 100, 1000 și așa mai departe ne permite să obținem o reprezentare de forma a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , unde a n , a n?1 , …, a 0 sunt cifre de la stânga la dreapta în numărul a . Pentru claritate, dăm un exemplu de astfel de reprezentare: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .
Acum să scriem un număr de egalități destul de evidente: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 și așa mai departe.
Înlocuind în ecuație a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 în loc de 10 , 100 , 1 000 și așa mai departe expresiile 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 și așa mai departe, obținem
.
Proprietățile de adunare a numerelor naturale și proprietățile de înmulțire a numerelor naturale permit ca egalitatea rezultată să fie rescrisă după cum urmează:
Expresie 
este suma cifrelor lui a. Să-l desemnăm pentru concizie și comoditate prin litera A, adică acceptăm . Apoi obținem o reprezentare a numărului a din formă, pe care o vom folosi pentru a demonstra testul de divizibilitate cu 3.
De asemenea, pentru a demonstra testul de divizibilitate cu 3, avem nevoie de următoarele proprietăți de divizibilitate:
- pentru ca un întreg a să fie divizibil cu un întreg b este necesar și suficient ca modulul lui a să fie divizibil cu modulul lui b;
- dacă în egalitatea a=s+t toți termenii, cu excepția unuia, sunt divizibili cu un număr întreg b, atunci acest singur termen este de asemenea divizibil cu b.
Acum suntem pe deplin pregătiți și putem realiza dovada de divizibilitate cu 3, pentru comoditate, formulăm această caracteristică ca o condiție necesară și suficientă pentru divizibilitatea cu 3 .
Pentru ca un întreg a să fie divizibil cu 3, este necesar și suficient ca suma cifrelor sale să fie divizibil cu 3.
Pentru a=0 teorema este evidentă.
Dacă a este diferit de zero, atunci modulul lui a este un număr natural, atunci este posibilă o reprezentare, unde este suma cifrelor lui a.
Deoarece suma și produsul numerelor întregi este un număr întreg, atunci este un număr întreg, atunci, după definiția divizibilității, produsul este divizibil cu 3 pentru orice a 0 , a 1 , …, a n .
Dacă suma cifrelor numărului a este divizibil cu 3, adică A este divizibil cu 3, atunci, datorită proprietății de divizibilitate indicată înainte de teoremă, este divizibil cu 3, prin urmare, a este divizibil cu 3. Aceasta dovedește suficiența.
Dacă a este divizibil cu 3, atunci este și divizibil cu 3, atunci datorită aceleiași proprietăți de divizibilitate, numărul A este divizibil cu 3, adică suma cifrelor numărului a este divizibil cu 3. Aceasta dovedește necesitatea.
Alte cazuri de divizibilitate cu 3
Uneori, numerele întregi sunt specificate nu în mod explicit, ci ca valoare a unei expresii cu o variabilă pentru o anumită valoare a variabilei. De exemplu, valoarea unei expresii pentru un n natural este un număr natural. Este clar că prin această atribuire a numerelor, împărțirea directă cu 3 nu va ajuta la stabilirea divizibilității lor cu 3, iar semnul divizibilității cu 3 nu va putea fi aplicat întotdeauna. Acum vom lua în considerare câteva abordări pentru a rezolva astfel de probleme.
Esența acestor abordări este de a reprezenta expresia originală ca un produs al mai multor factori, iar dacă cel puțin unul dintre factori este divizibil cu 3, atunci, datorită proprietății corespunzătoare de divizibilitate, se va putea concluziona că întregul produsul este divizibil cu 3.
Uneori, această abordare poate fi implementată folosind binomul lui Newton. Să luăm în considerare un exemplu de soluție.
Este valoarea expresiei divizibilă cu 3 pentru orice n natural?
Egalitatea este evidentă. Să folosim formula binomială a lui Newton: 
În ultima expresie, putem scoate 3 dintre paranteze și obținem. Produsul rezultat este divizibil cu 3, deoarece conține un factor 3, iar valoarea expresiei dintre paranteze pentru n natural este un număr natural. Prin urmare, este divizibil cu 3 pentru orice n natural.
În multe cazuri, divizibilitatea cu 3 poate fi dovedită prin metoda inducției matematice. Să analizăm aplicația sa în rezolvarea unui exemplu.
Demonstrați că pentru orice n natural valoarea expresiei este divizibilă cu 3 .
Pentru demonstrație, folosim metoda inducției matematice.
Pentru n=1, valoarea expresiei este , iar 6 este divizibil cu 3 .
Să presupunem că valoarea expresiei este divizibilă cu 3 când n=k , adică divizibil cu 3 .
Ținând cont că este divizibil cu 3 , vom arăta că valoarea expresiei pentru n=k+1 este divizibil cu 3 , adică vom arăta că 
este divizibil cu 3.
Să facem câteva transformări: 
Expresia este împărțită la 3 și expresia 
este divizibil cu 3, deci suma lor este divizibil cu 3.
Deci metoda inducției matematice a dovedit divizibilitatea cu 3 pentru orice n natural.
Să arătăm încă o abordare a dovezii divizibilității cu 3. Dacă arătăm că pentru n=3 m , n=3 m+1 și n=3 m+2 , unde m este un întreg arbitrar, valoarea unei expresii (cu variabila n) este divizibilă cu 3 , atunci acest lucru se va dovedi divizibilitatea expresiei cu 3 pentru orice număr întreg n . Luați în considerare această abordare atunci când rezolvați exemplul anterior.
Arătați ce este divizibil cu 3 pentru orice n natural.
Pentru n=3 m avem. Produsul rezultat este divizibil cu 3 deoarece conține un factor 3 divizibil cu 3 .
Produsul rezultat este, de asemenea, divizibil cu 3.
Și acest produs este divizibil cu 3.
Prin urmare, este divizibil cu 3 pentru orice n natural.
În concluzie, vă prezentăm soluția unui alt exemplu.
Este valoarea expresiei divizibilă cu 3 
pentru un n firesc.
Pentru n=1 avem. Suma cifrelor numărului rezultat este 3, deci semnul divizibilității cu 3 ne permite să afirmăm că acest număr este divizibil cu 3.
Pentru n=2 avem. Suma cifrelor și a acestui număr este 3 , deci este divizibil cu 3 .
Este clar că pentru orice alt n natural vom avea numere a căror sumă de cifre este 3, prin urmare, aceste numere sunt divizibile cu 3.
În acest fel, pentru orice n natural este divizibil cu 3.
www.cleverstudents.ru
Matematică, clasa a VI-a, manual pentru studenții organizațiilor educaționale, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014
Matematică, clasa a VI-a, manual pentru studenții organizațiilor educaționale, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.
Materialul teoretic din manual este prezentat în așa fel încât profesorul să poată aplica o abordare bazată pe probleme la predare. Cu ajutorul sistemului de notație se disting exerciții de patru niveluri de complexitate. În fiecare paragraf, sarcinile de control sunt formulate pe baza a ceea ce elevii trebuie să cunoască și să poată realiza pentru a ajunge la nivelul standardului de educație matematică. Există teste acasă și răspunsuri la sfârșitul manualului. Ilustrațiile color (desene și diagrame) oferă un nivel ridicat de claritate a materialului educațional.
Respectă cerințele GEF LLC.
Sarcini.
4. Desenați un triunghi ABC și marcați un punct O în afara lui (ca în Figura 11). Construiți o figură simetrică triunghiului ABC față de punctul O.
5. Desenați triunghiul KMN și construiți o figură simetrică cu acest triunghi în raport cu:
a) vârfurile sale - punctele M;
b) punctele O - punctele mijlocii ale laturii MN.
6. Construiți o figură care este simetrică:
a) raza OM relativ la punctul O; notează care punct este simetric cu punctul O;
b) raza OM faţă de un punct arbitrar A care nu aparţine acestei raze;
c) dreapta AB față de punctul O, neaparținând acestei drepte;
d) dreapta AB fata de punctul O apartinand acestei drepte; notează care punct este simetric cu punctul O.
În fiecare caz, descrieți poziția relativă a figurilor simetrice central.
Cuprins
Capitolul I. Numerele pozitive și negative. Coordonatele
§ 1. Rotaţia şi simetria centrală
§ 2. Numerele pozitive şi negative. Linie de coordonate
§ 3. Modulul de număr. Numerele opuse
§ 4. Compararea numerelor
§ 5. Paralelismul liniilor
§ 6. Expresii numerice care conțin semnele „+”, „-”
§ 7. Suma algebrică şi proprietăţile ei
§ 8. Regula de calcul a valorii sumei algebrice a două numere
§ 9. Distanţa dintre punctele dreptei de coordonate
§ 10. Simetria axială
§ 11. Lacune de număr
§ 12. Înmulțirea și împărțirea numerelor pozitive și negative
§ 13. Coordonate
§ 14. Planul de coordonate
§ 15. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor ordinare
§ 16. Regula înmulţirii pentru probleme combinatorii
Capitolul II. Conversia expresiilor literale
§ 17. Expansiunea suportului
§ 18. Simplificarea expresiilor
§ 19. Rezolvarea ecuaţiilor
§ 20. Rezolvarea problemelor de compilare a ecuaţiilor
§ 21. Două probleme principale asupra fracțiilor
§ 22. Cercul. Circumferinţă
§ 23. Cercul. Aria unui cerc
§ 24. Minge. Sferă
Capitolul III. Divizibilitatea numerelor naturale
§ 25. Divizori şi multipli
§ 26. Divizibilitatea unei opere
§ 27. Divizibilitatea sumei și diferenței numerelor
§ 28. Semne de divizibilitate cu 2, 5, 10, 4 și 25
§ 29. Semne de divizibilitate cu 3 și 9
§ 30. Numerele prime. Descompunerea unui număr în factori primi
§ 31. Cel mai mare divizor comun
§ 32. Numerele coprime. Un semn de divizibilitate după un produs. Cel mai mic multiplu comun
Capitolul IV. Matematica în jurul nostru
§ 33. Raportul a două numere
§ 34. Diagrame
§ 35. Proporţionalitatea cantităţilor
§ 36. Rezolvarea problemelor folosind proporții
§ 37. Sarcini diverse
§ 38. Prima cunoaștere a conceptului de „probabilitate”
§ 39. Prima cunoaștere cu calculul probabilității
Teste acasă
Subiecte pentru activitățile proiectului
Răspunsuri
Descărcați gratuit o carte electronică într-un format convenabil și citiți:
Matematica
MATERIAL DE REFERINȚĂ LA MATEMATICĂ PENTRU CLASELE 1-6.
Dragi părinți! Dacă ești în căutarea unui profesor de matematică pentru copilul tău, atunci acest anunț este pentru tine. Ofer tutoring Skype: pregătire pentru OGE, Unified State Examination, eliminarea lacunelor în cunoștințe. Beneficiile tale sunt clare:
1) Copilul tau este acasa, iar tu poti fi linistit pentru el;
2) Cursurile se țin la un moment convenabil pentru copil și puteți chiar să urmați aceste cursuri. Explic simplu și clar pe consiliul școlar obișnuit.
3) Vă puteți gândi la alte avantaje importante ale cursurilor Skype!
Scrie-mi la: sau adaugă-mă imediat pe Skype și vom fi de acord cu totul. Preturile sunt accesibile.
P.S. Lecțiile sunt disponibile în grupuri de 2-4 elevi.
Cu stimă, Tatyana Yakovlevna Andryushchenko este autorul acestui site.
Dragi prieteni!
Sunt încântat să vă ofer să descărcați materiale de referință gratuite pentru matematică clasa a 5-a. Descarcă aici!
Dragi prieteni!
Nu este un secret pentru nimeni că unii copii au dificultăți în înmulțirea și împărțirea lungă. Cel mai adesea acest lucru se datorează cunoașterii insuficiente a tabelului înmulțirii. Vă propun să învățați tabla înmulțirii cu ajutorul loto. Vezi mai multe aici. Descarcă loto aici.
Dragi prieteni!În curând te vei confrunta (sau te-ai confruntat deja) cu nevoia de a decide sarcini de interes. Astfel de probleme încep să se rezolve în clasa a V-a și se termină. dar nu termină de rezolvat probleme pentru procente! Aceste sarcini se regasesc atat in control cat si in examene: ambele transferabile, si OGE si Examenul Unificat de Stat. Ce să fac? Trebuie să învățăm cum să rezolvăm aceste probleme. Cartea mea Cum să rezolvi problemele cu procente vă va ajuta în acest sens. Detalii aici!
Adunarea numerelor.
- a+b=c, unde a și b sunt termeni, c este suma.
- Pentru a găsi termenul necunoscut, scădeți termenul cunoscut din sumă.
Scăderea numerelor.
- a-b=c, unde a este minuend, b este subtraend, c este diferența.
- Pentru a găsi minuend necunoscut, trebuie să adăugați subtraendul la diferență.
- Pentru a găsi subtraend necunoscut, trebuie să scădeți diferența din minuend.
Înmulțirea numerelor.
- a b=c, unde a și b sunt factori, c este produsul.
- Pentru a găsi factorul necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la factorul cunoscut.
Împărțirea numerelor.
- a:b=c, unde a este dividendul, b este divizorul, c este câtul.
- Pentru a găsi dividendul necunoscut, trebuie să înmulțiți divizorul cu câtul.
- Pentru a găsi un divizor necunoscut, trebuie să împărțiți dividendul la cât.
Legile adunării.
- a+b=b+a(deplasare: suma nu se modifică din rearanjarea termenilor).
- (a+b)+c=a+(b+c)(asociativ: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a doi termeni, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea la primul număr).
Tabel de adaos.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Legile înmulțirii.
- a b=b a(deplasare: permutarea factorilor nu modifică produsul).
- (a b) c=a (b c)(combinativ: pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea).
- (a+b) c=a c+b c(legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea: pentru a înmulți suma a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți fiecare termen cu acest număr și adăugați rezultatele).
- (a-b) c=a c-b c(legea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea: pentru a înmulți diferența a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți cu acest număr redus și scăzut separat și scădeți al doilea din primul rezultat).
Tabelul înmulțirii.
2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.
2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.
2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.
2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.
2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.
2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.
2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.
2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.
2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.
2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.
Divizori și multipli.
- separator numar natural A numiți numărul natural prin care Aîmpărțit fără rest. (Numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sunt divizori ai numărului 24, deoarece 24 este divizibil cu fiecare dintre ele fără rest) 1-divizor al oricărui număr natural. Cel mai mare divizor al oricărui număr este numărul însuși.
- Multiplu numar natural b este un număr natural care este divizibil fără rest cu b. (Numerele 24, 48, 72, ... sunt multipli ai numărului 24, deoarece sunt divizibile cu 24 fără rest). Cel mai mic multiplu al oricărui număr este numărul însuși.
Semne de divizibilitate a numerelor naturale.
- Numerele folosite la numărarea obiectelor (1, 2, 3, 4, ...) se numesc numere naturale. Mulțimea numerelor naturale se notează prin literă N.
- Numerele 0, 2, 4, 6, 8 numit chiar numerele. Numerele care se termină cu cifre pare se numesc numere pare.
- Numerele 1, 3, 5, 7, 9 numit ciudat numere. Numerele care se termină cu cifre impare se numesc numere impare.
- Semn de divizibilitate cu numărul 2. Toate numerele naturale care se termină cu o cifră pară sunt divizibile cu 2.
- Semnul divizibilității cu numărul 5. Toate numerele naturale care se termină cu 0 sau 5 sunt divizibile cu 5.
- Semnul divizibilității cu numărul 10. Toate numerele naturale care se termină cu 0 sunt divizibile cu 10.
- Semn de divizibilitate cu numărul 3. Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 3, atunci numărul în sine este divizibil cu 3.
- Semnul divizibilității cu numărul 9. Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 9, atunci numărul în sine este divizibil cu 9.
- Semn de divizibilitate cu numărul 4. Dacă numărul format din ultimele două cifre ale unui număr dat este divizibil cu 4, atunci numărul dat însuși este divizibil cu 4.
- Semnul divizibilității cu numărul 11. Dacă diferența dintre suma cifrelor din locurile impare și suma cifrelor din locurile pare este divizibilă cu 11, atunci numărul în sine este divizibil cu 11.
- Un număr prim este un număr care are doar doi divizori: unul și numărul însuși.
- Un număr compus este un număr care are mai mult de doi divizori.
- Numărul 1 nu este nici prim, nici număr compus.
- Scrierea unui număr compus ca produs numai de numere prime se numește factorizarea unui număr compus în factori primi. Orice număr compus poate fi reprezentat în mod unic ca produs de factori primi.
- Cel mai mare divizor comun al unor numere naturale date este cel mai mare număr natural cu care fiecare dintre aceste numere este divizibil.
- Cel mai mare divizor comun al acestor numere este egal cu produsul factorilor primi comuni din expansiunile acestor numere. Exemplu. MCD(24, 42)=2 3=6, deoarece 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, factorii lor primi comuni sunt 2 și 3.
- Dacă numerele naturale au un singur divizor comun - unu, atunci aceste numere se numesc coprime.
- Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale date este cel mai mic număr natural care este un multiplu al fiecăruia dintre numerele date. Exemplu. LCM(24, 42)=168. Acesta este cel mai mic număr care este divizibil cu 24 și 42.
- Pentru a găsi LCM a mai multor numere naturale date, este necesar: 1) să descompuneți fiecare dintre numerele date în factori primi; 2) scrieți expansiunea celui mai mare dintre numere și înmulțiți-o cu factorii lipsă din expansiunile altor numere.
- Cel mai mic multiplu a două numere coprime este egal cu produsul acestor numere.
b- numitorul unei fracții, arată câte părți egale sunt împărțite;
A-numaratorul fractiei, arata cate astfel de parti au fost luate. Bara fracțională înseamnă semnul diviziunii.
Uneori, în loc de o linie fracțională orizontală, pun o bară oblică, iar o fracție obișnuită este scrisă astfel: a/b.
- La Fracțiunea corespunzătoare numărătorul este mai mic decât numitorul.
- La fracție improprie numărătorul este mai mare decât numitorul sau egal cu numitorul.
Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr natural, atunci se va obține o fracție egală cu acesta.
Împărțirea atât a numărătorului, cât și a numitorului unei fracții la divizorul lor comun, altul decât unul, se numește reducerea fracției.
- Un număr format dintr-o parte întreagă și o parte fracțională se numește număr mixt.
- Pentru a reprezenta o fracție improprie ca număr mixt, este necesar să împărțiți numărătorul fracției la numitor, atunci câtul incomplet va fi partea întreagă a numărului mixt, restul va fi numărătorul părții fracționale , iar numitorul va rămâne același.
- Pentru a reprezenta un număr mixt ca o fracție improprie, trebuie să înmulțiți partea întreagă a numărului mixt cu numitorul, adăugați numărătorul părții fracționale la rezultat și scrieți-l în numărătorul fracției improprie și lăsați numitorul aceeași.
- Ray Oh cu originea la punct O, pe care o singură tăietură la și direcţie, numit fascicul de coordonate.
- Se numește numărul corespunzător punctului razei de coordonate coordona acest punct. De exemplu , A(3). Citiți: punctul A cu coordonata 3.
- Cel mai mic numitor comun ( NOZ) dintre aceste fracții ireductibile este cel mai mic multiplu comun ( NOC) numitorii acestor fracții.
- Pentru a aduce fracțiile la cel mai mic numitor comun, trebuie: 1) să găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții, acesta va fi cel mai mic numitor comun. 2) găsiți un factor suplimentar pentru fiecare dintre fracții, pentru care împărțim noul numitor la numitorul fiecărei fracții. 3) înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factorul ei suplimentar.
- Dintre două fracții cu același numitor, cea cu numărătorul mai mare este mai mare, iar cea cu numărătorul mai mic este mai mică.
- Dintre două fracții cu același numărător, cea cu numitorul mai mic este mai mare, iar cea cu numitorul mai mare este mai mică.
- Pentru a compara fracții cu diferiți numărători și diferiți numitori, trebuie să reduceți fracțiile la cel mai mic numitor comun și apoi să comparați fracțiile cu aceiași numitori.
Operații pe fracții obișnuite.
- Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul același.
- Dacă trebuie să adăugați fracții cu numitori diferiți, mai întâi reduceți fracțiile la cel mai mic numitor comun, apoi adăugați fracțiile cu aceiași numitori.
- Pentru a scădea fracții cu aceiași numitori, numărătorul celei de-a doua fracții se scade din numărătorul primei fracții, iar numitorul rămâne același.
- Dacă trebuie să scădeți fracții cu numitori diferiți, atunci acestea sunt mai întâi aduse la un numitor comun, iar apoi fracțiile cu aceiași numitori sunt scăzute.
- Când se efectuează operații de adunare sau scădere a numerelor mixte, aceste operații sunt efectuate separat pentru părți întregi și pentru părți fracționale, iar apoi rezultatul este scris ca număr mixt.
- Produsul a două fracții obișnuite este egal cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor fracțiilor date.
- Pentru a înmulți o fracție obișnuită cu un număr natural, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției cu acest număr și să lăsați numitorul același.
- Două numere al căror produs este egal cu unul se numesc numere reciproc reciproce.
- Când se înmulțesc numere mixte, acestea sunt mai întâi convertite în fracții improprii.
- Pentru a găsi o fracție dintr-un număr, trebuie să înmulțiți numărul cu acea fracție.
- Pentru a împărți o fracție comună la o fracție comună, trebuie să înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului.
- La împărțirea numerelor mixte, acestea sunt mai întâi convertite în fracții improprii.
- Pentru a împărți o fracție obișnuită la un număr natural, trebuie să înmulțiți numitorul fracției cu acest număr natural și să lăsați numărătorul același. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
- Pentru a găsi un număr după fracția sa, trebuie să împărțiți la această fracție numărul care îi corespunde.
- O fracție zecimală este un număr scris în sistemul zecimal și având cifre mai mici de unu. (3,25; 0,1457 etc.)
- Punctele zecimale de după virgulă se numesc zecimale.
- Fracția zecimală nu se va modifica dacă se adaugă sau se aruncă zerouri la sfârșitul fracției zecimale.
Pentru a adăuga fracții zecimale, trebuie să: 1) egalizați numărul de zecimale din aceste fracții; 2) notează-le unul sub celălalt astfel încât virgula să fie scrisă sub virgulă; 3) efectuați adunarea, ignorând virgula și puneți o virgulă sub virgule în fracțiile însumate în sumă.
Pentru a efectua scăderea fracțiilor zecimale, trebuie să: 1) egalizați numărul de zecimale din minuend și subtraend; 2) semnează scăderea sub mic astfel încât virgula să fie sub virgulă; 3) efectuați scăderea, ignorând virgula și, în rezultat, puneți virgula sub virgulele minuendului și subtraendului.
- Pentru a înmulți o fracție zecimală cu un număr natural, trebuie să o înmulțiți cu acest număr, ignorând virgula, iar în produsul rezultat, separați în dreapta câte cifre au existat după punctul zecimal din fracția dată.
- Pentru a înmulți o fracție zecimală cu alta, trebuie să efectuați înmulțirea, ignorând virgulele, iar în rezultatul rezultat, să separați cu virgulă în dreapta câte cifre au fost după virgule în ambii factori împreună.
- Pentru a înmulți o zecimală cu 10, 100, 1000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu 1, 2, 3, etc. cifre.
- Pentru a înmulți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001 etc., trebuie să mutați virgula la stânga cu 1, 2, 3, etc. cifre.
- Pentru a împărți o fracție zecimală la un număr natural, trebuie să împărțiți fracția la acest număr, deoarece numerele naturale sunt împărțite și puse într-o virgulă privată când împărțirea întregii părți se termină.
- Pentru a împărți o zecimală la 10, 100, 1000 etc., trebuie să mutați virgula la stânga cu 1, 2, 3, etc. cifre.
- Pentru a împărți un număr cu o zecimală, trebuie să mutați virgulele în dividend și divizor câte cifre la dreapta sunt după punctul zecimal din divizor și apoi împărțiți la un număr natural.
- Pentru a împărți o zecimală la 0,1; 0,01; 0,001 etc., trebuie să mutați virgula la dreapta cu 1, 2, 3, etc. cifre. (Împărțirea unei zecimale cu 0,1; 0,01; 0,001 etc. este același cu înmulțirea acelei zecimale cu 10, 100, 1000 etc.)
Pentru a rotunji un număr la o anumită cifră, subliniem cifra acestei cifre, apoi înlocuim toate cifrele din spatele celei subliniate cu zerouri, iar dacă sunt după virgulă zecimală, aruncăm. Dacă prima cifră înlocuită cu zero sau aruncată este 0, 1, 2, 3 sau 4, atunci cifra subliniată rămâne neschimbată. Dacă prima cifră înlocuită cu zero sau aruncată este 5, 6, 7, 8 sau 9, atunci cifra subliniată crește cu 1.
Media aritmetică a mai multor numere.
Media aritmetică a mai multor numere este câtul împărțirii sumei acestor numere la numărul de termeni.
Intervalul unei serii de numere.
Diferența dintre cele mai mari și cele mai mici valori ale seriei de date se numește intervalul seriei de numere.
Moda seria de numere.
Numărul care apare cu cea mai mare frecvență dintre numerele date ale seriei se numește modul seriei de numere.
- O sutime se numește procent. Cumpără o carte care învață „Cum să rezolvi problemele procentuale”.
- Pentru a exprima procentele ca fracție sau număr natural, trebuie să împărțiți procentul la 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
- Pentru a exprima un număr ca procent, trebuie să-l înmulțiți cu 100%. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
- Pentru a găsi un procent dintr-un număr, trebuie să exprimați procentul ca o fracție obișnuită sau zecimală și să înmulțiți fracția rezultată cu numărul dat.
- Pentru a găsi un număr după procentul său, trebuie să exprimați procentul ca o fracție obișnuită sau zecimală și să împărțiți numărul dat la această fracție.
- Pentru a găsi procentul primului număr din al doilea, trebuie să împărțiți primul număr la al doilea și să înmulțiți rezultatul cu 100%.
- Coeficientul a două numere se numește raportul acestor numere. a:b sau a/b este raportul numerelor a și b, în plus, a este termenul anterior, b este termenul următor.
- Dacă termenii acestei relații sunt rearanjați, atunci relația rezultată se numește inversul acestei relații. Relațiile b/a și a/b sunt reciproc inverse.
- Raportul nu se va modifica dacă ambii termeni ai raportului sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr diferit de zero.
- Egalitatea a două rapoarte se numește proporție.
- a:b=c:d. Aceasta este proporția. Citit: A deci se aplica la b, Cum c se refera la d. Numerele a și d sunt numite membrii extremi ai proporției, iar numerele b și c sunt membrii mijlocii ai proporției.
- Produsul termenilor extremi ai unei proporții este egal cu produsul termenilor ei medii. Pentru proporție a:b=c:d sau a/b=c/d proprietatea principală este scrisă astfel: a d=b c.
- Pentru a găsi termenul extrem necunoscut al proporției, trebuie să împărțiți produsul termenilor medii ai proporției la termenul extrem cunoscut.
- Pentru a găsi termenul mediu necunoscut al proporției, trebuie să împărțiți produsul termenilor extremi ai proporției la termenul mediu cunoscut. Sarcini de proporție.
Lasă valoarea y depinde de marime X. Daca cu o crestere X de mai multe ori mai mare la crește cu același factor, apoi astfel de valori Xși la se numesc direct proportionale.
Dacă două mărimi sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori arbitrare ale primei mărimi este egal cu raportul dintre cele două valori corespunzătoare ale celei de-a doua mărimi.
Raportul dintre lungimea segmentului de pe hartă și lungimea distanței corespunzătoare pe sol se numește scara hărții.
Lasă valoarea la depinde de marime X. Daca cu o crestere X de mai multe ori mai mare la scade cu acelasi factor, apoi astfel de valori Xși la sunt numite invers proporționale.
Dacă două cantități sunt invers proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale unei cantități este egal cu raportul invers al valorilor corespunzătoare celeilalte cantități.
- Un set este o colecție de obiecte sau numere compilate după unele proprietăți sau legi generale (multe litere pe o pagină, multe fracții regulate cu numitor 5, multe stele pe cer etc.).
- Mulțimile sunt compuse din elemente și sunt fie finite, fie infinite. O mulțime care nu conține niciun element se numește mulțime goală și se notează Oh
- Multe LA numită submulțime a mulțimii DAR dacă toate elementele setului LA sunt elemente ale ansamblului DAR.
- Stabiliți intersecția DARși LA este o mulţime ale cărei elemente aparţin mulţimii DARși multe LA.
- Unirea seturi DARși LA este o mulțime ale cărei elemente aparțin cel puțin uneia dintre mulțimile date DARși LA.
Seturi de numere.
- N- set de numere naturale: 1, 2, 3, 4,...
- Z– mulțime de numere întregi: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...
- Q este mulțimea numerelor raționale reprezentabile ca fracție m/n, Unde m- întreg, n– natural (-2; 3/5; v9; v25 etc.)
- O linie de coordonate este o linie dreaptă pe care sunt date o direcție pozitivă, un punct de referință (punctul O) și un segment unitar.
- Fiecare punct de pe linia de coordonate corespunde unui anumit număr, care se numește coordonatele acestui punct. De exemplu, A(5). Citiți: punctul A cu coordonata cinci. LA 3). Citiți: punctul B cu coordonatele minus trei.
- Modulul numărului a (notați |a|) se numește distanța de la origine până la punctul corespunzător numărului dat A. Valoarea modulului oricărui număr este nenegativă. |3|=3; |-3|=3, deoarece distanța de la origine la numărul -3 și la numărul 3 este egală cu trei segmente unitare. |0|=0 .
- Prin definiția modulului unui număr: |a|=a, dacă a?0și |a|=-a, dacă a b.
- Dacă, la compararea numerelor a și b, diferența a-b este un număr negativ, atunci a , atunci ele se numesc inegalități stricte.
- Dacă inegalitățile sunt scrise în semne? sau ?, atunci ele se numesc inegalități nestrictive.
Proprietățile inegalităților numerice.
G) 
O inegalitate de forma x?a. Răspuns:
Utilizarea abilităților de divizibilitate simplifică calculele și crește proporțional viteza de execuție a acestora. Să analizăm în detaliu caracteristica principală caracteristici de divizibilitate.
Cel mai simplu criteriu de divizibilitate pentru unitati: toate numerele sunt divizibile cu unu. Este la fel de elementar și cu semne de divizibilitate prin Două, cinci, zece. Un număr par poate fi împărțit la doi, sau unul cu o cifră finală de 0, la cinci - un număr cu o cifră finală de 5 sau 0. Numai acele numere cu o cifră finală de 0 vor fi împărțite la zece, la 100 - numai acele numere ale căror două cifre finale sunt zerouri, activate 1000 - numai cele cu trei zerouri finale.
De exemplu:
Numărul 79516 poate fi împărțit la 2, deoarece se termină în 6, un număr par; 9651 nu este divizibil cu 2, deoarece 1 este o cifră impară; 1790 este divizibil cu 2 deoarece cifra finală este zero. 3470 va fi împărțit la 5 (ultima cifră este 0); 1054 nu e divizibil cu 5 (final 4). 7800 va fi împărțit la 10 și 100; 542000 e divizibil cu 10, 100, 1000.
Caracteristică mai puțin cunoscută, dar foarte ușor de utilizat caracteristici de divizibilitate pe 3 și 9 , 4 , 6 și 8, 25 . Există, de asemenea, trăsături caracteristice ale divizibilității prin 7, 11, 13, 17, 19 și așa mai departe, dar sunt folosite mult mai rar în practică.
O trăsătură caracteristică a împărțirii la 3 și la 9.
Pe Treiși/sau pe nouă fără rest, acele numere vor fi împărțite pentru care rezultatul adunării cifrelor este un multiplu de trei și/sau nouă.
De exemplu:
Numărul 156321, rezultatul adunării 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 va fi împărțit la 3 și, respectiv, împărțit la 9, numărul în sine poate fi împărțit la 3 și la 9. Numărul 79123 nu va fi împărțit fie la 3, fie la 9, astfel încât suma cifrelor sale (22) nu este divizibilă cu aceste numere.
O trăsătură caracteristică a împărțirii la 4, 8, 16 și așa mai departe.
Un număr poate fi împărțit fără rest cu patru, dacă ultimele sale două cifre sunt zerouri sau sunt un număr care poate fi împărțit la 4. În toate celelalte cazuri, împărțirea fără rest nu este posibilă.
De exemplu:
Numărul 75300 este divizibil cu 4, deoarece ultimele două cifre sunt zerouri; 48834 nu este divizibil cu 4 deoarece ultimele două cifre dau 34, care nu este divizibil cu 4; 35908 este divizibil cu 4, deoarece ultimele două cifre ale lui 08 dau numărul 8 divizibil cu 4.
Un principiu similar este aplicabil criteriului de divizibilitate prin opt. Un număr este divizibil cu opt dacă ultimele sale trei cifre sunt zero sau formează un număr divizibil cu 8. În caz contrar, câtul obținut din împărțire nu va fi un număr întreg.
Aceleași proprietăți pentru împărțirea după 16, 32, 64 etc., dar nu sunt folosite în calculele de zi cu zi.
O trăsătură caracteristică a divizibilității cu 6.
Numărul este divizibil cu şase, dacă este divizibil cu doi și trei, cu toate celelalte opțiuni, împărțirea fără rest este imposibilă.
De exemplu:
126 este divizibil cu 6, deoarece este divizibil cu 2 (numărul par final este 6) și cu 3 (suma cifrelor 1 + 2 + 6 = 9 este divizibil cu trei)
O trăsătură caracteristică a divizibilității cu 7.
Numărul este divizibil cu Șapte dacă diferența dintre ultimul său număr dublu și „numărul rămas fără ultima cifră” este divizibil cu șapte, atunci numărul în sine este divizibil cu șapte.
De exemplu:
Numărul este 296492. Să luăm ultima cifră „2”, o dublează, iese 4. Scădem 29649 - 4 = 29645. Este problematic să aflăm dacă este divizibil cu 7, deci analizat din nou. În continuare, dublem ultima cifră „5”, iese 10. Scădem 2964 - 10 = 2954. Rezultatul este același, nu este clar dacă este divizibil cu 7, de aceea continuăm analiza. Analizăm cu ultima cifră „4”, dublu, iese 8. Scădem 295 - 8 = 287. Compară două sute optzeci și șapte - nu este divizibil cu 7, în legătură cu aceasta continuăm căutarea. Prin analogie, ultima cifră „7”, dublată, iese 14. Scădeți 28 - 14 \u003d 14. Numărul 14 este divizibil cu 7, deci numărul inițial este divizibil cu 7.
O trăsătură caracteristică a divizibilității cu 11.
Pe unsprezece sunt împărțite doar acele numere pentru care rezultatul adunării cifrelor plasate în locuri impare este fie egal cu suma cifrelor plasate în locuri pare, fie este diferit de un număr divizibil cu unsprezece.
De exemplu:
Numărul 103.785 este divizibil cu 11, deoarece suma cifrelor din locurile impare, 1 + 3 + 8 = 12, este egală cu suma cifrelor din locurile pare, 0 + 7 + 5 = 12. Numărul 9.163.627 este divizibil cu 11, deoarece suma cifrelor din locurile impare este 9 + 6 + 6 + 7 = 28, iar suma cifrelor din locurile pare este 1 + 3 + 2 = 6; diferența dintre numerele 28 și 6 este 22, iar acest număr este divizibil cu 11. Numărul 461.025 nu este divizibil cu 11, deoarece numerele 4 + 1 + 2 = 7 și 6 + 0 + 5 = 11 nu sunt egale cu unul pe altul, iar diferența lor 11 - 7 = 4 nu este divizibil cu 11.
O trăsătură caracteristică a divizibilității cu 25.
Pe douazeci si cinci va împărți numere ale căror două cifre finale sunt zerouri sau alcătuiesc un număr care poate fi împărțit la douăzeci și cinci (adică numere care se termină cu 00, 25, 50 sau 75). În alte cazuri, numărul nu poate fi împărțit în întregime la 25.
De exemplu:
9450 e divizibil cu 25 (se termină în 50); 5085 nu e divizibil cu 25.
semn de divizibilitate
Semn de divizibilitate- o regulă care vă permite să determinați relativ rapid dacă un număr este multiplu al unui număr prestabilit fără a fi nevoie să efectuați împărțirea propriu-zisă. De regulă, se bazează pe acțiuni cu o parte a cifrelor din notarea unui număr într-un sistem numeric pozițional (de obicei zecimal).
Există câteva reguli simple care vă permit să găsiți divizori mici ai unui număr în sistemul numeric zecimal:
Semn de divizibilitate cu 2
Semn de divizibilitate cu 3
Divizibilitatea cu semnul 4
Semn de divizibilitate cu 5
Semn de divizibilitate cu 6
Semn de divizibilitate cu 7
Semn de divizibilitate cu 8
Semn de divizibilitate cu 9
Semn de divizibilitate cu 10
Semn de divizibilitate cu 11
Semnul divizibilității cu 12
Semn de divizibilitate cu 13
Semn de divizibilitate cu 14
Semn de divizibilitate cu 15
Semn de divizibilitate cu 17
Semn de divizibilitate cu 19
Semn de divizibilitate cu 23
Semn de divizibilitate cu 25
Semnul divizibilității cu 99
Împărțim numărul în grupuri de 2 cifre de la dreapta la stânga (grupul din stânga poate avea o cifră) și aflăm suma acestor grupuri, considerându-le numere de două cifre. Această sumă este divizibilă cu 99 dacă și numai dacă numărul însuși este divizibil cu 99.
Semnul divizibilității cu 101
Împărțim numărul în grupuri de 2 cifre de la dreapta la stânga (grupul din stânga poate avea o cifră) și aflăm suma acestor grupuri cu semne variabile, considerându-le numere de două cifre. Această sumă este divizibilă cu 101 dacă și numai dacă numărul însuși este divizibil cu 101. De exemplu, 590547 este divizibil cu 101, deoarece 59-05+47=101 este divizibil cu 101).
Semn de divizibilitate cu 2 n
Un număr este divizibil cu puterea a n-a a doi dacă și numai dacă numărul format din ultimele sale n cifre este divizibil cu aceeași putere.
Semn de divizibilitate cu 5 n
Un număr este divizibil cu puterea a n-a a lui 5 dacă și numai dacă numărul format din ultimele sale n cifre este divizibil cu aceeași putere.
Semn de divizibilitate cu 10 n − 1
Împărțim numărul în grupuri de n cifre de la dreapta la stânga (grupul cel mai din stânga poate conține de la 1 la n cifre) și găsim suma acestor grupuri, considerându-le numere cu n cifre. Această sumă este divizibilă cu 10 n− 1 dacă și numai dacă numărul însuși este divizibil cu 10 n − 1 .
Semn de divizibilitate cu 10 n
Un număr este divizibil cu a n-a putere a lui zece dacă și numai dacă ultimele sale n cifre sunt
Se încarcă...