Pătratul sumei a două expresii
Există o serie de cazuri în care înmulțirea unui polinom cu un polinom poate fi foarte simplificată. Așa este, de exemplu, cazul (2 X+ 3y) 2 .
Expresia (2 X+ 3y) 2 este înmulțirea a două polinoame, fiecare dintre ele egal cu (2 X+ 3y)
(2X+ 3y) 2 = (2X+ 3y)(2X+ 3y)
Am obținut înmulțirea unui polinom cu un polinom. Hai să-l executăm:
(2X+ 3y) 2 = (2X+ 3y)(2X+ 3y) = 4X 2 + 6X y + 6X y + 9y 2 = 4X 2 + 12X y+ 9y 2
Adică expresia (2 X+ 3y) 2 este egal cu 4X 2 + 12X y + 9y 2
(2X+ 3y) 2 = 4X 2 + 12X y+ 9y 2
Să rezolvăm un exemplu similar, care este mai simplu:
(a+b) 2
expresie ( a+b) 2 este înmulțirea a două polinoame, fiecare dintre ele egal cu ( a+b)
(a+b) 2 = (a+b)(a+b)
Să facem această înmulțire:
(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = A 2 + ab + ab + b 2 = A 2 + 2ab + b 2
Aceasta este expresia (a+b) 2 este egal cu A 2 + 2ab + b 2
(a+b) 2 = A 2 + 2ab + b 2
Se pare că cazul ( a+b) 2 poate fi extins pentru orice Ași b. Primul exemplu pe care l-am rezolvat, și anume (2 X+ 3y) 2 poate fi rezolvat folosind identitatea (a+b) 2 = A 2 + 2ab + b 2 . Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți variabilele Ași b termenii corespunzători din expresia (2 X+ 3y) 2 . În acest caz, variabila A meci cu pula 2 X, și variabila b potrivește pula 3 y
A = 2X
b = 3y
Și apoi putem folosi identitatea (a+b) 2 = A 2 + 2ab + b 2 , dar în loc de variabile Ași b trebuie să înlocuiți expresiile 2 Xși 3 y respectiv:
(2X+ 3y) 2 = (2X) 2 + 2 × 2 X× 3 y + (3y) 2 = 4X 2 + 12X y+ 9y 2
Ca și data trecută, am primit un polinom 4X 2 + 12X y+ 9y 2 . Soluția este de obicei scrisă mai scurt, efectuând toate transformările elementare în minte:
(2X+ 3y) 2 = 4X 2 + 12X y+ 9y 2
Identitate (a+b) 2 = A 2 + 2ab + b 2 se numește formula pentru pătratul sumei a două expresii. Această formulă poate fi citită astfel:
Pătratul sumei a două expresii este egal cu pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.
Se consideră expresia (2 + 3) 2 . Acesta poate fi calculat în două moduri: efectuați adunarea între paranteze și pătrați rezultatul sau utilizați formula pentru pătratul sumei a două expresii.
Prima cale:
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
A doua cale:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
Exemplul 2. Conversia expresiei (5 A+ 3) 2 într-un polinom.
Să folosim formula pentru pătratul sumei a două expresii:
(a+b) 2 = A 2 + 2ab + b 2
(5un + 3) 2 = (5A) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25A 2 + 30A + 9
Mijloace, (5un + 3) 2 = 25A 2 + 30A + 9.
Să încercăm să rezolvăm acest exemplu fără a folosi formula sumei pătrate. Ar trebui să obținem același rezultat:
(5un + 3) 2 = (5un + 3)(5un + 3) = 25A 2 + 15A + 15A + 9 = 25A 2 + 30A + 9
Formula pentru pătratul sumei a două expresii are o semnificație geometrică. Ne amintim că pentru a calcula aria unui pătrat, trebuie să ridicați latura acestuia la a doua putere.
De exemplu, aria unui pătrat cu o latură A va fi egal cu A 2. Dacă măriți latura pătratului cu b, atunci aria va fi egală cu ( a+b) 2
Luați în considerare următoarea figură:
Imaginați-vă că latura pătratului prezentat în această figură este mărită cu b. Un pătrat are toate laturile egale. Dacă latura sa este mărită cu b, atunci și celelalte părți vor crește cu b
Rezultatul este un pătrat nou, care este mai mare decât cel anterior. Pentru a vedea bine, să completăm părțile lipsă:
Pentru a calcula aria acestui pătrat, puteți calcula separat pătratele și dreptunghiurile incluse în acesta, apoi adăugați rezultatele.
În primul rând, puteți calcula un pătrat cu o latură A- aria sa va fi egală cu A 2. Apoi puteți calcula dreptunghiuri cu laturi Ași b- vor fi egali ab. Apoi puteți calcula un pătrat cu o latură b
Rezultatul este următoarea sumă de zone:
A 2 + ab+ab + b 2
Suma ariilor dreptunghiurilor identice poate fi înlocuită prin înmulțirea cu 2 ab, ceea ce înseamnă literal "repetă de două ori aria dreptunghiului ab" . Din punct de vedere algebric, aceasta se obține prin reducerea termenilor similari abși ab. Rezultatul este o expresie A 2 + 2ab+ b 2 , care este partea dreaptă a formulei pentru pătratul sumei a două expresii:
(a+b) 2 = A 2 + 2ab+ b 2
Pătratul diferenței a două expresii
Formula pentru pătratul diferenței a două expresii este următoarea:
(a-b) 2 = A 2 − 2ab + b 2
Pătratul diferenței a două expresii este egal cu pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.
Formula pentru pătratul diferenței a două expresii este derivată în același mod ca și formula pentru pătratul sumei a două expresii. expresie ( a-b) 2 este produsul a două polinoame, fiecare dintre ele egal cu ( a-b)
(a-b) 2 = (a-b)(a-b)
Dacă efectuați această înmulțire, obțineți un polinom A 2 − 2ab + b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = A 2 − ab− ab+ b 2 = A 2 − 2ab + b 2
Exemplul 1. Conversia expresiei (7 X− 5) 2 într-un polinom.
Să folosim formula pătratului diferenței a două expresii:
(a-b) 2 = A 2 − 2ab + b 2
(7X− 5) 2 = (7X) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49X 2 − 70X + 25
Mijloace, (7X− 5) 2 = 49X 2 + 70X + 25.
Să încercăm să rezolvăm acest exemplu fără a folosi formula diferențelor pătrate. Ar trebui să obținem același rezultat:
(7X− 5) 2 = (7X− 5) (7X− 5) = 49X 2 − 35X − 35X + 25 = 49X 2 − 70X+ 25.
Formula pentru pătratul diferenței a două expresii are și o semnificație geometrică. Dacă aria unui pătrat cu o latură A este egal cu A 2, apoi aria pătratului a cărui latură este redusă cu b, va fi egal cu ( a-b) 2
Luați în considerare următoarea figură:
Imaginați-vă că latura pătratului prezentat în această figură este redusă cu b. Un pătrat are toate laturile egale. Dacă o parte este redusă cu b, atunci și celelalte părți vor scădea cu b
Rezultatul este un pătrat nou, care este mai mic decât cel anterior. Este evidențiată cu galben în figură. Partea sa este A− b din partea veche A a scăzut cu b. Pentru a calcula aria acestui pătrat, puteți utiliza aria inițială a pătratului A 2 scădeți ariile dreptunghiurilor care au fost obținute în procesul de reducere a laturilor pătratului vechi. Să arătăm aceste dreptunghiuri:
Apoi putem scrie următoarea expresie: zonă veche A 2 minus zona ab zona minus ( a-b)b
A 2 − ab − (a-b)b
Extindeți parantezele din expresia ( a-b)b
A 2 − ab - ab + b 2
Iată termeni similari:
A 2 − 2ab + b 2
Rezultatul este o expresie A 2 − 2ab + b 2 , care este partea dreaptă a formulei pentru pătratul diferenței a două expresii:
(a-b) 2 = A 2 − 2ab + b 2
Formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței sunt denumite în general formule de înmulțire prescurtate. Aceste formule vă permit să simplificați și să accelerați semnificativ procesul de înmulțire a polinoamelor.
Am spus mai devreme că considerând un membru al unui polinom separat, acesta trebuie considerat împreună cu semnul care se află în fața acestuia.
Dar atunci când se aplică formulele de înmulțire prescurtate, semnul polinomului original nu trebuie considerat ca semn al acestui termen în sine.
De exemplu, având în vedere expresia (5 X − 2y) 2 și dorim să folosim formula (a-b) 2 = A 2 − 2ab + b 2 , apoi în loc de b trebuie înlocuit 2 y, nu −2 y. Aceasta este o caracteristică a lucrului cu formule care nu trebuie uitate.
(5X − 2y) 2
A = 5X
b = 2y
(5X − 2y) 2 = (5X) 2 − 2 × 5 X×2 y + (2y) 2 = 25X 2 − 20X y + 4y 2
Dacă înlocuim −2 y, atunci aceasta va însemna că diferența dintre parantezele expresiei originale a fost înlocuită cu suma:
(5X − 2y) 2 = (5X + (−2y)) 2
și în acest caz este necesar să se aplice nu formula pătratului diferenței, ci formula pătratului sumei:
(5X + (−2y) 2
A = 5X
b = −2y
(5X + (−2y)) 2 = (5X) 2 + 2 × 5 X× (−2 y) + (−2y) 2 = 25X 2 − 20X y + 4y 2
O excepție pot fi expresiile formei (X− (−y)) 2 . În acest caz, folosind formula (a-b) 2 = A 2 − 2ab + b 2 în loc de b ar trebui înlocuit (− y)
(X− (−y)) 2 = X 2 − 2 × X× (− y) + (−y) 2 = X 2 + 2X y + y 2
Dar cuadratura expresii ale formei X − (−y) , va fi mai convenabil să înlocuiți scăderea cu adunarea x+y. Atunci expresia originală va lua forma ( x +y) 2 și se va putea folosi formula pătratului sumei, și nu diferența:
(x +y) 2 = X 2 + 2X y + y 2
Cubul Sum și Cubul Diferență
Formulele pentru cubul sumei a două expresii și cubul diferenței a două expresii sunt următoarele:
(A + b) 3 = A 3 + 3A 2 b + 3ab 2 + b 3
(a-b) 3 = A 3 − 3A 2 b + 3ab 2 − b 3
Formula pentru cubul sumei a două expresii poate fi citită astfel:
Cubul sumei a două expresii este egal cu cubul primei expresii plus de trei ori pătratul primei expresii ori a doua plus de trei ori produsul primei expresii ori pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresie.
Și formula pentru cubul diferenței a două expresii poate fi citită după cum urmează:
Cubul diferenței a două expresii este egal cu cubul primei expresii minus de trei ori produsul pătratului primei expresii și al doilea plus de trei ori produsul primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul a celei de-a doua expresii.
Când rezolvați probleme, este de dorit să cunoașteți aceste formule pe de rost. Dacă nu vă amintiți, nu vă faceți griji! Le poți scoate singur. Știm deja cum.
Să derivăm singuri formula cubului sumei:
(a+b) 3
expresie ( a+b) 3 este un produs a trei polinoame, fiecare dintre ele egal cu ( A+ b)
(a+b) 3 = (A+ b)(A+ b)(A+ b)
Dar expresia ( a+b) 3 poate fi scris și ca (A+ b)(A+ b) 2
(a+b) 3 = (A+ b)(A+ b) 2
În acest caz, factorul ( A+ b) 2 este pătratul sumei celor două expresii. Acest pătrat al sumei este egal cu expresia A 2 + 2ab + b 2 .
Apoi ( a+b) 3 poate fi scris ca (A+ b)(A 2 + 2ab + b 2) .
(a+b) 3 = (A+ b)(A 2 + 2ab + b 2)
Și aceasta este înmulțirea unui polinom cu un polinom. Hai să-l executăm:
(a+b) 3 = (A+ b)(A 2 + 2ab + b 2) = A 3 + 2A 2 b + ab 2 + A 2 b + 2ab 2 + b 3 = A 3 + 3A 2 b + 3ab 2 + b 3
În mod similar, puteți obține formula pentru cubul diferenței a două expresii:
(a-b) 3 = (A- b)(A 2 − 2ab + b 2) = A 3 − 2A 2 b + ab 2 − A 2 b + 2ab 2 − b 3 = A 3 − 3A 2 b+ 3ab 2 − b 3
Exemplul 1. Convertiți expresia ( X+ 1) 3 într-un polinom.
(A + b) 3 = A 3 + 3A 2 b + 3ab 2 + b 3
(X+ 1) 3 = X 3+3× X 2×1 + 3× X× 1 2 + 1 3 = X 3 + 3X 2 + 3X + 1
Să încercăm să rezolvăm acest exemplu fără a folosi formula cubului sumei a două expresii
(X+ 1) 3 = (X+ 1)(X+ 1)(X+ 1) = (X+ 1)(X 2 + 2X + 1) = X 3 + 2X 2 + X + X 2 + 2X + 1 = X 3 + 3X 2 + 3X + 1
Exemplul 2. Convertiți expresia (6A 2 + 3b 3) 3 într-un polinom.
Să folosim formula cubului pentru suma a două expresii:
(A + b) 3 = A 3 + 3A 2 b + 3ab 2 + b 3
(6A 2 + 3b 3) 3 = (6A 2) 3 + 3 × (6 A 2) 2×3 b 3+3×6 A 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216A 6+3×36 A 4×3 b 3+3×6 A 2×9 b 6 + 27b 9
Exemplul 3. Convertiți expresia ( n 2 − 3) 3 într-un polinom.
(a-b) = A 3 − 3A 2 b + 3ab 2 − b 3
(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
Exemplul 4. Convertiți expresia (2X 2 − X 3) 3 într-un polinom.
Să folosim formula cubului a diferenței a două expresii:
(a-b) = A 3 − 3A 2 b + 3ab 2 − b 3
(2X 2 − X 3) 3 = (2X 2) 3 − 3 × (2 X 2) 2× X 3+3×2 X 2×( X 3) 2 − (X 3) 3 =
8X 6 − 3 × 4 X 4× X 3+3×2 X 2× X 6 − X 9 =
8X 6 − 12X 7 + 6X 8 − X 9
Înmulțirea diferenței a două expresii cu suma lor
Există probleme în care se cere să se înmulțească diferența a două expresii cu suma lor. De exemplu:
(a-b)(a+b)
În această expresie, diferența dintre două expresii Ași bînmulțit cu suma acelorași două expresii. Să facem această înmulțire:
(a-b)(a+b) = A 2 + ab − ab − b 2 = A 2 − b 2
Aceasta este expresia (a-b)(a+b) egală A 2 − b 2
(a-b)(a+b) = A 2 − b 2
Vedem că atunci când înmulțim diferența a două expresii cu suma lor, obținem diferența pătratelor acestor expresii.
Produsul dintre diferența a două expresii și suma lor este egal cu diferența pătratelor acestor expresii.
Se întâmplă (a-b)(a+b) poate fi extins la oricare Ași b. Mai simplu spus, dacă la rezolvarea unei probleme este necesară înmulțirea diferenței a două expresii cu suma lor, atunci această înmulțire poate fi înlocuită cu diferența pătratelor acestor expresii.
Exemplul 1. Efectuați înmulțirea (2X − 5)(2X + 5)
În acest exemplu, diferența de expresie este 2 Xși 5 înmulțit cu suma acestor expresii. Apoi conform formulei (a-b)(a+b) = A 2 − b 2 avem:
(2X − 5)(2X + 5) = (2X) 2 − 5 2
Calculăm partea dreaptă, obținem 4 X 2 − 25
(2X − 5)(2X + 5) = (2X) 2 − 5 2 = 4X 2 − 25
Să încercăm să rezolvăm acest exemplu fără a folosi formula (a-b)(a+b) = A 2 − b 2 . Vom obține același rezultat 4 X 2 − 25
(2X − 5)(2X + 5) = 4X 2 − 10X + 10X − 25 = 4X 2 − 25
Exemplul 2. Efectuați înmulțirea (4X − 5y)(4X + 5y)
(a-b)(a+b) = A 2 − b 2
(4X − 5y)(4X + 5y) = (4X) 2 − (5y) 2 = 16X 2 − 25y 2
Exemplul 3. Efectuați înmulțirea (2A+ 3b)(2A− 3b)
Să folosim formula pentru înmulțirea diferenței a două expresii cu suma lor:
(a-b)(a+b) = A 2 − b 2
(2un + 3b)(2A- 3b) = (2A) 2 − (3b) 2 = 4A 2 − 9b 2
În acest exemplu, suma termenilor este 2 Ași 3 b situate mai devreme decât diferența acestor termeni. Și în formulă (a-b)(a+b) = A 2 − b 2 diferența este localizată mai devreme.
Nu contează modul în care sunt aranjați factorii ( a-b) în ( a+b) în formulă. Ele pot fi scrise ca (a-b)(a+b) , și (a+b)(a-b) . Rezultatul va fi tot A 2 − b 2, deoarece produsul nu se modifică dintr-o permutare a factorilor.
Deci, în acest exemplu, factorii (2 un + 3b) și 2 A- 3b) poate fi scris ca (2un + 3b)(2A- 3b) , și (2A- 3b)(2un + 3b) . Rezultatul va fi tot 4. A 2 − 9b 2 .
Exemplul 3. Efectuați înmulțirea (7 + 3X)(3X − 7)
Să folosim formula pentru înmulțirea diferenței a două expresii cu suma lor:
(a-b)(a+b) = A 2 − b 2
(7 + 3X)(3X − 7) = (3X) 2 − 7 2 = 9X 2 − 49
Exemplul 4. Efectuați înmulțirea (X 2 − y 3)(X 2 + y 3)
(a-b)(a+b) = A 2 − b 2
(X 2 − y 3)(X 2 + y 3) = (X 2) 2 − (y 3) 2 = X 4 − y 6
Exemplul 5. Efectuați înmulțirea (−5X− 3y)(5X− 3y)
În expresia (−5 X− 3y) scoatem −1, atunci expresia originală va lua următoarea formă:
(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y)
Muncă (5X + 3y)(5X − 3y) înlocuiți cu diferența de pătrate:
(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2)
Diferența de pătrate a fost inclusă între paranteze. Dacă acest lucru nu se face, atunci se va dovedi că −1 este înmulțit doar cu (5 X) 2 . Și acest lucru va duce la o eroare și va schimba valoarea expresiei originale.
(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2) = −1(25X 2 − 9X 2)
Acum înmulțiți −1 cu expresia între paranteze și obțineți rezultatul final:
(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2) =
−1(25X 2 − 9y 2) = −25X 2 + 9y 2
Înmulțirea diferenței a două expresii cu pătratul incomplet al sumei lor
Există probleme în care se cere să se înmulțească diferența a două expresii cu pătratul incomplet al sumei lor. Piesa asta arata asa:
(a-b)(A 2 + ab + b 2)
Primul polinom ( a-b) este diferența dintre două expresii și al doilea polinom (A 2 + ab + b 2) este pătratul incomplet al sumei acestor două expresii.
Pătratul incomplet al sumei este un polinom de formă A 2 + ab + b 2 . Este similar cu pătratul obișnuit al sumei A 2 + 2ab + b 2
De exemplu, expresia 4X 2 + 6X y + 9y 2 este un pătrat incomplet al sumei expresiilor 2 Xși 3 y .
Într-adevăr, primul termen al expresiei 4X 2 + 6X y + 9y 2 , și anume 4 X 2 este pătratul expresiei 2 X, deoarece (2 X) 2 = 4X 2. Al treilea termen al expresiei 4X 2 + 6X y + 9y 2 , și anume 9 y 2 este pătratul lui 3 y, deoarece (3 y) 2 = 9y 2. pula de mijloc 6 X y, este produsul expresiilor 2 Xși 3 y.
Deci, să înmulțim diferența ( a-b) printr-un pătrat incomplet al sumei A 2 + ab + b 2
(a-b)(A 2 + ab + b 2) = A(A 2 + ab + b 2) − b(A 2 + ab + b 2) =
A 3 + A 2 b + ab 2 − A 2 b − ab 2 − b 3 = A 3 − b 3
Aceasta este expresia (a-b)(A 2 + ab + b 2) egală A 3 − b 3
(a-b)(A 2 + ab + b 2) = A 3 − b 3
Această identitate se numește formula de înmulțire a diferenței a două expresii cu pătratul incomplet al sumei lor. Această formulă poate fi citită astfel:
Produsul diferenței a două expresii și pătratul incomplet al sumei lor este egal cu diferența cuburilor acestor expresii.
Exemplul 1. Efectuați înmulțirea (2X − 3y)(4X 2 + 6X y + 9y 2)
Primul polinom (2 X − 3y) este diferența dintre două expresii 2 Xși 3 y. Al doilea polinom 4X 2 + 6X y + 9y 2 este pătratul incomplet al sumei a două expresii 2 Xși 3 y. Acest lucru ne permite să folosim formula fără a face calcule lungi (a-b)(A 2 + ab + b 2) = A 3 − b 3 . În cazul nostru, înmulțirea (2X − 3y)(4X 2 + 6X y + 9y 2) poate fi înlocuit cu diferența de cuburi 2 Xși 3 y
(2X − 3y)(4X 2 + 6X y + 9y 2) = (2X) 3 − (3y) 3 = 8X 3 − 27y 3
(a-b)(A 2 + ab+ b 2) = A 3 − b 3 . Obținem același rezultat, dar soluția devine mai lungă:
(2X − 3y)(4X 2 + 6X y + 9y 2) = 2X(4X 2 + 6X y + 9y 2) − 3y(4X 2 + 6X y + 9y 2) =
8x 3 + 12X 2 y + 18X y 2 − 12X 2 y − 18X y 2 − 27y 3 = 8X 3 − 27y 3
Exemplul 2. Efectuați înmulțirea (3 − X)(9 + 3X + X 2)
Primul polinom (3 − X) este diferența dintre cele două expresii, iar al doilea polinom este pătratul incomplet al sumei acestor două expresii. Acest lucru ne permite să folosim formula (a-b)(A 2 + ab + b 2) = A 3 − b 3
(3 − X)(9 + 3X + X 2) = 3 3 − X 3 = 27 − X 3
Înmulțirea sumei a două expresii cu pătratul incomplet al diferenței lor
Există probleme în care se cere înmulțirea sumei a două expresii cu pătratul incomplet al diferenței lor. Piesa asta arata asa:
(a+b)(A 2 − ab + b 2)
Primul polinom ( a+b (A 2 − ab + b 2) este un pătrat incomplet al diferenței acestor două expresii.
Pătratul incomplet al diferenței este un polinom de formă A 2 − ab + b 2 . Este similar cu diferența obișnuită la pătrat A 2 − 2ab + b 2 cu excepția faptului că în ea produsul primei și celei de-a doua expresii nu este dublat.
De exemplu, expresia 4X 2 − 6X y + 9y 2 este un pătrat incomplet al diferenței expresiilor 2 Xși 3 y .
(2X) 2 − 2X× 3 y + (3y) 2 = 4X 2 − 6X y + 9y 2
Să revenim la exemplul inițial. Să înmulțim suma a+b prin pătratul incomplet al diferenței A 2 − ab + b 2
(a+b)(A 2 − ab + b 2) = A(A 2 − ab + b 2) + b(A 2 − ab + b 2) =
A 3 − A 2 b + ab 2 + A 2 b − ab 2 + b 3 = A 3 + b 3
Aceasta este expresia (a+b)(A 2 − ab + b 2) egală A 3 + b 3
(a+b)(A 2 − ab + b 2) = A 3 + b 3
Această identitate se numește formula de înmulțire a sumei a două expresii cu pătratul incomplet al diferenței lor. Această formulă poate fi citită astfel:
Produsul sumei a două expresii și pătratul incomplet al diferenței lor este egal cu suma cuburilor acestor expresii.
Exemplul 1. Efectuați înmulțirea (2X + 3y)(4X 2 − 6X y + 9y 2)
Primul polinom (2 X + 3y) este suma a două expresii 2 Xși 3 y, și al doilea polinom 4X 2 − 6X y + 9y 2 este pătratul incomplet al diferenței acestor expresii. Acest lucru ne permite să folosim formula fără a face calcule lungi (a+b)(A 2 − ab + b 2) = A 3 + b 3 . În cazul nostru, înmulțirea (2X + 3y)(4X 2 − 6X y + 9y 2) poate fi înlocuit cu suma cuburilor 2 Xși 3 y
(2X + 3y)(4X 2 − 6X y + 9y 2) = (2X) 3 + (3y) 3 = 8X 3 + 27y 3
Să încercăm să rezolvăm același exemplu fără a folosi formula (a+b)(A 2 − ab+ b 2) = A 3 + b 3 . Obținem același rezultat, dar soluția devine mai lungă:
(2X + 3y)(4X 2 − 6X y + 9y 2) = 2X(4X 2 − 6X y + 9y 2) + 3y(4X 2 − 6X y + 9y 2) =
8X 3 − 12X 2 y + 18X y 2 + 12X 2 y − 18X y 2 + 27y 3 = 8X 3 + 27y 3
Exemplul 2. Efectuați înmulțirea (2X+ y)(4X 2 − 2X y + y 2)
Primul polinom (2 X+ y) este suma a două expresii, iar al doilea polinom (4X 2 − 2X y + y 2) este un pătrat incomplet al diferenței acestor expresii. Acest lucru ne permite să folosim formula (a+b)(A 2 − ab+ b 2) = A 3 + b 3
(2X+ y)(4X 2 − 2X y + y 2) = (2X) 3 + y 3 = 8X 3 + y 3
Să încercăm să rezolvăm același exemplu fără a folosi formula (a+b)(A 2 − ab+ b 2) = A 3 + b 3 . Obținem același rezultat, dar soluția devine mai lungă:
(2X+ y)(4X 2 − 2X y + y 2) = 2X(4X 2 − 2X y + y 2) + y(4X 2 − 2X y + y 2) =
8X 3 − 4X 2 y + 2X y 2 + 4X 2 y − 2X y 2 + y 3 = 8X 3 + y 3
Sarcini pentru soluție independentă
Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții
În această lecție, ne vom familiariza cu formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței și le vom deriva. Să demonstrăm geometric formula pătratului sumei. În plus, vom rezolva multe exemple diferite folosind aceste formule.
Luați în considerare formula pătratului sumei:
Deci, am derivat formula pentru pătratul sumei:
Verbal, această formulă se exprimă după cum urmează: pătratul sumei este egal cu pătratul primului număr plus de două ori produsul primului număr cu al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr.
Această formulă este ușor de reprezentat geometric.
Să considerăm un pătrat cu latura:
Suprafata patrata.
Pe de altă parte, același pătrat poate fi reprezentat diferit prin împărțirea laturii în a și b (Fig. 1).
Orez. 1. Pătrat
Apoi aria pătratului poate fi reprezentată ca suma ariilor:
Deoarece pătratele erau aceleași, ariile lor sunt egale, ceea ce înseamnă:
Deci, am demonstrat geometric formula pentru pătratul sumei.
Luați în considerare exemple:
Cometariu: exemplul este rezolvat folosind formula sumei pătrate.
Obținem formula pentru pătratul diferenței:
Deci, am derivat formula pentru pătratul diferenței:
Verbal, această formulă se exprimă după cum urmează: pătratul diferenței este egal cu pătratul primului număr minus de două ori produsul primului număr cu al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr.
Luați în considerare exemple:
Formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței pot funcționa atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Când sunt folosite de la stânga la dreapta, acestea vor fi formule de înmulțire abreviate, sunt folosite la calcularea și transformarea exemplelor. Și atunci când sunt folosite de la dreapta la stânga - formule de factorizare.
Luați în considerare exemple în care trebuie să factorizați un polinom dat aplicând formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței. Pentru a face acest lucru, trebuie să priviți foarte atent polinomul și să determinați exact cum să-l extindeți corect.
Cometariu: pentru a factoriza un polinom, trebuie să determinați ce este reprezentat în această expresie. Deci vedem pătratul și pătratul unității. Acum trebuie să găsim produsul dublu - acesta este . Deci, toate elementele necesare sunt acolo, trebuie doar să determinați dacă acesta este pătratul sumei sau al diferenței. Înainte de produsul dublat există un semn plus, ceea ce înseamnă că avem pătratul sumei.
Formule de înmulțire prescurtate.
Studierea formulelor de înmulțire prescurtată: pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii; diferența de pătrate a două expresii; cubul sumei și cubul diferenței a două expresii; sume și diferențe de cuburi a două expresii.
Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.
Pentru a simplifica expresiile, a factoriza polinoamele și a reduce polinoamele la o formă standard, se folosesc formule de înmulțire abreviate. Formule de înmulțire prescurtate pe care trebuie să le cunoașteți pe de rost.
Fie a, b R. Atunci:
1. Pătratul sumei a două expresii este pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Pătratul diferenței a două expresii este pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Diferența de pătrate două expresii este egală cu produsul diferenței acestor expresii și suma lor.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. cub suma a două expresii este egal cu cubul primei expresii plus de trei ori pătratul primei expresii ori a doua plus de trei ori produsul primei expresii ori pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresii.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. cub de diferență a două expresii este egal cu cubul primei expresii minus de trei ori produsul pătratului primei expresii și al doilea plus de trei ori produsul primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul celei de-a doua expresii.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Suma de cuburi două expresii este egal cu produsul sumei primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al diferenței acestor expresii.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Diferența de cuburi a două expresii este egal cu produsul diferenței primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al sumei acestor expresii.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.
Exemplul 1
calculati
a) Folosind formula pentru pătratul sumei a două expresii, avem
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Folosind formula pentru diferența pătrată a două expresii, obținem
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Exemplul 2
calculati
Folosind formula pentru diferența pătratelor a două expresii, obținem
Exemplul 3
Simplificați expresia
(x - y) 2 + (x + y) 2
Folosim formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Formule de înmulțire prescurtate într-un singur tabel:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Vor exista și sarcini pentru o soluție independentă, la care puteți vedea răspunsurile.
Formulele de înmulțire prescurtate vă permit să efectuați transformări identice ale expresiilor - polinoame. Cu ajutorul lor, polinoamele pot fi factorizate, iar folosind formulele în ordine inversă, produsele binoamelor, pătratelor și cuburilor pot fi reprezentate ca polinoame. Să luăm în considerare toate formulele general acceptate pentru înmulțirea abreviată, derivarea lor, sarcinile comune pentru transformări identice ale expresiilor folosind aceste formule, precum și temele pentru acasă (răspunsurile la acestea sunt deschise prin link-uri).
suma pătratului
Formula pentru pătratul sumei este egalitatea
(pătratul sumei a două numere este egal cu pătratul primului număr plus de două ori produsul primului număr și al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr).
În loc de Ași b orice număr poate fi înlocuit în această formulă.
Formula sumei pătrate este adesea folosită pentru a simplifica calculele. De exemplu,
Folosind formula sumei pătrate, polinomul poate fi factorizat, și anume, reprezentat ca produs a doi factori identici.
Exemplul 1
.
Exemplul 2 Scrieți ca expresie polinomială
Soluţie. Prin formula pătratului sumei, obținem
Pătratul diferenței
Formula pentru pătratul diferenței este egalitatea
(pătratul diferenței dintre două numere este egal cu pătratul primului număr minus de două ori produsul primului număr și al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr).
Formula diferenței pătrate este adesea folosită pentru a simplifica calculele. De exemplu,
Folosind formula pătratului diferenței, polinomul poate fi factorizat, și anume, reprezentat ca produs a doi factori identici.
Formula decurge din regula pentru înmulțirea unui polinom cu un polinom:
Exemplul 5 Scrieți ca expresie polinomială
Soluţie. Prin formula pătratului diferenței obținem
.
Aplicați singur formula de înmulțire prescurtată și apoi vedeți soluția
Selecție completă de pătrat
Adesea, un polinom de gradul doi conține pătratul sumei sau al diferenței, dar este conținut într-o formă ascunsă. Pentru a obține în mod explicit pătratul complet, trebuie să transformați polinomul. Pentru a face acest lucru, de regulă, unul dintre termenii polinomului este reprezentat ca un produs dublu, apoi același număr este adăugat și scăzut din polinom.
Exemplul 7
Soluţie. Acest polinom poate fi transformat astfel:
Aici am prezentat 5 X sub forma unui produs dublu de 5/2 by X, adăugat la polinom și scăzut din acesta același număr, apoi a aplicat formula sumei pătrate pentru binom.
Deci am dovedit egalitatea
,
este egal cu un pătrat întreg plus numărul .
Exemplul 8 Luați în considerare un polinom de gradul doi
Soluţie. Să facem următoarele transformări pe el:
Aici am prezentat 8 X sub forma unui produs dublu X cu 4, adăugat la polinom și scăzut din acesta același număr 4², a aplicat formula pătratului diferenței pentru binom X − 4 .
Deci am dovedit egalitatea
,
arătând că un polinom de gradul doi
este egal cu un pătrat întreg plus numărul −16.
Aplicați singur formula de înmulțire prescurtată și apoi vedeți soluția
cub suma
Formula cubului sumei este egalitatea
(cubul sumei a două numere este egal cu cubul primului număr plus de trei ori pătratul primului număr cu al doilea, plus de trei ori produsul primului număr cu pătratul celui de-al doilea, plus cubul al doilea număr).
Formula cubului sumei este derivată după cum urmează:
Exemplul 10 Scrieți ca expresie polinomială
Soluţie. Conform formulei cubului sumei, obținem
Aplicați singur formula de înmulțire prescurtată și apoi vedeți soluția
cub de diferență
Formula cubului de diferență este egalitatea
(cubul diferenței a două numere este egal cu cubul primului număr minus de trei ori pătratul primului număr și al doilea, plus de trei ori produsul primului număr și pătratul celui de-al doilea minus cubul de al doilea număr).
Cu ajutorul formulei cubului sumei, polinomul poate fi descompus în factori, și anume, poate fi reprezentat ca un produs a trei factori identici.
Formula cubului de diferență este derivată după cum urmează:
Exemplul 12. Scrieți ca expresie polinomială
Soluţie. Folosind formula cubului de diferență, obținem
Aplicați singur formula de înmulțire prescurtată și apoi vedeți soluția
Diferența de pătrate
Formula pentru diferența de pătrate este egalitatea
(diferența pătratelor a două numere este egală cu produsul dintre suma acestor numere și diferența lor).
Folosind formula cubului sumei, orice polinom al formei poate fi factorizat.
Dovada formulei a fost obținută folosind regula înmulțirii pentru polinoame:
Exemplul 14 Scrieți produsul ca polinom
.
Soluţie. Prin formula diferenței pătratelor, obținem
Exemplul 15 Factorizați
Soluţie. Această expresie într-o formă explicită nu se potrivește cu nicio identitate. Dar numărul 16 poate fi reprezentat ca o putere cu baza 4: 16=4². Atunci expresia originală va lua o formă diferită:
,
și aceasta este formula pentru diferența de pătrate și, aplicând această formulă, obținem
Se încarcă...