İki sayının en küçük ortak katı. Bölenler ve katlar

En küçük ortak katı bulmanın üç yolunu düşünün.

Faktoring ile bulma

İlk yol, bu sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmaktır.

Diyelim ki sayıların LCM'sini bulmamız gerekiyor: 99, 30 ve 28. Bunu yapmak için, bu sayıların her birini asal çarpanlarına ayırıyoruz:

İstenilen sayının 99, 30 ve 28 ile tam bölünebilmesi için bu bölenlerin tüm asal çarpanlarının içine girmesi gerekli ve yeterlidir. Bunu yapmak için, bu sayıların tüm asal çarpanlarını mümkün olan en büyük güce almamız ve bunları birlikte çarpmamız gerekiyor:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Yani LCM (99, 30, 28) = 13 860. 13 860'tan daha küçük hiçbir sayı 99, 30 veya 28 ile bölünemez.

Bu sayıların en küçük ortak katını bulmak için, onları asal çarpanlara ayırmanız, ardından her asal çarpanı karşılaştığı en büyük üsle birlikte almanız ve bu çarpanları birbiriyle çarpmanız gerekir.

Asal sayıların ortak asal çarpanları olmadığından en küçük ortak katları bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin, üç sayı: 20, 49 ve 33 karşılıklı olarak asaldır. Böyle

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Farklı asal sayıların en küçük ortak katını ararken de aynı şey yapılmalıdır. Örneğin, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Seçime göre bulma

İkinci yol, sığdırarak en küçük ortak katı bulmaktır.

Örnek 1. Verilen sayıların en büyüğü verilen diğer sayılara tamamen bölündüğünde, bu sayıların LCM'si büyük olana eşittir. Örneğin, dört sayı verilmiştir: 60, 30, 10 ve 6. Her biri 60 ile bölünebilir, bu nedenle:

LCM (60, 30, 10, 6) = 60

Aksi takdirde, en küçük ortak katı bulmak için aşağıdaki prosedür kullanılır:

1. Verilen sayıların en büyüğünü belirleyiniz.
2. Daha sonra, en büyük sayının katları olan sayıları, artan sırada doğal sayılarla çarparak ve verilen sayıların elde edilen ürün tarafından bölünüp bölünemeyeceğini kontrol ederek buluruz.

Örnek 2. Verilen üç sayı 24, 3 ve 18. Bunların en büyüğünü belirleyin - bu 24 sayısıdır. Ardından, 24'ün katı olan sayıları bulun ve her birinin 18 ve 3'e bölünüp bölünemeyeceğini kontrol edin:

24 1 = 24 - 3'e bölünebilir, ancak 18'e bölünemez.

24 2 = 48 - 3'e bölünebilir, ancak 18'e bölünemez.

24 3 = 72 - 3 ve 18 ile bölünebilir.

Yani LCM (24, 3, 18) = 72.

LCM'yi sırayla bularak bulma

Üçüncü yol, LCM'yi sırayla bularak en küçük ortak katı bulmaktır.

Verilen iki sayının LCM'si, bu sayıların en büyük ortak bölenlerine bölünmesine eşittir.

Örnek 1. Verilen iki sayının LCM'sini bulalım: 12 ve 8. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBEB (12, 8) = 4. Bu sayıları çarpın:

Çalışmayı GCD'lerine ayırıyoruz:

Böylece, LCM (12, 8) = 24.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmak için aşağıdaki prosedürü kullanın:

1. İlk olarak, verilen sayılardan herhangi ikisinin LCM'sini bulun.
2. Ardından, bulunan en küçük ortak katın LCM'si ve verilen üçüncü sayı.
3. Ardından, elde edilen en küçük ortak katın LCM'si ve dördüncü sayı, vb.
4. Böylece LCM arayışı, sayılar olduğu sürece devam eder.

Örnek 2. Verilen üç sayının LCM'sini bulalım: 12, 8 ve 9. Önceki örnekte zaten bulduğumuz 12 ve 8 sayılarının LCM'si (bu 24 sayısıdır). Geriye 24'ün en küçük ortak katını ve verilen üçüncü sayıyı bulmak kalır - 9. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBEB (24, 9) = 3. LCM'yi 9 ile çarpın:

Çalışmayı GCD'lerine ayırıyoruz:

Yani LCM (12, 8, 9) = 72.

Kat, belirli bir sayıya eşit olarak bölünebilen bir sayıdır. Bir sayı grubunun en küçük ortak katı (LCM), gruptaki her sayıya eşit olarak bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak katı bulmak için verilen sayıların asal çarpanlarını bulmanız gerekir. LCM, iki veya daha fazla sayıdan oluşan gruplara uygulanabilen bir dizi başka yöntem kullanılarak da hesaplanabilir.

adımlar

Bir dizi çoklu

Verilen sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem en iyi, her biri 10'dan küçük iki sayı verildiğinde kullanılır. Sayılar büyükse, farklı bir yöntem kullanın.

• Örneğin, 5 ve 8'in en küçük ortak katını bulun. Bunlar küçük sayılardır, dolayısıyla bu yöntemi kullanabilirsiniz.

1. Kat, belirli bir sayıya eşit olarak bölünebilen bir sayıdır. Çarpım tablosunda birden çok sayı bulunabilir.

   • Örneğin, 5'in katı olan sayılar: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. İlk sayının katları olan bir dizi sayı yazın.İki sayı dizisini karşılaştırmak için bunu ilk sayının katları altında yapın.

   • Örneğin, 8'in katı olan sayılar: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ve 64.

3. Katların her iki satırında da görünen en küçük sayıyı bulun. Toplamı bulmak için uzun katlar dizisi yazmanız gerekebilir. Katların her iki satırında da görünen en küçük sayı, en küçük ortak kattır.

   • Örneğin, 5 ve 8'in katlarından oluşan bir seride görünen en küçük sayı 40'tır. Bu nedenle 40, 5 ve 8'in en küçük ortak katıdır.

   asal çarpanlara ayırma

   1. Verilen sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem en iyi, her biri 10'dan büyük iki sayı verildiğinde kullanılır. Verilen sayılar daha küçükse, farklı bir yöntem kullanın.

      • Örneğin, 20 ve 84'ün en küçük ortak katını bulun. Sayıların her biri 10'dan büyüktür, bu nedenle bu yöntemi kullanabilirsiniz.

   2. İlk sayıyı çarpanlarına ayırın. Yani, verilen sayıyı elde ettiğinizi çarparken bu tür asal sayıları bulmanız gerekir. Asal çarpanları bulduktan sonra, bunları eşitlikler olarak yazın.

      • Örneğin, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ çarpı 10 = 20) ve 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ kez (\ mathbf (5)) = 10)... Böylece 20'nin asal çarpanları 2, 2 ve 5'tir. Bunları bir ifade olarak yazın:.

   3. İkinci sayıyı çarpanlarına ayırın. Bunu ilk sayıyı çarpanlarına ayırdığınız gibi yapın, yani çarpıldığında verilen sayıyı verecek asal sayıları bulun.

      • Örneğin, 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ kere 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7)) \ çarpı 6 = 42) ve 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ kez (\ mathbf (2)) = 6)... Böylece, 84'ün asal çarpanları 2, 7, 3 ve 2'dir. Bunları bir ifade olarak yazın:.

   4. Her iki sayının ortak çarpanlarını yazınız. Bu faktörleri bir çarpma işlemi olarak yazın. Her faktörü yazarken, her iki ifadede de (asal çarpanlara ayırmayı tanımlayan ifadeler) üzerini çizin.

      • Örneğin, her iki sayının ortak çarpanı 2'dir, bu nedenle yazın 2 × (\ displaystyle 2 \ kez) ve her iki ifadede de 2'yi işaretleyin.
      • Her iki sayı için de ortak olan 2'nin başka bir çarpanıdır, bu yüzden yazın 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ kere 2) ve her iki ifadede de ikinci 2'nin üzerini çizin.

   5. Kalan çarpanları çarpma işlemine ekleyin. Bunlar, her iki ifadede de üstü çizilmeyen, yani her iki sayı için ortak olmayan faktörlerdir.

      • Örneğin, ifadede 20 = 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 20 = 2 \ kere 2 \ kere 5) her iki 2'nin de (2) üzeri çizilir çünkü bunlar ortak çarpanlardır. 5 faktörünün üzeri çizilmemiştir, bu nedenle çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2 \ kez 2 \ kez 5)
      • ifadede 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ kere 7 \ kere 3 \ kere 2) her iki 2'nin de üzeri çizilmiştir (2). 7 ve 3 çarpanlarının üzeri çizilmemiştir, bu nedenle çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ kere 2 \ kere 5 \ kere 7 \ kere 3).

   6. En küçük ortak katını hesaplayın. Bunu yapmak için, kaydedilen çarpma işlemindeki sayıları çarpın.

      • Örneğin, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ displaystyle 2 \ kez 2 \ kez 5 \ kez 7 \ kez 3 = 420)... Yani 20 ve 84'ün en küçük ortak katı 420'dir.

   Ortak Bölenleri Bulma

   1. Izgarayı bir tic-tac-toe oyunu gibi çizin. Böyle bir ızgara, diğer iki paralel çizgiyle (dik açılarda) kesişen iki paralel çizgiden oluşur. Bu, üç satır ve üç sütun oluşturur (ızgara # işaretine çok benzer). İlk sayıyı ilk satıra ve ikinci sütuna yazın. İkinci sayıyı birinci satıra ve üçüncü sütuna yazın.

      • Örneğin, 18 ve 30'un en küçük ortak katını bulun. Birinci satıra ve ikinci sütuna 18 yazın ve ilk satır ve üçüncü sütuna 30 yazın.

   2. Her iki sayının ortak böleni bulun. Bunu ilk satıra ve ilk sütuna yazın. Asal faktörleri aramak daha iyidir, ancak bu bir gereklilik değildir.

      • Örneğin, 18 ve 30 çift sayılardır, dolayısıyla ortak bölenleri 2'dir. Öyleyse ilk satıra ve ilk sütuna 2 yazın.

   3. Her sayıyı ilk bölene bölün. Her bölümü karşılık gelen sayının altına yazın. Bölüm, iki sayının bölünmesinin sonucudur.

      • Örneğin, 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9) 18'in altına 9 yaz.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15) 30'un altına 15 yaz.

   4. Her iki bölümün ortak böleni bulun. Böyle bir bölen yoksa sonraki iki adımı atlayın. Aksi takdirde, böleni ikinci satıra ve ilk sütuna yazın.

      • Örneğin, 9 ve 15 3'e bölünebilir, bu nedenle ikinci satıra ve ilk sütuna 3 yazın.

   5. Her bölümü ikinci faktöre bölün. Her bölme sonucunu karşılık gelen bölümün altına yazın.

      • Örneğin, 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3) bu yüzden 9'un altına 3 yazın.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5) 15'in altına 5 yaz.

   6. Gerekirse, ızgarayı ek hücrelerle destekleyin. Bölümlerin ortak bir böleni olana kadar açıklanan adımları tekrarlayın.

   7. Kılavuzun ilk sütunundaki ve son satırındaki sayıları daire içine alın. Ardından seçilen sayıları çarpma işlemi olarak yazın.

      • Örneğin, 2 ve 3 sayıları ilk sütunda ve 3 ve 5 sayıları son satırdadır, bu nedenle çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2 \ kere 3 \ kere 3 \ kere 5).

   8. Sayıların çarpımının sonucunu bulun. Bu, verilen iki sayının en küçük ortak katını hesaplayacaktır.

      • Örneğin, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ displaystyle 2 \ kere 3 \ kere 3 \ kere 5 = 90)... 18 ve 30'un en küçük ortak katı 90'dır.

   Öklid Algoritması

   1. Bölme işlemiyle ilgili terminolojiyi hatırlayın. Temettü, bölünen sayıdır. Bölen, bölünen sayıdır. Bölüm, iki sayının bölünmesinin sonucudur. Kalan, iki sayı bölündüğünde kalan sayıdır.

      • Örneğin, ifadede 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2) ost. 3:
        15 bir temettü
        6 bölendir
        2 bölümdür
        3 kalandır.

En büyük ortak böleni

tanım 2

Bir a doğal sayısı $ b $ doğal sayısına bölünebiliyorsa, o zaman $ b $, $ a $'ın böleni olarak adlandırılır ve $ a $, $ b $'ın katı olarak adlandırılır.

$ a $ ve $ b $ doğal sayılar olsun. $ c $ sayısına hem $ a $ hem de $ b $ için ortak bölen denir.

$ a $ ve $ b $ için ortak bölenlerin kümesi sonludur, çünkü bu bölenlerin hiçbiri $ a $'dan büyük olamaz. Bu, bu bölenler arasında, $ a $ ve $ b $ sayılarının en büyük ortak böleni olarak adlandırılan bir en büyük olduğu anlamına gelir ve gösterim bunu belirtmek için kullanılır:

$ Gcd \ (a; b) \ veya \ D \ (a; b) $

İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için yapmanız gerekenler:

1. 2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak faktör olacaktır.

örnek 1

121 $ ve 132 $ sayılarının gcd'sini bulun.

$ 242 = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

132 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Bu sayıların ayrıştırılmasına dahil edilen sayıları seçin

$ 242 = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

132 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak faktör olacaktır.

$ Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 $

Örnek 2

63 $ ve 81 $ tek terimli GCD'yi bulun.

Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için:

Sayıları asal çarpanlara ayırma

63 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

81 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

Bu sayıların ayrıştırılmasında yer alan sayıları seçiyoruz.

63 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

81 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulalım. Ortaya çıkan sayı istenen en büyük ortak faktör olacaktır.

$ Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

Sayıların bölenleri kümesini kullanarak iki sayının GCD'sini başka bir şekilde bulabilirsiniz.

Örnek 3

48 $ ve 60 $ sayılarının GCD'sini bulun.

Çözüm:

$ 48 $: $ \ left \ ((\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \ right \) $ sayısının bölenleri kümesini bulun

Şimdi $ 60 sayısının bölenleri kümesini buluyoruz $: $ \ \ left \ ((\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \ right \ ) $

Bu kümelerin kesişimini bulalım: $ \ left \ ((\ rm 1,2,3,4,6,12) \ right \) $ - bu küme $ 48 $ sayılarının ortak bölenleri kümesini belirleyecek ve 60 dolar. Bu kümedeki en büyük eleman 12 $ sayısı olacaktır. Yani 48 dolar ile 60 doların en büyük ortak böleni 12 dolar olacaktır.

LCM'un tanımı

tanım 3

Doğal sayıların ortak katı$ a $ ve $ b $, hem $ a $ hem de $ b $'ın katı olan bir doğal sayıdır.

Ortak katlar aslına kalansız bölünebilen sayılardır.Örneğin 25$ ve 50$ sayıları için ortak katlar 50,100,150,200$ vb. sayılar olacaktır.

En küçük ortak kat, en küçük ortak kat olarak adlandırılır ve LCM $ (a; b) $ veya K $ (a; b) ile gösterilir.

İki sayının LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. Faktör numaraları
2. İlk sayının bir parçası olan faktörleri yazın ve onlara ikincinin parçası olan ve birinciye girmeyen faktörleri ekleyin.

Örnek 4

99 $ ve 77 $ sayılarının LCM'sini bulun.

Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için

Faktör numaraları

$ 99 = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 $

İlkinde yer alan faktörleri yazınız.

onlara ikincinin parçası olan ve birinciye girmeyen faktörleri ekleyin

Adım 2'de bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı istenen en küçük ortak kat olacaktır.

$ LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 $

Sayı bölenlerinin listelerini derlemek genellikle çok zaman alır. Öklid'in algoritması adı verilen GCD'yi bulmanın bir yolu var.

Euclid'in algoritmasının dayandığı ifadeler:

$ a $ ve $ b $ doğal sayılarsa ve $ a \ vdots b $ ise, o zaman $ D (a; b) = b $

$ a $ ve $ b $, $ b olacak şekilde doğal sayılarsa

$ D (a; b) = D (a-b; b) $ kullanarak, biri diğerine bölünebilen bir sayı çiftine ulaşana kadar, ele alınan sayıları art arda azaltabiliriz. O zaman bu sayılardan küçük olanı, $ a $ ve $ b $ sayıları için istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

GCD ve LCM'nin Özellikleri

1. $ a $ ve $ b $'ın herhangi bir ortak katı K $ (a; b) $ ile bölünebilir
2. $ a \ vdots b $ ise, o zaman K $ (a; b) = a $

K $ (a; b) = k $ ve $ m $ bir doğal sayı ise, K $ (am; bm) = km $

$ d $, $ a $ ve $ b $ için ortak bir bölen ise, o zaman K ($ \ frac (a) (d); \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d ) $

$ a \ vdots c $ ve $ b \ vdots c $ ise, $ \ frac (ab) (c) $, $ a $ ve $ b $'ın ortak katıdır

$ a $ ve $ b $ doğal sayıları için eşitlik

$ D (a; b) \ cdot К (a; b) = ab $

$ a $ ve $ b $ sayılarının herhangi bir ortak böleni, $ D (a; b) $ sayısının bir bölenidir.

Matematiksel ifadeler ve problemler çok fazla ek bilgi gerektirir. NOC, özellikle sık kullanılan ana konulardan biridir. Konu lisede çalışılırken, materyali anlamak özellikle zor olmasa da, derecelere ve çarpım tablosuna aşina olan bir kişi gerekli olanı seçmekte zorlanmayacaktır. sayıları ve sonucu bulun.

Tanım

Ortak kat, aynı anda iki sayıya (a ve b) tamamen bölünebilen bir sayıdır. Çoğu zaman, bu sayı orijinal a ve b sayıları çarpılarak elde edilir. Sayı, sapma olmadan aynı anda her iki sayıya da bölünebilmelidir.

NOC, ilk harflerden bir araya getirilmiş, atama için kabul edilen kısa bir isimdir.

Numarayı almanın yolları

LCM'yi bulmak için sayıları çarpma yöntemi her zaman uygun değildir; basit tek basamaklı veya iki basamaklı sayılar için çok daha uygundur. Faktörlere bölmek gelenekseldir, sayı ne kadar büyükse, o kadar fazla faktör olacaktır.

Örnek 1

En basit örnek için, okullar genellikle basit, tek veya iki basamaklı sayılar kullanır. Örneğin, aşağıdaki sorunu çözmeniz gerekiyor, 7 ve 3 sayılarının en küçük ortak katını bulmanız gerekiyor, çözüm oldukça basit, çarpmanız yeterli. Sonuç olarak, 21 sayısı vardır, daha küçük bir sayı yoktur.

Örnek 2

Görevin ikinci çeşidi çok daha zor. 300 ve 1260 sayıları göz önüne alındığında, LCM'nin bulunması zorunludur. Görevi çözmek için aşağıdaki eylemler varsayılır:

Birinci ve ikinci sayıların en basit faktörlere ayrıştırılması. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. İlk etap tamamlandı.

İkinci aşama, önceden alınmış verilerle çalışmayı içerir. Elde edilen sayıların her biri, nihai sonucun hesaplanmasına katılmalıdır. Her faktör için, orijinal sayılardan en fazla oluşum sayısı alınır. LCM toplam sayıdır, bu nedenle sayılardan gelen faktörler, bir kopyada bulunanlar bile, bire kadar tekrarlanmalıdır. Her iki ilk sayının bileşiminde farklı derecelerde 2, 3 ve 5 sayıları vardır, bir durumda sadece 7 vardır.

Nihai sonucu hesaplamak için, denklemde sunulan güçlerin en büyüğündeki her sayıyı almanız gerekir. Geriye kalan tek şey çarpmak ve doğru doldurma ile cevabı almaktır, görev açıklama yapmadan iki adıma sığar:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM = 6300.

Bütün sorun bu, gerekli sayıyı çarparak hesaplamaya çalışırsanız, 300 * 1260 = 378.000 olduğundan cevap kesinlikle doğru olmayacaktır.

muayene:

6300/300 = 21 - doğru;

6300/1260 = 5 - doğru.

Elde edilen sonucun doğruluğu kontrol edilerek belirlenir - LCM'nin her iki ilk sayıya bölünmesi, sayı her iki durumda da bir tam sayı ise, cevap doğrudur.

LCM matematikte ne anlama geliyor?

Bildiğiniz gibi, matematikte işe yaramaz tek bir fonksiyon yoktur, bu bir istisna değildir. Bu sayının en yaygın kullanımı, kesirleri ortak bir paydaya getirmektir. Genellikle lisenin 5-6. sınıflarında öğrenilen şey. Ayrıca, problemde bu tür koşullar varsa, tüm katlar için ortak bir bölendir. Benzer bir ifade, yalnızca iki sayının katını değil, aynı zamanda çok daha büyük bir sayıyı da bulabilir - üç, beş vb. Daha fazla sayı - görevdeki daha fazla eylem, ancak karmaşıklık bundan artmaz.

Örneğin, 250, 600 ve 1500 sayıları verildiğinde, bunların toplam LCM'sini bulmanız gerekir:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - bu örnek, çarpanlara ayırmayı iptal etmeden ayrıntılı olarak açıklar.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Bir ifade oluşturabilmek için tüm faktörlerin belirtilmesi gerekir, bu durumda 2, 5, 3 verilmiştir, - tüm bu sayılar için maksimum derecenin belirlenmesi gerekir.

Dikkat: Tüm çarpanlar, mümkünse, tek değerli olanlar düzeyine genişletilerek, eksiksiz sadeleştirmeye getirilmelidir.

muayene:

1) 3000/250 = 12 - doğru;

2) 3000/600 = 5 - doğru;

3) 3000/1500 = 2 - doğru.

Bu yöntem herhangi bir hile veya dahi düzeyinde yetenek gerektirmez, her şey basit ve anlaşılır.

Diğer yol

Matematikte çok şey bağlantılıdır, çok şey iki veya daha fazla şekilde çözülebilir, aynısı en küçük ortak kat olan LCM'yi bulmak için de geçerlidir. Basit iki basamaklı ve tek basamaklı sayılar durumunda aşağıdaki yöntem kullanılabilir. Çarpanın dikey, çarpanın yatay olarak girildiği ve ürünün sütunun kesişen hücrelerinde gösterildiği bir tablo derlenir. Tabloyu bir çizgi yardımıyla yansıtabilirsiniz, bir sayı alınır ve bu sayıyı 1'den sonsuza kadar tam sayılarla çarpmanın sonuçları arka arkaya yazılır, bazen 3-5 puan yeterlidir, ikinci ve sonraki sayılar aynı hesaplama işlemine tabi tutulmuştur. Ortak kat bulunana kadar her şey olur.

30, 35, 42 sayıları verildiğinde, tüm sayıları birleştiren LCM'yi bulmanız gerekir:

1) 30'un katları: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, vb.

2) 35'in katları: 70, 105, 140, 175, 210, 245, vb.

3) 42'nin katları: 84, 126, 168, 210, 252, vb.

Tüm sayıların oldukça farklı olduğu dikkat çekiyor, aralarındaki tek ortak sayı 210, yani LCM olacak. Bu hesaplama ile ilgili işlemler arasında, benzer ilkelere göre hesaplanan ve komşu problemlerde sıklıkla karşılaşılan en büyük ortak bölen de vardır. Fark küçüktür, ancak yeterince önemlidir, LCM, verilen tüm başlangıç ​​değerlerine bölünen bir sayının hesaplanmasını varsayar ve GCD, orijinal sayıların bölündüğü en büyük değerin hesaplanmasını varsayar.

"Çarpmalar" konusu, kapsamlı bir okulun 5. sınıfında incelenir. Amacı, matematiksel hesaplamaların yazılı ve sözlü becerilerini geliştirmektir. Bu derste yeni kavramlar tanıtılıyor - "katlar" ve "bölenler", bölenleri ve bir doğal sayının katlarını bulma tekniği, LCM'yi çeşitli şekillerde bulma yeteneği üzerinde çalışılıyor.

Bu konu çok önemlidir. Bununla ilgili bilgi, kesirli örnekler çözerken uygulanabilir. Bunu yapmak için, en küçük ortak katı (LCM) hesaplayarak ortak bir payda bulmanız gerekir.

A'nın katı, A'ya kalansız bölünebilen bir tam sayıdır.

Her doğal sayının sonsuz sayıda katı vardır. Kendisi en küçük olarak kabul edilir. Kat, sayının kendisinden küçük olamaz.

125'in 5'in katı olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. Bunu yapmak için ilk sayıyı ikinciye bölün. 125, 5 ile kalansız bölünebiliyorsa cevap evettir.

Bu yöntem küçük sayılar için geçerlidir.

LCM hesaplanırken özel durumlar vardır.

1. Birinin (80) diğerine (20) kalansız bölündüğü 2 sayının (örneğin, 80 ve 20) ortak katını bulmanız gerekiyorsa, bu sayı (80) en küçük sayıdır. bu iki sayının katları

LCM (80, 20) = 80.

2. Eğer ikisinin ortak böleni yoksa, LCM'lerinin bu iki sayının çarpımı olduğunu söyleyebiliriz.

LCM (6, 7) = 42.

Son örneğe bir göz atalım. 42'ye göre 6 ve 7 bölendir. Bir katı kalansız bölerler.

Bu örnekte, 6 ve 7 eşleştirilmiş bölenlerdir. Çarpımı, (42) sayısının en fazla katına eşittir.

Yalnızca kendisine veya 1'e bölünebilen sayılara asal denir (3:1 = 3; 3: 3 = 1). Geri kalanına kompozit denir.

Başka bir örnekte, 9'un 42'nin bir böleni olup olmadığını belirlemeniz gerekiyor.

42: 9 = 4 (kalan 6)

Cevap: 9, 42'nin tam böleni değildir, çünkü cevapta kalan vardır.

Bölen, çarpanın, doğal sayıların bölündüğü sayı olması ve katın kendisinin bu sayıya bölünebilmesi bakımından, çarpandan farklıdır.

Sayıların en büyük ortak böleni a ve B, en küçük katlarıyla çarpıldığında sayıların kendilerinin çarpımını verir a ve B.

Yani: OBEB (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Daha karmaşık sayıların ortak katları aşağıdaki şekilde bulunur.

Örneğin, 168, 180, 3024 için LCM'yi bulun.

Bu sayıları asal çarpanlara ayırıyoruz, derecelerin çarpımı şeklinde yazıyoruz:

168 = 2³х3¹х7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.