Video eğitimi 2: Piramit sorunu. Piramidin hacmi

Video eğitimi 3: Piramit sorunu. Doğru piramit

Ders: Piramit, tabanı, yan kaburgaları, yüksekliği, yan yüzeyi; Üçgen piramit; düzenli piramit

Piramit, özellikleri

Piramit tabanında bir çokgen bulunan ve tüm yüzleri üçgenlerden oluşan üç boyutlu bir cisimdir.

Piramidin özel bir durumu, tabanında daire bulunan bir konidir.

Piramidin ana unsurlarına bakalım:

Özlem- bu, piramidin üstünü yan yüzün alt kenarının ortasına bağlayan bir segmenttir. Başka bir deyişle bu, piramidin kenarının yüksekliğidir.

Şekilde ADS, ABS, BCS, CDS üçgenlerini görebilirsiniz. İsimlere yakından bakarsanız, her üçgenin adında ortak bir harf olduğunu görebilirsiniz - S. Yani bu, tüm yan yüzlerin (üçgenlerin) piramidin tepesi adı verilen bir noktada birleştiği anlamına gelir. .

Tepe noktasını tabanın köşegenlerinin kesişme noktasına (üçgenler durumunda - yüksekliklerin kesişme noktasında) bağlayan OS segmentine denir. piramit yüksekliği.

Çapraz bölüm, piramidin tepesinden ve tabanın köşegenlerinden birinden geçen bir düzlemdir.

Piramidin yan yüzeyi üçgenlerden oluştuğuna göre, Toplam alanı yan yüzey, her yüzün alanını bulup toplamanız gerekir. Yüzlerin sayısı ve şekli, tabanda bulunan çokgenin kenarlarının şekline ve boyutuna bağlıdır.

Piramitte tepe noktasına ait olmayan tek düzleme ne ad verilir? temel piramitler.

Şekilde tabanın bir paralelkenar olduğunu görüyoruz, ancak herhangi bir çokgen de olabilir.

Özellikler:

Kenarları aynı uzunlukta olan piramidin ilk durumunu düşünün:

• Böyle bir piramidin tabanının etrafına bir daire çizilebilir. Böyle bir piramidin tepesini yansıtırsanız, izdüşümü dairenin merkezinde yer alacaktır.
• Piramidin tabanındaki açılar her yüzde aynıdır.
• Bu durumda piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabilmesi ve ayrıca tüm kenarların farklı uzunluklarda olması için yeterli bir koşul, taban ile yüzlerin her bir kenarı arasındaki açıların aynı olduğu düşünülebilir.

Yan yüzleri ile taban arasındaki açıların eşit olduğu bir piramit ile karşılaşırsanız, aşağıdaki özellikler doğrudur:

• Piramidin tabanı etrafında, tepe noktası tam olarak merkeze yansıtılan bir daireyi tanımlayabileceksiniz.
• Yüksekliğin her bir yan kenarını tabana çizerseniz, bunlar eşit uzunlukta olacaktır.
• Böyle bir piramidin yan yüzey alanını bulmak için tabanın çevresini bulup yüksekliğin uzunluğunun yarısıyla çarpmak yeterlidir.
• S bp = 0,5P oc H.
• Piramit türleri.
• Piramidin tabanında hangi çokgenin bulunduğuna bağlı olarak üçgen, dörtgen vb. olabilirler. Piramidin tabanında normal bir çokgen varsa (ile eşit taraflar), o zaman böyle bir piramit düzenli olarak adlandırılacaktır.

Düzenli üçgen piramit

Bu video eğitimi, kullanıcıların Piramit teması hakkında fikir edinmelerine yardımcı olacaktır. Doğru piramit. Bu dersimizde piramit kavramını tanıyacağız ve ona bir tanım vereceğiz. Düzenli bir piramidin ne olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduğunu düşünelim. Daha sonra düzgün bir piramidin yan yüzeyi ile ilgili teoremi kanıtlıyoruz.

Bu dersimizde piramit kavramını tanıyacağız ve ona bir tanım vereceğiz.

Bir çokgen düşünün bir 1 bir 2...Birα düzleminde yer alan ve nokta Pα düzleminde yer almayan (Şekil 1). Noktaları birleştirelim P zirvelerle Bir 1, Bir 2, Bir 3, … Bir. Aldık Nüçgenler: bir 1 bir 2R, bir 2 bir 3 R ve benzeri.

Tanım. Çokyüzlü RA 1 A 2 ...A n, ondan yapılmış N-kare bir 1 bir 2...Bir Ve Nüçgenler RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n Bir n-1 denir N-kömür piramidi. Pirinç. 1.

Pirinç. 1

Dörtgen bir piramit düşünün PABCD(İncir. 2).

R- piramidin tepesi.

ABCD- piramidin tabanı.

RA- yan kaburga.

AB- taban kaburga.

noktadan R hadi dikeyi bırakalım RN taban düzlemine ABCD. Çizilen dikey piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 2

Piramidin tam yüzeyi yan yüzeyden, yani tüm yan yüzlerin alanından ve taban alanından oluşur:

S dolu = S tarafı + S ana

Aşağıdaki durumlarda bir piramit doğru olarak adlandırılır:

• tabanı düzenli bir çokgendir;
• piramidin tepesini tabanın merkezine bağlayan bölüm yüksekliğidir.

Düzenli dörtgen piramit örneğini kullanarak açıklama

Düzenli bir dörtgen piramit düşünün PABCD(Şek. 3).

R- piramidin tepesi. Piramidin tabanı ABCD- düzenli bir dörtgen, yani bir kare. Nokta HAKKINDA köşegenlerin kesişme noktası karenin merkezidir. Araç, RO piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 3

Açıklama: doğru N Bir üçgende, yazılı dairenin merkezi ile çevrel dairenin merkezi çakışır. Bu merkeze çokgenin merkezi denir. Bazen tepe noktasının merkeze yansıtıldığını söylerler.

Düzgün bir piramidin tepe noktasından çizilen yan yüzünün yüksekliğine ne denir? özlü söz ve belirlenmiş ha bir.

1. Düzenli bir piramidin tüm yan kenarları eşittir;

2. Yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir.

Düzenli dörtgen piramit örneğini kullanarak bu özelliklerin kanıtını vereceğiz.

Verilen: PABCD- düzenli dörtgen piramit,

ABCD- kare,

RO- piramidin yüksekliği.

Kanıtlamak:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Bkz. Şekil. 4.

Pirinç. 4

Kanıt.

RO- piramidin yüksekliği. Yani düz RO düzleme dik ABC ve bu nedenle doğrudan JSC, VO, SO Ve YAPMAK içinde yatıyor. Yani üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK- dikdörtgen.

Bir kare düşünün ABCD. Bir karenin özelliklerinden şu sonuç çıkar: AO = VO = CO = YAPMAK.

Daha sonra dik üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK bacak RO- genel ve bacaklar JSC, VO, SO Ve YAPMAK eşittir, yani bu üçgenlerin iki tarafı da eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden parçaların eşitliği çıkar, RA = PB = RS = PD. 1. nokta kanıtlandı.

Segmentler AB Ve Güneş aynı karenin kenarları oldukları için eşittirler, RA = PB = RS. Yani üçgenler AVR Ve VSR- ikizkenar ve üç tarafı eşittir.

Benzer şekilde üçgenleri buluyoruz ABP, VCP, CDP, DAP Paragraf 2'de kanıtlanması gerektiği gibi ikizkenar ve eşittir.

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresi ile apothemin çarpımının yarısına eşittir:

Bunu kanıtlamak için düzgün bir üçgen piramit seçelim.

Verilen: RAV'lar- düzenli üçgen piramit.

AB = BC = AC.

RO- yükseklik.

Kanıtlamak: . Bkz. 5.

Pirinç. 5

Kanıt.

RAV'lar- düzenli üçgen piramit. Yani AB= AC = BC. İzin vermek HAKKINDA- üçgenin merkezi ABC, Daha sonra RO piramidin yüksekliğidir. Piramidin tabanında eşkenar üçgen bulunur ABC. dikkat et ki .

üçgenler RAV, RVS, RSA- eşit ikizkenar üçgenler(özelliğe göre). sen Üçgen piramitüç yan yüz: RAV, RVS, RSA. Bu, piramidin yan yüzeyinin alanının şu şekilde olduğu anlamına gelir:

S tarafı = 3S RAW

Teorem kanıtlandı.

Düzenli bir dörtgen piramidin tabanına yazılan dairenin yarıçapı 3 m, piramidin yüksekliği 4 m'dir. Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

Verilen: düzenli dörtgen piramit ABCD,

ABCD- kare,

R= 3m,

RO- piramidin yüksekliği,

RO= 4 m.

Bulmak: S tarafı. Bkz. 6.

Pirinç. 6

Çözüm.

Kanıtlanmış teoreme göre, .

Önce tabanın kenarını bulalım AB. Düzenli dörtgen piramidin tabanına yazılan dairenin yarıçapının 3 m olduğunu biliyoruz.

Sonra m.

Karenin çevresini bulun ABCD 6 m kenarlı:

Bir üçgen düşünün BCD. İzin vermek M- yanın ortası DC. Çünkü HAKKINDA- orta BD, O (M).

Üçgen DPC- ikizkenar. M- orta DC. Yani, RM- medyan ve dolayısıyla üçgendeki yükseklik DPC. Daha sonra RM- piramidin özeti.

RO- piramidin yüksekliği. Daha sonra düz RO düzleme dik ABC ve bu nedenle doğrudan OM, içinde yatıyor. Hadi özlü sözü bulalım RM itibaren dik üçgen ROM.

Artık piramidin yan yüzeyini bulabiliriz:

Cevap: 60 m2.

Düzgün üçgen piramidin tabanını çevreleyen dairenin yarıçapı m'ye eşittir. Yan yüzey alanı 18 m 2'dir. Apothemin uzunluğunu bulun.

Verilen: ABCP- düzenli üçgen piramit,

AB = BC = SA,

R= m,

S tarafı = 18 m2.

Bulmak: . Bkz. 7.

Pirinç. 7

Çözüm.

Bir dik üçgende ABCÇevreleyen dairenin yarıçapı verilmiştir. Hadi bir taraf bulalım AB Bu üçgen sinüs yasasını kullanarak.

Tarafı bilmek düzgün üçgen(m), çevresini bulalım.

Düzenli bir piramidin yan yüzey alanına ilişkin teoreme göre, burada ha bir- piramidin özeti. Daha sonra:

Cevap: 4m.

Böylece piramidin ne olduğuna, düzenli piramidin ne olduğuna baktık ve düzenli piramidin yan yüzeyi hakkındaki teoremi kanıtladık. Bir sonraki derste kesik piramit ile tanışacağız.

Kaynakça

1. Geometri. 10-11. Sınıflar: öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları(temel ve profil seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta.
2. Geometri. 10-11 sınıf: Genel eğitime yönelik ders kitabı Eğitim Kurumları/ Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s .: hasta.
3. Geometri. 10. Sınıf: Genel eğitim kurumları için matematik alanında derinlemesine ve uzmanlaşmış çalışma içeren ders kitabı /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. baskı, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: hasta.

1. İnternet portalı "Yaklass" ()
2. İnternet portalı "Festival pedagojik fikirler"Eylül ayının ilki" ()
3. İnternet portalı “Slideshare.net” ()

Ev ödevi

1. Düzenli bir çokgen düzensiz bir piramidin tabanı olabilir mi?
2. Düzgün bir piramidin ayrık kenarlarının birbirine dik olduğunu kanıtlayın.
3. Eğer piramidin öz uzunluğu tabanının kenarına eşitse, düzgün bir dörtgen piramidin tabanının kenarındaki dihedral açının değerini bulun.
4. RAV'lar- düzenli üçgen piramit. Piramidin tabanındaki dihedral açının doğrusal açısını oluşturun.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavında yer alan görevleri dikkate almaya devam ediyoruz. Koşulun verildiği ve verilen iki nokta arasındaki mesafenin veya bir açının bulunmasının gerekli olduğu problemleri daha önce incelemiştik.

Bir piramit, tabanı bir çokgen olan, geri kalan yüzler üçgen olan ve ortak bir tepe noktasına sahip olan bir çokyüzlüdür.

Düzenli bir piramit, tabanında düzenli bir çokgen bulunan ve tepe noktası tabanın merkezine yansıtılan bir piramittir.

Düzenli bir dörtgen piramit - taban bir karedir Piramidin tepesi, tabanın köşegenlerinin (kare) kesişme noktasında yansıtılır.

ML - özlü söz
∠MLO - piramidin tabanındaki dihedral açı
∠MCO - piramidin yan kenarı ile taban düzlemi arasındaki açı

Bu yazıda düzenli bir piramidin çözümüne yönelik problemlere bakacağız. Bir element, yan yüzey alanı, hacim, yükseklik bulmanız gerekiyor. Elbette Pisagor teoremini, piramidin yan yüzeyinin formülünü ve piramidin hacmini bulma formülünü bilmeniz gerekir.

Makalede "" stereometrideki problemleri çözmek için gerekli formülleri sunar. Yani görevler:

SABCD nokta Ö- tabanın merkezi,S köşe, BU YÜZDEN = 51, AC.= 136. Yan kenarı bulunS.C..

İÇİNDE bu durumda taban bir karedir. Bu, AC ve BD köşegenlerinin eşit olduğu, kesiştikleri ve kesişme noktası tarafından ikiye bölündüğü anlamına gelir. Normal bir piramidin tepesinden düşen yüksekliğin piramidin tabanının merkezinden geçtiğine dikkat edin. Yani SO yükseklik ve üçgendirSOCdikdörtgen. O zaman Pisagor teoremine göre:

Kök nasıl çıkarılır çok sayıda.

Cevap: 85

Kendin için karar ver:

Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD nokta Ö- tabanın merkezi, S köşe, BU YÜZDEN = 4, AC.= 6. Yan kenarı bulun S.C..

Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD nokta Ö- tabanın merkezi, S köşe, S.C. = 5, AC.= 6. Parçanın uzunluğunu bulun BU YÜZDEN.

Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD nokta Ö- tabanın merkezi, S köşe, BU YÜZDEN = 4, S.C.= 5. Parçanın uzunluğunu bulun AC..

SABC R- kaburganın ortası M.Ö., S- tepe. biliniyor ki AB= 7, bir S.R.= 16. Yan yüzey alanını bulun.

Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresi ile apothemin çarpımının yarısına eşittir (apothem, tepe noktasından çizilen normal bir piramidin yan yüzünün yüksekliğidir):

Veya şunu söyleyebiliriz: Piramidin yan yüzeyinin alanı toplamına eşittir üç kare yan kenarlar. Düzenli üçgen piramidin yan yüzleri eşit alanlı üçgenlerdir. Bu durumda:

Cevap: 168

Kendin için karar ver:

Düzenli bir üçgen piramitte SABC R- kaburganın ortası M.Ö., S- tepe. biliniyor ki AB= 1, bir S.R.= 2. Yan yüzey alanını bulun.

Düzenli bir üçgen piramitte SABC R- kaburganın ortası M.Ö., S- tepe. biliniyor ki AB= 1 ve yan yüzeyin alanı 3'tür. Segmentin uzunluğunu bulun S.R..

Düzenli bir üçgen piramitte SABC L- kaburganın ortası M.Ö., S- tepe. biliniyor ki SL= 2 ve yan yüzeyin alanı 3'tür. Segmentin uzunluğunu bulun AB.

Düzenli bir üçgen piramitte SABC M. Bir üçgenin alanı ABC 25, piramidin hacmi 100'dür. Parçanın uzunluğunu bulun HANIM.

Piramidin tabanı eşkenar üçgendir. Bu yüzden Mtabanın merkezidir veHANIM- düzenli bir piramidin yüksekliğiSABC. Piramidin hacmi SABC eşittir: çözümü görüntüle

Düzenli bir üçgen piramitte SABC tabanın kenarortayları bir noktada kesişir M. Bir üçgenin alanı ABC 3'e eşittir, HANIM= 1. Piramidin hacmini bulun.

Düzenli bir üçgen piramitte SABC tabanın kenarortayları bir noktada kesişir M. Piramidin hacmi 1'dir, HANIM= 1. Üçgenin alanını bulun ABC.

Burada bitirelim. Gördüğünüz gibi sorunlar bir veya iki adımda çözülüyor. İlerleyen zamanlarda devrim bedenlerinin verildiği bu kısımdan diğer sorunları da ele alacağız, sakın kaçırmayın!

Sana başarılar diliyorum!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

İlk seviye

Piramit. Görsel Kılavuz (2019)

Piramit nedir?

O nasıl görünüyor?

Görüyorsunuz: piramidin alt kısmında (“ diyorlar) üssünde") bazı çokgenler ve bu çokgenin tüm köşeleri uzaydaki bir noktaya bağlıdır (bu noktaya " denir) tepe noktası»).

Bütün bu yapı hâlâ yan yüzler, yan kaburga Ve taban kaburga. Bir kez daha tüm bu isimlerin yer aldığı bir piramit çizelim:

Bazı piramitler çok tuhaf görünebilir ama yine de piramittirler.

Örneğin burada tamamen “eğik” piramit.

Ve isimler hakkında biraz daha: eğer piramidin tabanında bir üçgen varsa, piramit üçgen olarak adlandırılır, eğer dörtgen ise, o zaman dörtgen ve eğer bir yüzgen ise, o zaman... kendiniz tahmin edin .

Aynı zamanda düştüğü nokta yükseklik, isminde yükseklik tabanı. Lütfen “çarpık” piramitlerde olduğunu unutmayın. yükseklik hatta piramidin dışına bile çıkabilir. Bunun gibi:

Ve bunda yanlış bir şey yok. Geniş bir üçgene benziyor.

Doğru piramit.

Birçok karmaşık kelimeler? Hadi deşifre edelim: "Temelde - doğru" - bu anlaşılabilir bir durumdur. Şimdi normal bir çokgenin bir merkezi olduğunu hatırlayalım; ve'nin merkezi olan bir nokta.

Peki, "üst kısım tabanın merkezine yansıtılıyor" ifadesi, yüksekliğin tabanının tam olarak tabanın merkezine düştüğü anlamına geliyor. Bakın ne kadar pürüzsüz ve sevimli görünüyor düzenli piramit.

Altıgen: Tabanda düzenli bir altıgen vardır, tepe noktası tabanın merkezine yansıtılır.

Dörtgen: taban bir karedir, üst kısım bu karenin köşegenlerinin kesişme noktasına yansıtılır.

Üçgensel: tabanda normal bir üçgen var, tepe noktası bu üçgenin yüksekliklerinin (aynı zamanda medyanlar ve açıortaylardır) kesişme noktasına yansıtılıyor.

Çok Düzenli bir piramidin önemli özellikleri:

Doğru piramitte

• tüm yan kenarlar eşittir.
• tüm yan yüzler ikizkenar üçgendir ve bu üçgenlerin tümü eşittir.

Piramidin hacmi

Bir piramidin hacminin ana formülü:

Tam olarak nereden geldi? Bu o kadar basit değil ve ilk önce formülde piramit ve koninin hacminin olduğunu, ancak silindirin olmadığını hatırlamanız gerekiyor.

Şimdi en popüler piramitlerin hacmini hesaplayalım.

Tabanın yan tarafı eşit, yan kenarı eşit olsun. Bulmalıyız ve.

Bu normal bir üçgenin alanıdır.

Bu alanı nasıl arayacağımızı hatırlayalım. Alan formülünü kullanıyoruz:

Bizim için " " budur, " " de budur, eh.

Şimdi bulalım.

Pisagor teoremine göre

Fark ne? Bu çevre yarıçapıdır çünkü piramitdoğru ve dolayısıyla merkez.

O zamandan beri - medyanların da kesişme noktası.

(Pisagor teoremi)

Bunu formülde yerine koyalım.

Ve her şeyi hacim formülünde yerine koyalım:

Dikkat: düzenli bir tetrahedronunuz varsa (yani), formül şu şekilde ortaya çıkar:

Tabanın yan tarafı eşit, yan kenarı eşit olsun.

Buraya bakmanıza gerek yok; Sonuçta taban bir karedir ve bu nedenle.

Onu bulacağız. Pisagor teoremine göre

Biliyormuyuz? Neredeyse. Bakmak:

(bunu bakarak gördük).

Formülde yerine şunu koyun:

Şimdi ve'yi hacim formülünde yerine koyuyoruz.

Tabanın yan tarafı eşit ve yan kenarı olsun.

Nasıl bulunur? Bakın, bir altıgen tam olarak altı özdeş düzgün üçgenden oluşur. Düzgün üçgen piramidin hacmini hesaplarken zaten düzgün üçgenin alanını aramıştık; burada bulduğumuz formülü kullanıyoruz.

Şimdi (onu) bulalım.

Pisagor teoremine göre

Ama ne fark eder? Çok basit çünkü (ve diğer herkes de) haklı.

yerine koyalım:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PİRAMİT. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bir piramit, herhangi bir düz çokgenden (), taban düzleminde olmayan bir noktadan (piramidin tepesi) ve piramidin tepesini tabanın noktalarına (yan kenarlar) bağlayan tüm bölümlerden oluşan bir çokyüzlüdür.

Piramidin tepesinden taban düzlemine dik bir çizgi düştü.

Doğru piramit- Tabanda düzenli bir çokgenin bulunduğu ve piramidin tepesinin tabanın merkezine yansıtıldığı bir piramit.

Düzenli bir piramidin özelliği:

• Düzenli bir piramitte tüm yan kenarlar eşittir.
• Tüm yan yüzler ikizkenar üçgendir ve bu üçgenlerin tümü eşittir.