Yamuğun orta çizgisi kavramı
Başlamak için, hangi şekle yamuk dendiğini hatırlayalım.
tanım 1
Bir yamuk, iki kenarı paralel ve diğer ikisi paralel olmayan bir dörtgendir.
Bu durumda, paralel taraflara yamuğun tabanları denir, paralel değil - yamuğun kenarları.
tanım 2
Bir yamuğun orta çizgisi, yamuğun kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir çizgi parçasıdır.
Bir yamuk için merkez çizgisi teoremi
Şimdi teoremi bir yamuğun orta çizgisine tanıtıyoruz ve vektör yöntemiyle kanıtlıyoruz.
teorem 1
Yamuğun orta çizgisi tabanlara paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.
Kanıt.
Bize $ AD \ ve \ BC $ tabanlı bir yamuk $ ABCD $ verilsin. Ve $ MN $ bu yamuğun orta çizgisi olsun (Şekil 1).
Şekil 1. Yamuğun orta çizgisi
$ MN || AD \ ve \ MN = \ frac (AD + BC) (2) $ olduğunu ispatlayalım.
$ \ overrightarrow (MN) $ vektörünü düşünün. Ardından, vektörleri eklemek için çokgen kuralını kullanırız. Bir yandan bunu anlıyoruz.
Diğer tarafta
Son iki eşitliği toplarsak,
$ M $ ve $ N $ yamuğun yan kenarlarının orta noktaları olduğundan,
Alırız:
Buradan
Aynı eşitlikten ($ \ overrightarrow (BC) $ ve $ \ overrightarrow (AD) $ eş yönlü olduğundan ve dolayısıyla eşdoğrusal olduğundan) $ MN || AD $ elde ederiz.
Teorem ispatlandı.
Bir yamuğun orta çizgisi kavramına ilişkin görev örnekleri
örnek 1
Yamuğun kenarları sırasıyla 15 $ \ cm $ ve 17 $ \ cm $ 'dır. Yamuğun çevresi 52 $ \ cm $'dır. Yamuğun orta çizgisinin uzunluğunu bulun.
Çözüm.
Yamuğun orta çizgisini $ n $ ile gösterelim.
Kenarların toplamı
Bu nedenle, çevre 52 $ \ cm $ olduğundan, tabanların toplamı
Dolayısıyla, Teorem 1 ile elde ederiz
Yanıt vermek: 10$\cm$.
Örnek 2
Dairenin çapının uçları sırasıyla 9 $ cm ve 5 $ cm tanjantından çıkarılır.Bu dairenin çapını bulun.
Çözüm.
Bize $ O $ merkezli ve $ AB $ çapında bir daire verilsin. $ l $ teğet çizgisini çizin ve $ AD = 9 \ cm $ ve $ BC = 5 \ cm $ mesafelerini oluşturun. $ OH $ yarıçapını çizelim (Şekil 2).
Şekil 2.
$ AD $ ve $ BC $ teğete olan uzaklıklar olduğundan, $ AD \ bot l $ ve $ BC \ bot l $ ve $ OH $ yarıçap olduğundan, $ OH \ bot l $, dolayısıyla $ OH | \ sol | AD \ sağ || M.Ö. $. Bütün bunlardan, $ ABCD $'ın bir yamuk olduğunu ve $ OH $'ın orta çizgisi olduğunu elde ederiz. Teorem 1 ile elde ederiz
Sadece iki kenarı paralel olan dörtgene denir yamuk.
Yamuğun paralel kenarlarına denir. zemin, paralel olmayan kenarlara denir yan taraflar... Kenarlar eşitse, böyle bir yamuk ikizkenardır. Tabanlar arasındaki mesafeye yamuğun yüksekliği denir.
Trapez Orta Hattı
Orta hat, yamuğun kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır. Yamuğun orta çizgisi tabanlarına paraleldir.
teorem:
Bir kenarın ortasından geçen düz bir çizgi yamuğun tabanlarına paralel ise, yamuğun ikinci kenarını ikiye böler.
teorem:
Orta çizginin uzunluğu, taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir.
MN || AB || DCAM = MD; BN = NC
MN orta çizgi, AB ve CD - tabanlar, AD ve BC - taraflar
MN = (AB + DC) / 2
teorem:
Yamuğun orta çizgisinin uzunluğu, taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir.
Ana görev: Bir yamuğun orta çizgisinin, uçları yamuğun tabanının ortasında bulunan bir parçayı ikiye böldüğünü kanıtlayın.
Üçgenin Merkez Çizgisi
Üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına üçgenin orta çizgisi denir. Üçüncü kenara paraleldir ve üçüncü kenarın yarısı kadardır.
teorem: Üçgenin bir kenarının orta noktasını kesen doğru bu üçgenin diğer kenarına paralel ise üçüncü kenarı ikiye böler.
AM = MC ve BN = NC =>
Üçgen ve Yamuk Orta Çizgi Özelliklerini Uygulama
Bir parçanın belirli sayıda eşit parçaya bölünmesi.
Görev: AB parçasını 5 eşit parçaya bölün.
Çözüm:
p, orijini A noktasında olan ve AB doğrusu üzerinde olmayan rastgele bir ışın olsun. Arka arkaya 5 eşit parçayı p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5 üzerine yerleştiriyoruz.
A 5'i B'ye bağlarız ve bu çizgileri A 5 B'ye paralel olan A 4, A 3, A 2 ve A 1 üzerinden çizeriz. Sırasıyla B 4, B 3, B 2 ve B 1 noktalarında AB ile kesişirler. . Bu noktalar AB doğru parçasını 5 eşit parçaya böler. Gerçekten de, BB 3 A 3 A 5 yamuğundan BB 4 = B 4 B 3 olduğunu görüyoruz. Aynı şekilde, yamuk B 4 B 2 A 2 A 4'ten B 4 B 3 = B 3 B 2 elde ederiz.
Bir yamuktan B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Ardından B 2 AA 2'den B 2 B 1 = B 1 A olduğu sonucu çıkar. Sonuç olarak, şunu elde ederiz:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
AB parçasını başka sayıda eşit parçaya bölmek için, aynı sayıda eşit parçayı p ışınına yansıtmamız gerektiği açıktır. Ve sonra yukarıda açıklanan şekilde devam edin.
Bu yazımızda sizler için başka bir yamuk problemi seçimi yaptık. Koşullar bir şekilde orta çizgisiyle bağlantılıdır. Görev türleri, tipik görevlerin açık bankasından alınır. Dilerseniz teorik bilgilerinizi tazeleyebilirsiniz. Blog, koşulları da ilgili olan görevleri zaten kapsıyor. Kısaca orta çizgi hakkında:
Yamuğun orta çizgisi, yan tarafların orta noktalarını birleştirir. Tabanlara paralel ve yarı toplamlarına eşittir.
Problemleri çözmeden önce teorik bir örneğe bakalım.
Bir yamuk ABCD verildi. Orta çizgiyle kesişen AC köşegeni bir K noktası, BD köşegeni L noktası oluşturur. KL doğru parçasının tabanlar arasındaki farkın yarısına eşit olduğunu kanıtlayın.
İlk önce, bir yamuğun orta çizgisinin, uçları tabanlarında uzanan herhangi bir parçayı ikiye böldüğü gerçeğine dikkat edelim. Bu sonuç kendini göstermektedir. İki temel noktayı birleştiren bir parça hayal edin, bu yamuğu ikiye bölecektir. Yamuğun tabanlarına paralel ve diğer taraftaki kenarın ortasından geçen bir doğru parçasının ortasından geçeceği ortaya çıktı.
Ayrıca Thales teoremine dayanmaktadır:
İki düz çizgiden birinde arka arkaya birkaç eşit parçayı bir kenara bırakırsak ve uçları boyunca ikinci düz çizgiyi kesen paralel düz çizgiler çizersek, ikinci düz çizgide eşit parçalar keseceklerdir.
Yani, bu durumda K, AC'nin ortasıdır ve L, BD'nin ortasıdır. Bu nedenle EK, ABC üçgeninin orta çizgisidir, LF, DCB üçgeninin orta çizgisidir. Üçgenin orta çizgisinin özelliği ile:
Artık KL segmentini bazlar aracılığıyla ifade edebiliriz:
Kanıtlanmış!
Bu örnek bir nedenle verilmiştir. Bağımsız çözüm için problemlerde, sadece böyle bir problem var. Sadece köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının orta çizgide olduğunu söylemez. Görevleri düşünün:
27819. Tabanları 30 ve 16 ise bir yamuğun orta çizgisini bulun.
Formülle hesaplıyoruz:
27820. Yamuğun orta çizgisi 28 ve küçük tabanı 18'dir. Yamuğun daha büyük tabanını bulun.
Daha büyük bir tabanı ifade edelim:
Böylece:
27836. Geniş açının tepesinden ikizkenar yamuğun daha büyük tabanına indirilen dik, onu 10 ve 4 uzunluklu parçalara ayırır. Bu yamuğun orta çizgisini bulun.
Merkez çizgisini bulmak için tabanı bilmeniz gerekir. AB tabanını bulmak kolaydır: 10 + 4 = 14. DC'yi bulun.
İkinci dikey DF'yi oluşturalım:
AF, FE ve EB sırasıyla 4, 6 ve 4 olacaktır.Neden?
Bir ikizkenar yamukta, daha büyük tabana indirilen dikler onu üç parçaya böler. Kesik dik üçgenlerin bacakları olan ikisi birbirine eşittir. Üçüncü bölüm, daha küçük tabana eşittir, çünkü belirtilen yükseklikleri oluştururken bir dikdörtgen oluşur ve dikdörtgende karşı taraflar eşittir. Bu görevde:
Böylece DC = 6. Hesaplıyoruz:
27839. Yamuğun tabanı 2: 3 ve orta çizgi 5'tir. Daha küçük tabanı bulun.
Orantı katsayısı x'i tanıtalım. O zaman AB = 3x, DC = 2x. Yazabiliriz:
Bu nedenle, daha küçük taban 2 ∙ 2 = 4'tür.
27840. Bir ikizkenar yamuğun çevresi 80'dir, orta çizgisi yan tarafa eşittir. Yamuğun kenarını bulun.
Duruma göre şunları yazabiliriz:
Orta çizgiyi x değeriyle belirlerseniz, şunu elde edersiniz:
İkinci denklem şu şekilde yazılabilir:
27841. Yamuğun orta çizgisi 7'dir ve tabanlarından biri diğerinden 4'tür. Yamuğun daha büyük tabanını bulun.
Küçük tabanı (DC) x olarak gösterelim, o zaman daha büyük olan (AB) x + 4'e eşit olacaktır. yazabiliriz
Alt tabanın erken beş olduğunu anladık, yani büyük olan 9'dur.
27842. Yamuğun orta çizgisi 12'dir. Köşegenlerden biri onu farkı 2 olan iki parçaya böler. Yamuğun daha büyük tabanını bulun.
EO segmentini hesaplarsak yamuğun daha büyük tabanını kolayca bulabiliriz. ADB üçgeninde orta çizgidir ve AB = 2 ∙ EO.
Bizim neyimiz var? Orta çizginin 12 olduğu ve EO ve OF segmentleri arasındaki farkın 2 olduğu söyleniyor. İki denklem yazıp sistemi çözebiliriz:
Bu durumda hesaplama yapmadan bir çift sayı almanın mümkün olduğu açıktır, bunlar 5 ve 7'dir. Ancak yine de sistemi çözeceğiz:
Dolayısıyla EO = 12–5 = 7. Böylece, daha büyük taban AB = 2 ∙ EO = 14'e eşittir.
27844. Bir ikizkenar yamukta köşegenler diktir. Yamuğun yüksekliği 12'dir. Orta çizgisini bulun.
Hemen, bir ikizkenar yamukta köşegenlerin kesişme noktasından çizilen yüksekliğin, simetri ekseni üzerinde uzandığını ve yamuğu iki eşit dikdörtgen yamuğa böldüğünü, yani bu yüksekliğin tabanlarının ikiye bölündüğünü not ediyoruz.
Görünüşe göre orta çizgiyi hesaplamak için tabanları bulmamız gerekiyor. Burada küçük bir çıkmaz ortaya çıkıyor ... Bu durumda yüksekliği bilmek, tabanları hesaplamak için nasıl? Ve nasıl değil! Sabit bir yüksekliğe ve 90 derecelik bir açıyla kesişen köşegenlere sahip bu tür birçok yamuk vardır. Nasıl olunur?
Bir yamuğun orta çizgisi için formüle bakın. Ne de olsa, gerekçeleri bilmemiz gerekmez, toplamlarını (veya yarım toplamlarını) bilmemiz yeterlidir. Bunu yapabiliriz.
Köşegenler dik açılarda kesiştiği için, yüksekliği EF olan ikizkenar dik açılı üçgenler oluşur:
Yukarıdakilerden, FO = DF = FC ve OE = AE = EB olduğunu takip eder. Şimdi DF ve AE segmentleri cinsinden ifade edilen yüksekliğin ne olduğunu yazalım:
Yani orta çizgi 12'dir.
* Genel olarak, bu, anladığınız gibi sözlü sayım için bir görevdir. Ancak sağlanan ayrıntılı açıklamanın gerekli olduğundan eminim. Ve böylece ... Şekle bakarsanız (inşaat sırasında köşegenler arasındaki açıya dikkat edilmesi şartıyla), FO = DF = FC ve OE = AE = EB eşitliği hemen gözünüze çarpıyor.
Prototiplerin bir parçası olarak, yamuklu görev türleri de vardır. Bir kafeste bir levha üzerine kuruludur ve orta çizgiyi bulmanız gerekir, kafesin kenarı genellikle 1'dir ancak farklı bir değer olabilir.
27848. Yamuğun orta çizgisini bulun ABCD kare hücrelerin kenarları 1 ise.
Çok basit, bazları hücrelere göre hesaplıyoruz ve formülü kullanıyoruz: (2 + 4) / 2 = 3
Bazlar hücre ızgarasına bir açıyla inşa edilmişse, iki yol vardır. Örneğin!
Dersin Hedefleri:
1) öğrencileri bir yamuğun orta çizgisi kavramıyla tanıştırmak, özelliklerini düşünmek ve kanıtlamak;
2) bir yamuğun orta çizgisinin nasıl oluşturulacağını öğretmek;
3) öğrencilerin problem çözerken yamuğun orta çizgisinin tanımını ve yamuğun orta çizgisinin özelliklerini kullanma becerisini geliştirmek;
4) gerekli matematiksel terimleri kullanarak öğrencilerin doğru konuşma becerilerini oluşturmaya devam etmek; bakış açınızı kanıtlayın;
5) mantıksal düşünme, hafıza, dikkat geliştirir.
Dersler sırasında
1. Ödev kontrolü ders sırasında gerçekleşir. Ödev sözlüydü, unutmayın:
a) yamuk tanımı; yamuk türleri;
b) üçgenin orta çizgisinin belirlenmesi;
c) üçgenin orta çizgisinin özelliği;
d) bir üçgenin orta çizgisinin işareti.
2. Yeni materyal öğrenmek.
a) Yamuk ABCD tahtada gösterilmiştir.
b) Öğretmen bir yamuğun tanımını hatırlamayı önerir. Her okul sırası, "Trapezium" konusundaki temel kavramları hatırlamaya yardımcı olan bir ipucu şemasına sahiptir (bkz. Ek 1). Her okul sırası için Ek 1 verilir.
Öğrenciler bir deftere yamuk ABCD çizer.
c) Öğretmen orta çizgi kavramıyla hangi konuda karşılaşıldığını hatırlamayı önerir (“Bir üçgenin orta çizgisi”). Öğrenciler bir üçgenin orta çizgisinin tanımını ve özelliklerini hatırlar.
e) Bir defterde tasvir ederek yamuğun orta çizgisinin tanımını yazın.
Orta hat bir yamuk, yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir segment olarak adlandırılır.
Bu aşamada bir yamuğun orta çizgisinin özelliği kanıtlanmamıştır, bu nedenle dersin bir sonraki aşaması, bir yamuğun orta çizgisinin özelliğinin kanıtı üzerinde çalışmayı içerir.
Teorem. Yamuğun orta çizgisi tabanlarına paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.
Verilen: ABCD - yamuk,
MN - orta çizgi ABCD
Kanıtlamak, ne:
1. M.Ö. || MN || AD.
2. MN = (AD + BC).
Teoremin koşullarından çıkan bazı sonuçları yazabiliriz:
AM = MB, CN = ND, BC || AD.
Sadece listelenen özelliklere dayanarak neyin gerekli olduğunu kanıtlamak imkansızdır. Bir soru ve alıştırma sistemi, öğrencileri, özelliklerini zaten bildikleri bir yamuğun orta çizgisini bir üçgenin orta çizgisine bağlama arzusuna yönlendirmelidir. Herhangi bir öneri yoksa, şu soruyu sorabilirsiniz: MN segmentinin orta çizgi olacağı bir üçgen nasıl oluşturulur?
Durumlardan biri için ek bir yapı yazalım.
AD kenarının uzantısını K noktasında kesen BN doğrusu çizin.
Ek öğeler görünür - üçgenler: ABD, BNM, DNK, BCN. BN = NK olduğunu kanıtlarsak, bu, MN'nin ABD'nin orta çizgisi olduğu anlamına gelir ve o zaman bir üçgenin orta çizgisinin özelliğini kullanabilir ve neyin gerekli olduğunu kanıtlayabiliriz.
Kanıt:
1. İçlerinde BNC ve DNK'yi düşünün:
a) CNB = DNK (dikey açı özelliği);
b) BCN = NDK (çapraz köşelerin özelliği);
c) CN = ND (teoremin koşullarının doğal sonucu olarak).
Dolayısıyla BNC = DNK (yan ve iki bitişik köşe boyunca).
Q.E.D.
Kanıt derste sözlü olarak yapılabilir ve evde not defterine geri yüklenebilir ve yazılabilir (öğretmenin takdirine bağlı olarak).
Bu teoremi kanıtlamanın diğer olası yolları hakkında şunları söylemek gerekir:
1. Yamuğun köşegenlerinden birini çizin ve üçgenin orta çizgisinin işaretini ve özelliğini kullanın.
2. CF'yi gerçekleştirin || BA ve ABCF ve DCF paralelkenarını düşünün.
3. EF'yi yürütün || BA ve FND ve ENC eşitliğini göz önünde bulundurun.
g) Bu aşamada ödev verilir: s.84, ders kitabı, ed. Atanasyan L.S. (bir yamuğun orta çizgisinin özelliğinin vektörel bir şekilde kanıtı), bir deftere yazın.
h) Bitmiş çizimlere göre bir yamuğun orta çizgisinin tanımını ve özelliklerini kullanma problemlerini çözeriz (bkz. Ek 2). Her öğrenciye Ek 2 verilir ve problemlerin çözümü kısa bir formda aynı sayfaya yazılır.
Trapez alanı. Selamlar! Bu yazıda, belirtilen formüle bir göz atacağız. Neden tamamen aynı ve onu nasıl anlamalı? Anlayış varsa, onu öğrenmenize gerek yoktur. Sadece bu formülü ve acil olanı görmek istiyorsanız, hemen sayfayı aşağı kaydırabilirsiniz))
Şimdi ayrıntılı ve sırayla.
Bir yamuk bir dörtgendir, bu dörtgenin iki kenarı paraleldir, diğer ikisi değildir. Paralel olmayanlar yamuğun tabanlarıdır. Diğer ikisine taraf denir.
Kenarlar eşitse, yamuğa ikizkenar denir. Yan taraflardan biri tabanlara dik ise, böyle bir yamuk dikdörtgen olarak adlandırılır.
Klasik formda, yamuk aşağıdaki gibi gösterilir - daha büyük taban sırasıyla altta, daha küçük olan üsttedir. Ancak kimse onu tasvir etmeyi yasaklamıyor ve bunun tersi de geçerli. İşte eskizler:
Bir sonraki önemli kavram.
Yamuğun orta çizgisi, kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır. Orta çizgi yamuğun tabanlarına paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.
Şimdi daha derine inelim. Neden böyle?
Tabanları olan bir yamuk düşünün a ve B ve orta çizgi ile ben, ve bazı ek yapılar gerçekleştireceğiz: tabanlarla kesişene kadar tabanlardan düz çizgiler ve orta hattın uçlarından dikey çizgiler çizin:
* Gereksiz gösterimlerden kaçınmak için köşelerin ve diğer noktaların harf gösterimleri kasıtlı olarak yapılmamıştır.
Bakın, üçgenlerin ikinci eşitliğinde 1 ve 2 üçgenleri eşittir, 3 ve 4 üçgenleri de aynıdır. Üçgenlerin eşitliği, elemanların, yani bacakların eşitliğini ifade eder (sırasıyla mavi ve kırmızı ile gösterilirler).
Şimdi dikkat! Mavi ve kırmızı segmenti alt tabandan zihinsel olarak "kesersek", orta hatta eşit bir segmentimiz (bu dikdörtgenin kenarıdır) olacaktır. Ayrıca, kesilen mavi ve kırmızı çizgiyi yamuğun üst tabanına "yapıştırırsak", o zaman yamuğun orta çizgisine eşit bir parça da (bu aynı zamanda dikdörtgenin kenarıdır) elde ederiz.
Anladım? Bazların toplamının yamuğun iki orta çizgisine eşit olacağı ortaya çıktı:
Başka bir açıklamaya bakın
Aşağıdakileri yapalım - yamuğun alt tabanından geçen düz bir çizgi ve A ve B noktalarından geçecek düz bir çizgi oluşturun:
1 ve 2 üçgenlerini alıyoruz, yanlarda ve bitişik açılarda eşitler (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti). Bu, ortaya çıkan parçanın (çizimde mavi ile gösterilmiştir) yamuğun üst tabanına eşit olduğu anlamına gelir.
Şimdi üçgeni düşünün:
* Bu yamuğun orta çizgisi ile üçgenin orta çizgisi örtüşür.
Bir üçgenin paralel tabanının yarısına eşit olduğu bilinmektedir, yani:
Tamam, hallettim. Şimdi yamuğun alanı hakkında.
Yamuk alan formülü:
Derler ki: bir yamuğun alanı, tabanlarının ve yüksekliğinin yarısının çarpımına eşittir.
Yani, orta hat ile yüksekliğin çarpımına eşit olduğu ortaya çıktı:
Muhtemelen şimdiye kadar bunun açık olduğunu fark etmişsinizdir. Geometrik olarak, bu şu şekilde ifade edilebilir: eğer zihinsel olarak 2 ve 4 numaralı üçgenleri yamuktan kesip sırasıyla 1 ve 3 numaralı üçgenlere koyarsak.
Sonra yamuğumuzun alanına eşit bir alanda bir dikdörtgen elde ederiz. Bu dikdörtgenin alanı orta çizginin ürününe ve yüksekliğine eşit olacaktır, yani şunu yazabiliriz:
Ama buradaki mesele elbette kayıtta değil, anlayışta.
Makale materyalini * pdf formatında indirin (görüntüleyin)
Bu kadar. Size başarılar!
Saygılarımla, İskender.
Yükleniyor ...