Bir sayının kökü manuel olarak nasıl hesaplanır. Konuyla ilgili araştırma çalışması: "Hesap makinesi olmadan büyük sayılardan karekök çıkarma"

Matematik ve fizik dersinden çeşitli problemleri çözerken, öğrenciler ve öğrenciler genellikle ikinci, üçüncü veya n. derecenin köklerini çıkarma ihtiyacıyla karşı karşıya kalırlar. Elbette bilgi teknolojisi çağında böyle bir sorunu bir hesap makinesi ile çözmek hiç de zor olmayacaktır. Ancak, elektronik asistan kullanmanın imkansız olduğu durumlar vardır.

Örneğin birçok sınava elektronik eşya getirmek yasaktır. Ayrıca hesap makinesi elinizin altında olmayabilir. Bu gibi durumlarda, radikalleri manuel olarak hesaplamak için en azından bazı yöntemleri bilmek faydalıdır.

Kökleri hesaplamanın en basit yollarından biri, özel bir masa kullanarak. Nedir ve nasıl doğru kullanılır?

Tabloyu kullanarak 10'dan 99'a kadar herhangi bir sayının karesini bulabilirsiniz. Aynı zamanda tablonun satırlarında onlarca değer, sütunlarda birim değerler bulunur. Bir satır ve bir sütunun kesişim noktasındaki hücre, iki basamaklı bir sayının karesini içerir. 63'ün karesini hesaplamak için 6 değerinde bir satır ve 3 değerinde bir sütun bulmanız gerekiyor. Kavşakta 3969 numaralı bir hücre buluyoruz.

Kökü çıkarmak kare almanın ters işlemi olduğundan, bu işlemi gerçekleştirmek için tersini yapmanız gerekir: önce kökünü hesaplamak istediğiniz sayının bulunduğu hücreyi bulun, ardından sütun ve satır değerlerinden cevabı belirleyin. Örnek olarak, 169'un karekökünün hesaplanmasını düşünün.

Tabloda bu sayıya sahip bir hücre buluyoruz, yatay olarak onlar - 1'i, dikey olarak olanları - 3'ü buluyoruz. Cevap: √169 = 13.

Benzer şekilde, uygun tabloları kullanarak kübik ve n'inci derecenin köklerini hesaplayabilirsiniz.

Yöntemin avantajı basitliği ve ek hesaplamaların olmamasıdır. Dezavantajlar açıktır: yöntem yalnızca sınırlı bir sayı aralığı için kullanılabilir (kökünün bulunduğu sayı 100 ile 9801) arasında olmalıdır. Ayrıca verilen sayı tabloda yoksa çalışmayacaktır.

asal çarpanlara ayırma

Kareler tablosu elinizde değilse veya yardımı ile kökü bulmak imkansızsa, deneyebilirsiniz. kök altındaki sayıyı asal çarpanlarına ayır. Asal çarpanlar, tamamen (kalansız) yalnızca kendisine veya bire bölünebilenlerdir. Örnekler 2, 3, 5, 7, 11, 13 vb. olabilir.

√576 örneğini kullanarak kökün hesaplanmasını düşünün. Basit faktörlere ayıralım. Şu sonucu elde ederiz: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². √a² = a köklerinin ana özelliğini kullanarak köklerden ve karelerden kurtuluruz, ardından cevabı hesaplarız: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Faktörlerden herhangi birinin kendi çifti yoksa ne yapmalı? Örneğin, √54 hesaplamasını ele alalım. Faktoring işleminden sonra sonucu aşağıdaki biçimde alırız: Çıkarılamayan kısım kökün altında bırakılabilir. Geometri ve cebirdeki çoğu problem için, böyle bir cevap son cevap olarak sayılacaktır. Ancak yaklaşık değerleri hesaplamak gerekirse, aşağıda tartışılacak olan yöntemleri kullanabilirsiniz.

balıkçıl yöntemi

Çıkarılan kökün en azından yaklaşık olarak ne olduğunu bilmeniz gerektiğinde (bir tamsayı değeri elde etmek mümkün değilse) ne yapmalısınız? Heron yöntemi uygulanarak hızlı ve oldukça doğru bir sonuç elde edilir.. Özü, yaklaşık bir formülün kullanılmasında yatmaktadır:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

burada R kökü hesaplanacak sayıdır, a kök değeri bilinen en yakın sayıdır.

Yöntemin pratikte nasıl çalıştığını görelim ve ne kadar doğru olduğunu değerlendirelim. √111'in neye eşit olduğunu hesaplayalım. Kökü bilinen 111'e en yakın sayı 121'dir. Böylece, R = 111, a = 121. Formüldeki değerleri değiştirin:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Şimdi yöntemin doğruluğunu kontrol edelim:

10.55² = 111.3025.

Yöntemin hatası yaklaşık olarak 0,3'tür. Yöntemin doğruluğunun iyileştirilmesi gerekiyorsa, daha önce açıklanan adımları tekrarlayabilirsiniz:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Hesaplamanın doğruluğunu kontrol edelim:

10.536² = 111.0073.

Formülün tekrar tekrar uygulanmasından sonra, hata oldukça önemsiz hale geldi.

Bir sütuna bölünerek kökün hesaplanması

Bu karekök değerini bulma yöntemi, öncekilerden biraz daha karmaşıktır. Ancak, hesap makinesi olmadan diğer hesaplama yöntemleri arasında en doğru olanıdır..

Diyelim ki karekökü 4 ondalık basamak doğrulukla bulmanız gerekiyor. 1308.1912 rastgele bir sayı örneğini kullanarak hesaplama algoritmasını analiz edelim.

Kağıdı dikey bir çizgi ile 2 parçaya bölün ve ardından sağdan, üst kenarın biraz altından başka bir çizgi çizin. Sayıyı sol tarafa yazıyoruz, 2 basamaklı gruplara ayırıyoruz, ondalık noktanın sağına ve soluna hareket ediyoruz. Soldaki ilk rakam çiftsiz olabilir. Sayının sağ tarafında işaret yoksa 0 eklenmelidir.Bizim durumumuzda 13 08.19 12 elde ederiz.
Karesi ilk basamak grubundan küçük veya ona eşit olacak en büyük sayıyı seçelim. Bizim durumumuzda bu 3. Sağ üst köşeye yazalım; 3 sonucun ilk basamağıdır. Sağ altta 3 × 3 = 9 belirtiyoruz; bu sonraki hesaplamalar için gerekli olacaktır. Bir sütunda 13'ten 9 çıkarın, kalan 4'ü elde ederiz.
Kalan 4'e bir sonraki sayı çiftini ekleyelim; 408 alıyoruz.
Sağ üstteki sayıyı 2 ile çarpın ve sağ alt köşeye _ x _ = ekleyerek yazın. 6_ x _ = elde ederiz.
Kısa çizgi yerine aynı sayıyı 408'den küçük veya ona eşit olarak değiştirmeniz gerekir. 66 × 6 \u003d 396 elde ederiz. Sonucun ikinci basamağı olduğu için sağ üstte 6 yazalım. 408'den 396'yı çıkarırsak 12 elde ederiz.
Adım 3-6'yı tekrarlayalım. Aşağı taşınan rakamlar sayının kesirli kısmında olduğu için 6'dan sonra sağ üste ondalık nokta koymak gerekiyor. Uygun bir sayı 1: 721 × 1 = 721 olacaktır. Cevap olarak yazalım. 1219 - 721 = 498 çıkaralım.
Gerekli ondalık basamak sayısını elde etmek için önceki paragrafta verilen işlem sırasını üç kez daha gerçekleştirelim. Daha fazla hesaplama için yeterli işaret yoksa, soldaki mevcut sayıya iki sıfır eklenmelidir.

Sonuç olarak şu yanıtı alıyoruz: √1308.1912 ≈ 36.1689. İşlemi bir hesap makinesi ile kontrol ederseniz, tüm karakterlerin doğru belirlendiğinden emin olabilirsiniz.

Karekök değerinin bit düzeyinde hesaplanması

Yöntem son derece doğru. Ek olarak, oldukça anlaşılırdır ve yöntemin özü doğru sonucu seçmek olduğundan, ezberleme formülleri veya karmaşık bir eylem algoritması gerektirmez.

781 sayısından kökü çıkaralım. Eylem sırasını ayrıntılı olarak ele alalım.

Karekök değerinin hangi basamağının en yüksek olacağını bulun. Bunu yapmak için 0, 10, 100, 1000 vb. kareleri alalım ve kök sayısının hangisinin arasında olduğunu bulalım. 10² alırız< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
Onlarca değerini alalım. Bunu yapmak için, 781'den büyük bir sayı elde edene kadar 10, 20, ..., 90'ın kuvvetine yükselteceğiz. Bizim durumumuz için 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 elde ederiz. Sonucun değeri n, 20 içinde olacaktır.< n <30.
Önceki adıma benzer şekilde, birimler basamağının değeri seçilir. 21.22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784'ü dönüşümlü olarak kareleriz. 27'yi elde ederiz.< n < 28.
Sonraki her basamak (onda bir, yüzde bir, vb.) yukarıda gösterildiği gibi hesaplanır. Gerekli doğruluk elde edilene kadar hesaplamalar yapılır.

Hesap makinelerinin ortaya çıkmasından önce öğrenciler ve öğretmenler karekökleri elle hesaplardı. Bir sayının karekökünü manuel olarak hesaplamanın birkaç yolu vardır. Bazıları sadece yaklaşık bir çözüm sunarken, diğerleri kesin bir cevap verir.

adımlar

asal çarpanlara ayırma

Kök sayısını, kare sayılar olan faktörlere ayırın. Kök numarasına bağlı olarak, yaklaşık veya kesin bir cevap alacaksınız. Kare sayılar, tüm karekökün alınabileceği sayılardır. Çarpanlar, çarpıldığında orijinal sayıyı veren sayılardır. Örneğin, 8 sayısının çarpanları 2 ve 4'tür, 2 x 4 = 8 olduğu için 25, 36, 49 sayıları kare sayılardır, çünkü √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kare çarpanları kare sayılar olan faktörlerdir. İlk önce, kök sayıyı kare faktörlere ayırmaya çalışın.

Örneğin, 400'ün karekökünü (manuel olarak) hesaplayın. Önce 400'ü kare çarpanlara ayırmayı deneyin. 400, 100'ün katıdır, yani 25'e bölünebilir - bu bir kare sayıdır. 400'ü 25'e bölmek size 16 verir. 16 sayısı da bir kare sayıdır. Böylece 400, 25 ve 16'nın kare çarpanlarına, yani 25 x 16 = 400'e bölünebilir.
Bu şu şekilde yazılabilir: √400 = √(25 x 16).

Bazı terimlerin çarpımının karekökü, her terimin karekökünün çarpımına eşittir, yani √(a x b) = √a x √b. Bu kuralı kullanın ve her kare faktörün karekökünü alın ve cevabı bulmak için sonuçları çarpın.
- Örneğimizde, 25 ve 16'nın karekökünü alın.
  - √(25 x 16)
  - √25 x √16
  - 5 x 4 = 20
Radikal sayı iki kare çarpana ayırmazsa (ve çoğu durumda yapar), tam cevabı bir tamsayı olarak bulamayacaksınız. Ancak, kök sayıyı bir kare faktöre ve sıradan bir faktöre (tüm karekökün alınamayacağı bir sayı) ayırarak sorunu basitleştirebilirsiniz. O zaman kare faktörünün karekökünü alacaksın ve sıradan faktörün kökünü alacaksın.
- Örneğin, 147 sayısının karekökünü hesaplayın. 147 sayısı iki kare çarpana ayrılamaz, ancak şu çarpanlara ayrılabilir: 49 ve 3. Problemi aşağıdaki gibi çözün:
  - = √(49 x 3)
  - = √49 x √3
  - = 7√3
Gerekirse kökün değerini değerlendirin. Artık kökün değerini (yaklaşık bir değer bulun), kök sayıya en yakın (sayı çizgisinin her iki tarafında) kare sayıların köklerinin değerleriyle karşılaştırarak değerlendirebilirsiniz. Kökün değerini, kök işaretinin arkasındaki sayı ile çarpılması gereken ondalık kesir olarak alacaksınız.
- Örneğimize geri dönelim. Kök sayısı 3'tür. Buna en yakın kare sayılar 1 (√1 = 1) ve 4 (√4 = 2) sayılarıdır. Böylece, √3 değeri 1 ile 2 arasındadır. √3 değeri muhtemelen 2'ye 1'den daha yakın olduğundan, tahminimiz: √3 = 1.7'dir. Bu değeri kök işaretindeki sayı ile çarpıyoruz: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Hesaplamaları bir hesap makinesinde yaparsanız, cevabımıza oldukça yakın olan 12.13'ü elde edersiniz.
  - Bu yöntem aynı zamanda büyük sayılarla da çalışır. Örneğin, √35'i düşünün. Kök sayısı 35'tir. Buna en yakın kare sayılar 25 (√25 = 5) ve 36 (√36 = 6) sayılarıdır. Böylece √35 değeri 5 ile 6 arasında yer alır. √35 değeri 6'ya 5'ten çok daha yakın olduğu için (çünkü 35, 36'dan sadece 1 eksiktir), √35'in biraz daha küçük olduğunu söyleyebiliriz. 6. Hesap makinesi ile doğrulama bize 5.92 cevabını veriyor - haklıydık.
Başka bir yol, kök sayısını asal faktörlere ayrıştırmaktır. Asal çarpanlar sadece 1'e ve kendilerine bölünebilen sayılardır. Asal çarpanları arka arkaya yazın ve aynı çarpan çiftlerini bulun. Bu tür faktörler kökün işaretinden çıkarılabilir.
- Örneğin, 45'in karekökünü hesaplayın. Kök sayısını asal faktörlere ayırırız: 45 \u003d 9 x 5 ve 9 \u003d 3 x 3. Böylece, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). Kök işaretinden 3 alınabilir: √45 = 3√5. Şimdi √5 tahmin edebiliriz.
- Başka bir örnek düşünün: √88.
  - = √(2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Üç çarpan 2'niz var; birkaç tane al ve onları kökün işaretinden çıkar.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Şimdi √2 ve √11'i değerlendirebilir ve yaklaşık bir cevap bulabiliriz.
Karekökü manuel olarak hesaplama

Sütun bölmeyi kullanma
1. Bu yöntem uzun bölme işlemine benzer bir işlem içerir ve doğru cevap verir.İlk önce, sayfayı ikiye bölen dikey bir çizgi çizin ve ardından dikey çizgiye sayfanın sağına ve üst kenarının biraz altına yatay bir çizgi çizin. Şimdi kök sayıyı, ondalık noktadan sonraki kesirli kısımdan başlayarak sayı çiftlerine bölün. Yani 79520789182.47897 sayısı "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" şeklinde yazılır.
  - Örneğin 780.14 sayısının karekökünü hesaplayalım. İki çizgi çizin (resimde gösterildiği gibi) ve sol üstteki sayıyı "7 80, 14" olarak yazın. Soldan ilk rakamın eşleşmemiş bir rakam olması normaldir. Cevap (verilen sayının kökü) sağ üste yazılacaktır.
2. Soldan ilk sayı çifti (veya bir sayı) verildiğinde, karesi söz konusu sayı çiftinden (veya bir sayıdan) küçük veya ona eşit olan en büyük n tamsayısını bulun. Başka bir deyişle, soldan ilk sayı çiftine (veya bir sayıya) en yakın, ancak ondan küçük olan kare sayıyı bulun ve o kare sayının karekökünü alın; n sayısını alacaksınız. Bulunan n'yi sağ üst köşeye ve sağ alt köşeye n karesini yazın.
  - Bizim durumumuzda soldaki ilk sayı 7 olacaktır. Sonraki, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Az önce bulduğunuz n sayısının karesini soldaki ilk sayı çiftinden (veya bir sayıdan) çıkarın. Hesaplamanın sonucunu çıkarılan (n sayısının karesi) altına yazın.
  - Örneğimizde, 3'ü elde etmek için 7'den 4'ü çıkarın.
4. İkinci sayı çiftini not edin ve önceki adımda elde edilen değerin yanına yazın. Ardından sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucu sağ alta "_×_=" ekleyerek yazın.
  - Örneğimizde ikinci sayı çifti "80"dir. 3'ten sonra "80" yazın. Ardından sağ üstteki sayıyı ikiye katlayınca 4 çıkıyor. Sağ alttan "4_×_=" yazın.
5. Sağdaki boşlukları doldurun.
  - Bizim durumumuzda, tire yerine 8 sayısını koyarsak, 48 x 8 \u003d 384, yani 380'den fazladır. Bu nedenle, 8 çok büyük bir sayıdır, ancak 7 iyidir. Kısa çizgi yerine 7 yazın ve şunu elde edin: 47 x 7 \u003d 329. Sağ üstten 7 yazın - bu, 780.14 sayısının istenen karekökündeki ikinci basamaktır.
6. Ortaya çıkan sayıyı soldaki geçerli sayıdan çıkarın. Bir önceki adımın sonucunu soldaki mevcut sayının altına yazın, farkı bulun ve çıkarılan sayının altına yazın.
  - Örneğimizde, 51'e eşit olan 380'den 329'u çıkarın.
7. 4. adımı tekrarlayın. Yıkılan sayı çifti orijinal sayının kesirli kısmıysa, tamsayı ve kesirli kısımların ayırıcısını (virgül) sağ üstten istenen karekök içine koyun. Solda, sonraki sayı çiftini aşağı taşıyın. Sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucu sağ alta "_×_=" ekleyerek yazın.
  - Örneğimizde, yıkılacak bir sonraki sayı çifti 780.14 sayısının kesirli kısmı olacaktır, bu nedenle tamsayı ve kesirli kısımların ayırıcısını sağ üstten istenen karekök içine koyun. 14'ü yıkın ve sol alt köşeye yazın. Sağ üst (27) iki katı 54, bu nedenle sağ altta "54_×_=" yazın.
8. 5. ve 6. adımları tekrarlayın.Çarpma sonucunun soldaki mevcut sayıdan küçük veya ona eşit olması için sağdaki tire yerine en büyük sayıyı bulun (tire yerine aynı sayıyı kullanmanız gerekir).
  - Örneğimizde, soldaki mevcut sayıdan (5114) daha küçük olan 549 x 9 = 4941. Sağ üst köşeye 9 yazın ve çarpmanın sonucunu soldaki geçerli sayıdan çıkarın: 5114 - 4941 = 173.
9. Karekök için daha fazla ondalık basamak bulmanız gerekiyorsa, soldaki geçerli sayının yanına bir çift sıfır yazın ve 4, 5 ve 6. adımları tekrarlayın. ondalık).
Süreci anlamak
1. S sayısının ilk Sa rakam çiftini (örneğimizde Sa = 7) ele alalım ve karekökünü bulun. Bu durumda, karekökün aranan değerinin ilk basamağı A, karesi S a'dan küçük veya ona eşit olan bir basamak olacaktır (yani, A² eşitsizliğini sağlayan böyle bir A arıyoruz). ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Diyelim ki 88962'yi 7'ye bölmemiz gerekiyor; burada ilk adım benzer olacaktır: bölünebilir sayı 88962'nin (8) ilk basamağını ele alıyoruz ve 7 ile çarpıldığında 8'e eşit veya daha küçük bir değer veren en büyük sayıyı seçiyoruz. eşitsizliğin doğru olduğu bir d sayısı: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Zihinsel olarak alanını hesaplamanız gereken bir kare hayal edin. L'yi arıyorsunuz, yani alanı S olan bir karenin kenar uzunluğunu arıyorsunuz. A, B, C, L sayısındaki sayılardır. Farklı yazabilirsiniz: 10A + B \u003d L (iki için -rakamlı sayı) veya 100A + 10B + C \u003d L (üç basamaklı sayı için) vb.
  - İzin vermek (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². 10A+B'nin B'nin bir, A'nın ise onluk olduğu bir sayı olduğunu unutmayın. Örneğin, A=1 ve B=2 ise, 10A+B 12 sayısına eşittir. (10A+B)² tüm karenin alanı, 100A² büyük iç karenin alanıdır, B² küçük iç karenin alanıdır, 10A×B iki dikdörtgenin her birinin alanıdır. Açıklanan şekillerin alanlarını ekleyerek orijinal karenin alanını bulacaksınız.

karekök nedir?

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Bu kavram çok basittir. Doğal, derdim. Matematikçiler her eylem için bir tepki bulmaya çalışırlar. Toplama var, çıkarma var. Çarpma var, bölme var. Kare alma var ... Yani ayrıca var karekök çıkarma! Bu kadar. Bu hareket ( karekök almak) matematikte şu simgeyle gösterilir:

Simgenin kendisine güzel kelime denir " radikal".

Kök nasıl çıkarılır? düşünmek daha iyidir örnekler.

9'un karekökü nedir? Ve hangi sayının karesi bize 9 verecek? 3 kare bize 9 verir! Şunlar:

Sıfırın karekökü nedir? Sorun yok! Hangi sayının karesi sıfır verir? Evet, kendisi sıfır veriyor! Anlamına geliyor:

Yakalanmış karekök nedir? sonra düşünürüz örnekler:

Cevaplar (kargaşa içinde): 6; bir; 4; 9; 5.

Karar verilmiş? Gerçekten, çok daha kolay!

Ama... Bir kişi kökleri olan bir görev gördüğünde ne yapar?

İnsan özlemeye başlar... Köklerin sadeliğine ve hafifliğine inanmaz. Biliyor gibi görünse de karekök nedir...

Bunun nedeni, bir kişinin kökleri incelerken birkaç önemli noktayı göz ardı etmesidir. Sonra bu hevesler acımasızca sınavlardan ve sınavlardan intikam alıyor...

Birinci nokta. Kökler görerek tanınmalıdır!

49'un karekökü nedir? Yedi? Sağ! Yedi olduğunu nereden bildin? Yedi kare ve 49 var mı? Sağ! Lütfen bunu not al kökü çıkar 49 kişiden ters işlemi yapmak zorunda kaldık - kare 7! Ve kaçırmadığımızdan emin olun. Ya da kaçırabilirler...

Zorluk orada yatıyor kök çıkarma. kare alma herhangi bir sayı herhangi bir sorun olmadan mümkündür. Sayıyı bir sütunda kendisiyle çarpın - hepsi bu. Ama için kök çıkarma bu kadar basit ve sorunsuz bir teknoloji yoktur. hesap vermek toplamak cevaplayın ve kare alarak isabet için kontrol edin.

Bu karmaşık yaratıcı süreç - bir cevap seçmek - aşağıdaki durumlarda büyük ölçüde basitleştirilmiştir: hatırlamak popüler sayıların kareleri Çarpım tablosu gibi. Diyelim ki, 4 ile 6'yı çarpmanız gerekiyorsa - dördü 6 kez toplamazsınız, değil mi? Cevap hemen ortaya çıkıyor 24. Her ne kadar herkeste olmasa da, evet ...

Köklerle özgür ve başarılı bir çalışma için 1'den 20'ye kadar olan sayıların karelerini bilmek yeterlidir. orada ve geri.Şunlar. Hem 11'in karesini hem de 121'in karekökünü kolayca söyleyebilmelisiniz. Bu ezberlemeyi başarmanın iki yolu vardır. Birincisi kareler tablosunu öğrenmek. Bu örneklerle çok yardımcı olacaktır. İkincisi, daha fazla örnek çözmektir. Kareler tablosunu hatırlamak harika.

Ve hesap makinesi yok! Yalnızca doğrulama için. Aksi takdirde, sınav sırasında acımasızca yavaşlarsınız...

Böyle, karekök nedir Ve nasıl kökleri çıkarmak- Bence anlaşılabilir. Şimdi onları NEDEN çıkarabileceğinizi öğrenelim.

İkinci nokta. Kök, seni tanımıyorum!

Hangi sayılardan karekök alabilirsiniz? Evet, hemen hemen hepsi. ne olduğunu anlamak daha kolay yasaktır onları çıkarın.

Bu kökü hesaplamaya çalışalım:

Bunu yapmak için, karesi bize -4 verecek bir sayı almalısınız. seçiyoruz.

Ne seçilmedi? 2 2 +4 verir. (-2) 2 tekrar +4 verir! İşte bu... Karesi alındığında bize negatif bir sayı verecek hiçbir sayı yoktur! Rakamları bilmeme rağmen. Ama sana söylemeyeceğim.) Üniversiteye git ve kendin öğren.

Aynı hikaye herhangi bir negatif sayı ile olacaktır. Sonuç olarak:

Negatif bir sayının karekök işaretinin altında olduğu bir ifade - mantıklı değil! Bu yasaklanmış bir işlemdir. Sıfıra bölmek kadar yasak. Bu gerçeği aklınızda tutun! Veya başka bir deyişle:

Negatif sayılardan karekök alamazsınız!

Ama geri kalan her şeyden - yapabilirsiniz. Örneğin, hesaplamak mümkündür

İlk bakışta, bu çok zor. Kesirleri alın, ancak kareyi alın ... Endişelenme. Köklerin özelliklerini ele aldığımızda, bu tür örnekler aynı kareler tablosuna indirgenecektir. Hayat daha kolay olacak!

Tamam kesirler. Ama yine de şöyle ifadelerle karşılaşıyoruz:

Yanlış bir şey yok. Hepsi aynı. İkinin karekökü, karesi alındığında bize bir ikili verecek olan sayıdır. Sadece sayı tamamen eşit değil ... İşte burada:

İlginçtir ki bu kesir hiç bitmez... Bu tür sayılara irrasyonel denir. Kareköklerde, bu en yaygın şeydir. Bu arada, bu yüzden köklü ifadelere denir. mantıksız. Her zaman böyle sonsuz bir kesir yazmanın sakıncalı olduğu açıktır. Bu nedenle, sonsuz bir kesir yerine şöyle bırakırlar:

Örneği çözerken, çıkarılamayan bir şey alırsanız, örneğin:

sonra öyle bırakıyoruz. Cevap bu olacak.

Simgelerin altında ne olduğunu açıkça anlamanız gerekir.

Tabii eğer sayının kökü alınırsa düz, öyle yapmalısın. Formdaki görevin cevabı, örneğin

oldukça eksiksiz bir cevap.

Ve elbette, hafızadan yaklaşık değerleri bilmeniz gerekir:

Bu bilgi, karmaşık görevlerde durumu değerlendirmeye çok yardımcı olur.

Üçüncü nokta. En kurnaz.

Köklerle çalışmadaki ana kafa karışıklığı, sadece bu hevesle ortaya çıkıyor. Kendinden şüphe eden odur... Bu hevesle doğru dürüst başa çıkalım!

Başlamak için, yine dördünün karekökünü çıkarıyoruz. Ne, seni bu kökle zaten yakaladım mı?) Hiçbir şey, şimdi ilginç olacak!

4'ün karesine hangi sayı gelecek? Şey, iki, iki - Memnun olmayan cevaplar duyuyorum ...

Sağ. 2. Ama aynı zamanda eksi iki 4 kare verecek... Bu arada cevap

doğru ve cevap

en büyük hata. Bunun gibi.

Anlaşma nedir?

Nitekim, (-2) 2 = 4. Ve dördün karekökünün tanımı altında eksi iki oldukça uygun ... Bu da dördün karekökü.

Fakat! Okul matematik dersinde kare kökleri dikkate almak gelenekseldir. sadece negatif olmayan sayılar! Yani sıfır ve hepsi olumlu. Hatta özel bir terim icat edildi: numaradan a- o negatif olmayan karesi olan sayı a. Aritmetik karekök çıkarılırken olumsuz sonuçlar basitçe atılır. Okulda, tüm karekökler - aritmetik. Özellikle belirtilmemiş olsa da.

Tamam, bu anlaşılabilir. Olumsuz sonuçlarla uğraşmamak daha da iyi... Henüz kafa karışıklığı değil.

Karışıklık, ikinci dereceden denklemleri çözerken başlar. Örneğin, aşağıdaki denklemi çözmeniz gerekir.

Denklem basit, cevabı yazıyoruz (öğretildiği gibi):

Bu cevap (bu arada oldukça doğru) sadece kısaltılmış bir gösterimdir. 2 Yanıtlar:

Dur dur! Biraz daha yüksek karekökün bir sayı olduğunu yazdım Her zaman negatif olmayan! Ve işte cevaplardan biri - olumsuz! Düzensizlik. Bu, köklere güvensizliğe neden olan ilk (ama son değil) sorundur... Gelin bu sorunu çözelim. Cevapları (tamamen anlamak için!) şöyle yazalım:

Parantezler cevabın özünü değiştirmez. sadece parantez ile ayırdım işaretler itibaren kök. Şimdi kökün kendisinin (parantez içinde) hala negatif olmayan bir sayı olduğu açıkça görülüyor! Ve işaretler denklemi çözmenin sonucu. Sonuçta, herhangi bir denklemi çözerken yazmalıyız Tümü x, orijinal denklemde değiştirildiğinde doğru sonucu verecektir. Beşin (pozitif!) kökü, hem artı hem de eksi denklemimiz için uygundur.

Bunun gibi. Eğer sen sadece karekökünü al herhangi bir şeyden Her zaman almak bir negatif olmayan sonuç. Örneğin:

Çünkü bu - aritmetik karekök.

Ancak aşağıdaki gibi ikinci dereceden bir denklemi çözerseniz:

sonra Her zaman ortaya çıkıyor 2 cevap (artı ve eksi ile):

Çünkü bu bir denklemin çözümüdür.

Umut, karekök nedir Puanlarınızla doğru anladınız. Şimdi köklerle neler yapılabileceğini, özelliklerinin neler olduğunu bulmaya devam ediyor. Ve geçici hevesler ve su altı kutuları nelerdir ... pardon taşlar!)

Bütün bunlar - sonraki derslerde.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

kök n bir doğal sayının kuvveti a numara aranıyor n kimin gücü eşittir a. Kök aşağıdaki gibi gösterilir: . √ sembolü denir kök işareti veya radikal işareti, numara a - kök numarası, n - kök üs.

Belirli bir derecenin kökünün bulunma işlemine denir. kök çıkarma.

Çünkü, kök kavramının tanımına göre n derece

sonra kök çıkarma- Verilen dereceye göre ve verilen üsse göre, derecenin tabanının bulunduğu, yardımı ile üs almanın tersi eylem.

Kare kök

Bir sayının karekökü a karesi olan sayıdır a.

Karekökün hesaplandığı işleme karekök alma denir.

Kare kökü çıkarma- kare almanın (veya bir sayıyı ikinci güce yükseltme) zıt eylemi. Bir sayının karesini alırken karesini bulmanız gerekir. Karekök çıkarılırken sayının karesi bilinir, ondan sayının kendisini bulması gerekir.

Bu nedenle, yapılan işlemin doğruluğunu kontrol etmek için bulunan kökü ikinci dereceye yükseltebilirsiniz ve derece kök sayısına eşitse, kök doğru bulunmuştur.

Bir örnekle karekökü çıkarmayı ve doğrulamasını düşünün. veya hesaplarız (2 değerine sahip kök üs genellikle yazılmaz, çünkü 2 en küçük üstür ve kök işaretinin üzerinde üs yoksa, o zaman üs 2'nin ima edildiği unutulmamalıdır), bunun için ihtiyacımız var sayıyı bulmak için, ikinciye yükseltildiğinde derece 49 olacaktır. Açıkçası, bu sayı 7'dir, çünkü

7 7 = 7 2 = 49.

Karekök hesaplama

Verilen sayı 100 veya daha az ise, çarpım tablosu kullanılarak karekökü hesaplanabilir. Örneğin, 25'in karekökü 5'tir çünkü 5 x 5 = 25'tir.

Şimdi herhangi bir sayının karekökünü hesap makinesi kullanmadan bulmanın bir yolunu düşünün. Örneğin 4489 sayısını alalım ve adım adım hesaplamaya başlayalım.

İstenen kökün hangi basamaklardan oluşması gerektiğini belirleyelim. 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100 ve 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000 olduğundan, istenen kökün 10'dan büyük ve 100'den küçük olması gerektiği, yani. onlar ve birlerden oluşur.
Kökün onlarca sayısını bulun. Onlarca çarpma yüzlerce verir, bizim sayımız 44, yani kökün o kadar çok onluk içermesi gerekir ki, onlukların karesi yaklaşık 44 yüz verir. Bu nedenle, kökte 6 onlarca olmalıdır, çünkü 60 2 \u003d 3600 ve 70 2 \u003d 4900 (bu çok fazla). Böylece kökümüzün 60 ila 70 aralığında olduğu için 6 onluk ve birkaç tane içerdiğini öğrendik.
Çarpım tablosu, kökteki birim sayısını belirlemeye yardımcı olacaktır. 4489 sayısına baktığımızda, içindeki son basamağın 9 olduğunu görüyoruz. Şimdi çarpım tablosuna bakıyoruz ve 9 birimin ancak 3 ve 7 sayılarının karesini alarak elde edilebileceğini görüyoruz. Yani sayının kökü 63 olacak. veya 67.
63 ve 67'yi elde ettiğimiz sayıların karesini alarak kontrol ediyoruz: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

Bu algoritmayı bir örnekle ele alalım. Bulalım

1. adım. Kökün altındaki sayıyı iki haneye böleriz (sağdan sola):

2. adım. İlk yüzden karekökünü çıkarıyoruz yani 65 rakamından 8 rakamını alıyoruz. İlk yüzün altına 8 rakamının karesini yazıp çıkarıyoruz. İkinci yüzü (59) kalanına bağlarız:

(159 sayısı ilk kalandır).

3. adım. Bulunan kökü ikiye katlıyoruz ve sonucu sola yazıyoruz:

4. adım. Kalanı (159) sağda bir rakamı ayırıyoruz, solda onlarca sayı alıyoruz (15'e eşittir). Sonra 15'i kökün iki katına çıkan ilk basamağıyla, yani 16'ya böleriz, çünkü 15, 16'ya bölünemez, sonra bölümde, kökün ikinci basamağı olarak yazdığımız sıfır alırız. Böylece, bölümde tekrar ikiye katladığımız ve bir sonraki yüzü yıktığımız 80 sayısını aldık.

(15901 sayısı ikinci kalandır).

5. adım. İkinci kalanda bir basamağı sağdan ayırıyoruz ve çıkan 1590 sayısını 160'a bölüyoruz. Sonuç (9 sayısı) kökün üçüncü basamağı olarak yazılır ve 160 sayısına atanır. Ortaya çıkan 1609 sayısı 9 ile çarpılır. ve aşağıdaki kalanı (1420) buluruz:

Algoritmada belirtilen sırayla diğer eylemler gerçekleştirilir (kök, gerekli doğruluk derecesi ile çıkarılabilir).

Yorum Yap. Kök ifadesi ondalık bir kesir ise, tamsayı kısmı sağdan sola iki haneye bölünür, kesirli kısım soldan sağa iki haneye bölünür ve belirtilen algoritmaya göre kök çıkarılır.

DİDAKTİK MALZEME

1. Sayının karekökünü alın: a) 32; b) 32.45; c) 249.5; d) 0.9511.

asal çarpanlara ayırma

balıkçıl yöntemi

Bir sütuna bölünerek kökün hesaplanması

Karekök değerinin bit düzeyinde hesaplanması

adımlar

asal çarpanlara ayırma

Karekökü manuel olarak hesaplama

Sütun bölmeyi kullanma

Süreci anlamak

karekök nedir?

Bu siteyi beğendiyseniz...

Kare kök

Karekök hesaplama

DİDAKTİK MALZEME