في هذا الدرس ، نواصل دراسة مشتقات الدوال وننتقل إلى موضوع أكثر تعقيدًا ، ألا وهو مشتقات المنتج وحاصل القسمة. إذا كنت قد شاهدت الدرس السابق ، فربما تكون قد فهمت أننا نظرنا فقط في أبسط الإنشاءات ، أي مشتق دالة الطاقة والمجاميع والاختلافات. على وجه الخصوص ، علمنا أن مشتق المجموع يساوي مجموعهم ، ومشتق الفرق يساوي ، على التوالي ، الفرق بينهما. لسوء الحظ ، في حالة مشتقات حاصل القسمة والمنتج ، ستكون الصيغ أكثر تعقيدًا. لنبدأ بصيغة مشتق حاصل ضرب الدوال.
مشتقات التوابع المثلثية
بادئ ذي بدء ، سأسمح لنفسي باستطراد غنائي صغير. الحقيقة هي أنه بالإضافة إلى دالة الطاقة القياسية - $ y = ((x) ^ (n)) $ ، ستكون هناك وظائف أخرى في هذا الدرس ، وهي $ y = \ sin x $ ، وكذلك $ y = \ cos x $ وعلم المثلثات الأخرى - $ y = tgx $ وبالطبع $ y = ctgx $.
إذا كنا جميعًا نعرف جيدًا مشتق دالة الطاقة ، أي $ \ left (((x) ^ (n)) \ right) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) $ ، إذن ، مثل للوظائف المثلثية يجب ذكرها بشكل منفصل. دعنا نكتب:
\ [\ start (align) & ((\ left (\ sinx \ right)) ^ (\ prime)) = \ cosx \ & ((\ left (\ cos x \ right)) ^ (\ prime)) = - \ sin x \\ & ((\ left (tgx \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) \\ & ((\ left ( ctgx \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) \ end (محاذاة) \]
لكنك تعرف هذه الصيغ جيدًا ، دعنا نذهب إلى أبعد من ذلك.
ما هو مشتق من المنتج؟
أولًا ، أهم شيء: إذا كانت الدالة ناتجة عن وظيفتين أخريين ، على سبيل المثال $ f \ cdot g $ ، فإن مشتق هذا البناء سيكون مساويًا للتعبير التالي:
كما ترى ، هذه الصيغة مختلفة بشكل كبير وأكثر تعقيدًا من الصيغ التي نظرنا إليها سابقًا. على سبيل المثال ، يعتبر مشتق المجموع أوليًا - $ ((\ left (f + g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "+ (g)" $ ، أو مشتق الفرق ، والذي يعتبر أيضًا أساسيًا - $ ((\ left (f-g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "- (g)" $.
لنحاول تطبيق الصيغة الأولى لحساب مشتقات دالتين معطيات في المسألة. لنبدأ بالمثال الأول:
من الواضح أن البناء التالي يعمل كمنتج ، بشكل أكثر دقة ، كعامل: $ ((x) ^ (3)) $ ، يمكننا اعتباره $ f $ ، و $ \ left (x-5 \ right) $ يمكننا اعتباره $ g $. عندئذٍ سيكون منتجهم مجرد نتاج وظيفتين. نحن نقرر:
\ [\ start (align) & ((\ left (((x) ^ (3)) \ cdot \ left (x-5 \ right) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (( (x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) \ cdot \ left (x-5 \ right) + ((x) ^ (3)) \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (\ prime)) = \\ & = 3 ((x) ^ (2)) \ cdot \ left (x-5 \ right) + ((x) ^ (3)) \ cdot 1 \\ \ النهاية (محاذاة) \].
الآن دعونا نلقي نظرة فاحصة على كل حد من حدودنا. نرى أن كلا المصطلحين الأول والثاني يحتويان على قوة $ x $: في الحالة الأولى يكون $ ((x) ^ (2)) $ ، وفي الحالة الثانية يكون $ ((x) ^ (3) ) $. لنأخذ أصغر درجة من الأقواس ، وستبقى بين القوسين:
\ [\ start (align) & 3 ((x) ^ (2)) \ cdot \ left (x-5 \ right) + ((x) ^ (3)) \ cdot 1 = ((x) ^ (2 )) \ left (3 \ cdot 1 \ left (x-5 \ right) + x \ right) = \\ & = ((x) ^ (2)) \ left (3x-15 + x \ right) = ( (x) ^ (2)) (4x-15) \\\ end (محاذاة) \]
كل ما وجدنا الجواب.
نعود إلى مهامنا ونحاول حلها:
لذلك دعونا نعيد كتابة:
مرة أخرى ، نلاحظ أننا نتحدث عن حاصل ضرب وظيفتين: $ x $ ، والذي يمكن الإشارة إليه ب $ f $ ، و $ \ left (\ sqrt (x) -1 \ right) $ ، والذي يمكن يُرمز لها بـ $ g $.
وهكذا ، لدينا مرة أخرى ناتج وظيفتين. لإيجاد مشتق الدالة $ f \ left (x \ right) $ ، نستخدم الصيغة مرة أخرى. نحن نحصل:
\ [\ start (align) & (f) "= \ left (x \ right)" \ cdot \ left (\ sqrt (x) -1 \ right) + x \ cdot ((\ left (\ sqrt (x)) -1 \ يمين)) ^ (\ رئيس)) = 1 \ cdot \ يسار (\ sqrt (x) -1 \ يمين) + x \ frac (1) (3 \ sqrt (x)) = \\ & = \ sqrt (x) -1+ \ sqrt (x) \ cdot \ frac (1) (3) = \ frac (4) (3) \ sqrt (x) -1 \\\ end (align) \]
تم العثور على إجابة.
لماذا عامل المشتقات؟
لقد استخدمنا للتو بعض الحقائق الرياضية المهمة جدًا ، والتي لا تتعلق في حد ذاتها بالمشتقات ، ولكن بدون معرفتهم ، فإن جميع الدراسات الإضافية لهذا الموضوع ببساطة لا معنى لها.
أولًا ، حل المسألة الأولى والتخلص من جميع علامات المشتقات ، لسبب ما بدأنا في تحليل هذا التعبير.
ثانيًا ، عند حل المسألة التالية ، مررنا عدة مرات من الجذر إلى الدرجة بأس منطقي والعكس صحيح ، مع استخدام صيغة الصف الثامن إلى التاسع ، والتي يجب تكرارها بشكل منفصل.
فيما يتعلق بالعوامل - لماذا نحتاج إلى كل هذه الجهود والتحولات الإضافية؟ في الواقع ، إذا كانت المشكلة تقول ببساطة "اعثر على مشتق دالة" ، فإن هذه الخطوات الإضافية غير مطلوبة. ومع ذلك ، في المشكلات الحقيقية التي تنتظرك في العديد من الاختبارات والاختبارات ، فإن مجرد العثور على المشتق لا يكفي في كثير من الأحيان. الحقيقة هي أن المشتق ليس سوى أداة يمكنك من خلالها معرفة ، على سبيل المثال ، زيادة أو نقصان في دالة ، ولهذا تحتاج إلى حل المعادلة وتحليلها. وهنا ستكون هذه التقنية مناسبة للغاية. وبوجه عام ، مع وجود وظيفة تتحلل إلى عوامل ، يكون العمل في المستقبل أكثر ملاءمة وممتعة إذا كانت هناك حاجة إلى أي تحويلات. لذلك ، القاعدة رقم 1: إذا كان من الممكن تحليل المشتق إلى عوامل ، فهذا بالضبط ما يجب عليك فعله. وعلى الفور القاعدة رقم 2 (في الواقع ، هذه هي مادة الصف الثامن إلى التاسع): إذا حدث الجذر في المشكلة نعلاوة على ذلك ، من الواضح أن الجذر أكبر من اثنين ، ومن ثم يمكن استبدال هذا الجذر بدرجة عادية بأس عقلاني ، وسيظهر كسر في الأس ، حيث ن- نفس الدرجة - ستكون في مقام هذا الكسر.
بالطبع ، إذا كانت هناك درجة ما تحت الجذر (في حالتنا ، هذه هي الدرجة ك) ، إذًا لا تذهب إلى أي مكان ، ولكنها تظهر ببساطة في بسط هذه الدرجة بالذات.
والآن بعد أن فهمت كل هذا ، دعنا نعود إلى مشتقات حاصل الضرب ونحسب بعض المعادلات الأخرى.
لكن قبل الشروع مباشرة في العمليات الحسابية ، أود أن أذكر الأنماط التالية:
\ [\ start (align) & ((\ left (\ sin x \ right)) ^ (\ prime)) = \ cos x \\ & ((\ left (\ cos x \ right)) ^ (\ prime) ) = - \ sin x \\ & \ left (tgx \ right) "= \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) \\ & ((\ left (ctgx \ right)) ^ (\ رئيس)) = - \ فارك (1) (((\ الخطيئة) ^ (2)) س) \ النهاية (محاذاة) \]
تأمل المثال الأول:
لدينا مرة أخرى حاصل ضرب وظيفتين: الأولى $ f $ والثانية $ g $. دعني أذكرك بالصيغة:
\ [((\ left (f \ cdot g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "\ cdot g + f \ cdot (g)" \]
دعونا نقرر:
\ [\ start (align) & (y) "= ((\ left (((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) \ cdot \ sin x + ((x) ^ (4) ) \ cdot ((\ left (\ sin x \ right)) ^ (\ prime)) = \\ & = 3 ((x) ^ (3)) \ cdot \ sin x + ((x) ^ (4)) \ cdot \ cos x = ((x) ^ (3)) \ left (3 \ sin x + x \ cdot \ cos x \ right) \\\ end (align) \]
دعنا ننتقل إلى الوظيفة الثانية:
مرة أخرى ، $ \ left (3x-2 \ right) $ هو دالة $ f $ ، $ \ cos x $ دالة $ g $. سيكون المشتق الإجمالي لمنتج وظيفتين مساويًا لـ:
\ [\ start (align) & (y) "= ((\ left (3x-2 \ right)) ^ (\ prime)) \ cdot \ cos x + \ left (3x-2 \ right) \ cdot ((\ يسار (\ cos x \ right)) ^ (\ prime)) = \\ & = 3 \ cdot \ cos x + \ left (3x-2 \ right) \ cdot \ left (- \ sin x \ right) = 3 \ cos x- \ left (3x-2 \ right) \ cdot \ sin x \\\ end (align) \]
\ [(y) "= ((\ left (((x) ^ (2)) \ cdot \ cos x \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (4x \ sin x \ right)) ^ (رئيس)) \]
دعنا نكتب بشكل منفصل:
\ [\ start (align) & ((\ left (((x) ^ (2)) \ cdot \ cos x \ right)) ^ (\ prime)) = \ left (((x) ^ (2)) \ right) "\ cos x + ((x) ^ (2)) \ cdot ((\ left (\ cos x \ right)) ^ (\ prime)) = \\ & = 2x \ cdot \ cos x + ((x ) ^ (2)) \ cdot \ left (- \ sin x \ right) = 2x \ cdot \ cos x - ((x) ^ (2)) \ cdot \ sin x \\\ end (align) \]
لا نقوم بتحويل هذا التعبير إلى عوامل ، لأن هذه ليست الإجابة النهائية بعد. الآن علينا حل الجزء الثاني. دعنا نكتبها:
\ [\ start (align) & ((\ left (4x \ cdot \ sin x \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (4x \ right)) ^ (\ prime)) \ cdot \ sin x + 4x \ cdot ((\ left (\ sin x \ right)) ^ (\ prime)) = \\ & = 4 \ cdot \ sin x + 4x \ cdot \ cos x \\\ end (align) \]
والآن نعود إلى مهمتنا الأصلية ونجمع كل شيء في هيكل واحد:
\ [\ start (align) & (y) "= 2x \ cdot \ cos x - ((x) ^ (2)) \ cdot \ sin x + 4 \ sin x + 4x \ cos x = 6x \ cdot \ cos x = \\ & = 6x \ cdot \ cos x - ((x) ^ (2)) \ cdot \ sin x + 4 \ sin x \\\ end (align) \]
هذا كل شيء ، هذه هي الإجابة النهائية.
دعنا ننتقل إلى المثال الأخير - سيكون الأكثر تعقيدًا والأكثر ضخامة من حيث العمليات الحسابية. إذن مثال:
\ [(y) "= ((\ left (((x) ^ (2)) \ cdot tgx \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (2xctgx \ right)) ^ (\ prime) ) \]
نحسب كل جزء على حدة:
\ [\ start (align) & ((\ left (((x) ^ (2)) \ cdot tgx \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (2))) \ right)) ^ (\ prime)) \ cdot tgx + ((x) ^ (2)) \ cdot ((\ left (tgx \ right)) ^ (\ prime)) = \ & = 2x \ cdot tgx + ( (x) ^ (2)) \ cdot \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) \ end (محاذاة) \]
\ [\ start (align) & ((\ left (2x \ cdot ctgx \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (2x \ right)) ^ (\ prime)) \ cdot ctgx + 2x \ cdot ((\ left (ctgx \ right)) ^ (\ prime)) = \\ & = 2 \ cdot ctgx + 2x \ left (- \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \ right) = 2 \ cdot ctgx- \ frac (2x) (((\ sin) ^ (2)) x) \ end (محاذاة) \]
بالعودة إلى الوظيفة الأصلية ، نحسب مشتقها ككل:
\ [\ start (align) & (y) "= 2x \ cdot tgx + \ frac (((x) ^ (2))) (((\ cos) ^ (2)) x) - \ left (2ctgx- \ frac (2x) (((\ sin) ^ (2)) x) \ right) = \\ & = 2x \ cdot tgx + \ frac (((x) ^ (2))) (((\ cos) ^ ( 2)) x) -2ctgx + \ frac (2x) (((\ sin) ^ (2)) x) \\\ end (align) \]
هذا ، في الواقع ، هو كل ما أردت أن أقوله عن مشتقات العمل. كما ترى ، فإن المشكلة الرئيسية في الصيغة ليست حفظها ، ولكن يتم الحصول على قدر كبير من الحسابات. لكن هذا جيد ، لأننا ننتقل الآن إلى مشتقة خارج القسمة ، حيث يتعين علينا العمل بجد.
ما هو مشتق حاصل القسمة؟
إذن ، صيغة مشتق خارج القسمة. ربما تكون هذه هي الصيغة الأكثر صعوبة في مقرر المشتقات المدرسية. لنفترض أن لدينا دالة بالصيغة $ \ frac (f) (g) $ ، حيث $ f $ و $ g $ هي أيضًا وظائف يمكن أن تكون أيضًا غير مكتملة. ثم يتم حسابه وفقًا للصيغة التالية:
يذكرنا البسط بطريقة ما بصيغة مشتق المنتج ، ومع ذلك ، هناك علامة ناقص بين الحدود ومربع المقام الأصلي تمت إضافته أيضًا إلى المقام. دعونا نرى كيف يعمل هذا في الممارسة:
دعنا نحاول حل:
\ [(f) "= ((\ left (\ frac (((x) ^ (2)) - 1) (x + 2) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (((\ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right)) ^ (\ prime)) \ cdot \ left (x + 2 \ right) - \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right ) \ cdot ((\ left (x + 2 \ right)) ^ (\ prime))) (((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2))) \]
أقترح أن أكتب كل جزء على حدة وأن أكتب:
\ [\ start (align) & ((\ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (2)) \ يمين)) ^ (رئيس)) - (1) "= 2x \\ & ((\ left (x + 2 \ right)) ^ (\ prime)) = (x)" + (2) "= 1 \ \\ end (محاذاة) \]
نعيد كتابة تعبيرنا:
\ [\ start (align) & (f) "= \ frac (2x \ cdot \ left (x + 2 \ right) - \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 1) (((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2))) = \\ & = \ frac (2 ((x) ^ (2)) + 4x - ((x) ^ (2)) + 1) (((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2))) = \ frac (((x) ^ (2)) + 4x + 1) (((\ left (x + 2 \ right )) ^ (2))) \\\ end (محاذاة) \]
لقد وجدنا الجواب. دعنا ننتقل إلى الوظيفة الثانية:
انطلاقًا من حقيقة أن البسط هو واحد فقط ، ستكون العمليات الحسابية هنا أبسط قليلاً. لذلك دعونا نكتب:
\ [(y) "= ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 4) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac ((1)" \ cdot \ يسار (((x) ^ (2)) + 4 \ right) -1 \ cdot ((\ left (((x) ^ (2)) + 4 \ right)) ^ (\ prime))) (( (\ يسار (((س) ^ (2)) + 4 \ يمين)) ^ (2))) \]
دعنا نحسب كل جزء من المثال على حدة:
\ [\ start (align) & (1) "= 0 \\ & ((\ left (((x) ^ (2)) + 4 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (( (x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + (4) "= 2x \ end (محاذاة) \]
نعيد كتابة تعبيرنا:
\ [(y) "= \ frac (0 \ cdot \ left (((x) ^ (2)) + 4 \ right) -1 \ cdot 2x) (((\ left (((x) ^ (2)) ) +4 \ right)) ^ (2))) = - \ frac (2x) (((\ left (((x) ^ (2)) + 4 \ right)) ^ (2))) \]
لقد وجدنا الجواب. كما هو متوقع ، تبين أن مقدار الحساب أقل بكثير من الوظيفة الأولى.
ما هو الفرق بين الرموز؟
ربما يكون لدى الطلاب اليقظين سؤال بالفعل: لماذا في بعض الحالات نشير إلى الوظيفة على أنها $ f \ left (x \ right) $ ، بينما في حالات أخرى نكتب $ y $؟ في الواقع ، من وجهة نظر الرياضيات ، لا يوجد فرق على الإطلاق - لديك الحق في استخدام كل من التسمية الأولى والثانية ، ولن تكون هناك عقوبات على الامتحانات والاختبارات. بالنسبة لأولئك الذين لا يزالون مهتمين ، سأشرح لماذا يكتب مؤلفو الكتب المدرسية والمشكلات في بعض الحالات $ f \ left (x \ right) $ ، وفي حالات أخرى (أكثر تكرارًا) $ y $ فقط. الشيء هو أنه من خلال كتابة دالة في الشكل \ ، فإننا نلمح ضمنيًا إلى الشخص الذي سيقرأ حساباتنا أننا نتحدث عن التفسير الجبري للاعتماد الوظيفي. أي أن هناك بعض المتغيرات $ x $ ، فنحن نعتبر الاعتماد على هذا المتغير ونشير إليه $ f \ left (x \ right) $. في الوقت نفسه ، بعد أن رأى مثل هذا الترميز ، فإن الشخص الذي سيقرأ حساباتك ، على سبيل المثال ، المدقق ، سيتوقع دون وعي أن التحولات الجبرية فقط في المستقبل تنتظره - لا توجد رسوم بيانية ولا هندسة.
من ناحية أخرى ، باستخدام تدوين النموذج \ ، أي الإشارة إلى المتغير بحرف واحد ، نوضح على الفور أننا في المستقبل مهتمون بالتفسير الهندسي للوظيفة ، أي أننا مهتمون في المقام الأول في الرسم البياني الخاص به. وفقًا لذلك ، في مواجهة سجل النموذج \ ، يحق للقارئ أن يتوقع حسابات بيانية ، أي الرسوم البيانية ، والتركيبات ، وما إلى ذلك ، ولكن ، بأي حال من الأحوال ، التحولات التحليلية.
أود أيضًا أن ألفت انتباهكم إلى إحدى سمات تصميم المهام التي ندرسها اليوم. يعتقد العديد من الطلاب أنني أعطي حسابات مفصلة للغاية ، ويمكن تخطي العديد منها أو حلها ببساطة في رأسي. ومع ذلك ، فإن مثل هذا السجل التفصيلي هو الذي سيسمح لك بالتخلص من الأخطاء الهجومية وزيادة نسبة المشكلات التي تم حلها بشكل صحيح ، على سبيل المثال ، في حالة الإعداد الذاتي للاختبارات أو الاختبارات. لذلك ، إذا كنت لا تزال غير متأكد من قدراتك ، وإذا كنت قد بدأت للتو في دراسة هذا الموضوع ، فلا تتعجل - صف بالتفصيل كل خطوة ، واكتب كل مضاعف ، وكل ضربة ، وسرعان ما ستتعلم كيفية حل مثل هذه الأمثلة أفضل من العديد من معلمي المدارس. آمل أن يكون هذا مفهوما. دعونا نحسب بعض الأمثلة الأخرى.
عدة تحديات مثيرة للاهتمام
هذه المرة ، كما نرى ، علم المثلثات موجود في تكوين المشتقات المحسوبة. لذا دعني أذكرك بما يلي:
\ [\ start (align) & (sinx ()) "= \ cos x \\ & ((\ left (\ cos x \ right)) ^ (\ prime)) = - \ sin x \\\ end (محاذاة ) \]
بالطبع لا يمكننا الاستغناء عن مشتق حاصل القسمة ، وهو:
\ [((\ left (\ frac (f) (g) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac ((f) "\ cdot g-f \ cdot (g)") (((g) ^ ( 2))) \]
تأمل الوظيفة الأولى:
\ [\ start (align) & (f) "= ((\ left (\ frac (\ sin x) (x) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (((\ left (\ sin x \ right)) ^ (\ prime)) \ cdot x- \ sin x \ cdot \ left (((x) ") \ right)) (((x) ^ (2))) = \\ & = \ frac (x \ cdot \ cos x-1 \ cdot \ sin x) (((x) ^ (2))) = \ frac (x \ cos x- \ sin x) (((x) ^ (2))) \\\ end (محاذاة) \]
إذن ، أوجدنا حل هذا المقدار.
دعنا ننتقل إلى المثال الثاني:
من الواضح أن مشتقها سيكون أكثر تعقيدًا إذا كان علم المثلثات موجودًا في كل من بسط هذه الدالة ومقامها. نحن نقرر:
\ [(y) "= ((\ left (\ frac (x \ sin x) (\ cos x) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (((\ left (x \ sin x \ right )) ^ (\ Prime)) \ cdot \ cos x-x \ sin x \ cdot ((\ left (\ cos x \ right)) ^ (\ prime))) ((\ left (\ cos x \ right)) ^ (2))) \]
لاحظ أن لدينا أحد مشتقات المنتج. في هذه الحالة ستكون مساوية لـ:
\ [\ start (align) & ((\ left (x \ cdot \ sin x \ right)) ^ (\ prime)) = (x) "\ cdot \ sin x + x ((\ left (\ sin x \ right)) ^ (\ prime)) = \\ & = \ sin x + x \ cos x \ end (محاذاة) \]
نعود إلى حساباتنا. نكتب:
\ [\ start (align) & (y) "= \ frac (\ left (\ sin x + x \ cos x \ right) \ cos x-x \ cdot \ sin x \ cdot \ left (- \ sin x \ right) ) ((\ cos) ^ (2)) x) = \\ & = \ frac (\ sin x \ cdot \ cos x + x ((\ cos) ^ (2)) x + x ((\ sin) ^ (2)) x) (((\ cos) ^ (2)) x) = \\ & = \ frac (\ sin x \ cdot \ cos x + x \ left (((\ sin) ^ (2) ) x + ((cos) ^ (2)) x \ right)) ((\ cos) ^ (2)) x) = \ frac (\ sin x \ cdot \ cos x + x) (((\ cos ) ^ (2)) x) \\\ end (محاذاة) \]
هذا كل شئ! حسبنا.
كيف يتم اختزال مشتق حاصل القسمة إلى صيغة بسيطة لمشتق المنتج؟
وهنا أود أن أبدي ملاحظة مهمة للغاية تتعلق بالدوال المثلثية على وجه التحديد. النقطة المهمة هي أن البناء الأصلي يحتوي على تعبير بالصيغة $ \ frac (\ sin x) (\ cos x) $ ، والذي يمكن استبداله بسهولة بـ $ tgx $ فقط. وبالتالي ، سنختزل مشتق حاصل القسمة إلى صيغة أبسط لمشتق المنتج. دعونا نحسب هذا المثال مرة أخرى ونقارن النتائج.
لذلك نحن الآن بحاجة إلى النظر في ما يلي:
\ [\ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \]
دعونا نعيد كتابة وظيفتنا الأصلية $ y = \ frac (x \ sin x) (\ cos x) $ مع وضع هذه الحقيقة في الاعتبار. نحن نحصل:
لنعد:
\ [\ start (align) & (y) "= ((\ left (x \ cdot tgx \ right)) ^ (\ prime)) (x)" \ cdot tgx + x ((\ left (tgx \ right) ) ^ (\ Prime)) = tgx + x \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) = \\ & = \ frac (\ sin x) (\ cos x) + \ frac ( x) ((\ cos) ^ (2)) x) = \ frac (\ sin x \ cdot \ cos x + x) (((\ cos) ^ (2)) x) \ end (محاذاة) \]
الآن ، إذا قارنا النتيجة بما حصلنا عليه سابقًا ، عند الحساب بطريقة مختلفة ، فسنتأكد من حصولنا على نفس المقدار. وبالتالي ، بغض النظر عن الطريقة التي نسلكها عند حساب المشتق ، إذا تم حساب كل شيء بشكل صحيح ، فستكون الإجابة هي نفسها.
الفروق الدقيقة المهمة في حل المشكلات
في الختام ، أود أن أخبركم ببراعة أخرى تتعلق بحساب مشتق حاصل القسمة. ما سأخبرك به الآن لم يكن في النص الأصلي لفيديو تعليمي. ومع ذلك ، قبل ساعتين من التصوير ، كنت أدرس مع أحد طلابي ، وكنا فقط نفرز موضوع مشتقات حاصل القسمة. وكما اتضح ، فإن العديد من الطلاب لا يفهمون هذه النقطة. لذلك ، لنفترض أننا بحاجة إلى حساب وقت عدم وجود الوظيفة التالية:
من حيث المبدأ ، لا يوجد شيء خارق للطبيعة للوهلة الأولى. ومع ذلك ، في عملية الحساب ، يمكننا ارتكاب العديد من الأخطاء الغبية والمسيئة ، والتي أود تحليلها الآن.
إذن ، نعتبر هذه المشتقة. بادئ ذي بدء ، لاحظ أن لدينا المصطلح $ 3 ((x) ^ (2)) $ ، لذلك من المناسب تذكر الصيغة التالية:
\ [((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]
بالإضافة إلى ذلك ، لدينا المصطلح $ \ frac (48) (x) $ - سنتعامل معه من خلال مشتق حاصل القسمة ، وهي:
\ [((\ left (\ frac (f) (g) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac ((f) "\ cdot g-f \ cdot (g)") (((g) ^ ( 2))) \]
لذلك دعنا نقرر:
\ [(y) "= ((\ left (\ frac (48) (x) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (3 ((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ رئيس)) + 10 (0) "\]
لا توجد مشاكل مع الفصل الأول انظر:
\ [((\ left (3 ((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 \ cdot ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ رئيس)) = 3 ك. 2 س = 6 س \]
لكن مع المصطلح الأول ، $ \ frac (48) (x) $ ، يجب أن تعمل بشكل منفصل. الحقيقة هي أن العديد من الطلاب يخلطون بين الموقف عندما تحتاج إلى العثور على $ ((\ left (\ frac (x) (48) \ right)) ^ (\ prime)) $ وعندما تحتاج إلى العثور على $ ((\ left (\ frac (48) (x) \ right)) ^ (\ prime)) $. أي أنها تختلط عندما يكون الثابت في المقام وعندما يكون الثابت في البسط ، على التوالي ، عندما يكون المتغير في البسط أو في المقام.
لنبدأ بالخيار الأول:
\ [((\ left (\ frac (x) (48) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (1) (48) \ cdot x \ right)) ^ (\ prime )) = \ frac (1) (48) \ cdot (x) "= \ frac (1) (48) \ cdot 1 = \ frac (1) (48) \]
من ناحية أخرى ، إذا حاولنا فعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني ، نحصل على ما يلي:
\ [\ start (align) & ((\ left (\ frac (48) (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (48 \ cdot \ frac (1) (x) \ right )) ^ (\ prime)) = 48 \ cdot ((\ left (\ frac (1) (x) \ right)) ^ (\ prime)) = \\ & = 48 \ cdot \ frac ((1) " \ cdot x-1 \ cdot (x) ") (((x) ^ (2))) = 48 \ cdot \ frac (-1) (((x) ^ (2))) = - \ frac (48 ) (((x) ^ (2))) \\\ end (محاذاة) \]
ومع ذلك ، يمكن حساب نفس المثال بشكل مختلف: في المرحلة التي مررنا فيها إلى مشتق حاصل القسمة ، يمكننا اعتبار $ \ frac (1) (x) $ كقوة ذات أس سالب ، أي نحصل على ما يلي :
\ [\ start (align) & 48 \ cdot ((\ left (\ frac (1) (x) \ right)) ^ (\ prime)) = 48 \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 1)) \ right)) ^ (\ prime)) = 48 \ cdot \ left (-1 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 2)) = \\ & = -48 \ cdot \ frac (1 ) (((x) ^ (2))) = - \ frac (48) (((x) ^ (2))) \\\ end (align) \]
وهكذا ، حصلنا على نفس الإجابة.
وهكذا ، فإننا مقتنعون مرة أخرى بحقيقتين مهمتين. أولاً ، يمكن حساب نفس المشتق بطرق مختلفة تمامًا. على سبيل المثال ، يمكن اعتبار $ ((\ left (\ frac (48) (x) \ right)) ^ (\ prime)) $ كمشتق من حاصل القسمة وكمشتق من دالة أس. علاوة على ذلك ، إذا تم إجراء جميع الحسابات بشكل صحيح ، فستظل الإجابة هي نفسها دائمًا. ثانيًا ، عند حساب المشتقات التي تحتوي على متغير وثابت معًا ، من المهم بشكل أساسي مكان وجود المتغير - في البسط أو في المقام. في الحالة الأولى ، عندما يكون المتغير في البسط ، نحصل على دالة خطية بسيطة يتم حسابها ببساطة. وإذا كان المتغير في المقام ، فسنحصل على تعبير أكثر تعقيدًا مع الحسابات المصاحبة الواردة سابقًا.
يمكن اعتبار هذا الدرس كاملاً ، لذلك إذا كنت لا تفهم شيئًا عن مشتقات منتج خاص أو منتج ، وبالفعل ، إذا كان لديك أي أسئلة حول هذا الموضوع ، فلا تتردد - قم بزيارة موقع الويب الخاص بي ، واكتب ، واتصل ، وأنا سأحاول بالتأكيد هل يمكنني مساعدتك.
المشتقات نفسها ليست بأي حال من الأحوال موضوعًا صعبًا ، ولكنها ضخمة جدًا ، وما ندرسه الآن سيتم استخدامه في المستقبل عند حل مشاكل أكثر تعقيدًا. هذا هو السبب في أنه من الأفضل تحديد جميع حالات سوء الفهم المتعلقة بحسابات مشتقات حاصل أو منتج على الفور ، في الوقت الحالي. ليس عندما تكون كرة ثلجية ضخمة من سوء الفهم ، ولكن عندما تكون كرة تنس صغيرة يسهل التعامل معها.
من المستحيل تمامًا حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات دون معرفة المشتقات وطرق حسابها. المشتق من أهم مفاهيم التحليل الرياضي. قررنا تكريس مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق ، ما هو معناه المادي والهندسي ، وكيف نحسب مشتقة دالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟
المعنى الهندسي والمادي للمشتق
يجب ألا تكون هناك وظيفة و (خ) ، في بعض الفترات (أ ، ب) . النقطتان x و x0 تنتمي إلى هذه الفترة. عندما تتغير x ، تتغير الوظيفة نفسها. تغيير الحجة - اختلاف قيمها x-x0 . هذا الاختلاف مكتوب كـ دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. تغيير أو زيادة دالة هو الفرق بين قيم الدالة عند نقطتين. تعريف مشتق:
مشتق دالة عند نقطة ما هو حد نسبة الزيادة في الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيطة عندما تميل الأخيرة إلى الصفر.
وإلا يمكن كتابتها على النحو التالي:
ما الهدف من إيجاد مثل هذا الحد؟ لكن اي واحدة:
مشتق دالة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX وظل الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.
المعنى المادي للمشتق: المشتق الزمني للمسار يساوي سرعة الحركة المستقيمة.
في الواقع ، منذ أيام الدراسة ، يعلم الجميع أن السرعة مسار خاص. س = و (ر) و الوقت ر . متوسط السرعة خلال فترة زمنية معينة:
لمعرفة سرعة الحركة في وقت واحد t0 تحتاج إلى حساب الحد:
القاعدة الأولى: أخرج الثابت
يمكن إخراج الثابت من علامة المشتق. علاوة على ذلك ، يجب أن يتم ذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات ، كقاعدة عامة - إذا كان بإمكانك تبسيط التعبير ، فتأكد من التبسيط .
مثال. دعنا نحسب المشتق:
القاعدة الثانية: مشتق مجموع الوظائف
مشتق مجموع وظيفتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتق اختلاف الوظائف.
لن نعطي دليلًا على هذه النظرية ، بل سننظر في مثال عملي.
أوجد مشتق دالة:
القاعدة الثالثة: مشتق حاصل ضرب التوابع
يتم حساب مشتق ناتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:
مثال: أوجد مشتق دالة:
المحلول: 
من المهم هنا أن نقول عن حساب مشتقات الوظائف المعقدة. مشتق دالة معقدة يساوي ناتج مشتق هذه الدالة فيما يتعلق بالحجة الوسيطة بمشتق الوسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل.
في المثال أعلاه ، نواجه التعبير:
في هذه الحالة ، الوسيطة الوسيطة هي 8x أس الخامس. من أجل حساب مشتق مثل هذا التعبير ، نأخذ أولاً في الاعتبار مشتق الوظيفة الخارجية فيما يتعلق بالحجة الوسيطة ، ثم نضرب في مشتق الوسيطة نفسها فيما يتعلق بالمتغير المستقل.
القاعدة الرابعة: مشتق حاصل قسمة وظيفتين
صيغة لتحديد مشتق حاصل قسمة وظيفتين:
حاولنا الحديث عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بالبساطة التي يبدو عليها ، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة ، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.
مع أي سؤال حول هذا الموضوع وموضوعات أخرى ، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. في وقت قصير ، سنساعدك في حل أصعب الضوابط والتعامل مع المهام ، حتى لو لم تتعامل مع حساب المشتقات من قبل.
خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.
جمع واستخدام المعلومات الشخصية
تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.
قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.
فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.
ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:
- عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.
كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:
- تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
- من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
- يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
- إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.
الإفصاح للغير
نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.
استثناءات:
- في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من هيئات الدولة في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
- في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.
حماية المعلومات الشخصية
نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.
الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة
للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.
عملية إيجاد المشتق تسمى التفاضل.
نتيجة لحل مشاكل إيجاد مشتقات لأبسط الوظائف (وليست بسيطة جدًا) من خلال تعريف المشتق على أنه حد نسبة الزيادة إلى الزيادة في الوسيطة ، ظهر جدول للمشتقات وقواعد محددة بدقة للتفاضل . كان إسحاق نيوتن (1643-1727) وجوتفريد فيلهلم ليبنيز (1646-1716) أول من عمل في مجال إيجاد المشتقات.
لذلك ، في عصرنا ، من أجل العثور على مشتق أي دالة ، ليس من الضروري حساب الحد المذكور أعلاه لنسبة زيادة الوظيفة إلى زيادة الوسيطة ، ولكن تحتاج فقط إلى استخدام الجدول المشتقات وقواعد التفاضل. الخوارزمية التالية مناسبة لإيجاد المشتق.
لإيجاد المشتق، فأنت بحاجة إلى تعبير تحت علامة السكتة الدماغية تحطيم الوظائف البسيطةوتحديد ما هي الإجراءات (المنتج ، المجموع ، الحاصل)ترتبط هذه الوظائف. علاوة على ذلك ، نجد مشتقات الدوال الأولية في جدول المشتقات ، والصيغ الخاصة بمشتقات المنتج ، والجمع والحاصل - في قواعد التفاضل. يتم إعطاء جدول المشتقات وقواعد التفاضل بعد المثالين الأولين.
مثال 1أوجد مشتق دالة
المحلول. من قواعد التفاضل نجد أن مشتق مجموع الوظائف هو مجموع مشتقات الوظائف ، أي
من جدول المشتقات ، نجد أن مشتق "X" يساوي واحدًا ، ومشتق جيب التمام هو جيب التمام. نعوض بهذه القيم في مجموع المشتقات ونجد المشتق الذي تتطلبه حالة المشكلة:
مثال 2أوجد مشتق دالة
المحلول. اشتق كمشتق من المجموع ، حيث يمكن إخراج المصطلح الثاني بعامل ثابت من علامة المشتق:
إذا كانت لا تزال هناك أسئلة حول مصدر شيء ما ، فإنها ، كقاعدة عامة ، تصبح واضحة بعد قراءة جدول المشتقات وأبسط قواعد التفاضل. نحن نذهب إليهم الآن.
جدول مشتقات الدوال البسيطة
| 1. مشتق ثابت (رقم). أي رقم (1 ، 2 ، 5 ، 200 ...) موجود في تعبير الدالة. دائما صفر. من المهم جدًا تذكر هذا ، لأنه مطلوب في كثير من الأحيان | |
| 2. مشتق المتغير المستقل. في أغلب الأحيان "x". دائما يساوي واحد. من المهم أيضًا تذكر هذا | |
| 3. مشتق من الدرجة. عند حل المشكلات ، تحتاج إلى تحويل الجذور غير التربيعية إلى أس. | |
| 4. مشتق متغير من القوة -1 | |
| 5. مشتق من الجذر التربيعي | |
| 6. مشتق الجيب | |
| 7. مشتق جيب التمام |  |
| 8. مشتق الظل |  |
| 9. مشتق ظل التمام |  |
| 10. مشتق القوسين |  |
| 11. مشتق قوس جيب التمام |  |
| 12. مشتق قوس الظل |  |
| 13. مشتق من معكوس الظل |  |
| 14. مشتق من اللوغاريتم الطبيعي | |
| 15. مشتق دالة لوغاريتمية |  |
| 16. مشتق من الأس | |
| 17. مشتق من الدالة الأسية |
قواعد التمايز
| 1. مشتق من المجموع أو الفرق |  |
| 2. مشتق من المنتج |  |
| 2 أ. مشتق من تعبير مضروب بعامل ثابت | |
| 3. مشتق من حاصل القسمة |  |
| 4. مشتق دالة معقدة |  |
المادة 1إذا كان يعمل
قابلة للتفاضل عند نقطة ما ، ثم الوظائف في نفس النقطة
و
أولئك. مشتق المجموع الجبري للوظائف يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال.
عاقبة. إذا اختلفت وظيفتان قابلتان للتفاضل بواسطة ثابت ، فإن مشتقاتهما تكون، بمعنى آخر.
القاعدة 2إذا كان يعمل
قابلة للتفاضل في مرحلة ما ، فإن منتجها قابل للتفاضل أيضًا في نفس النقطة
و
أولئك. مشتق حاصل ضرب وظيفتين يساوي مجموع حاصل ضرب كل من هاتين الدالتين ومشتق الآخر.
النتيجة 1. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق:
النتيجة 2. مشتق ناتج العديد من الوظائف القابلة للتفاضل يساوي مجموع حاصل ضرب مشتق كل من العوامل وكل العوامل الأخرى.
على سبيل المثال ، لثلاثة مضاعفات:
القاعدة 3إذا كان يعمل
قابلة للتفاضل في مرحلة ما و , عند هذه النقطة يكون حاصل قسمةها أيضًا قابلاً للاشتقاق.u / v و
أولئك. مشتق خارج قسمة وظيفتين يساوي كسر ، بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتق البسط والبسط ومشتق المقام ، والمقام هو مربع البسط السابق .
أين تبحث في الصفحات الأخرى
عند العثور على مشتق المنتج وحاصل القسمة في مشاكل حقيقية ، من الضروري دائمًا تطبيق عدة قواعد تفاضل في وقت واحد ، لذلك توجد المزيد من الأمثلة على هذه المشتقات في المقالة."مشتق المنتج والحاصل".
تعليق.يجب ألا تخلط بين ثابت (أي رقم) كمصطلح في المجموع وكعامل ثابت! في حالة المصطلح ، يكون مشتقه مساويًا للصفر ، وفي حالة وجود عامل ثابت ، يتم استبعاده من علامة المشتقات. هذا خطأ نموذجي يحدث في المرحلة الأولى من دراسة المشتقات ، ولكن عندما يحل الطالب العادي عدة أمثلة مكونة من مكونين ، فإن الطالب العادي لم يعد يرتكب هذا الخطأ.
وإذا كان لديك مصطلح عند التفريق بين منتج أو حاصل قسمة ش"الخامس، حيث ش- رقم ، على سبيل المثال ، 2 أو 5 ، أي ثابت ، ثم مشتق هذا الرقم سيكون مساويًا للصفر ، وبالتالي ، فإن المصطلح بأكمله سيكون مساويًا للصفر (يتم تحليل هذه الحالة في المثال 10) .
خطأ شائع آخر هو الحل الميكانيكي لمشتق دالة معقدة كمشتق لدالة بسيطة. لهذا مشتق دالة معقدةمكرسة لمقال منفصل. لكن أولاً سوف نتعلم إيجاد مشتقات وظائف بسيطة.
على طول الطريق ، لا يمكنك الاستغناء عن تحولات التعبيرات. للقيام بذلك ، قد تحتاج إلى فتح كتيبات النوافذ الجديدة أفعال ذات قوى وجذورو الأفعال مع الكسور .
إذا كنت تبحث عن حلول للمشتقات ذات القوى والجذور ، أي عندما تبدو الوظيفة 
، ثم اتبع الدرس "مشتق من مجموع الكسور مع القوى والجذور".
إذا كان لديك مهمة مثل 
، فأنت في الدرس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة".
أمثلة خطوة بخطوة - كيفية إيجاد المشتق
مثال 3أوجد مشتق دالة
المحلول. نحدد أجزاء تعبير الدالة: يمثل التعبير بأكمله المنتج ، وعوامله عبارة عن مجاميع ، وفي الثانية يحتوي أحد المصطلحات على عامل ثابت. نطبق قاعدة تمايز المنتج: مشتق حاصل ضرب وظيفتين يساوي مجموع حاصل ضرب كل من هاتين الدالتين ومشتق الآخر:
بعد ذلك ، نطبق قاعدة اشتقاق المجموع: مشتق مجموع الدوال الجبري يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال. في حالتنا ، في كل مجموع ، الحد الثاني بعلامة ناقص. في كل مجموع ، نرى متغيرًا مستقلاً ، مشتقه يساوي واحدًا ، وثابتًا (رقمًا) مشتقه يساوي صفرًا. لذا ، يتحول "x" إلى واحد ، وسالب 5 - إلى صفر. في التعبير الثاني ، يتم ضرب "x" في 2 ، لذلك نضرب اثنين في نفس وحدة مشتق "x". نحصل على القيم التالية للمشتقات:
نستبدل المشتقات الموجودة في مجموع المنتجات ونحصل على مشتق الوظيفة الكاملة التي تتطلبها حالة المشكلة:
مثال 4أوجد مشتق دالة
المحلول. مطلوب منا إيجاد مشتق خارج القسمة. نطبق صيغة اشتقاق خارج القسمة: مشتق خارج قسمة دالتين يساوي كسرًا يمثل بسطه الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتق البسط ومشتق المقام ، و المقام هو مربع البسط السابق. نحن نحصل:
لقد وجدنا بالفعل مشتق العوامل في البسط في المثال 2. دعونا لا ننسى أيضًا أن حاصل الضرب ، وهو العامل الثاني في البسط في المثال الحالي ، مأخوذ بعلامة ناقص:
إذا كنت تبحث عن حلول لمثل هذه المشاكل التي تحتاج فيها إلى إيجاد مشتق دالة ، حيث توجد كومة مستمرة من الجذور والدرجات ، مثل ، على سبيل المثال ، 
ثم مرحبًا بك في الفصل "مشتق مجموع الكسور ذات القوى والجذور" .
إذا كنت بحاجة إلى معرفة المزيد عن مشتقات الجيب وجيب التمام والظلال والوظائف المثلثية الأخرى ، أي عندما تبدو الدالة مثل ، ثم لديك درس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة" .
مثال 5أوجد مشتق دالة
المحلول. في هذه الدالة ، نرى منتجًا ، أحد عوامله هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل ، والذي تعرفنا على مشتقه في جدول المشتقات. وفقًا لقاعدة تمايز المنتج والقيمة الجدولية لمشتق الجذر التربيعي ، نحصل على:
مثال 6أوجد مشتق دالة
المحلول. في هذه الدالة ، نرى حاصل القسمة الذي يكون المقسوم عليه هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل. وفقًا لقاعدة اشتقاق حاصل القسمة ، التي كررناها وطبقناها في المثال 4 ، والقيمة المجدولة لمشتق الجذر التربيعي ، نحصل على:
للتخلص من الكسر في البسط ، اضرب البسط والمقام في.
جار التحميل...