نوع الدرس:تعلم مواد جديدة.

أهداف الدرس:

توسيع وتعميق أفكار الطلاب حول المشكلات التي يتم حلها باستخدام التقدم الحسابي ؛ تنظيم نشاط بحث الطلاب عند استنباط معادلة لمجموع أول ن أعضاء من التقدم الحسابي ؛
تنمية المهارات لاكتساب المعرفة الجديدة بشكل مستقل ، لاستخدام المعرفة المكتسبة بالفعل لتحقيق المهمة المحددة ؛
تنمية الرغبة والحاجة إلى تعميم الحقائق التي تم الحصول عليها ، وتطوير الاستقلال.

مهام:

لتعميم وتنظيم المعرفة الموجودة حول موضوع "التقدم الحسابي" ؛
اشتقاق الصيغ لحساب مجموع أول n من التقدم الحسابي ؛
لتعليم كيفية تطبيق الصيغ التي تم الحصول عليها في حل المشاكل المختلفة ؛
لجذب انتباه الطلاب إلى ترتيب الإجراءات عند العثور على قيمة التعبير الرقمي.

ادوات:

بطاقات مع مهام للعمل في مجموعات وأزواج ؛
ورقة التقييم
عرض"المتوالية العددية".

1. تحديث المعرفة الأساسية.

1. العمل المستقل في أزواج.

الخيار الأول:

أعط تعريفًا للتقدم الحسابي. اكتب الصيغة المتكررة التي تحدد التقدم الحسابي. مرحبا مثال على التقدم الحسابي وبيان اختلافها.

الخيار الثاني:

اكتب صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي. أوجد الحد 100 من التقدم الحسابي ( أ}: 2, 5, 8 …
في هذا الوقت ، يقوم طالبان على ظهر اللوحة بإعداد إجابات لنفس الأسئلة.
يقوم الطلاب بتقييم عمل الشريك مقابل السبورة. (يتم تسليم أوراق الإجابة).

2. لعبة لحظة.

التمرين 1.

معلم.لدي بعض التقدم الحسابي في الاعتبار. فقط اطرح علي سؤالين حتى يمكنك بعد الإجابات تسمية الفصل السابع من هذا التقدم بسرعة. (1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ...)

أسئلة الطلاب.

ما هو الحد السادس في التقدم وما الفرق؟
ما هو الحد الثامن في التقدم وما الفرق؟

إذا لم يكن هناك المزيد من الأسئلة ، فيمكن للمدرس تحفيزها - "حظر" في d (الاختلاف) ، أي أنه لا يُسمح بسؤال ما هو الفرق. يمكنك طرح أسئلة: ما هو الفصل السادس من التقدم وما هو الفصل الثامن من التقدم؟

المهمة 2.

يوجد 20 رقمًا مكتوبًا على السبورة: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

يقف المعلم وظهره إلى السبورة. يتصل الطلاب برقم الرقم ، ويقوم المعلم على الفور بالاتصال بالرقم نفسه. اشرح كيف افعل ذلك؟

يتذكر المعلم صيغة الفصل التاسع أ ن = 3 ن - 2وباستبدال القيم المعطاة لـ n ، يجد القيم المقابلة أ

ثانيًا. بيان المشكلة التربوية.

أقترح حل مشكلة قديمة تعود إلى الألفية الثانية قبل الميلاد ، وجدت في البرديات المصرية.

مهمة:"ليقال لكم: اقسموا 10 مقاييس من الشعير على 10 أشخاص ، الفرق بين كل شخص وجاره يساوي 1/8 من القياس."

كيف ترتبط هذه المهمة بموضوع التدرج الحسابي؟ (يحصل كل واحد تالي على 1/8 من مقياس أكثر ، مما يعني أن الفرق د = 1/8 ، 10 أشخاص ، مما يعني أن ن = 10.)
ما رأيك يعني الرقم 10؟ (مجموع كل أعضاء التقدم.)
ما الذي تحتاج إلى معرفته أيضًا لتسهيل تقسيم الشعير وفقًا لحالة المهمة؟ (المصطلح الأول في التقدم).

هدف الدرس- الحصول على اعتماد مجموع أعضاء التقدم على عددهم ، المصطلح الأول والفرق ، والتحقق مما إذا كانت المشكلة قد تم حلها بشكل صحيح في العصور القديمة.

قبل استخلاص خاتمة الصيغة ، دعونا نرى كيف حل المصريون القدماء المشكلة.

وقاموا بحلها على النحو التالي:

1) 10 مقاييس: 10 = مقياس واحد - متوسط الحصة ؛
2) قياس واحد ∙ = مقياسين - مضاعفة معدلشارك.
تضاعف معدلالحصة هي مجموع أسهم الشعبين الخامس والسادس.
3) مقياسين - 1/8 مقياس = 1 7/8 إجراء - ضعف حصة الشخص الخامس.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - نصيب الخامس ؛ وهكذا ، يمكنك العثور على نصيب كل شخص سابق ولاحق.

نحصل على التسلسل:

ثالثا. حل المشكلة.

1. العمل في مجموعات

المجموعة الأولى:أوجد مجموع 20 عددًا طبيعيًا متتاليًا: ق 20 = (20 + 1) 10 = 210.

على العموم

المجموعة الثانية:أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100 (The Legend of the Little Gauss).

100 S = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

استنتاج:

المجموعة الثالثة:أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 21.

الحل: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

استنتاج:

المجموعة الرابعة:أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 101.

استنتاج:

هذه الطريقة لحل المشاكل المدروسة تسمى "طريقة غاوس".

2. تقدم كل مجموعة حلاً للمشكلة على السبورة.

3. تعميم الحلول المقترحة للتقدم الحسابي التعسفي:

أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن -2 ، أ ن -1 ، أ ن.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

دعونا نجد هذا المجموع من خلال التفكير بطريقة مماثلة:

4. هل قمنا بحل المهمة المطروحة؟(نعم.)

رابعا. الفهم الأساسي وتطبيق الصيغ التي تم الحصول عليها في حل المشكلات.

1. التحقق من حل مشكلة قديمة باستخدام صيغة.

2. تطبيق الصيغة في حل المشاكل المختلفة.

3. تمارين لتكوين القدرة على تطبيق الصيغة عند حل المشكلات.

أ) برقم 613

معطى: ( أ ن) -المتوالية العددية؛

(أ ن): 1 ، 2 ، 3 ، ... ، 1500

تجد: ق 1500

المحلول: , أ 1 = 1 ، 1500 = 1500 ،

ب) معطى: ( أ ن) -المتوالية العددية؛
(أ ن): 1 ، 2 ، 3 ، ...
S ن = 210

تجد: ن
المحلول:

خامسا - العمل المستقل مع التحقق المتبادل.

ذهب دينيس للعمل كساعي. في الشهر الأول ، كان راتبه 200 روبل ، وفي كل شهر لاحق زاد بمقدار 30 روبل. كم ربح في السنة؟

معطى: ( أ ن) -المتوالية العددية؛
أ 1 = 200 ، د = 30 ، ن = 12
تجد: ق 12
المحلول:

الجواب: تلقى دينيس 4380 روبل في السنة.

السادس. إحاطة الواجبات المنزلية.

ص 4.3 - تعلم اشتقاق الصيغة.
№№ 585, 623 .
قم بإنشاء مشكلة سيتم حلها باستخدام صيغة مجموع أول n من الحدود للتقدم الحسابي.

السابع. تلخيص الدرس.

1. ورقة التقييم

2. تواصل الجمل

اليوم في الدرس الذي تعلمته ...
الصيغ التي تم تعلمها ...
اعتقد انه …

3. هل يمكنك إيجاد مجموع الأعداد من 1 إلى 500؟ ما الطريقة التي ستستخدمها لحل هذه المشكلة؟

فهرس.

1. الجبر الصف التاسع. كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية. إد. ج. دوروفيفا.م: "التعليم" ، 2009.

إذا كان كل عدد طبيعي ن تطابق رقم حقيقي أ ثم يقولون أنه معطى التسلسل العددي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ , . . . .

لذا ، فإن المتتالية العددية هي دالة في السعة الطبيعية.

عدد أ 1 وتسمى أول عضو في التسلسل ، عدد أ 2 — الفصل الثاني ، عدد أ 3 — الثالث إلخ. عدد أ وتسمى الحد التاسع من التسلسل والعدد الطبيعي ن — رقمه .

من عضوين متجاورين أ و أ +1 عضو تسلسل أ +1 وتسمى لاحق (قريب أ )، أ أ — السابق (قريب أ +1 ).

لتحديد تسلسل ، يجب عليك تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على أحد أعضاء التسلسل بأي رقم.

غالبًا ما يتم إعطاء التسلسل بـ صيغ المصطلح التاسع ، أي صيغة تسمح لك بتحديد عضو في تسلسل برقمه.

على سبيل المثال،

يمكن تحديد سلسلة من الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

أ= 2ن - 1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - بالصيغة

بن = (-1)ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل صيغة متكررة, أي ، الصيغة التي تعبر عن أي عضو في التسلسل ، بدءًا من بعض ، مرورًا بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

على سبيل المثال،

إذا أ 1 = 1 ، أ أ +1 = أ + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

إذا أ 1= 1, أ 2 = 1, أ +2 = أ + أ +1 , ثم يتم تعيين الأعضاء السبعة الأولى من التسلسل العددي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

أ 2 = 1,

أ 3 = أ 1 + أ 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = أ 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

أ 5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون التسلسلات نهائي و بلا نهاية .

التسلسل يسمى النهائي إذا كان لديها عدد محدود من الأعضاء. التسلسل يسمى بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

على سبيل المثال،

سلسلة من الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

نهائي.

سلسلة من الأعداد الأولية:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

التسلسل يسمى في ازدياد إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أكبر من السابق.

التسلسل يسمى إنقاص، تقليل إذا كان كل عضو من أعضائه ابتداء من الثاني أقل من السابق.

على سبيل المثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . - زيادة التسلسل

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . - تسلسل تنازلي. ◄

يتم استدعاء التسلسل الذي لا تنقص عناصره مع زيادة العدد ، أو على العكس من ذلك لا يزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الرتيبة ، على وجه الخصوص ، هي تسلسلات تصاعدية وتنازلية.

المتوالية العددية

المتوالية العددية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، الذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ, . . .

هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

أ +1 = أ + د,

أين د - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن الفرق بين الأعضاء التاليين والسابقين في تقدم حسابي معين دائمًا ما يكون ثابتًا:

أ 2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = أ +1 - أ = د.

عدد د وتسمى فرق التقدم الحسابي.

لضبط التقدم الحسابي ، يكفي الإشارة إلى أول مصطلح واختلاف.

على سبيل المثال،

إذا أ 1 = 3, د = 4 ، ثم تم العثور على الأعضاء الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

أ 1 =3,

أ 2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = أ 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للتقدم الحسابي مع الفصل الأول أ 1 والفرق د لها ن

أ = أ 1 + (ن- 1)د.

على سبيل المثال،

أوجد الحد الثلاثين من التقدم الحسابي

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

أ 30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄

أ ن -1 = أ 1 + (ن- 2)د،

أ= أ 1 + (ن- 1)د،

أ +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

أ=	أ ن -1 + أ ن + 1
	2

كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية في بعض التقدم الحسابي إذا وفقط إذا كان أحدهم يساوي المتوسط الحسابي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

أ = 2ن- 7 ، هو تقدم حسابي.

دعنا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

أ = 2ن- 7,

أ ن -1 = 2(ن - 1) - 7 = 2ن- 9,

أ ن + 1 = 2(ن + 1) - 7 = 2ن- 5.

لذلك،

أ ن + 1 + أ ن -1	=	2ن- 5 + 2ن- 9	= 2ن- 7 = أ,
2		2

◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على المصطلح الثالث للتقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة أ ك

أ = أ ك + (ن- ك)د.

على سبيل المثال،

ل أ 5 يمكن أن تكون مكتوبة

أ 5 = أ 1 + 4د,

أ 5 = أ 2 + 3د,

أ 5 = أ 3 + 2د,

أ 5 = أ 4 + د. ◄

أ = أ ن ك + دينار كويتي,

أ = أ ن + ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

أ=	أ ن ك + أ ن + ك
	2

أي عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثانية ، يساوي نصف مجموع أعضاء هذا التقدم الحسابي على مسافات متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم حسابي ، فإن المساواة صحيحة:

أ م + أ ن = أ ك + ل,

م + ن = ك + ل.

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = أ 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ؛

3) أ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لأن

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= أ 1 + أ 2 + أ 3 +. ... ...+ أ,

الأول ن أعضاء التقدم الحسابي يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدود القصوى بعدد المصطلحات:

ومن ثم ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك أنه إذا كان من الضروري جمع الشروط

أ ك, أ ك +1 , . . . , أ,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة بهيكلها:

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي ، ثم القيم أ 1 , أ, د, نوس ن مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم ثلاث من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ ، مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.

التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:

إذا د > 0 ثم يتزايد.
إذا د < 0 ثم يتناقص.
إذا د = 0 ، ثم سيكون التسلسل ثابتًا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، مضروبًا في نفس الرقم.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تسلسل هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · ف,

أين ف ≠ 0 - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن نسبة العضو التالي في تقدم هندسي معين إلى العنصر السابق هي رقم ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = ف.

عدد ف وتسمى مقام التقدم الهندسي.

لضبط التقدم الهندسي ، يكفي الإشارة إلى حده الأول ومقامه.

على سبيل المثال،

إذا ب 1 = 1, ف = -3 ، ثم تم العثور على الأعضاء الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · ف = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · ف= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · ف= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · ف= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والمقام ف لها ن يمكن العثور على المصطلح من خلال الصيغة:

ب ن = ب 1 · ف ن -1 .

على سبيل المثال،

أوجد الحد السابع من التقدم الهندسي 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, ف = 2,

ب 7 = ب 1 · ف 6 = 6 1 2 = 64. ◄

ب ن -1 = ب 1 · ف ن -2 ,

ب ن = ب 1 · ف ن -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · ف ن,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

كل عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي الوسط الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقين واللاحقين.

نظرًا لأن العبارة العكسية صحيحة أيضًا ، فإن العبارة التالية صحيحة:

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدهما مساويًا لحاصل ضرب الرقمين الآخرين ، أي أن أحد الأرقام هو المتوسط الهندسي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطى بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم أسي. دعنا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

ب ن= -3 2 ن,

ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 = -3 2 ن +1 .

لذلك،

ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) (-3 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

مما يثبت البيان المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على المصطلح الثالث للتقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي مصطلح سابق ب ك ، وهو ما يكفي لاستخدام الصيغة

ب ن = ب ك · ف ن - ك.

على سبيل المثال،

ل ب 5 يمكن أن تكون مكتوبة

ب 5 = ب 1 · ف 4 ,

ب 5 = ب 2 · ف 3,

ب 5 = ب 3 · ف 2,

ب 5 = ب 4 · ف. ◄

ب ن = ب ك · ف ن - ك,

ب ن = ب ن - ك · ف ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

مربع أي عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي حاصل ضرب أعضاء هذا التقدم على مسافة متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم هندسي ، فإن المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · ف 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لأن

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

الأول ن أعضاء متتالية هندسية مع المقام ف ≠ 0 محسوبة بالصيغة:

وعندما ف = 1 - حسب الصيغة

S n= ملحوظة 1

لاحظ أنه إذا كنت بحاجة إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

S n- ك -1 = ب ك + ب ك +1 + . . . + ب ن = ب ك ·	1 - ف ن - ك +1	.
	1 - ف

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تقدم هندسي ، ثم القيم ب 1 , ب ن, ف, نو S n مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم أي من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ ، مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للتقدم الهندسي مع المصطلح الأول ب 1 والمقام ف الأتى خصائص الرتابة :

التقدم تصاعدي إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و ف> 1;

ب 1 < 0 و 0 < ف< 1;

يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < ف< 1;

ب 1 < 0 و ف> 1.

إذا ف< 0 ، فإن التقدم الهندسي يكون بالتناوب: أعضائه الفرديين لهم نفس علامة الحد الأول ، والشروط ذات الأرقام الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

عمل الأول ن يمكن حساب أعضاء التقدم الهندسي بالصيغة:

ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

على سبيل المثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود

تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي يسمى التقدم الهندسي اللانهائي ، ومعامل قاسمه أقل 1 ، هذا هو

|ف| < 1 .

لاحظ أن التدرج الهندسي المتناقص بشكل غير محدود قد لا يكون تسلسلاً متناقصًا. هذا يناسب القضية

1 < ف< 0 .

مع هذا المقام ، التسلسل هو بالتناوب. على سبيل المثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي هو الرقم الذي يصل إليه مجموع الأول ن أعضاء التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن ... هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

س= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . =	ب 1	.
	1 - ف

على سبيل المثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين التدرجات الحسابية والهندسية

يرتبط التعاقب الحسابي والهندسي ارتباطًا وثيقًا. لنلق نظرة على مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، ومن بعد

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

على سبيل المثال،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - التدرج الهندسي مع المقام 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . - التدرج الهندسي مع المقام ف ، ومن بعد

تسجيل ب 1, سجل أ ب 2, تسجيل ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف تسجيل أف .

على سبيل المثال،

2, 12, 72, . . . - التدرج الهندسي مع المقام 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف إل جي 6 . ◄

مستوى اول

المتوالية العددية. النظرية التفصيلية مع الأمثلة (2019)

التسلسل الرقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد الرقم الأول ، والذي هو الثاني ، وهكذا إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على تسلسل رقمي:

التسلسل الرقمي
على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص خاص برقم واحد فقط في التسلسل. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) دائمًا واحد.
الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو العاشر في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل بأكمله بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو :.

في حالتنا هذه:

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.
على سبيل المثال:

إلخ.
يسمى هذا التسلسل الرقمي بالتقدم الحسابي.
تم تقديم مصطلح "التقدم" من قبل المؤلف الروماني بوثيوس في القرن السادس وتم فهمه بمعنى أوسع ، كتسلسل رقمي لا نهاية له. تم نقل اسم "الحساب" من نظرية النسب المستمرة التي انخرط فيها الإغريق القدماء.

هذه سلسلة عددية ، كل حد منها يساوي السابق ، مضافًا إلى نفس الرقم. يسمى هذا الرقم باختلاف التقدم الحسابي ويتم الإشارة إليه بواسطة.

حاول تحديد التسلسلات الرقمية التي تعتبر تقدمًا حسابيًا وأيها ليست:

أ)
ب)
ج)
د)

فهمت؟ دعنا نقارن إجاباتنا:
هوالتقدم الحسابي - ب ، ج.
ليسالتقدم الحسابي - أ ، د.

دعنا نعود إلى التقدم المحدد () ونحاول إيجاد قيمة العضو العاشر. موجود اثنينطريقة العثور عليه.

1. الطريقة

يمكننا أن نضيف إلى القيمة السابقة لعدد التقدم حتى نصل إلى الحد العاشر من التقدم. من الجيد أنه لم يتبق لدينا الكثير للتلخيص - ثلاث قيم فقط:

لذا ، فإن العضو العاشر في التقدم الحسابي الموصوف يساوي.

2. الطريقة

ماذا لو احتجنا لإيجاد قيمة الحد ال عشر للتقدم؟ سيستغرق الجمع أكثر من ساعة ، وليس حقيقة أننا لن نخطئ عند جمع الأعداد.
بالطبع ، توصل علماء الرياضيات إلى طريقة لا تحتاج فيها إلى إضافة فرق التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة. انظر عن كثب إلى الرسم الذي رسمته ... بالتأكيد لاحظت بالفعل نمطًا معينًا ، وهو:

على سبيل المثال ، لنرى كيف يتم إضافة قيمة العضو العاشر في هذا التقدم الحسابي:

بعبارات أخرى:

حاول أن تجد بشكل مستقل قيمة عضو في تقدم حسابي معين بهذه الطريقة.

محسوب؟ قارن ملاحظاتك بالإجابة:

انتبه إلى أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما أضفنا أعضاء التقدم الحسابي على التوالي إلى القيمة السابقة.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - سنضعها في شكل عام ونحصل على:

معادلة التقدم الحسابي.

التدرجات الحسابية تصاعدية وتتناقص في بعض الأحيان.

تصاعدي- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للأعضاء أكبر من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

المتناقصة- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للأعضاء أقل من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تُستخدم الصيغة المشتقة في حساب المصطلحات في كل من المصطلحات المتزايدة والمتناقصة للتقدم الحسابي.
دعنا نتحقق من هذا في الممارسة.
لدينا تقدم حسابي يتكون من الأرقام التالية: دعنا نتحقق من الرقم الخامس لهذا التقدم الحسابي إذا استخدمنا معادلتنا لحسابه:

منذ ذلك الحين:

وبالتالي ، تأكدنا من أن الصيغة تعمل في كل من التقدم الحسابي المتناقص والمتزايد.
حاول أن تجد المصطلحين الخامس والثالث لهذا التقدم الحسابي بنفسك.

دعونا نقارن النتائج التي تم الحصول عليها:

خاصية التقدم الحسابي

دعونا نعقد المهمة - سنشتق خاصية التقدم الحسابي.
لنفترض أننا حصلنا على الشرط التالي:
- التقدم الحسابي ، أوجد القيمة.
من السهل أن تقول وابدأ العد وفقًا للصيغة التي تعرفها بالفعل:

دعونا إذن:

صح تماما. اتضح أننا وجدنا أولًا ، ثم نضيفه إلى الرقم الأول ونحصل على ما نبحث عنه. إذا تم تمثيل التقدم بقيم صغيرة ، فلا يوجد شيء معقد بشأنه ، ولكن إذا تم إعطاؤنا أرقامًا في الحالة؟ اعترف بذلك ، هناك فرصة لارتكاب خطأ في الحسابات.
فكر الآن فيما إذا كان من الممكن حل هذه المشكلة في إجراء واحد باستخدام أي صيغة؟ بالطبع ، نعم ، وهي التي سنحاول الانسحاب الآن.

دعنا نشير إلى المصطلح المطلوب للتقدم الحسابي حيث نعرف صيغة إيجاده - هذه هي نفس الصيغة التي اشتقناها في البداية:
، ومن بعد:

العضو السابق في التقدم هو:
العضو التالي في التقدم هو:

دعونا نلخص الأعضاء السابقين واللاحقين للتقدم:

اتضح أن مجموع الأعضاء السابقين واللاحقين للتقدم هو القيمة المضاعفة لعضو التقدم الموجود بينهما. بمعنى آخر ، للعثور على قيمة أحد أعضاء التقدم مع القيم السابقة والمتتالية المعروفة ، من الضروري جمعها والقسمة عليها.

هذا صحيح ، لدينا نفس الرقم. دعونا نصلح المادة. احسب قيمة التقدم بنفسك ، لأنه ليس صعبًا على الإطلاق.

أتقنه! أنت تعرف كل شيء تقريبًا عن التقدم! لم يتبق سوى معادلة واحدة لنتعلمها ، والتي ، وفقًا للأسطورة ، استنتجها بنفسه بسهولة أحد أعظم علماء الرياضيات في كل العصور ، "ملك علماء الرياضيات" - كارل غاوس ...

عندما كان كارل غاوس يبلغ من العمر 9 سنوات ، كان المعلم مشغولًا بفحص عمل الطلاب في الصفوف الأخرى ، فعيّن المهمة التالية في الدرس: "احسب مجموع كل الأعداد الطبيعية من أعلى (وفقًا لمصادر أخرى حتى). " تخيل مفاجأة المعلم عندما قدم أحد طلابه (وهو كارل غاوس) الإجابة الصحيحة على المشكلة في دقيقة واحدة ، بينما تلقى معظم زملائه المتهورون ، بعد حسابات طويلة ، النتيجة الخاطئة ...

لاحظ Young Karl Gauss نمطًا معينًا يمكنك ملاحظته بسهولة.
لنفترض أن لدينا تقدمًا حسابيًا يتكون من -الأعضاء: نحتاج إلى إيجاد مجموع الأعضاء المعينين للتقدم الحسابي. بالطبع ، يمكننا جمع كل القيم يدويًا ، ولكن ماذا لو كان من الضروري في المهمة العثور على مجموع أعضائها ، كما كان يبحث غاوس؟

دعونا نرسم تقدمًا معينًا. انظر عن كثب إلى الأرقام المميزة وحاول إجراء عمليات حسابية مختلفة معهم.

هل جربته؟ ماذا لاحظت؟ حق! مبالغهم متساوية

أخبرني الآن ، كم عدد هذه الأزواج في التقدم المحدد؟ بالطبع ، بالضبط نصف كل الأرقام ، هذا هو.
استنادًا إلى حقيقة أن مجموع عضوين من التقدم الحسابي متساوٍ ، وأزواج متساوية متشابهة ، نحصل على أن المجموع الكلي هو:
.
وبالتالي ، فإن صيغة مجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي ستكون على النحو التالي:

في بعض المشاكل ، لا نعرف المصطلح ال ، لكننا نعرف الفرق في التقدم. حاول التعويض في صيغة الجمع ، صيغة الحد رقم عشر.
ما الذي فعلته؟

أتقنه! الآن دعنا نعود إلى المسألة التي أعطيت لكارل غاوس: احسب بنفسك ما هو مجموع الأرقام التي تبدأ من العدد -th ، ومجموع الأرقام بدءًا من الرقم -th.

كم حصلت عليه؟
وجد Gauss أن مجموع الأعضاء متساوٍ ومجموع الأعضاء. هل هذه هي الطريقة التي قررت بها؟

في الواقع ، تم إثبات صيغة مجموع أعضاء التقدم الحسابي من قبل العالم اليوناني القديم ديوفانتوس في القرن الثالث ، وطوال هذا الوقت ، كان الأشخاص بارعون يستخدمون خصائص التقدم الحسابي إلى أقصى حد.
على سبيل المثال ، تخيل مصر القديمة وأكبر موقع بناء في ذلك الوقت - بناء هرم ... يوضح الشكل جانبًا واحدًا منه.

أين التقدم هنا تقول؟ انظر عن كثب وابحث عن نمط في عدد الكتل الرملية في كل صف من جدار الهرم.

أليس هو تقدم حسابي؟ احسب عدد الكتل اللازمة لبناء جدار واحد إذا تم وضع قوالب الطوب في القاعدة. أتمنى ألا تحسب بتمرير إصبعك على الشاشة ، هل تتذكر الصيغة الأخيرة وكل ما قلناه عن التقدم الحسابي؟

في هذه الحالة ، يبدو التقدم كما يلي :.
اختلاف التقدم الحسابي.
عدد أعضاء التقدم الحسابي.
دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغ الأخيرة (سنحسب عدد الكتل بطريقتين).

طريقة 1.

الطريقة الثانية.

والآن يمكنك إجراء الحساب على الشاشة: قارن القيم التي تم الحصول عليها مع عدد الكتل الموجودة في هرمنا. هل اتحدت؟ أحسنت ، لقد أتقنت مجموع شروط التقدم الحسابي.
طبعا لا يمكنك بناء هرم من كتل في القاعدة ولكن من؟ حاول حساب عدد الطوب الرملي المطلوب لبناء جدار بهذه الحالة.
هل تستطيع فعلها؟
الجواب الصحيح هو الكتل:

اكتشف - حل

مهام:

ماشا تتجسد بحلول الصيف. كل يوم تزيد من عدد القرفصاء. كم مرة ستجلس ماشا القرفصاء في الأسابيع ، إذا مارست القرفصاء في التمرين الأول.
ما مجموع كل الأعداد الفردية الموجودة في.
عند تخزين السجلات ، يقوم الحطاب بتكديسها بحيث تحتوي كل طبقة عليا على سجل أقل من السابق. كم عدد السجلات الموجودة في البناء الواحد ، إذا كانت السجلات تعمل كأساس للبناء.

الإجابات:

دعنا نحدد معلمات التقدم الحسابي. في هذه الحالة
(أسابيع = أيام).
إجابه:بعد أسبوعين ، يجب أن تجلس ماشا مرة واحدة في اليوم.
أول رقم فردي وآخر رقم.
اختلاف التقدم الحسابي.
عدد الأعداد الفردية في النصف ، ومع ذلك ، سوف نتحقق من هذه الحقيقة باستخدام الصيغة لإيجاد الحد -th للتقدم الحسابي:
الأرقام تحتوي على أرقام فردية.
استبدل البيانات المتاحة في الصيغة:
إجابه:مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في يساوي.
لنتذكر مشكلة الهرم. بالنسبة لحالتنا ، a ، نظرًا لأن كل طبقة عليا يتم تقليلها بواسطة سجل واحد ، فعندئذٍ فقط في مجموعة من الطبقات ، أي.
دعنا نستبدل البيانات في الصيغة:
إجابه:هناك سجلات في البناء.

دعونا نلخص

- تسلسل رقمي يكون فيه الاختلاف بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا. يمكن أن يتزايد ويتناقص.
إيجاد الصيغةتتم كتابة العضو الرابع في التقدم الحسابي بواسطة الصيغة - ، حيث يوجد عدد الأرقام في التقدم.
خاصية أعضاء التقدم الحسابي- - أين هو عدد الأرقام في التقدم.
مجموع أعضاء التقدم الحسابييمكن العثور عليها بطريقتين:

، أين هو عدد القيم.

المتوالية العددية. مستوى متوسط

التسلسل الرقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده. لكن يمكنك دائمًا تحديد أيهما هو الأول ، وما هو الثاني ، وما إلى ذلك ، أي يمكننا ترقيمهما. هذا مثال على تسلسل رقمي.

التسلسل الرقميهي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

بمعنى آخر ، يمكن ربط كل رقم برقم طبيعي معين ، والرقم الوحيد. ولن نخصص هذا الرقم لأي رقم آخر من هذه المجموعة.

الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو العاشر في التسلسل.

إنه مناسب جدًا إذا كان من الممكن إعطاء المصطلح الرابع من التسلسل بواسطة بعض المعادلات. على سبيل المثال ، الصيغة

يحدد التسلسل:

والصيغة هي التسلسل التالي:

على سبيل المثال ، التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة (المصطلح الأول هنا متساوٍ والفرق). أو (فرق).

صيغة المصطلح التاسع

نحن نسمي المتكرر صيغة لمعرفة العضو ال ، تحتاج إلى معرفة الأعضاء السابقة أو العديدة السابقة:

لإيجاد ، على سبيل المثال ، المصطلح العاشر للتقدم باستخدام مثل هذه الصيغة ، سيتعين علينا حساب التسعة السابقة. على سبيل المثال ، دعونا. ثم:

حسنًا ، ما هي الصيغة الآن؟

في كل سطر نضيف إليه ، مضروبًا في عدد ما. لماذا؟ بسيط جدًا: هذا هو رقم العضو الحالي مطروحًا منه:

أكثر ملاءمة الآن ، أليس كذلك؟ نحن نفحص:

تقرر لنفسك:

في التقدم الحسابي ، أوجد صيغة الحد النوني وأوجد الحد المائة.

المحلول:

المصطلح الأول يساوي. ماهو الفرق؟ وإليك ما يلي:

(لأنه يطلق عليه الفرق الذي يساوي اختلاف الأعضاء المتتاليين في التقدم).

إذن الصيغة هي:

ثم المصطلح المائة هو:

ما هو مجموع كل الأعداد الطبيعية من إلى؟

وفقًا للأسطورة ، قام عالم الرياضيات العظيم كارل جاوس ، وهو صبي يبلغ من العمر 9 سنوات ، بحساب هذا المبلغ في بضع دقائق. لقد لاحظ أن مجموع العددين الأول والأخير متساويان ، ومجموع الثاني والأخير متماثل ، ومجموع الثالث والثالث من النهاية هو نفسه ، وهكذا. كم عدد هذه الأزواج سيكون هناك؟ هذا صحيح ، بالضبط نصف عدد كل الأرقام ، أي. لذا،

الصيغة العامة لمجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

مثال:
أوجد مجموع كل المضاعفات المكونة من رقمين.

المحلول:

أول رقم من هذا القبيل. يتم الحصول على كل تالية عن طريق الإضافة إلى الرقم السابق. وهكذا ، فإن الأرقام التي تهمنا تشكل تقدمًا حسابيًا مع المصطلح الأول والفرق.

صيغة المصطلح العاشر لهذا التقدم هي:

كم عدد الأعضاء في التقدم إذا كان عليهم جميعًا أن يكونوا من رقمين؟

سهل جدا: .

سيكون المصطلح الأخير في التقدم متساويًا. ثم المجموع:

إجابه: .

قرر الآن بنفسك:

في كل يوم ، يركض الرياضي أمتار أكثر من اليوم السابق. كم كيلومترًا سيجري في أسابيع إذا ركض كيلومترًا في اليوم الأول؟
يقود راكب الدراجة كيلومترات كل يوم أكثر من سابقه. في اليوم الأول ، قطع كيلومترًا. كم يوما يحتاج للسفر لتغطية الكيلومتر؟ كم كيلومترًا سيقطعه في اليوم الأخير من الرحلة؟
ينخفض سعر الثلاجة في المتجر بنفس المقدار كل عام. حدد مقدار انخفاض سعر الثلاجة كل عام ، إذا تم طرحها للبيع مقابل روبل ، بعد ست سنوات تم بيعها بالروبل.

الإجابات:

أهم شيء هنا هو التعرف على التقدم الحسابي وتحديد معاملاته. في هذه الحالة (أسابيع = أيام). تحتاج إلى تحديد مجموع الأعضاء الأوائل لهذا التقدم:
.
إجابه:
يعطى هنا: ، من الضروري أن تجد.
من الواضح أنك تحتاج إلى استخدام نفس صيغة الجمع كما في المسألة السابقة:
.
استبدل القيم:
من الواضح أن الجذر غير مناسب ، لذا فإن الإجابة هي.
لنحسب المسافة المقطوعة في اليوم الأخير باستخدام صيغة المصطلح العاشر:
(كم).
إجابه:
معطى:. تجد: .
لا يمكن أن يكون الأمر أسهل:
(فرك).
إجابه:

المتوالية العددية. باختصار حول الرئيسي

هذا تسلسل رقمي يكون فيه الاختلاف بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.

يمكن أن يكون التقدم الحسابي تصاعديًا () ومتناقصًا ().

على سبيل المثال:

صيغة إيجاد الحد من رقم n للتقدم الحسابي

مكتوب بالصيغة ، حيث هو عدد الأرقام في التقدم.

خاصية أعضاء التقدم الحسابي

يتيح لك العثور بسهولة على أحد أعضاء التقدم إذا كان الأعضاء المجاورون معروفين - أين عدد الأرقام في التقدم.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي

هناك طريقتان لمعرفة المبلغ:

أين عدد القيم.

تعليمات

التقدم الحسابي هو تسلسل من النموذج a1، a1 + d، a1 + 2d ...، a1 + (n-1) d. د في الخطوات تقدممن الواضح أن مجموع المصطلح التعسفي n من الحساب تقدمله الشكل: An = A1 + (n-1) d. ثم معرفة أحد الأعضاء تقدم، عضو تقدموخطوة تقدم، يمكنك ، أي عدد الأعضاء في التقدم. من الواضح أنه سيتم تحديده بواسطة الصيغة n = (An-A1 + d) / d.

الآن دع المصطلح mth معروف تقدموعضو آخر تقدم- n ، لكن n ، كما في الحالة السابقة ، لكن من المعروف أن n و m لا يتطابقان. تقدميمكن حسابها بالصيغة: d = (An-Am) / (n-m). ثم ن = (An-Am + md) / د.

إذا كان مجموع العناصر الحسابية معروفًا تقدم، بالإضافة إلى الأول والأخير ، يمكن أيضًا تحديد عدد هذه العناصر. تقدمستكون مساوية لـ: S = ((A1 + An) / 2) n. ثم n = 2S / (A1 + An) - chdenov تقدم... باستخدام حقيقة أن An = A1 + (n-1) d ، يمكن إعادة كتابة هذه الصيغة على النحو التالي: n = 2S / (2A1 + (n-1) d). من هذا يمكن التعبير عن n بحل معادلة تربيعية.

المتوالية الحسابية هي مجموعة مرتبة من الأرقام ، يختلف كل عضو فيها ، باستثناء الأول ، عن سابقتها بنفس المقدار. تسمى هذه القيمة الثابتة باختلاف التقدم أو خطوتها ويمكن حسابها من الأعضاء المعروفين للتقدم الحسابي.

تعليمات

إذا كانت قيم الأول والثاني أو أي زوج آخر من المصطلحات المجاورة معروفة من شروط المشكلة ، لحساب الفرق (د) ، ببساطة اطرح السابق من المصطلح التالي. يمكن أن تكون القيمة الناتجة موجبة أو سلبية ، اعتمادًا على ما إذا كان التقدم يتزايد. بشكل عام ، اكتب الحل للزوج التعسفي (aᵢ و aᵢ₊₁) من الأعضاء المجاورين للتقدم على النحو التالي: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

بالنسبة لزوج من أعضاء مثل هذا التقدم ، أحدهما هو الأول (a₁) والآخر هو أي عضو آخر يتم اختياره بشكل تعسفي ، من الممكن أيضًا تكوين صيغة لإيجاد الفرق (د). ومع ذلك ، في هذه الحالة ، يجب معرفة الرقم التسلسلي (1) لعضو عشوائي تم اختياره من التسلسل. لحساب الفرق ، اجمع كلا الرقمين ، وقسم النتيجة على الرقم الترتيبي لمصطلح تعسفي ، مخفضًا بواحد. بشكل عام ، اكتب هذه الصيغة على النحو التالي: d = (a₁ + aᵢ) / (i-1).

إذا ، بالإضافة إلى عضو تعسفي في التقدم الحسابي باستخدام ترتيبي i ، فإن عضوًا آخر مع ترتيبي u معروف ، فقم بتغيير الصيغة من الخطوة السابقة وفقًا لذلك. في هذه الحالة ، سيكون الاختلاف (د) في التقدم هو مجموع هذين المصطلحين مقسومًا على الفرق في الأعداد الترتيبية: د = (أᵢ + أᵥ) / (i-v).

ستصبح معادلة حساب الفرق (د) أكثر تعقيدًا إلى حد ما إذا تم إعطاء قيمة المصطلح الأول (a₁) ومجموع (Sᵢ) لرقم معين (i) للأعضاء الأوائل في التسلسل الحسابي في المسألة الظروف. للحصول على القيمة المرغوبة ، قسّم المبلغ على عدد الأعضاء المكونين له ، واطرح قيمة الرقم الأول في التسلسل ، وضاعف النتيجة. قسّم القيمة الناتجة على عدد الأعضاء الذين يتألف منهم المجموع ، مخفضًا بواحد. بشكل عام ، اكتب معادلة حساب المميز على النحو التالي: د = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1).

عند دراسة الجبر في مدرسة أساسية (الصف التاسع) ، فإن أحد الموضوعات المهمة هو دراسة تسلسل الأرقام ، والتي تشمل التعاقب - الهندسي والحسابي. في هذه المقالة ، سننظر في التقدم الحسابي والأمثلة مع الحلول.

ما هو التقدم الحسابي؟

لفهم هذا ، من الضروري إعطاء تعريف للتقدم المدروس ، وكذلك إعطاء الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها بشكل أكبر في حل المشكلات.

حسابي أو عبارة عن مجموعة من الأعداد المنطقية المرتبة ، يختلف كل مصطلح عن السابق من خلال بعض القيمة الثابتة. هذه القيمة تسمى الفرق. أي ، بمعرفة أي عضو في سلسلة الأرقام المرتبة والفرق ، يمكنك استعادة التقدم الحسابي بالكامل.

دعنا نعطي مثالا. سيكون التسلسل التالي للأرقام تسلسلاً حسابيًا: 4 ، 8 ، 12 ، 16 ، ... ، لأن الاختلاف في هذه الحالة هو 4 (8-4 = 12-8 = 16-12). لكن مجموعة الأعداد 3 ، 5 ، 8 ، 12 ، 17 لم يعد من الممكن أن تُعزى إلى نوع التقدم المدروس ، لأن الاختلاف فيه ليس قيمة ثابتة (5 - 3 ≠ 8 - 5 12-8 17 - 12).

صيغ مهمة

دعونا الآن نعطي الصيغ الأساسية التي ستكون مطلوبة لحل المشاكل باستخدام التقدم الحسابي. دعونا نشير بواسطة n إلى الحد n من المتسلسلة ، حيث n عدد صحيح. يتم الإشارة إلى الاختلاف بالحرف اللاتيني d. ثم تكون العبارات التالية صحيحة:

لتحديد قيمة المصطلح n ، تكون الصيغة مناسبة: a n = (n-1) * d + a 1.
لتحديد مجموع مصطلحات n الأولى: S n = (a n + a 1) * n / 2.

لفهم أي أمثلة للتقدم الحسابي مع حل في الصف 9 ، يكفي تذكر هاتين الصيغتين ، لأن أي مشاكل من النوع قيد الدراسة مبنية على استخدامها. يجب أن تتذكر أيضًا أن الاختلاف في التقدم تحدده الصيغة: d = a n - a n-1.

المثال الأول: العثور على عضو غير معروف

دعنا نعطي مثالاً بسيطًا للتقدم الحسابي والصيغ التي يجب استخدامها لحلها.

دع المتتالية 10 ، 8 ، 6 ، 4 ، ... ، من الضروري إيجاد خمسة حدود فيها.

يتبع بالفعل من بيان المشكلة أن المصطلحات الأربعة الأولى معروفة. يمكن تعريف الخامس بطريقتين:

دعنا نحسب الفرق أولا. لدينا: د = 8-10 = -2. وبالمثل ، يمكن للمرء أن يأخذ أي عضوين آخرين يقفان بجانب بعضهما البعض. على سبيل المثال ، د = 4 - 6 = -2. بما أنه من المعروف أن د = أ ن - أ ن -1 ، ثم د = أ 5 - أ 4 ، ومن هنا نحصل على: أ 5 = أ 4 + د. عوّض بالقيم المعروفة: a 5 = 4 + (-2) = 2.
تتطلب الطريقة الثانية أيضًا معرفة الفرق في التقدم المدروس ، لذلك عليك أولاً تحديده ، كما هو موضح أعلاه (د = -2). مع العلم أن الحد الأول أ 1 = 10 ، نستخدم صيغة العدد n من المتسلسلة. لدينا: أ ن = (ن - 1) * د + أ 1 = (ن - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * ن. بالتعويض عن n = 5 في التعبير الأخير ، نحصل على: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

كما ترى ، أدت كلتا طريقتي الحل إلى نفس النتيجة. لاحظ أنه في هذا المثال ، يكون الاختلاف d في التقدم سالبًا. تسمى هذه المتتاليات بالتناقص ، لأن كل حد تالٍ أقل من السابق.

المثال الثاني: فرق التقدم

دعونا الآن نعقد المهمة قليلاً ، وسنقدم مثالاً على كيفية إيجاد الفرق في التقدم الحسابي.

من المعروف أنه في بعض التدرجات الجبرية ، فإن الحد الأول يساوي 6 ، والحد السابع يساوي 18. من الضروري إيجاد الفرق وإعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.

دعنا نستخدم الصيغة لتحديد المصطلح غير المعروف: a n = (n - 1) * d + a 1. نستبدل فيه البيانات المعروفة من الشرط ، أي الأرقام أ 1 و 7 ، لدينا: 18 = 6 + 6 * د. من هذا التعبير ، يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18-6) / 6 = 2. وبالتالي ، إجابة الجزء الأول من المسألة.

لاستعادة تسلسل يصل إلى 7 مصطلحات ، يجب عليك استخدام تعريف التقدم الجبري ، أي 2 = أ 1 + د ، أ 3 = أ 2 + د ، وهكذا. نتيجة لذلك ، نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6 ، أ 2 = 6 + 2 = 8 ، أ 3 = 8 + 2 = 10 ، أ 4 = 10 + 2 = 12 ، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16 ، أ 7 = 18.

المثال رقم 3: إحراز تقدم

دعونا نعقد حالة المشكلة أكثر. الآن من الضروري الإجابة على سؤال حول كيفية إيجاد التقدم الحسابي. يمكنك إعطاء المثال التالي: بالنظر إلى رقمين ، على سبيل المثال ، - 4 و 5. من الضروري تكوين تقدم جبري بحيث تتناسب ثلاثة مصطلحات أخرى بينهما.

قبل البدء في حل هذه المشكلة ، من الضروري فهم المكان الذي ستشغله الأرقام المعينة في التقدم المستقبلي. نظرًا لأنه سيكون هناك ثلاثة حدود أخرى بينهما ، إذن 1 = -4 و 5 = 5. بعد أن أثبتنا ذلك ، ننتقل إلى المشكلة ، التي تشبه سابقتها. مرة أخرى ، بالنسبة للحد من العدد n ، نستخدم الصيغة ، نحصل على: a 5 = a 1 + 4 * d. من حيث: د = (أ 5 - أ 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. لم نحصل هنا على قيمة عددية للفرق ، ولكنها رقم منطقي ، لذلك تظل معادلات التقدم الجبري كما هي.

أضف الآن الاختلاف الموجود إلى 1 واستعد الأعضاء المفقودين من التقدم. نحصل على: أ 1 = - 4 ، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75 ، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5 ، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75 ، أ 5 = 2.75 + 2.25 = 5 ، والتي تزامنت مع حالة المشكلة.

مثال رقم 4: أول مصطلح للتقدم

دعنا نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحل. في جميع المشاكل السابقة ، كان الرقم الأول للتقدم الجبري معروفًا. فكر الآن في مشكلة من نوع مختلف: لنحصل على رقمين ، حيث 15 = 50 و 43 = 37. من الضروري إيجاد الرقم الذي يبدأ منه هذا التسلسل.

الصيغ المستخدمة حتى الآن تفترض معرفة 1 و د. لا شيء معروف عن هذه الأرقام في بيان المشكلة. ومع ذلك ، نكتب تعبيرات لكل عضو توجد معلومات عنه: أ 15 = أ 1 + 14 * د و 43 = أ 1 + 42 * د. تلقيت معادلتين ، فيهما عدد 2 غير معروف (أ 1 و د). هذا يعني أن المشكلة تختصر في حل نظام المعادلات الخطية.

يسهل حل هذا النظام إذا عبرت عن 1 في كل معادلة ، ثم قارنت التعبيرات الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15 - 14 * د = 50-14 * د ؛ المعادلة الثانية: أ 1 = أ 43-42 * د = 37-42 * د. معادلة هذه التعبيرات ، نحصل على: 50 - 14 * د = 37-42 * د ، ومن هنا الفرق d = (37-50) / (42-14) = - 0.464 (فقط 3 منازل عشرية).

بمعرفة د ، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه لـ 1. على سبيل المثال ، الأول: أ 1 = 50 - 14 * د = 50-14 * (- 0.464) = 56.496.

إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة ، فيمكنك التحقق منها ، على سبيل المثال ، تحديد المدة 43 للتقدم ، والتي تم تحديدها في الشرط. نحصل على: أ 43 = أ 1 + 42 * د = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. يرجع الخطأ الصغير إلى حقيقة أن الحسابات استخدمت التقريب إلى جزء من الألف.

المثال الخامس: المبلغ

الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة ذات الحلول لمجموع التقدم الحسابي.

دع التقدم العددي للشكل التالي يعطى: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... ،. كيف تحسب مجموع هذه الأرقام المائة؟

بفضل تطور تكنولوجيا الكمبيوتر ، من الممكن حل هذه المشكلة ، أي جمع جميع الأرقام بالتتابع ، وهو ما سيفعله الكمبيوتر بمجرد أن يضغط الشخص على مفتاح Enter. ومع ذلك ، يمكن حل المشكلة في العقل ، إذا انتبهنا إلى أن سلسلة الأرقام المقدمة هي تقدم جبري ، وفرقها هو 1. بتطبيق صيغة المجموع ، نحصل على: S n = n * (a 1 + أ) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

من الغريب أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "Gaussian" ، لأنه في بداية القرن الثامن عشر تمكن الألماني الشهير ، بينما كان عمره 10 سنوات فقط ، من حلها في رأسه في بضع ثوانٍ. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع التقدم الجبري ، لكنه لاحظ أنه إذا جمعت في أزواج الأرقام الموجودة على أطراف المتسلسلة ، فستحصل دائمًا على نتيجة واحدة ، أي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ، وبما أن هذه المبالغ ستكون بالضبط 50 (100/2) ، إذن للحصول على الإجابة الصحيحة ، يكفي ضرب 50 في 101.

مثال رقم 6: مجموع الأعضاء من n إلى m

مثال نموذجي آخر لمجموع التقدم الحسابي هو ما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، ... ، تحتاج إلى إيجاد مجموع أعضائها من 8 إلى 14.

تم حل المشكلة بطريقتين. يتضمن أولهما إيجاد حدود غير معروفة من 8 إلى 14 ، ثم جمعها بالتسلسل. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات ، فإن هذه الطريقة ليست مرهقة بدرجة كافية. ومع ذلك ، يُقترح حل هذه المشكلة بالطريقة الثانية ، وهي أكثر عالمية.

الفكرة هي الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين المصطلحين m و n ، حيث n> m هي أعداد صحيحة. دعونا نكتب تعبيرين لمجموع كلتا الحالتين:

S م = م * (أ م + أ 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

بما أن n> m ، فمن الواضح أن مجموع 2 يشمل الأول. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المبالغ ، وأضفنا إليها المصطلح a m (في حالة أخذ الفرق ، يتم طرحه من مجموع S n) ، فإننا نحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * ن / 2 + ص * (1- م / 2). في هذا التعبير ، من الضروري استبدال الصيغتين a n و a m. ثم نحصل على: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د * (3 * م - م 2-2) / 2.

الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما ؛ ومع ذلك ، فإن مجموع S mn يعتمد فقط على n و m و a 1 و d. في حالتنا ، a 1 = 3 ، d = 4 ، n = 14 ، m = 8. بالتعويض عن هذه الأرقام ، نحصل على: S mn = 301.

كما يتضح من الحلول المقدمة ، تستند جميع المشكلات إلى معرفة التعبير عن المصطلح n ومعادلة مجموع مجموعة المصطلحات الأولى. قبل الشروع في حل أي من هذه المشاكل ، يوصى بقراءة الحالة بعناية ، وفهم ما يجب إيجاده بوضوح ، وبعد ذلك فقط المضي قدمًا في الحل.

نصيحة أخرى هي أن تسعى جاهدًا إلى البساطة ، أي إذا كان بإمكانك الإجابة على سؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة ، فأنت بحاجة إلى فعل ذلك تمامًا ، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب خطأ أقل. على سبيل المثال ، في مثال للتقدم الحسابي مع الحل رقم 6 ، يمكن للمرء أن يتوقف عند الصيغة S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am ، والكسر المشكلة العامة في مهام فرعية منفصلة (في هذه الحالة ، ابحث أولاً عن الأعضاء و أنا).

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها ، فمن المستحسن التحقق منها ، كما حدث في بعض الأمثلة المذكورة أعلاه. لقد توصلنا إلى كيفية إيجاد التقدم الحسابي. إذا اكتشفت ذلك ، فلن يكون الأمر بهذه الصعوبة.